DE THI HSG 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span>KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang và có 5 câu) C©u 1:. sin 3 x.sin 3 x  cos 3 x.cos 3 x 1    8 tan( x  ) tan( x  ) 6 3 1)Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1) 2)Giải bất phương trình sau:. x2  x  6  3 x  x 3. 2  x 2  5 x  3 2. 2  x  10 . 0. C©u 2: Cho các tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau:{1},{2,3},{4,5,6}, {7,8,9,10},..., trong đó mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hợp ngay trước nó 1 phần tử, và phần tử đầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cùng của tập hợp ngay trước nó 1 đơn vị. Gọi Sn là tổng của các phần tử trong tập hợp thứ n. Tính S999.. u1 2012 (n  N*)  u n 1 2012u 2n  u n  Câu 3 Cho dãy số (un) xác định như sau: u u u u lim( 1  2  3  ...  n ). u2 u3 u4 u n 1 Tìm Câu 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. P và Q là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và AD sao. 2 3 AP  AB;AQ  AD. 3 4 cho I và J là hai điểm lần lượt thuộc đoạn B’Q và A’P sao cho IJ song IB' song với AC. Hãy xác định tỉ số QB' . Câu 5 a) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. a2 b2 c2 S   (ab  2)(2ab  1) (bc  2)(2bc  1) (ac  2)(2ac  1) . 2 2 2 b) Cho a, b, c 0 và a  b  c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3 c3 P   1  b2 1  c2 1 a2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> -------------------------------Hết------------------------------ĐÁP ÁN THI HSG Câu Câu 1. Nội dung. Điểm. §iÒu kiÖn      sin  x  6  .cos  x  6  0           sin  2 x   0  x   m  m    *   3 6 2  sin  x    .cos  x    0       3 3 .         tan  x   tan  x    cot  x   .tan  x    1 6 3 3 3     Ta cã . Suy ra (1). 1 1  sin 3 x sin 3x  cos3 x cos 3x   sin 2 x  sin x sin 3x   cos 2 x  cos x cos 3 x   8 8 1 1  sin 2 x  cos 2 x  cos 4 x  cos 2 x  cos 2 x  cos 4 x     sin 2 x  cos 2 x  cos 2 x   cos 2 x  sin 2 x  .cos 4 x  4 4 1 1 1 1   cos 2 x  cos 2 x cos 4 x   cos 2 x  1  cos 4 x    cos 3 2 x   cos 2 x   x   k  k   4 4 8 2 6  x   k  k   6 Kết hợp điều kiện (*) ta đợc . Điều kiện: x 3 Khi đó ta có:.  x  3. 2. x 2  6 x  9 x 2  x 2  9  9. 2 x 2  18  2 x 2  20 2  x 2  10   x  3  2  x 2  10   x  3 . 2  x 2  10   0. Bất phương trình đã cho tương đương với. x2  x  6  3 x . x 2  x  6  3 x  2  x 2  5 x  3.  . 2  x 2  5 x  3 0. . 6. x2  x  6  3 x. x. 2. . 2. 2  x 2  5 x  3  6 x  x 2  x  6  x  x  2 .  x  6   x  x  2    x  2   x 2  34 x  108  0.  x 17  181  x 2  34 x  108    x 17  181 KL : S  3;17  181    17  181; . .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Câu 2. Ta thấy tập hợp thứ n chứa n số nguyên liên tiếp mà số cuối cùng là. n  n  1 2 . Khi đó Sn là tổng của n số hạng trong một cấp n  n  1 u1  2 số cộng có số hạng đầu , công sai d=-1(coi số hạng cuối cùng trong 1  2  3  4  ...  n . tập hợp thứ n là số hạng đầu của cấp số cộng này), ta có. 1 1 Sn  n  2u1   n  1 d   n  n 2  1 2 2 . 1 S999  .999  9992  1 498501999 2 Vậy Câu 3. 2. - CM được dãy tăng : u n 1  u n 2012u n  0 n 2. - giả sử có giới hạn là a thì : a 2012a  a  a 0  2012 VL nên limun = . un u n2 (u  u n ) 1 1 1   n 1  (  ) u u u 2012u u 2012 u u n  1 n  1 n n  1 n n n  1 - ta có : 1 1 1 1 S .lim(  ) 2012 n  u1 u n 1 20122 . Vậy : Câu 4.  12  IB'  QB' 29 đáp số 12/29.. Câu 5a. a2 1 4 4 1    (ab  2)(2ab  1) (b  2 )(2b  1 ) (b  2  2b  1 ) 2 9 (b  1 ) 2 a a a a a đáp số : 1/3. Câu 5b 3. 3. 3. a b c 2 2 2 +b + +c + +a Ta có: P + 3 = 2 2 2 √1+b √ 1+ c √1+a 3 2 2 6 a a 1+b +b 3 b2 1+c 2 ⇔ P+ = + + + + 4 √ 2 2 √ 1+b 2 2 √ 1+b2 4 √ 2 2 √ 1+c 2 2 √ 1+c 2 4 √ 2 3. 2. 2. +c c 1+a a6 b6 c6 3 3 3 + + 3 +3 + 3 2 2 2 √ 1+a 2 √ 1+ a 4 √2 16 √2 16 √ 2 16 √ 2 3 3 9 2 2 2 ⇒ P+ ≥ (a + b + c )= 6 2 √ 2 2 √3 2 √2 2 √8 9 3 9 3 3 ⇒P≥ 6 3 − = − = 2 √2 2 √ 2 2 √ 2 2 √2 √ 2 Để PMin khi a = b = c = 1. √. √. √.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>

<span class='text_page_counter'>(5)</span>