De thi HSG 9 1516

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG. Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức. P. ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LẦN 1 NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 120 phút 15 x  11 3 x  2 2 x  3   x  2 x  3 1 x 3 x. a. Rút gọn P b. Tìm x để P là số nguyên. Bài 2. (2 điểm) a. Giải phương trình x  2  2 x  5  x  2  3 2 x  5 2 2 b. Giải phương trình nghiệm nguyên y3 – x3 = 2x + 1 Bài 3. (2 điểm) a. Tìm các số nguyên tố p sao cho 13p + 1 bằng lập phương của số tự nhiên. b. Cho n số tự nhiên a1, a2, a3, ... , an có tổng bằng 201510. Tìm số dư khi chia A a15  a25  a35  ...  an5 cho 15.. Bài 4. (3 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Lấy C trên nửa đường tròn O sao cho AC > BC. Từ C kẻ CH vuông góc với AB. Tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O) cắt BC tại P, tiếp tuyến tại của nửa đường tròn (O) cắt AP tại M. Biết MO cắt AC tại I, MB cắt CH tại K. a. Chứng minh: CH2 + AH2 = 2AH.CO b. Chứng minh: IK // AB c. Cho MO = AB. Tính diện tích tam giác MIK theo R. Bài 5. (1 điểm) Cho biểu thức. P. (14  4)(24  4)(34  4)...(n 4  4) 2 với n là số nguyên. dương. Chứng minh rằng P là số vô tỉ.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! ====== HẾT =====.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG. Bài 1. Nội dung cần đạt a. ĐK: x  0; x 1. P. 2. HDC KS CHẤT LƯỢNG HSG LẦN 1 NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN 9.  5 x 2 x 3. Rút gọn được b. Chứng minh được -5 < P < 2/3 Tìm được x = 196; 121/4; 64/9; 25/16; 4/25 a. ĐK x >= 5/2 Đưa được về dạng. 2 x  5  1  2 x  5  3 4. 5  x 7 Tìm được 2. Điểm 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25. b.. 3. 4. 1 7 Nhận xét: 3x2 – x + 2 = (x - 2 )2 + 2x2 + 4 > 0 và 6x2 + 10x + 7 = 5 (x + 1)2 + x2 + 2 > 0  (x3+2x+1) - (3x2 -x+2) < x3+2x+1<(x3 + 2x + 1)+(6x2 +10x+7)  (x - 1)3 < x3 + 2x + 1 < (x + 2)3  (x - 1)3 < y3 < (x + 2)3  x3 = y3 hoặc y3 = (x + 1)3 1 + x3 = y3  x3 = x3 + 2x + 1  x = - 2 loại  x 0  1  x  lo¹i 3 + y3 = (x + 1)3  (x + 1)3 = x3 + 2x + 1   Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: x =0; y = 1. a. Ta có 13p + 1 = n3 với n là số tự nhiên Suy ra 13p = (n-1)(n2+n+1) - TH1: n – 1 = 13 hay n = 14 thì p = 211 là số nguyên tố - TH2: n2+n+1=13 hay n = 3 thì p = 2 là số nguyên tố Vậy p = 2; 211 b. - Chứng minh được k5 – k = k(k-1)(k+1)(k2+1) chia hết cho 3 và 5 - Tìm được số dư là 10 a. Chứng minh được tam giác ABC vuông tại C Ta có CH2 + AH2 = AH.BH+AH2 = AH(BH+AH) =2AH.CO. 0,25 0,25 0,25. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b. - Chứng minh được các tam giác AMC, PMC cân tại M để được M là trung điểm AP - Chứng minh K là trung điểm của CH - Chứng minh I là trung điểm của AC c. - Tính được AM - Tính được AC dựa vào AI-2 = AO-2 + AM-2 - Tính được AH dựa vào AC2 = AH.AB - Tính được IK - Tính được SMOB - Tam giác MIK đồng dạng với MOB. Từ đó tính được SMIK 5. 4. 4. 4. 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5. 4. Đặt A (1  4)(2  4)(3  4)...( n  4) Xét k4+1=…=[(k-1)2+1][(k+1)2+1] Suy ra A=2.(22+1)2.(32+1)2…[(n-1)2+1]2.(n2+1)[(n+1)2+1] Chứng minh được (n2+1)[(n+1)2+1] không là số chính phương.. 0,25 0,25 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>