Bài tập Chương III Đại số 8

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
BÀI 1: MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I, PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN:
A ( x) = B( x)

+ Phương trình một ẩn là phương trình có dạng:

.

A ( x) , B( x)

Trong đó:

là các biểu thức của cùng một biến x.

A( x)

B( x)

gọi là vế trái của phương trình,
VD: Các phương trình một ẩn:
A,
B,

2x 2 + 3x − 5 = 0
6a − 3 = a

gọi là vế phải cảu phương trình

là phương trình ẩn x.

là phương trình ẩn a.
2x + 1 = 5

+ Xét phương trình:
.
x=2
Nhận thấy
thỏa mãn phương trình đã cho ( Hai vế của phương trình có giá trị bằng nhau)
Thì 2 gọi là một nghiệm của phương trình trên.
Chú ý:

x=a

+ Hệ thức:
( a là hằng số) cũng là một phương trình.
+ Một phương trình có thể có 1 nghiệm, 2 nghiệm,… hoặc vơ số nghiệm, cũng có những phương
trình khơng có nghiệm ( Vơ nghiệm).
VD:
A, Phương trình
B, Phương trình

x2 + 6 = 0
x2 = 9

là phương trình vơ nghiệm.

có hai nghiệm là

x=3

và

x = −3

.

II, PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG:
+ Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường
được kí hiệu bởi S.
Chú ý:
¥
+ Phương trình vơ nghiệm có tập nghiệm là .
+ Giải phương trình là đi tìm tập nghiệm của phương trình đó.

+ Hai phương trình có cùng tập nghiệm gọi là hai phương trình tương đương.
1


Kí hiệu “

<=>

”.

III, PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN:
ax + b = 0

+ Phương trình có dạng:
ẩn.
VD: Các phương trình bậc nhất một ẩn:

2x − 3 = 6

với a, b là các số đã cho và

5 − 3x = 7

a,
.
b,
.
IV, QUY TẮC BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:

c,

a≠0

x 2 4
− =
2 3 5

gọi là phương trình bậc nhất 1

.

+ Quy tắc chuyển vế:
Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi
dấu hạng tử đó.
+ Quy tắc nhân ( chia) với một số:
Trong một phương trình, ta có thể nhân ( chia) cả hai vế với cùng một số khác 0.
V, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:

+ Sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương để giải phương trình.
Phương trình bậc nhất 1 ẩn ln có một nghiệm duy nhất.
2x − 7 = 0
VD: Giải phương trình sau:
.
7
<=> x =
2x − 7 = 0 <=> 2x = 7
2
.
7
x=
2
Vậy phương trình có một nghiệm là
.
VI, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Tìm phương trình bậc nhất một ẩn trong các phương trình sau:
2x = 0
1 − 2x = 0
2x = x 2
a,
.
b,
.
c,
.
a,
a,
a,

x.3 = 0

.

−6x = 0
−7x = 0

b,
.

b,

.

b,

3( −x ) = 0

a,

.

b,

6 − 3x = 0
0x − 5 = 0
4 − 0x = 0

x −1 = 0

d,

2

.

c,

.

d,

.

d,

.

d,

x +8 = 0
2

.

c,

x+x =0
2

.

−3x − 5 = 8

c,
.

c,

x 2 − 2x = 0

.

d,

4 + 3x = 3x
5x − 3 = 4x

.
.

x −3 = 3− x

.

6 − 3x = x + 1

.

6 − x = 2x − 6

.

2


Bài 2: Thử xem các giá trị trong ngoặc có là nghiệm của phương trình tương ứng hay khơng?
x 2 − x = 0, ( x = 2, x = 1)

4x − 8 = 0, ( x = 1, x = 2 )

a,

.

b,

2x − 3 = 0, ( x = 0, x = 1)

a,

x − 7x = 0, ( x = 1, x = 7 )

.

b,

.
x − 3x = 0, ( x = 0, x = 3)

8 − 2x = 0, ( x = 2, x = 4 )

2

a,

.

b,

a,

.
3x 2 − 9x = 0, ( x = 1, x = 3)

5x − 15 = 0, ( x = 5, x = 3)

.

b,

.
2x − 8x = 0, ( x = 0, x = 4 )

3x − 12 = 0, ( x = 0, x = 2 )

a,

.
2

2

.

b,

.

Bài 3: Thử xem các giá trị trong ngoặc có là nghiệm của phương trình tương ứng hay không?

a,

a,

7
4

7 − 4x = 0  x = , x = ÷
4
7

6

6 − 2x = 3x,  x = , x =
5


( x + 1) ( x − 5) , ( x = 1, x = −5)
.

5
÷
6

b,

( 7 − x ) ( 8 + x ) , ( x = 7, x = −8 )
.

b,

9
−9 

9 + x = 3x,  x = ; x =
÷
2
2 

a,
.

a,

3

x − 8 = 3x − 8,  x = 0, x = ÷
8


.

( x − 6 ) ( 6 − x ) , ( x = 6, x = −6 )
b,

.

( 2x − 4 ) ( x − 3) , ( x = 2, x = −3)
.

b,

1

x − 3 = 3x − 1,  x = −1, x = ÷
3

a,
.

b,
b,

.

( x − 3) ( x − 4 ) = 0, ( x = 3, x = 4 )
b,

Bài 4: Giải các phương trình sau:

x −3 = 0
3x − 8 = 4
a,
.
b,
.
3x + 1 = 0
3x + 1 = 4
a,
.
b,
.
3x − 9 = 0
3x − 7 = 5
a,
.
b,
.
2x − 8 = 0
3x − 6 = 9
a,
.
b,
.
4x − 5 = 7
7x − 3 = 0
a,
.
b,
.

Bài 5: Giải các phương trình sau:
12 − 4x = 0
a,
.
2x + 10 = 0
a,
.

.

c,
c,
c,
c,
c,

.

x + 5 = 4x

.
3x − 2 = 5x

d,
.

d,

.
−3x − 5 = 7x

d,

2x − 4 = 5x

.
−2x + 8 = −4x

d,
.

d,

x − 3 = 1 − 2x

.
7 + x = 11 − 3x

.

5 − 3x = 6x + 7

.
x + 2 = −6x + 16

.
−3x − 24 = 2x + 1

.

2x − 6 = x + 1

.
3x − 7 = 13 − x

.
3


a,
a,
a,

x − 2020 = 0

.
2021 − 3x = 0
4x + 2020 = 0

b,
.

b,

.

b,

7x − 8 = 4x + 7

.

3x + 1 = 7x − 11

.
15x − 10 = 7x + 6

.

4


BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG

ax + b = 0

.

I, QUY TẮC BIẾN ĐỔI:
+ Sử dụng các quy tắc đã biết.
Quy tắc chuyển vế.
Quy tắc nhân với một số.
Quy tắc dấu ngoặc.
+ Bên cạnh việc sử dụng các quy tắc, ta cần sử dụng thêm các phép tính toán như:
Quy đồng phân thức.
Nhân đa thức.
II, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Giải các phương trình sau:

a,

a,

a,

a,

a,

2x = 7 + x

.

3x + 1 = 5x + 2

b,

.

2x − 4 = 3x + 1

6x − 4 = 7 − 5x

4x − 3 = 2x + 2

b,

.

b,

.

b,

.

b,

3x
=6
4
2x
=8
3
4x
=6
3

x − ( 8 − x) = 4

.

c,

.
3x − ( 3 + x ) = 0

.

c,

.
2 ( x + 3) − 4 = 0

.

6
x = −9
5

c,

.
5 ( x − 3) = 3x − 5

.

3
x = −12
5

c,

.

2. ( x + 2 ) = 1 − 2x
.

c,

.

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1+

7 ( 5 − x ) = 11 − 5x

a,

.

b,

3. ( x + 2 ) = 2x − 1

a,

.

b,

a,

.

b,

.

b,

.

c,

.

c,

5x
= x−2
3

x+4=

3. ( 5x − 2 ) − 7x = 10

a,

1 x
x
+ = 2−
6 4
3
7+

2 ( 3x − 1) − 3x = 10

x 4 1
= −
9 3 2

2
x −3
5

.

.

c,

c,

2x 3x − 1 x
+
=
3
6
2

.
x + 2 3 x −1
− =
3
4
2

.

x − 3 1 + 2x
+
=6
5
3
x − 2 x + 1 2x
+
=
4
6
3

.

.
5


4+

4. ( x + 2 ) − 5 = 2x + 1

a,

.

b,

x 5 1
= +
5 3 15

.

c,

2x + 1 3x − 2 1
+
=
3
2
6

.

6


Bài 3: Giải các phương trình sau:
x − 2 = 2x − 4 ( x − 1)

a,

.

b,

4x − ( 2 + x ) = 2 ( x + 3)

a,

.

b,

3 − 2x = 3. ( x + 1) − x − 2

a,

.

b,

2 ( 4x − 7 ) = 3 ( x + 1) + 18

a,

.

b,

4 ( 2x − 3) − 5 = 6 ( 3 − x ) − 7

a,

.

b,

1 − 2x 4x − 5
=
3
6
2 − 3x 4x − 5
=
4
5

a,

a,

a,

a,

b,

b,

3x + 2 3x + 1 5
−
= + 2x
2
6
3
3x + 2 3x + 1
5

−
= 2x +
2
6
3

b,

.

b,

.

b,

.

b,

Bài 5: Xác định m để phương trình:

3x + m − x − 1 = 0

.

2

2

− x ( x + 2) = 0

c,

.

( x + 3) ( 2x − 3) = 2x 2 − 9
c,

.

( x + 2)

2

− ( x + 3) ( x − 3) = 1

c,

.

( x − 2 ) ( 2x − 3) − 2x 2 + 3x = 0
.

c,

x +1 x + 3 x + 5 x + 7
+
=
+

65
63
61
59
x − 2 x −1 x − 4 x − 3
+
=
+
7
8
5
6
x +1 x + 2 x + 3 x + 4
+
=
+
15
14
13
12

.

.

.

x −3 x −3 x −3 x −3
+
=

+
13
14
15
16

.
x −1 x − 3 x − 5 x − 7
+
=
+
2015 2013 2011 2009

.
x +1 x +1 x +1 x +1 x +1
+
+
=
+
10
11
12
13
14

.
x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6
+
+
=

+
+
94
93
92
91
90
89

nhận

x = −3

( 2m − 4 ) .x + 6 = 0
Bài 6: Tìm m để phương trình:

− ( x + 2) = 0
.

( x + 2)

.
4x − 3 22 − 2x
=
5
9

b,

2

c,

.
10 − 3x 6x + 1
=
2
3

.

2x − 1 x − 1 x + 1
−
+
=1
3
2
6

.

2x − 1 7 − 3x
=
6
2

Bài 4: Giải các phương trình sau:
x 2x − 6
x
+

= 2−
3
6
3
a,
.
3x + 2 5 − 2x 11
+
=
2
3
6
a,
.
x + 2 2x − 3 x − 12
+
=
4
3
6
a,
.
2x − 1 5x + 2
−
= x + 13
3
7

( x − 1)

có nghiệm

x =1

.

là nghiệm.

.

7


( m − 1) x + 3 = 2m − 5
Bài 7: Cho phương trình:
.
a, Tìm điều kiện của m để phương trình là phương trình bậc nhất 1 ẩn.
2x + 5 = 3 ( x + 2 ) − 1

b, Với giá trị nào của m thì phương trình tương đương với phương trình:

.

2. ( m − 2 ) x + 3 = m − 5

Bài 8: Cho phương trình:

(1)

a, Tìm m để phương trình (1) là phương trình bậc nhất 1 ẩn.

2x + 5 = ( x + 7 ) − 1

b, Với giá trị nào của m thì phương trình (1) tương đương với phương trình:

.

8


Bài 9: Cho phương trình ẩn x:

mx − 2 + m = 3x

.

x=
a, Tìm m để phương trình đã cho nhận

1
2

làm nghiệm.

b, Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó theo m.

Bài 10: Cho phương trình:

(m

2

)

+ 2m + 3 x − 6 = 0
( m là tham số).

a, Tìm giá trị của m để phương trình nhận

x=2

là một nghiệm.

b, Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm x duy nhất đạt giá trị lớn nhất.

Bài 11: Cho phương trình ẩn x sau:

m 2 x + 4 = mx + 4m

a, Biết phương trình (1) nhận

x =1

(1)

là nghiệm. Hãy tìm m.

b, Giải và biện luận phương trình (1) .

9

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.
I, PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ CÁCH GIẢI:
A ( x ) .B ( x ) .C ( x ) = 0
+ Phương trình tích là phương trình có dạng:
A ( x) , B( x) ,C( x )
Trong đó

là các biểu thức của biến x.
A ( x ) = 0
A ( x ) .B ( x ) = 0 <=> 
 B ( x ) = 0

+ Sử dụng tính chất:
.
+ Sử dụng mọi quy tắc, phép tính, phân tích đa thức thành nhân tử.
II, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Giải các phương trình sau:

( x + 2 ) ( x − 1) = 0
a,

.

b,

( x + 2 ) . ( x − 3) = 0
a,

.

b,

( x − 1) ( 3x − 6 ) = 0
a,

.

b,

( x − 7 ) ( 2x − 8) = 0
a,

.

b,

( 2x + 5) ( 1 − 3x ) = 0
a,

.

b,

( 2x + 3) ( 1 − 4x ) = 0
a,

.

b,

( 3x + 2 ) .( 4x − 5) = 0
a,

.

b,

5x 2 − 8x = 0
8x 2 − 4x = 0
4x 2 + 3x = 0
3x 2 + 2x = 0

2x ( x − 3) = x − 3
.

c,

.
4x ( x − 3) − 3x + 9 = 0

.

c,

.

x. ( x − 4 ) − 3x + 12 = 0
.

c,

.
2x ( x − 3 ) + 5x − 15 = 0

.

−3x 2 − 6x = 0
−6x + 9x 2 = 0
−9x 2 − 8x = 0

c,

.
5x. ( x − 6 ) − 2x + 12 = 0

.

c,

.

7x. ( x + 2 ) − 6. ( x + 2 ) = 0
.

c,

.

( x + 4 ) . ( 5x + 9 ) − x − 4 = 0

.

c,

.

Bài 2: Giải các phương trình sau:

( x − 1) ( x + 7 ) = ( 1 − x ) ( 3 − 2x )

( x + 1) ( x + 2 ) = 0
2

a,

.

( 6 − x ) ( x + 6)
a,

2

b,

( 2 − x ) ( x + 1) = ( x − 2 ) ( 3x + 5)

=0
.

b,

2

.

b,

( 2x − 3) ( x − 4 ) = 0

.

( 2x + 5) ( x − 4 ) = ( x − 4 ) ( 5 − x )

2

a,

.

( x + 6 ) ( 5 − x ) = ( x − 5 ) ( 7x + 8 )

( 5 − x ) ( 3x − 1) = 0
a,

.

.

b,

.

10


( x − 2 ) ( 7 − 3x ) = ( x − 2 ) ( 4x − 3)

( x − 2 ) ( 3x − 4 ) = 0
2

a,

.

b,

.

Bài 3: Giải các phương trình sau:

( x + 2 ) ( x − 3)
2

3

( x − 2 ) ( x + 3) ( x − 4 ) = 0

=0

a,

.

( 8 − x ) ( 2x − 6 )

2

( 2x − 3) ( x − 4 )

2

3

b,

( x + 2) ( x + 2) ( 3 − x ) = 0

=0

a,

.
3

b,

.

)

3

( 2x − 1) ( 4x − 5)
3

2

( 4x − 3) ( 3 − 4x )

2

( 2x − 3)

2

a,

(x

2

b,
.

b,
2

.

b,

( 2x − 1) ( 3x − 2 ) ( x − 4 ) = 0

a,
.
Bài 4: Giải các phương trình sau:
= ( 3x + 5 )

2

( x − 3)

2

= ( 3x − 2 )

2

= ( x + 3)

2

a,

.

a,

( 2x + 7 )
a,

( 6 − 9x )

2

= ( 5x − 7 )

2

( 4x − 6 )

2

= ( 6 + 4x )

2

b,
.

a,

b,

.

( 13x − 7 )

2

= ( 3x − 4 )

b,

2

.

b,

3

b,

.

3x 3 − 5x = 0

x2 + x − 6 = 0

b,

.

a,

a,

b,

.
2

.
2

=0

2

.

( 5x − 6 ) ( x + 2 ) ( x + 10 ) = 0

=0

( x − 2)

.

( x − 2 ) ( 2x − 3) ( 3 + 4x ) = 0

+1 = 0

a,
3

.

( x + 1) ( 2x − 3) ( 3x − 5 ) = 0

=0

a,

.
2

.

c,

5x 3 + 7x = 0

− x 3 − 4x = 0
2x 3 + 4x = 0

.

c,

.

c,

.

−6x 3 − 9x = 0
−4x 3 + 6x = 0

c,
.

c,

.

c,

.

x 2 + 4x + 5 = 0

x 2 − 4x − 6 = 0

.

.

x 2 − 5x − 14 = 0

.

x 2 + 7x + 12 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0

.
.

Bài 5: Giải các phương trình sau:

3x 2 − 3x = ( x − 1) . ( x + 3)
a,

(1+ x)
.

a,

.

( 3x + 1)
.

( 3x − 2 ) . ( 2x + 1) = ( 2x + 1)

2

b,

x. ( x + 3) = ( 2x − 1) . ( x + 3 )
a,

− ( x − 1) = 0

2

2

− ( 2x + 3) = 0

2

b,

.

( 5x − 4 )

2

.

b,

2

− ( 3x − 2 ) = 0
2

.

Bài 6: Giải các phương trình sau:

11


( 2x

( 2x − 3) ( 5x + 1) = ( 3 − 2x ) ( x − 5 )
a,

.

2

+ 2x + 4 ) − ( x 2 − 4 ) = 0

2

− x − 1) − ( x 2 − 7x + 6 ) = 0

2

2

.

( 3x
.

2

2

b,

.

( 2x

( 2 − 3x ) ( x + 11) = ( 3x − 2 ) ( 2 − 5x )
a,

− 3x − 4 ) − ( x 2 − x ) = 0

b,

( 6x − 7 ) ( 3x + 4 ) = ( 7 − 6x ) ( x − 1)
a,

2

.

b,

2

2

.

12


BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU.
I, ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH:
+ Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, để thực hiện được các phép tính tốn và các quy tắc thì ta
cần đặt điều kiện cho phương trình.
+ Điều kiện của phương trình chứa ẩn ở mẫu là các giá trị của ẩn để các mẫu có giá trị khác 0.

1
4
+
=0
x −3 x −5
VD: Tìm điều kiện xác định của phương trình:
.
x − 3 ≠ 0

x≠3
x≠5
x − 5 ≠ 0
ĐKXĐ:
, Hay
và
.
II, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU:
Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.
+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu. ( Bước bỏ mẫu dùng dấu => ).
+ Giải phương trình vừa nhận được.
+ So sánh giá trị ẩn vừa tìm được với điều kiện rồi kết luận.
III, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Giải phương trình:
2
=1
x −3
a,
.
2x

=1
3− x
a,
.
x
=3
x −5
a,
.
2x − 1
=3
x+2
a,
.
Bài 2: Giải phương trình:
3x
=2
5x − 1
a,
.
7
=4
3x − 2
a,
.

b,

b,

b,

b,

b,

b,

2
3
3x + 5
+
= 2
x −3 x +3 x −9
3x − 1
2
1
=
−
2
x −9 x −3 x +3
1
2
2x − 3
+
= 2
x +2 2−x x −4
x −1
5
−12

+
= 2
x−2 x+2 x −4

.

c,

.

c,

.

c,

.

x +5 x −5
20
−
= 2
x − 5 x + 5 x − 25
x +5 x −5
20
−
= 2
x − 5 x + 5 x − 25

c,

.

c,

.

c,

1
1
1
−
= 2
3x 4x x
3
1
1
−
= 2
8x 2x x

.

.

1
3
5
+

= 2
2x 4x 2x
2
1
3
−
= 2
3x 2x 4x

.

.

x+2 5
8
− = 2
x − 2 x x − 2x

.
x −1
1
2x + 1
+
= 2
x
x +1 x + x

.
13

a,

2x
= −2
3x − 1

.

b,

3
2
5
+
= 2
x − 7 x + 7 x − 49

x −7
49
3x
=
+
x
x ( x − 7) x − 7

.

c,

.

14


Bài 3: Giải phương trình:

a,

a,

a,

a,

x −3
x2
= 2
x +1 x −1
x −3
x2
= 2
x +1 x −1
2
9
=
x − 9 x + 12

.

b,

.

b,

x + 1 3x + 1 1
−
=
x −1 x 2 − x x

.

5 + x 2x − 3 1
−
=
3x − 6 2x − 4 2

6x − x
x
3
+
=
2
x − 2x x − 2 x

c,

.

c,

2

.

2x + 1 5 ( x − 1)
=
x −1
x +1

b,

.

b,

x+2 1
2
− = 2
x − 2 x x − 2x

x+2
6
x2
−
= 2
x−2 x+2 x −4

.

3
2
7 = 5x
=
− 2
1 − 3x 1 + 3x 9x − 1

.

x
2x − 1 2x + 4x
−
= 2
x + 3 3− x
x −9
2

.

c,

.

c,

x ( x + 10 )
x − 5 2x
−
=

x +5 x −5
25 − x 2

.

.

Bài 4: Giải phương trình:

a,

a,

a,

a,

1 3 1
−
=
x 2x 5
1 1 3
+
=
x 2x 2

.

b,

.

2
1 3
−
=
3x 2x 4
1
1 1
+
=
3x 2x 4

5
4
x−5
+
= 2
x −3 x +3 x −9

x +3 x −3
48
−
=
x − 3 x + 3 9 − x2

b,

.

b,

.

b,

1
5
3x
+
=
x + 1 x − 2 ( x + 1) ( x − 2 )
.

c,

.

2
1
3x − 11
−
=
x + 1 x − 2 ( x + 1) ( x − 2 )
.

c,

x − 1 5x − 2
x

− 2
=
x+2 x −4 x−2

.
2
3
3x − 20
−
=
x − 2 3 − x ( x − 3) . ( x − 2 )
.

x−2
3
2x − 22
−
= 2
x+2 x−2 x −4

c,

.
x
x
3x + 1
−
=
2x − 6 2x + 2 ( x + 1) ( x − 3)

.

c,

.

Bài 5: Giải phương trình:

a,

a,

a,

a,

a,

2
3
1
−
=
x + 1 x + 2 3x + 3
3
1
5
−
=
x + 3 x − 2 2x + 6

6
1
5
−
=
x + 3 x − 2 2x + 6

.

b,

.

b,

.

b,

7
1
3
+
=
2x − 3 2x − 2 x − 1

.

1
3

2
+
=
2x − 1 12x − 8 3x − 2

b,

.

b,

x
x − 3 x2 + 9
+
=
x − 3 x + 3 x2 − 9

.

x −1
x
7x − 6
−
=
x + 2 x − 2 4 − x2

.
x + 2 2x − 1 13x − 9
+
= 2

x +3 x−3
x −9

.

x + 5 x − 5 x. ( x + 25 )
−
= 2
x −5 x +5
x − 25

.

x 2 − 4x − 8 x + 1 x − 5
+
=
x2 − 4
x+2 x−2

.

15


Bài 6: Giải phương trình:

x + 3 x − 1 3x 2 + 4x + 1
−
=
x +1

x
x ( x + 1)
a,

.

b,

2
1
3x − 11
−
=
x + 1 x − 2 ( x + 1) ( x − 2 )

a,

.

b,

1
2
5
+
=
x − 1 x − 2 ( x − 1) ( x − 2 )

a,

.
2
x + 3 x −1
+
=
( x − 4) ( x − 2) x − 4 2 − x

a,

b,

.

b,

6
4
8
−
+
=0
x − 1 x − 3 ( x − 1) ( x − 3 )

a,

.

b,

7

2
1
+
= 2
x + 2 x + 3 x + 5x + 6
x
x2 +1
3
− 2
=
x + 2 x − 2x − 8 x − 4

.

.

4
1
9
+
= 2
x + 6 x − 3 x + 3x − 18
2
15
3
− 2
=
3x + 1 6x − x − 1 2x − 1

.

.

x
2x 2 + 9
1
− 2
=
x − 3 2x − 3x − 9 2x + 3

.

Bài 7: Giải phương trình:

a,

a,

a,

2x
1
3x 2
−
=
x2 + x + 1 1 − x x3 −1

.

b,

9x 2
6
3
+ 2
=
3
x − 8 x + 2x + 4 x − 2
1
2x − 9
2
− 3
= 2
x + 2 x + 8 x − 2x + 4

.

2
x +1
x
+ 2
= 2
x − x − 6 x + x − 12 x + 6x + 8
2

.

b,

.

x −1
x
4
− 2
= 2
2x − 3x − 2 2x + 7x + 3 x + x − 6
2

.

1
1
x +2
+ 2
− 3
=0
x −1 x + x +1 x −1

b,

3

a,

3x − 1
1
3x − 3
+ 2
= 2

2
x − 1 x − 3x + 2 x − x − 2

.

x +1
x
1
− 2
= 2
2x + 7x − 4 2x − 7x + 3 x + x − 12
2

.

b,

.

Bài 8: Giải phương trình:

a,

a,

a,

a,

4

x
x2 − 2
+
= 2
x − 2 x +1 x − x − 2

.

2
1
3x + 8
+
= 2
x + 6 x + 1 x + 7x + 6
2
4
3x + 11
+
= 2
x − 1 x + 3 x + 2x − 3
3
2
5x + 4
+
= 2
x + 1 x + 2 x + 3x + 2

b,

x −1

1
2x − 1
+
= 2
x
x +1 x + x

.

1
2
3
+
=
x − 1 x − 1 2x + 2
2

.

b,

x−2
3
x − 11
+
= 2
x+2 x−2 x −4

.

2

.

.

b,

b,

.

x +1
x −1
2
−
= 2
2x − 2 2x + 2 x − 1

.

16


a,

a,

5
2

3x
+
= 2
x − 2 x + 4 x + 2x − 8

.

3
1
5x + 11
+
= 2
2x − 1 x + 4 2x + 7x − 4

b,

.

b,

x +1
5
4
+
= 2
+1
x+2 x−2 x −4

.
x

x
−2x
+
=
2x − 6 2x + 2 ( 3 − x ) ( x + 1)
.

17


BÀI 5: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH.
I, CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH:
+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập phương trình biểu diễn mỗi quan hệ.
+ Giải phương trình vừa lập được.
+ Kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện rồi trả lời.
II, BÀI TẬP VẬN DỤNG
DẠNG 1.1:

v=

s
t

+ Vận tốc v, quãng đường s, thời gian t:
.
+ Vận tốc xi dịng bằng vận tốc thuyền + vận tốc nước.
+ Vận tốc ngược dòng bằng vân tốc thuyền – vận tốc nước.

Bài 1: Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc
tốc

30km / h

40km / h

. Đến B người đó nghỉ 10 phút rồi quay về A với vận

. Biết thời gian tổng cộng hết 3h 40 phút. Tính quãng đường AB.

Bài 2: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h. Khi đến B người đó nghỉ 10 phút rồi quay trở
về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 5km/h. Tính quãng đường AB biết thời gian cả đi lẫn về và nghỉ
là 6h 40 phút.
Bài 3: Một ô tô đi từ A đến với vận tốc 30km/h. Khi đến B ô tô trả hàng mất 2h rồi quay về A với vận tốc
40km/h. Tổng thời gian đi, trả hàng ở B và về mất 10h 45 phút. Tính độ dài quãng đường AB.
Bài 4: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Đến B người đó nghỉ 1 giờ rồi quay
về A với vận tốc trung bình 24km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 5 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 5: Một người đi từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau khi đến B người đó giải quyết cộng việc trong 30
phút rồi quay lại A với vận tốc 50km/h. Biết thời gian cả đi và về là 2 giờ 18 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 6: Anh Xuân đi ô tô từ A lúc 6 giờ 15 phút với vận tốc 50km/h để đến địa điểm B. Anh nghỉ lại B mất 1
giờ 30 phút rồi quay về A. Khi đi về đến A anh thấy đã 14 giờ 30 phút. Biết vận tốc ô tô lúc về chậm hơn
vận tốc lúc đi là 10km/h. Tính chiều dài quãng đường AB.
Bài 7: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau khi đến B và nghỉ lại 30 phút người đó lại
đi từ B về A với vận tốc 30km/h. Tổng thời gian cả đi lẫn về là 9 giờ 15 phút ( tính cả thười gian nghỉ). Tính
độ dài quãng đường AB.

18

Bài 8: Một người đi ô tô từ A đến B với vận tốc 60km/h. Sau khi đến B và nghỉ lại ở đó 30 phút ơ tơ lại đi
từ B về A với vận tốc 40km/h. Tổng thời gian cả đi lẫn về là 8h 15 phút bao gồm cả thời gian nghỉ. Tính độ
dài quãng đường AB.

Bài 9: Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc là
lớn hơn xe máy là
phút.

20km / h

30km / h

. Cùng lúc đó một ơ tơ đi từ A đến B với vận tốc

. Tính quãng đường AB biết tổng thời gian đi được của xe máy và ô tô là 48

DẠNG 1.2:
Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30km/h nên
thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Tính độ dài quãng đường AB.
Bài 2: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc trung bình là 15km/h. Lúc về người đó chỉ đi với vận tốc
trung bình là 12km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Tính độ dài quãng đường AB?
Bài 3: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60km/h rồi quay về A với vận tốc 50km/h. Thời gian lúc đi ít hơn
thời gian lúc về là 48 phút. Tính độ dài quãng đường AB.
Bài 4: Một ô tô đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc 60km/h. Khi trở về cũng trên tuyến đường
đó, ơ tơ chạy với vận tốc 50km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 52 phút. Tính quãng đường từ
thành phố A đến thành phố B.
Bài 5: Một ô tô chạy trên quãng đường AB. Lúc đi ô tô chạy với vận tốc 42km/h. Lúc về ô tô chạy với vận
tốc bé hơn lúc đi là 6km/h. Vì vậy thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 50 phút. Tính chiều dài quãng
đường AB.
Bài 6: Một người đi xe máy từ thành phố về quê với vận tốc trung bình 30km/h. Lúc lên thành phố người

đó đi với vận tốc là 25km/h. Nên thời gian lúc lên thành phố nhiều hơn thời gian về quê là 20 phút. Tính
quãng đường từ thành phố về quê.
Bài 7: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 15km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc
12km/h. Nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 22 phút. Tính độ dài quãng đường đi từ A đến B.
Bài 8: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60km/h sau đó quay về A với vận tốc 50km/h. Do đó thời gian về
chậm hơn thời gian đi là 30 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 9: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30km/h nên
thời gian về lâu hơn thời gian đi 30 phút. Tính qng đường AB.
Bài 10: Một ơ tơ chạy trên quãng đường AB. Lúc đi từ A đến B ô tô chạy với vận tốc 35km/h. Lúc từ B về
A ô tô chạy với vận tốc 42km/h. Vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là nửa giờ. Tính chiều dài quãng
đường AB?

19


Bài 11: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h. Lúc về người ấy đi với vận tốc 24km/h. Do
đó thời gian về lâu hơn thời gian đi là 30 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 12: Một xe khách và một xe tải xuất phát cùng một lúc đi từ tỉnh A đến tỉnh B. Mỗi giờ xe khách chạy
nhanh hơn xe tải 5km nên xe khách đến B trước xe tải 30 phút. Tính độ dài quãng đường AB biết rằng vận
tốc xe tải là 40km/h.
DẠNG 1.3:
Bài 1: Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước. Sau khi đi được nửa quãng đường,
xe tăng vận tốc thêm 10km/h, vì vậy xe máy đi đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định
của xe máy. Biết quãng đường AB dài 120 km.
Bài 2: Một xe máy dự định đi từ A đến B với vận tốc 35km/h. Nhưng khi đi được một nửa đoạn đường AB
thì xe bị hỏng nên dừng lại sửa mất 15 phút. Để kịp đến B đúng giờ người đó tăng vận tốc thêm 5km/h trên
quãng đường cịn lại. Tính độ dài qng đường AB.
Bài 3: Một người dự định đi xe máy từ A để đến B với vận tốc 30km/h nhưng sau khi đi được 1 giờ người
ấy nghỉ 15 phút, để đến B đúng thời gian đã định thì người đó phải tăng vận tốc thêm 10km/h trên qng
đường cịn lại. Tính qng đường AB.

Bài 4: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50km/h Khi đi được 20 phút thì giặp đường xấu nên vận
tốc giảm cịn 40km/h. Vì vậy ơ tơ đến B chậm 18 phút so với dự định. Tính quãng đường AB.
Bài 5: Một ô tô đi từ A đến B theo kế hoạch định trước. nếu xe chạy với vận tốc 40km/h thì đến B chậm
hơn 30 phút so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến B sớm hơn 24 phút. Tính chiều dài
quãng đường AB.
Bài 6: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì
đến B trễ 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến B sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời
gian dự định lúc đầu.
DẠNG 1.4:
Bài 1: Lúc 6 giờ sáng một ô tô khởi hành từ A để đến B. Đến 7 giờ 30 phút một ô tô cũng khởi hành từ A đế
đi đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất là 20km/h và hai xe giặp nhau lúc 10 giờ 30 phút. Tính
vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 2: Một xe khách đi từ A đến B với vận tốc 20km/h. Sau 3 giờ thì tại A có một xe con đuổi theo với vận
tốc 50km/h. Hỏi từ lúc bắt đầu xuất phát thì xe con mất bao lâu để đuổi kịp xe khách.
Bài 3: Hai xe khởi hành cùng lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 130km và giặp nhau sau 2 giờ đi. Tính
vận tốc mỗi xe biết rằng xe đi từ B có vận tốc nhanh hơn xe đi từ A là 5km/h.
Bài 4: Một xe máy khởi hành từ A đến B với vận tốc 30km/h. Sau khi xe máy đi được 20 phút, trên cùng
tuyến đường đó, một ô tô khởi hành từ B về A với vận tốc 45km/h. Biết quãng đường AB dài 90km. Hỏi sau
bao lâu khể từ khi ơ tơ xuất phát thì hai xe giặp nhau. Vị trí giặp nhau cách A bao xa.
20


Bài 5: Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 150km, đi ngược chiều nhau và giặp
nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu vận tốc của ơ tơ đi từ A tăng thêm 15km/h thì vận
tốc sẽ gấp đôi vận tốc ô tô đi từ B.

Bài 6: Một ô tô con đi từ A đến B. Cùng lúc đó mơ ơ tơ khách đi từ B đến A với vận tốc bằng
tô con. Sau 5 giờ hai xe giặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đường Ab thì mất bao lâu?
DẠNG 1.5:

2
3

vận tốc ô

Bài 1: Trên quãng đường AB dài 270km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Ô tô thứ nhất chạy
nhanh hơn ô tô thứ hai là 12km/h nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai là 42 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 2: Một xe máy và một ô tô cùng khởi hành từ tỉnh A đi đến tỉnh B. Xe máy đi với vận tốc 30km/h, ô tô
1
2
đi với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được
quãng đường AB ô tô tăng vận tốc thêm 5km/h trên qng đường
cịn lại. Do đó nó đến B sớm hơn xe máy 1 giờ 10 phút. Tính độ dài quãng đường AB.
Bài 3: Một xe máy đi từ tỉnh A đến tỉnh B theo con đường dài 70km. Lúc về xe máy đi con đường khác dài
84km với vận tốc kém hơn vận tốc lúc đi là 8km/h. Tính vận tốc lúc về biết thời gian lúc về gấp rưỡi thời
gian lúc đi.
Bài 4: Một xe máy đi từ A đến B dài 35km. Lúc về bằng đường khác dài 42km với vận tốc lớn hơn vận tốc
12
13
lúc đi là 6km/h. Thời gian về bằng
thời gian đi. Tìm vận tốc lúc đi và vân tốc lúc về.
Bài 5: Bạn Long đi từ nhà lên thăm bà bằng đoạn đường dài 48km. Lúc về Long đi con đường tắt ngắn hơn
5
6
13km với vận tốc lúc về chỉ bằng vận tốc lúc đi nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận
tốc lúc đi của Long.
Bài 6: Hai bố con bạn Việt cùng về quê bằng xe máy. Việt khởi hành lúc 5h sáng. Bố của biệt khởi hành lúc
6 giờ sáng với vận tốc nhanh hơn vận tốc của việt là 10km/h và cả hai cùng đến quê lúc 10 giờ. Tính quãng
đường từ nhà Việt về đến quê. Biết cả hai bố con cùng đi trên 1 cung đường.
Bài 7: Quãng đường AB dài 20km, Quãng đường BC dài 15km. Thời gian đi hết quãng đường AB và thời

gian đi hết quãng đường BC của một xe ô tô là bằng nhau. Tìm vận tốc của xe khi đi trên quãng đường AB
biết vận tốc này lớn hơn vận tốc đi trên quãng đường BC là 15km/h.
Bài 8: Hai con tàu khởi hành cùng lúc từ A. Tàu thứ nhất chạy về hướng Bắc với vận tốc 27 hải lý/ giờ. Tàu
thứ hai chạy về hướng tây với vận tốc 2 hải lý/ giờ. Sau 2 giờ tàu thứ nhất cập cảng B. Sau 3 giờ tàu thứ hai
cập bến C. Hỏi B cách C bao nhiêu hải lý
DẠNG 1.6:

21


Bài 1: Một chiếc thuyền xi dịng từ A để đến B sau đó đi ngược dịng từ B để về A. Thời gian xi dịng
là 5 giờ. Thời gian ngược dịng là 6 giờ. Tính vận tốc thực tế của thuyền, biết vận tốc dòng nước là 1km/h.
Bài 2: Một ca nô chạy trên một khúc sông từ A đến B. Biết rằng khi đi xi dịng từ A đến B ca nơ mất 8
giờ. Ngược dịng từ B vế A ca nơ mất 10 giờ. Tính khoảng cách AB. Biết vận tốc dòng nước là 2km/h.
Bài 3: Một ca nơ xi dịng từ A đến B mất 5 giờ và ngược dòng từ B đến A mất 7 giờ. Tính khoảng cách
giữa hai bến A và B biết vận tốc dòng nước là 3km/h.

DẠNG 2.1:
+ Năng suất làm việc là lượng công việc làm được trong một thời gian nhất định.
A
N=
T
+ Cơng thức:
. Trong đó:
A là Khối lượng công việc.
T là thời gian làm việc.
Bài 1: Một tổ sản xuất dự định làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định. Tổ dự định mỗi ngày
làm 120 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ làm được 150 sản phẩm. Vì vậy tổ đã làm xong trước thời
gian dự định là 4 ngày và còn làm thêm được 10 sản phẩm. Tính số sản phẩm mà tổ đã dự định làm.
Bài 2: Một tổ may dự định mỗi ngày may 50 cái áo. Nhưng thực tế mỗi ngày tổ đã may được 60 cái áo. Do

đó khơng những tổ đã hồn thành trước một ngày mà cịn làm thêm được 20 cái áo nữa. Tính số lượng áo
mà tổ phải may theo dự định ban đầu.
Bài 3: Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, mỗi ngày phải khai thác được 30 tấn than. Khi thực
hiện, mỗi ngày đội khai thác được 50 tấn than. Do đó đội đã hồn thành trước kế hoặch 1 ngày và còn vượt
mức 10 tấn than. Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác bao nhiêu tấn than?
Bài 4: Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất 50 sản phẩm. Khi thực hiện mỗi ngày tổ sản
xuất được 65 sản phẩm. Do đó tổ đã hồn thành kế hoạch trước 3 ngày và cịn làm vượt mức 255 sản phẩm.
Hỏi theo kế hoạch, tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
Bài 5: Một đội sản xuất dự định mỗi ngày làm 50 sản phẩm. Nhưng thực tế mỗi ngày làm nhiều hơn 10 sản
phẩm. Vì vậy khơng những hồn thành trước kết hoạch 2 ngày mà còn sản xuất thêm được 30 sản phẩm.
Hỏi theo kế hoạch đội phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
Bài 6: Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than. Theo đó mỗi ngày phải khai thác được 40 tấn than.
Nhưng khi thực hiện mỗi ngày đội khác thác được 45 tấn than. Do đó đội đã hồn thành kế hoạch trước hai
ngày và còn vượt mức 10 tấn than. Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác bao nhiêu tấn than.
Bài 7: Một tổ sản xuất dự định mỗi ngày may được 30 chiếc áo. Khi thực hiện nhờ cải tiến kỹ thuật tổ sản
xuất may được 45 chiếc áo mỗi ngày nên đã hoàn thành sớm hơn kế hoạch 2 ngày và còn may thêm được
90 chiếc áo. Tính số áo tổ phải làm theo kế hoạch.

22


Bài 8: Một xưởng dệt làm theo đơn hàng thì mỗi ngày phải dệt 30 cây vải. Nhưng do có 1 người thợ nghỉ
việc nên số cây vải làm ra giảm đi 5 cây mỗi ngày. Do đó xưởng đã hoàn thành đơn hàng chậm hơn 4 ngày.
Hỏi đơn hàng mà xưởng nhận là bao nhiêu cây vải
Bài 9: Một tổ dự định mỗi ngày may 50 cái áo. Khi thực hiện mỗi ngày may được 55 chiếc áo. Vì vậy tổ đã
may xong trước thời hạn 2 ngày và cịn dư ra 15 chiếc áo. Tính số áo mà tổ phải may theo dự định.
Bài 10: Một đội máy cày dự định mỗi ngày cày 40 ha. Do siêng năng làm việc nên thực tế mỗi ngày đội
làm được 52 ha. Vì vậy khơng những đội đã cày xong trước 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha. Tính diện
tích mà đội đã cày trên thực tế.
50m3

Bài 11: Một đội thợ mỏ theo kế hoạch phải khai thách
than. Nhưng do siêng năng làm việc nên thực
3
57m
tế mỗi ngày đội đã làm được
than. Vì vậy khơng những xong trước 1 ngày mà đội cịn vượt mức
3
13m
than. Tính lượng than mà đội thợ mỏ khai thác theo kế hoạch.
Bài 12: Theo kế hoạch một đội máy cày phải cày mỗi ngày 15 ha. Nhưng trên thực tế đội đã cố giắng nên
hoàn thành xong trước thời hạn 1 ngày và cịn vượt mức 3 ha. Tính diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch.
Bài 13: Chị Đông phải làm một số đồ dùng trong 18 ngày. Do vượt mức mỗi ngày 5 chiếc nên sau 16 ngày
thì chị đã làm xong số dụng cụ được giao và còn dư ra 20 dụng cụ nữa. Tính số dụng cụ mà chị Đông đã
làm trong 1 ngày.
DẠNG 2.2:
Bài 1: Bác thợ cả và anh công nhân cùng làm việc. Mỗi ngày bác thợ cả làm hơn anh công nhân 10 sản
phẩm. Sau ba ngày làm việc cả hai làm được 930 sản phẩm. Hỏi mỗi người trong 1 ngày làm được bao
nhiêu sản phẩm.
Bài 2: Trong ba ngày làm việc hai người làm được 930 sản phẩm. Biết rằng người thứ nhất làm 1 ngày
nhiều hơn người thứ hai là 10 sản phẩm. Hỏi mỗi người trong 1 ngày làm được bao nhiêu sản phẩm.
Bài 3: Hai người cùng làm một công việc. Cứ người thứ hai làm được 4 sản phẩm thì người thứ nhất làm
được 5 sản phẩm. Sau một ngày người thứ nhất làm hơn người thứ hai là 50 sản phẩm. Hỏi trong một ngày
cả hai người làm được bao nhiêu sản phẩm.
Bài 4: Hai người công nhân cùng làm 1 loại sản phẩm. Mỗi ngày người thứ hai làm được nhiều hơn người
thứ nhất 5 sản phẩm. Họ cùng làm trong 8 ngày thì người thứ nhất nghỉ, người thứ hai làm tiếp 2 ngày nữa,
cuối cùng cả hai người làm được 410 sản phẩm. Hỏi mỗi ngày cả hai người làm được bao nhiêu sản phẩm.
Bài 5: Hai công nhân được giao một số sản phẩm. Người thứ nhất làm trong 3 giờ 20 phút, người thứ 2 làm
trong 2 giờ thì người thứ nhất làm ít hơn người thứ hai là 10 sản phẩm. Biết rằng mỗi giờ người thứ nhất
làm ít hơn người thứ hai là 7 sản phẩm. Tính số sản phẩm người thứ nhất làm trong 1 giờ.

23


Bài 6: Hai đội công nhân cùng sửa một đoạn đường hết 24 giờ. Mỗi ngày phần việc làm được của đội I
3
2
bằng phần việc đội II làm được. Hỏi nếu một mình thì mỗi đội làm xong cơng việc trong bao lâu.
Bài 7: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất phải làm 900 sản phẩm. Do cải tiến kỹ thuật nên tổ 1 vượt mức 20%
và tổ 2 vượt mức 15% so với kế hoạch. Vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1055 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch
mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Bài 8: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được 900 sản phảm. Do cải tiến kĩ thuật nên tổ I vượt mức 15% và tổ
II vượt mức 10% so với kế hoạch. Vì vậy hai tổ vượt mức 110 sản phẩm. Hỏi mỗi tổ sản xuất được bao
nhiêu sản phẩm.
Bài 9: Hai đội trồng cây rừng trong tháng trước được 700 cây. Trong tháng này đội A vượt mức 60% và đội
B vượt mức 40%. Tính xem mỗi đội trong tháng trước trồng được bao nhiêu cây. Biết rằng tháng này cả hai
đội trồng được 1100 cây.
DẠNG 2.3:
Bài 1: Một đội cơng nhân hồn thành cơng việc với mức 420 ngày cơng. Hãy tính số cơng nhân của đội biết
rằng nếu tăng thêm 5 người thì số ngày hồn thành cơng việc sẽ giảm đi 7 ngày.
Bài 2: Một đội công nhân dự định hồn thành một cơng việc với 500 ngày cơng thợ. Hãy tính số người của
đội biết rằng nếu bổ sung thêm 5 cơng nhân thì số ngày hồn thành cơng việc giảm đi 5 ngày.
Bài 3: Một đội cơng nhân xây dựng có 20 người, dự định làm một cơng trình trong thời gian đã định. Hãy
tính số ngày công thợ biết rằng nếu vắng 5 người thì số ngày hồn thành cơng việc sẽ tăng thêm 7 ngày.
Bài 4: Một đội công nhân phải làm một số dụng cụ trong một thời gian đã quy định. Nếu mỗi ngày đội làm
thêm 3 dụng cụ thì cơng việc hoàn thành sớm hơn 2 ngày, nếu mỗi ngày đội giảm đi 3 dụng cụ thì thời gian
hồn thành sẽ kéo dài thêm 3 ngày. Tính số dụng cụ được giao
Bài 5: Một đội công nhân làm đường, lúc đầu dự định sẽ hồn thành cơng việc trong 40 ngày. Nhưng sau
đó đội được tăng cường thêm 10 người nên đã hồn thành cơng việc trong 30 ngày. Hỏi số công nhân trong
đội lúc đầu là bao nhiêu? Biết năng suất các công nhân sai số không đáng kể.

Bài 6: Một đội cơng nhân có 18 người dự định hồn thành một cơng việc trong 25 ngày. Sau khi làm được
5 ngày thì đội được bổ sung thêm 6 cơng nhân nữa. Hỏi khi đó đội cơng nhân hồn thành cơng việc đó sớm
hơn dự định bao nhiêu ngày.
DẠNG 2.:

1
x

+ Nếu làm việc xong công việc trong x ngày. Thì 1 ngày làm được
cơng việc .
1
a
+ Nếu chảy đầy bể nước trong a giờ. Thì 1 giờ chảy được bể nước.
24


Bài 1: Một đội công nhân gồm 50 người được giao nhiệm vụ hồn thành cơng việc trong 15 ngày. Sau khi
làm được 5 ngày thì nửa số cơng nhân được điều đi làm công việc khác. Hỏi với cố cơng nhân cịn lại thì
hồn thành cơng việc trong bao nhiêu ngày còn lại. Biết năng suất của mỗi người gần như nhau.
Bài 2: Hai đội công nhân cùng làm chung một cơng việc thì hồn thành cơng việc đó trong 24 giờ. Nếu đội
thứ nhất làm 10 giờ, đội thứ hai làm 15 giờ thì cả hai làm được một nửa cơng việc. Tính thời gian mỗi đội
làm một mình để xong cơng việc đó.
Bài 3: Hai người thợ cùng làm một cơng việc thì sau 7 giờ 12 phút làm xong. Nhưng nếu người thứ nhất
làm một mình trong 5 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai người làm được 75% cơng
việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì bao giờ sẽ xong cơng việc đó.
Bài 4: Hai người cùng làm một cơng việc thì trong 12 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ,
2
5
người thứ hai làm trong 6 giờ thì được
cơng việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm hết cơng việc

trong bao lâu.
Bài 5: Hai đội công nhân cùng làm chung một con đường và dự định 10 ngày sẽ xong. Họ làm chung với
nhau được 6 ngày thì đội I nghỉ làm. Đội II làm một mình nên đã cố giắng tăng nâng suất gấp đôi nên chỉ
sau 3 ngày sau là làm xong cong đường. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì mất bao lâu mới làm xong con
đường.
Bài 6: Hai máy cày có năng suất khác nhau cùng cày trên 1 cánh đồng. Nếu cả hai máy cùng làm việc thì
sau 4 ngày sẽ cày xong cánh đồng. Trên thực tế thì hai máy cùng làm việc trong 2 ngày sau đó máy I khơng
làm nữa và máy II làm một mình thêm 6 ngày nữa thì xong cánh đồng. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy
phải mất bao lâu để cày xong cánh đồng
Bài 7: Hai người cùng làm việc thì trong 6 giờ 40 phút sẽ xong công việc. Nếu để người thứ nhất làm trong
5 giờ rồi người đó nghỉ thì người thứ hai phải làm nốt phần việc còn lại trong 8 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì
mỗi người phải mất bao lâu để hồn thành cơng việc.
Bài 8: Hai đội cơng nhân cùng làm việc thì trong 4 ngày xong việc. Nhưng khi thực hiện đội II làm trễ sau
khi đội I đã làm được 9 ngày. Hai đội cùng làm thêm 1 ngày nữa thì xong. Hỏi nếu làm một mình thì thì
mỗi đội phải mất bao lâu mới hồn thành công việc.
Bài 9: Hai đội xây dựng cùng làm chung một cái bể và dự định trong 12 ngày thì xong. Họ cùng làm với
nhau được 8 ngày thì đội I nhận cơng trình khác nên đội II tiếp tục làm. Do đó đội II phải tăng năng suất lên
gấp đơi và hồn thành cơng việc cịn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu
ngày thì xây xong cái bể.
Bài 10: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc dự định làm xong trong 24 ngày. Họ cùng làm
với nhau được 16 ngày thì đội thứ nhất được điều sang làm việc khác. Đội thứ hai vẫn tiếp tục làm nhưng
tăng năng suất gấp đơi nên làm xong cơng việc cịn lại trong 7 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình và khơng
tăng năng suất thì bao lâu mới xong cơng việc nói trên.

25