BT on thang 102016

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bài tập ôn tháng 10-2016 a b c d = = = Bài 1. Cho 2 b 2 c 2 d 2 a (a, b, c, d > 0) 2012 a−2011b 2012 b−2011 c 2012c−2011 d 2012 d−2011a + + + c +d a+d a+b b +c Tính A = a b c d a b c d 1      Theo bài ra áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có 2b 2c 2d 2a 2b  2c  2d  2a 2 (do. a,b,c,d > 0 => a+b+c+d >0) suy ra a = b = c= d Thay vào tính được P = 2 1 1 1 1 P   ...   1007 1008 2012 2013 + Ta có:. 1 1 1 1 1   1 1 1   1 1  1    ...     ...      1    ...   1006 1007 1008 2012 2013   2 3 1006   2 3 1 1 1 1 1  1 1 1 1   1 1  1    ...     ...     2     ...   1006 1007 1008 2012 2013   2 4 6 2012   2 3 1 1 1 1 1 1     ......   2 3 4 2012 2013 =S. S  P Do đó . 2013. =0. 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Bài 2. Cho dãy tỷ số bằng nhau : a b bc c d d a M    c  d d a a b b c Tính giá trị biểu thức 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Cho dãy tỷ số bằng nhau : a b bc c d d a M    c  d d a a b b c Tính giá trị biểu thức. / Nếu a + b + c + d = 0 a  b  (c  d ) b  c  (d  a )   c  d  (a  b) a b b c c d d a M    ( 1)  ( 1)  ( 1)  (  1)  4 d  a  (b  c) c  d d a a b b c => =>. Nếu a + b + c + d  0 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Từ b c d a cd a b d a b c 2 2  2  2  a b c d => b c d a c d a b d a b c b c d a c d a b d a b c     3 a b c d a b c d => a b b c c d d a M    1 1 1 1 4 c  d d  a a b b c => a = b = c = d => a b c d M= + + + a +b +c a +b +d b +c +d a +c +d ; với a, b, c, d Î N * . Bài 3.Cho.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chứng minh: M không nhận giá trị là số tự nhiên. x y z = = 3 4 5. Bài 4. a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: a b c d = = = b) Cho 2 b 2 c 2 d 2 a. 2 2 2 và 2 x +2 y −3 z =−100. (a, b, c, d > 0). 2011 a−2010 b 2011 b−2010 c 2011 c−2010 d 2011 d−2010 a + + + c +d a+d a+b b+c Tính A =. c) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2. 27−2 x b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = 12−x. a) (1,5đ) x y z = = 3 4 5. Từ. 2. 2. ta có:. 2. 2. 2. 2. (với x nguyên). 2. 2. 2. 2. x y z 2 x 2 y 3 z 2 x +2 y −3 z −100 = = = = = = = =4 9 16 25 18 32 75 −25 −25. x = 36 2 y = 64 z 2= 100 ⇔ ¿ ¿ x =6 y =8 x = 10 ¿ [ ¿ x =− 6 y =− 8 z =− 10 {. ¿. {. ¿ ¿ ¿¿ ¿. ( Vì x, y, z cùng dấu). a b c d a b c  d 1      2c 2d 2a 2b  2c  2d  2a 2 b) (1,5 đ) Ta có 2b suy ra a = b = c= d Thay vào tính được P = 2. (do a,b,c,d > 0 => a+b+c+d >0). a) (1,5đ) Ta có x + y + xy =2  x + 1 + y(x + 1) = 3 (x+1)(y+1)=3 Do x, y nguyên nên x + 1 và y + 1 phải là ước của 3. Lập bảng ta có:. x+1. 1. 3. -1. -3. y+1. 3. 1. -3. -1. x. 0. 2. -2. -4. y. 2. 0. -4. -2. Vậy các cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2) b) (1,5 đ). Q=. * Xét x > 12 thì. * Xét x < 12 thì. Vậy để. 3 12−x. 27−2 x 12−x 3 12−x 3 12−x. = 2+. A lớn nhất khi. 3 12−x. lớn nhất. <0. > 0. Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử không đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.. lớn nhất thì. Bài 5, Cho a,b,c. 3 12−x. ¿. 12-x  0  x  Z 12-x . R và a,b,c. nhỏ nhất.  x = 11. ¿. A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11 2. 0 thoả mãn b = ac. Chứng minh rằng:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> (a  2011b)2 2 = (b  2011c) (Biết rằng các tỉ số đều có nghĩa) b a a b 2011b a b a  2011b        2 b = ac=> c b b c 2011c b c b  2011c. a c. 2. a b a  2011b a  2011b a  a  2011b  .  .    b c b  2011c b  2011c c  b  2011c  Do đó:. Bài. 6:. Cho x, y, z, t x y z t + + + x + y + z x + y +t y+ z+t x + z +t. ¿. N. ¿. .. (a  2011b) 2 2 = (b  2011c). a c. Chứng. minh. rằng:. M. =. có giá trị không phải là số tự nhiên.. x y z t x y z t        1 x  y  z x  y  t y  z  t x  z  t x  y  z  t x  y  t  z y  z  t  x x  z  t  y Ta có: x y z t x t yz zx ty        2 x  y  z x  y t y  z t x  z t x  y  z t x  y t  z y  z t  x x  z t  y. Bài 7: Tìm x biết : a) |5(2 x+3)|+|2(2x+3)|+|2x+3|=16 ;. 2. 2. |x +|6 x−2||=x +4 .. 2 2 b) Chỉ có trường hợp: x  6 x  2 x  4. Gợi ý: a) Xét các khoảng giá trị. 3 5 7 19 + 2 2 + 2 2 +.. .+ 2 2 2 1 . 2 2 .3 3 . 4 9 . 10 < 1 2. Bài 8: Chứng minh rằng : Gợi ý:. b). 1 1 1 1 1 1 1 1  2  2  2  2  ...  2  2  2  2  1 1 2 2 3 9 10 1 10 2. Bài 9: Tìm x, y, z biết :. 2. 2. 2. 2. x y z x +y +z + + = 2 3 4 5. 2. .. x2 y2 z 2 x2  y 2  z 2 x2 x2 y2 y2 z2 z2     (  )  (  )  (  ) 0 2 3 4 5 2 5 3 5 4 5. . 3x 2 2 y 2 z 2   0  x  y z 0. 10 15 20. Gợi ý: Bài 10: Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện ab : bc a : c thì. abbb :bbbc=a: c .. ab a 10a  b 10a  b  a 9a  b 999a  111b 999a  111b  a 1000a  111b abbb         bc c 10b  c 10b  c  c 10b 1110b 1110b  c 1110b  c bbbc. Gợi ý: Ta có:. x y y z z x   1 xy yz zx. Bài 11: Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng : Gợi ý: * Vì x, y, z > 0 và x  y  x  y, y  z  y  z , z  x  z  x Nên:. x y x yz y z y zx z x z xy    x y x yz , yz yzx zx zx y x y y z z x xyz    1  1 x y yz zx x yz. Suy ra: * Vì x, y , z vai trò như nhau, giả sử: x  y z , ta có x  y 0, y  z 0 Suy ra:. x y x y  xy xyz. x y   x y x y   x y. và. y z y z  yz x yz. y z x yy z x z x z y x y z     yz xyz xyz xyz y xz y z z x x y z z x y y       1 (2) yz zx xz zx zx y. Từ (1), (2), suy ra đpcm. x + y− z y + z−x z + x− y = = z x y Bài 12: ) Cho x, y, z ¿ 0 ; x + y + z ¿ 0 thỏa mãn:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Vì. Chứng minh : x + y− z y + z−x z + x− y = = z x y. (1+ xy )(1+ yz )(1+ zx )=8. x + y− z y + z−x z + x− y x + y− z+ y + z− x+ z+ x− y z+ x+ y = = = =1 z x y z+ x + y z+ x+ y ⇒ = ⇒ x + y = 2z ; y+z = 2x ; x + z =2y x y z y+x y+ z x+ z 2 z. 2 x .2 y 1+ 1+ 1+ = . . = =8 y z x y z x x.y.z Ta có :. ( )( )( ). 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx x y z     a 2b 3c . Chứng minh: a 2b 3c . Bài 13: a) Cho dãy tỉ số bằng nhau 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx 2abz  3acy 6bcx  2abz 3acy  6bcx      a 2b 3c a2 4b2 9c 2 2abz  3acy  6bcx  2abz  3acy  6bcx z y  0  2 2 2  2bz - 3cy = 0  3c 2b (1) a  4b  9c x z x y z     3cx - az = 0  a 3c (2); Từ (1) và (2) suy ra: a 2b 3c. b) Tìm tất cả các số tự nhiên m, n sao cho : 2m + 2015 = n  2016 + n - 2016. Nhận xét: -Với x ≥ 0 thì x + x = 2x -Với x < 0 thì x + x = 0. Do đó x + x luôn là số chẵn với  xZ. Áp dụng nhận xét trên thì n  2016 + n – 2016 là số chẵn với n -2016  Z. Suy ra 2m + 2015 là số chẵn  2m lẻ  m = 0 . Khi đó n  2016 + n – 2016 = 2016 + Nếu n < 2016, ta có - (n– 2016) + n – 2016 = 2016  0 = 2016 (loại) + Nếu n ≥ 2016 , ta có 2(n– 2016) = 2016  n – 2016 = 1008  n = 3024 (thỏa mãn) Vậy (m; n) = (0; 3024) Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x  2015  x  2016  x  2017 . Ta có: P= x  2015  2016  x  x  2017 = ( x  2015  2017  x )  x  2016 Ta có: x  2015  2017  x  x  2015  2017  x 2 . Dấu “=” xảy ra khi: 2015  x 2017 (1) Lại có: x  2016 0 . Dấu “=” xảy ra khi x = 2016 (2). Từ (1) và (2) ta có minP = 2. Dấu “=” xảy ra khi x = 2016 Bài 15: Cho S  P Tính . S 1  2013. .. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    ...    P   ...   2 3 4 2011 2012 2013 và 1007 1008 2012 2013 ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 1 1 1 P   ...   1007 1008 2012 2013 + Ta có:. 1 1 1 1 1   1 1 1   1 1  1    ...     ...      1    ...   1006 1007 1008 2012 2013   2 3 1006   2 3. 1 1 1 1 1  1 1 1 1   1 1  1    ...     ...     2     ...   1006 1007 1008 2012 2013   2 4 6 2012   2 3 1 1 1 1 1 1     ......   2 3 4 2012 2013 =S. S  P Do đó . 2013. =0.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>