DE VA DAP AN THI HSG CUM LANG GIANG MON TOAN 12 NAM 20152016

<span class='text_page_counter'>(1)</span> CỤM TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ. ĐỀ CHÍNH THỨC. Môn thi : Toán 12. Thời gian làm bài : 180 phút (không kể giao đề).. Câu 1 (4 điểm) . 2x +1 tại hai x +1 điểm phân biệt A , B với mọi m . Tìm m để tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ) .. 1) Chứng minh rằng đường thẳng d : y = −2 x + m luôn cắt đồ thị hàm số (C): y =. 2) Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2 có ba điểm cực trị A , B ,C tạo thành một tam giác có trực tâm là gốc tọa độ .. Câu 2 (4 điểm) . 1) Giải phương trình : 4 sin 2. x 3π − 3cos2 x = 1 + 2 cos 2 ( x − ) . 2 4. 2 2) Giải bất phương trình : ( x − x)( x − 4) ≥ 5 − x + x − 3 .. Câu 3 (4 điểm) .. ( x − 2)(2 y − 1) = x 3 + 20 y − 28 1) Giải hệ phương trình  .  2( x + 2 y + y ) = x ( x + 1). x 2 e 2 x + (2 x + 1)e x dx . 2) Tính tích phân : ∫ 1 + xe x 0 1. Câu 4 (6 điểm) . 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều , mặt 2 bên SCD là tam giác cân tại S và có diện tích bằng a 11 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và. 4. cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) . 8 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G ( ; 0) , đường tròn (C) 3 ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I . Các điểm M (0;1), N (4;1) là các điểm đối xứng với I qua AB và AC . Điểm K (2; −1) thuộc đường thẳng BC . Viết phương trình đường tròn (C) .. Câu 5 (2 điểm) . Chứng minh rằng. 3 3 bc ca ab a+b+c ≤ + + ≤ , trong đó a,b,c là các 4 a(1 + bc) b(1 + ca) c(1 + ab) 4. số thực dương thỏa mãn điều kiện : a + b + c = abc .. -------------------- Hết -------------------Họ tên học sinh : ……………………………………… Số báo danh:………………………………..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỞ GD & ĐT BẮC GIANG CỤM LẠNG GIANG. KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM 2016 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN ( Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang). Câu1. Đáp án 2x +1 và d : y = −2 x + 1 là : +) PT hoành độ giao điểm của (C) y = x +1 2 x 2 + (4 − m) x + 1 − m = 0( x ≠ −1) (*) . +) Chứng tỏ ∆ = m 2 + 8 > 0∀m và x=-1 không là nghiệm PT (*). 1. 2. m−4   x1 + x2 = 2 +) Giả sử A( x1 ; −2 x1 + m), B ( x2 ; −2 x2 + m)( x1 ≠ x2 ) . Theo Viet  .  x x = 1− m  1 2 2 5 Tam giác OAB vuông tại O ⇒ OA ⊥ OB ⇔ OA.OB = 0 ⇒ m = − 3 +) Kết luận đúng .  x=0 + ) TXĐ : D = R . Ta có y ' = 4 x ( x 2 − m), y ' = 0 ⇔  2 , hàm số có ba cực trị x = m khi m > 0 . +) Giả sử A(0; 2), B( m ;2 − m2 ), C (− m ; 2 − m2 ) . Từ giả thiết. ⇒ OB ⊥ AC ⇔ OB. AC = 0 . +) Chuyển OB. AC = 0 thành PT : m( m3 − 2m − 1) = 0 . + Đối chiếu ĐK và KL đúng m =. Câu2. 1+ 5 . 2 Đáp án. + ) Đưa PT về dạng : s in 2 x − 3cos2 x = 2 cos x .. π. π. +) Biến đổi về PT cơ bản : sin(2 x − ) = sin( − x ) . 3 2. 1. +) Giải đúng PT cơ bản +) KL đúng nghiệm PT là : x =. Điểm 0.5 0.5. 0. 5. 0. 5 0.5. 0. 5 0. 5 0. 5 Điểm 0. 5 0. 5. 0. 5 5π 2π 5π +k ,x = + 2lπ , ( k , l ∈ Z ) . 18 3 6. +) ĐK : 0 ≤ x ≤ 5 +) Thêm lượng liên hợp thích hợp :. 3x( x − 1)( x − 4) ≥ 3 5 − x − (7 − x) + 3 x − ( x + 2). 0. 5. 0. 5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> . 2. 1 1   +) Đưa Bất PT về dạng : ( x − 1)( x − 4)  x + + ≥0  3 5− x + 7 − x 3 x + x + 2. 0.5. +) Đánh giá được biểu thức trong móc vuông luôn dương ∀x ∈ [ 0;5] nên bất PT. 0.5. tương đương ( x − 1)( x − 4) ≥ 0 . +) Kết hợp ĐK suy ra tập nghiệm bất PT là S = [ 0;1] ∪ [ 4;5] .. Đáp án. Câu3. ĐK : x + 2 y ≥ 0 . Biến đổi PT 2( x + 2 y + y ) = x ( x + 1). 0.5. Điểm về dạng. 0. 5. ( x + 2 y) + 2 x + 2 y = x2 + 2x .. 1.  x≥0 +) Chỉ ra x = x + 2 y ⇒  2 2 y = x − x. 0. 5. +) Thế vào PT còn lại tìm được x = 2 và y = 1 .. 0. 5. + ) KL đúng nghiệm hệ PT là : ( 2;1) .. 0. 5. 1 1 1  ( x + 1)e x  ( x + 1)e x x +) Biến đổi tích phân về dạng : ∫  xe x + = + dx xe dx dx x  x ∫ ∫ 1 + xe 1 + xe   0 0 0. 0. 5. 1. +) Tính đúng 2. ∫ xe dx = 1. 0. 5. x. 0 1 ( x + 1)e x d (1 + xe x ) x 1 dx = ∫0 1 + xe x ∫0 1 + xe x = ln(1 + xe ) 0 = ln(1 + e) 1. +) Tính đúng. + KL đúng I = 1 + ln(1 + e) .. Câu4. Đáp án +) Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; Kẻ SH ⊥ IJ ⇒ SH ⊥ ( ABCD ). + ) IJ = a; SI =. a 3 a 11 ; SJ = 2 2. +) Tính đúng SH =. 1. 0. 5 Điểm 0. 5. 0. 5. 0. 5. a 2 2. a3 2 +) Tính đúng V = 6. 0. 5. (đvtt). 0.5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> +) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng d đi qua S và song song với AD . +) Qua H , kẻ đường thẳng song song với AB cắt các đường thẳng AD,BC lần lượt. 0.5. tại E và F. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc ESF . 1 . 3 + ) Tứ giác AMBI là hình thoi (do có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường và hai cạnh kề IA=IB). Tương tự tứ giác ANCI cũng là hình thoi và hai hình thoi AMBI và ANCI có các cạnh bằng nhau nên tứ giác MNCB là hình bình hành ⇒ MN / / BC .. +) Tính đúng cosESF =. 2. 0.5 0. 5. +) Gọi H , E lần lượt là trung điểm của MN và BC ⇒ H (2;1) , Do ∆MAN = ∆BIC (c.c.c ) , mà ∆MAN , ∆BCI là các tam giác cân tại A và I ⇒ AH , IE là các đường cao của ∆MAN , ∆BIC ⇒ AH = IE .. 0. 5. +) Lại có AH ⊥ MN , IE ⊥ BC , MN / / BC ⇒ AH / / IE ⇒□ AHEI là hình bình hành ⇒ G là trọng tâm tam giác HIE .. 0. 5. 1 + ) Gọi F ( x; y ) là trung điểm IE , giả PT HG = 2GF ⇒ F (3; − ) . Lập PT đường 2 thẳng IE q ua F và vuông góc BC ⇒ IE ⊥ MN ⇒ IE : x − 3 = 0 , BC qua K và song song MN ⇒ BC : y + 1 = 0 .. 0.5. +) E = IE ∩ BC ⇒ E (3; −1) ⇒ I (3;0) .. 0.5. +) Tứ giác AHEI là hình bình hành ⇒ IA = R = HE = 5 . Vậy (C). 0.5. : ( x − 3) 2 + y 2 = 5. Đáp án. Câu5 +) Nhận xét được. 1 1 1 1 ≤ ( + ) x+ y 4 x y. Điểm. với mọi x > 0; y > 0 (1).. bc ca ab . + + a (1 + bc) b(1 + ca ) c (1 + ab) 1 1 1 1 1 1 ⇒ A = + + −( + + ) a b c a + abc b + abc c + abc 1 1 1 1 1 1 = + + −( + + ) a b c (a + b) + ( a + c) ( a + b) + (b + c) (b + c) + (a + c ). Đặt A =. 0. 5. +) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + − ( + + + + + )= a b c 4 a +b a +c a +b b+c a+c b+c 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 + + − ( + + )≥ ( + + ) a b c 2 a+b a+c b+c 4 a b c. ≥. +) CM. 1 1 1 3 3 + + ≥ 3 ⇒ A≥ a b c 4. . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 .. 0.5. 0. 5 0. 5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> A=. =. bc ca ab 1 bc bc ca ca ab ab + + ≤ ( + + + + + ) (a + b) + (a + c) (a + b) + (b + c) (a + c) + (b + c) 4 a + b a + c a + b b + c a + c b + c. a+b+c a+b+c . Vậy A ≤ . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 . (đpcm) . 4 4.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>