LANg GIANG 1TOAN 12 KHOI BD NAM 2013 2014 tuyen tap de thi toan 2014 moi nhat

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
–––––––––––––––––––
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ, GIỎI LẦN 1
N
ăm học 2013 – 2014
Môn: Toán 12– Khối B, D
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số
4 2
2 2y x mx= − +
có đồ thị (Cm)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
( )
C
với m=1


2.
Tìm m để (Cm) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

Câu 2 (3 điểm)
1. Gi
ải phương trình lượng giác :
2
2cos 3cos 2cos3 4sin sin 2x x x x x+ − =

2.

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:

( )
2
4 5 4 1 1
2 3 3
y x
y y x x

− + − =


− + = +



3.

Gi
ả
i ph
ươ

ng trình:
( ) ( )
3
2 8
2
log 3 2 log 4 log 4x x x− + = − + +

Câu 3 (1 điểm)
Cho
hì
nh
chó
p S.ABCD
có đá
y ABCD
là hì
nh thang vuông t
ạ
i A và B v
ớ
i O là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng chéo, bi
ế

t AB=BC=a, AD=2a. Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBD) và (SAC) vuông
gó
c v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
đá
y.
Góc gi
ữ
a SC và
đ
áy b
ằ
ng 45
0
.
Tí
nh th
ể tí
ch kh
ố
i t

ứ
di
ệ
n SBCD
và khoả
ng
cá
ch t
ừ
A
đế
n (SCD).
Câu 4 ( 1 điểm)
Cho 3 s
ố
th
ự
c d
ươ
ng a, b, c th
ỏ
a mãn
2 2 2
1a b c+ + = .
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
5 3 5 3 5 3

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
3
a a a b b b c c c
b c c a a b
− + − + − +
+ + ≤
+ + +

PHẦN RIỀNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong 2 phần ( phần A hoặc B)
A. Theo ch
ương trình chuẩn
Câu 5a (2 điểm)
1.
Cho tam giác ABC vuông cân t
ạ
i (1;2)A ,
đườ
ng th
ẳ
ng : 1 0d x y− − = là ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i B c
ủ
a
đườ

ng
tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC. Tìm t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m B và C bi
ế
t r
ằ
ng B có tung
độ
d
ươ
ng

2.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ

t và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố

2 1
x
e
y
x
=
+

trên
đ
o
ạ
n [0;2]

Câu 6a (1 điểm)

Cho n nguyên d
ươ
ng th

ỏ
a mãn
3 2 1
6 4 100
n n n
A C C+ − = .Tìm hệ số chứa
8
x trong khai
triển nhị thức Niu-tơn của
3
2
2
5
n
n
x
 
+
 
 
.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho hình thoi
ABCD
có phương trình đường thẳng
AC
là
,0317
=−+

yx
hai đỉnh
DB
, lần lượt thuộc các đường thẳng
032:,08:
21
=+−=−+ yxdyxd
. Tìm tọa
độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh
A
có hoành độ âm.
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
trên
1
;2
2
 
−
 
 

Câu 6b (1 điểm) Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 7 viên bi vàng. Nguời ta chọn ra 4 viên
bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong số bi lấy ra không có đủ cả ba màu?

–––––––Hết ––––––
Thí sinh không
đượ
c s
ử
d
ụ
ng tài li
ệ
u. Giáo viên coi thi không gi
ả
i thích gì thêm
H
ọ
và tên thí sinh: ; S
ố
báo danh

THẦY TUYẾN _ ĐT: 0975.816.183 _ CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI KHỐI 12 LẦN 1
KHỐI B và D
CÂU PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ĐIỂM
1.(1 điểm)
4 2
2 2y x x= − +


+Tập xác định,tìm các giới hạn 0,25
+Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên 0,25
+ Chỉ ra sự biến thiên, cực trị 0,25
+ Đồ thị 0,25
2.(1 điểm)

4 2

2 2y x mx= − +

+ Tìm đúng điều kiện để hàm số có 3 cực trị:
0m >

0.25
+ Tìm được toạ độ 3 điểm cực trị
( )
0;2A ,
( )
2
; 2B m m− − +
,
( )
2
; 2C m m− +

Khi
đ
ó
( )
2
;AB m m= − −

và
( )
2
;AC m m= −


0.25
+ Tam giác ABC luôn cân t
ạ
i A
+Tam giác ABC vuông t
ạ
i A khi AC vuông góc AB
. 0AB AC⇔ =
 

4
0
0
1
m
m m
m
=

⇔ − + = ⇔

=


+ Đối chiếu điều kiện, lấy m=1
0.5
Câu 1
(2 điểm)

1. (1 điểm) Giải phương trình
2
2cos 3cos 2cos3 4sin sin 2x x x x x+ − =


+ Phương trình tương đương

2
2
2cos 3cos 2cos3 4sin sin 2
2cos 3cos 2cos3 2cos 2cos3
x x x x x
x x x x x
+ − =
⇔ + − = −

0.25

2
1
cos
2cos cos 0
2
cos 1
x
x x
x
−


=

⇔ + = ⇔

= −


0.25
2
2
3
2
2
3
2
x k
x k
x k
π
π
π
π
π π

= − +



⇔ = +



= +




0.25
Kết luận:

0.25
2.

(1
đ
i
ể
m) Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
( )
( ) ( )
2
4 5 4 1 1 1
2 3 3 2
y x
y y x x


− + − =


− + = +




+
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1
2
1
2
5
4
x
x
y


≥







≤ −





≥



0.25

Câu 2
(3 điểm)


( ) ( ) ( )( )
2
3 (loai)
2 2 3 3 0 3 1 0
1
y
y x y x y y x
y x
= −


⇔ − − − − = ⇔ + − − = ⇔

= +


0.25





















THẦY TUYẾN _ ĐT: 0975.816.183 _ CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM

+Thế y=x+1 vào (1) được:
Giải phương trình :
4 1x −
+
2
4 1x − = 1 (1)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2
4 1 0
4 1 0
x
x
− ≥


− ≥


⇔
1
2
x ≥

+ N

ế
u
1
2
x =
thì (1)
đượ
c th
ỏ
a mãn
+ N
ế
u
1
2
x > thì 4 1 1x − > suy ra (1) vô nghi
ệ
m
V
ậ
y x =
1
2
. Khi
đó
3
2
y =
K
ết luận: Hệ phương trình có 1 nghiệm

1 3
;
2 2
 
 
 

0.5
3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
( ) ( )
3
2 8
2
log 3 2 log 4 log 4x x x− + = − + +


+ Điều kiện
3 4x< <

+ PT
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
log 3 log 4 log 4 log 4x x x⇔ − + = − + +
0.25

( )
( )
( )
2 2
2 2
log 4 3 log 16 4 3 16x x x x⇔ − = − ⇔ − = −

0.25
+Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
( )
2
4 3 16x x− = − ta
đượ
c
2 4 2
2 4 2
x
x

= − +

= − −



0.25

+ Kiểm tra điều kiện và kết luận phương trình có các nghiệm
2 4 2x = − +

0.25

a
a
2a
O
D
A
B
C
S
H


+ Theo giả thiết suy ra SO là đường cao của khối chóp
+Vì
( )
SO ABCD⊥ nên góc giữa SC và (ABCD) bằng

0
45SCO =

+
2
1
.
2 2

BCD
a
S AB BC= =

0.25
Câu 3
(1 điểm)
+
1 1 2
2 3 3
BC OC
OC AC a
AD OA
= = ⇒ = =
.
+ Vì
SOC△
vuông cân tại O nên
2
3
SO a=

0.25

THẦY TUYẾN _ ĐT: 0975.816.183 _ CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM


+ Thể tích khối
2 3
1 1 2 2
. .
3 3 3 9
SBCD BCD
V SO S a a a= = =

+ Chứng minh được
AC CD⊥

+ Trong (SAC), dựng

OH SC⊥
. Chứng minh được
( )
OH SCD⊥

+ Xét
SOC△
có
2 2 2 2
1 1 1 9
3
a
OH
OH SO OC a
= + = ⇒ =

0.25
+
( )
( )
( )
( )
d , 3 ,A BCD d O BCD= =3OH=a

0.25
Câu 4
(1 điểm)
Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng
5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
3
a a a b b b c c c
b c c a a b
− + − + − +
+ + ≤
+ + +



Do a, b, c > 0 và
2 2 2
1a b c+ + =
nên
( )
, , 0;1a b c∈
Ta có
( )
2
2
5 3
3
2 2 2
1
2
1

a a
a a a
a a
b c a
−
− +
= = − +
+ −

B
ất đẳng thức trở thành
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 3
3
a a b b c c− + + − + + − + ≤

0.5

Xét hàm số
( ) ( )
( )
3
0;1f x x x x= − + ∈
. Ta có:

( )
( ) ( ) ( ) ( )
0;1
2 3 2 3

ax
9 3
= ⇒ + + ≤M f x f a f b f c

D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi a = b = c=
1
3

0.5
1(1 điểm)
Cho tam giác
ABC
vuông cân t
ạ
i
(1;2)A
,
đườ
ng th
ẳ
ng
: 1 0d x y− − =
là ti
ế

p
tuy
ế
n t
ạ
i B c
ủ
a
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC. Tìm t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m B và C bi
ế
t
r
ằ
ng B có tung
độ
d
ươ

ng


d: x-y-1=0
H
I
C
B
A(1;2)



Câu 5a
(2 điểm)
+ G
ọ
i H là hình chi
ế
u c
ủ
a A trên d là
( )
2;1
H
,
( ; )AH d A d= =
2

Tâm
đườ

ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p c
ủ
a tam giác ABC là trung
đ
i
ể
m I c
ủ
a BC
d vuông góc BC nên BC//AH suy ra

0
45
ABH
=

Suy ra,
2
HB HA
= =


0.25

THẦY TUYẾN _ ĐT: 0975.816.183 _ CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM


+ Gọi
( )
; 1B t t −
Ta có
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 8 8HB t t t t= − + − = − +

Mà HB
2
=2 nên
= 3 hoaëc t=1t
. Khi
đ
ó
( )
3;2B ho
ặ
c
( )
1;0B
+ Vì
( )
0 3;2
B
y B
>
⇒

0.25
+ Vì AHBI là hình vuông nên I(2;-1)

0.25
+ Vì I là trung
đ
i
ể
m c

ủ
a BC nên C(1;-4)
K
ế
t lu
ậ
n: B(3;2) và C(1;-4)

0.25
2.(1 điểm)
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố

( )
=
+2 1

x
e
f x
x

trên [0;2]


Hàm s
ố
y=f(x) liên t
ụ
c và xác
đị
nh trên [0;2] ,

( )
−
=
+
'
2
(2 1)
(2 1)
x
e x
f x
x

0.25

V
ớ
i
[ ]
0;2x
∈
, ph
ươ
ng trình
1
'( ) 0
2
f x x= ⇔ =

0.25
 
= = =
 
 
2
1
(0) 1; ; (2)
2 2 5
e e
f f f

0.25
T
ừ

đ
ó
( ) ( )
∈
∈
= =
2
[0;2]
[0;2]
min ;
2 5
x
x
e e
f x Max f x

0.25
(1 điểm)


+)
Đ
k:
3
n
n N
≥


∈




3 2 1
! ! !
6 4 100 6 4 100
( 3)! 2!( 2)! ( 1)!
n n n
n n n
A C C
n n n
+ − = ⇔ + − =
− − −

+)
3 2
5 100 0 ( 5)( 5 20) 0 5n n n n n n⇔ − − = ⇔ − + + = ⇔ =
.
0. 5
+Khai triển nhị thức Niu tơn ta có
V
ớ
i n = 5 ta có
( )
3
15
15
2 2 30 2
15
0

2
2 2
5
n
k k k
k
n
x x C x
−
=
 
+ = + =
 
 
∑

0.25
Câu 6a
(1điểm)

+
S
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
8
x

t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i
30 2 8 11k k
− = ⇔ =
. V
ậ
y h
ệ
s
ố
c
ầ
n tìm là
11 11
15
2 2795520C =

0.25
1.(1 điểm)

C
I
B
A
D

Câu 5b
(2điểm)
),8;(8:
1
bbBxydB −⇒−=∈

0.25

THẦY TUYẾN _ ĐT: 0975.816.183 _ CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM



).;32(32:
2
ddDyxdD −⇒−=∈
)8;32( −+−+−=⇒ dbdbBD
và trung điểm
BD là
.
2
8
;
2
32






++−−+ dbdb
I

Theo tính chất hình thoi




=
=
⇔



=−+−
=−+−
⇔





∈
=
⇔



∈
⊥
⇒
1
0
0996
013138
0.
d
b

db
db
ACI
BDu
ACI
ACBD
AC


0.25
Suy ra .
2
9
;
2
1
)1;1(
)8;0(






−⇒



−
I

D
B

).;317(317: aaAyxACA +−⇒+−=∈

2
15
215
2
.
2
1
=⇒==⇒= IA
BD
S
ACBDACS
ABCD

0.25



−
⇒



=
=
⇔=







−⇔=






−+






+−⇒
)ktm()6;11(
)3;10(
6
3
4
9
2
9
2

225
2
9
2
63
7
222
A
A
a
a
aaa
Suy ra
).6;11()3;10( −⇒ CA


0.25
2.(1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
+ +
=
+
2
2 2
1
x x
y
x
trên
1
;2

2
 
−
 
 

+ Hàm số liên tục và xác định trên
1
;2
2
 
−
 
 
,
( )
2
2
2
'
1
x x
y
x
+
=
+

0.25
+ Với

1
;2
2
x
 
−
∈
 
 
phương trình
' 0y =
có 1 nghiệm x=0
0.25
+ Tính
( ) ( )
1 3 10
0 2; ; 2
2 2 3
y y y
 
−
= = =
 
 

0.25
+ Kết luận
1
;2
2

1 3
min
2 2
y y
 
−
 
 
 
−
= =
 
 
;
( )
1
;2
2
10
max 2
3
y y
 
−
 
 
= =

0.25
(1 điểm)

+ Số cách chọn 4 bi từ số bi trong hộp là:
4
18
C
, số phần tử của không gian mẫu là
( )
4
18
3060n
C
Ω = =

0.25
Câu 6b
(1điểm)
+ S
ố
cách ch
ọ
n 4 bi
đủ
3 màu t
ừ
s
ố
bi trong h
ộ
p là:
2

7
1
6
1
5
1
7
2
6
1
5
1
7
1
6
2
5
CCCCCCCCC ++

+ G
ọ
i A là bi
ế
n c
ố
l
ấ
y các viên bi có
đủ
c

ả
3 màu, nên

( )
2 1 1 1 2 1 1 1 2
5 6 7 5 6 7 5 6 7
1575n A C C C C C C C C C= + + =

+ Xác su
ấ
t c
ủ
a A là
( )
( )
( )
1575 35
3060 68
n A
p A
n
= = =
Ω

0.5

THẦY TUYẾN _ ĐT: 0975.816.183 _ CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM


+ Ta thấy
A
là biến cố “ 4 viên bi không có đủ 3 màu” nên
( )
( )
33
1
68
p A p A= − =

0.25

–––––––HẾT––––––––





















THẦY TUYẾN _ ĐT: 0975.816.183 _ CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM