Chiều trong hình học fractal

Mục lục

Trang
Mở đầu ............................................................................................................. 1
Ch-ơng I. Chiều trong hình học Fractal....................................................... 3
1.1. Các kiến thức cơ sở.................................................................................... 3
1.2. Độ đo vµ chiỊu Hausdorff ........................................................................ 4
1.3. ChiỊu hép ................................................................................................. 14
1.4. ChiỊu hộp cải biên ................................................................................... 20
1.5. Độ đo gói và chiều gói ........................................................................... 21
1.6. Mối liên hệ giữa chiều Hausdorff, chiều hộp, chiều hộp cải biên
và chiều gói ................................................................................................................ 22
Ch-ơng II. Mét sè vÝ dơ vỊ viƯc tÝnh chiỊu vµ øng dơng cđa chiỊu ............ 25
2.1. Mét sè vÝ dơ vỊ viƯc tÝnh chiỊu Hausdorff vµ chiỊu hép ......................... 25
2.2. Mét sè øng dơng cđa chiỊu Hausdorff trong to¸n häc ............................. 39
Kết luận .......................................................................................................... 43
Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 44


1
Lời mở đầu

Chiều của một không gian hay một tập đ-ợc định nghĩa theo nhiều cách
khác nhau, mỗi cách có một ý nghĩa và ứng dụng riêng. Tuy nhiên, các khái
niệm về chiều đều cho kết quả chiều là số nguyên, không âm. Thế nh-ng vào
những năm 1890, 1891 trong khi tìm kiếm các đặc tr-ng bất biến của các đối
t-ợng hình học qua các phép biến đổi đồng phôi và lý thuyết tôpô, Peano và
Hilbert đà tìm ra đ-ờng cong có tính chất đặc biệt là đ-ờng không tự cắt, lấp
đầy mọi miền hình học của mặt phẳng. Hình học Euclide xem nó là một
chiều, nh-ng nh- vậy cảm thấy không thoả đáng. Ngoài ra, đầu thế kỷ XX,
ng-ời ta dẫn ra nhiều bài toán mà khi hiểu chiều theo nghĩa thông th-ờng sẽ

gây cảm giác gò bó. Chính vì thế cần phải mở rộng khái niệm về chiều.
Mặt khác, Hình học Euclide đà tồn tại rất lâu và có nhiều ứng dụng
trong toán học và đời sống. Tuy nhiên, đối t-ợng nghiên cứu của nó là những
hình dạng lý t-ởng, nh-ng những hiện t-ợng, sự vật trong thế giới thực không
thoả mÃn tính trơn tru, lý t-ởng mà là những đối t-ợng gồ ghề, kỳ dị. Vì thế,
ng-ời ta kết luận Hình học Euclide là khô cứng v lạnh lẽo. Để giải quyết
hiện t-ợng này, với sự hỗ trợ của máy tính, khoa học CHAOS và lý thuyết
ngẫu nhiên, vào những năm 70 của thế kỷ XX, nhà Toán học B. Mandelbrot
đà khởi x-ớng ra một h-ớng toán học mới mang tên Hình học Fractal.
Những đối t-ợng đ-ợc xem là Fractal có rất nhiều trong toán học cũng nhtrong thực tiễn và việc nghiên cứu chúng đạt rất nhiều ứng dụng trong hầu hết
các lĩnh vực. Điều đặc biệt là Hình học Fractal không dùng các công cụ
nghiên cứu hình học thông th-ờng để nghiên cứu mà công cụ nghiên cứu nó là
chiều. Chính nhờ sự nghiên cứu về chiều của các tập Fractal đà làm sáng tỏ
các đặc điểm, các tính chất của chúng mà nhờ đó chúng ta phát hiện ra những
ứng dụng phong phú của Hình học Fractal đối với hầu hết các lĩnh vực cả
trong lý thuyết lẫn thực tiễn. Vì thế, việc tìm hiểu các khái niệm về chiều
trong Hình học Fractal là vấn đề lý thú, mới mẻ và có ý nghĩa. Do đó, chúng
tôi chọn đề tài nghiên cứu cho khoá luận tốt nghiệp của mình là:
Chiều trong hình học Fractal.


2
Mục đích của khoá luận này là nghiên cứu các khái niệm cơ bản về
chiều trong Hình học Fractal nh- chiều Hausdorff, chiều hộp, chiều gói...; làm
rõ các tính chất và các công thức dùng để tính chiều. Trên cơ sở đó, chúng tôi
đi tìm các ví dụ minh họa cho các khái niệm về chiều và tìm một số ứng dụng
của chiều trong toán học.
Khoá luận đ-ợc thực hiện và hoàn thành tại tr-ờng Đại học Vinh d-ới
sự h-ớng dẫn của cô giáo TS. Vũ Thị Hồng Thanh. Tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến cô giáo - ng-ời đà đặt vấn đề và dẫn dắt, giúp đỡ tận tình,

chu đáo để tác giả hoàn thành khoá luận này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến các thầy giáo, cô
giáo trong khoa Toán cùng tất cả ng-ời thân và bạn bè đà giúp đỡ, động viên
tác giả trong suốt thời gian qua.
Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận không
tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong đ-ợc quý thầy, cô giáo và bạn bè
đóng góp ý kiến.
Vinh, ngày 10 tháng 5 năm 2010
Tác giả
Mai Thị Hà


3
CHƯƠNG 1. Chiều trong hình học fractal

Trong ch-ơng này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về độ đo và
chiều Hausdorff; khái niệm chiều hộp, chiều gói; các tính chất cơ bản của độ
đo Hausdorff và chiều.
1.1. Các kiến thức cơ sở
1.1.1. Định nghĩa. Cho X và
* : C

C là

lớp các tập con của X .

Hàm

đ-ợc gọi là hàm tập.

Hàm tập *: C

đ-ợc gọi là độ đo ngoài trên C (hay trên X ) nếu thoả

mÃn các điều kiện sau:
(i) * ( A)  0, A  X ;  * ()  0 ;




i 1

i 1

(ii)  * ( A)    * ( Ai ) víi A 

(*)

Ai .

§iỊu kiƯn (*) đ-ợc gọi là - d-ới cộng tính.
1.1.2. Định nghÜa. Cho X   vµ
tËp  : A 



A

lµ một đại số các tập con của X . Hàm

đ-ợc gọi là độ đo trên A (hay trên X ) nếu thoả mÃn các điều

kiện sau:
(i) (A) 0, A  A ;  () = 0;




(ii) NÕu  An n1  A vµ Ai  Aj  , i  j sao cho

 



 n1

n 1



An   ( An ) .


n1

An

A
`

thì
(**)

Điều kiện (**) đ-ợc gọi là - cộng tính.
1.1.3. Định nghĩa. Cho D

n

, ánh xạ S : D D đ-ợc gọi là phép co trên D

nếu tồn tại c [0, 1) sao cho S ( x)  S ( y)  c x  y , x, y  D .
Nếu dấu đẳng thức xảy ra thì ánh xạ S : D D đ-ợc gọi là phép đồng
dạng trên D và c đ-ợc gọi là tỷ số của phép đồng dạng.
1.1.4. Định nghĩa. Một họ hữu hạn phép co trên D đ-ợc gọi là một hệ hàm
lặp trên D.


4
1.1.5. Định nghĩa. Cho một tập đóng

D

n

và m ánh xạ co

Si : D  D; i  1,..., m . Một tập F D đ-ợc gọi là tập bất biến đối với hệ hàm

lặp S1,..., Sm nếu
F

m

Si ( F ) .
i 1

Nếu các Si là các ánh xạ đồng dạng thì tập bất biến F đ-ợc gọi là tập tự
đồng dạng.
1.1.6. Định nghĩa. Ta nói rằng hệ hàm lặp S1,..., Sm thỏa mÃn điều kiện tập
mở nếu tồn tại tập V mở, không rỗng, giới nội sao cho
m

V

Si (V )

i 1

 S (V )  S (V ) , i j.
j
i

1.1.7. Định nghĩa. Giả sử U 

n

, U   , khi ®ã

U  sup x y : x, y U

đ-ợc gọi là đ-ờng kính của tập U ( x y đ-ợc hiểu là khoảng cách thông
th-ờng giữa x và y trên

n

).

1.1.8. Định nghĩa. Giả sử Ui là một họ đếm đ-ợc các tập con trong
Nếu F



n

.

U i thì Ui đ-ợc gọi là một phủ của F.

i 1

Nếu 0  Ui   víi mäi i th× khi đó Ui đ-ợc gọi là một - phủ của F.
1.2. Độ đo và chiều Hausdorff
Cho tập F

n

và s 0, với mỗi > 0 ta định nghÜa

Hs (F )  inf i1 Ui s :{Ui} lµ  - phđ F .


DƠ dµng nhËn thÊy r»ng nÕu 0 < 1 < 2 th× mäi 1 - phđ F cũng là 2 - phủ F.
Do đó

Hs (F )  Hs (F ) . Nh- vËy, víi s  0 cho tr-ớc, hàm Hs (F ) tăng khi
1

2

giảm. Dẫn đến tồn tại giới hạn của

Hs (F ) khi 0+ (giới hạn này có thể

hữu hạn hay bằng +). Do đó ta đi đến định nghĩa sau.


5
1.2.1. Định nghĩa. Với F

và s 0, > 0 ta định nghĩa

n

H s ( F ) lim
H s (F) .
0
1.2.2. Mệnh đề. Với mỗi s > 0 thì
ngoài trên

n

Hs

đ-ợc xác định nh- trên là một ®é ®o

.

H s : P    tháa m·n điều kiện của định
nghĩa độ đo ngoài trong đó P là lớp các tập con của n . ThËt vËy,
(i) H s ( F )  0 , F 
; H s ()  0 (dƠ dµng kiĨm tra đ-ợc).
n

Chứng minh. Ta sẽ chỉ ra rằng

n

n

(ii) Giả sử  Ei  lµ  - phđ cđa F vµ > 0. Với mỗi i , theo tính chất
của infimum thì luôn tồn tại U i , j lµ  - phđ Ei sao cho

Hs (Ei )  2i j1 Ui, j s


.

Khi đó Ui, j
là  - phđ F. Do ®ã
i , j 1



Hs (F )  i1 j1 Ui, j s  i1  Hs (Ei )  2i   i1 Hs (Ei )   .
 







Do  > 0 bÐ tïy ý nªn





Hs ( F )  i1 Hs ( E ) . Cho 0+ ta đ-ợc
i



H s ( F )  i1 H s ( E ) .
i

VËy

H s là độ đo ngoài trên

n

.

Nhận thấy rằng họ các tập

H s - đo đ-ợc tạo thành - đại số.

1.2.3. Định nghĩa. Độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài
này đ-ợc gọi là độ đo Hausdorff s - chiều trên

n

Hs

trên lớp - đại số

và ký hiệu là

H s.

1.2.4. Mệnh đề. Trong định nghĩa độ đo Hausdorff s - chiỊu ta cã thĨ thay  phđ bÊt kú bëi  - phđ gåm c¸c tËp më (  - phủ gồm các tập đóng). Nếu F là
tập compact thì thay phủ bất kỳ bằng phủ hữu hạn.
Chứng minh. Với > 0, đặt
Ta chứng minh



H s ( F )  inf  U i s :{U i} lµ  - phñ më cña F  .
 i=1



s
s
s
H s ( F )  lim
H
 ( F )  H ( F ) với mọi F là H - đo đ-ợc.

0


6
Thật vậy, do mỗi - phủ mở của F cũng là - phủ của F nên lớp các  -

H s (F )  Hs (F ) . Cho 0+ ta đ-ợc

phủ mở hẹp hơn. Do ®ã

H s (F )  H s (F ) .

(1)

Ng-ỵc lại, giả sử > 0 là số bé tùy ý cho tr-ớc, tồn tại Ui là - phđ


F mµ  U i  Hs ( F ) . Với mỗi i , lấy tập mở Vi tháa m·n Vi  Ui
s

i 1



vµ Vi  (+1)Uib»ng c¸ch chän Vi   x 

n




: d ( x,U i ) 

 U i 

.

2 

Khi ®ã x, y Vi, luôn tồn tại a, b U i sao cho




2

2

d(x, y)  d(x, a) + d(a, b) + d(b, y)  U i  U i  U i  (  1) U i  (  1) .
Vậy nếu Ui là - phủ F thì Vi  lµ ( + 1) - phđ më cđa F. Ta cã

H s ( F )  i1 Vi s  i1 ( 1)s . Ui s  ( 1)s .i1 Ui s   1s  Hs ( F )    .


Cho   0+ ta ®-ỵc



H

s



(F )  ( 1)s  H s ( F )    . V×  > 0 bÐ tïy ý nªn

H s (F )  H s (F ) .

(2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Thay phủ bất kỳ bởi phủ các tập đóng ta chứng minh t-ơng tự trên. Trong
tr-ờng hợp nếu F là tập compact thì mọi phủ mở của F đều có thể trích đ-ợc
phủ con hữu hạn nên dễ dàng chứng minh đ-ợc khi F compact thì có thể thay
phủ bất kỳ bởi phủ hữu hạn.
1.2.5. Các tính chất cơ bản của độ đo Hausdorff
1.2.5.1. Mệnh đề. Nếu F

n

và > 0 th×

H s ( F )   s H s ( F ) với mỗi

s 0 và  F   x : x  F .
Chøng minh. Víi  > 0 vµ s  0, nÕu Ui là - phủ F thì Ui là  - phđ
F. Do ®ã





Hs ( F )  i1 U i s   s i1 U i s .

(3)

Mặt khác, theo định nghĩa infimum thì với mọi > 0 luôn tồn tại Ui là


7


 - phđ F mµ  U i  Hs ( F )   .
s

(4)

i 1

Tõ (3) vµ (4) suy ra

Hs ( F )   s  Hs (F )    . Cho   0+ ta đ-ợc

H s ( F ) s H s (F )    .
Do  > 0 bÐ tïy ý nªn H s ( F )   s H s ( F ) .
¸p dơng kết quả này cho tập F và số

H

s

1
 . F     

  

1

Tõ (*) vµ (**) ta cã

s

1



(*)

ta cã

H s ( F ) hay H s (F )  1s H s ( F ).

(**)

H s ( F )   s H s ( F ) .

1.2.5.2. MƯnh ®Ị. Cho F 

n

, f :F

n

là ánh xạ Hửlder thỏa mÃn

f ( x)  f ( y)  c x  y , víi c >0,  > 0 lµ h»ng sè cho tr-ớc.


Khi đó, với mỗi s 0 ta có

H s  f ( F )   c s H s ( F ) .


Chøng minh. NÕu Ui  lµ  - phđ F th× f (Ui )  c Ui  c  . Khi ®ã  f (Ui )
lµ c  - phđ cđa f ( F ) . Ta cã f (U i )

s





 c Ui







s



c

s



s

U i . Suy ra



Hcs  f (F )   i1 f (Ui ) s  c s i1 Ui s  c s Hs (F ) .
s

Cho   0+ ta đ-ợc

H s f ( F ) c s H s ( F ) .

1.2.5.3. HƯ qu¶. (i) Nếu = 1 thì f là ánh xạ Lipschitz, khi®ã

H s  f ( F )   cs H s (F ) .
(ii) NÕu f : F

n

là phép đẳng cự từ F lên f(F) nghĩa là f ( x)  f ( y)  x  y

víi mäi x, y  F th×

H s  f (F )   H s (F ) .

Chøng minh. (i) Tõ MƯnh ®Ị 1.2.5.2 thay   1 ta đ-ợc
(ii) Vì f ( x) f ( y) x  y

H s  f ( F )   cs H s (F ) .
nªn theo (i) ta cã H s  f (F )  cs H s (F ) .

(*)

Mặt khác, vì f đẳng cự nên tồn tại f 1 và (*) có thể viết F thay bởi f(F)
ta đ-ợc

H s f f (F )  H s  f (F ) .
1

(**)


8
Tõ (*) vµ (**) suy ra

H s  f (F )   H s (F ) .

NhËn xÐt. Tõ mệnh đề trên ta suy ra độ đo Hausdorff bất biến đối với phép
dời hình.
1.2.6. Chiều Hausdorff
Trong hình học Euclide, ta th-ờng gặp các đối t-ợng có chiều nguyên:
bằng 0 (điểm); bằng 1 (đ-ờng, đoạn thẳng); bằng 2 (mặt phẳng); bằng 3 (hình
cầu, khối đa diện),... Một tính chất phổ biến của Hình học Fractal bên cạnh
tính tự đồng dạng đó là có số chiều không phải là số nguyên, chẳng hạn là
log2/log3, đến nỗi nói đến Fractal nhiều ng-ời chỉ nghĩ là tập hợp có số chiều
không nguyên.
1.2.6.1. Bổ ®Ị. Gi¶ sư F 

n

, 0 <  < 1 vµ 0  s  t , ta cã

Ht (F)   ts Hs (F) .
Chøng minh. Gi¶ sư Ui là một - phủ F, khi đó Ui . Suy ra
U
nên với t > s thì i


t

  Ui
  
  

LÊy infimum hai vÕ ta đ-ợc

Ui



1,

s




t
s
t s
với mọi i. Do đó U i   . U i .
i 1
i 1


Ht (F)   ts Hs (F) .

NhËn xÐt. Tõ Bæ ®Ò 1.2.6.1, cho   0+ ta thÊy r»ng nÕu

H t ( F )  0, t  s . Vì vậy nếu tồn tại s [0, ) sao cho
tån t¹i sF tháa m·n 0  s  inf t  0: H t ( F )  0  s   .

H s (F )  

th×

0  H s ( F )   th×

F

ThËt vËy, nÕu sF  inf t  0: H t ( F ) 0 s thì tồn tại s1 : sF > s1 > s mµ

H s ( F ) 0 trái với cách xác định sF.
Nếu s  inf t  0: H t ( F ) 0 s thì tồn tại s2 sao cho sF < s2 < s mà
Hs (F ) =0.
Vì s > s2 mµ H s ( F )  0 nên theo Bổ đề 1.2.6.1 thì H s ( F )  0 (v« lý).
1

F

2

2


9
1.2.6.2. MƯnh ®Ị. Víi mäi F 

n

, s > 0 thì tồn tại duy nhất một giá trị thích

hợp sF sao cho

H s ( F )  0 víi mäi s > sF.
(ii) H s ( F )   víi mäi s < sF (s > 0).
Chøng minh. (i) §Ỉt s  inf s  0: H s ( F )  . NÕu s > sF th× tån tại s sao
(i)

F

cho sF < s < s để

H s ' (F) < . Theo Bỉ ®Ị 1.2.6.1 ta cã

Hs (F )   ss.Hs (F ) .
Cho   0+ ta đ-ợc

H s (F ) 0 .
(ii) Ta chøng minh H s ( F )   víi s < sF.
ThËt vËy, nÕu H s ( F ) thì với mọi s' thoả mÃn s < s' < sF, ta cã
H s' (F )  0 (mâu thuẫn với cách đặt sF). Vậy H s ( F )   víi 0  s  s .
1.2.7. Định nghĩa. Giá trị đặc biệt sF mà tại đó hàm (giá trị) độ đo H s ( F )
F

nhy từ + về 0 đ-ợc gọi là chiều Hausdorff cđa F vµ ký hiƯu lµ dimHF.

H s ( F )   nÕu s < dimHF; H s ( F )  0 nÕu s > dimHF vµ
s = dimHF th× H s ( F ) cã thĨ b»ng 0 hc  hc 0  H s ( F )   .

Nh- vËy dimHF  inf s  0: H s ( F )  0  sup s  0: H s ( F )   .
Nhận xét.

Với mỗi F và s 0 cho tr-ớc mà

H s (F )

thì đồ thị của hàm

H s (F )

dạng sau:

H s (F )

sF
1.2.7.1. Định nghĩa. Một tập Borel F
s = dimHF đ-ợc gọi là s - tËp.

n

s

tháa m·n 0  H s ( F )   víi

cã


10
1.2.8. Các tính chất cơ bản của chiều Hausdorff

1.2.8.1. Mệnh ®Ị. (i) NÕu E  F 
(ii) NÕu Fi 

n

th× dimHE dimHF (tính đơn điệu).

n

, i = 1, 2,... thì dimH


i 1

Fi supdimH Fi (tính ổn định
i

đếm đ-ợc).
(iii) Nếu F
(iv) dimH

n

n

là tập đếm đ-ợc thì dimHF = 0.

= n,  n .

(v) NÕu F   ; F là tập mở trong

n

thì dimHF = n.

(vi) Nếu F ; F là đa tạp con trơn trong
Chøng minh. (i) V× E  F 
cã

n

n

th× dimHF = n.

nên theo tính chất đơn điệu của độ đo

Hs

ta

H s (E) ≤ H s (F). Khi ®ã víi s > 0 mà H s (F) = 0 thì H s (E) = 0 nªn
{s : H s (F ) = 0}  {s : H s (E) = 0} .

V× vËy dimH F = inf { s > 0 : H s (F ) = 0}  inf {s > 0 : H s (E ) = 0} = dimH E .
(ii) Vì Fi


i 1

Fi nên theo (i) ta cã dimH Fi  dimH 



 i 1

sup dimH Fi   dimH 



 i 1

1i

Fi  , i . Suy ra


Fi .

(1)



Ng-ợc lại, giả sử s sup dimH Fi th× s  dimH Fi víi mäi i. DÉn ®Õn
1i 

H s ( Fi )  0 víi mọi i. Vì H s là độ đo ngoài nên

H s  i1 F   i1 H s (Fi )  0 .


i



Suy ra

s  dimH F  Fi  , víi s  sup dimH Fi  .

 i 1



1i

Cho s sup dimH Fi ta đ-ợc sup dimH Fi   dimH 
1i

Tõ (1) vµ (2) ta cã dimH

 i 1

1i


i 1



Fi  .


Fi  supdimH Fi .
i



(iii) Giả sử F là đếm đ-ợc, tức F  xi  . Theo (ii) ta cã
i 1

(2)


11

dimH F  sup dimH{xi} .
1i

Ta chøng minh dimH xi   0 .
ThËt vËy, gi¶ sư  > 0, -phủ của xi đ-ợc xác định bởi






U 0   xi  ; xi    trong ®ã 0 <   . Khi ®ã

2
2 


  0 tuú ý. Cho   0 th×

Hs xi    s

víi mäi

Hs xi   0 . Cho   0+ th× H s xi   0 víi

mäi s > 0. V× thÕ dimH F  sup dimH{xi } 0 .
1i

(iv) Gọi

C là hình hộp có cạnh đơn vị. Ta chia mỗi cạnh đơn vị ra k

phần bằng nhau thì mỗi phần có độ dài là

1
. Khi đó ta có kn hình hộp, kí hiệu
k

i i1 . Mỗi hình hộp này có đ-ờng kính là
kn

n

n

n
1
1
i ...
.
k
k
k

Với mỗi > 0 cho tr-ớc, luôn tồn tại k đủ lớn sao cho

n
(chẳng hạn
k

n
1 ). Khi đó các hình hộp đ-ợc chia ra sẽ trở thµnh  - phđ
  

k 

n

H (C )  H 
n

 k
 i   

 i 1  i 1
kn

n

kn

H  i   i1 i
n

C nªn

n

n

n
 n
 k .
  n 2   .
 k 
n

Hn (C )   . Cho   0+ ta ®-ỵc H n (C )   .
DÉn ®Õn n dim C , C.
Suy ra

H

Mặt khác, theo tính chất của

n

ta có

n




i 1

Ci

với

Ci

là các hình hộp

có cạnh đơn vị. Khi đó theo tính chất ổn định đếm đ-ợc của dimH ta có

dimH

n

sup dimH Ci .
1i

(1)

Lại có
Suy ra

n

là tập Borel nªn

H n(

n

)  2n cn1 L n (

n

)   .


12
n  dimH
n

Tõ (1) vµ (2) ta cã dimH
(v) Do F  , F 

(2)

.

= n.

n

dimH ta cã dimHF  dimH

n

n

và dimH
n

= n nên theo tính chất đơn điệu của

hay dimHF  n.

(1)

L¹i do F   , F më nên tồn tại hình cầu mở B F và dimHB  dimHF.
Ta cã 0 < H n (

n

)  2n cn1 L n (

n

)   . DÉn ®Õn dimHB = n. Suy ra

n  dimHF.

(2)

Tõ (1) vµ (2) ta có dimHF = n .
(vi) Do F là đa tạp trơn trong

n

nên tồn tại tập mở V

n

và vi phôi

: F V với là song Lipschitz. Theo tÝnh chÊt bÊt biÕn cña dimH qua phÐp
song Lipschitz ta cã dimHF = dimHV = n (theo v).
1.2.8.2. MÖnh đề. Cho F

và f: F

n

n

là ánh xạ Hửlder, nghÜa lµ



f ( x)  f ( y)  c x  y  x, yF  , víi c, là các hằng số lớn hơn 0 thì

dimH f ( F ) 

1



dimH F .

Chøng minh. V× dimH F  inf s  0: H s ( F ) 0 nên tồn tại một dÃy

sn s  0: H s ( F )  0 sao cho sn  dimHF. Khi ®ã
sn

Theo MƯnh ®Ị 1.2.5.3 ta cã

H



H s (F )  0 .
n

sn

 f (F )  c  H sn (F )  0 .

V× dimH f ( F )  inf t  0: H t  f ( F )   0 nªn dim H f ( F ) 

sn



.

Cho n  ta đ-ợc

dimH f ( F )

1



dimH F .

1.2.9. Các định nghĩa t-ơng đ-ơng của chiều Hausdorff
1.2.9.1. Mệnh đề. Chiều trong định nghĩa Hausdorff không thay đổi nếu trong
định nghÜa cđa nã ta thay ®é ®o

Bs (F )  inf





s

 

s
B

(F ) víi
H s bëi B s ( F )  lim


0



 Bi : Bi lµ  - phđ F bởi các hình cầu .

i 1


13
Chøng minh. NÕu Ui  lµ  - phđ F bởi các hình cầu thì Ui cũng là - phđ
F . Do ®ã

Hs  F   Bs F . Cho 0 ta đ-ợc H s  F   Bs  F  .

(1)

Ng-ợc lại, nếu Ui là - phủ F bÊt kú, ta chän Bi nh- sau Bi  B  xi ,2 Ui 
xi U i , i  1,2,... Khi đó

với



Bi

là hình cầu thỏa mÃn




Bi U i

và

Bi  4 U i  4 dÉn ®Õn  Bi    4 U i   4s  U i . LÊy infimum hai vÕ ta
s

i 1

s

i 1

s

i 1

B4s  F   4s Hs  F  . Cho   0 ta cã Bs  F   4s H s  F  .
Tõ (1) vµ (2) ta cã H s  F   B s  F   4s H s  F  .
Suy ra s  0: H s  F   0  s  0: H s  F   0.
Do ®ã inf s  0: H s  F   0  inf s 0: B s F .


đ-ợc

(2)

Vậy dimH không ®ỉi.
1.2.9.2. MƯnh ®Ị. ChiỊu Hausdorff kh«ng thay ®ỉi nÕu trong ®Þnh nghÜa cđa
nã ta thay ®é ®o

Ms  F  víi
H s bëi M s  F   lim
0

Ms  F   inf i1 Ui s :{Ui} lµ phủ F bởi các khoaỷng nhị phân .


Nhắc lại rằng một khoảng nhị phân là một khoảng có d¹ng



 r 2 k ;  r  1 2 k víi k  0,1,2,... vµ r  0,1,...,2k 1 .


Chøng minh. NÕu Ui  lµ  - phđ F bởi các khoảng nhị phân thì Ui là phđ F . Do ®ã

Hs  F   Ms F . Cho 0



ta đ-ợc

H s F  M s F .

(1)

§Ĩ ý r»ng víi bÊt kỳ U 0,1 đều đ-ợc chứa trong hai khoảng nhị phân
liên tiếp, mỗi khoảng có đ-ờng kính nhiều nhất lµ r 2k  2 U . Ta cã




 Ui   2  2 Ui  hay

i 1

Tõ (1) vµ (2) ta cã

s

i 1

s

Ms  F   2s1 Hs  F  .

H s  F   M s  F   2s1 H s  F . Suy ra
s  0: H s  F   0  s  0: M s  F   0 .

(2)


14
Do ®ã

inf s  0: H s  F   0  inf s  0: M s  F 0 .
Vậy dimH không thay đổi.
1.3. Chiều hộp
Chiều hộp là một khái niệm đ-ợc dùng khá rộng rÃi do tính toán khá dễ.
Nó đ-ợc đề x-ớng vào những năm 30 của thế kỷ XX với rất nhiều tên gọi
khác nhau nh-: entropy Kolmogorov; chiều entropy; chiều capacity; chiều
metric; chiều thông tin...
Nhận xét. Với mỗi F

n

, gọi N ( F ) là số tối thiểu các tập đ-ờng kính


không v-ợt quá > 0 cho tr-ớc và phđ F. Khi ®ã ta cã  U i  N ( F ) s
s

i 1

trong đó Ui là hữu hạn tập - phủ F . Giả sử tån t¹i lim  N  F   s   A .
 0
Ta cã

N  F  s  A  

  0  .

LÊy logarit 2 vế ta đ-ợc log N F s log  log  A    . Tõ ®ã ta rót ra

s

 0

Cho



log A
log 

th×

log N  F   log  A   
.
 log 

log  A     log A

 0;

  0 vµ s  lim log N  F 


 log

còn

log

nên

nếu giới hạn này tồn tại, ng-ợc lại ta

xét giới hạn trên và giới hạn d-ới. Ta đi đến định nghĩa sau.
1.3.1. Định nghĩa. Cho F

n

; F và F bị chặn. Ký hiệu N F là số tối

thiểu các tập có đ-ờng kính không v-ợt quá , phủ F. Nếu tån t¹i

lim
 0

log N  F 
 s  s 0 thì s đ-ợc gọi là chiều hộp của F vµ ký hiƯu lµ
 log 

s  dim B F .

Ng-ời ta cũng định nghĩa chiều hộp trên và chiều hộp d-ới của F lần
l-ợt bởi


15
dim B F  lim
0

vµ

log N  F 
 log 

log N  F 
.
 0  log 

dimB F lim

1.3.2. Các tính chất cơ bản của chiều hộp
1.3.2.1. Mệnh đề. Cho F

n

, F và F

bị chặn. Khi đó dim B F ,

dimB F , dimB F đ-ợc xác định thông qua N F là một trong những giá trị
sau :
(i) Số tối thiểu các tập có đ-ờng kính không v-ợt quá - phủ F.
(ii) Số tối thiểu các hình lập ph-ơng cạnh phủ F tức là hình lập
ph-ơng có dạng m1 ,  m1 1  ... mn ,  mn 1  víi m1, m2 ,..., mn  .
(iii) Sè tối thiểu các hình cầu đóng bán kính , phủ F.
(iv) Số các - l-ới lập ph-ơng giao với F.
(v) Số lớn nhất các hình cầu rời nhau, bán kính , có tâm thuộc F.
Chứng minh. (i) Đ-ợc suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.3.1.
(ii) Gọi N F là số tối thiểu các hình lập ph-ơng cạnh - phủ F . Khi

đó N   F  tËp ®-êng kÝnh  n sÏ phđ F. Do ®ã N



n

 F   N '  F  .



Víi   0 th×  n  1 dÉn ®Õn  log  n  0 . Ta cã

log N

n

F 

 log  n 

Cho   0 ta cã



log N '  F 
.
 log n  log 

log N '  F 
dim B F  lim

 log 
 0

log N '  F 
vµ dimB F  lim
.
 0  log 

(1)

(2)


16
Mặt khác một tập có đ-ờng kính đ-ợc chứa trong một hình lập
ph-ơng cạnh

nên

N F N '  F  . LÊy logarit hai vÕ ta đ-ợc

log N F log N ' F 
. Cho   0 ta cã

log N  F   log N  F  . Suy ra
 log 
 log 
'

log N '  F 

 0  log 

vµ

dimB F  lim

(3)

log N '  F 
.
dimB F  lim
0  log 

(4)

Tõ (1),(2),(3) vµ (4) ta có điều phải chứng minh.
(iii) Gọi N F là số tối thiểu các hình cầu đóng, bán kính , phủ F thì

N ' F  tËp ®-êng kÝnh 2 sÏ phđ F . Do ®ã N2  F   N '  F  . Suy ra
log N '  F 
.
dimB F  lim
 0  log 
Chøng minh t-¬ng tù trên ta có chiều ng-ợc lại.
(iv) Gọi N F là số các - l-ới lập ph-ơng giao với F thì N F tập
đ-ờng kÝnh  n sÏ phđ F . Do ®ã N

n

 F   N '  F  .





Víi  0 thì n < 1, khi đó log  n  0 . Ta cã

F 

log N '  F 
.

 log  n   log n  log 

log N

n

Cho   0 ta cã

log N '  F 
;
dimB F  lim
 0  log 

(1)

log N '  F 
dimB F  lim
.

0 log

(2)

Mặt khác, một tập bất kỳ có đ-ờng kính không v-ợt quá đều đ-ợc
chứa trong 3n - l-ới lập ph-ơng nên N ' F  3n N  F  . LÊy logarit hai vế ta
đ-ợc log N ' F n log3  log N  F  . Do  log   0 nªn ta suy ra


17

log N '  F  n log3  log N  F 
.

 log 
 log 
Cho   0 ta đ-ợc

log N F
log
0

dimB F  lim

dimB F  lim
0

log N  F 
.
 log

(3)
(4)

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có điều phải chứng minh.
(v) Gọi N F là số lớn nhất các hình cầu rời nhau, bán kính , tâm
trong F. Kí hiệu các hình cầu này lµ B1, B2 ,..., BN ( F ) .
'



NÕu x  F th× d  x, Bi    , i có nghĩa là x Bi nào đó vì nếu không thì

B x, Bi , i  1,..., N '  F  . Khi ®ã, sÏ cã N   F   1 hình cầu tâm trong
F. Nh- vậy N F hình cầu tâm thuộc Bi , bán kính 2 (®-êng kÝnh 4 ) sÏ
phđ F . Do ®ã N4  F   N '  F  , suy ra

log N4  F  log N '  F 
.

 log 4  log 
 log 

(*)

MỈt khác, giả sử rằng B1, B2 ,..., BN ' ( F ) là các hính cầu rời nhau bán kính


, tâm thuộc F. Lấy U1,...,U k là các tập đ-ờng kính không v-ợt quá - phủ F.

Vì U j phải phủ tâm của hình cầu Bi nên Bi chøa Ýt nhÊt mét tËp U j . V× Bi
rời nhau nên số phần tử của U i ít nhất bằng số phần tử của Bi . Do đó

N '  F   N  F  . Suy ra
log N '  F  log N  F 
.

 log 
 log 

(**)

Tõ (*) vµ (**) cho 0 ta đ-ợc điều phải chứng minh.
Nhận xét. Trong thực tế, để thuận lợi cho tính toán thì trong định nghĩa chiều
hộp, khi lấy giới hạn ta chỉ cÇn xÐt d·y  k  0 tháa m·n  k 1 c. k với

c 0,1 , đặc biệt lấy k ck .
Chứng minh. Với mỗi 0, luôn tồn tại k để k 1     k ( do  k  0 ).
Khi ®ã ta cã


18
log N  F  log Nk 1  F 


 log 
 log  k

Suy ra lim
0

log Nk 1  F 
 log  k 1  log



 k 1
k

log Nk 1  F 
.
 log  k 1  log c

log Nk  F 
log Nk  F 
log N  F 
log N  F 
 lim
lim
 lim
và
.
k log


0
k

log

log


log

k
k

Bất đẳng thức ng-ợc lại là hiển nhiên đúng. Vậy ta có
log Nk F 
log Nk  F 
dim B F  lim
vµ
.
k   log 
k   log  k
k

dim B F  lim

1.3.2.2. MƯnh ®Ị. ThĨ  - song cđa F 
F  x 

n

n

, kÝ hiÖu

: x  y   , y  F  .

Khi ®ã

logVol n  F 
logVol n  F 
vµ dimB F  n  lim
.
dimB F  n  lim
0
log 
log 
 0
Chứng minh. Nếu F đ-ợc phủ bởi N F hình cầu bán kính thì F đ-ợc
phủ

bởi

các

hình

cầu

đồng

tâm

bán

kính

2 .

Vol n  F   N  F  cn 2 với cn là thể tích hình cầu đơn vị trong
n

Khi
n

đó
.

Lấy

logarit ta có
log Vol n F log  2n cn   n log   log N  F 

.
 log 
 log 

Cho  0 ta đ-ợc

Vol n F
n dimB F ;
 log 

(1)

Vol n  F 

lim
 n dim B F .
log

(2)

lim

Ng-ợc lại, nếu có N F hình cầu rời nhau bán kính , tâm trong F thì
N F cn  2   Vol n  F  .
n

T-¬ng tù trªn ta cã

logVol n  F 
;
n  dimB F  lim
 0
 log 

(3)


19

logVol n  F 
.
n  dimB F  lim
0
 log

(4)

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có điều phải chứng minh.
1.3.2.3. Mệnh đề. (i) dimB , dimB đơn ®iƯu.
(ii) dimB , dimB lµ bÊt biÕn Lipschitz.
n

(iii) NÕu F là đa tạp con trơn trong

thì dim B F n.

Chøng minh. (i) NÕu E  F th× dimB E  dimB F vµ dimB E  dimB F . Thật vậy,
vì E F nên mọi - phủ F cũng là - phủ E . Do đó N  E   N  F  . Lấy
logarit hai vế ta đ-ợc log N E  log N  F  .
Suy ra

log N  E  log N  F 
.

 log 
 log 

LÊy giíi h¹n hai vÕ khi cho   0 ta đ-ợc điều phải chứng minh.
(ii) Nếu f : F

n

là hàm Lipschitz thì

dimB f F dimB F vµ dimB f  F   dimB F .
ThËt vËy, gäi N  F  lµ sè tèi thiểu các tập có đ-ờng kính không v-ợt
quá mà phủ đ-ợc F. Kí hiệu các tập này là Bi víi i  1,..., N  F  . Khi ®ã
f  Bi   c Bi  c . Ta có N F ảnh của các tập này qua ánh xạ Lipschitz f

có đ-ờng kính không v-ợt quá c , phủ đ-ợc f F . Do vËy

Nc  F   N  F  .
Làm t-ơng tự trên ta có điều phải chứng minh.
(iii) Do F là đa tạp con trơn trong

n

nên tồn tại tập mở V

n

và vi

phôi : F V víi  lµ song Lipschitz. Theo tÝnh chÊt bÊt biÕn cña dim B qua
phÐp song Lipschitz ta cã dim B F  dim B V  n.
1.3.2.4. MƯnh ®Ị. KÝ hiệu F là bao đóng của F . Khi đó

dimB F  dimB F vµ dim B F  dim B F .


20
Chứng minh. Lấy B1, B2 ,..., Bk là tập hữu hạn các hình cầu đóng bán kính
phủ F. Nếu tập đóng

k
i 1

k

Bi F thì

i 1

Bi F . Khi đó số bé nhất các hình cầu

đóng bán kính phủ F bằng số bé nhất các hình cầu đóng bán kính phủ
F . Theo định nghĩa chiều hộp trên và chiều hộp d-ới ta có

dimB F dim B F vµ dimB F  dimB F.

1.3.2.5. HƯ quả. Nếu F là tập con trù mật của một miỊn më trong

n

th×

dimB F  dimB F  n .
1.4. Chiều hộp cải biên
Trong số các tính chất mong muốn của chiều có tính chất ổn định đếm
đ-ợc. Tuy nhiên, chiều hộp lại không có tính chất này. Hơn nữa, nÕu xÐt
p

F     0,1 ; p, q  , q  0 th× F  0,1 , F 0,1 . Dễ dàng kiểm tra đ-ợc
q

dimB F  dimB F  1. Nh- vËy, tËp F đếm đ-ợc và F không đếm đ-ợc có số
chiều nh- nhau. Đây là tính chất không tốt của chiều hộp. Do đó, ng-ời ta đi
đến việc cải biên chiều hộp nh- sau.
1.4.1. Định nghĩa. Nếu F

n

và F phân tích đ-ợc thành đếm đ-ợc các tập

F1, F2 ,... sao cho víi mäi   0 bÐ tuú ý, Fk  sup  Fi  th× dim B Fk   . Đặt
i 1,2,...

F

F inf supdim F : F F  .

dimMB F  inf supdimB Fi : F
i

dimMB



i

i 1

B

i

i

i

i 1

Khi đó, dimMB F , dimMB F xác định nh- trên đ-ợc gọi là chiều hộp cải biên
trên và chiều hộp cải biên d-ới của F.
Nhận xét. (i) Từ Định nghĩa 1.4.1 ta có dimMB F supdim B Fi .

(1)

i

Mặt khác, Fi F nên dimB Fi  dimB F , i. Suy ra sup dim B Fi  dimMB F . (2)
i

Tõ (1) vµ (2) ta cã dimMB F  dimB F.
T-¬ng tù ta cịng cã dimMB F  dimB F .


21
(ii) dimMB , dimMB khắc phục đ-ợc tất cả các tính chất của chiều mà
chiều hộp không có đ-ợc.
1.4.2. Mệnh đề. Cho F

là tập compact. Giả sử rằng, với mọi tập V mở

và V F thoả m·n dimB  F V   dimB F , khi đó
dimB F dimMB F và dimB F dimMB F.

Chứng minh. Hiển nhiên có thể viết
F

nên F
Lại có




i 1

Fi với F i là các tập đóng. Do


i 1

Fi .

thuộc phạm trù thứ 2 theo định lý Baire về phạm trù nên tồn

tại i0 và tập mở V 

n

sao cho F V  Fi0 . Suy ra F V  Fi0 . Theo NhËn

xÐt (i) ta cã dim B  F V   dim B Fi0 . Từ giả thiết của Mệnh đề ta có
dim B F  dim B Fi0 .

Suy ra
dimB F  dimB Fi0 supdim B Fi .

(1)

i



Mặt khác, do dimMB F inf supdimB Fi : F 
i


i 1



Fi nªn

dimMB F  supdimB Fi  dimB F .

(2)

i

KÕt hỵp (1), (2) víi nhËn xÐt dimMB F  dim B F ta cã dim B F  dimMB F .

T-¬ng tù ta chøng minh đ-ợc dimB F dimMB F.
1.5. Độ đo gói và chiều gói
Định nghĩa chiều Hausdorff sử dụng các hình cầu bán kính nhỏ khác
nhau tuỳ ý còn định nghĩa chiều hộp sử dụng các hình cầu nhỏ có bán kính
bằng nhau. Mặt khác, chiều hộp có thể xem là một chiều phụ thuộc vào gói
dày đặc các hình cầu rêi nhau, b¸n kÝnh nh- nhau. Theo mét lèi suy nghĩ tự
nhiên, ng-ời ta cố gắng tìm kiếm định nghĩa chiều dựa vào thuật ngữ "gói dày
đặc các hình cầu rêi nhau, b¸n kÝnh nhá kh¸c nhau".


22
1.5.1. Độ đo gói
Với F

n

và s 0, > 0, xÐt

P s ( F )  supi Bi s : Bi là các hình cầu rời nhau,



Bi   , t©m trong F .

P s (F ) giảm khi giảm, dẫn đến tồn tại giới hạn
P s (F ). L¹i do P s ( F ) không phải là
P s (F ) khi 0. Đặt P s (F ) lim
0

Dễ dàng nhận thấy rằng

của

0

0

một độ đo nên ng-ời ta điều chỉnh cách xây dựng độ đo gói bằng cách xét


P s ( F )  inf  P s ( F ) : F  i1 Fi  .


Khi ®ã,

0

i

i

P s ( F ) là một độ đo trên

n



.

1.5.2. Chiều gói
Ng-ời ta cũng định nghĩa chiều gói theo cách thức quen thuộc nh- sau.

1.5.2.1. Định nghĩa. Giá trị đặc biệt sF mà tại đó hàm (giá trị) độ đo

P s (F )

nhy từ + về 0 đ-ợc gọi là chiều gói của F vµ ký hiƯu lµ dimPF.

P s ( F )   nÕu s < dimPF; P s (F ) 0 nếu s > dimPF và
s = dimPF thì P s ( F ) cã thĨ b»ng 0 hc  hc 0  P s ( F )   .
Nh- vËy dimPF  inf s  0: P s ( F )  0  sup s  0: P s ( F )   .
NhËn xÐt.

1.5.2.2. MƯnh ®Ị. dimP 



 i 1

Fi   sup dimP Fi (tính ổn định đếm đ-ợc).


i

Chứng minh. Việc chứng minh mệnh đề này hoàn toàn t-ơng tự với chứng
minh tính ổn định đếm đ-ợc của dimH.
1.6. Mối liên hệ giữa chiều Hausdorff, chiều hộp, chiều hộp cải biên và
chiều gói
1.6.1. Mối liên hệ giữa chiều Hausdorff và chiều hộp
(i) Nếu F đ-ợc phủ bởi

N F

tập đ-ờng kính



Hs  F   N  F  s . Giả sử s dim F thì H s F    . Ta cã
1  Hs  F   N  F  s .
H

LÊy logarit ta đ-ợc 0 log N F s log  . Suy ra s 

log N  F 
,   0 .
 log 

th×


23

log N  F 
hay s  dim B F .
0 log

Cho 0 ta đ-ợc s  lim
Do ®ã dimH F  dim B F .





(ii) Ta cã N  F  s  inf  s :{Ui } là hữu hạn tập   phuû F .
i

Hs  F   inf i Ui s :{Ui} là   phủ F  .
Tõ ®ã ta thấy trong định nghĩa dimH ta dùng các tỷ lệ khác nhau nhưng
trong định nghĩa dimB ta dùng cùng một tỷ lệ đo l . Vì thế dimB dễ tính
hơn.
(iii) Vì dimB F s lim

log N  F 
nªn N  F   s . NÕu s  dim B F
 log 

H s  F   0 dÉn ®Õn Hs  F  với 0 tùy ý.
Mặt khác N  F  s  Hs  F  nªn ta suy ra N  F  s  0.

th× s  dimH F . Khi ®ã

NÕu s  dim B F th× N  F  s  . Do đó ng-ời ta cố gắng xét

V F lim
N F s
0

nh-

Hs

nh-ng nó không là độ đo. Vì thế dimB không

có đ-ợc đầy đủ nh- dimH. dimHluôn tồn tại nh-ng dimB có thể không tồn tại.
1.6.2. Mối liên hệ giữa chiều hộp, chiều hộp cải biên và chiều gói
1.6.2.1. Mệnh đề. dimP F dimB F.
Chứng minh. Chọn t và s là các số không ©m tho¶ m·n t  s  dimP F . Khi đó

P s (F )

nên

P s ( F )  . Do ®ã, víi
0

0   1, tån tại Bi là dÃy các hình


cầu bán kính không v-ợt quá và có tâm trong F thoả mÃn 1 Bi .
s

i 1

Giả sử rằng, với mỗi k, nk là số hình cầu thoả mÃn 2k 1  Bi  2k , khi ®ã


1   nk 2 ks .
k 0

V× 2ks   2k   Bi
s

s





k 1

k 1

s
nªn  nk 2 ks   nk Bi .

(1)


24




Mặt khác, 1 Bi nên nk Bi s 1. Nh- vậy, phải tồn tại k sao cho
s

i 1

k 1

nk  2kt 1 2t s  v× nếu không thì (1) không còn đúng. Do đó, nk hình cầu này

chứa tất cả các hình cầu bán kính 2k 2 tâm trong F. Do đó, nếu ký hiệu

N F là số tối đa các hình cầu rời nhau bán kính tâm trong F thì
N2k 2 F nk . Khi đó N2k2  F   2k 2   nk  2k 2   22t 1 2t s  .
t

t

N  F   t  0. Do ®ã dimB F t, t dimP F. Vì thế
Điều này dẫn đến lim
0

dimP F dimB F.
1.2.6.2. Bổ ®Ị. NÕu F 

n

th× dimP F  dimMB F.

Chøng minh. HiĨn nhiªn cã thĨ viÕt

n




i 1

Fi . NÕu F 


i 1

Fi thì từ Mệnh đề

1.5.2.2 và Mệnh đề 1.6.2.1 ta cã

dimP F  dimP 



 i 1

Fi   sup dimP Fi supdim B Fi .


i

i

Theo Định nghĩa 1.4.1 ta có

dimP F dimMB F.
Ng-ợc lại, nếu s  dimP F th×

P s (F )  0 . Do

mọi i. Do đó, với mỗi i, nếu đủ nhỏ thì

(1)

F


i 1

Fi nên

P s (F )
0

P s (F )   . Suy ra
i

i

víi

N  Fi  s bị

chặn khi 0 trong đó N Fi là số lớn nhất các hình cầu rời nhau bán kính

với tâm trong Fi . Nh- vậy dimB Fi  s, i. Suy ra dimP F  dimMB F.
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
1.2.6.3. Hệ quả. Nếu F

n

thì

dimH F dimMB F  dimMB F  dimP F  dimB F .

(2)