De HSG Toan 920162017 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ 29: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ. SỰ TƯƠNG QUAN GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG,ĐƯỜNG THẲNG VỚI PARABOL. I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN: -Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a≠ 0) Khi b = 0 ⇒ y = ax :Đồ thị là đường thẳng đi qua gốc toạ độ (0;0) và điểm M(1;a). Khi b ≠ 0: Cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị -Viết phương trình đường thẳng: Viết dạng tổng quát đường thẳng y = ax + b ( a ≠ 0 ) (d) D ựa vào dữ liệu bài toán lập hai pt có chứa ẩn a và b Giải pt tìm a và b thay giá trị vừa tìm được vào pt đường thẳng (d) -Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng y = ax + b (d) ;y = a’x+ b’ (d’) Lập pt hoành độ giao điểm của (d) và (d’) :ax + b = a’x+ b’ Giải pt tìm nghiệm x (x=x0) Kết luận (x0; y0) là toạ độ giao điểm hai dường thẳng  Lưu ý : Chứng minh ba đường thẳng đồng quy : Tìm toạ độ giao điểm của hai trong ba đường thẳng , sau đó thay toạ độ này vào pt còn lại .Nếu hai vế bằng nhau thì ba đường thẳng đồng quy  Định tham số m để ba đường thẳng đồng quy: tương tự như trên khi thay toạ độ giao điểm vào pt còn lại ta được pt theo tham số m . Giải pt này được giá trị m cần tìm .  Các công thức thường gặp : Độ dài đoạn thẳng AB =. ( xB  x A ) 2  ( y B  y A ) 2. Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB : xI =. x A+ x B 2. và yI =. y A + yB 2. 2/ Hàm số bậc hai: -Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a≠0) -Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = ax + b với đồ thị hàm số y = ax2 Viết phương trình hoành độ giao điểm của (d) va ø( P) ax + b= ax2 Giải phương trình bậc hai theo ẩn x II/ BÀI TẬP GIẢI MẪU Bài1: Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho tam giác ABC có cạnh AB: x- 2y +1 = 0 . Cạnh AC : 3x – 4y +1 = 0 và I(4;3) là trung điểm của BC. a) Viết phương trình đường trung tuyến AI. b) Viết phương trình cạnh BC. ( Thay câu a) bởi: Tìm m để đường thẳng y = mx + phương trình là cạnh AB; AC). Giải. 1 3. đồng qui với hai đường thẳng có.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ¿ x −2 y+1=0 a) Toạ độ giao điểm A là nghiệm của phương trình: 3 x − 4 y +1=0 ¿{ ¿. Giảiû hệ ta được A(1;1) Phương trình đường thẳng AI có dạng y = ax + b (d) ¿ 4 a+b=3 A,I (d) nên: a+b=1 ¿{ ¿ 2 1 Giải hệ ta được: a= ;b= 3 3. Vậy phương trình đường trung tuyến AI : y = -Tìm m để đường thẳng y = mx +. 1 3. 2 1 x+ 3 3. đồng qui với hai đường thẳng có phương trình là cạnh AB;. AC: Ta tìm toạ độ giao điểm A của hai đường thẳng AB, AC. 1 3. Thay toạ độ giao điểmA(1;1) vào y = mx +. ⇒ m=. 2 3. b) Gọi C(m;n) thì B(8-m ; 6-n) ¿ 8=m+ x B Giải thích cách suy ra toạ độ B: Vì I(4;3) trung điểm BC nên: 6=n+ y B ¿{ ¿ ¿ ¿ −m+2 n −3=0 −m+2 n=3 ⇔ 3 m− 4 n=−1 Vì B,C thuộc AB, AC nên ta có phương trình: 3 m− 4 n+1=0 ¿{ ¿{ ¿ ¿. Giải hệ ta được: m=5 ; n= 4 ⇒ C (5;4) ; B(3;2) Phương trình đường thẳng BC : y = ax +b ¿ 3 a+ b=2 BC thuộc đường thẳng nên: 5 a+b=4 ¿{ ¿. ⇔. ¿ a=1 b=−1 ¿{ ¿. Vậy phương trình BC : y = x – 1 Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho các đường thẳng (d1) :mx – y – 2 = 0; (d2): 3x + my -5 = 0 1/ Tìm toạ độ giao điểm của (d1) và (d2) 2/ Tìm các giá trị của m để giao điểm của (d1) và (d2) Có toạ độ (x;y) thoả điều kiện x>0; y<0 3/ Ứng với giá trị m nguyên dương tìm được ở câu 2), vẽ đồ thị (d1) ,ø (d2) trong cùng hệ trục toạ độ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Giải 1/ Tìm toạ độ giao điểm của (d1) ,ø (d2) là nghiệm của phương trình: Từ (1). ⇒. x=. 2+ y (3) m. ¿ mx − y −2=0 3 x+my −54=0 ¿{ ¿. 2 m+5 m2+3 2m+5 5 m− 6 ( 2 ; 2 ) m +3 m +3. Thế (3) vào (2) ta được :y= Vậy toạ độ giao điểm :. 2/Theo đề :. Vậy ,. −5 6 < m< 2 5. ¿ x> 0 y <0 ⇔ 2 m+5 ¿ 2 >0 m +3 5 m+6 <0 m2 +3 ¿{ ¿. ⇔ −5 m> 2 6 m< 5 ¿{. 3/ Giá trị m nguyên dương thoả. −5 6 < m< là m =1 2 5. Khi m=1 thì (d1) : y = x - 2 (d2) :y =-3x +5 Vẽ (d1) và(d2) trên cùng hệ trục Oxy (Tự vẽ) Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC biết pt đường thẳng qua ba cạnh của nó là AB: 2x + 3y -5=0 ; AC :x+7y -19 = 0 ; BC: x-4y + 3 = 0. 1/Tìm toạ độ ba đỉnh A,B,C 2/ Tính diện tích tam giác ABC. Giải ¿ 2 x +3 y −5=0 x+7 y −19=0 ⇔ 1/ Tìm toạ độ giao điểm A giải hpt : ¿2 x +7 y=5 x+7 y=19 ⇒ A(− 2; 3) ¿{ ¿. Tương tự :B(1;1) ;C(5;2). 2/Viết pt đường thẳng qua A và vuông góc với BC có dạng y = ax + b (d).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> (d) vuông góc với BC nên a = -4 A (d )⇒ x A =−2 ; y A =3 Thay a = -4 ;xA = -2 ;yA = 3 vào (d) ta được b = -5 Vậy ,(d) : y = -4x -5 Tìm chân đường cao H: H là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng BC ¿ 4 x + y=−5 x − 4 y =−3 ⇔ −23 ¿ x= 17 7 y= 17 ¿{ ¿. .. − 23. 7. H( 17 ; 17 ). yH − y A ¿ Tính chiều cao AH: Aùp dụng công thức tính khoảng cách qua hai điểm ta được ( x H − x A ¿2 +¿ ¿ √¿ √ 2057 .AH= 17 Khoảng các hai điểm B,C : √ 4 2+12 =√ 17 1 1 √ 2057 1 2057 11 Diện tích tam giác : S = AH . BC= (đvdt) = √ 17= 2 2 . 17 2 17 2 1 2 −1 x và (d) y = x+2 Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P) y = 4 2. √. 1/ Gọi A ,B là các giao điểm của (P) và (d) . Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất . 2/ Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất . Giải. 1/ Tìm toạ độ giao điểm A,B của (P) và (d) : Phương trình hoành độ giao điểm :. 1 2 −1 x= x+2 ⇔ x 2 +2 x − 8=0 4 2. Giải ta được : x1 = -4 ; x2 = 2 .A(-4;4) ;B(2;1) Phương trình đường thẳng (d’) song song (d) có dạng : y =. −1 x+ m 2. Ta có : (d’) tiếp xúc (P) ⇔ pt hoành độ giao điểm (d’) và (P) có nghiệm kép : x2 + 2x - 4m = 0 Δ' =1+4 m=0 ⇔m=. −1 4. Chứng minh vị trí này diện tích Δ MAB là lớn nhất 2/ Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua trục Ox . B’(2;-1) Ta có :NA + NB = NA + NB’ AB ' không đổi . Vậy , NA + NB ngắn nhất bằng AB’. Khi N là giao điểm của AB’ với trục hoành ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> −5 2 x+ 6 3. Ta có : AB’ : y =. và y = 0. 4 ;0¿ 5. Suy ra : N(. Lưu ý : Cần vẽ hình vào (tự vẽ) Bài 5 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P) :y = -x2 và đường thẳng (d) qua điểm I(0:-1) có hệ số góc bằng k. 1/ Viết pt đường thẳng (d) .Cm: Với mọi giá trị của k đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. 2/ Cm :|xA –xB| 2 (xA;xB là hoành độ của A và B) 3/ Cm: ΔOAB vuông . Giải 1/ Phương trình đường thẳng (d) là : y = kx - 1 Pt hoành độ giao điểm (d) và (P) : x2 + kx – 1 = 0 ¿ Δ=k 2 + 4 >0 ∀ k ∈ R ¿. Nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A v2 B. −1. 2/ Theo định lí Vi-ét : xA.xB =-1 ⇒ xB= x 2 A. A. 1. 1. Ta có :|xA-xB|=|xA+ x |=|xA|+ | x | 2 A A. 2. 3/ Ta có : A(xA; -x ) ; B(xB;- xB ); O(0;0) OA = √ x A + x A OB = √ x B + x B 2. 2. 4. 4. y − y A ¿2 ¿ AB = x B − x A ¿2 +¿ ¿ √¿. OA2 + OB2 = (xA2+xB4) + (xB2+xB4) = AB2 Vậy ,tam giác OAB vuông tại O. Cách khác : OA :y = -xA.x OB : y = -xB.x Ta có : Tích hai hệ số góc của OA và OB bằng (-xA).(-xB)=-1 Nên OA OB <III> BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN : Cho hàm số y =. − x2 ( P) 2. a/ Vẽ (P) b/ Gọi (D) là đường thẳng qua điểm A(0;-4) và có hệ số góc bằng -1 i/ Viết pt đường thẳng (D) ii/ Xác định toạ độ giao điểm B,C của (P) và (D) ( B là điểm có hoành độ âm ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ¿ x M + x N =− 2 c/ Gọi M ( D) và N (P) sao cho 2 y N −3 y M =2 .Xác định toạ độ M và N. ¿{ ¿. Hướng dẫn a/ Tự giải b/ i/ Phương trình đường thẳng (D) y = -x-4 ii/ B(-2 ;-2) C(4;-8). c/ Đặt t = xM ⇒ y M =−t −4 xN = -t -4. 2. xN = -t-2. −t − 2 ¿ ¿ ⇒ yN = ¿ ¿. Theo đề : -(t-2)2- 3(-t-4) = 2 ⇔ t2 + t -6 = 0 ⇔t 1=−3 ; t 2=2 t1 = -3 :M(-3;-1) ;N(1;. −1 ) 2. t2 = 2 :M(2;-6);N(-4;-3) *Phương trình tiếp tuyến Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P) :y = x2 a/ Viết pt tiếp tuyến với (P) song song với đường thẳng y = 2x – 3 b/ Gọi M(x0;y0).Tìm sự liên hệ giữa x0 ,y0 để từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (P) Giải a/ Hệ số góc tiếp tuyến là 2 Pt tiếp tuyến có dạng y = 2x +b Theo đề bài pt x2 = 2x +b có nghiệm kép ⇔ x 2 − 2 x −b=0 Δ ' =1+b=0 ⇒ b=1 Vậy pt đường thẳng cần tìm có pt y = 2x – 1 b/ Gọi a là hệ số góc tiếp tuyến d qua M thì npt tiếp tuyến có dạng y= ax + b1 M(x0; y0) d ⇔ y 0=ax0 +b 1 ⇔ b1= y 0 −ax 0 Do đó , d :y = ax + y0 - ax0 Theo đề bài thì pt hoành độ giao điểm của (P) và d phải có nghiệm kép ⇔ x 2=ax + y 0 −ax 0 có nghiệm kép ⇔ x 2 − ax 0+ ax 0 − y 0=0(1) Rõ ràng số nghiệm pt (1) (ẩn số a) s4 cho biết số tiếp tuyến kẻ từ M đến (P) 2 x 0 ¿2 −4 y 0 Như vậy : Từ M kẻ đuợc 2 tiếp tuyến với (P) >0 ⇔ Δ '=¿ ⇔ x 0 − y 0 >0(2) .Hệ thức (2) chỉ rằng điểm M phải thuộc miền ngoài của (P) 2. Chú ý : Lập luận dựa vào các phép toán đã được thực hiện trên ta có thể chỉ ra thêm : M ( P) có đúng một tiếp tuyến qua M. M ( miền trong của (P)) không có tiếp tuyến qua M Bài tập : Bài 1: Cho (P) y =. −1 2 x và (d) y = mx – 2m - 1 4. 1/Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2/ Chứng tỏ (D) luôn luôn đi qua điểm cố định A (P) Bài 2:Trong hệ trục toạ độ , gọi (P) và (D) lần lượt có đồ thị của y=. −x 4. 2. ;y=x+1. 1/ Chứng tỏ (D) tiếp xúc với (P). 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (D) và cắt (P) tại diểm có tung độ bằng -4..

<span class='text_page_counter'>(8)</span>