Lý thuyết cán

Giáo trình: Lý thuyết cán
Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng
1
Phần I: cơ sở lý thuyết cán
*******

Chơng 1
điều kiện để trục ăn đợc kim loại khi cán
1.1- Khái niệm về góc ma sát, hệ số ma sát và lực ma sát
Hãy quan sát một vật thể Q có trọng lợng G nằm trên một mặt phẳng F:
Khi ta nâng dần mặt phẳng nằm
ngang F lên theo mũi tên A qua bản lề B,
đến khi mặt F làm với phơng nằm ngang
một góc

nào đó thì vật thể Q bắt đầu
chuyển động trên mặt nghiêng F với một
lực là T và lập tức xuất hiện một lực cản là
T, có trị số tuyệt đối bằng lực T nhng
chiều thì ngợc lại với lực T:
T = T (1.1)
Lực T ta gọi là lực ma sát của Q trên mặt phẳng F. Vật thể Q trợt trên mặt
phẳng F hoàn toàn do bản thân trọng lợng G của nó. Tại thời điểm G bắt đầu trợt
thì trọng lợng G đợc chia làm 2 thành phần (nh hình): lực P vuông góc với mặt
phẳng F (để áp sát Q vào F) và lực T tạo cho Q sự chuyển động trợt, chính lực này
tạo ra lực ma sát T.
Từ hình vẽ, ta có:
P
T
tg = (1.2)
đặt tg = f, ta có: T = f.P (1.3)

trong đó,

: góc ma sát
f: hệ số ma sát
T: lực ma sát
Biểu thức (1.2) cho ta thấy rằng trị số lực ma sát T phụ thuộc vào hệ số ma
sát f và lực pháp tuyến P.
1.2- Điều kiện để trục ăn vật cán

Trớc hết chúng ta cần phân biệt quá trình cán đối xứng và không đối xứng.
Nếu nh các thống số công nghệ ví dụ nh đờng kính trục cán, ma sát trên bề mặt,
bề mặt trục cán, nhiệt độ của trục cán của trục cán trên và trục cán dới đều giống
nhau, hoặc có thể coi là giống nhau thì quá trình cán ấy đợc gọi là quá trình cán
đối xứng. Ngợc lại, khi các thông số công nghệ nh đã nói ở trên của hai trục cán
khác nhau thì quá trình cán ấy đợc gọi là quá trình cán không đối xứng.
Để đơn giản cho việc nghiên cứu điều kiện trục ăn vật cán, chúng ta giả thiết
rằng quá trình cán là đối xứng (trong thực tế ít gặp), giả thiết trên một giá cán có
G
P

T

T
F
A
B


Q
H

ình 1.1- Sơ đồ giải thích góc
ma sát và lực ma sá
t
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

16
Chơng 2
Vùng biến dạng
2.1- Các thông số hình học
Quan sát mô hình cán với hai trục cán có tâm O
1
và O
2
quay ngợc chiều
nhau với các tốc độ V
1
và V
2
. Bán kính trục cán là R
1
và R
2
, các điểm tiếp xúc giữa
phôi cán với trục là A
1
B
1
B

2
A
2
, góc ở tâm chắn các cung A
1
B
1
và B
2
A
2
là

1
và

2
.
Với các ký hiệu nh trên, ta có các
khái niệm về thông số hình học của
vùng biến dạng khi cán nh sau:
- A
1
B
1
B
2
A
2
: vùng biến dạng hình học

- A
1
B
1
nB
2
A
2
m: vùng biến dạng
thực tế.
- m, n: biến dạng ngoài vùng biến
dạng hình học.
-

1
,

2
: các góc ăn.
- A
1
B
1
, A
2
B
2
: các cung tiếp xúc.
- l
x

: hình chiếu cung tiếp xúc lên
phơng nằm ngang.
- H, h: chiều cao vật cán trớc và
sau khi cán.
- B, b: chiều rộng vật cán trớc và
sau khi cán.
- L, l: chiều dài vật cán trớc và
sau khi cán.
2.2- Mối quan hệ giữa các đại lợng hình học
H - h = h: lợng ép tuyệt đối.

H
h
H
h
1
H
hH

==

: lợng ép tỷ đối.
b - B = b: dãn rộng tuyệt đối.

B
b
1
B
b
B

Bb

==

: dãn rộng tỷ đối.
Từ hình 2.1, ta xét hai tam giác A
1
B
1
E và KB
1
A
1
:

11
1
1
11
AB
EB
KB
BA
= suy ra: A
1
B
1
2
= B
1

E.KB
1
= 2R
1
h
1

Do đó,
1111
hR2BA = (2.1)
Theo hình 2.1 ta có A
1
B
1
là dây cung của cung tiếp xúc A
1
B
1
, vì góc

1
rất
bé nên ta có thể coi độ dài của dây cung bằng độ dài cung. Song cũng với lý do

1

O
1
V
1

h
1
A
1

1
O
2
V
2
R
1
R
2

2
B
2
A
2
m

n

K


h
2

h

H

H
ình 2.1- Sơ đồ cán giữa hai trục.
l
x
B

b

b/2
b/2
E

B
1
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

17
nhỏ (5
0
- 8
0
) cho nên khi chiếu dây cung A
1
B

1
lên phơng nằm ngang ta coi nh
không đổi. Vì vậy, A
1
B
1
.cos

1
= A
1
K
Với cos

1


1, nên ta có:
A
1
B
1


A
1
K

l
x

Vì vậy,
111x
hR2l = : chiều dài cung tiếp xúc (2.2)
Với giả thiết

1
bé, ta cũng có biểu thức:
l
x1


R
1
.

1
(2.3)
Nếu nh ta cũng xét tơng tự với O
2
ta có thể suy đợc:

222x
hR2l = (2.4)
Nếu nh độ dài cung tiếp xúc ở trên trục O
1
và O
2
bằng nhau, l
x1

= l
x2
:

2211
hR2hR2 =
2R
1
h
1
= 2R
2
h
2


1
2
1
22
1
2
1
h
R
R
hvàh
R
R
h ==

trong đó,

h
1
+

h
2
=

h = H - h
do đó,
h
R
RR
h
R
R
1hh
R
R
h
2
21
1
2
1
11
2
1

1
=








+
=








+=+

hoặc,
h
RR
R
hvàh
RR
R
h

21
1
2
21
2
1

+
=
+
= (2.5)
Đa (2.5) vào các biểu thức (2.2) và (2.4), ta có:

21
21
111x
RR
hRR2
h.R2l
+

==
(2.6)

21
21
222x
RR
hRR2
h.R2l

+

==
(2.7)
Nếu nh hai đờng kính trục cán bằng nhau R
1
= R
2
= R, ta có:

h.Rlll
x2x1x
=== (2.8)
Trở lại hình 2.1, ta xét các đoạn thẳng:
B
1
K = B
1
O
1
- KO
1
, với KO
1
= R
1
cos
1

B
1
K = R
1
- Rcos

1

Mà B
1
K =

h
1
nên:

h
1
= R
1
(1 - cos

1
)
Tơng tự đối với trục O
2
, ta có:


h

2
= R
2
(1 - cos

2
)


h =

h
1
+

h
2
= R
1
(1 - cos

1
) + R
2
(1 - cos

2
)
Giả thiết rằng, R
1

= R
2
= R và
1
=
2
= , do đó: cos
1
= cos
2
= cos
thì h
1
= h
2

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

18
cho nên:

h

= 2

h
1
= 2

h
2
= R (1 - cos

)


h = D(1 - cos

) (2.9)
với D: đờng kính làm việc của trục cán.
Khi góc

bé (



10 - 15
0
) thì: 1 - cos

= 2sin
2
(

/2) = 2(

/2)
2

=

2
/2
Do đó,
()
2
.D
2
sin.2.Dcos1Dh
2
2

=







==

Suy ra,
R
h
=
(2.10)
2.3- Hệ số biến dạng khi cán
Từ giả thiết là thể tích của kim loại là không đổi trong quá trình biến dạng, ta

có: H.B.L = h.b.l = const
Vậy,
1
l.b.h
L.B.H
= (2.11)
Ký hiệu:
=
h
H
: hệ số biến dạng theo chiều cao.

=
b
B
: hệ số biến dạng theo chiều rộng (hệ số dãn rộng).

=
l
L
: hệ số biến dạng theo chiều dài (hệ số dãn dài).
Vậy, .. = 1
Từ biểu thức (2.11) chúng ta có thể biến đổi:


===
1
f
F
L

l
hb
B.H
(

< 1) (2.12)
Quá trình cán làm dãn tiết diện và tăng chiều dài.
2.4- Hiện tợng tăng chiều dài vùng tiếp xúc l
x
Trong công nghệ cán nguội, đặc biệt là khi cán nguội tấm rộng và mỏng, lực
cán rất lớn. Vì vậy, trục cán có lợng biến dạng đàn hồi lớn, mặt khác khi vật cán
thì cùng với biến dạng d (dẻo) có cả biến dạng đàn hồi. Lợng biến dạng đàn hồi
này khi phôi ra ngoài vùng tiếp xúc thì lập tức bị mất đi. Do có biến dạng đàn hồi
của trục cán và vật cán mà chiều dài cung tiếp xúc của vùng biến dạng tăng lên. Giả
thiết rằng, đại lợng tăng lên đó là x
2
.
Ký hiệu lợng biến dạng đàn hồi của trục cán là y
1
, lợng biến dạng đàn hồi
của vật cán là y
2
. Để có đợc một đại lợng biến dạng

h/2 phải thu hẹp khe hở giữa
hai trục cán lại, nghĩa là phải giảm khoảng cách hai tâm trục một khoảng là y
1
+ y
2
.

Từ hình (2.2), A
1
và A
2
là điểm tiếp xúc của phôi với trục cán khi có nén đàn
hồi và không có nén đàn hồi; B
2
và B
3
và C là các điểm thể hiện khi phôi không có
nén đàn hồi và có nén đàn hồi (B
2
C và B
3
C).
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

19
Đờng tiếp xúc bình thờng giữa
trục cán và phôi là A
2
B
2
C.
l
x
= x
1

+ x
2

Ta xét 2 tam giác: A
2
B
2
C và B
1
CO:
x
1
2
= R
2
- (R - B
3
D)
2

x
2
2
= R
2
- (R - B
1
B
3
)

2
Vậy,
() ()
2
31
2
2
3
2
x
BBRRDBRRl +=
hoặc là:
31
2
31
22
3
2
3
22
x
BBR2BBRRDBR2DBRRl +++=
Bỏ qua các đại lợng vô cùng bé so với bán kính trục cán R, ta có:

313x
BB.R2DB.R2l +=
(2.14)
Từ hình ta thấy,
B
3

D =

h/2 + y
1
+ y
2
B
3
D = y
1
+ y
2
(2.15)
Vậy,
()
R2yyR2yy
2
h
l
2121x
++






++

=

Hoặc,
(
)
(
)
R2yyyyR2hRl
2121x
++++= (2.16)
trong đó,
()
221
xyyR2 =+ (2.17)
Do đó,
2
2
2x
xxhRl ++=
(2.18)
Trị số y
1
và y
2
là các giá trị nén đàn hồi có biểu thức tính gần đúng nh sau:

2
2
P
2
1
2

P
1
E
1
q2y
E
1
q2y
2
1

à


à

(2.19)
trong đó, q: áp lực nén thuỷ tĩnh, trị số của q có thể biểu thị qua áp lực P trên bề
mặt tiếp xúc: q = 2X
2
P (2.20)

à
P1
,
à
P2
: hệ số Poisson của trục cán và kim loại.
E
1

, E
2
: môđun đàn hồi của trục cán và kim loại.
Đa giá trị của y
1
và y
2
vào biểu thức (2.17), ta có:












à
+

à
=
2
2
P
1
2

P
2
E
1
E
1
RP8x
21
(2.21)
Vì khi cán tấm mỏng thì chiều dày của thép tấm so với đờng kính trục cán
A
1
A
2
D

C

B
1
B
3
B
2
H


h/2

y

1
y
2
h

x
1
x
2
l
x
H
ình 2.2- Sơ đồ xác định chiều dài
cung tiếp xúc khi tính biến dạng đàn
hồi của trục và vật cán.

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

20
là rất bé nên phần nén đàn hồi của vật cán có thể bỏ qua (E
2




), cho nên:

à
=
1
2
P
2
E
1
RP8x
1
(2.22)
2.5- Các đặc điểm động học trong vùng biến dạng
Quá trình cán so với các quá trình gia công kim loại bằng áp lực khác có
những đặc điểm sau đây:
- Cần thiết phải có lực ma sát tiếp xúc dù cho phải tiêu tốn năng lợng
nhiều hơn.
- Luôn luôn tồn tại một vùng không biến dạng tiếp giáp với vùng biến
dạng (tồn tại một vùng cứng bên ngoài vùng biến dạng). Vì vậy mà sự phân bố biến
dạng, tốc độ biến dạng và ứng suất trong vùng biến dạng là không đồng đều.
Ngời ta nghiên cứu ảnh hởng của lực ma sát tiếp xúc của vùng không biến

dạng kề sát vùng biến dạng đến sự phân bố ứng suất, phân bố biến dạng và tốc độ di
chuyển của các chất điểm kim loại trong vật thể biến dạng, thông qua hình dáng
hình học của vùng biến dạng đợc thể hiện qua tỷ số giữa chiều dài cung tiếp xúc
và chiều cao trung bình của vật cán trong vùng tiếp xúc (l
x
/h
TB
).
Nh ta đã biết, trên dộ dài cung tiếp xúc
bao giờ cũng tồn tại lực ma sát gọi là lực ma
sát tiếp xúc. Vì rằng giữa bề mặt trục cán và
kim loại có sự trợt đồng thời, trị số lực ma
sát này làm ảnh hởng đến sự phân bố ứng
suất và biến dạng trong vật thể phôi cán.
Lực ma sát bao giờ cũng kìm hãm (cản trở)
sự di chuyển của các chất điểm kim loại
trong vật cán, ảnh hởng của sự kìm hãm
này càng xa bề mặt tiếp xúc càng giảm đi
(tính theo chiều cao vật cán). Vì vậy mà các
chất điểm của kim loại ở vùng tâm phôi cán
có khả năng di chuyển nhanh hơn (tốc độ lớn
hơn) so với các chất điểm trên bề mặt tiếp xúc. Nếu nh chiều cao h
TB
càng lớn (khi
biến dạng trợt đợc xảy ra trên toàn bộ chiều cao) thì tốc độ di chuyển của các
chất điểm ở chính giữa phôi càng lớn (xem hình 2.4).
1. Tốc độ vùng bên ngoài tiết diện.
2. Tốc độ vùng tâm tiết diện.
3. Tốc độ trung bình trong tiết diện.
4. Đồ thị tốc độ của vùng không biến dạng.

5. Đồ thị tốc độ ở vùng ngoài vùng biến dạng phía phôi đi vào trục.
6. Đồ thị tốc độ ở vùng trễ.
O


h/2


O

R

R



h

H

H
ình 2.3- Sơ đồ vùng biến dạn
g
và các vùng lân cận.
h
TB
l
x
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

21
7. Đồ thị tốc độ ở tiết
diện trung bình.
8. Đồ thị tốc độ ở
vùng vợt trớc.
9. Đồ thị tốc độ của
vùng ngoài vùng biến dạng
lúc phôi ra khỏi trục cán.
10. Đồ thị tốc độ của
vùng không biến dạng (cán
xong).
Lực ma sát ảnh hởng
đến sự phân bố ứng suất trong
vùng biến dạng khi l
x
/h
TB
> 0,5 ữ 1 đợc thể hiện trên hình 2.4.
Nh ở hình 2.5 chúng ta hiểu rằng ở vùng kề sát bề mặt tiếp xúc, do tồn tại
ma sát và có sự biến đổi tốc độ nên các chất điểm kim loại chịu sự lôi kéo đồng thời
với lực nén của trục cán.
ở
vùng giữa tâm phôi và ảnh hởng vùng ngoài vùng tiếp
xúc đến biến dạng và ứng suất là rất lớn, sự phân bố tốc độ không đồng đều tăng
lên, biến dạng của các lớp gần bề mặt tiếp xúc mãnh liệt hơn, cho nên xảy ra hiện
tợng kéo mãnh liệt các lớp bên trong tâm phôi. Do đó, vùng trong tâm của phôi
chịu ứng suất kéo rất lớn. Hậu quả có thể gây ra các vết nứt trong phôi rất lớn, thậm
chí có thể tạo ra những lỗ hổng.

1-1, 5-5: giả thiết ứng suất
bằng 0.
2-2: tiết diện đi vào vùng
biến dạng.
3-3: tiết diện trung hoà.
4-4: tiết diện phôi ra khỏi
vùng biến dạng.
(-): ứng suất kéo.
(+): ứng suất nén.
Khi vật cán vừa tiếp xúc với trục thì ứng suất kéo tạo điều kiện cho các chất
điểm chuyển động với một tốc độ nhanh lên. Tại tiết diện kim loại ra khỏi trục cán
thì các chất điểm có phần bị kìm hãm lại làm chậm trễ sự chuyển động của các chất
điểm ở vùng giữa phôi cán (hình 2.6).
Hình 2.6a: 1. Vùng không biến dạng.
2. Vùng đàn hồi.
3. Vùng trễ.
4. Vùng vợt.
5. Vùng đàn hồi.
6. Vùng sau cán
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
v

1
v
F
.cos


v
B
a)
b)
H
ình 2.4- Đồ thị tốc độ vật cán tại các tiế
t
diện khác nhau (a) và biểu đồ phân bố tốc độ
theo chiều cao tiết diện (b) khi B/h > 0,5
ữ
1
1 2 3 4 5
H
ình 2.5- Biểu đồ phân bố ứng suất pháp theo
chiều cao tiết diện vật cán khi l/h > 0,5
ữ
1
1 2 3 4 5
-
+
-
+
+
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

22









Hình 2.6b: Điều kiện: D.cos

> h
H

(-): ứng suất kéo
(+): ứng suất nén
2.6- Trễ và vợt trớc trong vùng biến dạng khi cán

2.6.1- Khái niệm

Giả thiết ta có một sơ đồ của quá trình cán nh hình 2.7. Hai trục cán có
cùng một tốc độ quay là V
B
, ký hiệu tốc độ của vật cán lúc vào cùng biến dạng là
V
H

và lúc ra khỏi vùng biến dạng là V
h
.
Khi quan sát sơ đồ của quá trình
cán ở hình 2.7, ta nhận thấy rằng:
V
H
< V
B
cos < V
h

* Ta chứng minh: V
H
< V
h

Trên cơ sở của giả thiết không thay
đổi thể tích trong qúa trình biến dạng
H.B.L = h.b.l hay F.L = f.l (2.23)
với: F, f: diện tích tiết diện vật cán trớc
và sau khi cán.
Trên cơ sở biểu thức 2.23, ta chia 2
vế cho một thời gian t nào đó, ta có:
F.L/t = f.l/t suy ra: F.V
H
= f.V
h
(2.24)
Quá trình cán làm giảm diện tích tiết diện nghĩa là F > f. Vậy thì muốn cho

biểu thức 2.24 đợc thoả mãn thì phải có điều kiện V
H
> V
h
.
Vì ta khảo sát sự chuyển động của phôi theo phơng nằm ngang (phơng
cán) cho nên để so sánh tốc độ V
H
và V
h
với tốc độ của trục cán V
B
thì tốc độ này
cũng phải đợc chiếu lên phơng nằm ngang (hình 2.7) nghĩa là ta so sánh giữa V
H

và V
B
cos ( là góc ăn).
Tại tiết diện mà ở đó phôi ra khỏi trục cán thì = 0 và cos = 1, nên V
B
=
V
B
cos khi cos = 1 ta nhận đợc chính giá trị tốc độ dài của trục cán. Vậy tốc độ
quay của trục cán khi chiếu lên phơng nằm ngang có giá trị biến đổi theo góc

.
H
ình 2.6- Biểu đồ tại các tiết diện khác nhau khi l

x
/h
TB
< 0,5
ữ
1
a) Biểu đồ tốc độ.
b) Biểu đồ phân bố ứng suất theo phơng cán
1 2 3 4 5 6
-
+
+
-
a) b)
V
B
h

P
x
P



V
B
H
ình 2.7- Sơ đồ tốc độ cán.
H

V
H
V
h
V
B
V
B
cos
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

23
Chúng ta biểu thị hàm số tốc độ của trục cán theo góc

trên độ dài cung tiếp xúc
nh hình 2.8.
Khi quan sát tốc độ di chuyển
của các chất điểm của vật cán ta
thấy: vật ván di chuyển đợc là nhờ
tốc độ của trục cán truyền cho nó. Về
mặt vật lý thì trên thực tế bao giờ
cũng có hiện tợng trợt trên bề mặt
tiếp xúc có nghĩa là hiệu suất truyền
tải tốc độ bao giờ cũng < 1, có nghĩa
là luôn có sự cản trở quá trình ăn vào
của vật cán cho nên ta luôn có điều
kiện V
B

cos

> V
H
. Càng đi vào vùng biến dạng, hiện tợng trợt giảm đi vì sức nén
của trục cán lên kim loại mãnh liệt hơn và đến một tiết diện nào đó thì hiệu suất
truyền tải của tốc độ sẽ bằng 1, có nghĩa là V
B
cos

= V
H
. Tại tiết diện này ngời ta
gọi là tiết diện trung hoà, trên hình 2.8 là tiết diện I-I.
Khi các chất điểm của vật cán vợt qua tiết diện này thì nó sẽ nhận đợc một
tốc độ của trục cán truyền cho cùng với tốc độ của bản thân nó để đảm bảo đợc sự
cân bằng thể tích dịch chuyển qua từng tiết diện trong một đơn vị thời gian. Vì vậy,
ta luôn có V
B
cos

< V
h
trên cơ sở phân tích về tơng quan giữa tốc độ di chuyển
của phôi và của trục cán đợc thể hiện trên hình 2.8. Nh vậy là trên một độ dài
cung tiếp xúc trong vùng biến dạng, sự chênh lệch tốc độ tạo nên 2 vùng phân cách
bởi một tiết diện mà tại đó V
B
cos

= V
H
= V
h
, ta gọi là tiết diện trung hoà. Vùng
(1) tốc độ của phôi nhỏ hơn tốc độ của trục cán (V
B
cos), ta gọi là vùng trễ. Vùng
(2) tốc độ của phôi lớn hơn tốc độ của trục cán (V
B
cos), ta gọi là vùng vợt trớc.
Ký hiệu là góc ở tâm chắn bởi phần cung tiếp xúc thuộc vùng vợt trớc và
đợc gọi là góc trung hoà. Góc ở tâm chắn bởi cung thuộc vùng trễ sẽ là (

-

).
Nhiều công trình nghiên cứu
ngời ta nhận thấy rằng, nếu nh độ
dài cung tiếp xúc l
x
khá lớn thì không
phải chỉ có tiết diện trung hoà mà có
cả một vùng trung hoà. Vùng này
ngời ta gọi là vùng dính. Có nghĩa
rằng, trên vùng này không tồn tại sự
trợt trên bề mặt tiếp xúc, lực ma sát
có giá trị rất bé

0 và đổi dấu.
Đồ thị tốc độ trong trờng hợp
này nh hình 2.9.
Từ những khái niệm đã tình bày trên đây ta nhận thấy rằng, hiện tợng trễ và
l
x
I

V
H
V
B
V
h
V
B
cos
1

2

H
ình 2.8- Sơ đồ tốc độ trục và vật cán

l
x
Vùn
g

trễ

V
H
V
B
V
h
V
B
cos


1

2

H
ình 2.9- Sơ đồ tốc độ trục và vật cán
khi tồn tại vùng dính
Vùn
g

dính

Vùn
g

trợt

1

2
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

24
vợt trớc là một quá trình động xảy ra một cách tự nhiên trong vùng biến dạng. Độ
lớn của từng vùng có thể thay đổi tùy theo các thông số công nghệ xảy ra trong
vùng biến dạng, kể cả các thông số hình học của vùng biến dạng. Vì vậy, việc xác
định độ lớn của từng vùng, nhất là trị số vợt trớc có ý nghĩa thực tế trong công
nghệ cán.
2.6.2- Các phơng pháp xác định hệ số vợt trớc
a) Phơng pháp thực nghiệm

Trên cùng một vòng tròn của trục cán (tại một tiết diện của trục cán), ngời
ta đánh dấu 2 vị trí m
1
và m
2
, khoảng cách m
1
m
2
= l
B
. Sau khi cán với một lợng ép

h = H - h, hai vết m
1
và m
2
để lại dấu trên bề mặt vật cán là m
1
và m
2
có khoảng
cách m
1
m
2
= l
1
. So sánh hai độ dài l
B
và l
1
ta nhận thấy: l
1
> l
B
.
Vậy, lợng vợt trớc tuyệt đối
mà ta nhận đợc là:
S
h
= l
1

- l
B
(2.25)
Lợng vợt trớc tỷ đối:

1
l
l
%
l
ll
%S
B
1
B
B1
h
=

= (2.26).
Giả thiết trong một thời gian t
nào đó ta đạt đợc các độ dài trên,
nghĩa là:
1
cosV
V
1
t
l
t

l
%S
B
h
B
1
h


== (2.27)
Với giá trị của lợng vợt trớc đo đợc, khi biết vận tốc cán V
h
và vận tóc
trục V
B
ta có thể tính đợc cos

và do đó suy ra đợc góc

(góc trung hoà).
b) Phơng pháp tốc độ
Chúng ta biết rằng, tốc độ của vật cán lúc ra khỏi vùng biến dạng có điều
kiện: V
h
> V
B
cos (: góc cha xác định) (2.28)
Trong trờng hợp này, lợng vợt trớc sẽ đợc tính:

1

cosV
V
cosV
cosVV
%S
B
h
B
Bh
h


=



= (2.29)


=+
cosV
V
1%S
B
h
h
(2.30)
Từ điều kiện thể tích không đổi và giả thiết rằng lợng dãn rộng

b = 0 (

b
không đáng kể). Từ biểu thức (2.30) ta biến đổi nh sau:
V
B
h

m
1
P

V
B
H
ình 2.10- Sơ đồ xác định lợn
g
vợt trớc bằng thực nghiệm.
H

l
B
V
1
m
2
m
2

m
1

l
1
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

25

h
cosh
cosV
V
1%S
B
h
h

=

=+

(2.31)
Vì H.B.L = h.b.l (b = B) nên: H.L = h.l hoặc H.L/t = h.l/t
Do đó, H.V
H
= h.V
h
= h

.V
B
cos (2.32)
trong đó, h

: chiều cao vật cán tại tiết diện trung hoà.
Từ (2.32) ta rút ra:

h
cosVh
V
B
h

=

(2.33)
Thay (2.33) vào (2.30) ta rút ra đợc (2.31). Vì ta đang xét tại tiết diện phôi
ra khỏi trục cán nên góc = 0. Từ (2.30) ta suy ra:

h
cosh
%S
h

=

(2.34)
Khi xét mối liên hệ giữa các thông số hình học ta có: h
max

= D(1 - cos).
Với biểu thức này, nếu nh ta tính lợng ép tại tiết diện trung hoà thì ta có thể viết:
h

= h

- h = D(1 - cos) (2.35)
Suy ra, h

= D(1 - cos) + h (2.36)
Đa biểu thức (2.36) vào (2.34), ta có:

(
)
[
]
1
h
coshcos1D
%S
h


+


= (2.37)
Trong (2.37) để tìm đợc S
h
% cần phải xác định đợc cos là chủ yếu. Từ

(2.35) ta tìm đợc:

D
h
1cos


=
(2.38)
Mặt khác,
2
1cos
22
sin2cos1
22
2

=

=

= (2.39) (vì rất nhỏ)
Từ (2.38) và (2.39) ta có:

2
1
D
hh
1
2

=



(2.40)
Từ điều kiện thể tích không đổi, ta có:
h

. b

= (1 + S
h
%)h.b
Khi ta coi tốc độ của vật cán tại tiết diện trung hoà V

bằng tốc độ của trục
cán V
B
(V

V
B
, góc rất bé). Từ điều kiện trên ta tìm đợc giá trị chiều cao vật
cán tại tiết diện trung hoà.

()


+=

b
b
.h%S1h
h
(2.41)
Thay (2.41) vào (2.40) ta có:
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

26

()
D
1%S1
b
b
h
2
h
2








+

=


(2.42)
Suy ra,
11R
hb
b
%S
2
h









+

=

(2.43)
Khi lợng dãn rộng không đáng kể (b 0) thì:

2
h
h

R
%S = (2.44)
Trong trờng hợp đo đợc S
h
% bằng thực nghiệm thì ta xác định đợc góc
theo biểu thức (2.44)

R
h%.S
h
=
(2.45)
c) Phơng pháp cân bằng lực
Giả thiết ta có sơ đồ cán nh hình 2.11.

Tại tiết diện N-N phân chia vùng
biến dạng thành vùng trễ và vùng vợt
trớc. Phơng của lực pháp tuyến đơn vị
trong vùng trễ làm với trục thẳng đứng
xuyên qua tâm hai trục cán một góc .
Vậy thì lực của trục cán tác dụng lên kim
loại trên toàn bộ cung tiếp xúc l
x
sẽ bằng:



0
d.sin.R.P

Vậy thì lực ma sát trong các vùng
trễ và vùng vợt trớc khi chiếu lên
phơng nằm ngang là:




d.R.cos.T và



0
d.R.cos.T
Với T = P.f, trong điều kiện cân bằng tĩnh:

X = 0, ta có:

0d.sin.R.Pd.R.cos.R.fd.R.cos.P.f
00
=++




(2.46)
Suy ra,
0cossinsin
00
=+

f.
P

P

N

x

H
ình 2.11- Sơ đồ tác dụng lực
P

f.
P

N



Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

27

()

f2
2
sin2
2
sin
f2
cos1
2
sin
sin
2



=



= (2.47)

Do cả hai góc và đều là những góc bé nên có thể viết:

=
f2
1
2
(f: hệ số ma sát) (2.48)
Từ (2.48) ta thấy góc vợt trớc là một hàm số thay đổi theo góc ăn và
hệ số ma sát f: = ( , f)
Mối quan hệ giữa góc ăn

và góc vợt trớc

có thể tìm đợc trên cơ sở tìm
cực trị của hàm

=

(

).
Từ (2.48), ta coi hệ số ma sát đã xác định, lấy đạo hàm của

theo

, ta có:

f0
f2
1
2

1
d
d
0
d
d
==

=


=



Điều này có nghĩa là góc

có giá trị cực đại khi



f. Đơng nhiên giá trị
nhỏ nhất của góc

= 0. Thay vào (2.48) ta tìm đợc:
= 0 khi = 0 và khi 1 - /2f = 0 suy ra = 2f.
Cũng từ (2.48) ta rút ra những nhận xét
sau đây:
- Khi f, ta có vùng vợt trớc lớn
nhất.

- Từ điều kiện ăn kim loại của trục cán
, cho nên khi 0 < và < 2f nên:
f 2f.
Trong vùng biến dạng chỉ tồn tại có một vùng trợt, đó là vùng trễ. Có nghĩa
là quá trình cán không tồn tại mặc dầu hai trục vẫn quay và trợt trên bề mặt vật
cán, đồng thời gây ra hiện tợng va đập.
2.6.3- Trễ và mối quan hệ giữa trễ và vợt trớc

Cũng nh vợt trớc, đại lợng trễ có thể tính từ điều kiện thể tích không đổi
khi phôi di chuyển trong vùng biến dạng trong một đơn vị thời gian: V
H
F = V
h
f.

ở
đây ta ký hiệu: F/f =

, do đó: V
H
= V
h
/

(2.49)
Ký hiệu S
H
là đại lợng trễ, ta có:

=



=
cosV
V
1
cosV
VcosV
S
B
H
B
HB
H
(2.50)
Với

là một góc biến đổi theo tiết diện quan sát. Đa (2.49) vào (2.50) ta có


=
cosV
V
1S
B
H
H
(2.51)

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,05 0,05
0,1
H
ình 2.12- Sự phụ thuộc của góc

vào góc

và hệ số ma sát
f
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

28
Vì ta đã có biểu thức (2.30) cho nên:


+
=
cos
S1
1S
h
H
(2.52)
Biểu thức (2.52) cho thấy S

H
(trễ) là một hàm số phụ thuộc vào lợng vợt
trớc S
h
, góc ăn và hệ số kéo dài : S
H
= (S
h
, , ).
2.6.4- Các thông số công nghệ ảnh hởng đến lợng vợt trớc

Ngoài các thông số đã thể hiện trong các biểu thức tính

còn một số thông
số công nghệ khác ảnh hởng đến trị số vợt trớc thông qua số liệu thực nghiệm.

a) Đờng kính trục cán

Khi đờng kính trục cán D tăng thì trị số vợt trớc cũng tăng vì D tăng làm
cho thể tích dịch chuyển trong vùng vợt trớc tăng, làm cho độ dài của vật cán
phải tăng lên. Hình 2.13 là ảnh hởng khi cán nhôm trên trục khô, không mài bóng,
H = 2,5; h = 1,5.

b) Chiều cao của phôi sau khi cán (h)

Nếu tăng h thì lợng vợt trớc giảm đi. Nh đã đợc thể hiện ở biểu thức
(2.44) chúng ta có thể giải thích thêm: khi chiều cao h tăng lên có nghĩa là làm
giảm sự di chuyển của kim loại theo chiều dài so với lợng kim loại cần di chuyển
trong vùng vợt trớc. Hình 2.14 là ảnh hởng khi cán thép 0,1%C, D = 150mm.

c) Lợng ép tỷ đối (

h/H %)

Thực nghiệm cho thấy khi tăng

h/H % thì lợng vợt trớc có một giá trị
cực đại. Điều này có thể giải thích rằng: nếu nh tăng lợng ép tỷ đối = h/H %,
có nghĩa là tăng h cho nên thể tích di chuyển trong vùng vợt trớc tăng và trong
một phạm vi của góc cho phép (0 f), nếu càng tăng thì cũng tăng theo
(hình 2.15 là ảnh hởng khi cán nguội thép, D = 127mm, H = 4mm, có bôi trơn).
Nhng nếu nh

đã vợt quá giới hạn ổn định (f





2f), nếu ta càng tăng

thì sự va đập của phôi lên trục cán càng tăng do đó mà vợt trớc giảm đi đáng
kể.
ở
thời điểm này việc tăng h không bù đắp đợc sự giảm .

0
2
4
6
8
S%
120 240 360
D,mm
Hình 2.13- ảnh hởng
của H đến độ vợt trớc.
0
2
4
6
8
S%
0,5 1 1,5
h,mm
Hình 2.14- ảnh hởn
g

của h đến độ vợt trớc.
0
0,8
1,6
2,4

8
S%
4
12 16

,%
Hình 2.15- ảnh hởn
g
của

đến độ vợt trớc.
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

29

d) Nhiệt độ cán
Thực chất nhiệt độ cán làm thay đổi thành phần lớp vảy rèn trên vật cán, sau
đó làm thay đổi hệ số ma sát (xem hình 1.10) trong vùng biến dạng. Từ sự thay đổi
hệ số ma sát f dẫn đến sự thay đổi của lợng vợt trớc S
h
. Đồ thị quan hệ giữa
lợng vợt trớc và nhiệt độ có dạng tơng tự nh ở hình 1.10. Đơng nhiên khi có
cùng một lợng ép thì nếu nhiệt độ càng thấp lợng vợt trớc càng cao (hình 2.16).

e) Tốc độ cán
Khi thí nghiệm tốc độ cán với lợng vợt trớc S
h
%, ngời ta ghi lại đợc đồ

thị phản ánh mối quan hệ giữa hai thông số trên nh hình 2.17. Trên hình ta nhận
thấy rằng nếu có cùng một lợng ép tỷ đối

% bé thì ảnh hởng của tốc độ cán đến
lợng vợt trớc là không đáng kể.














f) Lực kéo trớc và sau vật cán
Lực kéo trớc và sau vật cán đợc thể hiện theo sơ đồ cán hình 2.18. Nh ở
hình ta nhận thấy khi có lực kéo sau T
o
thì sẽ làm cho lợng trễ S
H
tăng lên và do đó
vợt trớc giảm đi, nhng nếu với một lực kéo trớc T
1
thì lại làm cho S
h

% tăng lên
và do đó S
H
giảm.
Ta có thể chứng minh hiện tợng trên bằng biểu thức đợc rút ra từ phơng
pháp tính vợt theo cân bằng lực khi có cả hai lực kéo trớc và sau vật cán.

()
01
TT
b.P.D.f2
1
f2
1
2
+









=
hay
()
Hh
b.P.D.f2

1
f2
1
2
01
+









=
(2.53)
Từ (2.53) ta nhận thấy nếu càng tăng
0
thì giảm đi. Trên đồ thị hình 2.19
cho ta thấy ảnh hởng của T
0
và T
1
đến lợng vợt trớc S
h
%.

0
2

4
6
S%
10 20 30
%
2
1
3
4
H
ình 2.16- Quan hệ giữa
lợng vợt trớc, lợng ép tỷ
đối và nhiệt độ cán.
(1) t = 685
0
C; (2) t = 875
0
C
(3) t = 1020
0
C; (4) t = 1185
0
C
0
1
2
3
S%
10 20 30
%

H
ình 2.17- Quan hệ giữa lợng vợt
trớc, lợng ép tỷ đối và tốc độ cán.
40 50
n = 0,26v
/p

n = 10v/
p

n = 30v/
p
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

30

g) Chiều rộng của vật cán

Kết quả thí nghiệm nhận đợc nh ở đồ thị hình 2.20.
Khi chiều rộng B tăng thì

b giảm đi.
Đồng thời lợng vợt trớc S
h
tăng lên.
Đến một chiều rộng B nào đó thì cả S
h
%
lẫn

b đều đạt đến một giá trị nhất định và
không đổi. Để giải thích kết quả trên ta đi
từ điều kiện thể tích không đổi khi cán:
H.B.V
H
= h.b.V
h
= h

. b

.V
B
cos

Suy ra,
%S1
V
V
H.B
cosbh
h
B
H
==



Hay:
%S1
V
V
b.h
cosbh
h
B
H
+==



Chia hai biểu thức trên ta có:

=

+
=
%S1
%S1
b.h
B.H
h
h
(2.54)
Nếu ta để ý rằng: .. = 1 (2.55)
Với ký hiệu rằng: = h/H < 1; = b/B > 1; = l/L > 1
Đa giá trị của 2.54 vào 2.55, ta có:

1
S1
S1

h
h
=

+
hay

.

+ S
h
(

.

+ 1) = 1
Suy ra,
+



=
.1
.1
S
h
(2.56)
V
B
P

O

H
ình 2.18- Sơ đồ cán có
lực kéo trớc và sau.
O
T
0
P

T

1
4,9 2,95 0,98 0,98 2,95 4,9
1
2
3
4
5
6
S%
(500) (300)(100) (100) (300) (500)
H
ình 2.19- Quan hệ giữa lợng vợt trớc với
lực kéo trớc T
0
và sau T
1
trong điều kiện:
H = 0,4mm;

h/H = 0,27%; B = 15
ữ
20mm
0
0,2
0,4
0,6
0,8

b, mm
20 40 60

B,mm
H
ình 2.20- Quan hệ giữa
lợng vợt trớc S với dãn
rộng

b và chiều rộng vật cán
khi D = 158mm; H = 4,5mm;

h = 1,2mm
b
S
2
4
S
h
%
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

31
Với giá trị

là hệ số biến dạng cao không đổi thì biểu thức (2.56) là một
hàm số giữa lợng vợt trớc và hệ số biến dạng rộng

b có dạng:

()

()
2
2
1aX
1aX
y
+

=
(2.57)
Hàm số này luôn có cực trị cho nên chúng ta dễ dàng nhận thấy với một giá
trị

nào đó thì sẽ làm cho S
h
% tăng đến một giá trị nhất định nếu nh có cùng một
lợng ép

h (

= const).

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

32
Chơng 3
biến dạng ngang và lợng dãn rộng khi cán
3.1- Khái niệm và công thức thực nghiệm xác định lợng dãn rộng b

Lợng dãn rộng tuyệt đối

b đợc đặc trng bởi hiệu số giữa hai chiều rộng
của vật cán sau và trớc khi cán:

b = b - B (3.1)
Lợng dãn rộng

b phát sinh một cách tự nhiên theo quy luật biến dạng
trong không gian ba chiều, thế nhng trên thực tế, trong quá trình cán nó là một đại
lợng biến dạng không mong muốn vì nó là một thông số biến dạng chịu ảnh hởng
của nhiều thông số công nghệ cán, nó cũng chính là nguyên nhân gây ra phế phẩm
ở nhiều trờng hợp.
Vì vậy, mà việc nghiên cứu đại lợng biến dạng ngang và lợng dãn rộng

b
khi cán là rất cần thiết nhằm mục đích khống chế hoặc cỡng bức khi cần thiết.
Song, vấn đề lại rất khó giải trong lý thuyết cán bởi vì mọi sự diễn biến các thông số
công nghệ đều xảy ra trong vùng biến dạng.
Đã có nhiều tác giả và cũng đã có nhiều công trình đợc công bố, mọi
nghiên cứu đều tập trung vào các yếu tố làm ảnh hởng đến lợng dãn rộng b.
Ta biết rằng khi một phân tố kim loại bị nén theo mọt chiều thì sẽ chảy dẻo
theo hai chiều còn lại, trên cơ sở đó ta thấy đại lợng h là yếu tố công nghệ đầu
tiên ảnh hởng đến lợng biến dạng ngang b.
Ví dụ:
h
H
ln.l.Cb
x1
=

=
H
h
.l.Cb
x2
(3.2)








=
h
h
,
H
H
.l.Cb

x3

trong đó, l
x
: chiều dài cung tiếp xúc.
C
1
, C
2
, C
3
: các hệ số thực nghiệm.
Biểu thức (3.2) cho thấy, trị số b chịu ảnh hởng trớc hết là độ dài cung
tiếp xúc (yếu tố hình học vùng biến dạng), tiếp theo là lợng ép

h (biến dạng cao).
Một số công trình nghiên cứu khác đem lại các biểu thức tính

b đơn giản hơn:


b = C
j
.

h (3.3)

h.R
h
h

.Cb
p


= (3.4)










=
f2
h
h.R
H2
h
.15,1b
(3.5)
trong đó, C
j
; C
p
: hệ số thực nghiệm
Với biểu thức (3.5) (công thức Petrov), tác giả đã đề cập đến nhiều yếu tố
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

33
công nghệ ảnh hởng đến

b nh là trạng thái ứng suất trung bình

2
, hệ số ma sát,
yếu tố hình dáng vùng biến dạng, lợng ép

h

H
h
f2
h
h.R.f.
H
h
1b

+=
(3.6)
Qua các biểu thức trên ta nhận xét: Lợng dãn rộng

b phụ thuộc vào các
yếu tố công nghệ: chiều rộng ban đầu vật cán B, chiều cao vật cán H, lợng ép tuyệt
đối

h, đờng kính trục cán D, hệ số ma sát f, ứng suất pháp

, ứng suất tiếp


3.2- Phân tích lợng dãn rộng b theo phơng pháp thứ nguyên
Nếu ta ký hiệu lợng biến dạng ngang bằng một đại lợng a thì:
A = f(B, H,

h, D,

,

) (3.7)

Chính lợng biến dạng ngang a là tỷ số giữa khối lợng kim loại di chuyển
theo hớng ngang so với khối lợng kim loại di chuyển theo chiều cao.

h
b
h
b
V
V
h
H
ln.V
B
b
ln.V
h
dh
.V
b
db
.V
dV
dV
a ====
(3.8)
trong đó, V
b
: khối lợng kim loại di chuyển theo chiều rộng.
V
h

: khối lợng kim loại di chuyển theo chiều cao.
Hoặc:


==
1
ln
ln
h
H
ln
B
b
ln
a
(3.9)
Trên cơ sở hai biểu thức (3.7) và (3.8), ta có:
V
b
= V
h
.a = V
h
.f(B, H, h, D, , ) (3.10)
Biểu thức (3.10) gồm 8 đại lợng vật lý nhng đợc đo bằng 3 thứ nguyên
độc lập nhau là độ dài (m), trọng lợng (kg), thời gian (s). Vì thế mà lợng dãn
rộng khi cán phải xác định bằng 5 thông số không có thứ nguyên, đó là cả hai vế
của phơng trình các đại lợng có trong phơng trình phải nh nhau .
Ví dụ:

== y.x.AqQ
ba
n
1
(3.11)
trong đó, q: các số hạng có cùng thứ nguyên.
Q: tổng các thứ nguyên đó.
X, y: các đại lợng xác định giá trị của Q.
Biểu thức (3.10) có vế phải là một số hạng luỹ thừa, vì vậy áp dụng phơng
trình thứ nguyên, ta có:


=
n
1
qnfnlndnCnKn
nhb
DhHBAVV
(3.12)
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

34
trong đó, n: số lợng các số hạng có cùng thứ nguyên. Để có đợc thứ nguyên
của vế trái và vế phải nh nhau thì tồn tại một quan hệ:

(
)( )
qnfn2qnfnqnfnlndnCnKn33

s.m.kg.m.mm
++++++
=

hoặc:
(
)
qnfn2qnfnqnfnlndnCnKn33
s kg.mm
+++++++
=
Do đó, 3 = 3 + Kn + Cn + dn + ln - fn - qn
0 = fn + qn (3.13)
Thực tế là vế phải và vế trái của các biểu thức trên là tập hợp các đại lợng
có cùng một thứ nguyên, cho nên:
m
3
= A
n
.m
3 + Kn + Cn + dn + ln
1 = A
n
.s
-2fn - 2qn
1 = A
n
.kg
fn + qn

A
n
= A
n
+ A
n
+ A
n

Từ (3.13) ta suy ra:
Cn = -(Kn

+ dn + ln)
fn = -qn
và do đó,
()

=
++
n
0
qnqnlndnlndnKnKn
nhb
DhHBAVV

hoặc là:

=
n
0
qnlndnKn
n
h

b
H
D
H
h
H
B
A
V
V

Theo định luật Amonton:
f=


: hệ số ma sát
Trở lại với biểu thức (3.8), ta có:

=
n
0
qn
lndnKn
n
f
H
D
H
h
H
B
Aa (3.14)
Nên nhớ rằng khối lợng kim loại di chuển theo chiều rộng V
b
chính là tích
số giữa b với chiều cao H và khối lợng kim loại di chuyển theo chiều cao V
h
lại
là tích số giữa h với chiều rộng B cho nên ta có:

B.h
H.b
V
V
a
h
b


== (3.15)
Suy ra,
H
B
.a
h
b
=


là chỉ số dãn rộng

b so với lợng ép

h.
Nh vậy trên cơ sở của biểu thức (3.14) ta có thể viết:

=


n
0
qn
lndnKn
n
f
H
D
H
h
H

B
A
H
B
h
b
(3.16)
Từ biểu thức (3.16) ta có thể hình thành các biểu thức về dãn rộng theo chiều
dài cũng nh theo chiều rộng của vùng biến dạng nếu nh ta biết đợc các số luỹ
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

35
thừa Kn, dn, ln, qn và An. Ta biết rằng trên một độ dài cung tiếp xúc l
x
của vùng
biến dạng luôn tồn tại 3 vùng: vợt trớc, dính và trễ; song trong vùng dính lực ma
sát đổi hớng khi qua tiết diện trung hoà. Vậy trong vùng dính có thể coi có hai
vùng riêng biệt khi lực ma sát đổi hớng.
Tóm lại, trên một độ dài cung tiếp xúc l
x
của vùng biến dạng có 4 điều kiện
vầ ma sát cho nên để cho tiện lợi cho việc tính toán thì trong biểu thức (3.16) ta
chọn lấy 4 số hạng. Ví dụ, theo thí nghiệm của Gupkin chọn:
A
1
= 1 với k
1
= 0; d

1
= 1/2; l
1
= 1/2; q
1
= 1
A
2
= -1/2 với k
2
= 0; d
2
= 1; l
2
= 0; q
2
= 0
A
3
= 1 với k
3
= 0; d
3
= 3/2; l
3
= 1/2; q
3
= 1
A
4

= 1/2 với k
4
= 0; d
4
= 3/2; l
4
= 0; q
4
= 0
Thay các số liệu này vào (3.16), ta có:

+















=

2
3
2
1
3
2
2
1
2
1
H
h
2
1
f
H
D
.
H
h
H
h
2
1
f.
H
D
.
H
h

H
B
h
b
(3.17)
Khai triển và biến đổi ta nhận đợc biểu thức:



















+=


H
h

2
1
H
D
.
H
h
.f
H
h
1
H
B
h
b
(3.18)
Nếu nh tiết diện phôi là hình vuông (B/H = 1) thì:

+=


H
h
2
1
H
D
.
H
h
.f
H
h
1
h
b
(3.19)
Hai biểu thức thực nghiệm (3.18) và (3.19) đợc sử dụng để tính lợng dãn
rộng. Song khi tỷ số B/H

1 theo thực nghiệm sử dụng biểu thức (3.18) và khi B/H
1 sử dụng biểu thức (3.19).

Từ (3.19), riêng số hạng
H
D
H
h
f

đợc biến đổi và rút gọn:

H
l
.f.2hR.f.
H
2
H
hR2
f
H
D
H
h
f
x
2
==

=


Vậy,

+=


H
h
2
1
H
l
.f.2
H
h
1
h
b

x
(3.20)
Biểu thức (3.20) cho ta thấy b/h là một hàm số của hệ số ma sát, tỷ số l
x
/H
và h/H. Trên cơ sở của các biến số này, ngời ta xây dựng đồ thị để tiện lợi cho
việc tính toán chỉ số dãn rộng.
3.3- Phân tích lợng biến dạng ngang trên bề mặt tiếp xúc
Khi nghiên cứu quá trình chảy của các chất điểm kim loại trên bề mặt tiếp
xúc để hình thành đại lợng biến dạng ngang có hai quan điểm khác nhau.
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

36
1. Quan điểm cho rằng sự hình thành lợng biến dạng ngang là do sự di
chuyển các chất điểm của khối lợng kim loại kề sát biên mép vật cán (có nghĩa là
cho rằng biến dạng ngang phân bố không đều trên toàn bộ chiều rộng của vật cán).
2. Quan điểm cho rằng sự hình thành lợng biến dạng ngang là do sự di
chuyển các chất điểm của toàn bộ khối lợng kim loại có trong vùng biến dạng theo
chiều rộng B của vật cán (có nghĩa là cho rằng biến dạng ngang phân bố đều trên
toàn bộ chiều rộng của vật cán).
Để giải thích và chứng minh quan điểm nào có tính thuyết phục thì Galovin
làm thí nghiệm sau:
é
p nhiều mẫu thử có tiết diện hình học khác nhau (tròn, vuông,
tam giác, ôvan ) với một lợng ép

h nhất định. Sau khi thử nén, ngời ta nhận
thấy bề mặt tiếp xúc giữa dụng cụ và vật liệu nén (tiết diện phôi nén) có xu hớng

trở thành hình tròn. Từ kết quả thí nghiệm của nhiều tác giả khác nhau, ngời ta đi
đến kết luận: Các chất điểm của kim loại trên bề mặt tiếp xúc khi chịu biến dạng sẽ
di chuyển theo phơng và hớng nào có sức cản trở sự di chuyển của nó là nhỏ
nhất. Kết luận trên về sau trở thành định luật trở kháng biến dạng nhỏ nhất.
Trong quá trình biến dạng dẻo kim loại cũng cần nhớ rằng, lực cản trơt trên
bề mặt tiếp xúc chủ yếu vẫn là lực ma sát tiếp xúc. Vì vậy mà đoạn đờng đi càng
ngắn thì trở lực càng bé. Nếu thừa nhận định luật trở kháng biến dạng nhỏ nhất
thì quan điểm lợng biến dạng ngang khi cán là không đều trên bề mặt tiếp xúc.
Các nghiên cứu tiếp theo Galovin là của Bakhơtinôp; Tselicôp; Startrenco
cũng chứng minh đợc rằng là phân bố không đều trên cơ sở hình dáng hình học
khác nhau của diện tích tiếp xúc giữa trục cán và vật cán l
x
/B
TB
(B
TB
: chiều rộng
trung bình của vật cán, B
TB
= (B + b)/2).
Để tìm đợc quy luật chảy dẻo của các chất điểm, ngời ta chia diện tích tiếp
xúc thành 4 vùng khác nhau và tùy theo tỷ số l
x
/B
TB
ta nhận đợc quy luật chảy
khác nhau và do đó biết đợc khả năng biến dạng ngang (hình 3.1).

Từ hình ta thấy lợng biến dạng ngang nhiều là ở khu vực gần biên mép phôi
vì có sức cản trở sự di chuyển bé (đoạn đờng đi ngắn). Nếu phân tích ứng suất tiếp
trên bề mặt tiếp xúc ta nhận thấy: vectơ ứng suất tiếp luôn có chiều ngợc với chiều
chuyển động của các chất điểm trên bề mặt tiếp xúc. Vì vậy, càng đi xa vùng giữa

z

x
a

a

b

b

c

d


x

z
c

d

a

a

b

b

c

d


z

x
a)

b) c)

Hình 3.1- ứng suất chắn dọc và ngang trên bề mặt tiếp xúc khi:
a) Chồn, ép phôi hình chữ nhật; b) Độ dài cung tiếp xúc lớn;
c) Độ dài cung tiếp xúc nhỏ.

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

37
của phôi về phía biên mép thì góc giữa phơng cán với vectơ ứng suất tiếp sẽ tăng
lên, càng đến gần biên mép càng mạnh và có thể vợt quá 45
0
, vì thế khả năng chảy
của kim loại sẽ mạnh hơn.
Sự di chuyển của các chất điểm theo phơng ngang xảy ra trên toàn bộ chiều
cao của vật cán cho nên nếu nh trong quá trình di chuyển dẻo của các chất điểm
khi cán mà ma sát tiếp xúc trên bề mặt bằng trị số ma sát giữa các lớp trợt dẻo
trong kim loại thì biên mép phôi có dạng phẳng sau khi cán, nhng nếu nh có sự
khác nhau giữa trị số ma sát trên bề mặt tiếp xúc với các lớp trợt dẻo trong nội bộ
kim loại thì biên mép vật cán có thể có dạng lõm (khi ma sát trên bề mặt bé hơn ma
sát trong nội bộ kim loại) và có dạng lồi (khi ma sát trên bề mặt lớn hơn ma sát
trong nội bộ kim loại). (hình 3.2)







3.4- Phơng pháp xác định chiều rộng tại một tiết diện bất kỳ trong vùng biến
dạng
Nh ta đã biết, khi có biến dạng nén theo phơng nào đó, nếu phơng thứ hai
không có biến dạng thì toàn bộ lợng biến dạng nén sẽ chuyển thành biến dạng kéo
theo phơng thứ ba. Qúa trình biến dạng nh vậy ngời ta gọi là biến dạng phẳng.
Trên cơ sở biểu thức:

.

.

= 1 trong đó :

= h/H;

= b/B;

= l/L, ta có:
ln

+ ln

+ ln

= 0
suy ra:
l
dl
ln;
b
db
ln;
h
dh
ln === (3.21)
Biểu thức (3.21) biểu thị sự biến đổi kích thớc của vật cán, chiều cao, chiều

rộng và chiều dài. Vì vậy,

0
l
dl
b
db
h
dh
=++ (3.22)
Trong trờng hợp biến dạng phẳng thì:

0
l
dl
hoặc0
b
db
==
Giả thiết,
0
b
db
= (B = b), từ biểu thức (3.22) ta có:

l
dl
h
dh
K

x
=
(K
x
: hệ số tỷ lệ) (3.23)
b b b
H
ình 3.2- Hình dạng biên mép phôi khi ma sát tiếp xúc trên bề mặt
và trong vật cán khác nhau.
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

38

b
db
h
dh
K
z
= (K
z
: hệ số tỷ lệ) (3.24)
Đa hai biểu thức (3.23) và (3.24) vào (3.22) ta có:

0K
h
dh
K

h
dh
h
dh
xz
=
Suy ra: 1 - K
z
- K
x
= 0

K
z
= 1 - K
x
(3.25)
Ta coi K
z
là một hệ số đặc trng cho lợng biến dạng ngang.
Khi giải phơng trình vi phân (3.24) ta cũng có thể xác định đờng dãn rộng
thế nhng vì K
z
nh ta đã biết là một hàm số của nhiều biến số:

= ,
K2
,f,
l
b
,
h
l
,
h
H
lnK
10
xTB
x
z

Vì vậy mà tại từng tiết diện quan sát trong vùng biến dạng ta có thể coi K
z
lại
là một hằng số. Ví dụ ta khảo sát chiều rộng phôi tại một tiết diện bất kỳ X-X trong
vùng biến dạng:
Cách mặt phẳng mà tại đó phôi đi vào
trục cán một khoảng là dl
x
, tại tiết diện X-

X ta có chiều rộng của phôi là b
x
, chiều
cao của phôi là h
x
. Từ biểu thức (3.24) khi
K
z
là một hằng số, ta có:


=
zx
h
H
z
b
B
h
dh
K
b
db

Vậy,
z
z
x
h
H

lnK
B
b
ln =

Suy ra,
zz
K
x
x
K
x
x
h
H
BB:hoặc
h
H
B
b








=

=

Lợng dãn rộng tuyệt đối tại tiết diện X-X là:


b
x
= b
x
- B
Vậy,

=








= 1
h
H
BB
h
H
Bb
zz
K
x
K
x
x
(3.26)
Trong biểu thức (3.26), K
z

có giá trị sau:

h
H
ln
B
b
ln
K
x
z
= (3.27)
Biểu thức (3.27) cho ta nhận xét: Nếu K
z
= 0 thì 0
B
b
ln
x
= . Do vậy, b
x
= B và
b
x
dl
x
l
x
x

x

b

B

H
ình 3.3- Sơ đồ xác định b
x
.

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

39

b
x
= 0 và khi K
z
= 1 thì
h
H
ln
B
b
ln
x
= có nghĩa là toàn bộ biến dạng nén theo chiều

cao trở thành lợng dãn rộng, cũng có nghĩa là chiều rộng trở thành chiều dài.
Tóm lại, K
z
là một hệ số có thể biến đổi trong phạm vi từ 0 đến 1.
Giả thiết, K
z
= 1/2 (0

K
z


1) thì ta có lợng biến dạng theo chiều cao đợc
biến thành lợng biến dạng theo chiều rộng và chiều dài vật cán.
Nếu ta cho rằng diện tích tiếp xúc giữa trục cán và vật cán là một hình thang
cân (hình 3.3) thì trên cơ sở phân tích và biến đổi hình học đồng dạng ta có thể tính
b
x
nh sau:









+=
x

x
l
x
1hBb
(3.28)
trong đó, x: khoảng cách đợc tính từ tiết diện mà tại đó phôi ra khỏi cùng biến
dạng đến tiết diện có giá trị b
x
.


h: lợng ép tuyệt đối.
L
x
: độ dài cung tiếp xúc.
3.5- Những yếu tố ảnh hởng đến lợng dãn rộng (biến dạng ngang)
3.5.1- Lợng ép

h

Khi nghiên cứu ảnh hởng của lợng ép đến lợng dãn rộng bằng thực
nghiệm, ngời ta nhận đợc đồ thị nh hình 3.4.
Dạng đồ thị đợc giải thích nh sau: Khi
tăng lợng ép thì lợng dãn rộng đợc tăng
lên vì nếu tăng

h thì ứng suất chắn theo
hớng dòng chảy dọc của kim loại tăng điều
đó làm cho kim loại chảy theo hớng ngang
dễ dàng hơn nên

b/

h tăng. Thế nhang nếu
lợng ép cứ tiếp tục tăng thì áp lực của kim
loại lên trục cán tăng, lại làm cho ứng suất
chắn dọc giảm đi cho nên khả năng chảy dọc
của các phần tử kim loại dễ dàng hơn và lúc đó
đơng nhiên chỉ số kim loại chảy theo hớng ngang giảm đi.
3.5.2- Đờng kính trục cán D

Đồ thị thực nghiệm về ảnh hởng của đờng kính trục cán D đến chỉ số dãn
rộng b/h nh hình 3.5.
Chúng ta đã có mối quan hệ:
h.Rl
x
=

Nếu nh R tăng thì l
x
cũng tăng. Do đó mà sức cản lại sự chảy dọc của kim
loại cũng tăng lên, tạo điều kiện cho

b tăng lên. Do l
x
tăng lên nên tỷ số l
x
/b
TB

(thông số hình học vùng biến dạng) thay đổi có lợi cho kim loại chảy theo hớng
0,4
0,6
0,8
1,0
0,4
b/h
0,2
0,6 0,8
h/H
H
ình 3.4- Sự phụ thuộc
của chỉ số dãn rộng

b/

h
và lợng ép tỷ đối

h/h
0