chuyen de toan 8 nang cao

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên Đề - Khai thác phát triển một bài toán thành nhiều dạng toán Bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử :. 3. 3. 3. a  b  c  3abc. Ta có. a 3  b3  c 3  3abc a 3  b3  3ab(a  b)  3ab( a  b)  c 3  3abc 3. 3. (a  b)  c  3ab(a  b  c ) (a  b  c)  (a  b) 2  ( a  b).c  c 2  3ab  (a  b  c )(a 2  2ab  b 2  ac  bc  c 2  3ab) 2. 2. 2. (a  b  c )(a  b  c  ab  bc  ac ).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> (a  b  c)3 a 3  b3  c 3  3( a  b  c)(ab  ac  bc )  3abc a 3  b3  c 3  3abc (a  b  c )3  3( a  b  c )(ab  ac  bc ) (a  b  c)  (a  b  c) 2  3(ab  ac  bc)  2. 2. 2. (a  b  c)(a  b  c  2ab  2ac  2bc  3ab  3ac  3bc) (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc ) Bài toán 1 Phân tích thành nhân tử. a 3  b3  c3  3abc a 3  b3  3ab(a  b)  c3  3ab(a  b)  3abc 3. 3. (a  b)  c  3ab(a  b  c) (a  b  c)(a 2  2ab  b 2  ac  bc  c 2  3ab) (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ac  bc  ab).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài toán 2 Ta có thể thay thế b = - b. a 3  b3  c 3  3abc 2. 2. 2. ( a  b  c )(a  b  c  ac  bc  ab) khai thác bài toán Từ kết quả việc phân tích đa thức thành nhân tử ở bài toán cơ bản ta có bài toán. a 3  b3  c3  3abc 2. 2. 2. (a  b  c)(a  b  c  ab  ac  bc).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài toán 3 3. Cho. 3. a+b+c =0. CMR :. 3. a  b  c  3abc. Ngoài cách giải bằng cách xét rồi phân tích. a 3  b3  c 3  3abc (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc ) Do a +b +c = 0 Ta còn cách giải khác cho bài toán này Từ a + b + c = 0 a+b=-c . a 3  3a 2b  3ab 2  b3  c 3 3. 3. 3.  a  b  c  3ab(a  b)  3ab( c ) 3abc Thay giả thiết bằng kết luận của bài toán 3 ta được bài toán 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 3 3 3 a  b  c 3abc Bài toán 4 Cho. CMR : a + b+ c = 0 hoặc a = b = c Rõ ràng từ a 3  b3  c 3 3abc 3 3 3  a  b  c  3abc 0 Phân tích vế trái thành nhân tử ta được kết quả sau. a3  b3  c3  3abc (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc) . {. a+b+c=0 2. 2. 2. a  b  c  ab  ac  bc 0 2 2 2 Xét : a  b  c  ab  ac  bc 0 .  2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2ac  2bc 0 2. 2. 2. 2. 2. 2.  a  2ab  b  b  2bc  c  a  2ac  c 0.  (a  b) 2  (b  c) 2  (a  c) 2 0  a = b = c.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3 3 3 a  b  c  3abc Bài toán 5 :. CMR : a + b + c > 0. a 3  b3  c 3  3abc  a 3  b3  c 3  3abc  0 2 2 2   (a  b  c)  (a  b)  (b  c)  (a  c)   0.  a + b +c > 0 vì  (a  b) 2  (b  c) 2  ( a  c) 2  0 -Tiếp tục khai thác bài toán cơ bản ta có hàng loạt các bài toán khác mà cách giải có thể tìm thấy dễ dàng Bài toán 6 rút gọn : Bài toán 7 rút gọn :. a 3  b3  c 3  3abc 2 2 2 a  b  c  ac  ab  bc a b c. a 3  b3  c3  3abc a  b  c 2 2 2 a  b  c  ac  ab  bc.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài toán 8 rút gọn :. Bài toán 9. a 3  b3  c3  3abc a b c a)  2 2 2 (a  b)  (b  c)  (a  c) 2 a 3  b3  c3  3abc a  b c b)  2 2 2 (a  b)  (b  c)  (a  c) 2. cho a + b + c = 2011 tính :. a 3  b3  c 3  3abc A 2 2 2 8044( a  b  c  ab  ac  bc ) dễ dàng tính được. (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc ) A 8044( a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc) a  b  c 2011 1    8044 8044 4.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Mở rộng bài toán - Từ bài toán cơ bản kết hợp với bài toán 3 để ý rằng nếu thay a=x-y;b=y-z;c=z–x Chúng ta sẽ chứng minh được a + b + c = 0 nên chúng ta sẽ có dạng toán khác rộng hơn , sâu hơn Bài toán 10 phân tích đa thức sau thành nhân tử ( x - y)3 + ( y - z)3 + ( z - x )3 đặt a = x - y ; b = y – z ; c = z – x ta có Ta có a + b + c = 0 thì. a 3  b3  c 3  3abc hay ( x - y)3 + ( y - z)3 + ( z - x )3 = 3 (x - y)( y - z)( z - x) Bài toán 11 cho. ( x  y )3  ( y  z )3  ( z  x ) 3 A ( x  y ) ( y  z )( z  x). với. x y ; y z ; z x.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> CMR : A không phụ thuộc vào x ; y ; z Theo bài toán 10 ta có. ( x  y )3  ( y  z )3  ( z  x)3 3( x  y )( y  z )( z  x) A  3 ( x  y ) ( y  z )( z  x) ( x  y ) ( y  z )( z  x) Vậy A không phụ thuộc vào x ; y ; z Bài toán 12 Rút gọn. ( x 2  y 2 )3  ( y 2  z 2 )3  ( z 2  x 2 ) 3 B ( x  y )3  ( y  z )3  ( z  x )3 Từ kết quả của bài 10 ta có. 3( x 2  y 2 ) ( y 2  z 2 ) ( z 2  x 2 ) B ( x  y ) ( y  z )( z  x) 3( x  y ) ( y  z )( z  x) Theo bài toán 4 ta có thể mở rộng thành bài toán sau.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài toán 13. cho a.b.c. 0. và. a 3  b3  c3 3abc. a b c tính giá trị biểu thức P (1  )(1  )(1  ) b c a Theo bài toán 4 a 3  b 3  c 3 3abc ta có. a+b+c=0. a=b=c a) Nếu a + b + c = 0 thì a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b. b  a c  b a  c  c  a  b  abc P . .  . .   1 b c a b c a abc b) Nếu a = b = c thì P = 2 . 2 . 2 = 8 Nếu xét a ,b , c dưới dạng nghịch đảo ta có bài toán.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bài toán 14 cho. 1 1 1   0 và a.b.c a b c. 0. tính số trị của biểu thức M  bc  ac  ab 2 2 2. a. b. c. Theo bài toán 3 ta có từ. 1 1 1 3 1 1 1   0  3  3  3  a b c abc a b c 1 1 1 3 3 vậy M = abc( 3  3  3 ) abc . a b c abc Ta còn có thể mở rộng bài toán ở dạng bài tập khác.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài toán 15 3. 2. Giải phương trình 2. 3. 3. 3. x  3ax  3( a  bc) x  a  b  c  3abc 0 (1) (1 ). 3. 3. 3.  ( x  a)  3bc( x  a)  b  c 0. đặt x + a = y bài toán trở thành y3 - 3bcy + b3 + c3 = 0.  ( y  b  c)( y 2  b 2  c 2  yb  yc  bc) 0 . y+b+c=0 y=b=c. . y=-b=-c y=b= c. + nếu y = -b = - c  x = - (a + b + c ) + nếu y = b = c  x = b - a = c - a.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>