De HSG Toan 820162017 20

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trêng THCS §øc Th¾ng đề khảo sát học sinh giỏi lần 2 n¨m häc 2010-2011 M«n To¸n líp 8 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (2®) a, Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6 b, Cho x Z chøng minh r»ng x200 + x100 +1 ⋮ x4 + x2 + 1 C©u 2: (1.5®) Cho x,y,z 0 tho¶ m·n x+ y +Z = xyz vµ 1 + 1 + 1 = √ 3 x y z TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = C©u 3: (2®) T×m x biÕt a, |3 x+ 2| < 5x -4 b,. x + 43 + 57. x + 46 54. 1 1 1 + 2+ 2 2 x y z. = x + 49 + x+ 52 51. 48. C©u 4: (2®) a, Chøng minh r»ng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 ⋮ 9 víi mäi n b, Cho x,y,z > 0 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x y z P= + + y+z z+x x+ y C©u 5: (2.5®) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A ; BC = a ; AC = b . Vẽ các đờng phân giác BD, CE a, Chøng minh r»ng DE // BC b, Tính DE từ đó suy ra 1 = 1 + 1 DE a b C©u 6: T×m c¸c sè nguyªn d¬ng x, y tho¶ m·n x2 = y2 + 2y +13. N*. -------------------------------------------HÕt---------------------------------------------------Hä tªn ThÝ sinh: ------------------------------------------------------------Trêng THCS §øc Th¾ng Híng dÉn chÊm hsg to¸n 8.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> C©u1(2®). Cau 2 : (1.5®). C©u 3: (2®). a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1 ⇒ A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2) b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x2 )+ (x4+x2+1) =x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) + (x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1) dÔ thÊy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) ⋮ x4 + x2 +1 ⇒ A ⋮ x4 + x2 + 1. 1 1 1 + 2 + 2 + 2( 1 + 1 + 1 ¿ 2 x y z xy xz yz x y z ( √ 3¿ 2 = p + 2 z + y + x ; 3 = p+2 ( v× x +y+z=xyz) xyz. Cã ( 1 + 1 + 1 ¿2 =. 0.5® 0.5® 0.5® 0.5®. 0.5® 0.5®. suy ra P = 1. 0.5®. a, gi¶i 4-5x < 3x +2< 5x - 4 làm đúng đợc x> 3 b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung (x+100)( 1 + 1 − 1 − 1 ) = 0 ⇒ S = { −100 }. 0.5® 0.5® 0.5®. 57 54. 51. 48. 0.5®.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> C©u 4: (1.5®). a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) 0.5® 3 2 3 2 2 §Æt B= n +3n +3n+1 = n +n + 2n +2n + 3n+3 =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thÊy n(n+1)(n+2) ⋮ 3 ( v× tÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp 0.25® ) 3(n+1) ⋮ 3 ⇒ B ⋮ 3 ⇒ A =3B =3.3K =9K ⋮ 9 b, §Æt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c ⇒ x+y+z = a+b+ c 2. ⇒. x=. − a+b +c ;y= 2. a− b+ c ; z= 2. a+b − c 2. 0.25®. P = − a+b +c + a − b+c + a+ b −c =. 2a 2b 2c 1 b c a c a b (− 1+ + − 1+ + −1+ + ) = 2 a a b b c c 1 b a c a b c 3 (− 3+( + )+( + )+( + )) 2 a b a c c b 2 vµ chØ khi a=b=c ⇔ x=y=z. C©u 5: (2®).   a, B1 B2. ⇒. AD BA b = = DC BC a. 0.5® Min P = 3 ( Khi 2. 0.25® (1). AE CA b   ⇒ C C  EB CB a (2) 1 2 AD AE  ⇒ Tõ (1) vµ (2) suy ra DC EB DE//BC b,  DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = b-x DE AD  áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có BC AC hay x b x  a b ab ; ax +bx =ab ; x = a  b = DE 1 a b 1 1    DE ab a b Suy ra. 0.25® 0.25® 0.25®. 0.5® 0.5®. A x. E. D. C©u 6: 1® B. 1. 2. 2. x 1 C. 0.25® 0.25®.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> -HS biến đổi đợc 0.5® x2 = y2 + 2y +13 ⇔ x2 = (y + 1)2 + 12 ⇔ (x + y + 1)(x - y - 1) = 12 V× (x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + 2 vµ x, y N* nªn (x + y + 1) > (x - y - 1) V× vËy (x + y + 1) vµ (x - y - 1) lµ hai sè nguyªn d¬ng ch½n. Mµ 12 = 2.6 ⇒ ChØ x¶y ra mét trêng hîp (x + y + 1) = 6 vµ (x - y - 1) = 2 ⇒ x = 4 vµ y = 1 Trên đây chỉ là gợi ý chấm .Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>