phuong trinh luong giac

33
Chuyên đề 8:

LƯNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vò đo góc và cung:
1. Độ:

bẹtgóc
0
1 Góc
180
1
=

2. Radian: (rad)

rad
0
180
π
=


3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:

Độ 0
0
30

0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Radian 0
6
π

4
π

3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π

π
2


II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Đònh nghóa:

2. Đường tròn lượng giác
:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:


π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2
DB,
k ,

2
2
- D
2k
2
2
B
2k

x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+=
πα
kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α

.
y
x
o
180
O
+
−
x

y
O
C
A
B
D
x
y
B
α
M
α
(điểm gốc)
+
t
O
A
(điểm ngọn)
πα
2kAB +=

34

III. Đònh nghóa hàm số lượng giác:

1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )

• y
'
Oy : trục sin ( trục tung )
• t
'
At : trục tang
• u
'
Bu : trục cotang

2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác:
a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
α
.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x
'
Ox vàø y
'
Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t
'
At và u
'
Bu
Ta đònh nghóa:

cos
sin
tg
cot
OP
OQ
AT
gBU
α
α
α
α
=
=
=
=



b. Các tính chất :

• Với mọi
α
ta có :

1 sin 1 hay sin 1
αα
−≤ ≤ ≤

1 cos 1 hay cos 1
αα
−≤ ≤ ≤

•
tg xác đònh
2
k
π
α απ
∀≠ +
•

cotg xác đònh k
α απ
∀≠


c. Tính tuần hoàn



sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
( )
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
gk g

α πα
α πα
α πα
α πα
+=
+=
+=
+=

)( Zk ∈

+
−
x
y
O
C
A
B
D
1
1
1
=
R
1−
1−
'x
'u
u

t
't
'y
y
t
'u
't
t
x
u
'y
'xO
t
1−
Q
B
T
α
M
α
A
P
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
+
−

35
IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt

-3
-1
-3
/3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
-3
-1
-3
/3
1
1
-1
-1
-
π
/2
π
5

π
/6
3
π
/4
2
π
/3
-
π
/6
-
π
/4
-
π
/3
-1/2
-2
/2
-3
/2
-1/2-2/2-3/2
3
/2
2
/2
1/2
3 /2
2

/2
1/2
A
π
/3
π
/4
π
/6
3/3
3
B
π
/2
3
/3
1
3
O



0
0
30
0
45
0
60
0

90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Góc

Hslg
0
6
π

4
π

3
π

2
π

3
2

π

4
3
π

6
5
π

π

π
2

sin
α
0
2
1

2
2
2
3
1
2
3

2

2

2
1

0 0
cos
α
1
2
3

2
2
2
1

0
2
1
−

2
2
−
2
3
−

-1 1

tg
α
0
3
3

1
3

kxđ
3−

-1
3
3
−

0 0
cotg
α
kxđ
3

1
3
3
0
3
3
−

-1
3−

kxđ kxđ


+
−

36
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

Đó là các cung
:
1.
Cung đối nhau
:
và -
α α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ
−
,…)
2.
Cung bù nhau
:
và -

α πα
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
ππ
,…)

3.
Cung phụ nhau
: và
2
π
α α
−
( tổng bằng
2
π
) (Vd:
3
&
6
ππ
,…)

4.
Cung hơn kém

2
π
: và
2
π
α α
+ (Vd:
3
2
&
6
ππ
,…)

5.
Cung hơn kém
π

: và
α πα
+ (Vd:
6
7
&
6
ππ
,…)

1. Cung đối nhau:

2. Cung bù nhau
:


cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
α α
α α
αα
α α
−=
−=−
−=−
−=−

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
π αα
π αα
πα α
π αα
− =−

−=
−=−
−=−



3. Cung phụ nhau
:
4. Cung hơn kém
2
π



cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
gg
π
α α
π
α α
π
α α

π
α α
−=
−=
−=
−=

cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
gg
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
+=−
+=
+=−
+=−

5. Cung hơn kém
π
:


cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
π αα
π αα
πα α
π αα
+=−
+=−
+=
+=

Đối cos
Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2
π

sin bằng cos
cos bằng trừ sin

Hơn kém
π
tang , cotang

37
Ví dụ 1:
Tính
)
4
11
cos(
π
− ,
4
21
π
tg

Ví dụ 2:
Rút gọn biểu thức:
)3cos()2cos()
2
cos(
xxxA
++−++=
ππ
π

VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:

22
cos sin 1
sin
tg =
cos
cos
cotg =
sin
αα
α
α
α
α
α
α
+=

2
2
2
2
1
1 tg =
cos
1
1 cotg =
sin
tg . cotg = 1
α

α
α
α
αα
+
+


Ví dụ:
Chứng minh rằng:
1.
44 22
cos sin 1 2sin cosx xxx+=−

2.
xxxx
2266
cossin31sincos −=+

2. Công thức cộng :


cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tg
tg( + ) =
1.
tg tg

tg( ) =
1.
tg tg
tg tg
α βαβαβ
α βαβαβ
α βαββα
α βαββα
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
+= −
−= +
+= +
−= −
−
−
−
+


Ví dụ:
Chứng minh rằng:

π
αα α
π

αα α
+= −
−= +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4

3. Công thức nhân đôi:


α αα
α
α
α α
α αα
α
α
α
=−
=−
=−
=−
=
=
−
22
2
2
44

2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
cos sin
sin2 2sin .cos
2
2
1
tg
tg
tg

2
2cos1
cos
2
α
α
+
=

2
2cos1
sin
2
α
α
−
=

ααα
2sin
2
1
cossin
=


38
4 Công thức nhân ba:


3
3
cos3 4cos 3cos
sin3 3sin 4sin
α αα
α αα
=−
=−


5. Công thức hạ bậc:


α
α
α
α

α
α
α
2cos1
2cos1
;
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos
222
+
−
=
−
=
+
=
tg


6.Công thức tính
sin ,cos ,tg
α αα
theo
2
ttg
α

=



2
222
21 2
sin ; cos ;
111
ttt
tg
ttt
ααα
−
===
+ +−


7. Công thức biến đổi tích thành tổng :



[]
[]
[]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )

2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
α βαβαβ
α βαβαβ
αβ αβ αβ
=++−
=−−+
=++−


Ví dụ:

1. Biến đổi thành tổng biểu thức:
xxA 3cos.5cos=

2.
Tính giá trò của biểu thức:
12
7
sin
12
5
cos
ππ
=
B

8. Công thức biến đổi tổng thành tích :

cos cos 2cos .cos
22
cos cos 2sin .sin
22
sin sin 2sin .cos
22
sin sin 2cos .sin
22
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg
tg tg
α βαβ
αβ
α βαβ
αβ
α βαβ
αβ
α βαβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ

αβ
+ −
+=
+ −
−=−
+−
+=
+−
−=
+
+=
−
−=

4
cos33cos
cos
3
αα
α
+
=

4
3sinsin3
sin
3
αα
α
−

=


39
Ví dụ:
Biến đổi thành tích biểu thức:
3xsin 2x sinsin ++= xA

9. Các công thức thường dùng khác:


cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
44
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
44
π π
αα α α
π π
αα α α
+= −= +
−= +=− −

8
4cos35
sincos
4
4cos3
sincos
66
44

α
αα
α
αα
+
=+
+
=+


B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1:
Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa
Bước 2:
Sử dụng các phép
biến đổi tương đương
để biến đổi pt đến một pt
đã biết cách giải

Bước 3:
Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4:
Kết luậ
n
I. Đònh lý cơ bản: ( Quan trọng )


u = v+k2
sinu=sinv

u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv
u = -v+k2
tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
ππ
π
π
π
π π
ππ
⎡
⇔
⎢
⎣
⎡
⇔
⎢
⎣
⇔≠+
⇔≠


( u; v là các biểu thức chứa ẩn và
Zk ∈
)

Ví dụ
: Giải phương trình:
1.
sin3 sin( 2 )
4
x x
π
=− 2.
4
3
cos)
4
cos(
ππ
=−
x

3.
xx 2sin3cos =
4.
44
1
sin cos (3 cos6 )
4
x xx
+=−
II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
1. Dạng 1:

sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m
(
Rm ∈∀
)


* Gpt : sinx = m (1)

•

Nếu
1
m
>
thì pt(1) vô nghiệm
•

Nếu
1
m
≤
thì ta đặt m = sin
α
và ta có

x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
απ
α

π απ
⎡
⇔⇔
⎢
⎣


* Gpt : cosx = m (2)


40
•

Nếu
1
m
>
thì pt(2) vô nghiệm
•

Nếu
1
m
≤
thì ta đặt m = cos
β
và ta có

x = +k2
(2) cosx=cos

x = +k2
β π
β
β π
⎡
⇔⇔
⎢
−
⎣

* Gpt: tgx = m (3)
( pt luôn có nghiệm
Rm ∈∀
)

•

Đặt m = tg
γ
thì
(3) tgx = tg x = +k
γ γπ
⇔⇔

* Gpt: cotgx = m (4)
( pt luôn có nghiệm
Rm ∈∀
)

•

Đặt m = cotg
δ
thì

(4) cotgx = cotg x = +k
δ δπ
⇔⇔


Các trường hợp đặc biệt:


sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x k
xk
xk
x k
π
π
π
π

π
π π
π
π
π
=− ⇔ − +
⇔
=⇔ +
=− ⇔ +
⇔
=⇔


Ví dụ:


1) Giải các phương trình :

a)
=
1
sin 2
2
x
b)
2
cos( )
42
x
π

−=−

c)
03)
6
2sin(2
=+−
π
x
d)
03)
3
cos(2
=−+
π
x

e)
12cos2sin =+ xx
f)
xxx 2cossincos
44
=+


2) Giải các phương trình:
a)
44
1cos sin 2cos2x xx+−=
c)

024sin)cos(sin4
44
=−++
xxx

b)
66
sin cos cos 4x xx+=
d)
33
1
sin .cos cos .sin
4
xx xx
− =

e)
4)
2
.1(sincot
=++
x
tgtgxxgx


41
2. Dạng 2:

2
2

2
2
sin sin 0
cos cos 0
0
cot cot 0
axbxc
axbxc
atg x btgx c
agxbgxc
++=
++=
++=
+ +=
(
0a
≠
)

Cách giải:


Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
Ta được phương trình :
2
0at bt c
+ +=
(1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý :

Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)


Ví dụ
:
a)
2
2cos 5sin 4 0xx
+−=
b)
5
cos2 4cos 0
2
xx
− +=

c)
2
2sin 4 5cosx x
=+
d)
2cos cos2 1 cos2 cos3x xxx
=+ +


e)
44
1
sin cos sin 2
2

xxx
+=−
f)
0)2
2
cos()cos(sin2
44
=−−+
xxx
π

g)
44
sin cos 1 2sin
22
x x
x
+=−
h)
0cos.sincossin
44
=++ xxxx

k)
0
sin22
cos.sin)sin(cos2
66
=
−

−+
x
xxxx
l)
32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5
+=
+
+
+
x
x
xx
x


3.

Dạng 3:



cos sin (1) ( a;b 0)
axbxc
+= ≠

Cách giải:

•

Chia hai vế của phương trình cho
22
ab
+
thì pt

22 22 22
(1) cos sin
abc
xx
ab ab ab
⇔+=
+++
(2)

•

Đặt
22 22
b
cos và sin
a
a
ab b
α α
==
++
với

[
)
0;2
α π
∈
thì :

22
22
c
(2) cosx.cos + sinx.sin =
a
c
cos(x- ) = (3)
a
b
b
αα
α
⇔
+
⇔
+

Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.


42

Chú ý :

222
Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a bc⇔ +≥



Ví dụ
: Giải các phương trình :
a)
+=−cos 3 sin 1xx b)
2sin3cos
=+
xx

c)
44
4(sin cos ) 3 sin 4 2xx x++ = d)
x
tgx
cos
1
3
=−

e)
3
1sincos2
2sincos
2
=

−−
−
xx
xx


d. Dạng 4:

22
sin sin .cos cos 0 (a;c 0)axbxxc x++=≠ (1)

Cách giải 1:

p dụng công thức hạ bậc :
22
1cos2 1cos2
sin và cos
22
x x
xx
− +
==

và công thức nhân đôi :
1
sin .cos sin 2
2
x xx= thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3

Cách giải 2:

( Quy về pt theo tang hoặc cotang )

Chia hai vế của pt (1) cho
2
cos x
ta được pt:

2
0atg x btgx c++=
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải


Chú ý
: Trước khi chia phải kiểm tra xem
xk
2
π
= +π có phải là nghiệm của (1) không?
Ví dụ
: Giải phương trình:

031coscos.sin)31(sin3
22
=−+−−+ xxxx

d. Dạng 5:
(cos sin ) sin .cos 0ax xbxxc++ += (1)

Cách giải :
•

Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
txx x t
π
=+= − ≤≤
Do
2
2
t1
(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
xx xx
−
+=+ ⇒
•

Thay vào (1) ta được phương trình :

2
1
0
2
t
at b c
−
++= (2)

43
•

Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2cos( )
4
x t
π
−= tìm x.


Ví dụ
: Giải phương trình :

sin2 2 2(sin cos ) 5 0xxx−+−=

Chú ý :
Ta giải tương tự cho pt có dạng :
(cos sin ) sin .cos 0ax xbxxc− ++=



Ví dụ
: Giải phương trình :


sin 2 4(cos sin ) 4x xx+−=


4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a. Phương pháp 1:

Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết

Ví dụ:
Giải phương trình:

0
2
3
2sincossin
44
=−++ xxx
b. Phương pháp 2:

Biến đổi pt đã cho về dạng tích số


Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây:


A=0
.0
B=0
AB
⎡
=⇔
⎢
⎣
hoặc
A=0
0 B=0
C=0
ABC

⎡
⎢
=⇔
⎢
⎢
⎣


Ví dụ
: Giải các phương trình :
a.
22 2
sin sin 2 sin 3 2xxx++=
b.
2222
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x xxx−=−

c.
3
2sin cos2 cos 0xxx+−=
d.
03)
4
sin(2cos222sin =++++
π
xxx

c. Phương pháp 3:

Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ

Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)

Ví dụ
: Giải các phương trình :
a.
01cos2cos3cos
=−−+
xxx

b. 01cos42coscos4
3
=+−− xxx
c.
1
2cos2 8cos 7
cos
xx
x
−+=
d. 22cossin
24
=+ xx
* Phương trình có chứa
(cos sin ) và sinx.cosxx x±

Ví dụ
: Giải phương trình : a. ++ =
33
3

1 sin cos sin2x
2
xx
b. 1)cos(sin2cossin
33
−+=+ xxxx

44
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
DẠNG 1:
Giải phương trình lượng giác
Sử dụng 1 trong 3 phương pháp sau
•

Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản
•

Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích số
•

Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ chuyển về phương trình đại số
Bài 1:
Giải các phương trình lượng giác sau
1)
03)
4
sin(2cos222sin =++++
π
xxx 2) 07cos2sin
2

5
cos
2
sin
2
3
cos
2
7
sin =++ xx
xxxx

3)
6
cos.3)
2
3(cos)
2
2(cos)
2
(cos
222
ππππ
=−++++ xxx
4)
)
4
(sin2
2sin1
2sin

2
sin
2
cos
2
44
π
+
+
=
−
x
x
x
xx
5)
xxxx 2sin3cos8sin7cos −=+

6)
12sincossin2 +=+ xxx


Bài 2 :
Giải các phương trình lượng giác sau
1.
3
2sin cos2 cos 0xxx++= 8.
222
sin ( ). cos 0
24 2

x x
tg x
π
− −=
2.
22
7
sin .cos 4 sin 2 4sin ( )
42 2
x
xx x
π
−= −− 9.
2
cos (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
xx
x
xx
−
=+
+

3.
9sin 6cos 3sin 2 cos 2 8x xxx+− +=
10.
1
2cos.sin3
3

tg x tgx x x−=
4.
44
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin2
xx
gx
x x
+
=− 11.
1
2cos2 8cos 7
cos
xx
x
−+=
5.
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
1
cos
x x
tg x
x
−
+= 12.
2

cos2 1
cot 1 sin sin2
12
x
gx x x
tgx
−= + −
+

6. 3 ( 2sin ) 6 cos 0tgx tgx x x−++= 13.
2
cot 4sin2
sin 2
gx tgx x
x
−+ =
7.
2
cos2 cos .(2 1) 2xxtgx+−= 14.
2
cos cos sin .(1 . )
2
x
tgx x x x tgx tg+− = +
DẠNG 2:
Phương trình lượng giác có chứa tham số
Sử dụng phương pháp sau
•

Chọn ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x)

•

Chuyển phương trình về phương trình đại số
•

Lập luận để chuyển bài toán đã cho theo ẩn phụ vừa chọn
•

Sử dụng phương pháp giải tích hoặc đại số để tìm tham số theo yêu cầu của đề bài
Bài 1:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

02sin
4
1
2coscossin
244
=++−+ mxxxx
Bài 2:
Đònh m để phương trình : m
xx
gxtgxxx =++++++ )
cos
1
sin
1
cot(
2
1
1cossin

45
có nghiệm
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈
2
;0
π
x

Bài 3
: Cho hàm số:
1)cos
cos
2
()cos
cos
4
(2
2
2
=−++
x
x
mx

x

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc
).
2
;0(
π

Bài 4:
Cho phương trình :
01)cot(3
sin
3
2
2
=−+++
gxtgxmxtg
x

Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình có nghiệm.
Bài 5
: Xác đònh m để phương trình :

44
2(sin x cos x) cos4x 2sin2x m 0+++−=

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
[0; ]
2
π

Bài 6
: Cho phương trình :
mxxx
=−−
)sin(cos42sin
(1)
Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 7:
Tìm m để phương trình :
44 66 2
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m+ −+−=
có nghiệm.
Bài 8:
Cho phương trình
cos4 6sin cos 0x xxm+−=

Đònh m để phương trình có nghiệm
0;
4
x
π
⎡ ⎤
∈
⎢ ⎥
⎣ ⎦
.
Bài 9:
Tìm m để phương trình :
0)cos)(sincos.(sin2cos2 =+−+ xxmxxx

có nghiệm trên đoạn
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
;0
π

Bài 10
: Cho phương trình:
mtgx
xx
xx
=
−
+
22
66
sincos
sincos

Với giá trò nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 11:
Cho phương trình:
mxx
=−+

44
)1(sinsin

Với giá trò nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 12:
Tìm m để phương trình :
2
22sin2xm(1cosx)+=+ có nghiệm x[ ;]
22
ππ
∈−

Hết