Xóa nút bất kỳ trên cây nhị phân

MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Hiện nay, công nghệ thông tin với tốc độ phát triển rất nhanh. Các
nhà khoa học khẳng định rằng chưa có một ngành khoa học - công
nghệ nào lại có nhiều ứng dụng như công nghệ thông tin. Việc ứng
dụng công nghệ thông tin vào trong giáo dục đã trở thành mối ưu tiên
hàng đầu của nhiều quốc gia trong đó có Việt Nam.
Trong quá trình học các giải thuật nói chung và môn cấu trúc dữ liệu
nói riêng, chúng ta rút ra một nhận định chung là: nhiều giải thuật
phức tạp trừu tượng, khó hiểu, khó hình dung vấn đề. Do đó chúng
ta luôn mong muốn trong quá trình học giải thuật nên có những mô
phỏng trực quan để chúng ta có thể tiếp thu giải thuật một cách dễ
dàng hơn. Tuy nhiên, việc học tốt giải thuật có rất nhiều thận lợi
dó là giúp cho quá trình tư duy giải thật tốt hơn, phát hiện vấn đề
nhanh hơn, đặc biệt giúp cho việc học các môn học khác có tính logic
cao được thuận lợi hơn. Nhưng để học tốt giải thuật thì không dễ
dàng với nhiều người. Vậy để giúp người học tiếp thu một cách dễ
dàng các giải thuật thì phải xây dựng các phần mền mô
phỏng thuật toán. Cây AVL là loại cây nhị phân tự cân bằng, là một
loại cấu trúc dữ liệu được ứng dụng rất nhiều trong công việc tìm
kiếm. Cây nhị phân tìm kiếm với ưu điểm thực hiện dễ dàng phép bổ
sung và loại bỏ đã tỏ ra là khá thuận tiện trong việc xử lý các bảng
biến động. Tuy nhiên nếu cây phát triển tự nhiên thì khuynh hướng
suy biến có thể xuất hiện và điều đó làm cho người dùng lo ngại. Còn
nếu muốn luôn đạt được chi phí tối thiểu thì đòi hỏi cây phải luôn
được “cân đối” (Như cây nhị phân hoàn chỉnh và cây nhị phân gần
đầy) Nhưng như ta đã biết, việc sửa lại cây cho cân đối nếu tiến
hành thường xuyên sẽ gây tổn phí khá nhiều thời gian và công sức
vậy cần phải đi tới một giải pháp dung hoà: Giảm bớt sự chặt chẽ
1
của tính “cân đối” để tránh được khả năng suy biến của cây. Năm

1962 P.M . Adelson – Velski – EM. Landis đã mở đầu phương hướng
giải quyết này bằng cách đưa ra một dạng cây cân đối mới mà sau
này được mang tên họ, đó là cây nhị phân tìm kiếm cân đối AVL.
Tính ứng dụng của cây AVL là rất lớn, nhưng trong chương trình
chúng ta chưa được học, nên em mong muốn làm mô phỏng giải
thuật về cây AVL để người học có thể nắm được loại cấu trúc dữ liệu
này và áp dụng nó trong việc giải quyết các bài toán của mình.
TỪ BÀI TOÁN ĐẾN CHƯƠNG TRÌNH

Mô hình hóa bài toán thực tế:
-Để giải một bài toán trong thực tế bằng máy tính ta phải bắt đầu từ
việc xác định bài toán. Nhiều thời gian và công sức bỏ ra để xác
định bài toán cần giải quyết, tức là phải trả lời rõ ràng câu hỏi "phải
làm gì?" sau đó là "làm như thế nào?". Thông thường, khi khởi đầu,
hầu hết các bài toán là không đơn giản, không rõ ràng. Để giảm bớt
sự phức tạp của bài toán thực tế, ta phải hình thức hóa nó, nghĩa là
phát biểu lại bài toán thực tế thành một bài toán hình thức (hay còn
gọi là mô hình toán). Có thể có rất nhiều bài toán thực tế có cùng một
mô hình toán.
2
MÔ PHỎNG THUẬT TOÁN XÓA NÚT BẤT KỲ
TRÊN CÂY NHỊ PHÂN
Cấu trúc cây
Định nghĩa:
Cây là một tập hợp T các phần tử (nút trên cây) trong đó có 1 nút
đặc biệt T0 được gọi là gốc, các nút còn khác được chia thành
những tập rời nhau T1, T2 , , Tn theo quan hệ phân cấp trong đó
Ti cũng là một cây. Giữa các nút có một quan hệ phân cấp gọi là quan
hệ cha con. Một cây không có nút nào gọi là cây rỗng (Null tree).
Nút ở cấp i sẽ quản lý một số nút ở cấp i+1. Quan hệ này người ta

còn gọi là quan hệ cha-con.
Một số khái niệm cơ bản:
- Bậc của một nút: là số cây con của nút đó . - Bậc của một cây: là
bậc lớn nhất của các nút trong cây. Cây có bậc n thì gọi là cây n-
phân.
- Nút gốc: nút không có nút cha.
- Nút lá: nút có bậc bằng 0 .
- Nút nhánh: nút có bậc khác 0 và không phải là gốc .
- Mức của một nút:
Mức (T0 ) = 1.
Gọi T1, T2, T3, , Tn là các cây con của T0
Mức (T1) = Mức (T2) = = Mức (Tn) = Mức (T0) + 1.
- Độ dài đường đi từ gốc đến nút x: là số nhánh cần đi qua kể từ gốc
đến x.
3
- Chiều cao h của cây: mức lớn nhất của các nút lá.

CÂY NHỊ PHÂN
Định nghĩa
Cây nhị phân là cây mà mỗi nút có tối đa 2 cây con
Cây nhị phân có thể ứng dụng trong nhiều bài toán thông dụng.
Ví dụ dưới đây cho ta hình ảnh của một biểu thức toán học:
4
Một số tính chất của cây nhị phân:
- Số nút ở mức I ≤ 2
I-1
.
- Số nút ở mức lá ≤ 2
h-1
, với h là chiều cao của cây.

- Chiều cao của cây h ≥ log
2
N
(N - số nút trên trong cây).
Biểu diễn cây nhị phân T
Cây nhị phân là một cấu trúc bao gồm các phần tử (nút) được
kết nối với nhau theo quan hệ “cha-con” với mỗi cha có tối đa 2 con.
Để biểu diễn cây nhị phân ta chọn phương pháp cấp phát liên kết.
Ứng với một nút, ta dùng một biến động lưu trữ các thông tin:
+ Thông tin lưu trữ tại nút.
+ Địa chỉ nút gốc của cây con trái trong bộ nhớ.
+ Địa chỉ nút gốc của cây con phải trong bộ nhớ.
Khai báo như sau:
typedef struct tagTNODE
{
Data Key;//Data là kiểu dữ liệu ứng với thông tin lưu tại nút
struct tagNODE *pLeft, *pRight;
5
}TNODE;
typedef TNODE *TREE;
Các thao tác trên cây nhị phân
Thăm các nút trên cây theo thứ tự trước (Node-Left-Right)
void NLR(TREE Root)
{
if (Root != NULL)
{
<Xử lý Root>; //Xử lý tương ứng theo nhu cầu
NLR(Root->pLeft);
NLR(Root->pRight);
}

}
Thăm các nút trên cây theo thứ tự giữa (Left- Node-Right)
void LNR(TREE Root)
{
if (Root != NULL)
{
LNR(Root->Left);
<Xử lý Root>; //Xử lý tương ứng theo nhu cầu
LNR(Root->Right);
}
}
Thăm các nút trên cây theo thứ tự sau (Left-Right-Node)
void LRN(TREE Root)
{
6
if (Root != NULL)
{
LRN(Root->Left);
LRN(Root->Right);
<Xử lý Root>; //Xử lý tương ứng theo nhu cầu
}
}
Ứng dụng phương pháp này trong việc tính tổng kích thước của thư
mục.
Ứng dụng tính toán giá trị của biểu thức.
(3 + 1)×3/(9 – 5 + 2) – (3×(7 – 4) + 6) = –13
7
Biểu diễn cây tổng quát bằng cây nhị phân
Nhược điểm của các cấu trúc cây tổng quát là bậc của các nút
trên cây có thể rất khác nhau ⇒ việc biểu diễn gặp nhiều khó khăn

và lãng phí. Hơn nữa, việc xây dựng các thao tác trên cây tổng quát
phức tạp hơn trên cây nhị phân nhiều.
Vì vậy, nếu không quá cần thiết phải sử dụng cây tổng quát,
người ta sẽ biến đổi cây tổng quát thành cây nhị phân.
Ta có thể biến đổi một cây bất kỳ thành một cây nhị phân theo
qui tắc sau:
- Giữ nút con trái nhất làm con trái.
- Các nút con còn lại biển đổi thành nút con phải.
VD: Giả sử có cây tổng quát như hình sau:


Cây nhị phân tương ứng sẽ như sau:
8
Một cách biểu diễn cây nhị phân khác
Đôi khi, trên cây nhị phân, người ta quan tâm đến cả quan hệ
chiều cha con. Khi đó, cấu trúc cây nhị phân có thể định nghĩa lại
như sau:
typedef struct tagTNode
{
DataType Key;
struct tagTNode* pParent;
struct tagTNode* pLeft;
struct tagTNode* pRight;
}TNODE;
typedef TNODE *TREE;
3. CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM
3.1. Định nghĩa:
Cây nhị phân tìm kiếm (CNPTK) là cây nhị phân trong đó tại
mỗi nút, khóa của nút đang xét lớn hơn khóa của tất cả các nút thuộc
cây con trái và nhỏ hơn khóa của tất cả các nút thuộc cây con phải.

Dưới đây là một ví dụ về cây nhị phân tìm kiếm:

9
Nhờ ràng buộc về khóa trên CNPTK, việc tìm kiếm trở nên có
định hướng. Hơn nữa, do cấu trúc cây việc tìm kiếm trở nên nhanh
đáng kể. Chi phí tìm kiếm trung bình chỉ khoảng log
2
N.
TToán:
Dễ dàng thấy rằng số lần so sánh tối đa phải thực hiện để tìm
phần tử X là bằng h, với h là chiều cao của cây.

Ví dụ: Tìm phần tử 55
Thêm một phần tử x vào cây
Việc thêm một phần tử X vào cây phải bảo đảm điều kiện ràng buộc
của CNPTK. Ta có thể thêm vào nhiều vị trí khác nhau trên cây,
nhưng nếu thêm vào một nút lá thì sẽ dễ nhất do ta có thể thực hiện
quá trình tương tự thao tác tìm kiếm. Khi chấm dứt quá trình tìm kiếm
ta sẽ tìm được vị trí cần thêm.
10
Hàm insert trả về giá trị –1, 0, 1 khi không đủ bộ nhớ, gặp nút
cũ hay thành công:
int insertNode(TREE &T, Data X)
{
if(T)
{
if(T->Key == X) return 0; //đã có
if(T->Key > X)
return insertNode(T->pLeft, X);
else

return insertNode(T->pRight, X);
}
T = new TNode;
if(T == NULL) return -1; //thiếu bộ nhớ
T->Key = X;
T->pLeft =T->pRight = NULL;
return 1; //thêm vào thành công
}
Xóa một phần tử có khóa x
Việc xóa một phần tử X ra khỏi cây phải bảo đảm điều kiện ràng
buộc của CNPTK.
Có 3 trường hợp khi xóa nút X có thể xảy ra:
X - nút lá.
X - chỉ có 1 cây con (trái hoặc phải).
X có đủ cả 2 cây con
Trường hợp thứ nhất: chỉ đơn giản xóa X vì nó không móc nối đến
phần tử nào khác.
11
Trường hợp thứ hai: trước khi xóa X ta móc nối cha của X với con
duy nhất của nó.
Trường hợp cuối cùng: ta không thể xóa trực tiếp do X có đủ 2
con ⇒ Ta sẽ xóa gián tiếp. Thay vì xóa X, ta sẽ tìm một phần tử thế
mạng Y. Phần tử này có tối đa một con. Thông tin lưu tại Y sẽ được
chuyển lên lưu tại X. Sau đó, nút bị xóa thật sự sẽ là Y giống như 2
trường hợp đầu.
12
Vấn đề là phải chọn Y sao cho khi lưu Y vào vị trí của X, cây vẫn là
CNPTK.
Có 2 phần tử thỏa mãn yêu cầu:
Phần tử nhỏ nhất (trái nhất) trên cây con phải.

Phần tử lớn nhất (phải nhất) trên cây con trái.
Việc chọn lựa phần tử nào là phần tử thế mạng hoàn toàn phụ
thuộc vào ý thích của người lập trình. Ở đây, cháng tôi sẽ chọn phần
tử (phải nhất trên cây con trái làm phân tử thế mạng.
VD:
Cần xóa phần tử 18.
Code PHP:
int del_node(nodeptr &root , int x)
{
nodeptr p , q , f;
p = root;
f = NULL;
13
while(p!=NULL)
{
if(p->data == x) break;
else
{
f = p;
if(x<p->data) p = p->left;
else p = p->right;
}
}
if(p==NULL) return 0;
else
{
if(p->left !=NULL && p->right!=NULL)
{
q = p->right;
f = p;

while(q->left!=NULL)
{
f = q;
q = q->left;
}
p->data = q->data;
p = q;
}
if(p->left!=NULL) q = p->left;
else q = p->right;
if(p==root) root = q;
else
{
if(p=f->left) f->left = q;
else f->right = q;
14
}
delete p;
return 1;
}
}
2.5. ĐÁNH GIÁ
Tất cả các thao tác Tìm kiếm, Thêm mới, Xóa trên CNPTK đều
có độ phức tạp trung bình O(h), với h là chiều cao của cây
Trong trong trường hợp tốt nhất, CNPTK có n nút sẽ có độ cao
h = log2(n). Chi phí tìm kiếm khi đó sẽ tương đương tìm kiếm nhị
phân trên mảng có thứ tự.
Tuy nhiên, trong trường hợp xấu nhất, cây có thể bị suy biến
thành 1 DSLK. Lúc đó các thao tác trên sẽ có độ phức tạp O(n). Vì
vậy cần có cải tiến cấu trúc của CNPTK để đạt được chi phí cho các

thao tác là log2(n).
15