de hoc sinh gioi 11 lan 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THPT NHÃ NAM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: Toán 11 –THÁNG 9 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề). Câu 1: (4.0 điểm).   sin 3x  cos3x  2 2cos  x    1 0 4  a) Giải phương trình: 1 1 16  2 x     xy x y 3  1 1 100 2( x 2  y 2 )     ( x  y )2 ( x  y )2 9 b) Giải hệ phương trình:  Câu 2: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, phía bên ngoài của tam giác ABC dựng hai tam giác đều ABM và ACN. Tìm một phép dời hình biến đoạn thẳng MC thành đoạn BN .Từ đó suy ra MC=BN. Câu 3:(1.5 điểm) Khảo sát tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị y sin   sin x  . nhỏ nhất của hàm số Câu 4: (2.0 điểm) 3 Trong mphẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 và điểm. A(2;-3), B(3;-2) trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng (d): 3x- y - 8 = 0. Tìm toạ độ điểm C.. Câu 5:(1.0 điểm) Cho x, y, z  0 . Chứng minh rằng: 2 xy 2 yz 3 zx 5 P    ( z  x)( z  y ) ( x  y )( x  z ) ( y  z )( y  x) 3. --------------------HẾT----------------------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Câu a) 1 Ta có:. Nội dung. Điểm 2.0 điểm.   sin 3 x  cos3 x  2 2cos  x    1 0 4   sin 3x  cos3x  2  cos x  sin x   1 0  sin 3 x  sin x  cos3 x  cos x   cos x  sin x   1 0  2sin 2 x cos x  2sin 2 x sin x   cos x  sin x   1 0. 0,5.  2sin 2 x  cos x  sin x    cos x  sin x   1 0.   t cos x - sin x  2 cos  x   ; t    2; 2  4  Đặt: 2 3 Ta có: 2(1  t )t  t  1 0   2t  t  1 0  t 1  x k 2   1   t 1: 2 cos  x   1  cos  x       x   k 2 4 4 2    2 b) ĐK: x y Hệ phương trình tương đương với 1 1 16   x  y  x  y  x  y  x  y  3  1 1 100 ( x  y ) 2  ( x  y ) 2    2 2  ( x  y) ( x  y) 9 1 1 a x  y  ; b x  y  (| a |,| b |2) x  y x  y Đặt 16  a  b   3   100 2 2 a  2  b  2  9 Ta có: . a 2   10  b 3 .  10 a  3  b 2. 0,5 0,5 0,5 2.0 điểm. 0,5. 0,5 0,5. Từ đó suy ra hệ phương trình có bốn nghiệm. 2  x    x 2 3  x 2        y  1  y 1  y 1  3. 2  x   3   y  1  3. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Câu 2. 1,5đ. Qua phép quay. Q( A;600 ). thì điểm M biến thành B;điểm C biến. thành điểm N .Do đó ,qua phép quay thành đoạn BN .Vậy MC=BN. Q( A;600 ). thì đoạn MC biến. Câu y  f ( x) sin   sin x  Tập xác định của hàm số là D  (đối 3 xứng qua 0) x  , f (  x)  f ( x). Vậy, f chẵn (f không lẻ vì nó không đồng nhất bằng 0) x  , f ( x  2)  f ( x ). Vậy, f tuần hoàn Tập giá trị của hàm số. t  sin x. min f  min sin t 0,. max f  max sin t 1. 0 t . Câu 4. 0;  là  nên. 0 t . 0,5. * Ta có 1 2S 3 S ABC  AB.d (C , AB )  d (C , AB)  ABC  2 AB 2 (1)  * Đường thẳng AB có véctơ chỉ phương AB (1;1)   véctơ pháp tuyến là n AB ( 1;1)  AB: x-y-5=0 Gäi ®iÓm G(xG, yG) th× C( 3xG-5 ;3yG +5) 3 xG  5  3 yG  5  5 3  2 2 Ta cã   xG 1  3 xG  yG 8  yG  5     x 2  3xG  3 yG  15 3  G   yG  2 Ta cã. VËy cã hai ®iÓm tho¶ m·n C1(1;-1) , C2(-2;-10). Câu 5. 1,0. Đặt: a  y  z, b z  x, c x  y Khi đó: a, b, c là ba cạnh của một tam giác ABC. xy (b  c  a )(c  a  b) c 2  (a  b)2   ( z  x )( z  y ) 4 ab 4ab Ta có:. 0,5. 0,5. 0,5 0,5 1,0 điểm 0,25. c2  a2  b2 1 1 1    cos C  4ab 2 2 2 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> yz 1 1  cos A  2 2 Tương tự ta có: ( x  y )( x  z ) zx 1 1  cos B  ( y  z )( y  x ) 2 2 3   7 P   cos C  cos A  cos B   2   2 Suy ra:. 0,25. Ta có: 3 AC A C 3 cos C  cos A  cos B 2cos cos  cos B 2 2 2 2 B A C 3 B B B 3 2sin cos  (1  2sin 2 )  3sin 2  2sin  2 2 2 2 2 2 2 2. B 2 B 1  11 B 2  11 11    3  sin 2  sin     3  sin     2 3 2 9 6 2 3 6 6   7 11 5 P   2 6 3. Suy ra: Dấu bằng xảy ra và chỉ 4  B 2  sin  b  a 3  x z 2 y  2 3  A C a c Lưu ý: Có thể giải bài này bằng biến đổi đại số.. 0,25 khi.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>