BÀI GIẢNG TOÁN CAO cấp a3

ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

TỐN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC
PHÂN PHỐ
PHỐI CHƯƠNG TRÌNH
Số tiế
tiết: 45
----Chương 1. Hàm số nhiều biến số
Chương 2. Tích phân bội
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt
Chương 4. Phương trình vi phân
Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Tốn cao cấp A3
– ĐHCN TP. HCM.
2. Đỗ Công Khanh – Giải tích hàm nhiều biến
(tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP. HCM.

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Các định nghĩa
a) Miền phẳng
• Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các
đường cong kín được gọi là miền phẳng. Tập hợp các
đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D , ký
hiệu ∂D hay Γ . Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là

miền phẳng với biên ở vô cùng.

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

• Khoảng cách giữa 2 điểm M1 (x1, y1 ), M 2 (x 2 , y2 ) là:

(x1 − x 2 )

2

+ (y1 − y2 ) .
2

• Hình trịn S (M , ε) mở có tâm

M (x , y ), bán kính ε > 0 được
gọi là một lân cận của điểm M .
Nghĩa là:

ε
•

M

M 0 (x 0 , y 0 ) ∈ S (M , ε) ⇔ (x − x 0 )2 + (y − y0 )2 < ε .

Toán cao cấp A3 Đại học

• Miền phẳng D được gọi là miền liên thơng nếu có 1
đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D .
Miền liên thơng có biên là 1 đường cong kín được gọi
là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong
kín rời nhau là miền đa liên (hình b).

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

b) Lân cận của một điểm

)

dvntailieu.wordpress.com

• Miền phẳng D kể cả biên ∂D được gọi là miền đóng,
miền phẳng D khơng kể biên ∂D là miền mở.

…………………………………………………………..

(

Biên soạ
soạn: ThS.
ThS. Đồ
Đồn Vương Nguyên
Download Slide bài giả
giảng Toá
Toán A3 tại

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

§1. Khái niệm cơ bản
§2. Đạo hàm riêng – Vi phân
§3. Khai triển Taylor của hàm hai biến số
§4. Cực trị của hàm hai biến số

d M 1 , M 2 = M 1M 2 =

3. Nguyễn Đình Trí – Phép tính Giải tích
hàm nhiều biến – NXB Giáo dục.
4. Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2)
– NXB Giáo dục.
5. Đặng Văn Vinh – Slide bài giảng Toán A 3
– ĐH Bách khoa Tp.HCM.
6. Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (tập 1, 2)
– NXB ĐHQG Hà Nội.
7. Nguyễn Thủy Thanh – Bài tập Giải tích (tập 2)
– NXB Giáo dục.
8. James Stewart – Calculus concepts and contexts.

c) Hàm số hai biến số
• Trong mặt phẳng Oxy cho tập D ⊂ ℝ2 .
Tương ứng f : D → ℝ cho tương ứng mỗi (x , y ) ∈ D
với một giá trị z = f (x , y ) ∈ ℝ duy nhất được gọi là
hàm số hai biến số x , y .
• Tập D ⊂ ℝ2 được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm

số f (x , y ), ký hiệu là Df . Miền giá trị của hàm f (x , y ) là:

{

}

G = z = f (x , y ) ∈ ℝ (x , y ) ∈ Df .
Chú ý
• Trong trường hợp xét hàm số f (x , y ) mà khơng nói gì
thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm
M (x , y ) ∈ ℝ2 sao cho f (x , y ) có nghĩa.

1


ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự.

1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số
a) Điểm tụ
• Trong mpOxy cho dãy điểm M n (x n , yn ), n = 1, 2, ...

VD 1.
• Hàm số f (x , y ) = 3x 2y − cos xy có Df = ℝ2 .

Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được gọi là điểm tụ của dãy trên nếu

• Hàm số z = 4 − x 2 − y 2 có MXĐ là hình trịn đóng
tâm O(0; 0), bán kính R = 2 .
• Hàm số z = ln(4 − x 2 − y 2 ) có MXĐ là hình trịn mở
tâm O(0; 0), bán kính R = 2 .
• Hàm số z = f (x , y ) = ln(2x + y − 3) có MXĐ là nửa
mp mở có biên d : 2x + y − 3 = 0 , không chứa O .

mọi lân cận của M 0 đều chứa vô số phần tử của dãy.
• Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được gọi là điểm tụ của tập D ⊂ ℝ 2
nếu mọi lân cận của điểm M 0 đều chứa vô số điểm
thuộc D .

b) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội)
• Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được gọi là giới hạn của dãy điểm

M n (x n , yn ), n = 1, 2,... nếu M 0 (x 0 , y 0 ) là điểm tụ duy
nhất của dãy.

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

n →∞

Ký hiệu là: lim M n = M 0 hay M n  
→ M0.
n →∞

Giải. 0 ≤ f (x , y ) =

• Hàm số f (x, y ) có giới hạn là L ∈ ℝ ∪ {±∞} khi Mn
Vậy

dần đến M 0 nếu lim f (xn , yn ) = L . Ký hiệu:
n →∞

lim f (x , y ) =

x →x 0
y →y0

VD 2.

lim

(x ,y )→(x 0 ,y0 )

M →M 0

2x 2y − 3x − 1

lim

lim

(x ,y )→(0,0)

f (x , y ), với f (x , y ) =

xy
x 2 + y2

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

lim

(x ,y )→(0,0)

sin(x 2 + y 2 )
x 2 + y2

VD 5. Cho hàm số f (x , y ) =
Chứng tỏ rằng

= lim

r →0

sin r 2
r2

= 1.

2xy

.
x + y2
lim f (x , y ) không tồn tại.
2

(x ,y )→(0,0)

(x ,y )→(0,0)

f (x , y ) = lim

r →0

r 2 sin 2ϕ
r2

= sin 2ϕ.

Do giới hạn phụ thuộc vào ϕ nên không duy nhất.
Vậy lim f (x , y ) không tồn tại.

(x ,y )→(0,0)

Toán cao cấp A3 Đại học

≤

y2

x →0
y →0

= x   → 0 .

f (x , y ) = 0 .

Nhận xét
• Nếu đặt x = x 0 + r cos ϕ, y = y 0 + r sin ϕ thì:

VD 4. Tìm

.

lim

sin(x 2 + y 2 )

.
x 2 + y2
Giải. Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có:
(x ,y )→(0,0)

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Giải. Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có:

lim

lim

(x ,y )→(0,0)

x2 + y2

xy

(x , y ) → (x 0 , y0 ) ⇔ r → 0 .

3
=− .
2

xy 2 + 3

(x , y )→(1,−1)

VD 3. Tìm

f (x , y ) = lim f (M ) = L.

xy

c) Giới hạn lặp
• Giới hạn theo từng biến khi M n dần đến M 0 của hàm số
f (x , y ) được gọi là giới hạn lặp.
Khi x → x 0 trước, y → y 0 sau thì ta viết:
lim lim f (x , y ).
y →y 0 x →x 0

Khi y → y 0 trước, x → x 0 sau thì ta viết:
lim lim f (x , y ).
x →x 0 y →y 0

VD 6. Xét hàm số f (x , y ) =

sin x 2 − sin y 2

lim lim f (x , y ) = lim

y →0 x → 0

y →0

x 2 + y2
− sin y 2

y2

. Ta có:

= −1 ,

2


ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

lim lim f (x , y ) = lim

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

sin x 2

Nhận xét
• Nếu lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ) thì khơng tồn

= 1.
x2
Vậy lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ).
x →0 y → 0

x →0

y →0 x →0

y →y0 x →x 0

tại

x →0 y →0

• Định lý
Trong ℝ2 cho hình vng H có 1 đỉnh là M 0 (x 0 , y 0 )
và hàm số f (x , y ) xác định trong H .
Nếu tồn tại

lim

(x ,y )→(x 0 ,y 0 )

f (x , y ) = L ∈ ℝ và mỗi y ∈ Y

(x ,y )→(x 0 ,y0 )

x →x 0 y →y 0

f (x , y ).

• Sự tồn tại giới hạn lặp không kéo theo sự tồn tại giới
hạn bội và ngược lại.

1.3. Hàm số liên tục
• Hàm số f (x , y ) liên tục tại M 0 (x 0 , y0 ) ∈ D ⊂ ℝ2 nếu
lim

tồn tại ϕ(y ) = lim f (x , y ) ∈ ℝ thì:

(x ,y )→(x 0 ,y0 )

x →x 0

f (x , y ) = f (x 0 , y 0 ).

• Hàm số f (x , y ) liên tục trên tập D ⊂ ℝ2 nếu nó liên tục

lim lim f (x , y ) = lim ϕ(y ) = L .

y →y 0 x →x 0

lim

y →y 0

tại mọi điểm thuộc D .

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế

biến số

Chú ý

§2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN

Hàm số f (x , y ) liên tục trên miền đóng giới nội D thì nó
đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D .

VD 7. Xét sự liên tục của f (x , y ) =

sin x 2 − sin y 2

.
x 2 + y2
Giải. Với (x , y ) ≠ (0, 0) thì hàm số f (x , y ) xác định nên
liên tục.
Tại (0, 0) thì

lim

(x ,y )→(0,0)

f (x , y ) không tồn tại (VD 6).

Vậy hàm số f (x , y ) liên tục trên ℝ2 \ {(0, 0)}.
……………………………………………………………

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế

biến số

fy/ (x 0 , y0 ) = lim

y →y 0

y − y0

có đạo hàm tại x 0 thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng
theo biến x của hàm số f (x , y ) tại (x 0 , y 0 ).
∂f
(x , y ).
∂x 0 0
f (x , y0 ) − f (x 0 , y0 )
/
.
Vậy fx (x 0 , y0 ) = lim
x →x 0
x − x0

Ký hiệu: fx (x 0 , y 0 ) hay fx/ (x 0 , y 0 ) hay

VD 2. Tính các đạo hàm riêng của z = ln

x2 + 1
x 2 + y2 + 1

.

Chú ý

∂f
df
=
.
∂x
dx
• Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự.

• Nếu f (x ) là hàm số một biến x thì fx/ =

VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:
f (x , y ) = x 4 − 3x 3y 2 + 2y 3 − 3xy tại (−1; 2).

Toán cao cấp A3 Đại học

chứa điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Cố định y0 , nếu hàm số f (x , y 0 )

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

• Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại (x 0 , y 0 ) là:
f (x 0 , y ) − f (x 0 , y0 )

2.1. Đạo hàm riêng
a) Đạo hàm riêng cấp 1
• Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền mở D ⊂ ℝ 2

VD 3. Tính các đạo hàm riêng của z = cos

.

x
tại (π; 4).
y
2

VD 4. Tính các đạo hàm riêng của f (x , y, z ) = e x y sin z .
b) Đạo hàm riêng cấp cao
• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số fx/ (x , y ), fy/ (x , y )
được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f (x , y ).

3


ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Ký hiệu:

VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:
f (x , y ) = x 3ey + x 2y 3 − y 4 tại (−1; 1).

∂  ∂f  ∂2 f
,
 =
∂x  ∂x  ∂x 2
∂  ∂f  ∂2 f
=
,
 =
∂y  ∂y  ∂y 2

f //
= fxx = ( fx ) =
2
x

f

//

y2

x

( )y

= fyy = fy

fxy// = fxy = ( fx )

y

( )x

fyx// = fyx = fy

VD 6. Cho hàm số f (x , y ) = x 5 + y 4 − x 4y 5 .
Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm f (5)
(1; −1) là:
3 2
x y

∂  ∂f 
∂2 f
=
=
,


∂y  ∂x  ∂y ∂x
∂  ∂f 
∂2 f
=
.
  =
∂x  ∂ y  ∂x ∂y

A. (−1) 2

e

;

C. (−1)m 2m e 2x −y ;

(m ≥ 2) của z = e

C. f (5)
(1; −1) = 120 ;
3 2

D. f (5)
(1; −1) = −120 .
3 2

x y

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

VD 7.

B. f (5)
(1; −1) = −480 ;
3 2

x y

• Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn
2 có định nghĩa tương tự.

Đạo hàm riêng z (mm −+2n n) 2
x
y x
n m +n 2x −y

A. f (5)
(1; −1) = 480 ;
3 2

x y

x y

• Định lý Schwarz
Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng fxy// , fyx// liên
tục trong miền mở D ⊂ ℝ 2 thì fxy// = fyx// .

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số
2x −y

là:

B. (−1)m 2m +n e 2x −y ;
D. (−1)n 2m e 2x −y .

b) Định nghĩa
• Nếu trong lân cận S (M 0 , ε) với số gia ∆x , ∆y mà số
gia ∆f tương ứng có thể viết được dưới dạng:

∆f = A.∆x + B.∆y + O (r ), r = (∆x )2 + (∆y )2 ,

2.2. Vi phân

trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm

2.2.1. Vi phân cấp 1
a) Số gia của hàm số
• Cho hàm số f (x , y ) xác định trong lân cận S (M 0 , ε)

M 0 (x 0 , y 0 ) và hàm f (x , y ), không phụ thuộc ∆x , ∆y

của điểm M 0 (x 0 , y0 ). Cho x một số gia ∆x và y một
số gia ∆y , khi đó hàm f (x , y ) có tương ứng số gia:

∆f = f (x 0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f (x 0 , y0 ).

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Nhận xét
• Xét những điểm M (x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) dịch chuyển
trên đường đi qua M 0 song song Ox . Khi đó ∆ y = 0 :
∆ f = f (x 0 + ∆ x , y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) = A.∆ x + O (∆ x )

∆f
⇒ lim
= A ⇒ A = fx/ (x 0 , y 0 ) .
∆x → 0 ∆ x
∆f
Tương tự, lim
= B ⇒ B = fy/ (x 0 , y 0 ) .
∆y → 0 ∆ y

Suy ra df (x , y ) = fx/ (x , y ).∆ x + fy/ (x , y ).∆ y .

• Xét f (x , y ) = x ⇒ df (x , y ) = ∆x ⇒ dx = ∆x .
Tương tự, dy = ∆y . Vậy:
df (x , y ) = fx/ (x , y )dx + fy/ (x , y )dy.

Tốn cao cấp A3 Đại học

thì đại lượng A.∆x + B.∆y được gọi là vi phân của
hàm số f (x , y ) tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ).
• Khi đó, f (x , y ) được gọi là khả vi tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ).
Ký hiệu là: df (x 0 , y 0 ) = A.∆x + B.∆y.

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

c) Định lý
• Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng trong lân cận
nào đó của (x 0 , y 0 ) và các đạo hàm riêng này liên tục
tại (x 0 , y 0 ) thì f (x , y ) khả vi tại (x 0 , y 0 ).

VD 8. Cho hàm f (x , y ) = x 2e x −y − y 5 . Tính df (1; −1).
VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm z = e x

2

−y

sin(xy 2 ).

2.2.2. VI PHÂN CẤP CAO
a) Vi phân cấp 2
• Giả sử f (x , y ) là hàm khả vi với x , y là các biến độc
lập. Các số gia dx = ∆x , dy = ∆y tùy ý độc lập với

x , y nên được xem là hằng số đối với x , y .

4


ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Chương 1. Hàm số nhiề

nhiều biế
biến số

• Vi phân của df (x , y ) được gọi là vi phân cấp 2 của

f (x , y ). Ký hiệu và công thức:
d f = d (df ) = fx′′2dx + 2 fxy′′dxdy + fy′′2dy .
2

2

2

Chú ý
• Nếu x , y là các biến không độc lập (biến trung gian)

b) Vi phân cấp n

(

n

) ∑C

d n f = d d n −1 f =
f

Trong đó

k =0

(n )

x ny 0
n
0

=f

(n )

xn

,

f (0n )n = f (nn ) ,
x y
0 n

y

dx dy = dx , dx dy = dy n .

x = x (ϕ, ψ ), y = y(ϕ, ψ ) thì cơng thức trên khơng cịn

n

k (n )
f
dx k dy n −k .

n x k y n −k

đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp x , y độc lập.

VD 10. Cho hàm số f (x , y ) = x 2y 3 + xy 2 − 3x 3y 5 .
Tính vi phân cấp hai df 2 (2; −1).

VD 12. Tính vi phân cấp 3 của hàm số f (x , y ) = x 3y 2 .
VD 13. Tính vi phân d 3z của hàm số z = e 2x cos 3y .

VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm f (x , y ) = ln(xy 2 ).

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

2.3. Đạo hàm của hàm số hợp
a) Hàm hợp với một biến độc lập
• Cho f (x , y ) là hàm khả vi đối với x , y và x , y là những
hàm khả vi đối với biến độc lập t . Khi đó, hàm hợp của
biến t là ω(t ) = f (x (t ), y(t )) khả vi. Ta có:
dx
dy
+ fy/
.
dt
dt
VD 14. Tính ω ′(t ) với hàm số f (x , y ) = x 2y và
ω′(t ) = fx/

x = 3t 2 − t, y = sin t .
dx
dy
Giải. ω ′(t ) = fx/ . + fy/ .
dt
dt
= 2xy(3t 2 − t )t/ + x 2 (sin t )t/ = 2xy(6t − 1) + x 2 cos t .

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

b) Hàm hợp với hai biến độc lập
• Cho f (x , y ) là hàm khả vi đối với x , y và x , y là những
hàm khả vi đối với hai biến độc lập ϕ, ψ . Khi đó, hàm
hợp của 2 biến ϕ, ψ là ω(ϕ, ψ) = f (x (ϕ, ψ), y(ϕ, ψ))
khả vi. Ta có:
ω/ϕ = fx/ .x ϕ/ + fy/ .y ϕ/ , ω/ψ = fx/ .x ψ/ + fy/ .y ψ/ .
2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến)
• Hàm z(x , y ) xác định trên Dz ⊂ ℝ2 thỏa phương trình
F (x , y, z (x , y )) = 0, ∀(x , y ) ∈ D ⊂ Dz (*) được gọi là

hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*).

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Tính trực tiếp như sau:
ω(t ) = (3t 2 − t )2 sin t

⇒ ω ′(t ) = 2(3t 2 − t )(6t − 1)sin t + (3t 2 − t )2 cos t

= 2xy(6t − 1) + x 2 cos t .
VD 15. Cho f (x, y ) = ln(x 2 + y 2 ), y = sin2 x . Tính

df
.
dx

Giải
/
/
df
= ln(x 2 + y 2 ) + ln(x 2 + y 2 ) (sin 2 x )/x

x 
y
dx
=

2x
2

x +y

2

+

2y sin 2x

2

x +y

2

=

2x + 2y sin 2x
x 2 + y2

.

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được:
Fx/ + Fz/ .z x/ = 0, Fy/ + Fz/ .zy/ = 0 .
/
Vậy z x = −

Fx/
Fz/

, zy/ = −

Fy/
Fz/

(F

/
z

)

≠0 .

VD 16. Cho hàm ẩn z (x , y ) thỏa phương trình:
xyz = cos(x + y + z ). Tính z x/, zy/ .

VD 17. Cho hàm ẩn z(x , y ) thỏa phương trình mặt cầu:
x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 . Tính zy/ .
……………………………………………………

Tốn cao cấp A3 Đại học

5


ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

§3. KHAI TRIỂN TAYLOR HÀM HAI BIẾN
3.1. Công thức Taylor
Cho hàm số f (x , y ) có đạo hàm riêng đến cấp n + 1
trong miền mở D chứa điểm M 0 (x 0 ; y 0 ).

Giả sử N (x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) ∈ D và MN ⊂ D .

Khai triển Maclaurin
Tại lân cận O(0; 0), khai triển Maclaurin f (x , y ) là:

f (x , y ) = f (0; 0) +

df (0; 0)
d n f (0; 0)
+ ... +
+ O(ρ n ).
1!
n!

Trong đó, dx = x , dy = y , ρ = x 2 + y 2 .

Đặt dx = ∆x = x − x 0 , dy = ∆y = y − y 0 .

Khai triển Taylor hàm f (x , y ) ở lân cận điểm M 0 là:

f (x , y ) = f (M 0 ) +

df (M 0 )
1!

+ ... +

d n f (M 0 )
n!

+ O(ρ n ).

Trong đó, ρ = (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 .

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số
2

3

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

4

x x
x
x
−

+
−
+ ... + O(x n ).
1
2
3
4
x2 x4 x6
+
−
+ ... + O(x n ).
4) cos x = 1 −
2!
4 ! 6!
x x3 x5 x7
5) sin x = −
+
−
+ ... + O(x n ).
1! 3! 5! 7 !

3) ln(1 + x ) =

Các khai triển Maclaurin hàm 1 biến cần nhớ
1
1)
= 1 + x + x 2 + ... + x n + O(x n ).
1−x
x
x2

xn
+ ... +
+ O(x n ) .
2) e x = 1 + +
1! 2!
n!

3.2. Các ví dụ
VD 1. Khai triển Taylor ở lân cận điểm (1; 1) của hàm số
f (x , y ) = y x đến số hạng bậc hai.

Giải. Ta có:
• f (1;1) = 1;

• df (x , y ) = fx′(x , y )dx + fy′(x , y )dy
= y x ln ydx + xy x −1dy ⇒ df (1;1) = dy = y − 1;

• d 2 f (x , y ) = fx′′2dx 2 + 2 fxy′′dxdy + fy′′2dy 2
= y x ln2 ydx 2 + 2y x −1(x ln y +1)dxdy + x (x − 1)y x −2dy 2

⇒ d 2 f (1;1) = 2dxdy = 2(x − 1)(y − 1).

Vậy y x = 1 + (y − 1) + (x − 1)(y − 1) + O(ρ 2 ),

ρ = (x − 1)2 + (y − 1)2 .

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

§4. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ
4.1. Định nghĩa (cực trị địa phương)

VD 2. Khai triển Maclaurin của hàm số
f (x , y ) = cos(x 2 + y 2 ) đến số hạng bậc 4.

• Hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị địa phương (gọi tắt là

2

VD 3. Khai triển Maclaurin của hàm số z = e x sin y đến
số hạng bậc 5.
2

VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số z = (1 + y )x đến
số hạng bậc 6.
x3

VD 5. Cho hàm f (x , y ) = e y +1 . Tính vi phân d 7 f (0; 0)?
……………………………………………………………

cực trị) tại M 0 (x 0 , y 0 ) nếu với mọi điểm M (x , y ) khá
gần nhưng khác M 0 thì hiệu ∆ f = f (x , y ) − f (x 0 , y 0 )
có dấu khơng đổi.
• Nếu ∆ f > 0 thì f ( x 0 , y 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu
và M 0 là điểm cực tiểu của z = f ( x , y ) .

• Nếu ∆ f < 0 thì f ( x 0 , y 0 ) được gọi là giá trị cực đại và
M 0 là điểm cực đại của z = f ( x , y ) .

2

y
3y 2
VD 1. Hàm số f (x , y ) = x 2 + y 2 − xy = x −  +

2 
4

⇒ f (x , y ) ≥ 0, ∀ (x , y ) ∈ ℝ 2 nên đạt cực tiểu tại O (0; 0) .

Toán cao cấp A3 Đại học

6


ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

4.2. ĐỊNH LÝ
a) Điều kiện cần

• Nếu hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị tại M 0 (x 0 , y0 ) và
tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì:
fx′(x 0, y 0 ) = fy′(x 0, y 0 ) = 0.
• Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) thỏa fx′(x 0, y 0 ) = fy′(x 0, y 0 ) = 0 được
gọi là điểm dừng, M 0 có thể không là điểm cực trị.
b) Điều kiện đủ
Giả sử z = f (x , y ) có điểm dừng là M 0 và có đạo hàm
riêng cấp hai tại lân cận của điểm M 0 .
(M 0 ), B = fxy// (M 0 ), C = f //
(M 0 ).
Đặt A = f //
2
2
x

y

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Khi đó:
AC − B 2 > 0
• Nếu 
⇒ f (x , y ) đạt cực tiểu tại M 0 .

A>0

AC − B 2 > 0
• Nếu 

⇒ f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 .

A<0

• Nếu AC − B 2 < 0 ⇒ f (x , y ) không đạt cực trị tại M 0 .
• Nếu AC − B 2 = 0 thì ta khơng thể kết luận.

4.3. Phân loại cực trị
• Trong khơng gian Oxyz , xét mặt cong S chứa đường
cong (C ). Chiếu S lên mpOxy ta được miền D ⊂ ℝ2
và đường cong phẳng (γ) : ϕ(x , y ) = 0 (xem hình vẽ).

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Khi đó, điểm P1 ∈ S là
điểm cao nhất (hay thấp
nhất) so với các điểm ở
trong lân cận của nó và
hình chiếu M1 ∈ D là
được gọi là điểm cực trị
tự do của hàm f (x , y )
xác định trên D (vì khơng phụ thuộc vào ( γ)). Tương
tự, điểm P2 ∈ (C ) là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so
với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu
M 2 ∈ (γ) là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc bởi
(γ) : ϕ(x , y ) = 0 của hàm f (x , y ).

Chương 1. Hàm số nhiề

nhiều biế
biến số

4.4. Cực trị tự do
Cho hàm số f (x , y ) xác định trên D .
Để tìm cực trị của f (x , y ), ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1. Tìm điểm dừng M 0 (x 0 , y 0 ) bằng cách giải hệ:

 f / (x , y ) = 0
x 0 0
 /
 f (x , y ) = 0.
 y 0 0
• Bước 2. Tính A = f //
(x 0 , y0 ), B = fxy// (x 0 , y0 ),
2
x

C = f //
(x 0 , y0 ) ⇒ ∆ = AC − B 2 .
2
y

• Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận.

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

VD 2. Tìm điểm dừng của hàm số z = xy(1 − x − y ).

VD 3. Tìm cực trị của hàm z = x 2 + y 2 + 4x − 2y + 8 .
VD 4. Tìm cực trị của hàm số z = x 3 + y 3 − 3xy − 2 .
VD 5. Tìm cực trị của z = 3x 2y + y 3 − 3x 2 − 3y 2 + 2 .
50 20
VD 6. Cho hàm số z = xy +
+
(x > 0, y > 0).
x
y
Khẳng định đúng là:
A. z đạt cực tiểu tại M (2; 5) và giá trị cực tiểu z = 39 .
B. z đạt cực tiểu tại M (5; 2) và giá trị cực tiểu z = 30 .
C. z đạt cực đại tại M (2; 5) và giá trị cực đại z = 39 .
D. z đạt cực đại tại M (5; 2) và giá trị cực đại z = 30 .

Toán cao cấp A3 Đại học

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

4.5. Cực trị có điều kiện (cực trị vướng)
• Cho hàm số f (x , y ) xác định trên lân cận của điểm
M 0 (x 0 , y 0 ) thuộc đường cong (γ) : ϕ(x , y ) = 0 .

Nếu tại điểm M 0 , hàm f (x , y ) đạt cực trị thì ta nói M 0
là điểm cực trị có điều kiện của f (x , y ) với điều kiện
ϕ(x , y ) = 0 .

• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f (x , y ) ta dùng
phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange.
a) Phương pháp khử
• Từ phương trình ϕ(x , y ) = 0 ta rút x hoặc y thế vào
f (x , y ), sau đó tìm cực trị của hàm một biến.

7


ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm z = x 2y thỏa điều kiện:
x − y + 3 = 0.
b) Phương pháp nhân tử Lagrange
Tại điểm cực trị (x , y ) của f , gọi λ = −

fx/
ϕ/x

=−

fy/
ϕy/

là

nhân tử Lagrange. Để tìm cực trị ta thực hiện các bước:
• Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange):
L(x , y, λ ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ).

• Bước 2. Giải hệ: Lx′ = 0, Ly′ = 0, Lλ′ = 0
Suy ra điểm dừng M 0 (x 0 , y0 ) ứng với λ 0 .

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số f (x , y ) = 2x + y
2

2

với điều kiện x + y = 5 .
VD 9. Tìm giá trị cực trị của hàm số z = x 2 + y 2 thỏa
điều kiện x 2 + y 2 = 3x + 4y .
VD 10. Tìm điểm cực trị của hàm z = xy thỏa điều kiện:
2

2

x
y
+
= 1.
8
2

VD 11. Tìm cực trị của hàm số f (x , y ) = 10x + 40y thỏa
điều kiện xy = 20 và x , y > 0 .

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

• Bước 3. Giá trị max f (x , y ), min f (x , y ) tương ứng là
D

D

giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong tất cả các giá trị sau:
f (M 1 ), ..., f (M m ), f (N 1 ),..., f (N n ), f (P1 ),..., f (Pp ).

VD 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
3
f (x , y ) = x 2 + y 2 trong miền D : x 2 − x + y 2 ≤ .
4
VD 13. Cho hàm số f (x , y ) = x 2 + y 2 − xy + x + y .
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f (x , y ) trong miền

D : x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3 .
VD 14. Tìm max, min của z = sin x + sin y + sin(x +y )
π
π
trong miền D : 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ .
2
2
………………………………………………………

Tốn cao cấp A3 Đại học

• Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại M 0 (x 0 , y 0 ) ứng với λ 0 :

′′ dxdy + L ′′2dy 2 .
d 2L(M 0 ) = Lx′′2dx 2 + 2Lxy
y
Các vi phân dx , dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc:
d ϕ(x , y ) = ϕ ′ (x , y )dx + ϕ ′ (x , y )dy = 0 (1)
0 0
x 0 0
y 0 0



(dx )2 + (dy )2 > 0 (2).

• Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:
Nếu d 2L(M 0 ) > 0 thì f (x , y ) đạt cực tiểu tại M 0 .
Nếu d 2L(M 0 ) < 0 thì f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 .
Nếu d 2L(M 0 ) = 0 thì M 0 khơng là điểm cực trị.

Chương 1. Hàm số nhiề
nhiều biế
biến số

4.6. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm hai biến
trên miền đóng, bị chặn (cực trị tồn cục)
Cho miền D ⊂ ℝ 2 đóng có biên ∂D : ϕ(x , y ) = 0 và

f (x , y ) là hàm liên tục trên D , khả vi trong D mở (có
thể khơng khả vi tại m điểm M 1 ,..., M m ). Giả sử biên

∂D trơn, nghĩa là hàm ϕ khả vi. Để tìm giá trị lớn nhất
– nhỏ nhất của f trên D , ta thực hiện các bước sau:
• Bước 1. Tìm các điểm cực trị tự do N 1 ,..., N n trong D
(chỉ cần tìm điểm dừng).
• Bước 2. Tìm các điểm cực trị P1 ,..., Pp trên biên ∂D

thỏa điều kiện ϕ(x , y ) = 0 (chỉ cần tìm điểm dừng).

Chương 2. Tích phân bội
§1. Tích phân bội hai (tích phân kép)
§2. Tích phân bội ba
§3. Ứng dụng của tích phân bội
…………………………..

§1. TÍCH PHÂN BỘI HAI
1.1. Bài tốn mở đầu (thể tích khối trụ cong)
• Xét hàm số z = f (x , y )
liên tục, khơng âm và

một mặt trụ có các
đường sinh song song
với Oz , đáy là miền
phẳng đóng D trong
mpOxy .

8


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 2. Tích phân bội

Chương 2. Tích phân bội

• Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần
không dẫm lên nhau ∆Si , i = 1; n . Diện tích mỗi phần
cũng ký hiệu là ∆Si . Khi đó, khối trụ cong được chia
thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi phần ∆Si ta lấy điểm
M i (xi ; yi ) tùy ý và thể tích V của khối trụ là:
n

V ≈ ∑ f (xi ; yi )∆Si .
i =1

{

}

n

I n = ∑ f (x i ; yi )∆Si được gọi là tổng tích phân của
i =1

n

∑ f (xi ; yi )∆Si .
max d →0

f (x , y ) trên D (ứng với phân hoạch ∆Si và các điểm

lim
i

chặn trong mặt phẳng Oxy .
Chia miền D một cách tùy ý thành n phần khơng dẫm
lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si , i = 1; n .

Lấy n điểm tùy ý M i (x i ; yi ) ∈ ∆Si , i = 1; n . Khi đó,

• Gọi di = max d (A, B ) A, B ∈ ∆Si là đường kính của
∆Si . Ta có: V =

1.2. Tích phân bội hai
a) Định nghĩa
• Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền D đóng và bị

i =1

chọn M i ).

Chương 2. Tích phân bội

• Nếu giới hạn I =

Chương 2. Tích phân bội

n

lim

max di →0

∑ f (xi , yi )∆Si

tồn tại hữu

i =1

f (x , y ) khả tích trên miền D ; f (x , y ) là hàm dưới dấu
tích phân; x và y là các biến tích phân.
Nhận xét
S (D ) = ∫∫ dxdy (diện tích của miền D ).

∫∫ f (x , y )dS .
D

D

• Chia miền D bởi các đường thẳng song song với Ox ,
Oy ta được ∆Si = ∆x i .∆yi hay dS = dxdy .

Vậy I =

∫∫ f (x, y)dS = ∫∫ f (x , y )dxdy.
D

Nếu f (x , y ) > 0 , liên tục trên D thì thể tích hình trụ có
các đường sinh song song với Oz , hai đáy giới hạn bởi
các mặt z = 0 , z = f (x , y ) là V = ∫∫ f (x , y )dxdy .
D

D

Chương 2. Tích phân bội

Chương 2. Tích phân bội

b) Định lý
Hàm f (x , y ) liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì
khả tích trong D .

1.3. Tính chất của tích phân bội hai
Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại.

• Tính chất 1.

∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (u, v )dudv .
D

D

• Tính chất 2
∫∫ [ f (x, y ) ± g(x, y )]dxdy =
D

∫∫
D

∫∫ f (x, y )dxdy , ta nói hàm số
D

hạn, khơng phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si và cách chọn
điểm M i thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của
hàm số f (x , y ) trên miền D .

Ký hiệu là: I =

• Nếu tồn tại tích phân

∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ;
D

D

kf (x , y )dxdy = k ∫∫ f (x , y )dxdy, k ∈ ℝ .
D

Toán cao cấp A3 Đại học

• Tính chất 3
Nếu chia miền D thành D1, D2 bởi đường cong có diện
tích bằng 0 thì:
∫∫ f (x, y )dxdy =
D

∫∫ f (x, y )dxdy + ∫∫ f (x, y )dxdy .
D1

D2

1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH
1.4.1. Đưa về tích phân lặp
a) Định lý (Fubini)
Giả sử tích phân I = ∫∫ f (x , y )dxdy tồn tại, trong đó
D

D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )},

9


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 2. Tích phân bội

Chương 2. Tích phân bội

y 2 (x )

và với mỗi x ∈ [a ; b ] cố định,

∫

Chú ý

f (x , y )dy tồn tại.

y1 (x )
b

I =

Khi đó:

y2 (x )

∫ dx ∫
a

b

f (x , y )dy.

∫∫

y1 (x )

I =

thì

c

d

d

a

c

c

f (x , y )dxdy =

D

x1 (y )

Chương 2. Tích phân bội

a

2) Nếu D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )}
và f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì:

∫∫

f (x , y )dx .

b

∫ dx ∫ f (x, y )dy=∫ dy ∫ f (x , y )dx .

y2 (x )

b

x 2 (y )

∫ dy ∫

f (x , y )dxdy =

D

Tương tự, nếu miền D là:
D = {(x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d }
d

1) Nếu miền D là hình chữ nhật,
D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = [a ; b ] × [c; d ] thì:

∫

∫

u(x )dx

v(y )dy.

y1(x )

a

Chương 2. Tích phân bội

3) Nếu D = {(x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d }
và f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì:
x 2 (y )

d

∫∫

f (x , y )dxdy =

D

∫
c

v(y )dy

∫

u(x )dx .

x1 (y )

4) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những
miền đơn giản.
VD 1. Cho I =

∫∫ f (x, y )dxdy . Xác định cận tích phân
D

lặp với miền D giới hạn bởi y = 0, y = 2x , x = a > 0 .

Chương 2. Tích phân bội

VD 3. Tính tích phân I =

∫∫
D

(2x + y )dxdy .

Trong đó, D = {y ≤ x ≤ 1 − y, − 2 ≤ y ≤ 0}.

VD 2. Tính tích phân I =

∫∫ 6xy dxdy .

2

D

Trong đó, D = [0; 2]× [−1; 1].

Chương 2. Tích phân bội

VD 5. Tính tích phân I =

∫∫ ydxdy , trong đó miền D
D

giới hạn bởi các đường y = x − 4, y 2 = 2x .

VD 4. Tính tích phân
I = ∫∫ ydxdy ,
D

trong đó miền D
giới hạn bởi các đường
y = x + 2, y = x 2 .

Toán cao cấp A3 Đại học

10


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 2. Tích phân bội

Chương 2. Tích phân bội

VD 6. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau:

b) Đổi thứ tự lấy tích phân

3

I =

∫

2y

dy ∫ f (x , y )dx .

1

b

I =

∫ dx ∫
a

x 2 (y )

d

y 2 (x )

I =

f (x , y )dy

∫

dy

c

y1 (x )

∫

f (x , y )dx

x1 (y )

Chương 2. Tích phân bội

VD 7. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau:

I =

Chương 2. Tích phân bội

VD 8. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau:

2−x 2

1

∫ dx ∫
0

0

1

f (x , y )dy .

x

I =

∫

x

0

Chương 2. Tích phân bội

x2

9

∂(x , y ) x u′
Chú ý. J =
=
∂(u, v ) yu′

hàm riêng liên tục trên miền đóng bị chặn Duv trong
mpOuv . Gọi Dxy là miền xác định bởi:

VD 9. Tính I =

Nếu hàm f (x , y ) khả tích trên Dxy và Jacobien
J =

thì

∂(x , y ) x u′
=
∂(u, v ) yu′

1

1

x2
9

Chương 2. Tích phân bội

1.4.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
a) Cơng thức đổi biến tổng quát
Giả sử x = x (u, v ), y = y(u, v ) là hai hàm số có các đạo

Dxy = {(x , y ) : x = x (u, v ), y = y(u, v ), (u, v ) ∈ Duv }.

3

dx ∫ f (x , y )dy + ∫ dx ∫ f (x , y )dy .

∫∫ (x

2

x v′
1
1
=
=
.
′
yv
∂(u, v )
ux′ uy′
∂(x , y )
vx′ vy′

− y 2 )dxdy , với miền D là hình

D

chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng:
x + y = 1, x + y = 3, x − y = 2, x − y = 5 .

x v′
≠ 0 trong Duv
yv′

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x (u, v), y(u, v )). J dudv.
Dxy

Duv

Toán cao cấp A3 Đại học

11


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 2. Tích phân bội

Chương 2. Tích phân bội

VD 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 parapol:
y = x 2 , 2y = x 2 , x = y 2 , 3x = y 2 .

b) Đổi biến trong tọa độ cực
Trong mpOxy , xét miền D .
Vẽ 2 tia OA, OB tiếp xúc với
miền D và

(Ox,OA) = α, (Ox,OB ) = β .

Khi đó:

OM ≤ OM ≤ OM
1
2

M ∈ D ⇔ 
α
 ≤ Ox , OM ≤ β.

(

Chương 2. Tích phân bội

Chương 2. Tích phân bội

x = r cos ϕ
Đặt 
với r = OM , ϕ = Ox , OM .
y = r sin ϕ

Khi đó, miền D trở thành:
Dr ϕ = {(r , ϕ) : r1(ϕ) ≤ r ≤ r2 (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β}.

(

∂(x , y ) x r′
Ta có J =
=
∂(r, ϕ) yr′

)

x ϕ′
cos ϕ −r sin ϕ
=
= r.
yϕ′
sin ϕ r cos ϕ

Vậy:

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ d ϕ ∫
α

Dxy

f (r cos ϕ, r sin ϕ).rdr .

Chương 2. Tích phân bội

I =

r (ϕ)

∫ dϕ ∫
α

1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên của D
là đường trịn hoặc elip.
2) Để tìm r1(ϕ), r2 (ϕ) ta thay x = r cos ϕ, y = r sin ϕ
vào phương trình của biên D .

3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biên
D tại 1 điểm thì:

I =

r (ϕ )

∫
0

dϕ

∫

f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr .

0

r1 (ϕ )

4) Nếu cực O nằm trên biên của D thì:
β

Chú ý

2π

r2 ( ϕ )

β

)

f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr .

0

x2

y2

∫∫ f (x , y )dxdy
D

trong tọa độ cực. Biết miền D nằm ngồi đường trịn
(C 1 ) : x 2 + y 2 = 2x và nằm trong (C 2 ) : x 2 + y 2 = 4x .

= 1 thì ta đặt:
a 2 b2
x = ra cos ϕ, y = rb sin ϕ .

Khi đó, D trở thành hình tròn:
Dr ϕ = {(r , ϕ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1} .

5) Nếu biên của D là elip

+

Chương 2. Tích phân bội

VD 11. Hãy biểu diễn tích phân I =

Ta có Jacobien J = abr và:
2π

1

I = ab ∫ d ϕ ∫ f (ra cos ϕ, rb sin ϕ)rdr .
0

0

Toán cao cấp A3 Đại học

12


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 2. Tích phân bội

VD 12. Tính tích phân I =

∫∫ e

2

2

2

Chương 2. Tích phân bội

−(x +y )

D
2

dxdy , trong đó

VD 14. Tính diện tích miền D (cắt tia Oy ) giới hạn bởi:

y = −x , y = 0 và x 2 + y 2 = 3 x 2 + y 2 − 3x .

2

D là hình trịn x + y ≤ R .

 x 2  y 2
  −   dxdy ,
4
−

∫∫
a   b 
D
D giới hạn bởi 2 elip nằm trong góc phần tư thứ nhất:
 x 2  y 2
 x 2  y 2
(E1 ) :   +   = 1, (E 2 ) :   +   = 1 .
 b 
 a 
 2a 
 2b 

VD 13. Tính tích phân I =

Chương 2. Tích phân bội

Chương 2. Tích phân bội

Cơng thức Walliss
π
2

1)

∫ sin

π
2

n

xdx =

0

∫
0

 (n − 1)!!

, n lẻ
 n !!
n
cos xdx = 
 π (n − 1)!!
, n chẵn.
 .
n !!
 2

Trong đó, n !! đọc là n Walliss, định nghĩa như sau:

 (n − 1)!!
 2.
,


n !!
n
2) ∫ sin xdx = 
 (n − 1)!!
0
,
π.
n !!


0,
π

n

∫ cos xdx = π. (n − 1)!! ,

0
n !!

π

0 !! = 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4 !! = 2.4;

2π

5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7 !! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8;...

3)

∫ sin

2π
n

xdx =

0

0

Chương 2. Tích phân bội
π
2

VD.

∫ sin
0

2

xdx =

π 1!! π
= ,
.
2 2 !! 4

π

∫
0

0

6

5

xdx =

0

xdx = π.

0

2π

∫

∫ sin

∫ cos
0

6

4 !!
8
= ,
5!! 15

5!! 15π
=
,
6!!
48

2π

sin7 xdx = 0 ,

xdx = 2π.

5!! 15π
=
.
6!!
24

………………………………………………………………………

n chẵn.


0, n lẻ


n

cos xdx =  (n − 1)!!
, n chẵn.
2π.
n !!


2.1. Bài tốn mở đầu (khối lượng vật thể)
• Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không đồng
chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại điểm P(x , y, z ) là
ρ = ρ(P ) = ρ(x , y, z ).
• Ta chia V thành n phần tùy ý khơng dẫm lên nhau, thể
tích mỗi phần là ∆Vi , i = 1, n . Trong mỗi ∆Vi ta lấy
điểm Pi (xi , yi , zi ) và ký hiệu đường kính của ∆Vi là di .
n

Khi đó, khối lượng của V xấp xỉ: m ≈ ∑ ρ(Pi ).∆Vi .
• Vậy m = lim

max di → 0

Toán cao cấp A3 Đại học

n lẻ

§2. TÍCH PHÂN BỘI BA

π

cos5 xdx = 0 ,

n chẵn.

Chương 2. Tích phân bội

π
2

∫ cos

∫

n lẻ

n

∑ ρ(P ).∆V
i =1

i

i

i =1

(nếu giới hạn hữu hạn).

13

ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 2. Tích phân bội

2.2. Định nghĩa tích phân bội ba
• Cho hàm số f (x , y, z ) xác định trong miền đo được V
trong không gian Oxyz . Chia miền V như bài tốn
n

mở đầu và lập tổng tích phân I n := ∑ f (x i , yi , z i )∆Vi .
• Nếu I =

i =1

n

lim

max di → 0

∑ f (xi , yi , zi )∆Vi

tồn tại hữu hạn,

i =1

không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn
điểm Pi thì số thực I được gọi là tích phân bội ba của
hàm số f (x , y, z ) trên V .

Ký hiệu:

I =

∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz.
V

Chương 2. Một số mặt bậc hai

Chương 2. Tích phân bội

• Nếu tồn tại tích phân, ta nói f (x , y, z ) khả tích; f (x , y, z )
là hàm dưới dấu tích phân; x , y, z là các biến tích phân.

• Hàm số f (x , y, z ) liên tục trong miền V bị chặn và đóng
thì khả tích trong V .

Nhận xét
Nếu f ≥ 0 trên V thì I =

V

lượng vật thể V , với khối lượng riêng vật chất chiếm
thể tích V là f (x , y, z ).

Đặc biệt, nếu f (x , y, z ) ≡ 1 thì I là thể tích của V .

Tích phân bội ba có các tính chất như tích phân kép.

Chương 2. Một số mặt bậc hai

MẶT CẦ
CẦU

MẶT TRỤ
TRỤ TRÒN

(x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2

Chương 2. Một số mặt bậc hai

(x − a )2 + (y − b)2 = R2

Chương 2. Một số mặt bậc hai

MẶT TRỤ
TRỤ ELIP

MẶT TRỤ
TRỤ PARABOL

x 2 y2
+
=1
a 2 b2

Toán cao cấp A3 Đại học

∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz là khối

y = ax 2

14


ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 2. Một số mặt bậc hai

Chương 2. Một số mặt bậc hai

MẶT NÓ
NÓN

MẶT PARABOLIC

z = x 2 + y2
z = x 2 + y2

Chương 2. Một số mặt bậc hai

Chương 2. Một số mặt bậc hai

MẶT PARABOLIC

MẶT ELIPSOID

x 2 y2 z 2
+ +
=1
a 2 b2 c2
z = a − x 2 − y2

Chương 2. Tích phân bội

Chương 2. Tích phân bội

2.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Đặc biệt

2.3.1. Đưa về tích phân lặp
a) Chiếu miền V lên mpOxy
Giả sử miền V có giới hạn trên bởi mặt z = z 2 (x , y ),

• Nếu Dxy = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )} thì:

giới hạn dưới bởi z = z1 (x, y ), giới hạn xung quanh bởi
mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz .
Gọi Dxy là hình chiếu của V trên mpOxy .

b

∫∫∫

V

a

d
z 2 (x ,y )

∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫ dxdy ∫
Dxy

Toán cao cấp A3 Đại học

f (x , y, z )dz .

y2 (x )

∫

z 2 (x ,y )

dy

y1 (x )

∫

f (x , y, z )dz .

z1 (x ,y )

• Nếu Dxy = {(x , y ) : x 1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d } thì:

Khi đó:

V

f (x , y, z )dxdydz = ∫ dx

x 2 (y )

∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫ dy ∫
V

c

x1 (y )

z 2 (x ,y )

dx

∫

f (x , y, z )dz .

z1 (x ,y )

z1 (x ,y )

15

ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 2. Tích phân bội

Chương 2. Tích phân bội

b) Chiếu miền V lên mpOxz
Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy )
bởi hai mặt y = y2 (x , z ) và y = y1(x , z ), giới hạn xung
quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy .
Gọi Dxz là hình chiếu của V trên mpOxz .
Khi đó:

∫∫∫

f (x , y, z )dxdydz =

V

∫∫

c) Chiếu miền V lên mpOyz
Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox )
bởi hai mặt x = x 2 (y, z ) và x = x1 (y, z ), giới hạn xung
quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Ox .

Gọi Dyz là hình chiếu của V trên mpOyz . Khi đó:

∫∫∫

y2 (x ,z )

dxdz

∫

V

f (x , y, z )dy.

∫∫

∫∫∫

f (x , y, z )dxdydz =

∫

V

VD 1. Tính tích phân I =

∫∫∫ 8xyzdxdydz với miền V
V

B. I = 24 ;

C. I = 48 ;

f (x , y, z )dx .

a

d

f

dx ∫ dy ∫ f (x , y, z )dz .
c

e

Chương 2. Tích phân bội

là hình hộp chữ nhật V = [1; 2] × [−1; 3] × [0; 2].
A. I = 12;

∫

x1 (y ,z )

Dyz

b

thì

Chương 2. Tích phân bội

x 2 (y ,z )

dydz

Đặc biệt. Nếu miền V = [a; b ]×[c; d ]× [e; f ]

y1 (x ,z )

Dxz

f (x , y, z )dxdydz =

VD 3. Tính tích phân I =

∫∫∫ ydxdydz với miền V
V

giới hạn bởi x + y + z = 1 và 3 mặt phẳng tọa độ.

D. I = 96 .

VD 2. Tính tích phân lặp
1

I =

∫

−1

1

2

x2

0

dx ∫ dy ∫ (1 + 2z )dz

và dựng miền lấy tích phân V .

Chương 2. Tích phân bội

2.3.2. CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT
Giả sử x = x (u, v, w ), y = y(u, v, w ), z = z(u, v, w ) có
đạo hàm riêng liên tục trong miền Vuvw đóng bị chặn
trong không gian Ouvw .
x u′ x v′ x w′
∂(x , y, z )
Nếu Jacobien J =
= yu′ yv′ yw′ ≠ 0 thì
∂(u, v, w )
z u′ z v′ z w′

∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz
V

=

Chương 2. Tích phân bội

VD 4. Tính tích phân I =

∫∫∫ (x + y + z )dxdydz với
V

V : −x + y + z + x − y + z + x + y − z ≤ 2 .
VD 5. Tính thể tích của khối elipsoid
x 2 y2 z 2
V :
+
+
≤ R2
2
2
2
a
b
c
(a, b, c, R > 0).

∫∫∫ f (x (u, v, w ), y(u, v, w ), z(u, v, w )). J .dudvdw.
Vuvw

Toán cao cấp A3 Đại học

16


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 2. Tích phân bội

Chương 2. Tích phân bội

Khi đó ta có:

2.3.3. Đổi biến trong tọa độ trụ

∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz

x = r cos ϕ

Đặt 
y = r sin ϕ , r ≥ 0 ,

z = z
ϕ ∈ [0; 2π] hoặc ϕ ∈ [−π; π].

x r′
Jacobien J = yr′
z r′

x ϕ′
yϕ′
z ϕ′

V

=

Vr ϕz

VD 6. Tính tích phân:
I =

x z′
yz′ = r .
z z′

∫∫∫ z

x 2 + y 2dxdydz ,

V

ϕ

với V là khối hình trụ
giới hạn bởi:
x 2 + y 2 = 2y ,
z = 0 và z = 1 .

Chương 2. Tích phân bội

VD 7. Tính I =

∫∫∫ (x

2

2

Chương 2. Tích phân bội

2

+ y + z )dxdydz với V là

V
2

2

2

khối hình nón giới hạn bởi x + y = z và z = 1 .

Chương 2. Tích phân bội

Khi đó ta có:

∫∫∫

f (x , y, z )dxdydz =

V

∫∫∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ, z ).r .drd ϕdz.

∫∫∫

f .r 2 sin θ.drd ϕd θ.

Vr ϕθ

Với f ≡ f (x , y, z ) = f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ).

2.3.3. Đổi biến trong tọa độ cầu
x = r sin θ cos ϕ,

Đặt 
y = r sin θ sin ϕ,

z = r cos θ,
r ≥ 0, ϕ ∈ [0; 2π], θ ∈ [0; π]

Jacobien J =

∂(x , y, z )
∂(r , ϕ, θ)

x r′

= yr′
z r′

x θ′
y θ′ = r 2 sin θ.
z θ′

x ϕ′
y ϕ′
z ϕ′

θ

ϕ

Chương 2. Tích phân bội

VD 9. Tính tích phân I =
2

∫∫∫ (x

2

+ y 2 )dxdydz với V

V
2

là miền giới hạn bởi: x + y + z 2 ≤ 4, y ≥ 0 và z ≥ 0 .

VD 8. Tính tích phân:
dxdydz
I = ∫∫∫
.
x 2 + y2 + z2
V
Trong đó
V : 1 ≤ x2 + y2 + z 2 ≤ 4.

Toán cao cấp A3 Đại học

17


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 2. Tích phân bội

VD 10. Tính tích phân I =

∫∫∫

2

Chương 2. Tích phân bội
2

2

x + y + z dxdydz ,

V

trong đó V là miền giới hạn bởi: x 2 + y 2 + z 2 − z ≤ 0 .

§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI
3.1. Tính thể tích V của vật thể
Thể tích V của vật thể có đường sinh song song với Oz
và hình chiếu trên Oxy là D , hai đáy giới hạn bởi các
mặt z = f1(x , y ) ≤ z = f2 (x , y ) là:
V = ∫∫  f2 (x , y ) − f1(x , y ) dxdy.
D

Thể tích của vật thể Ω là:
V (Ω) = ∫∫∫ dxdydz .
Ω

……………………………………………………………

Chương 2. Tích phân bội

VD 1. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi
phần hình trụ x 2 + y 2 = 1 và hai mặt phẳng
x + y + z − 5 = 0, z = 2 .

Chương 2. Tích phân bội

VD 2. Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi
phần hình trụ x 2 + y 2 − 2y = 0 nằm trong
hình cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 ứng với z ≥ 0 .

V

Chương 2. Tích phân bội

VD 3. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi các mặt:
x 2 + y 2 = 4 − z , x 2 + y 2 ≥ 2 và z = 0 .

Chương 2. Tích phân bội

3.2. Giá trị trung bình của hàm trên miền đóng
Giá trị trung bình của hàm f (x , y ) trên miền D ⊂ ℝ2
đóng và bị chặn là:

f =

1
f (x , y )dxdy.
S (D ) ∫∫
D

Giá trị trung bình của hàm f (x , y, z ) trên miền Ω ⊂ ℝ3
đóng và bị chặn là:
1
f =
f (x , y, z )dxdydz .

V (Ω) ∫∫∫
Ω

VD 4. Tính giá trị trung bình của f (x , y ) = x cos xy trong
hình chữ nhật D : 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ 1.

Toán cao cấp A3 Đại học

18


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 2. Tích phân bội

VD 5. Tính giá trị trung bình của f (x , y, z ) = xyz trong
hình lập phương Ω = [0; 2]×[0; 2]×[0; 2].
3.3. Khối lượng m của vật thể
Xét bản phẳng chiếm miền D ⊂ ℝ2 (đóng và bị chặn)
có khối lượng riêng (mật độ khối lượng hay tỉ khối) tại
điểm M (x , y ) ∈ D là hàm ρ(x , y ) liên tục trên D .
Khi đó, khối lượng của bản phẳng là:
m = ∫∫ ρ(x , y )dxdy.
D

VD 6. Tính khối lượng của bản phẳng chiếm miền D
giới hạn bởi x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 và y ≥ 0 .

Biết tỉ khối phẳng là hàm ρ(x , y ) = xy .

Chương 2. Tích phân bội

Xét vật thể chiếm miền V ⊂ ℝ 3 (đóng và bị chặn) có
khối lượng riêng là hàm ρ(x , y, z ) liên tục trên V .
Khi đó, khối lượng của vật thể là:
m = ∫∫∫ ρ(x , y, z )dxdydz .
V

VD 7. Tính khối lượng của vật thể chiếm miền V giới
hạn bởi các mặt:
z = x + y , x + y = 1 và 3 mặt phẳng tọa độ.
Biết khối lượng riêng là hàm ρ(x , y, z ) = x .

Chương 2. Tích phân bội

3.4. Trọng tâm của vật thể
Tọa độ trọng tâm G của bản phẳng D có khối lượng
riêng ρ(x , y ) liên tục trên D là:
1
1
xG = ∫∫ x ρ(x , y )dxdy, yG = ∫∫ y ρ(x , y )dxdy.
m D
m D
Tương tự, tọa độ trọng tâm G của vật thể V là:
1
xG = ∫∫∫ x ρ(x , y, z )dxdyz ,
m V
1

yG = ∫∫∫ y ρ(x , y, z )dxdyz ,
m V
1
zG = ∫∫∫ z ρ(x , y, z )dxdyz .
m V

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

§1. Tích phân đường loại 1
§2. Tích phân đường loại 2
§3. Tích phân mặt loại 1
§4. Tích phân mặt loại 2
………………………………………………………

§1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I

1.1. Định nghĩa
• Giả sử đường cong L trong mặt phẳng Oxy có phương
trình tham số x = x (t ), y = y(t ) với t ∈ [a; b ] và f (x , y )
là hàm số xác định trên L .
Chia L thành n cung không dẫm lên nhau bởi các điểm
chia ứng với a = t0 < t1 < ... < tn = b .

Tốn cao cấp A3 Đại học

Chương 2. Tích phân bội

VD 8. Tìm tọa độ trọng tâm hình phẳng D giới hạn bởi
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1. Biết ρ(x , y ) = 2x + y .

VD 9. Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất V
giới hạn bởi z = 0, z = 2 − x 2 − y 2 và x 2 + y 2 = 1.
Giải. Vật thể đồng chất nên ρ(x , y, z ) = k ∈ ℝ .
• Ta có: m = k ∫∫∫ dxdydz ⇒ m = kV
V

k
⇒ xG =
m

1

∫∫∫ xdxdyz = V ∫∫∫ xdxdyz .
V

V

…………………………………………………………..

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

• Gọi độ dài cung thứ i là ∆si .
Trên cung thứ i lấy điểm
M i (x (ti ), y(ti )) tùy ý.
Tổng I n =

n

∑ f (M i )∆si
i =1

y

L

•

∆si •
•

O x t0

•
•

xt

i −1

Mi
xt

i

xt

x
n

được gọi là tổng tích phân đường loại 1 của hàm số
f (x , y ) trên đường cong L .
n

• Giới hạn

∑ f (M i )∆si
max ∆s →0
lim
i

tồn tại hữu hạn

i =1

được gọi là tích phân đường loại 1 của f (x , y ) trên L .

19


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

Ký hiệu là

∫ f (x , y )ds hay ∫ f (x, y )dl .
L

L

• Tích phân đường loại 1 của hàm số f (x , y, z ) trên đường
cong L trong không gian, ký hiệu là ∫ f (x , y, z )ds ,
L

được định nghĩa tương tự.

Nhận xét
Tích phân đường loại 1 có tất cả các tính chất của tích
phân xác định.

Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào chiều của
cung AB , nghĩa là: ∫ fds = ∫ fds.
AB

BA

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

b

∫
L

∫ f (x (t ), y(t )) (xt′ )

2

+ (yt′ ) dt.
2

a

• Nếu đường cong L trong khơng gian có phương trình
x = x (t ), y = y(t ), z = z(t ) với a ≤ t ≤ b thì:
b

∫

f (x , y, z )ds =

L

∫ f . (xt′ )

2

+ (yt′ ) + (zt′ ) dt.
2

2

a

∫ (2xy + z )ds . Trong đó, L là
L

đường xoắn ốc trụ trịn xoay có phương trình tham số:
x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 ≤ t ≤ 2π .

∫

Tốn cao cấp A3 Đại học

∫ xds .
L

Trong đó, L là cung trịn có phương trình tham số:
π
π
x = cos t , y = sin t , ≤ t ≤ .
6
3
VD 2. Tính tích phân I =

∫ (x − y )dl . Trong đó, L

là

L

đoạn thẳng nối điểm A(0; 2) và điểm B(−2; −3).

VD 3. Tính tích phân I =

∫ (1 − 2x

2

)2ydl . Trong đó, L

yds

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

b) Đường cong L có phương trình tổng qt
• Nếu L có phương trình y = y(x ) với a ≤ x ≤ b thì:
b

∫
.

1 + 4x 2 − 4x 4
L
Trong đó, L là phần giao tuyến giữa 2 mặt:
z = 2 − x 2 − 2y 2 , z = x 2
và nằm trong góc phần 8 thứ nhất nối từ điểm A(0; 1; 0)

đến điểm B(1; 0; 1).

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

VD 1. Tính tích phân I =

là đoạn thẳng nối điểm A(1; −3) và điểm B(1; −7).

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

VD 5*. Tính tích phân I =

Nếu đường cong L trơn từng khúc (hay từng đoạn) và
hàm số f liên tục trên L thì tích phân ∫ fds tồn tại.

L

Trong đó, f ≡ f (x (t ), y(t ), z (t )).

VD 4. Tính tích phân I =

b) Định lý

L

1.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH
a) Đường cong L có phương trình tham số
• Nếu đường cong L trong mặt phẳng có phương trình
x = x (t ), y = y(t ), với a ≤ t ≤ b thì:

f (x , y )ds =

Chương 3. Tích phân đườ

đường – Tích phân mặt

1.2. Sự tồn tại tích phân đường loại 1
a) Khái niệm đường cong trơn
Đường cong L có phương
trình x = x (t ), y = y(t ) được
gọi là trơn nếu các đạo hàm
x ′(t ), y ′(t ) tồn tại và khơng
đồng thời bằng 0.
Nói cách khác, đường cong L được gọi là trơn nếu tại
mọi điểm M ∈ L đều vẽ được tiếp tuyến với L .

f (x , y )ds =

L

∫ f (x, y(x )).

1 + (yx′ ) dx .
2

a

• Nếu L có phương trình x = x (y ) với a ≤ y ≤ b thì:
b

∫
L

f (x , y )ds =

∫ f (x (y ), y). (xy′ )

2

+ 1 dy.

a

20


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

VD 6. Tính tích phân I =

Đặc biệt

∫ (x + y )ds với L là ∆OAB
L

• Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ với a ≤ x ≤ b thì:

có các đỉnh O(0; 0), A(1; 0), B(1; 2).

b

VD 7. Tính tích phân

∫ f (x, y )ds = ∫ f (x, α)dx .
L

a

I =

• Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ với a ≤ y ≤ b thì:
b

∫

f (x , y )ds =

L

∫ f (α, y )dy.
a

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

∫ 2x

81 − 9x 2

ds .
81 − 8x 2
Trong đó, C là cung
x2
+ y2 = 1
9
nằm trong góc phần tư thứ ba.
C

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

VD 8. Tính tích phân I =

c) Đường cong L trong tọa độ cực
• Nếu phương trình của đường cong L được cho trong tọa
độ cực r = r (ϕ) với α ≤ ϕ ≤ β thì ta xem ϕ là tham số.

∫

x 2 + y 2 ds . Trong đó, L

L

là đường trịn có phương trình (C ) : x 2 + y 2 − 4y = 0 .

Khi đó, phương trình của L là:
x = r (ϕ)cos ϕ, y = r (ϕ)sin ϕ, α ≤ ϕ ≤ β.

• Đặt f ≡ f (r (ϕ)cos ϕ, r (ϕ)sin ϕ), ta có cơng thức:
β

∫
L

f (x , y )ds =

∫ f.

( )

r 2 + rϕ′

2

x = r cos ϕ


y = r sin ϕ


d ϕ.

α

Chương 3. Tích phân đườ

đường – Tích phân mặt

1.4. Ứng dụng của tích phân đường loại 1
a) Tính độ dài của cung

Độ dài l của cung L là l =

∫ ds.
L

VD 9. Tính độ dài l của cung

x = t 2 + 1
L :
, t ∈ 1;

y = ln t + t 2 + 1




3 .


VD 10. Tính độ dài l của cung
L : r = a(1 + cos ϕ), ϕ ∈ [0; π].

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

VD 11. Tính độ dài cung trịn
(C ) : x 2 + y 2 − 2x = 0 nối
3
3 
từ điểm A  ;
 đến
 2 2 
1
3 

B  ; −  và không đi qua O .
2 
 2
b) Tính khối lượng m và trọng tâm G của cung
Nếu cung L có hàm mật độ khối lượng ρ phụ thuộc vào
điểm M ∈ L thì khối lượng của cung là:
m = ∫ ρds.
L

Toán cao cấp A3 Đại học

21


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 3. Tích phân đườ

đường – Tích phân mặt

Trọng tâm G của cung L ứng với ρ = ρ(x , y ) là:
1
1
xG = ∫ x ρ(x , y )ds, yG = ∫ y ρ(x , y )ds.
m L
m L
Trọng tâm G của cung L ứng với ρ = ρ(x , y, z ) là:
1
1
1
xG = ∫ x ρds, yG = ∫ y ρds, zG = ∫ z ρds.
m L
m L
m L

VD 12. Cho một dây thép có dạng nửa đường trịn trong
mpOyz với phương trình y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0 .
Biết hàm mật độ khối lượng ρ(x , y, z ) = 2z .
Tìm khối lượng và trọng tâm của dây thép.
………………………………………………………………

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

§2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II
2.1. Bài tốn mở đầu
Tính cơng sinh ra do lực F = F (M ) tác dụng lên chất
điểm M (x , y ) di chuyển dọc theo đường cong L .

• Nếu L là đoạn thẳng AB thì cơng sinh ra là:

(

)

W = F .AB = F AB cos F , AB .
• Nếu L là cung AB thì ta chia L thành n cung nhỏ bởi
các điểm chia A = A0 , A1 ,..., An = B . Trên mỗi cung

Ai −1Ai ta lấy điểm M i (x i , yi ) tùy ý.

Chiếu F (M i ), Ai −1Ai lần lượt lên trục Ox , Oy ta được:

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

2.2. Định nghĩa (tích phân đường theo tọa độ)

F (M i ) = P (M i ).i + Q(M i ).j

• Cho hai hàm số P(x , y ), Q(x , y ) xác định trên đường

và Ai −1Ai = ∆xi .i + ∆yi .j .

cong L . Chia L như bài tốn mở đầu. Khi đó:

n

I n = ∑ P (M i )∆xi + Q(M i )∆yi  được gọi là tổng tích

Khi đó, cơng W sinh ra là:
n

i =1

n

W ≈ ∑Wi = ∑ F (M i )Ai−1Ai
i =1

phân đường loại 2 của P(x , y ), Q(x , y ) trên L .

i =1
n

=∑ P(M i )∆xi + Q(M i )∆yi .
i =1

n

Vậy W =
lim
∑ P(M i )∆xi + Q(M i )∆yi  .
max A A → 0
i −1 i

i =1

lim

• Giới hạn

max Ai −1Ai →0

I n tồn tại hữu hạn được gọi là

tích phân đường loại 2 của P(x , y ), Q(x , y ) trên L .
Ký hiệu là:

∫ P(x , y )dx + Q(x, y )dy.
L

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

• Định nghĩa tương tự trong khơng gian Oxyz :
∫ P(x, y, z )dx + Q(x , y, z )dy + R(x, y, z )dz .
L

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

Tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào chiều của L .
Do đó, khi viết tích phân ta cần ghi rõ điểm đầu và cuối:
∫ P (x, y)dx + Q(x, y )dy = −∫ P(x , y )dx + Q(x, y )dy.
AB

Nhận xét
Tích phân đường loại 2 có tất cả các tính chất như tích
phân xác định.
Từ định nghĩa tổng tích phân, ta có thể viết:
∫ P (x, y)dx + Q(x, y )dy = ∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x, y )dy.
AB

AB

AB

BA

• Định lý
Nếu hai hàm số P (x , y ), Q(x , y ) liên tục trong miền mở
chứa đường cong L trơn từng khúc thì tồn tại tích phân
đường loại 2 của P(x , y ), Q(x , y ) dọc theo L .
Chú ý
Nếu L là đường cong phẳng và kín lấy theo chiều dương
thì ta dùng ký hiệu: ∫ P (x , y )dx + Q(x , y )dy.
L

Toán cao cấp A3 Đại học

22


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

2.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH
a) Đường cong L có phương trình tham số
Xét đường cong L chứa cung AB .

• Nếu L có phương trình y = y(x ) thì:

• Nếu L có phương trình x = x (t ), y = y(t ) thì:

xB

tB

Pdx + Qdy = ∫ P (x (t ), y(t ))xt′ + Q(x (t ), y(t ))yt′  dt.

∫

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

b) Đường cong L có phương trình tổng quát
Xét đường cong L chứa cung AB .

∫ Pdx + Qdy = ∫ P (x, y(x )) + Q(x , y(x )).yx′  dx .
xA

AB

tA

AB

• Nếu L có phương trình x = x (t ), y = y(t ), z = z (t ) thì:

yB

tB

∫ Pdx + Qdy = ∫ P(x (y ), y).xy′ + Q(x (y ), y ) dy.

tA

AB

∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ (P.xt′ + Q.yt′ + R.zt′ )dt.
AB

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

• Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ thì:

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

∫ dx + xdy . Trong đó AB có
AB

phương trình x = 2t 2 , y = 2 − 3t với A(0; 2) và B(2; 5).

xB

P (x , y )dx + Q(x , y )dy =

∫ P(x, α)dx .

VD 2. Tính tích phân I =

xA

AB

elip

yB

x2
a2

+

y2
b2

= 1 lấy theo chiều dương.

VD 3. Tính tích phân I =

P (x , y )dx + Q(x , y )dy = ∫ Q(α, y )dy.

∫ (x − y )dx + (x + y )dy , với
L

yA

AB

∫ 2xdx − dy . Trong đó, L là
L

• Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ thì:

∫

yA

VD 1. Tính tích phân I =

Đặc biệt

∫

• Nếu L có phương trình x = x (y ) thì:

L là đường nối điểm O(0; 0) với điểm A(1; 1) trong các

trường hợp:

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

1) L là đường thẳng y = x ;
2) L là đường cong y = x 2 .
VD 4. Tính tích phân I =

∫ dx + 4xydy , với

BA có

BA

phương trình y = x và điểm A(1; 1), B(4; 2).

VD 5. Tính tích phân I =

∫ dx − ydy + dz .
L

Trong đó, L là đường cong trong Oxyz có phương trình:
x = cos t , y = sin t , z = 2t
nối từ điểm A(0; 1; π) đến B(1; 0; 0).

Tốn cao cấp A3 Đại học

Chương 3. Tích phân đườ

đường – Tích phân mặt

2.4. Cơng thức Green (liên hệ với tích phân kép)
a) Xác định chiều trên biên
của miền đa liên
Đường cong L được gọi là
Jordan nếu nó khơng tự cắt.

Cho miền D là miền đa liên,
liên thông, bị chặn có biên
∂D Jordan kín trơn từng
khúc.
Chiều dương của ∂D là chiều
mà khi di chuyển dọc theo
biên ta thấy miền D nằm về
phía bên tay trái.

23


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

b) Cơng thức Green
Cho miền D (xác định như mục a).

Nếu P(x , y ), Q(x , y ) và các đạo hàm riêng liên tục trên
miền mở chứa D thì:

∫ P(x , y )dx + Q(x, y )dy = ∫∫ (Qx′ − Py′)dxdy.

∂D

D

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

VD 6. Tính diện tích hình elip

x2
a2

+

y2
b2

≤ 1.

VD 7. Tính diện tích hình trịn x 2 + y 2 − 2y ≤ 0 .
VD 8. Tính tích phân:
I = ∫ (x arctan x + y 2 )dx + (x + 2xy + y 2e −y )dy .
C

Hệ quả

Diện tích của miền D được tính theo công thức:
1
S (D ) =
2

∫

∂D

1
xdy − ydx hay S (D ) =
2

∫r

2

(ϕ)d ϕ.

∂D

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

1) Do P =

−y
2

x + y2

,Q =

Giải
x
x 2 + y2

và các đạo hàm riêng

liên tục trên ℝ2 \ {(0; 0)} nên áp dụng Green, ta có:

I =

∫
L

2) Hàm P =

xdy − ydx
x 2 + y2
−y

(

)

= ∫∫ Qx′ − Py′ dxdy = 0 .
D

và Q =

x

không liên tục tại
x +y
x + y2
O(0; 0) nên ta không áp dụng được công thức Green.
2

2

2

Giả sử L có phương trình trong tọa độ cực là r = r (ϕ).

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

2.5. Điều kiện để tích phân đường khơng phụ thuộc
vào đường lấy tích phân
a) Định lý
Giả sử các hàm số P , Q và các đạo hàm riêng cấp một
của chúng liên tục trong miền mở đơn liên D .

Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương:
1) Py′ = Qx′ , ∀(x , y ) ∈ D .

2)

∫ P(x, y )dx + Q(x , y )dy = 0 dọc theo mọi đường

L

cong kín L nằm trong D .

Trong đó, C là đường trịn x 2 + y 2 − 2y = 0 .

VD 9. Tính I =

∫

xdy − ydx

trong các trường hợp:
x 2 + y2
1) L là đường cong kín khơng bao quanh gốc tọa độ O ;
2) L là đường cong kín bao quanh gốc tọa độ O .
L

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

Khi đó, phương trình tham số của L là:
x = r (ϕ)cos ϕ, y = r (ϕ)sin ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
dx = x ′dr + x ′ d ϕ = cos ϕdr − r sin ϕd ϕ
r
ϕ
Do 
nên:

dy = yr′dr + y ϕ′ d ϕ = sin ϕdr + r cos ϕd ϕ


xdy − ydx = r 2 cos2 ϕd ϕ + r 2 sin2 ϕd ϕ = r 2d ϕ
xdy − ydx
⇒I =∫
2
2
L x +y
2π

=∫

r 2d ϕ

0

r2

= 2π .

Cách khác

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

3) Tích phân

∫ P (x, y )dx + Q(x , y )dy, AB ⊂ D , chỉ phụ
AB

thuộc vào hai đầu mút A, B mà không phụ thuộc vào

đường nối giữa A với B .
4) Biểu thức P(x , y )dx + Q(x , y )dy là vi phân toàn phần
của hàm u(x , y ) nào đó trong miền D . Nghĩa là:
∃u(x , y ) : du(x , y ) = P (x , y )dx + Q(x , y )dy .
b) Hệ quả
Nếu P(x , y )dx + Q(x , y )dy là vi phân toàn phần của hàm
u(x , y ) nào đó trong miền mở đơn liên D thì:

∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = u(B) − u(A).
AB

Toán cao cấp A3 Đại học

24


ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Monday, November 01, 2010

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

VD 10. Tích phân đường nào sau đây không phụ thuộc
vào các đường trơn từng khúc nối hai điểm A, B ?
A. I =

∫

∫ (4xy

3

+ 2x − 1)dx + (y 4 + 6x 2y 2 − 1)dy .

C. I =

∫ (4xy

4

∫ (4xy

L

VD 12. Cho biết hàm u(x , y ) = xe y − ye x + 2x + 1 có vi

+ 2x )dx − (y + 2y − x )dy .

(1; 0)

Hãy tính I =

AB

D. I =

3

x +y

phân toàn phần: du = (e y − ye x + 2)dx + (xe y − e x )dy .

AB
3

x −y

∫ x 2 + y 2 dx + x 2 + y 2 dy . Biết L là

đường trơn từng khúc nối điểm A(−1; −1) và B(−2; −2)
nằm trong miền D không chứa gốc tọa độ O .

(4xy 3 + 2x )dx + (y 4 + 2y − x )dy .

AB

B. I =

VD 11. Tính I =

+ 2x − 1)dx − (y 4 + 6x 2y 2 − 1)dy .

AB

∫

(e y − ye x + 2)dx + (xe y − e x )dy ?

(1; 1)

(5; 12)

VD 13. Tính tích phân I =

∫

xdx + ydy

(3; 4)

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

(x 2 ; y2 )

∫

Pdx + Qdy , người ta

(x1 ; y1 )

§3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I
3.1. Định nghĩa
• Cho hàm số f (x , y, z ) xác định trên mặt S . Chia mặt S
một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện

tích mỗi phần là ∆Si (i = 1, 2,..., n ). Trong mỗi ∆Si ta
n

lấy điểm M i và lập tổng tích phân I n = ∑ f (M i )∆Si .

thường tính theo đường
gấp khúc song song với
các trục tọa độ.
(3; 2)

∫

VD 14. Tính tích phân I =

(x + 2y )dx + ydy
(x + y )2

(1; 1)

• Nếu giới hạn I =
theo

một đường trơn từng khúc không cắt (d ) : x + y = 0 .
…………………………………………………………….

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

Ký hiệu là: I =

∫∫ f (x, y, z )dS .

lim

max d (∆Si )→0

∑ f (M i )∆Si

tồn tại hữu

i =1

hạn, không phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn
điểm M i thì số thực I được gọi là tích phân mặt loại 1
của hàm f (x , y, z ) trên S .

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

I =

3.2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH

∫∫ f (x, y(x, z ), z )

1 + (yx′ ) + (yz′ ) dxdz .
2

2

D

a) Chiếu S lên mpOxy
Nếu S có phương trình z = z(x , y ) và S có hình chiếu
trên mpOxy là D thì:

∫∫ f (x, y, z (x, y ))

i =1

n

b) Chiếu S lên mpOxz
Nếu S có phương trình y = y(x , z ) và S có hình chiếu
trên mpOxz là D thì:

S

I =

.

Chương 3. Tích phân đườ
đường – Tích phân mặt

Chú ý
Giả sử hai hàm số P, Q thỏa định lý. Khi tính tích phân
I =

x 2 + y2

( )

1 + (z x′ ) + z y′

D

2

2

dxdy.

c) Chiếu S lên mpOyz
Nếu S có phương trình x = x (y, z ) và S có hình chiếu
trên mpOyz là D thì:
I =

∫∫ f (x (y, z ), y, z )

( ) + (xz′ )

1 + x y′

2

2

dydz .

D

Toán cao cấp A3 Đại học

25