Phương pháp tọa độ hóa không gian - thầy toán

Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA KHÔNG GIAN
Bài 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Chứng minh AC’
⊥
(A’BD) và AC’ vuông
góc với mặt phẳng
⊥
(CB’D’)
Bài 2: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b) Gọi MNP lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa
hai đường thẳng MP và C’N.
Bài 3: Cho hình hộp lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng 2. Gọi E, F tương ứng là
các trung điểm của các cạnh AB, DD
1
.
a) Chứng minh rằng EF//(BDC
1
) và tính độ dài đoạn EF.
b) Gọi K là trung điểm cạnh C
1
D
1

. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (EFK) và xác
định góc giữa hai đường thẳng EF và BD.
Bài 4: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Cho
4 ; 3 ; 5AC AD cm AB cm BC cm= = = =
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a; đường cao bằng b. Tính
khoảng cách từ S đến mặt phẳng đi qua AB và trung điểm M của cạnh SC
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có cạnh bằng a; đường
cao SO
⊥
mp(ABCD) và SO = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC,
AB.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA= a; AD = a
2
và SA
⊥
mp(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm
của BM và AC.
a) Chứng minh rằng mp(SAC)
⊥
(SMB).
b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Bài 8: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh SA
⊥
ABC); SA = 2a
Gọi
( )
α
là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC. Tìm diện tích thiết diện của tứ diện
S.ABC tạo bởi mp

( )
α
.
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
µ
A
=60
o
và có
1
Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian
đường cao SO bằng a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
Bài 10: Cho hình tam giác đều SABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt
phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = a; AD = 2a,
cạnh SA
⊥
mp(ABCD), cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
o
. Trên cạnh SA lấy
điểm M sao cho AM=
3
3
a
, mặt phẳng (BCM) cắt SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp
SBCNM?
Bài 12: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA

vuông góc với mp(ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường
thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp ABCNM.
Bài 13: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a và góc BAD = 60
0
. Gọi M,
N là trung điểm các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng A’C’ vuông góc với mặt phẳng
(BDMN). Tính thể tích của khối chóp A.BDMN
Bài 14: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. BA = BC =
a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA =
2a
.H là hình chiếu của A lên SB.
Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng
(SCD)
Bài 15: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA,M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC.Chứng minh rằng MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng MN và AC.
Bài 16: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lược là trung điểm
của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện
CMNP.
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc
·
0
60BAD =
và đường
cao SA = a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mp (SBC)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
2

Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian
c) Góc giữa đường thẳng SA và mp (SCD)
d) Gọi M, N lần lược là trung điểm của SA,SB.TÍnh tỉ số
.
.
S MNAB
S ABCD
V
V
Bài 18: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng
vuông góc với nhau.Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng CI
⊥
SB
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
c) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BD
d) Tính tỉ số
.
.
I SAB
S ABCD
V
V
Bài 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; các cạnh bên đều bằng
6
2
a
.Gọi
( )
α

là mp song song với BC và vuông góc với mp(SBC), gọi I là trung điểm
của BC.
a) Tính khoảng cách từ I đến mp
( )
α
b) Tính góc giữa AB và
( )
α
Bài 20: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a,
góc = 60
0
. gọi M là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh
rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để
tứ giác B'MDN là hình vuông.
Bài 21: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng
∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng
(Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB. Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thoi,
AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) S(0; 0; 2
2
). Gọi M là trung điểm
của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
Bài 23: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của A’D’ và
B’B.
a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với AC’
b) Chứng minh rằng D’B vuông góc với (A’C’D), D’B vuông góc với (ACB’)

c) Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và A
/
D.
3
Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian
Bài 24: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mp (AB’D’) là trọng tâm
tam giác AB’D’.
b) Tìm khoảng cách giữa hai mp (AB’D’) và mp (C’BD).
c) Tìm góc tạo bởi hai mp (DA’C) và mp (ABB’A’).
Bài 25: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’, cạnh bằng a. Giả sử M, N lần lượt là trung
điểm của BC và DD’.
a) Chứng minh rằng MN// (A’BD).
b) Tính khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng BD và MN theo a.
Bài 26: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a; AD = 2a; AA’ = a.
a) Gọi M là điểm nằm trong AD sao cho
3
AM
MD
=
. Tính khoảng cách từ điểm M
đến (AB’C)
b) Tính thể tích tứ diện AB’D’C.
Bài 27: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Điểm M thuộc AD’ và điểm N
thuộc BD sao cho AM = DN = k
(0 2)k a< <
a) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
b) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(A’D’BC) khi k biến thiên.
c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của
AD’ và DB và MN song song với A’C.

Bài 28: Tính khoảng cách giữa đường chéo của một hình lập phương và đường chéo của
một mặt bên nếu chúng không cắt nhau, biết rằng cạnh của hình lập phương bằng a.
Bài 29: Cho tam giác OAB vuông tại O, trên đường thẳng vuông góc với (OAB) tại O lấy
điểm C.
a) Chứng minh rằng tứ diện OABC có 3 cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
b) Từ O vẽ OH
⊥
(ABC) tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC.
c) Chứng minh rằng
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
Bài 30: Cho tứ diện OABC có các mặt OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông tại đỉnh
O. Gọi
, ,
α β γ
là góc lần lượt hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng
(ABC). Chứng minh rằng:
4
Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian
a) Tam giác ABC có 3 góc nhọn.
b)
2 2 2
cos cos cos 1
α β γ
+ + =
Bài 31: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm.
a) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện cũng đi qua
trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó.

b) Gọi A’ là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng
3
'
GA
GA
=
Bài 32: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm những điểm M trong không gian sao cho:
2 2 2
MA MB MC
+ +

Bài 33: Cho đường thẳng d:
1
1z
1
2y
2
3x
−
+
=
+
=
−
và mặt phẳng (P):
02zyx
=+++
a) Tìm giao điểm M của d và (P).
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) sao cho ∆ ⊥ d và khoảng cách từ
M đến ∆ bằng

42
.
Bài 34: Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông
aACAB
==
, AA
1
= a
2
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA
1
và BC
1
. Chứng minh MN là đường
vuông góc chung của các đường thẳng AA
1
và BC
1
. Tính
11
BCMA
V
.
Bài 35: Cho mặt phẳng

( )
: 2 2 1 0P x y z− + − =
và các đường thẳng
2
z
3
3y
2
1x
:d
1
=
−
−
=
−
và
5
5z
4
y
6
5x
:d
2
−
+
==
−
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d

1
và (Q) ⊥ (P).
b) Tìm các điểm M ∈ d
1
, N ∈ d
2
sao cho MN//(P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
Bài 36: Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm
của đoạn AA
1
. Chứng minh BM ⊥ B
1
C và tính d(BM, B
1
C).
Bài 37: Trong không gian
Oxyz
cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với
gốc của hệ toạ độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b) (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm
cạnh CC'.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a và b.
b) Xác định tỷ số
b
a

để hai mặt phẳng (A'BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Bài 38: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2
2
). Gọi M là
5
Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian
trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
Bài 39: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a.
a) Chứng minh rằng
' ( ' ')A C AB D⊥

b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mp (AB’D’) đi qua trọng
tâm của tam giác AB’D’
c) Tính khoảng cách giữa hai mp(AB’D’) và(C’BD)
d) Tính góc tạo bởi hai mp(DA’C) và (ABB’A’)
e) Tính thể tích của khối đa diện ABCA’B’
Bài 40: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a.Các điểm M thuộc AD’ và N thuộc
BD sao cho AM=DN=k ,(
0 2k a< <
)
a) Xác định k để đoạn MN ngắn nhất
b) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp (A’D’BC) khi k biến thiên.
c) Khi đoạn MN ngắn nhất chứng minh MN là đường vuông góc chung của AD’ và
BD và lúc đó MN song song với AC.
Bài 41: Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz
cho các điểm A(–3;5; –5); B(5; –3; 7) và
mặt phẳng
( )
: 0P x y z+ + =

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
b) Tìm điểm M ∈ (P) sao cho
2 2
+ MA MB
nhỏ nhất.
Bài 42: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với
hình chóp. Cho AB = a, SA = a
2
. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD.
Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
Bài 43: Trong không gian
Oxyz
cho các điểm A(2; 0; 0); B(0; 4; 0); C(2; 4; 6) và đường
thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
α − + = β + + − =( ) : 6x 3y 2z 0,( ) : 6x 3y 2z 24 0
a) Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các đường AB, OC.
Bài 44: Cho hình chóp SABC có góc
·
( )
, 60
o
SBC ABC =
, ABC và SBC là các tam giác

đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).
Bài 45: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hai điểm A(-1; 3; -2), B(-3;7; -18) và
mặt phẳng
( )
: 2 1 0P x y z− + + =

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
b) Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
6
Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian
Bài 46: Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có
1
, 2 , 2 5AB a AC a AA a== =
và
o
120BAC
=
∧
.
Gọi M là trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh MB ⊥ MA

1
và tính khoảng cách d từ điểm
A tới mặt phẳng (A
1
BM).
Bài 47: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0); M(0; –3; 6)
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (P):
2 9 0x y+ − =
tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán
kính MO. Tìm tọa độ tiếp điểm.
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương
ứng B, C sao cho V
OABC
= 3.
Bài 48: Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc
nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S
sao cho
·
( )
, 60
o
SAB SBC =
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng
minh ∆AHK vuông và tính V
SABC
?
7