Bài giảng lý thuyết điện học

1

CHƯƠNG 1. TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
Các điện tích đứng yên tạo ra xung quanh chúng một môi trường vật
chất đặc biệt, được gọi là trường tĩnh điện. Nội dung của chương này là khảo
sát tương tác tĩnh điện giữa các điện tích; Xây dựng các khái niệm cơ bản của
trường tĩnh điện như cường độ điện trường, điện thế, hiệu điện thế, chứng
minh trường tĩnh điện là trường lực thế.

§1. Các khái niệm mở đầu
1. Hiện tượng nhiễm điện.
Hiện tượng một số vật sau khi cọ sát vào nhau có thể hút được các vật
nhẹ khác gọi là hiện tượng nhiễm điện.
2. Điện tích.
Vật bị nhiễm điện nghĩa là nó có mang điện tích, có hai loại điện tích là
điện tích dương và điện tích âm.
Điện tích dương là loại điện tích giống điện tích xuất hiện trên thanh thủy
tinh sau khi cọ sát vào lụa.
Điện tích âm là loại điện tích giống điện tích xuất hiện trên thanh êbonit
sau khi cọ sát vào dạ.
Hai điện tích cùng loại ln đẩy nhau, khác loại hút nhau.
Điện tích xuất hiện trên vật có cấu tạo gián đoạn, gồm một số nguyên
lần điện tích nhỏ gọi là điện tích nguyên tố.

p = 1,6.10−19 C
- Điện tích nguyên tố dương: proton 
−27
mp = 1,67.10 kg
−19
e = −1,6.10 C
- Điện tích nguyên tố âm: electron 

−31
me = 9,1.10 kg

3. Ion.
Proton và electron đều có trong thành phần cấu tạo của nguyên tử,
proton nằm trong hạt nhân nguyên tử, electron chuyển động xung quanh hạt
nhân đó. Ngun tử ở trạng thái trung hịa có tổng điện tích bằng khơng: số
proton bằng số electron bằng Z.
Khi mất electron, nguyên tử trở nên thiếu điện tích âm và mang điện
dương, gọi là ion dương.
Khi nhận electron, nguyên tử trở nên thừa điện tích âm và mang điện
âm, gọi là ion âm.
Vậy: vật mang điện là do nó mất đi hoặc nhận thêm một số nguyên
lần điện tích nguyên tố âm:ne
4. Định luật bảo tồn điện tích.
Thuyết electron dựa vào sự chuyển dời của các electron để giải thích
các hiện tượng điện, bản chất của quá trình nhiễm điện chỉ là quá trình vật mất
đi hoặc nhận thêm một số nguyên lần điện tích nguyên tố âm, chính là q trình
phân bố lại các điện tích trong các vật hoặc trong hệ vật, cịn tổng đại số điện
tích trên chúng khơng có gì thay đổi.


2
Định luật bảo tồn điện tích: “Tổng đại số các điện tích trong một hệ
cơ lập ln là khơng đổi ”
5. Chất dẫn điện và chất cách điện.
Chất dẫn điện là chất có khả năng cho điện tích chuyển động tự do trong
nó.
Chất cách điện là chất khơng có khả năng cho điện tích chuyển động tự
do trong nó.

Giữa chất dẫn và cách điện có một loại chất trung gian, có độ dẫn điện
nhỏ hơn chất dẫn điện nhưng lớn hơn chất cách điện gọi là chất bán dẫn.

§2. Định luật Culong
Điện tích ln tương tác với nhau, hai điện tích cùng dấu thì đẩy nhau và
trái dấu thì hút nhau gọi là tương tác tĩnh điện hay tương tác Culong.
1. Điện tích điểm.
Là vật mang điện có kích thước nhỏ hơn rất nhiều so vói các kích thước
và khoảng cách mà ta khảo sát. Vậy khái niệm về điện tích điểm có tính tương
đối, trong trường hợp này ta có thể coi vật là điện tích điểm nhưng trong trường
hợp khác thì khơng.
2. Định luật Culong
2.1. Đinh luật Culong trong chân khơng.
Cho 2 điện tích q1 và q2 cách nhau khoảng r trong chân khơng, có hằng
số điện mơi ε =1. Bằng thực nghiệm nhà vật lý Coulomb đã thiết lập nên định
luật mang tên ông vào năm 1785. Định luật đó được phát biểu như sau:
“Lực tương tác giữa hai điện tích điểm đứng n trong chân khơng có
phương nằm trên đường thẳng nối hai điện tích, có chiều đẩy nhau nếu hai điện
tích cùng dấu và hút nhau nếu hai điện tích trái dấu, có độ lớn tỉ lệ thuận với
tích độ lớn của hai điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng chách giữa
chúng”

q1 q2
(1.1)
r2
1
k=
= 9.109 Nm2 / C2
4πε0
ε0 = 8,86.10 −12 C2 / Nm2 gọi

F=k

là

hằng số điện.
→

1 q1q2 r21
F10 =
4πε0 r 2 r
→

(1.2)
→

1 q1q2 r12
F20 =
4πε0 r 2 r

(1.3)

Và F10=F20=F

(1.4)

→

Hình 1.1.
Lực tương tác giữa hai điện tích điểm

3
→

→

r12 r21 là hai vectơ khoảng cách hướng từ q1 đến q2 và ngược lại.
2.1. Đinh luật Culong trong môi trường.
Nếu hai điện tích điểm q1, q2 được đặt trong một mơi trường bất kỳ thì
lực tương tác giữa chúng giảm đi ε lần so với lực tương tác giữa chúng trong
chân khơng: trong đó ε là một đại lượng khơng thứ ngun đặc trong cho tính
chất điện của mơi trường và được gọi là độ thẩm điện môi tỉ đối (hay hằng số
điện môi) của môi trường. Trị số ε của các môi trường được cho trong các số
tra cứu về điện (đối với chân không ε = 1, cịn đối với khơng khí ε ≈1)
→

→

F
1 q1q2 r12
F2 = 20 =
ε
4πεε0 r 2 r
→

→

(1.5)

→

F
1 q1q2 r21
F1 = 10 =
ε
4πεε0 r 2 r
→

(1.6)

3. Nguyên lý chồng chất các lực điện
Xét một hệ điện tích điểm q1, q2, ...., qn được phân bố rời rạc trong
→

→

khơng gian và một điện tích điểm q0 đặt trong khơng gian đó. Gọi F1 , F2 , ...,
→

Fn lần lượt là các lực tác dụng của q 1, q2,….., qn lên điện tích q0 thì tổng hợp các
lực tác dụng lên q0 là:
→

→

→

→

n →

F = F1 + F2 + ... + Fn = ∑ Fi

(1.7)

i=1

Áp dụng nguyên lý trên ta có thể xác định lực tương tác tĩnh điện giữa
hai vật mang điện bất kỳ bằng cách xem mỗi vật mang điện như một hệ vơ số
các điện tích điểm được phân bố rời rạc. Nếu điện tích được phân bố liên tục
trong vật thì việc lấy tổng trong (1.7) được thay bằng phép tích phân theo toàn
bộ vật. Với hai quả cầu mang điện đều hoặc hai mặt cầu tích điện đều, sau khi
áp dụng nguyên lý trên, ta thấy rằng lực tương tác giữa chúng cũng được xác
định bởi định luật Culong, song phải coi điện tích trên mỗi khối (mặt) cầu như
một điện tích điểm tập trung ở tâm của nó.

§3. Điện trường
1. Khái niệm điện trường
Sở dĩ các điện tích tuy ở cách xa nhau, không tiếp xúc với nhau nhưng
vẫn tương tác được với nhau là vì khơng gian xung quanh mỗi điện tích tồn tại
một mơi trường vật chất đặc biệt gọi là điện trường. Thể hiện sự tồn tại của
điện trường là ở chỗ khi đặt bất kì một điện tích nào vào điện trường thì điện
tích đó đều bị tác dụng của một lực điện. Điện trường là mơi trường truyền
tương tác điện từ điện tích này sang điện tích khác.
2. Véctơ cường độ điện trường
2.1. Định nghĩa
Tại một điểm M nào đó trong điện trường ta lần lượt đặt các điện tích
q01, q02... q0n có giá trị đủ nhỏ (để không làm biến đổi đáng kể điện trường đó)

4
→

→

→

rồi đo các lực F1 , F2 , ..., Fn do điện trường tác dụng lần lượt lên chúng. Thực
nghiệm cho thấy tỉ số giữa lực tác dụng lên mỗi điện tích và trị đại số của điện
tích đó là một hằng số:
→

→

→

→

F1
F
F
F
= 2 = ... n = const =
q01 q02
q0n
q0
→

→

E=

F
q0

(1.8)

→

E đặc trưng cho điện trường tại điểm M cả về độ lớn, phương và chiều;
nó được gọi là véctơ cường độ điện trường tại M
→
→
Nếu chọn q = +1C thì E = F .
(1.9)
Vậy: “Véctơ cường độ điện trường E tại một điểm là đại lượng đặc
trưng cho điện trường tại điểm đó về phương diện tác dụng lực, có trị
véctơ bằng lực tác dụng của điện trường lên một đơn vị điện tích dương
đặt tại điểm đó”.
→
→
− Nếu q0 > 0 thì E cùng chiều với F
→

→

− Nếu q0 < 0 thì E ngược chiều với F
→
Trong hệ đơn vị SI, đơn vị của E là Vôn/mét: V/m.

2.2. Vectơ cường độ điện trường của điện trường gây bởi 1 điện
tích điểm.
Giả sử điện trường do một điện tích điểm q sinh ra. Ta hãy xác định
→
véctơ cường độ điện trường E tại một điểm M cách điện tích q một khoảng r.
→

Muốn vậy tại điểm M ta đặt một điện tích điểm q 0 có trị số đủ nhỏ. Khi đó E tác
dụng lên q0 một lực chính là lực tác dụng do điện tích q tác dụng lên q 0.
→

→

→

1 qq0 r → →
1 q r
F=
E=
2
4πεε0 r r
4πεε0 r 2 r

(1.10)

Hình 1.2. Điện trường sinh ra bởi một điện tích điểm

Nhận xét:
→

→

- Nếu q > 0 thì E ↑↑ r : hướng ra xa khỏi điện tích q.
→

→

- Nếu Q < 0 thì E ↑↓ r : hướng vào điện tích q.
1 q
- Về độ lớn E =
: E tại điểm M tỉ lệ thuận với độ lớn của điện
4πεε0 r 2
tích q và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ điểm đang xét đến điện
tích q.


5
2.3. Véctơ cường độ điện trường của điện trường gây ra bởi một hệ vật
mang điện –Nguyên lý chồng chất điện trường
+ Điện trường gây ra bởi hệ điện tích phân bố rời rạc.
Xét hệ điện tích điểm q1, q2, ..., qn phân bố rời rạc trong không gian. Tại
M đặt q0 :
→

E=

n →

∑

→

Fi
F
i=1
q0 = q =
0

n

∑
i=1

→

n →
Fi
= Ei
q0 i=1

∑

(1.11)

→

Trong đó Fi là lực tác dụng của điện tích qi lên điện tích q0. (3.4) là biểu
thức tốn học của nguyên lý chồng chất điện trường được phát biểu như
sau:
“Véctơ cường độ điện trường của điện trường gây ra bởi một hệ

điện tích điểm bằng tổng các véctơ cường độ điện trường do từng điện
tích điểm của hệ sinh ra”.
+ Điện trường gây bởi hệ điện tích phân bố liên tục.
Xét một vật mang điện có kích thước bất kỳ và điện tích phân bố liên tục
trên vật này. Ta có thể xem vật như một hệ điện tích điểm được phân bố liên
tục trong khơng gian. Do đó, ta chia vật thành nhiều phần nhỏ có độ lớn điện
→

tích dq, sao cho dq có thể xem là điện tích điểm và sinh ra điện trường dE .
→

→

1 dq r
(1.12)
dE =
4πεε0 r 2 r
Véctơ cường độ điện trường do vật mang điện gây ra tại điểm M được
xác định tương tự theo cơng thức:
→

E=

∫

→

dE

(1.13)

tồnbơvât

Ta xét một số trường hợp cụ thể sau đây:
+ Nếu vật là sợi dây (L) với mật độ điện tích dàiλ (C/m) thì điện tích trên
một vi phân độ dài dl là dq =λdl
→

1 λdl r
E=
4πεε0 r 2 r
tồnbơvât
→

∫

(1.14)

+ Nếu vật là mặt (S) với mật độ điện tích mặt ρ(C/m 2) thì điện tích trên
một vi phân độ dài dl là dQ = ρdl
→

1 σdS r
E=
4πεε0 r 2 r
tồnbơvât
→

∫

(1.15)

+ Nếu vật là khối (V) với mật độ điện tích khối δ (C/m 3) thì điện tích trên
một vi phân độ dài dl là dQ =δdV
→

1 ρdV r
E=
4πεε0 r 2 r
tồnbơvât
→

∫

(1.16)

3. Ứng dụng ngun lý chồng chất điện trường tính cường độ điện
trường do một vài hệ điện tích sinh ra
3.1. Lưỡng cực điện
+ Định nghĩa
Lưỡng cực điện là một hệ hai điện tích điểm có độ lớn bằng nhau nhưng


6
trái dấu +q và –q, cách nhau một đoạn l rất nhỏ so với khoảng cách từ lưỡng
cực điện tới những điểm đang xét của trường.
+ Mômen lưỡng cực điện
→

→

→

Véctơ mômen lưỡng cực điện được định nghĩa là: p = q l , l là véctơ
e
khoảng cách giữa hai điện tích đó, hướng từ điện tích (-q) đến (+q). Đường
thẳng nối hai điện tích gọi là trục của lưỡng cực điện.
+ Điện trường gây ra bởi lưỡng cực điện:
Cường độ điện trường tại điểm M nằm trên mặt phẳng trung trực
của lưỡng cực
Theo nguyên lý chồng chất điện trường thì cường độ điện trường tại M:
→

→

→

(1.17)

E = E1 + E2

1 q
(1.18)
4πεε0 r12
E = E1cosα + E2cosα = 2E1cosα
E1 = E2 =

cosα =
E=

1 ql
l
→E=
4πεε0 r13
2r

1 ql
1 pe
=
3
4πεε0 r1
4πεε0 r13

(1.19)

→

Hình 1.3. Lưỡng cực điện
1 pe
(1.20)
E=
4πεε0 r13
Cường độ điện trường tại một điểm trên trục của lưỡng cực: Bằng
phương pháp tương tự ta cũng xác định được véctơ cường độ điện trường tại
N cách tâm O của lưỡng cực điện khoảng r:
→

→

→

1 pe
(1.21)
EN =
4πεε0 r 2
Lưỡng cực điện đặt trong điện trường ngoài.
→

Giả sử lưỡng cực điện pe đặt
→

trong điện trường ngoài E0 , nghiêng với
đường sức điện trường góc θ, lưỡng cực
điện sẽ chịu tác dụng của mômen ngẫu
→

→

→

→ →

→

lực F1 , F2 : F1 = qE0 ,F2 = −qE0
→

→

→

→

→

µ = l ∧ F1 = l ∧ qE0
→

→

→

→

= q l ∧ E 0 = p e ∧ E0
µ = peE0 sin θ = qlE0 sin θ

Hình 3.3. Lưỡng cực điện trong điện
trường ngồi

(1.22)

→

Mơmen µ có tác dụng làm quay lưỡng cực điện theo chiều (trong hình 7→

→

6 là theo chiều kim đồng hồ) sao cho pe trùng với hướng của điện trường E0 .
→

→

→

→

Đến vị trí mà pe ↑↑ E0 thì các lực F1 và F2 trực đối nhau. Nếu lưỡng cực điện là
cứng (l khơng đổi) nó sẽ nằm cân bằng. Nếu lưỡng cực là đàn hồi, nó sẽ bị


7
biến dạng.
3.2. Điện trường của dây thẳng tích điện dài vơ hạn
Dây dài vơ hạn tích điện đều mật độ điện dài λ, ta cần tìm điện trường tại
M cách dây khoảng R. Ta chia nhỏ dây thành từng phần có độ dài dx, điện tích
→

dq được coi như điện tích điểm, dq gây ra cường độ điện trường tại M là dE :
1 dq
1 λdx
dE =
=
(1.23)
2
4πεε0 r
4πεε0 r 2
Trog đó: r 2 = R2 + x 2
Theo nguyên lý chồng chất điện trường, cả sợi dây gây ra điện trường
tại M:

→

E=

∫

→

dE

(1.24)

dây

Vì mỗi yếu tố dx trên sợi dây ln có một yếu tố đối xứng qua O nên
từng cặp yếu tố dx đối xứng như vậy gây ra cường độ điện trường tổng cộng
→
có phương vng góc với sợi dây. Kết quả, cả sợi dây gây ra véctơ E có
phương vng góc với sợi dây và E = En.
E = En = dEn = dEcosα

∫

∫

dây

=

dây

1 λdx
cosα
2
4
πεε
r
0
dây

∫

(1.25)


R
R2
2
cos
α
=
→
r
=

r
cos2α

 x = Rtgα → dx = Rdα


cos2α
→E=

=

1
4πεε0
dây

∫

Rdα
cos2α cosα
R2
cos2α

λ

Hình 1.4.
Dây thẳng tích điện đều

1 λ
cosαdα
4
πεε
R
0
dây

∫

α

1 λ
1 λ 2
(sin α 2 − sin α1 )
=
cosαdα =
∫
4πεε0 R
4πεε0 R α1
Dây dài vô hạn nên: α 2 =

λ
π
π
, α1 = − : E =
2
2
2πεε0R

(1.25’)
(1.26)

3.3. Điện trường của đĩa trịn mang điện đều
Giả sử có đĩa trịn (O, R) mang điện đều mật độ điện mặt σ , cần tìm
cường độ điện trường do đĩa gây ra tại M nằm trên trục của đĩa và cách tâm
đĩa khoảng h. Ta chia nhỏ đĩa thành từng phần nhỏ có diện tích dS được giới
hạn bởi hai đường trịn (O,x) và (O, x+dx) và hai bán kính hợp với phương Ox
góc φ và φ+d φ, điện tích của dS là dq.

dS = x.dx.dϕ , dq = σdS = σ.x.dϕ.dx


8
→

Cường độ điện trường do dq gây ra tại M dE1 :
1 dq
dE1 =
(1.27)
4πεε0 r 2
Trong đó r = h2 + x 2 .
Với mỗi yếu tố dS như trên ta ln có một yếu tố đối xứng với dS qua O
→

→

gây ra điện trường dE2 , hai yếu tố này gây ra tại M cường độ điện trường dE
có phương nằm trên trục của đĩa.
→

→

→

(1.28)

dE = dE1 + dE2

→

Kết quả là véctơ cường độ điện trường do cả đĩa gây ra tại M là E cũng
có phương nằm trên trục của đĩa.
→

E=

∫

→

dE , E =

1/2dia

∫

dE

1/2dia

(1.29)

dE1 = dE2
→ dE = 2.dE1.cosα (1.30)
h
h
=
2
r

h + x2
σh
xdxdϕ
→ dE =
2πεε0 ( h2 + x 2 )3

cosα =

E=

σh
xdxdϕ
2πεε0 ( h2 + x 2 )3
1/2dia

∫

π

R

σh
xdx
=
dϕ
2πεε0 0 ( h2 + x 2 )3 0

∫

∫

Hình 1.5. Đĩa trịn mang điện đều

 2
 x = 0 → z = h
h + x 2 = z2 → 
2
2

 x = R → z = h + R

 xdx = zdz
R

∫(
0
π

xdx
h2 + x 2 )3

h2 +R2

=

∫
h

1
1

zdz (1 −
)
=
1 + R 2 h2 h
z3

∫ dϕ = π
0

E=

σh
1
1
σ
1
(1 −
) π=
(1 −
)
2πεε0
2εε0
1 + R 2 h2 h
1 + R 2 h2

(1.31)

Nếu đĩa có kích thước rất lớn nó tương với mặt phẳng vơ hạn mang điện
σ
đều, R → ∞ : E =

(1.32)
2εε0


9

§4. Điện thơng
1. Đường sức điện trường.
1.1.
Định nghĩa.
Để mơ tả dạng hình học của điện trường người ta dùng đường sức điện
trường.
“Đường sức điện trường là một đường cong mà tiếp tuyến tại mỗi
điểm của nó trùng với phương của véctơ cường độ điện trường E tại
điểm đó, cịn chiều của nó là chiều của véctơ cường độ điện trường”.
Tập hợp các đường sức gọi là điện phổ.
1.2. Tính chất
- Mật độ đường sức đặc trưng cho độ lớn của vectơ cường độ điện
trường.
- Đường sức luôn là đường cong hở, xuất phát từ điện tích dương hoặc
vơ cùng, kết thúc ở điện tích âm hoặ vơ cùng.
- Các đường sức điện trường
khơng cắt nhau vì tại mỗi điểm trong
→
điện trường véctơ E chỉ có một giá trị
xác định qua đó ta chỉ vẽ dduocj một
đường sức duy nhất.
- Đường sức của điện trường
đều là các đường thẳng song song cách
Hinh 1.6. Đường sức điện trường.

đều nhau.

Hình 1.7. Điện phổ của điện tích điểm

Hình 1.8.. Điện phổ của hệ hai điện tích điểm

2. Vectơ cảm ứng điện.
Sự gián đoạn của đường sức điện trường.


10
Khi ta biểu diễn điện trường bằng điện phổ qua các mơi trường khác
→
nhau thì gặp phải khó khăn vì cường độ điện trường E phụ thuộc vào môi
trường (tỉ lệ nghịch với hằng số điện môi ε) Và do đó khi đi qua mặt phân cách
→
của hai mơi trường hằng số điện môi ε khác nhau cường độ điện trường E
biến thiên đột ngột vì vậy điện phổ bị gián đoạn ở bề mặt phân cách hai mơi
trường.
Hình 1.9 là điện phổ của một điện tích điểm +q đặt ở tâm một mặt cầu S,
bên trong S là chân khơng (ε = 1), cịn bên ngồi S là mơi trường có hằng số
điện mơi ε = 2. Ta thấy, qua mặt phân cách S, số đường sức giảm đi 2 lần, tức
là điện phổ bị gián đoạn trên mặt S.
Sự gián đoạn này không thuận lợi cho các phép tính về điện trường. Để
khắc phục, người ta khử sự gián đoạn đó bằng cách đưa vào một đại lượng
vật lý khác khơng phụ thuộc vào tính chất của mơi trường được gọi là véctơ
→
cảm ứng điện D (còn gọi là véctơ điện cảm). Trong trường hợp môi trường là
đồng nhất, ta định nghĩa:
→

→

D = εε0 E , D = εε0E

(1.33)

Tương tự như véctơ cường độ
→
điện trường E , véc tơ điện cảm cũng
có đường điện cảm thể hiện về mặt
→
hình học của D . Về mặt định nghĩa và
tính chất, đường điện cảm giống như
Hình 1.9.
đường sức của điện trường, tuy nhiên
Sự gián đoạn của đường sức điện trường
mật độ của nó khơng thay đổi khi qua
2 mơi trường có hằng số điện mơi
khác nhau.
Đối với điện trường gây bởi
điện tích điểm:
→

E=
→

→

D=

→

q

r
4πεεor r
2

→

q

q
r
,D =
4πr r
4πr 2
2

(1.30)

Hình 1.10.
Sự liên tục của đường điện cảm

3. Điện thông
3.1. Định nghĩa.
Điện thông qua một điện tích S đặt trong điện trường chính là thơng
lượng của véctơ cảm ứng điện gởi qua diện tích S đó.

11
3.2. Biểu thức tính điện thơng
+ Xét diện tích phẳng S đặt trong
điện trường đều có các đường cảm ứng
điện thẳng song song cách đều nhau (hình
4.5).
Theo định nghĩa, điện thơng Φ e
gởi qua mặt S là đại lượng có trị số bằng
số đường cảm ứng điện gửi qua mặt S đó.
→→

Φe = D S

(1.31)

D S
Φ e = DScosα =  n
DSn

(1.32)

→
→
S
↑↑
n ⊥S

→ 
Trong đó véctơ diện tích S  →

S = S


Hình 1.11.
Định nghĩa điện thơng

→

→

Với Dn là hình chiếu của D lên phương S và Sn là hình chiếu của S lên
phương vng góc với các đường cảm ứng điện. Ta nhận thấy số đường cảm
ứng điện gửi qua hai mặt S và S n là như nhau, nên điện thơng gửi qua S cũng
chính là điện thơng gởi qua Sn.
→
Φe>0 khi α nhọn hoặc Φe< 0 khi α tù, tùy thuộc vào cách chọn n .
+ Nếu diện tích S bất kỳ và điện trường bất kỳ, khi đó ta chia diện tích S
→
thành những vi phân diện tích vơ cùng nhỏ dS sao cho véctơ cảm ứng điện D
tại mọi điểm trên diện tích dS có thể xem là bằng nhau (đều).
Khi đó điện thơng vi phân gửi qua dS:
→ →

(1.33)
dΦ e = D dS
Và điện thơng tồn phần gửi qua S:
Φe =

∫

(S)

→ →

D ds =

∫ Ddscos α .

(1.34)

(S)

→

Nếu (S) là mặt kín, pháp tuyến n ln hướng ra khỏi mặt (S).

§5. Định lý Ơxtrơgratxki-Gauss
Mục đích của phần này là thiết lập mối quan hệ giữa véctơ cảm ứng điện
D và điện tích gây ra . Đó chính là nội dung của định lý O – G.
1. Góc khối
Cho diện tích dS và một điểm O ngồi S. M thuộc dS, OM=r, tại đó ta
→
dựng pháp tuyến n của dS hợp với OM góc α. dS n là hình chiếu của dS lên mặt
phẳng vng góc với OM. Ta định nghĩa góc khối từ O nhìn dS:
dScos α
dS
dΩ =
, dΩ = 2 n (1.35)
2
r

r
Dựng mặt cầu đơn vị Σ tâm O, dΣ là diện tích chỏm cầu tâm O bán


12
kính bằng 1 nằm trong hình nón đỉnh O tựa trên chu vi của dS n, ta có:
dΣ dSn
= 2 → d Ω = dΣ
12
r
→
dΩ = +dΣ hoặc dΩ = −dΣ tùy thuộc vào cách chọn n .
Và ta có góc khối từ O nhìn
mặt S bất kỳ:
Ω=

dScos α
(1.36)
r2
(S)

∫ dΩ = ∫

(S)

 Ω = +4 π
Ω = 4π → 
 Ω = −4 π

(1.37)

Hình 1.12. Góc khối

2. Điện thơng xuất phát
từ một điện tích điểm.
Điện tích điểm q đặt tại O và một vi phân diện tích dS tại M cách q
q
khoảng r: Độ lớn véctơ điện cảm tại M: D =
4πr 2
Điện thông gửi qua dS:
dΦ e = D.dS.cosα
q

q
dΩ
(1.38)
4π
4πr
Giả sử dS là một vi phân diện tích trên mặt kín (S). Nếu (S) bao quanh q,
khi đó điện thơng toàn phần gửi qua S:
q
q
Φ e = dΦ e =
dΩ =
dΩ = q (1.39)
4
π
4
π
(S)
(S)

(S)
=

dScosα =
2

∫

với

∫

∫

∫ dΩ = 4 π

(S)

Nếu mặt (S) kín khơng bao quanh q: ta chia S thành 2 phần (S 1) và (S2)
bằng đường tiếp xúc của mặt nón đỉnh O với mặt (S), khi đó:
dΩ =
dΩ +
dΩ = ∆Σ + ( −∆Σ ) = 0

∫

(S)

∫

∫

(S1 )

→ Φe =

(S2 )

q
dΩ = 0
4π (S)

∫

(1.40)

3. Định lý Ơxtrơgratxki-Gauss
→
Xét mặt kín (S), chiều dương của pháp tuyến n trên mặt kín hướng ra
ngồi, ta phát biểu định lý như sau:
“Điện thơng qua một mặt kín bằng tổng đại số các điện tích nằm
trong mặt kín đó”
Biểu thức: Φe =

→ →

Đ
∫

D dS =

(S)

(S) gọi là mặt Gauss.

n

∑q

i

i=1

(1.41)


13
Dạng vi phân của định lý:
→ →
→

D ds = div D dV 
→
(S)
(V )

→
div
D
=ρ


n

qi = ρdV

i=1
(V)


∫

∫

∑

(1.42)

∫

4. Ứng dụng định lý tính cường độ điện trường.
4.1. Điện trường của một mặt cầu mang điện đều:
Cho mặt cầu (O, R), tích điện đều với mật độ điện khối ρ > 0. Xác định
cường độ điện trường tại điểm M ở bên ngoài và điểm N bên trong quả cầu.
* Tại điểm M ở ngoài mặt cầu, OM = r > R.
+ Chọn mặt Gauss (S) ≡ mặt cầu (O,r) đi qua M.
+ Vì khối cầu tích điện đều nên hệ đường sức có tính chất đối xứng cầu. Hệ
đường sức có phương trùng với các bán kính, hướng ra ngồi. Do đó quỹ tích
→
của những điểm có độ lớn D bằng nhau là những mặt cầu tâm O, do đó trên
mặt cầu (S): D = DM = const.

+ Áp dụng định lý O – G:
→ →

Φe =

Ñ
∫

D dS =

→ →

Ñ
∫

(S)

∑q

i

i=1

(S)

D dS =

n

Ñ

∫ DdScosα

(S)

Ñ
∫ D dS = Ñ
∫ DdS

=

n

(S)

=D

(S)

Ñ
∫ dS = D.4πr

2

(S)

(1.43)

n

∑q = q

i

i=1

(1.44)

Hinh 1.13. Điện trường của mặt cầu
mang điện đều

q
q
E=
,
(1.45)
4πεε0r 2
4πr 2
Kết quả này giống với biểu thức cường độ điện trường của một điện tích
điểm q đặt tại O.
→D=

* Tại điểm N nằm trong lòng mặt cầu (r < R).
Tương tự quá trình như trên, tuy nhiên vì mặt Gauss (S) lúc này nằm
trong mặt cầu mang điện nên nó khơng chứa một điện tích nào:
n

∑q = 0
i

→ D = 0,E = 0

(1.46)

i=1

Nhận xét:

− Ở trong mặt cầu (r− Ở ngồi (r>R): điện trường tương đương với điện trường của 1
điện tích điểm có cùng độ lớn đặt tại tâm mặt cầu.
4.2. Điện trường của một mặt phẳng mang điện đều:
Mặt phẳng vô hạn mang điện đều có mật độ điện mặt σ, do tính đối xứng


14
→

nên véctơ điện cảm D tại điểm M nào đó trong điện trường ln vng góc với
mặt phẳng.
Ta chọn mặt Gauss (S) là mặt trụ đi qua M nằm đối xứng với nhau qua
mặt phẳng. Điện thông gửi qua (S):
Φe =

n

→ →

Ñ
∫ D dS = ∑ q

i

i=1

(S)

Do (S) giao với mặt phẳng bởi ∆S có
điện tích ∆q = σ∆S nên:
n

∑ q = σ.∆S

(1.47)

i

i=1

→ →

Ñ
∫

D dS =

(S)

=

Ñ
∫ DdScosα

(S)

Ñ
∫ D dS = ∫

DndS +

n

(S)

(S2dáy )

DndS

(Smatbên )

= Dn 2.∆S + 0 = D.2.∆S
σ
σ
→D= , E =
2εε0
2
→

∫

Hình 1.14 . Điện trường của
mặt phẳng mang điện đều

(1.48)
(1.49)

→

D và E không phụ thuộc vào không gian, vậy điện trường do mặt phẳng
vô hạn sinh ra là điện trường đều.
4.3. Hai mặt phẳng mang điện đều trái dấu đặt song song:
Cho 2 mặt phẳng có cùng mật độ điện mặt nhưng trái dấu σ và −σ .
Véctơ cảm ứnd điện tại mọi điểm trong diện trường:
→

→

→

(1.50)

D = D1 + D2

→

→

Do 2 mặt phẳng trái dấu nên D1,D2
trong vùng không gian giữa hai mặt cùng chiều
nhau:
σ
D=D1+D2=2D1= σ , E =

(1.51)
εε0
Ngồi vùng khơng gian của 2 mặt phẳng
→

→

D1,D2 ngược chiều nhau nên:
D=0, E=0.

(1.52)

Hình 1.15. Điện trường giữa
hai mặt phẳng vô hạn trái dấu

4.4. Điện trường của một mặt trụ vô hạn mang điện đều:
Cho mặt trụ dài vô hạn bán kính R mật độ điện mặt σ , do tính đối xứng
→
nên véctơ điện cảm D tại điểm M nào đó trong điện trường ln vng góc với
trục của trụ và hướng theo phương bán kính.
Chọn mặt Gauss (S) là mặt trụ đồng trục với mặt trụ mang điện có chiều
cao l và bán kính r đi qua M. Theo định lý O-G, điện thông gửi qua (S):
Φe =

→ →

n

Ñ
∫ D dS = ∑ q

i

(S)

i=1


15
→ →

Ñ
∫

D dS =

(S)

∫ D dS = ∫
Ñ
∫ DdScosα = Ñ
n

(S)

(S)

∫

=0+

DndS = Dn

(Smatbên )

∫

=D

∫

∫

DndS +

(S 2dáy )

DndS

(Smatbên )

dS

(Smatbên )

dS = D.2π.r.l

(1.53)

∑ q = σ.∆S = σ.2π.R.l

(1.54)

(Smatbên )
n

i

i=1

→D=

σR
σR
,E =
r
εε0r

(1.55)
n

Nếu R rất nhỏ trụ tương đương với 1 dây tích điện vơ hạn:
→D=

∑ q = λl
i

i=1

λ

λ
,E =
2πr
2πεε0r

(1.56)

§6. Điện thế
1. Cơng của lực tĩnh điện. Tính chất thế của trường tĩnh điện.
→
Xét điện tích điểm q0 đặt trong điện trường tĩnh E , theo tính chất của
→

→

điện trường, q chịu tác dụng của lực điện trường F = qE và di chuyển theo
→

đường cong MN. Khi đó lực F sinh cơng AMN gọi là công của lực tĩnh điện.
N→ →

N→ →

N

M

M

M

∫

∫

∫

A MN = F ds = q0 E ds = q0 Edscos α

(1.57)

1.1. Cơng của điện trường gây bởi 1 điện tích điểm
→
Nếu E do một điện tích điểm sinh ra, tại M véctơ cường độ điện trường:
→

q
q
r ,E =
E=
4πεεor 2
4πεεor 2 r
→

dscosα= AA’= OA’-OA=OB-OA=dr
r

A MN

qq0 N dr

qq0 1 1
=
=
( − )
4πεε0 r r 2 4πεε0 rM rN

∫

M

qq0 1
qq0 1
=
−
(1.58)
4πεε0 rM 4πεε0 rN
Nhận thấy AMN không phụ thuộc vào
dạng đường cong dịch chuyển MN của q0, mà Hình 1.16 . Cơng của lực tĩnh điện
chỉ phụ thuộc vào M và N.
1.2. Công trong điện trường gây bởi hệ điện tích điểm.


16
→

Giả sử E do hệ điện tích điểm qi sinh ra, khi đó véctơ cường độ điện
trường tại M:
→

E=

n →

∑E

i

i=1

N

n → →

∫ ∑

A MN = q0

i=1

M
n

Ei ds =

n N

∑∫q

→ →

0 Ei

ds

i=1 M

qq 1
1
− i 0
)
(1.59)
4πεε0 riN
0 riM
i=1
Trong đó riM và riN là các khoảng cách từ điện tích qi đến M và N.
Ta thấy công của lực tĩnh điện cũng không phụ thuộc vào dạng đường
cong dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của dịch
chuyển.
Mọi điện trường bất kỳ luôn được xem như điện trường của hệ điện tích
điểm. Do đó, ta có thể kết luận công của lực tĩnh điện làm dịch chuyển một điện
tích trong một điện trường bất kỳ đều không phụ thuộc vào dạng đường cong
dịch chuyển, mà chỉ phụ thuộc vào tọa độ của điểm đầu và điểm cuối của dịch
chuyển.
=

qiq0

∑ ( 4πεε

Vậy nếu M ≡ N : A MN =

→

∫

N

M

→ →

q0 E ds =

Ñ
∫

→ →

q0 E ds = 0

(1.60)

(C)

→ →

Đ
∫

E ds = 0

(1.61)

(C)

Đây là tính chất thế của trường tĩnh điện.
Vậy:
+ Trường tĩnh điện là trường thế lực tĩnh điện là lực thế.
+ Lưu số của véctơ cường độ điện trường (tĩnh) dọc theo một
đường cong kín bằng khơng.
2. Thế năng của điện tích trong điện trường
Do trường tĩnh điện là trường thế nên công của lực tĩnh điện tác dụng
lên q0 trong sự dịch chuyển nào đó bằng độ giảm thế năng của q 0 trong điện
trường: dA = −dWt
(1.62)
A MN =

∫

N

M

dA = −

∫

N

M

dWt

= WtM -WtN
+ Điện trường của điện tích điểm:
qq0 1
qq0 1
A MN =
−
= WtM -WtN
4πεε0 rM 4πεε0 rN
qq0 1
→ Wt =
+C
4πεε0 r
Chọn thế năng ở vô cùng bằng 0:
qq0 1
qq0 1
Wt∞ =
+ C = 0 → Wt =
4πεε0 r∞
4πεε0 r
+ Điện trường của hệ điện tích điểm:

(1.63)
(1.64)
(1.65)

(1.66)

17
A MN =

n

∑

qiq0 1
−
4πεε0 riM

i=1
n

→ Wt =

qiq0 1
=
r
0 i

∑ 4πεε

i=1
→

n

qiq0

∑ 4πεε
i=1
n

0

1
= WtM -WtN
riN

∑W

(1.67)
(1.68)

ti

i=1

+ Điện trường E bất kỳ:
∞

∫

→ →

N ≡ ∞ → WtN = 0 : WtM = A M∞ = q0 E ds

(1.69)

M

Vậy: Thế năng của q0 tại một điểm nào đó trong điện trường bằng
cơng của lực tĩnh điện làm dịch chuyển q0 từ điểm đó ra xa vô cùng.
3. Điện thế.
2.1. Định nghĩa.
Thế năng của q0 tại M trong điện trường phụ thuộc vào độ lớn của q 0, tuy
nhiên tỷ số thế năng trên độ lớn điện tích q 0 ln khơng đổi:
Wt1M Wt 2M
Wt M W
=
= ... = n = tM = VM
(1.70)
q01
q02
q0n
q0
gọi là điện thế của điện trường tại điểm M.
q 1
+ Điện trường của điện tích điểm: V =
4πεε0 r
+ Điện trường của hệ điện tích điểm: V =

n

∑
i=1

n

∑V

i

(1.72)

i=1

∞

→ →
W
+ Điện trường E bất kỳ: VM = tM = E ds
q0
M
→

qi 1
=
4πεε0 ri

(1.71)

∫

(1.73)

Do chọn mốc thế năng bằng không ở vô cùng nên mốc điện thế cũng
bằng 0 ở vô cùng.
3.2. Hiệu điện thế.

A MN = WtM -WtN = q0 (VM -VN ) = q0UMN
(1.74)
Vậy: “Công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển điện tích điểm q
từ điểm M tới điểm N trong điện trường bằng tích số của điện tích q với
hiệu điện thế giữa hai điểm M và N đó”.
3.2. Ý nghĩa của điện thế và hiệu điện thế.
Chọn q0 = +1C → UMN = AMN
(1.75)
Vậy: Hiệu điện thế giữa hai điểm M và N trong điện trường là một đại
lượng bằng công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển một đơn vị điện tích
dương từ điểm M đến điểm N
q0 = +1C

Chọn
(1.76)
 → VM = A M∞
N ≡ ∞,VN = 0 
Vậy: Điện thế tại một điểm trong điện trường là một đại lượng về trị số
bằng công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển một đơn vị điện tích dương
từ điểm đó ra xa vơ cùng.
Chú ý:


18
− Đơn vị đo điện thế và hiệu điện thế trong hệ SI là Vơn, kí hiệu là V.
− Trong kỹ thuật, đại lượng hiệu điện thế được sử dụng nhiều hơn đại
lượng điện thế vì giá trị của hiệu điện thế khơng phụ thuộc vào cách chọn gốc
tính điện thế (hoặc thế năng). Thường chọn điện thế của đất hoặc của những
vật nối đất bằng khơng. Khi đó nói điện thế của một điểm nào đó chính là nói về
hiệu điện thế giữa điểm đó với đất.

− Một vật tích điện q được phân bố liên tục, khi đó muốn tính điện thế tại
một điểm nào đó trong điện trường do Q tạo ra ta có cơng thức sau:
q dq
V=
dV =
(1.77)
4πεε0 r
cahê
cahê

∫

∫

4. Mặt đẳng thế
4.1. Định nghĩa
Mặt đẳng thế là quỹ tích của những điểm có cùng điện thế ở trong điện
trường (V = const).
Mặt đẳng thế của điện trường gây bởi 1 điện tích điểm là những mặt cầu
đồng tâm, tâm là điểm đặt điện tích: r=const.
Mặt đẳng thế của điện trường đều là các mặt phẳng song song vng
góc với đường sức điện trường.
4.2. Tính chất của mặt đẳng thế
- Các mặt đẳng thế không cắt nhau vì mỗi điểm trong điện trường chỉ có
một giá trị duy nhất của điện thế, qua đó ta chỉ vẽ được một mặt đẳng thế.duy
nhất.
- Công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển một điện tích bất kỳ trên
cùng một mặt đẳng thế bằng không. Hai điểm M và N bất kỳ trên một mặt đẳng
thế (VM = VN) thì cơng của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích q giữa hai
điểm này: AMN = q (VM – VN) = 0

- Véctơ cường độ điện trường có phương vng góc với mặt đẳng thế.
Cơng của lực tĩnh điện làm dịch chuyển q0 trên ds thuộc mặt đẳng thế:
→ →

→ →

→

→

(1.78)
dA = q0 E ds = 0 , E ds = 0 → E ⊥ ds
Do đó đường sức của điện trường cũng vng góc với mặt đẳng thế.

§7. Liên hệ giữa điện thế và cường độ điện trường.
1. Mối liên hệ.
→
Véctơ cường độ điện trường E và điện thế V tại một điểm nào đó là hai
→
đại lượng đặc trưng cho điện trường về hai phương diện khác nhau: véctơ E
→

→

đặc trưng về phương diện tác dụng lực ( F = qE ), còn điện thế V đặc trưng về
∞→ →

∫

phương diện công – năng lượng ( VM = A M∞ = E ds ). Do đó giữa hai đại lượng

M

này, phải có mối liên hệ với nhau. Ta sẽ thiết lập mối quan hệ đó.
Xét 2 điểm M và N trong điện trường có điện thế V và V+dV nên chúng
nằm trên 2 mặt đẳng thế V và V+dV, công của lực tĩnh điện làm dịch chuyển q 0
giữa M và N:


19
dA = q0 (V − (V + dV)) = −q0dV
→ →

Mặt khác: dA = q0 E ds = q0Edscos α
→ Edscosα = - dV
(1.79)
+ Nếu dV > 0 → cosα < 0 : α tù. VN>VM
→
E hướng từ M đến N: theo chiều
giảm của điện thế.
dV
+ Esds = −dV → Es = −
(1.80)
ds
→
Hình 1.17 . Liên hệ giữa E và V
→
Nghĩa là: Hình chiếu của E lên một
phương nào đó về trị số bằng độ giảm điện thế trên một đơn vị dài của
phương đó.
dV

dV
dV
≥ −
= E ≥ Es → −
+ En = −
(1.81)
dn
ds
dn
Lân cận một điểm trong điện trường, điện thế biến thiên nhiều
(nhanh) nhất theo phương pháp tuyến với mặt đẳng thế (hay theo phương
của đường sức điện trường vẽ qua điểm đó).
2. Ứng dụng
2.1. Hiệu điện thế giữa hai mặt phẳng song song vô hạn mang điện trái
dấu.
Cho 2 mặt phẳng vô hạn song song
mang điện đều và trái dấu mật độ điện mặt
σ và – σ, điện thế trên mỗi mặt là V1 và V2.
→
Hình chiếu của E lên phương vng góc
với mặt phẳng: En.
V − V1
E = En = − 2
(1.82)
d
σd
→ V1 − V2 = Ed =
(1.83)
εε0
2.2. Hiệu điện thế giữa hai điểm trong

điện trường của mặt cầu mang điện đều.
Mặt cầu mang điện (O,R), xét điểm Hình 1.18. Điện trường của 2 mặt
M và N trong điện trường của mặt cầu, phẳng vô hạn mang điện trái dấu
cách tâm khoảng R1 và R2, có điện thế V1
→
và V2. Hình chiếu E lên phương bán kính mặt cầu:
q 1
En = E =
(1.85)
4πεε0 r 2
q dr
(1.86)
→ −dV = Edr =
4πεε0 r 2
V2

R2

q

∫ −dV = ∫ 4πεε

V1

R1

0

q
1

1
dr
( −
)
→ V1 − V2 =
2
4πεε0 R1 R2
r

(1.87)


20

CHƯƠNG 2. VẬT DẪN
Trong tự nhiên vật chất chia làm ba loại: Vật dẫn, điện môi và bán dẫn.
Vật dẫn là vật có chứa các hạt mang điện tự do, có thể chuyển động trong tồn
bộ vật. Khái niệm vật dẫn bao gồm nhiều chất như kim loại, dung dịch điện
phân, chất khí ion hố.
Ở đây ta chỉ nghiên cứu kim loại, có các điện tích tự do là các electron
tự do chuyển động trong toàn mạng tinh thể của nó. Do đó khi nói về vật dẫn,
ta hiểu theo nghĩa hẹp là vật dẫn kim loại mà thơi.

§1. Điều kiện cân bằng tĩnh điện.
Tính chất của vật dẫn cân bằng tĩnh điện
1. Điều kiện cân bằng tĩnh điện.
Một vật dẫn được tích điện mà các hạt mang điện của nó ở trạng thái
đứng yên, được gọi là vật dẫn cân bằng tĩnh điện.
Muốn vậy, cả bên trong và trên bề mặt của vật dẫn, các điện tích khơng
được chuyển động khi đó trên vật dẫn cần có điều kiên:

 →
Etrong = 0
(2.1)
→
→
→
E = 0,E = E
n
 t
2. Tính chất của vật dẫn cân bằng tĩnh điện.
→
+) Véctơ cường độ điện trường E tại mọi điểm trong vật dẫn cân bằng
→

tĩnh điện bằng không. Tại mọi điểm trên bề mặt của vật dẫn, véctơ E (do đó cả
đường sức điện trường nữa) phải vng góc với bề mặt vật dẫn.
+) Vật dẫn cân bằng tĩnh điện là một khối đẳng thế, bề mặt vật dẫn là
một mặt đẳng thế.
→

N→ →

∫

Bên trong vật dẫn E =0 nên: VM -VN = E ds = 0 → VM = VN

(2.2)

M

Trên bề mặt vật dẫn: chỉ có thành phần pháp tuyến, thành phần tiếp
tuyến Et = 0, nên:
N→ →

N

M

M

∫

∫

VM -VN = E ds = E t ds = 0 → VM = VN = const

(2.3)

Điện thế tại mọi điểm trên bề mặt vật bằng nhau nên mặt vật dẫn là một
mặt đẳng thế. Vì điện thế là hàm liên tục của khoảng cách nên tồn bộ vật là
một khối đẳng thế.
+) Điện tích chỉ phân bố trên bề mặt của vật dẫn cân bằng tĩnh điện.
Nếu chọn S là một mặt kín nằm trọn trong lòng vật dẫn và rất sát với bề
mặt vật dẫn, khi đó áp dụng định lý O-G cho mặt kín S này ta có D = E = 0.
Vậy, trong lịng mặt kín S này khơng có điện tích nào cả và điện tích của vật
dẫn cân bằng tĩnh điện chỉ được phân bố trong một lớp rất mỏng trên bề mặt
vật dẫn. Do đó khi khoét rỗng vật dẫn thì sự phân bố điện tích trên vật dẫn
khơng có sự thay đổi, vật dẫn rỗng gọi là màn điện. Các thiết bị điện (đặc biệt là
thiết bị vô tuyến) được bảo vệ trong màn điện khỏi chịu tác động của điện

21
trường bên ngồi, nếu khơng dùng sẽ bị nhiễu rất mạnh. Vật dẫn rỗng cịn
được dùng để tích điện tạo điện tích lớn.
+) Sự phân bố điện tích trên vật dẫn phụ thuộc vào hình dạng của vật
dẫn, điện tích tập trung nhiều ở những chỗ lồi, đặc biệt tại các mũi nhọn. Do đó
ở mũi nhọn, điện trường rất mạnh làm một số ion dương và electron có sẵn
trong khơng khí chuyển động nhanh hơn, chúng va chạm vào các phân tử
khơng khí gây ra hiện tượng ion hóa và lại sinh ra càng nhiều các ion hơn nữa.
Mũi nhọn hút điện tích trái dấu với điện tích của nó và bị mất dần điện tích,
ngược lại điện tích cùng dấu với điện tích của mũi nhọn lại bị đẩy ra xa chúng
kéo các phân tử khí tạo thành luồng gió gọi là gió điện.

§2. Hiện tượng điện hưởng
1.

Hiện tượng điện hưởng

Là hiện tượng xuất hiện các điện tích cảm ứng trên bề mặt vật dẫn (lúc
đầu ở trạng thái trung hoà về điện) khi được đặt trong điện trường ngồi.
→

A: mang điện tích dương, sinh ra điện trường E0
Khi ta đặt vật dẫn B gần A, thên B cũng xuất hiện điện tích: đâu B gần A
mang điện tích trái dấu A, (-), dấu B xa S mang điện cùng dấu với A, (+).
Giải thích: Do trong B có các electron tự do nên khi đặt trong điện
→

trường E0 do A sinh ra, các electron này bị điện trường tác dụng lực khiến
→

chúng chuyển động ngược chiều E0 . Kết quả là ở đầu B gần A thừa electron
nên mang điện âm, ngược lại đầu kia thiếu electron nên mang điện dương. Các
điện tích này gọi là điện tích cảm ứng.
Trong B sẽ xuất hiện điện
→
trường phụ E' ngược chiều với điện
→

→

trường E0 , E' tăng dần khi có càng
nhiều các electron trong B dịch
chuyển, làm điện trường toàn phần
→

→

→

E = E0 + E' giảm dần. Khi B đạt trạng
→

thái cân bằng tĩnh điện, E bên trong B
bằng 0, thì sự dịch chuyển điện tích
Hình 2.1. Hiện tượng điện hưởng
trong nó dừng lại. Khi đó điện tích
cảm ứng trên hai đầu của B có độ lớn xác định, độ lớn bằng nhau và trái dấu.
Vậy, hiện tượng xuất hiện các điện tích cảm ứng trên vật dẫn lúc
đầu không mang điện được gọi là hiện tượng điện hưởng.

Người ta phân biệt hai loại hiện tượng điện hưởng: điện hưởng toàn
phần và điện hưởng một phần.
2.

Định lý các phần tử tương ứng
Hai phần tử tuong ứng: Xét ống đường cảm ứng của điện trường toàn
→

→

→

phần E = E0 + E' , xuất phát từ A và kết thúc ở B. Hai đầu ống tựa trên chu vi


22
của hai diện tích ∆S và ∆S' nằm trên bề mặt của A và B, hai diện tích ∆S và
∆S ' gọi là hai phần tử tương ứng. Điện tích trên 2 phần tử tương ứng là ∆q và
∆q' .
Gọi mặt kín (S) là mặt hợp bởi ống đường cảm ứng trên và hai mặt Σ và
Σ ' khoét lõm vào hai vật dẫn A và B và tự trên chu vi của ∆S và ∆S' . Áp dụng
định lý O-G đối với mặt (S).
Φe =

n

→ →

Ñ
∫ D dS = ∑q

i

i=1

(S)
→ →

Ñ
∫

∫

D dS =

(S)

→ →

∫

D dS +

→ →

D dS

Σ,Σ '

Sxungquanh

(2.4)
→

Do

→

D ⊥ dS

nên:

∫

→ →

D dS = 0

Sxungquanh

Hình 2.2. Điện hưởng tồn phần

(2.5)
Điện tích bên trong vật dẫn bằng 0, Σ và Σ ' nằm bên trong vật dẫn nên
nó khơng chứa điện tích nào:

∫

→ →

D dS = 0

(2.6)

Σ,Σ '

Do (S) chứa hai phần tử tương ứng ∆S và ∆S' .chứa ∆q và ∆q' :
n

∑ q = ∆q + ∆q'
i

(2.7)

i=1

Do đó: ∆q + ∆q' = 0 → ∆q = −∆q' (2.8)
Phát biều định lý: “Điện tích cảm ứng xuất hiện trên các phần tử
tương ứng có độ lớn bằng nhau và trái dấu”
3.

Điện hưởng một phần và toàn phần.

− Điện hưởng một phần: Trên đây ta đã khảo sát hiện tượng điện
hưởng 1 phần, trong đó chỉ có một số đường sức xuất phát ở A đên được B, số
còn lại đi ra vơ cùng, khi đó điện tích cảm ứng trên B có độ lớn nhỏ hơn điện
tích trên A: q’ < q
− Điện hưởng toàn phần: Trường lợp toàn bộ đường sức xuất phát ở A
đên được B, gọi là điện hưởng tồn phần, khi đó điện tích cảm ứng trên B có
độ lớn bằng điện tích trên A: q’ = q

§3. Điện dung của vật dẫn cơ lập
1. Điện dung của vật dẫn cô lập
Một vật dẫn được gọi là cô lập về điện (hay vật dẫn cô lập) nếu gần nó
khơng có một vật nào khác có thể gây ảnh hưởng đến sự phân bố điện tích
trên vật dẫn đang xét.
Khi ta truyền cho vật dẫn A một điện tích Q nào đó. Theo tính chất của
vật dẫn mang điện (đã ở trạng thái cân bằng tĩnh điện), điện tích Q được phân
bố trên bề mặt vật dẫn sao cho điện trường trong lịng vật dẫn bằng khơng. Khi
đó vật dẫn là một khối đẳng thế, điện thế là V. Thực nghiệm cho thấy: nếu ta
thay đổi giá trị điện tích q của vật dẫn cơ lập và đo điện thế V của nó thì tỉ số
giữa q và V luôn luôn không đổi:


23
q
= const = C
(2.9)
V
V=1 vôn: C=q
Hằng số C đặc trưng cho khả năng tích điện của vật ở điện thế V nhất
định nào đó, được gọi là điện dung
Vậy: Điện dung của vật dẫn cơ lập là đại lượng có trị số bằng điện tích
trên vật dẫn khi điện thế của nó là một vơn.
Trong hệ đơn vị SI, điện dung được đo bằng fara (kí hiệu: F) 1 F = 1 C/V.
2. Điện dung của vật dẫn hình cầu
Tính điện dung của một khối cầu kim loại (O,R) đặt trong mơi trường
đồng nhất có hằng số điện mơ ε.
Giả sử ta tích điện cho quả cầu với điện tích q. Khi vật dẫn ở trạng thái
cân bằng tĩnh điện, điện tích q được phân bố đều trên mặt khối cầu. Khi đó điện

thế V của quả cầu (bằng điện thế trên bề mặt) được xác định theo công thức:
q
V=
→ C= 4πεε0R (2.10)
4πεε0R
Từ công thức (8-2) ta thấy fara là đơn vị điện dung rất lớn (vì đó là điện
dung của một quả cầu kim loại có bán kính R 9.10 9m ! ). Vì vậy trong kỹ thuật
người ta thường dùng các đơn vị ước của fara, μF, nF và pF với quan hệ như
sau: 1 F=106 μF = 109 nF = 1012 pF

§4. Tụ điện
1. Điện dung và hệ số điện hưởng
Cho hệ gồn 3 vật dẫn ở trạng thái cân bằng tĩnh điện, điện thế và điện
tích trên đó là q1, q2, q3, V1, V2, V3. Thực nghiệm cho thấy điện tích và do đó điện
thế trên mỗi vật dẫn phụ thuộc vào điện tích và điện thế trên các vật dẫn còn
lại.
q1 = C11V1 + C12 V2 + C13 V3
q2 = C21V1 + C22 V2 + C23 V3
q1 = C31V1 + C32 V2 + C33 V3
(2.11)
Các hệ số C11 , C22 và C33 là các điện dung của các vật dẫn, còn các hệ
số còn lại là hệ số điện hưởng.
Ta có thể mở rộng cho hệ n vật dẫn. Cii ≥ 0 , Cik = Cki
2. Tụ điện
2.1. Định nghĩa
Tụ điện là hệ hai vật dẫn A và B tạo thành một hệ kín sao cho chúng ở
trạng thái điện hưởng toàn phần. Hai vật dẫn A B gọi là 2 bản tụ.
Khi tích điện cho tụ, do điện hưởng tồn phần nên điện tích trên hai bản
tụ có độ lớn bằng nhau và trái dấu, bản mang điện tích dương gọi là bản
dương, bản kia là bản âm, điện tích trên bản dương gọi là điện tích của tụ.Lúc

này, các đường sức điện trường chỉ tồn tại trong lịng tụ điện (trong khoảng
khơng gian giữa hai bản cực của tụ điện).
2.2.Điện dung của tụ:


24
Khi tích điện cho tụ thì điện tích trên mỗi bản là q và –q. Điện thế trên
mỗi bản là V1 và V2, khi đó điện dung của mỗi bản tụ là C11 = C22 =C
q
C=
gọi là điện dung của tụ.
(2.12)
V1 − V2
V1 − V2 = U gọi là hiệu điện thế trên hai bản tụ. (2.13)
3. Điện dung của các loại tụ
3.1. Tụ điện phẳng
Là hệ hai mặt phẳng kim loại có cùng
diện tích S đặt song song cách nhau một
khoảng d, rất nhỏ so với kích thước mỗi bản.
Khi hai bản được tích điện +q và –q và đã ở
trạng thái cân bằng tĩnh điện, chúng là các mặt
đẳng thế.
− Bản dương có điện thế V 1, mật độ
điện σ = q /S gây ra điện trường đều có cường
độ:E1=σ/2εε0 hướng ra khỏi nó.
– Bản âm có điện thế V 2, mật độ điện
Hình 2.3. Tụ điện phẳng
mặt - Q gây ra điện trường đều E 2 có cùng
cường độ và hướng vào nó.
Vì hai bản ở rất gần nhau nên ở ngoài tụ điện, điện trường bị triệt tiêu,

cịn trong lịng tụ điện thì điện trường là đều, hướng từ bản dương sang bản
âm, có độ lớn E = E1 + E2 = σ/εε0
Xét trên phương của đường sức điện trường (phương n),
Ta có: -dV = Edn.
Lấy tích phân hai vế biểu thức này theo độ lệch điện thế ứng với khoảng
cách hai bản tụ, ta được:
σ.d
q .d
V1 − V2 = U = Ed =
=
εε S
εε0
S εε0 → C = 0
(2.14)
d
3.2. Tụ điện cầu.
Hai bản tụ có dạng 2 mặt cầu đồng tâm (O, R1) và (O, R2)
Bằng cách lý luận tương tụ ta thu được:
q
1
1
4πεε0R1R2
(2.15)
V1 − V2 =
( −
)→C=
4πεε0 R1 R2
R1 − R2
R1 − R2 = d,R1R 2 ≈ R2 (R ≈ R1 ≈ R2 ) ,S = 4πR 2
εε0S

(2.16)
d
3.3. Tụ điện trụ
Hai bản tụ là hai mặt trụ đồng trục bán kính R 1 và R2, chiều cao l.
2πεε0l
R →C=
q
(2.17)
V1 − V2 =
ln 2
R
ln 1
2πεε0l R1
R2
R
R − R1
R − R1 d
ln 2 = ln(1 + 2
)= 2
=
, S = 2π.R1.l
R1
R1
R1
R1
εε S
(2.18)
→C= 0
d
→C=

25
Vậy trong cả 3 trường hợp điện dung của tụ đều có cơng thức như nhau
εε S
C = 0 gọi là cơng thức cấu tạo tụ điện, trong đó S là phần diện tích 2 bản tụ
d
đối diện nhau, d là khoảng cách giữa hai bản tụ, ε là hằng số điện môi của môi
trường giữa hai bản. Ta thấy, muốn tăng C thì hoặc tăng S hoặc giảm d.
Mỗi tụ có một hiệu điện thế giới hạn để tụ vẫn hoạt động (lớp điện môi
chưa bị hỏng) gọi là hiệu điện thế đánh thủng.

§5. Năng lượng điện trường
1. Năng lượng tương tác của hệ điện tích điểm.
Xét hện hai điện tích điểm q1, q2 cách nhau khoảng r, khi đó:
Thế năng của q1 trong điện trường của q2:
qq 1
Wt1 = 1 2
= W12
4πεε0 r12
Tương tự, thế năng của q2 trong điện trường của q1:
qq 1
Wt2 = 2 1
= W21
4πεε0 r21
Nhận thấy: W12 = W21=W
(2.19)
1
= (W12 +W21 )
2

q
q1 1
1
1 1
= q1 2
+ q2
2 4πεε0 r21 2 4πεε0 r12
1
1
1
= q1V1 + q2 V2 = (q1V1 + q2 V2 )
(2.20)
2
2
2
W gọi là năng lượng tương tác giữa q1 và q2.
Trong đó, V1 là điện thế do q2 sinh ra tại vị trí q1, V2 là điện thế do q1
sinh ra tại vị trí q2.
Nếu hệ gồm 3 điện tích q1, q2, q3 cách nhau các khoảng r12, r13, r23.
Tương tự ta cũng có năng lượng của hệ:
1
W = (W12 +W21 + W13 +W31+W23 + W32 )
(2.21)
2
1
W12 = W21 = (q1V21 + q2 V12 )
2
1
W13 = W31 = (q1V31 + q3 V13 )
2

1
W23 = W32 = (q2 V32 + q3 V23 )
2
(2.22)
→ W = W12 +W13 +W23
1
[ q1(V21 + V31) + q2 (V12 + V32 ) + q3 (V13 + V23 )]
2
1
W = (q1V1 + q2 V2 + q3 V3 )
2
Với: V1 = V21 + V31 điện thế tại q1 do q2, q3 sinh ra
V2 = V12 + V32 điện thế tại q2 do q1, q3 sinh ra.

W=

(2.23)