chuyên đề toán 8

III)KẾT LUẬN:
Trên đây là ý tưởng của bản thân tôi chọn chủ đề này với thời lượng 12 tiết giúp HS khá
và giỏi lớp 8 để rèn luyện và giải thành thạo các bài toán tìm GTNN , GTLN với một số dạng
cơ bản trong nhiều tình huống đơn giản và phức tạp. Khi áp dụng dạy cho học sinh bản thân
tôi thấy rất khả quan có nhiều kết quả tốt , do thời lượng có hạn nên tôi chỉ gói gọn những
dạng cơ bản đã nêu trên , giúp cho học sinh phần nào trong các kỳ thi học sinh giỏi đạt kết
quả tốt đẹp
Trong khi viết không thể tránh những điều sai sót , tôi xin đón nhận và tiếp thu những ý
kiến đóng góp quí báu của các thầy cô giáo dạy toán , cũng như các em học sinh yêu toán để
cho chủ đề này thêm phong phú hơn về cách giải nhiều thể loại , có thể áp dụng lâu dài trong
việc dạy tự chọn bộ môn toán lớp 8
Điện Tiến: Ngày 30-3-2007
Người viết: Mai Tám
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Một trong những các định hướng quan trọng của viêc đổi mới giáo dục của nhiều nước
trên thế giới trong đó cóViêt Nam là : Tăng cường hơn nữa tính “ Phân hoá” trong giáo dục
,sự khẳng định này dựa trên cơ sở về sự tồn tại khách quan nhữngkhác biệt của người học về
tâm lý , thể chất , năng lực và những khác biệt về yêu cầu và điều kiện kinh tế , xã hội .
Chương trình giáo dục của nhiều nước thể hiện ngày càng rõ hơn tinh thần phân ban và dạy
học tự chọn , đặc biệt ở các lớp cuối của bậc THCS
Ở nước ta kế hoạch giáo dục của trường THCS ban hành kèm theo quyết định số
03/2002/QĐ – BGD&ĐT của Bộ Trưởng Bộ Giáo Dục và Đào tạo ngày 24 tháng 1 năm 2002
đã giành 2 tiết / tuần ở Lớp6 , Lớp7 , lớp8 , Lớp9 , cho việc dạy và học các chủ đề tự
chọn .Như vậy , dạy học tự chọn đã trở thành hình thức dạy học có tính pháp qui cần được
nghiên cứu và triển khai ở mức độ hợp lý cùng với các hình thức dạy học được qui định trong
các quyết định số 03/2002/QĐ- BGD&ĐT
Để dáp ứng nhu cầu và nguyện vọng học tập của các đối tượng học sinh khác nhau do
vậy bản thân tôi chọn chủ đề nâng cao GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
trongmột số dạng cơ bản thường gặp ở bộ môn đại số và hình học lớp 8để giúp học sinh khá
giỏilớp 8 phát huy về trí lực học tập của mình , có thể đầu sâu hơn các kiến thức đã học , tập
dượt nghiên cứu một số vấn đề đơn giản góp phần chuẩn bị học lên để bước vào cuộc sống

lao động
II) GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :
A)MỤC TIÊU : Sau khi học xong chủ đề này học sinh có khả năng
*Nắm được các định nghĩa về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
*Nắm được một số dạng cơ bản về giá trị lớn nhát(GTLN) và giá trị nhỏ nhất(GTNN) đại
số
*Nắm được một số phương pháp để giải toán cực trị(GTLN , GTNN) trong hình học
*Có kĩ năng vận dụng các tính chất – các bất đẳng thức cơ bản để giải theo nhiều cách
khác nhau
B)THỜI LƯỢNG:
Để học sinh khá giỏi nắm được hoàn chỉnh và đầy đủ các kiến thức và phương pháp giải ,
bản thân tôi chọn chủ đề này với số tiết là 12 tiết
C)TÀI LIỆU THAM KHẢO
*Sách giáo khoa toán8 . Tác giả:Phan Đức Chính – NXBGD
*Toán nâng cao đại số 8 . Tác giả : Nguyễn Vũ Thanh - NXBGD
*Toán nâng cao và phát triển TOÁN 8 . Tác giả : Vũ Hữu Bình - NXBGD
*Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS . Tác giả : Vũ Dương Thuỵ, Trương Công
Thành , Nguyễn Ngọc Đạm – NXBGD
*Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 đại số và hình học .Tác giả : Vũ Hữu Bình , Tôn Thân ,
Đỗ Quang Thiều - NXB Hà Nội
*500 bài toán chọn lọc 8 . Tác giả: Nguyễn Ngọc Đạm , Nguyễn quang Hanh , Ngô Long
Hậu NXB Đại học sư phạm
D) THỰC HIỆN CHỦ ĐỀ :
Chuyên đề này gồm hai phần : Đại số và hình học
Phần đại số gồm các dạng tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất
Phần hình học gồm các dạng cơ bản về toán cực trị(Giá trị lớn nhất , Giá trị nhỏ nhất) trong
hình học
Để học sinh nắm chắc tôi phân thời lượng như sau :
6 tiết đầu giành cho đại số , 5 tiết sau giành cho hình học , còn 1 tiết giành cho kiểm tra
E) TIẾN HÀNH BÀI GIẢNG:

Tiết: 1-2
I) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC:
1) Định nghĩa GTLN:
Cho biểu thức f(x,y.....) , ta nói M là GTLN của biểu thức f(x,y....) , kí hiệu maxf=M nếu
hai điều kiện sau được thoả mãn:
- Với mọi x,y .....để f(x,y....) xác định thì
f(x,y....)
≤
M ( M là hằng số) (1)
- Tồn tại x
0
, y
0
.......sao cho f(x
0
,y
0
......) = M (2)
2)Định nghĩa GTNN : Cho biểu thức f(x,y...) , ta nói m là GTNN của biểu thức f(x,y...) kí
hiệu minf=m , nếu hai điều kiện sau được thoả mãn :
- Với mọi x,y .....để f(x,y....) xác định thì f(x,y...)
≥
m ( m là hằng số) (1
/
)
-Tồn tại x
0
, y
0
.......sao cho f(x

0
,y
0
......) = m (2
/
)
* Tiếng la tinh minimum là nhỏ nhất , maximum là lớn nhất
Chú ý rằng nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1
/
) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức
3)Phương pháp giải:
Chú ý rằng vì (x+a)
2

≥
0 với mọi giá trị của x và (x+a)
2
= 0 khi x = -a , nên (x+a)
2
+b
≥
b
với mọi giá trị của x và (x+a)
2
+b = b khi x = -a .Do đó GTNN của (x+a)
2
+b = b khi x = -a
Hoặc b - (x+a)
2

≤
b với mọi giá trị của x và b - (x+a)
2
= b khi x = - a . Do đó GTLN của b
- (x+a)
2
= b khi x = -a
4) Tìm GTLN , GTNN của một biểu thức là vấn đề không đơn giản , tôi sẽ đề cập môt số
dạng đặc biêt
a) Tìm GTNN , GTLN của biểu thức một biến
Dạng 1: Tam thức bậc hai
Bài1 : Tìm GTNN của
A = x
2
- 4x +1
B = 2x
2
- 8x +1
Hướng dẫn giải
A = x
2
- 4x +1= x
2
- 4x +4 -3 = (x-2)
2
- 3
≥
-3
Vậy GTNN của A bằng -3 khi và chỉ khi (x-2)
2

= 0
⇔
x = 2
B = 2x
2
- 8x + 1 = 2(x
2
- 4x + 4) - 7 = 2(x - 2)
2
- 7
≥
-7
Vậy GTNN của B bằng -7 khi và chỉ khi x = 2
Bài 2: Tìm GTLN của
C = 1 + 6x - x
2

D = 2x - 2x
2
- 5
Hướng dẫn
C = 1 + 6x - x
2
= - x
2
+ 6x + 1 = -(x
2
- 6x - 1) = -(x
2
- 6x +9 -10)

= -(x
2
- 6x + 9) +10 = 10 - (x - 3)
2

≤
10
Vậy GTLN của C bằng 10 khi và chỉ khi x = 3
D = -2x
2
+ 2x -5 = -2(x
2
-x + 5/2) = -2(x
2
- 2x.1/2 + 1/4 - 1/4 + 5/2) = -2






+−
4
9
)
2
1
(
2
x

= -2(x - 1/2)
2
- 9/2 = -9/2 -2(x - 1/2)
2

≤
-9/2
Vậy GTLN của D bằng -9/2 khi và chỉ khi x = 1/2
Dạng 2: Tìm GTNN , GTLN CỦA ĐA THỨC BẬC CAO
BÀI 1:
a) Tìm GTNN của A = (x
2
+ x +1)
2

Giải : Măt dù A
≥
0 nhưng GTNN của A không phải bằng 0 vì x
2
+ x + 1
≠
0
Ta có x
2
+ x +1 = x
2
+ x +1/4 + 3/4 = (x + 1/2)
2
+ 3/4

≥
3/4
Do đó A
min
khi và chỉ khi (x
2
+ x +1)
2
min
Vậy GTNN của A bằng (3/4)
2
= 9/16 khi và chỉ khi x = -1/2
b) Tìm GTNN của B = x
4
- 6x
3
+10x
2
- 6x +9
Hướng dẫn : Viết biểu thức dưới dạng
B = x
4
-6x
3
+ 9x
2
+ x
2
- 6x + 9 = (x
2

- 3x)
2
+ (x - 3)
2

≥
0
Xãy ra đẳng thức khi và chỉ khi
3
3
3
0
=⇔





=



=
=
x
x
x
x
Vậy GTNN của biểu thức bằng 0 với x = 3
Bài tập về nhà

1) Tìm GTNN của A = 2x
2
- 20x + 53
Tìm GTLN của B = -5x
2
- 4x + 1
2) Tìm GTNN của C = x
4
- 2x
3
+ 3x
2
-2x + 1
Tiết: 3-4
Cho HS sữa bài tập về nhà
HS1: Tìm GTNN của A = 2x
2
- 20x + 53 = 2(x
2
- 10x + 25) +3 = 2(x- 5)
2
+ 3
≥
3
GTNN của A = 3 khi và chỉ khi x = 5
HS2: Tìm GTLN của B = -5x
2
- 4x + 1 = -5(x
2
+ 2x.

5
2
-
5
1
) = -5(x
2
+2x.
5
2
+
25
4
25
4
−
-
5
1
)
= -5






−+
25
9

)
5
2
(
2
x
= -5(x +
5
2
)
2
+
5
9
=
5
9
-5(x +
5
2
)
2

≤
5
9
Vậy GTLN của B bằng
5
9
khi x = -

5
2
HS3: Tìm GTNN của C = x
4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x +1 = (x
2
- x + 1)
2
Có x
2
- x + 1 >0 với mọi x nên (x
2
- x + 1)
2
min khi và chỉ khi x =
2
1
Vậy C min =
16
9
khi và chỉ khi x =
2
1
Dạng3 : Tìm GTNN , GTLN của đa thức có dấu giá trị tuyệt đối
Bài 1: Tìm GTNN của A =
1

−
x
+
3
−
x

Cách1:
Hướng dẫn cách 1 chia khoảng
a) Trong khoảng x < 1 thì A= 1 - x + 3 - x = 4 - 2x
Do x < 1 nên -2x > -2 do đó 4 - 2x > 2
b) Trong khoảng 1
≤
x
≤
3 thì A= x - 1 + 3 -x = 2
c) Trong khoảng x > 3 thì A = x- 1 +x -3 = 2x -4
Do x>3 nên 2x - 4 > 2
So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên , ta thấy GTNN của A bằng 2 khi và chỉ khi 1
≤
x
≤
3
Cách2 : Vì giá trị của một tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyêt đối
A =
1
−
x
+
x

−
3
≥
xx
−+−
31
= 2
Do đó minA = 2 khi và chỉ khi (x - 1)(3 - x)
≥
0 khi và chỉ khi
⇔



≥−
≥−
03
02
x
x
1
≤
x
≤
3
Bài 2: Tìm GTNN của B =
971
−+−+−
xxx
Do chia khoảng khá phức tạp nên hướng dẫn HS làm cách 2 để nắm một cách chặt chẽ

Giải: Vì giá trị tuyệt đối của một tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối nên
≥−+−=−+−
xxxx 9191
xx
−+−
91
= 8 (1)
Ta lại có :
07
≥−
x
(2)
Từ (1) và (2) suy ra A
≥
8
Do đó minA = 8
⇔
7
7
09
01
=⇔





=
≥−
≥−

x
x
x
x
Dạng4: Tìm GTLN , GTNN của phân thức có tử là hằng số , mẫu là tam thức bậc2
Bài1:Tìm GTLN của M =
544
3
2
+−
xx
Hướng dẫn giải: M =
544
3
2
+−
xx
=
4)42(
3
2
+−
x
Ta thấy (2x-1)
2

≥
0 nên (2x-1)
2
+4

≥
4
Do đó
4)42(
3
2
+−
x
≤
4
3
( Theo qui tắc so sánh hai phân số cùng tử , tử và mẫu đều dương )
maxM =
4
3
khi và chỉ khi x =
2
1

Bài 2: Tìm GTNN của A =
2
956
2
xx
−−
Hướng dẫn giải
A =
2
956
2

xx
−−
=
4)13(
2
569
2
22
+−
−
=
+−
−
xxx
Ta thấy (3x-1)
2

≥
0 nên (3x-1)
2
+ 4
≥
4 . Do đó
4
1
4)13(
1
2
≤
+−

x
(theo tính chất so sánh 2
phân số cùng tử và mẫu đều là dương)
Suy ra
2
1
4
2
4)13(
2
−
≥⇒
−
≥
+−
−
A
x
Vậy minA=-
2
1
khi và chỉ khi 3x - 1 = 0 khi và chỉ khi x=
3
1
Dạng5: Tìm GTNN , GTLN của phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức
Bài1: Tìm GTNN của A =
2
2
)1(
1

+
+−
x
xx
Hướng dẫn HS làm hai cách sau
Cách1: Viết tử thức dưới dạng luỹ thừa của x + 1 rồi đổi biến , đặt y =
1
1
+
x

4
3
4
3
)
2
1
(
1
)1(
1
1
1
1
)1(
1)1()12(
2
2
22

2
≥+−=
+−=
+
+
+
−=
+
++−++
=
y
yy
x
x
x
xxx
A
Vậy minA =
4
3
khi và chỉ khi y=
2
1
⇔
x = 1
Cách2: Viết A dưới dạng tổng của 3/4 với một biểu thức không âm
A=
2
2
)1(

1
+
+−
x
xx
=
4
3
)1(2
1
4
3
)1(4
)1()1(3
)1(4
12363
)1(4
444
2
2
22
2
22
2
2
≥







+
−
+=
+
−++
=
+
+−+++
=
+
++
x
x
x
xx
x
xxxx
x
xx
Vậy Amin bằng 3/4 khi và chỉ khi x=1
Bài 2:Tìm GTNN của B =
12
683
2
2
+−
+−
xx

xx
Cách1:
B =
12
683
2
2
+−
+−
xx
xx
=
2
2
)1(
683
−
+−
x
xx
Đặt x - 1 = y thì x = y+1
Ta có B=
22
2
2
2
12
3
1236)1(8)1(3
y

y
y
yy
y
yy
+−=
+−
=
++−+
Lại đặt
z
y
=
1
thì B= 3-2z+z
2
= (z - 1)
2
+ 2
≥
2
minB = 2
⇔
z = 1
⇔
y = 1
⇔
1
1
−

x
=1
⇔
x = 2
Cách 2: Viết A dưới dạng tổng của 2 với một biểu thức không âm
A =
( ) ( )
( )
( )
2
1
2
2
12
44242
2
2
2
22
≥
−
−
+=
+−
+−++−
x
x
xx
xxxx
minA = 2 khi và chỉ khi x = 2

Bài tập về nhà
1) Tìm GTNN của A =
52
−+−
xx
2) Tìm GTNN của B =
42
1
2
−−
xx
3) Tìm GTLN của C =
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
Tiết : 5-6
Sữa bài tập về nhà
HS1 Tìm GTNN của A =
52
−+−
xx
A=
35252
=−+−≥−+−
xxxx

Do đó minA = 3
52
05
02
≤≤⇔



≥−
≥−
⇔
x
x
x
HS2 B =
3)1(
1
42
1
42
1
222
+−
−
=
+−
−
=
−−
xxxxx

Ta thấy (x-12)
2

≥
0 nên (x-1)
2
+3
≥
3
Do đó
1
3
1
3)1(
1
3
1
3)1(
1
22
≥⇒
−
≥
+−
−
⇒≤
+−
B
xx
Bmin =

3
1
−
khi và chỉ khi (x-1)
2
= 0 khi và chỉ khi x = 1
HS3 Tìm GTNN của C =
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
= 3 +
2)1(
1
3
32
1
22
++
+=
++
xxx
Ta thấy (x+1)
2

≥

0 nên (x+1)
2
+2
≥
2
Do đó
2
1
2)1(
1
2
≤
++
x
suy ra 3+
2
1
3
2)1(
1
2
+≤
++
x
⇒
Cmin
≤
3+ 1/2 =3,5 khi và chỉ khi (x+1)
2
= 0 khi và chỉ khi x = 1

HS4 Tìm GTNN của D =
2
2
2
2
)1(
33
12
33
−
+−
=
+−
+−
x
xx
xx
xx
Đặt x - 1 = y thì x = y + 1 Ta có
D =
22
2
2
2
2
2
11
1
1333123)1(3)1(
y

y
y
yy
y
yyy
y
yy
+−=
+−
=
+−−++
=
++−+
Đặt
y
1
= z
D = 1- z +z
2
= z
2
- 2z .
2
1
+
1
4
1
4
1

+−
= (z -
2
1
)
2
+
4
3
4
3
≥
Dmin =
3212
2
11
2
1
0)
2
1
(
4
3
2
=⇔=−⇔=⇔=⇔=⇔=−⇔
xxy
y
zz