Slide co luong tu 1 VU QUANG TUYEN 2017

Cơ học lượng tử (CLT)

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1
QUANTUM MECHANICS 1
TS. VŨ QUANG TUYÊN
Vật lý lý thuyết
-

Tài liệu tham khảo
• D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd
ed., Prentice Hall, 2005
• R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Plenum
Press, 1994
• Hồng Dũng, Nhập mơn cơ học lượng tử, NXB GD, 1999
• H.Haken & H. Wolf, The Physics of Atom and Quanta, 7th
ed., Springer, 2005
• G. Greenstein & A. Zajonc, The Quantum Challenge, Jones
and Bartlett Publishers, 1997

• Chương 1: Nguồn gốc và sự cần thiết của CLT
• Chương 2: Hàm sóng trong CLT
• Chương 3: Phương trình Schrưdinger
• Chương 4: Hình thức luận trong CLT
• Chương 5: CLT trong khơng gian 3 chiều
• Chương 6: Mơmen động lượng & spin
• Chương 7: Hệ hạt đồng nhất
• Chương 8: Gần đúng trong CLT

Tiêu chuẩn đánh giá

Giữa kỳ

Thi
cuối kỳ

Kiểm tra

Tích cực
(tham dự, hỏi, bài tập...)

30%

20%
50%ggggg


Đồng thuận

• Đúng giờ
• Tham dự tối thiểu 80%
thời gian lên lớp
• Đọc tài liệu và chuẩn bị cho
mỗi buổi học trước khi vào
lớp
• “Đứng trên đơi chân của
chính mình”

Tại sao cần học QUANTUM mechanics
• Nền tảng của vật lý/khoa học
hiện đại
• Tư duy “lượng tử”
• “Triết học”, “nhân sinh”

• ...

DẠY/HỌC HẾT MÌNH

Tại sao cần học QUANTUM MECHANICS
NỀN TẢNG KHOA
HỌC HIỆN ĐẠI

• Năng lượng cao: vũ trụ học,
hạt cơ bản, hạt nhân
• Vật liệu, trạng thái rắn 
thiết bị điện tử, nano, ...
• Quang  quang lượng tử,
laser,...
• Liên ngành: lý sinh, hóa,
dược, y ...

Tầm ảnh hưởng của “Quantum”


Tầm ảnh hưởng của “Quantum”

Cần gì để học QUANTUM MECHANICS
TINH THẦN

• Cái đầu mở/ Tư duy mở
• Tư duy linh động
• Muốn/Ham học hỏi
• Kiên trì - Cố gắng
• [Dám] Đặt câu hỏi

• Trách nhiệm trong học tập

Cần gì để học QUANTUM mechanics?
GROWTH MINDSET

• NỖ LỰC
• CỐ GẮNG
• KIÊN TRÌ


Cần gì để học QUANTUM MECHANICS?
• “Chút” tốn: Giải tích, hàm
phức, phương trình vi
phân, đại số

NĂNG LỰC

• Cơ, quang, vật lý ngun tử
• [Kiên trì tập] Đọc tiếng Anh

Người ta lớn lên
bằng gì?

?

• [Kiên trì] Làm bài tập

E + R = O
Event
(biến cố,

sự kiện)

Respond
(đáp trả
ứng xử)

Outcome
(thành
quả)

Bạn muốn O nào?
Bạn chọn thay đổi E hay R
để có được O bạn muốn?

• Hãy mở miệng để hỏi
• Hãy mở tai lắng nghe
câu hỏi
• Hãy mở lịng để hỏi &
đón nhận câu hỏi
•  Tơn trọng từng câu hỏi
dễ, khó, ”khờ, ngu”... của
chính mình, của người khác

E + R = O
Event
(biến cố,
sự kiện)

Respond
(đáp trả

ứng xử)

Outcome
(thành
quả)

Bạn là tác nhân hay bạn là nạn nhân?


Đối với sự việc xảy ra,
Bạn là tác nhân hay bạn là nạn nhân?
NẠN NHÂN

TÁC NHÂN

• Hệ quả tơi có là do hồn ▪ Hệ quả tơi có là do hành
cảnh/người khác gây ra.
động tơi chọn. Tơi có
Tơi khơng có lỗi.
trách nhiệm về chọn lựa
của tơi.
• Người khác/hồn cảnh
cần phải thay đổi thì sự ▪ Muốn sự viêc tốt hơn
việc mới tốt hơn đối với
thì chính tơi cần phải
tơi.
thay đổi trước hết.
• …
▪…

HÃY LÀ TÁC NHÂN:
CHÍNH BẠN CHỌN
VÀ CĨ TRÁCH NHIỆM VỀ LỰA CHỌN
TRÁNH ĐỔ LỖI
BẠN CHỌN THẾ NÀO
ĐỜI BẠN THẾ ĐÓ !
YOUR CHOICE
YOUR LIFE !

Đối với sự việc xảy ra,
Bạn là tác nhân hay bạn là nạn nhân?
NẠN NHÂN

TÁC NHÂN

• Tại sao tơi lại bị như thế,
tại sao việc này lại xảy ra
cho tơi? Tìm các ngun
nhân (hồn cảnh, người
khác) để trách cứ, đổ lỗi.
• Tơi mất những gì? Để ý đến
những thiệt mất nơi mình.
• Tơi khơng thể làm/thay đổi:
Tơi khơng có khả năng để
làm việc cần làm

▪ Việc này đem lại ý nghĩa gì
cho tơi? Tìm ra ý nghĩa/cơ
hội tích cực của sự việc.
Nhận trách nhiệm của mình

▪ Tơi cịn những gì? Tìm ra
những gì mình cịn để có
thể tiếp tục vươn lên.
▪ Tơi có thể làm gì? Tơi vẫn
cịn có thể làm những gì để
hồn thiện, để tiếp tục điều
đã chọn

Thực hành “tơi là tác nhân”
• Hãy đưa ra 3 sự việc/tình huống trong học tập mà bạn đang
chọn là “bạn nạn nhân”. Bạn cần thay đổi chọn lựa ra sao để
lấy lại vai trò tác nhân của bạn? Xin cụ thể!
• Gợi ý: Tìm/chỉ ra 1) ý nghĩa/cơ hội tích cực của sự việc, 2) bạn
cịn những gì (vật chất, tinh thần, con người) để có thể vượt
qua thách đố, khó khan, và 3) bạn vẫn cịn có thể chọn/làm
những gì (hành động, thái độ, suy nghĩ) để hoàn thiện hơn, để
tiếp tục điều bạn đã chọn.
• Bài này chỉ tính đạt/khơng đạt. Nếu khơng đạt thì làm lại. Dù
vậy, xin hãy làm hết mình, làm một cách “tôi là tác nhân”!


Cơ học lượng tử
Chương 1
Nguồn gốc
và sự cần thiết
của cơ lượng tử

Cơ học lượng tử

• Vài nét về lịch sử CLT

• Tính chất hạt của (sóng) ánh
sáng
• Tính chất sóng của hạt

1.1. Vài nét về lịch sử CLT

Cơ cổ điển
Lý thuyết điện từ
(điện+từ+quang)
Nhiệt động
lực học
Lực Lorentz

• Tính chất hạt của (sóng) ánh

Chương 1
sáng
• Tính chất sóng của hạt
Nguồn gốc
và sự cần thiết
của cơ lượng tử

1.1. Vài nét về lịch sử CLT

Trước cuối thế kỷ XIX
VẬT LÝ (CỔ ĐIỂN)

1.1. Vài nét về lịch sử CLT

Cuối thế kỷ XIX

HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ
Hạt
Sóng
Hạt+Sóng

TƯƠNG ĐỐI TÍNH

VI MƠ

Vận tốc rất lớn

Ngun tử, dưới ngun tử

Vật lý cổ điển khơng thể cho
giải thích thỏa đáng


1.1. Vài nét về lịch sử CLT
Cơ học lượng tử

1900-1925
1900
1905
1913
1923
1923
1925
1927

Planck: lượng tử  bức xạ vật đen

Einstein: lượng tử  hiệu ứng quang điện
Bohr: lượng tử  mơ hình ngun tử hydro
Compton: lượng tử  hiệu ứng Compton
De Broglie: lưỡng tính sóng - hạt
Heisenberg & Schrưdinger (1926): cơ lượng tử
Born: ý nghĩa hàm sóng. Khám phá hạt-sóng
1928-1932 Dirac: CLT tương đối tính, e+ . Anderson tìm ra e+

Bức xạ vật đen – Black-body radiation

Max Planck
(1858-1947)

 Bài tốn khơng thể giải trong
nửa cuối thế kỷ XIX.
 Vật nóng phát bức xạ nhiệt
 Phổ bức xạ liên tục từ hồng
ngoại đến tử ngoại
 Planck: Bức xạ trao đổi năng
lượng với môi trường một
cách rời rạc  khai sinh
lượng tử  giải thích BXVĐ

• Vài nét về lịch sử CLT

Chương 1
Nguồn gốc
và sự cần thiết
của cơ lượng tử

1.2.Tính chất hạt của
(sóng) ánh sáng
• Tính chất sóng của hạt
• Tính chất sóng của hạt và tính
chất hạt của ánh sáng
• Sóng vật chất de Broglie

Bức xạ vật đen – Black-body radiation
Vật đen  Vật nóng: phát bức xạ điện từ và được
gọi là bức xạ nhiệt.
(tuyệt đối)
 Bức xạ đi đến 1 vật: một phần bị hấp thụ,
một phần bị phản xạ.
 Vật đen lý tưởng: hấp thụ tồn bộ bức xạ
đến khơng có phản xạ từ nó  đen
 Một vật trong cân bằng nhiệt phát xạ ra
lượng năng lượng như nó đã hấp thụ
  Vật đen: hấp thụ hoàn toàn và cũng
bức xạ hoàn toàn!


Bức xạ vật đen – Black-body radiation

Bức xạ vật đen – Black-body radiation

Tạo vật đen (tuyệt đối)
Bể nhiệt: T
cavity

cavity

Mật độ
năng lượng

cavity
Lỗ hấp thụ như vật đen
 khơng phản xạ

Nung nóng hộp 
lỗ phát bức xạ

Bức xạ vật đen – Black-body radiation

( , T)
Bể nhiệt: T

Bể nhiệt: T

Phổ
kế

( , T)

Xác định bức xạ vật đen
Wien

Bể nhiệt: T

Phổ kế
năng lượng
bức xạ

 Sử dụng định luật StefanBoltzmann
  mật độ năng lượng trên
đơn vị tần số của bức xạ vật
đen được phát ra
/

, =
 Chỉ hợp cho tần số cao


Xác định bức xạ vật đen
Rayleigh
Jean
Bể nhiệt: T

 Bức xạ trong hộp: những sóng đứng,
như các dao động tử điều hòa.
 Nhiệt động lực cổ điển: các dao động
tử trong hộp có cùng năng lượng
trung bình
  mật độ năng lượng
, =
 Chỉ hợp cho tần số thấp 
phân kỳ miền tử ngoại 
“ultraviolet catastrophe”

Xác định bức xạ vật đen
Planck
Bể nhiệt: T

 Năng lượng trao đổi giữa bức xạ điện
từ với vật chất (quanh nó) theo từng
lượng rời rạc (bị lượng tử hóa):
=
 

,

=

/

 Trùng khớp tuyệt vời với
thực nghiệm!

Hằng số
Vận tốc ánh sáng: = 3 × 10 m s
Hằng số Boltzmann: = 1.3807 × 10
Hằng số Planck: ℎ = 6.626 × 10
Js

JK


Bài tập
,

Gợi ý:

=

/

−

Mật độ năng lượng Planck theo bước sóng:
,
(Chú ý:

=

/

Câu a: Đạo hàm của
, phải
thế nào tại cực đại? Từ đây dẫn ra
được phương trình có dạng phải
giải 1 cách gần đúng.
2898.9 × 10 m K
=

−

= / )

Bức xạ vật đen – Black-body radiation

a) CMR cực đại của mật độ năng
lượng Planck xảy ra tại bước

sóng có dạng
= trong
đó là nhiệt độ và là hằng số
cần được tính (ước lượng).
b) Từ kết quả câu a) hãy ước tính
nhiệt độ bề mặt của 1 ngơi sao
nếu bức xạ của nó có cường độ
cực đại ở bước sóng 446nm.

Hiệu ứng quang điện - photoelectric effect
Hertz (1887): electron phát ra từ kim loại
được chiếu xạ bằng ánh sáng

Bể nhiệt: T
Phổ
kế

Ánh sáng tới có
năng lượng

Electron bứt ra
với động năng
=
−

 Tấm kim loại có cơng thốt W
 W: năng lượng min. cần để bứt e ra khỏi kim loại
 Tần số ngưỡng của kim loại: = /

Hiệu ứng quang điện - photoelectric effect

Hiệu ứng quang điện - photoelectric effect

V

V
μ
A

μ
A

Hiệu ứng quang điện - photoelectric effect
≤

Hiệu ứng quang điện - photoelectric effect
>


Hiệu ứng quang điện - photoelectric effect

Hiệu ứng quang điện - photoelectric effect

 Tần số ánh sáng < tần số ngưỡng
của kim loại, ν < : khơng có
electron dù cường độ tăng.
 ν > : electron bứt ra dù cường
độ ánh sáng yếu
 ν > : tăng  số e tăng. Số e

không phụ thuộc ν
 không phụ thuộc . tăng
tuyến tính theo ν.

,

Giải thích hiệu ứng quang điện

Giải thích hiệu ứng quang điện

 Vật lý cổ điển
(classical physics)
hoàn toàn khơng thể
giải thích những hiện
tượng này!
 Tại sao? [Bài tập]

 Einstein (1905)
 Dựa trên ý tưởng của
Planck
 Ánh sáng là những
photons
 Mỗi photon có năng lượng
Albert Einstein
(1879-1955)


Giải thích hiệu ứng quang điện
 Chiếu ánh sáng  photon
truyền

cho electron e:
e hấp thụ photon
(dù yếu hay mạnh)
 Nếu
>
⟺ > :
photon bứt e khỏi kim loại
với động năng: =
−
 ⟹ = ( − )

Hiệu ứng Compton (1923)

Arthur Compton
(1892-1962)

 Tán xạ tia X và electron tự do
 Bước sóng ′ của tia tán xạ >
bước sóng của tia tới
 ∆ = − không phụ thuộc
cường độ tia X, nhưng phụ
thuộc góc tán xạ.
 Chỉ có thể giải thích khi tia X là
những photon.
  Tính hạt của bức xạ tia X

Hiệu ứng Compton (1923)
Tia X tới
~ ×

+
′

Hiệu ứng Compton (1923)
Tia X tới
~ ×

(quasi-free
electron)

+
′


Giải thích hiệu ứng Compton
 Vật lý cổ điển  tia tới và tia
tán xạ có tần số như nhau!
 Tại sao? [Bài tập]
 Mời các bạn suy nghĩ, tự tìm lời
giải thích. Tuần tới sẽ mời một
số bạn cho ý kiến và sẽ trao đổi
với các bạn về lý do tia tới và
tia tán xạ có tần số như nhau.

+

,

=ℎ
=ℎ /

0

Sau va chạm
,
′,

Bảo toàn động lượng 
Bảo toàn năng lượng 
−

=

=
+

− ′⟹

= ℎ , ′ = ℎ /c
)

= ′+

1 − cos

= 2 sin ( /2)

=
=0
′,

=ℎ ′
=ℎ / ′

Sau va chạm

Giải thích hiệu ứng Compton

,

=( −

,

Bức xạ tới electron tĩnh

Trước va chạm

Trước va chạm
, =ℎ
0 =
=0
p=h /

⟹ ∆ =

Hiệu ứng Compton

+

 Vật lý lượng tử: tia tới là
những photon
 Photon ( , = ℎ ) va chạm
với e  e bật ra và photon bị
tán xạ
 Sai biệt của bước sóng tán xạ
và bước tới:
∆ = − = 2 sin ( /2)

= 2.426 × 10 m


Tạo cặp – Pair production

+

 Dirac (1928): Cơ lượng tử
tương đối tính
 Tiên đốn phản hạt positron
 Anderson (1932): tìm ra

→
+

Sóng vật chất (theory)

Louis de Broglie
1923

 Vector sóng

Chương 1
Nguồn gốc
và sự cần thiết
của cơ lượng tử

• Vài nét về lịch sử CLT
• Tính chất hạt của (sóng) ánh
sáng
1.3. Tính chất sóng của hạt

Thực nghiệm cho thấy tính sóng của hạt

 Lưỡng tính sóng-hạt: Hạt vật
chất thể hiện tính sóng và hạt
 Mỗi hạt vật chất với động
lượng thể hiện như sóng
(sóng vật chất) với:
 bước sóng

Cơ học lượng tử

=
= , ℏ = ℎ/2
ℏ


Sóng vật chất – Experiment 1 (1927)

Davisson & Germer

/>
Sóng vật chất – Experiment 2 (1988)

Zeilinger et al.
(Neutrons)
Reviews of Modern Physics 60, No. 4, 1988

Sóng vật chất – Experiment 3 (1989)

Sóng vật chất – experiment 4 (1991)

Tonomura et al.

Carnal & Mlynek

Am. J. Phys., 57(2), 1989

Phys. Rev. Lett. 66, 21, 2689, 1989 | H. Haken chương 6.


Sóng vật chất – experiment 4 (1991)

Sóng vật chất – experiment 4 (1991)

Sóng vật chất – Experiment 5 (2001)

Bài tập
• Hãy tự tìm hiểu thêm về tầm quan trọng của cơ học lượng tử và
hãy viết 1 lá thư ngắn [ít nhất khoảng 400 chữ] để trình bày thật

thuyết phục về vai trị và lợi ích của việc học cơ học lượng tử!

Freimund et al.
Hiệu ứng Kapitza-Dirac
Nature 413, 142, 2001

Electrons nhiễu xạ
bởi sóng đứng

Chú ý: Xin hãy viết bằng ngơn từ và văn phong của chính bạn [=
tập“đứng trên đơi chân của chính mình”!].
• Hãy tính bước sóng de Broglie trong 2 trường hợp sau:
i) một proton có động năng 70MeV
ii) đầu đạn 100g chuyển động với vận tốc 900m/s
Cho nhận xét!


Bài tập chương 1
Bài tập 1.3 Quan tâm đến phân bố Gauss:
2

ρ(x) = Ae−λ(x−a) ,

(1)

trong đó A, a và λ là những hằng số dương.
(a) Sử dụng phương trình 1.16 để xác định A.
(b) Tìm x , x2 và σ.
(c) Phác họa đồ thị của ρ(x).
Bài tập 1.4 Tại thời điểm t = 0, một hạt được mô tả bởi hàm sóng

 x

A
nếu 0 ≤ x ≤ a,


 a
Ψ(x) = A (b − x) ,
nếu a ≤ x ≤ b,

b−a


0,
nơi khác,

(2)

trong đó A, a và b là các hằng số.
(a) Chuẩn hóa Ψ (tức là tìm A theo a và b).
(b) Phác họa đồ thị của Ψ(x, 0) theo x.
(c) Tại vị trí nào hạt có thể dễ dàng được tìm thấy nhất vào thời điểm t = 0.
(d) Xác suất để tìm thấy hạt bên trái a (tức là xác suất để tìm thấy hạt trong khoảng 0 ≤ x ≤ a).
Kiểm tra kết quả với trường hợp b = a và b = 2a.
(e) Tính giá trị trung bình của x.
1.5 Quan tâm hàm sóng
Ψ(x, t) = Ae−λ|x| e−iωt ,

(3)

trong đó A, λ và ω là những hằng số dương.
(a) Chuẩn hóa Ψ.
(b) Xác định giá trị trung bình của x và x2 .
(c) Tìm độ lệch chuẩn của x. Phác họa đồ thị của |Ψ|2 theo x, và đánh dấu các điểm ( x + σ) và
( x − σ), để chỉ ra việc σ diễn tả "độ trải ra" trong x. Tính xác suất hạt có thể được tìm thấy
ngồi khoảng này.
Bài tập 1.6 Tại sao khơng thể thực hiện tích phân từng phần trực tiếp lên tích phân ở giữa
trong phương trình 1.29?
Bài tập 1.7 Chứng minh:
dp
=
dt

−

∂V
∂x

.

(4)

Phương trình trên là một trong những ví dụ của định lý Ehrenfest, định lý này phát biểu rằng
các giá trị trung bình của các đại lượng vật lý thỏa các định luật của vật lý cổ điển.

1


Bài tập 1.8 Nếu cộng thêm một hằng số V0 vào thế năng thì theo cơ học cổ điển, điều này
khơng thay đổi bất cứ tính chất gì của hạt, hay của hệ. Nhưng trong cơ học lượng tử thì sao? Hãy

chứng minh rằng, theo CHLT hàm sóng sẽ nhân thêm một thừa số pha: exp(−iV0 t/¯h). Suwj thay
đổi này có ảnh hưởng gì đến giá trị trung bình của các biến động học (tức các đại lượng vật lý).

2


Bài tập CLT – chương 1
1. Bài tập “nhỏ” 1
Chứng minh rằng
+∞

𝑑
∫ |𝜓(𝑥, 𝑡)|2 𝑑𝑥 = 0
𝑑𝑡
−∞

Chú ý:
-

Mục 1.4, trang 13 của sách Griffiths đã chứng minh điều này. Các bạn cần trình bày lại
thật chi tiết hơn các tính tốn.
Việc chứng minh này nhằm chỉ ra rằng tính chuẩn hóa của hàm sóng thì khơng thay đổi
theo thời gian. Nếu hàm sóng chuẩn hóa ở 𝑡 = 0 thì cũng sẽ chuẩn hóa ở 𝑡 > 0
Khi chứng minh cần sử dụng điều kiện: hàm sóng ln tiến về không ở vô cùng, tức là
𝝍(𝒙, 𝒕) → 𝟎 khi 𝒙 → ±∞. Điều kiện này được áp dụng thường xuyên trong CLT.

2. Bài tập “nhỏ” 2
Hãy dẫn ra
+∞

𝑑〈𝑥〉
𝜕
〈𝑝〉 = 𝑚
= −𝑖ℏ ∫ 𝜓 ∗ 𝜓 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝜕𝑥
−∞

+∞

= ∫ 𝜓 ∗ (−𝑖ℏ
−∞

𝜕
) 𝜓 𝑑𝑥
𝜕𝑥

(1)

(Mục 1.5 sách Griffiths cũng đã làm việc này. Các bạn chỉ trình bày lại cho chi tiết hơn (cần viết
rõ các bước tích phân từng phần...) )
Nhắc lại phần đã giảng:
Dựa theo cách thức tính giá trị trung bình của vị trí,
+∞

+∞

〈𝑥〉 = ∫ 𝑥 𝜓 ∗ 𝜓 𝑑𝑥 = ∫ 𝜓 ∗ 𝑥 𝜓 𝑑𝑥
−∞

−∞

cũng có thể viết lại cơng thức tính giá trị trung bình của động lượng như sau
+∞

〈𝑝〉 = ∫ 𝜓 ∗ 𝑝 𝜓 𝑑𝑥
−∞

So sánh với hệ thức đã dẫn ra ở (1) thì
𝑝 = −𝑖ℏ

𝜕
ℏ 𝜕
=
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥

với 𝑖 là số phức. Ở đây 𝑥 biểu diễn vị trí và 𝑝 biểu diễn động lượng. Chúng là toán tử. 𝑥 (một số
thực) là tốn tử nhân bình thường ; 𝑝 là toán tử thực hiện đạo hàm riêng theo 𝑥.


Mở rộng ra cho một đại lượng vật lý 𝑄(𝑥, 𝑝). Trong CLT, trung bình của đại lượng 𝑄 này được
tính tương tự trên [dùng 𝜓 ∗ và 𝜓 để “kẹp bánh mì sandwich” 𝑄(𝑥, 𝑝)], với chú ý rằng 𝑥 và 𝑝
trong 𝑄(𝑥, 𝑝) là những toán tử :
+∞

+∞

〈𝑄(𝑥, 𝑝)〉 = ∫ 𝜓 ∗ 𝑄(𝑥, 𝑝) 𝜓 𝑑𝑥 = ∫ 𝜓 ∗ 𝑄 (𝑥,
−∞

−∞

ℏ 𝜕
) 𝜓 𝑑𝑥
𝑖 𝜕𝑥

3. Bài tập “nhỏ” 3
Tính giá trị trung bình của động năng 𝑇 = 𝑝2 /(2𝑚)
4. Bài tập “nhỏ” 4
Xem ví dụ 1.1 [trang 10] và trình bày lại thật chi tiết.
5. Tiếp theo là các bài tập trong sách của Griffiths
BT: 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8.
Nếu bạn không hiểu bài tập nói gì thì xin gửi mail cho tơi biết. Hoặc nếu có thắc mắc/khó khăn
gì thì đừng ngại hỏi bạn bè hoặc/và hỏi tơi tại lớp.
Như đã nói, xin bạn cố gắng giải thích chi tiết/rõ ràng các bài tập theo ngơn ngữ riêng của mình.
Hãy nỗ lực và kiên trì. Rồi bạn sẽ gặt hái những hoa trái xứng với công sức của bạn.


2017-03-30

Harmonic Oscillator

Dao động tử điều hòa
Harmonic oscillator

K

m

E

2017-03-30

Cơ cổ điển
=−

=

= sin
≡

Cơ cổ điển

+ cos
1
=
2

=

1
2

1
=
2

=

1
2

Điểm quay đầu
cổ điển.
Xác định ?

• Khơng có dao động điều
hịa hồn hảo
•
~ thế parabol
trong lân cận cực tiểu

Năng lượng toàn phần (cơ cổ điển)

• Khai triển Taylor
quanh cực tiểu:
0
Const.
=
+
1
≅
( −
2

Cơ lượng tử

=

−
1
) =
2

+

( −
1
=
2

) + ...

=

+

+

=

=

2

2

+

1
2

+

1
2


2017-03-30

Cơ lượng tử
=

+

=

Phương trình Schrưdinger cho DĐTĐH
2

+

̂=−ℏ

1
2

=−

ℏ
2

PT Schrưdinger khơng phụ thuộc thời gian:
−

ℏ
2

−

ℏ
2

+

1
2
+

+

1
2

=

=
1
2

=

[2.44]

Cách giải đại số
•
•
•
•

• Cách giải đại số
• Cách giải tích

Đổi biến: , →
,
(tốn tử bậc thang)
Viết Hamiltonian
, theo ( , )
PT Schroedinger
=
Xác định hàm sóng và năng lượng

Biến đổi tọa độ suy rộng  toán tử bậc thang
=

PT Schrưdinger KPTTG
1
+
=

2
1
=
+
2
SỐ:

+

=

+

+

=

2

+

1
2
[2.45]
[2.46]

−

+

=

+

TTỬ:
+
≠
+
− +
=
+
Tốn tử thường khơng giao hốn →
−
Ví dụ:
khác
!

+ (
+ (
≠0

−

)
−

)


2017-03-30

Giải PT Sch. – cách đại số [toán tử bậc thang]
=

1

2
+

+
−

Giải PTS – cách đại số [toán tử bậc thang]
±

+

=

+

+ (

−

)

=

1

∓

2ℏ

1
2ℏ
1
=
2ℏ
=

±

=
=

1
2ℏ
1
2ℏ

∓

+

−

+

[2.47]
=

1
2ℏ

+

+

+
[

+

−

+

+

−

(

−

)]

+

Giao hoán tử
Giao hoán tử của hai toán tử A và B là
[2.48]
, ≡
−
Giao hoán tử bằng 0  hai tốn tử này được gọi là
giao hốn với nhau (có thể đổi chỗ cho nhau):
, =
−
=0 →
=
1
=
[ +
−
( − )]
2ℏ
[ , ]
1
[2.49]
=
[ +
]−
[ , ]
2ℏ
2ℏ

Xác định giao hoán tử
,

=?

Tác động giao hoán tử lên 1 hàm thử:
,
=

( )=(
−

−

,

) ( )=

( )−

=

→

( )
( )
,

=