SKKN giải pháp mới để ứng dụng hình chiếu của một điểm xuống mặt phẳng trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH



SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MƠN: TỐN

GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU
CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Giáo viên: Nguyễn Văn Lưu
Tổ: Tốn – Tin
Trường: THPT Gia Viễn A

Ninh Bình, tháng 05 năm 2014
0
MỤC LỤC


Nội dung

Vị trí của nội dung sáng kiến trong chương trình
Phần I: Giải pháp cũ thường làm trong việc giảng dạy các bài
tốn về góc và khoảng cách trong hình học khơng gian
I. Nội dung về góc và khoảng cách trong hình học khơng gian ở
các tài liệu giáo khoa hiện hành
II. Hạn chế của giải pháp cũ
Phần II: Những giải pháp mới để ứng dụng hình chiếu vng
góc của một điểm xuống mặt phẳng trong hình học khơng gian
I. Những giải pháp mới
II. Những giải pháp mới trong các nội dung cụ thể

1. Hình chiếu vng góc của một điểm xuống mặt phẳng
1.1. Khái niệm hình chiếu vng góc của một đ
phẳng
1.2. Cách dựng hình chiếu vng góc của một đ
mặt
phẳng.
1.3. Một số trường hợp đặc biệt tìm hình chiếu
một điểm xuống mặt phẳng
2. Ứng dụng hình chiếu vng góc của một điểm xuống mặt
phẳng trong các bài tốn về góc
2.1. Ứng dụng trong bài tốn về góc giữa đường
phẳng
2.2. Ứng dụng trịn bài tốn về góc giữa hai mặ
3. Ứng dụng hình chiếu vng góc của một điểm xuống mặt
phẳng trong các bài toán về khoảng cách
3.1. Khoảng cách giữa hai điểm hay độ dài đoạn
3.2. Khoảng cách giữa điểm và đường thẳng
3.3. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng
3.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nh
Phần III: Kết quả thực nghiệm và hiệu quả kinh tế của sáng
kiến
KẾT LUẬN

1


VỊ TRÍ CỦA NỘI DUNG SÁNG KIẾN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
Hình học khơng gian chiếm vai trị quan trọng trong chương trình Tốn
THPT. Nội dung về hình học khơng gian được trình bày trong tồn bộ chương
trình hình học 12 và hình học 11, trong đó hình học khơng gian thuần túy được

trình bày trong học kỳ I hình học 12 và tồn bộ chương trình hình học 11. Qua
nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song hình học khơng gian vẫn là nội dung
bắt buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, GDTX. Trong chương trình trước đây
cũng như trong những năm 2002 tới nay (khi thi theo đề chung), trong các đề thi
Đại học, Cao đẳng thì hình học học không gian là phần bắt buộc và không thể
thiếu. Trong đó, có hai phần là hình học khơng gian thuần túy và hình học giải
tích trong khơng gian. Mặc dù hình học giải tích trong khơng gian là phần ứng
dụng giải tích vào hình học khơng gian, tuy nhiên cách phân tích vấn đề cũng
như giải bài tập đều sử dụng hình học khơng gian thuần túy.
Với các đề thi Đại học, Cao đẳng gần đây; câu hình học khơng gian thuần
túy có hai phần, một phần tương đối dễ với học sinh, phần còn lại là câu phân
loại học sinh khá. Đa số học sinh hiểu đề và khơng khó khăn để giải phần đầu
tiên chủ yếu là tính thể tích khối đa diện. Tuy nhiên phần thứ hai liên quan đến
nhiều yếu tố hình học khơng gian như yếu tố về góc, về độ dài, về khoảng cách
giữa các yếu tố trong khơng gian. Do đó, chỉ một phần các em dự thi có thể làm
được và chủ yếu là các học sinh khá, giỏi môn Tốn. Hơn nữa, hình học khơng
gian thuần túy vốn là phần cần khả năng tưởng tượng, phân tích, phán đốn và tư
duy tốt nên học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong giải quyết các bài tốn
hình học khơng gian thuần túy.
Trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh các năm gần đây thì hình học khơng
gian ln là phần kiến thức trọng tâm và không thể thiếu. Đây cũng là câu hỏi
phân loại mức độ tư duy của các học sinh giỏi. Để làm được các bài toán đó,
khơng những cần nắm chắc các kiến thức cơ bản mà cịn có hệ thống liên kết chặt
chẽ các kiến thức trong hình học khơng gian.
Trong hình học khơng gian thuần túy, góc và khoảng cách giữa các yếu tố
trong khơng gian, các quan hệ vng góc là nội dung trọng tâm. Trong đó các
quan hệ vng góc sẽ xoay quanh quan hệ đường thẳng vng góc với mặt
phẳng. Nếu bài tốn chỉ dừng lại ở việc tìm hình chiếu vng góc của một điểm
xuống mặt phẳng, đa số học sinh có thể làm được do kiến thức đã được rèn luyện
và hệ thống khá rõ ràng. Tuy nhiên để áp dụng nó trong các bài tập khác thì đa số

học sinh cịn lúng túng do khơng hiểu vận dụng như thế nào. Nguyên

2


nhân chính là sự liên hệ các kiến thức trên của học sinh còn kém, sự tư duy tưởng
tượng và phán đốn cịn yếu.
Ngồi ra, việc trình bày các kiến thức cơ bản để giải các bài tập đó cịn
chưa đầy đủ, các kiến thức được trình bày đơn lẻ, cịn nằm rải rác và các bài tập
cịn ít ở SGK, SBT cũng như các sách tham khảo, hệ thống các bài tập còn dài
trải và học sinh thường lúng túng khi giải bài tập mà chỉ biết làm theo các bài tập
mẫu có sẵn.
Từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy ban KHTN, các lớp học
sinh trình độ khá và đều nhau, các lớp luyện thi đại học cũng như sự tìm tịi, tham
khảo và tổng hợp ở các tài liệu Tốn và trên internet, tơi lựa chọn đề tài:
“GIẢI PHÁP MỚI TRONG ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM
XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN” với mong muốn giúp đỡ các em học sinh nắm bắt được cách nhận dạng
cũng như cách giải dạng tốn này nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và
học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi.
Cấu trúc của sáng kiến gồm trang, ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần
nội dung của sáng kiến gồm 3 phần:
Phần I: GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM TRONG VIỆC GIẢNG DẠY CÁC
BÀI TỐN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG
GIAN.
Phần II: NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU VNG
GĨC CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHƠNG
GIAN.
Phần III: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ HIỆU QUẢ KINH TẾ CỦA SÁNG
KIẾN.

3


Phần I.
GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM TRONG VIỆC GIẢNG DẠY
CÁC BÀI TỐN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
I. Nội dung về góc và khoảng cách trong hình học không gian ở các tài liệu
giáo khoa hiện hành:
Trong các tài liệu giáo khoa hiện hành (Sách giáo khoa và Sách bài tập cơ
bản và nâng cao), kiến thức về góc và khoảng cách trong hình học khơng gian
được trình bày ở học kỳ II sách giáo khoa Hình học 11. Về tổng thể, tài liệu giáo
khoa đã trình bày các khái niệm cơ bản, các trường hợp đặc biệt cũng như hệ
thống các ví dụ và bài tập minh họa cho các kiến thức về góc và khoảng cách
trong hình học khơng gian. Tuy nhiên một số dạng tốn cịn chưa được đưa ra
(khoảng cách giữa hai điểm), một số dạng toán chỉ đưa ra cách giải chung nhất
mà thông thường không thể áp dụng ngay trong bài học (khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng…), một số dạng tốn cịn khơng có hoặc
rất ít các ví dụ minh họa cũng như bài tập rèn luyện (góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng…)
AI. Hạn chế của giải pháp cũ:
Ở phần trên đã trình bày một số nội dung cơ bản về góc và khoảng cách

trong hình học khơng gian ở các tài liệu giáo khoa hiện hành. Sau một thời gian
nghiên cứu các nội dung trên, cũng như đọc qua rất nhiều tài liệu tham khảo và
dự giờ nhiều giáo viên khác, tôi nhận thấy trong cách giảng dạy cũ còn một số
hạn chế như sau:
Hạn chế 1: Các bài tốn cũng như cách giải nêu ra cịn khá tổng quan,
chưa rõ ràng chi tiết theo từng bước cụ thể chi tiết nên làm học sinh khó tiếp thu.

Một số dạng tốn cịn chưa được nêu đầy đủ trong các tài liệu giáo khoa do lượng
thời gian có hạn trong chương trình. Tuy nhiên trong các đề thi vẫn xuất hiện
những dạng tốn đó làm cho học sinh lúng túng, không định hướng được cách
giải.
Hạn chế 2: Các bài toán cơ bản nêu trong các tài liệu giáo khoa đã nêu ra
một số cách giải tổng quát để học sinh áp dụng. Tuy nhiên thực tế giảng dạy cho
thấy chỉ một số ít học sinh có thể áp dụng được cách giải đó. Cịn đa số học sinh
cảm thấy lúng túng, có thể hiểu cách giải nhưng khơng biết áp dụng, bắt đầu từ
đâu và áp dụng thế nào để giải bài toán. Trong các tài liệu giáo khoa cũng đã nêu
ra một số ví dụ và bài tập để minh họa cho phương pháp và học sinh rèn

4


luyện. Tuy nhiên, thông thường học sinh chỉ biết áp dụng một cách máy móc để
giải các bài tập tương tự, khi gặp bài toán khác vẫn gặp những lúng túng như ban
đầu. Nguyên nhân là học sinh chưa hiểu để giải bài tốn đó, ta phải trải qua các
bước nào, ý nghĩa của từng bước trong bài toán, chưa hình thành được lối tư duy
để giải quyết các bài toán.
Hạn chế 3: Hệ thống bài tập trong các tài liệu giáo khoa cũng như trong
các tài liệu tham khảo thường viết theo các bài trong sách giáo khoa. Do đó nội
dung các bài tập cịn dàn trải, mang tính giới thiệu là chủ yếu. Số lượng câu hỏi
và bài tập cho từng nội dung cụ thể cịn khá ít, các câu hỏi và bài tập chuyên sâu
cho học sinh khá, giỏi, học sinh chuẩn bị thi vào đại học, cao đẳng trình bày chưa
hệ thống và chưa đủ về số lượng và chất lượng. Do đó học sinh chưa có tư duy hệ
thống về các dạng bài tập, kỹ năng giải cũng hạn chế.
Hạn chế 4: Hình học khơng gian là nội dung mà học sinh mới làm quen
trong chương trình phổ thơng. Do đó các em phải tiếp cận với rất nhiều các khái
niệm, định nghĩa, tính chất, định lý mới cũng như một hệ thống hoàn toàn mới
các dạng bài tập. Các kiến thức đó được trình bày trong từng bài học cụ thể. Theo

cách dạy thông thường, giáo viên chỉ cung cấp các kiến thức của từng bài cụ thể,
việc liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức trên cịn bị xem nhẹ. Từ đó dẫn đến học
sinh phải nhớ quá nhiều kiến thức mới, không có lối suy nghĩ mạch lạc kết nối
các kiến thức đã học để giải quyết các bài tốn. Do đó việc tiếp thu các kiến thức
về hình học khơng gian gặp rất nhiều khó khăn.
Hạn chế 5: Để dạy các kiến thức về góc và khoảng cách trong hình học
khơng gian, giáo viên thường nhấn mạnh và chọn quan hệ “đường thẳng vng
góc với mặt phẳng” làm nền tảng chủ đạo. Hầu hết mọi bài toán đều sử dụng
quan hệ đó. Tuy nhiên việc áp dụng quan hệ đó để giải bài tập của học sinh còn
lúng túng và gặp nhiều khó khăn. Nguyên nhân do để giải được bài tập phải qua
rất nhiều bước sử dụng quan hệ trên và bài làm không phải lúc nào cũng “tự
nhiên”.
Như vậy có thể thấy rằng nếu giáo viên chỉ giảng dạy theo các tài liệu giáo
khoa hiện hành thì làm cho học sinh khó tiếp thu các kiến thức về góc và khoảng
cách trong hình học khơng gian, dẫn đến tâm lý ngại học và nghĩ rằng chúng quá
khó và chỉ dành cho học sinh giỏi. Ngoài ra, kiến thức các em được học không đủ
để các em tham gia các kì thi học sinh giỏi hoặc thi tuyển sinh đại học, cao đẳng.
Và học sinh thường mất điểm ở câu hỏi này, một điểm mất rất đáng tiếc. Do đó
những yêu cầu của giải pháp mới cần phải đạt được và chi tiết hóa trong các nội
dung của sáng kiến sẽ được trình bày trong phần tiếp theo.

5


Phần II.
NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU
VNG GĨC CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG
TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
I. Những giải pháp mới:
Để khắc phục những hạn chế của giải pháp cũ, giúp học sinh và các thầy

cô giáo có cách tiếp cận tốt hơn với các ứng dụng của hình chiếu vng góc của
một điểm xuống mặt phẳng trong hình học khơng gian, tơi đưa ra các giải pháp
sau:
Giải pháp 1: Đưa ra các nguyên tắc cơ bản và một số trường hợp thường
gặp để dựng hình chiếu vng góc của một điểm xuống mặt phẳng. Từ đó chuyển
nội dung trọng tâm từ “đường thẳng vng góc vơi mặt phẳng” sang nội dung
trọng tâm “hình chiếu vng góc của một điểm xuống mặt phẳng”. Với nội
dung này, học sinh dễ nhớ và áp dụng hơn.
Giải pháp 2: Hệ thống hóa thành một số dạng bài tập cơ bản về góc và
khoảng cách trong hình học khơng gian, hồn thiện và bổ sung các dạng tốn
thường gặp trong các đề thi Đại học Cao đẳng mà trong các tài liệu giáo khoa
chưa trình bày. Với mỗi dạng bài tập đều đưa ra phương pháp giải ứng dụng hình
chiếu vng góc của một điểm xuống mặt phẳng với các bước áp dụng cụ thể.
Qua đó học sinh có kiến thức tổng hợp, hệ thống và tư duy mạch lạc để giải các
bài toán.
Giải pháp 3: Bổ sung các câu hỏi bài tập bằng một hệ thống các bài tập
trong các đề thi Đại học Cao đẳng chính thức của BGD và các đề thi thử Đại học
ở các trường THPT để học sinh bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ năng. Qua đó
dần làm quen với các dạng đề thi, từ đó học sinh tự tin và đạt kết quả cao hơn
trong các kỳ thi.
Giải pháp 4: Mỗi dạng đều phải có các ví dụ đặc trưng minh họa cho
phương pháp, đồng thời phải có hệ thống các ví dụ khác để minh họa nhiều
trường hợp thường gặp khi giải quyết dạng tốn đó. Cuối mỗi dạng tốn là các
bài tập áp dụng đa dạng và có nhiều câu hỏi khó, hay phục vụ nâng cao kiến thức
cho học sinh giỏi.
Chương tiếp theo sẽ là nội dung chính của sáng kiến, khắc phục được các
hạn chế của phương pháp cũ cũng như giải quyết trọn vẹn được các yêu cầu đặt
ra ở trên trong các nội dung kiến thức cụ thể.

6

II. Những giải pháp mới trong các nội dung cụ thể:
1. Hình chiếu vng góc của một điểm xuống mặt phẳng.
Để ứng dụng hình chiếu vng góc của một điểm xuống mặt phẳng, trước hết
ta tìm hiểu khái niệm cũng như cách dựng hình chiếu vng góc của một điểm
xuống mặt phẳng. Qua đó học sinh có thể hiểu cách tư duy mạch lạc theo trình tự
cụ thể để giải quyết bài tốn. Ngồi ra, để học sinh có thể thuần thục hơn trong
làm bài, ta đưa ra một số trường hợp thường gặp trong bài tốn dựng hình chiếu
vng góc của một điểm xuống mặt phẳng.
1.1. Khái niệm hình chiếu vng góc của một điểm xuống mặt phẳng.
Trong khơng gian, cho điểm A và mặt phẳng (α). Hình chiếu vng góc
của A xuống mặt phẳng (α) là điểm H nằm trên mặt phẳng (α) sao cho AH
(α).
Do đó, nếu điểm A nằm trên (α) thì hình chiếu của A trên (α) là chính nó.
Vì vậy trong tồn bộ nội dung về sau, ta ln quy định A . Ngồi ra, hình chiếu
vng góc của điểm A trên mặt phẳng (α) ln tồn tại duy nhất.
A

M
α

H

Hình chiếu vng góc của một điểm có tính chất hình học rất thú vị. Nếu
M là điểm bất kỳ trên (α) thì AM ≥ AH hay H là điểm thỏa mãn khoảng cách từ A
đến một điểm bất kỳ trên (α) là nhỏ nhất.
1.2. Cách dựng hình chiếu vng góc của một điểm xuống mặt phẳng.
Để dựng hình chiếu vng góc H của điểm A trên mặt phẳng (α), ta thường
dựng đường thẳng ∆ đi qua A, vng góc với mặt phẳng (α). Khi đó, H chính là

giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α).
Tuy nhiên, việc dựng đường thẳng ∆ thông thường là khó khăn. Do đó, việc
xác định điểm H là hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng (α) thông
thường được xác định thông qua các bước sau:
Bước 1: Qua điểm A, dựng mặt phẳng (β) vuông góc với mặt phẳng (α).
Bước 2: Xác định d là giao tuyến của mặt phẳng (α) và (β).

7


Bước 3: Trong mặt phẳng (β), từ A kẻ đường thẳng ∆ vng góc với d tại H.
Khi đó H là điểm cần dựng.
β
∆
A

d

H
α

1.3. Một số trường hợp đặc biệt tìm hình chiếu vng góc của một điểm xuống
mặt phẳng.
Trong phần trên, ta đã có các bước cơ bản để dựng hình chiếu vng góc của
một điểm xuống mặt phẳng. Tuy nhiên, việc dựng mặt phẳng (β) là không hề đơn
giản trong một số trường hợp cụ thể. Do đó, để việc dựng hình chiếu vng góc
của điểm A xuống mặt phẳng (α) đơn giản và cụ thể hơn, ta tìm hiểu một số
trường hợp đặc biệt và thường gặp sau:
Dạng I: Tồn tại hai mặt phẳng (β) và (γ) qua A cùng vng góc với mặt phẳng
(α).

Khi đó giao tuyến ∆ của (β) và (γ) qua A và ∆ (α). Hình chiếu vng góc H
của A xuống (α) là giao điểm của ∆ và (α).
γ

β

∆

H
α

Dạng II: Tồn tại đường thẳng a

(α) (A không thuộc đường thẳng a).

Dựng mặt phẳng (β) chứa A và a. Tìm giao tuyến d của mặt phẳng (α) và (β).
Trong mặt phẳng (β), từ A kẻ đường thẳng ∆ vng góc với d và cắt d tại H. Khi
đó H là điểm cần dựng.
8


β
∆

a

A

d

α

H
Dạng III: Tồn tại mặt
phẳng (β) qua A và vng
góc với mặt phẳng (α).
Tìm giao tuyến d của (α)
và (β). Trong mặt phẳng (β),
qua A dựng đường thẳng ∆
vng góc với d và cắt d tại
H. Khi đó H là điểm cần
dựng.
β

∆
A

d
α

H

Dạng IV: Tồn tại điểm M
và đường thẳng d (M d) nằm
trong mặt phẳng (α) sao cho
AM d.
Trong mặt phẳng (α), từ
M kẻ đường thẳng d’ d. Từ A
dựng đường thẳng AH
vng góc với d’ tại H. Khi

đó H là điểm cần dựng.

A


M
d'
H
α

d
Dạng V: Tồn tại các điểm M, N, P
phân biệt nằm trên mặt phẳng (α) sao
cho AM = AN = AP (hay AM, AN, AP
tạo với mặt phẳng (α) các góc bằng
nhau).

9


Hình chiếu vng góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) là tâm đường tròn
ngoại tiếp của ∆MNP.
Dạng VI: Tồn tại hai điểm M, N phân biệt nằm trên mặt phẳng (α) sao cho
AM = AN (hay AM, AN tạo với mặt phẳng (α) các góc bằng nhau).
A

M

α

Gọi I là trung điểm của MN. Trong mặt phẳng (α), kẻ đường thẳng d qua I,
vng góc với MN. Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên d. Khi đó H là
điểm cần dựng.
Dạng VII: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt sao cho AM, AN, AP đơi một
vng góc với nhau tại A.
Hình chiếu vng góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) là trực tâm ∆MNP.
Hoặc ta gọi I là hình chiếu của M trên đường thẳng NP, H là hình chiếu của A
trên MI. Khi đó H là điểm cần dựng.
A

M

P
H
I

N

α

Dạng VIII: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt sao cho các mặt bên (AMN),
(ANP), (AMP) tạo với mặt phẳng đáy (α) (hay chính là mặt phẳng (MNP)) các
góc bằng nhau.
Hình chiếu vng góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) là tâm đường tròn
nội tiếp của ∆MNP.

10


Dạng IX: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt sao cho các mặt bên (AMN),

(ANP) tạo với mặt phẳng đáy (α) (hay chính là mặt phẳng (MNP)) các góc bằng
nhau.
Hình chiếu vng góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) nằm trên đường
phân giác trong của góc MNP .
2. Ứng dụng hình chiếu vng góc của một điểm xuống mặt phẳng trong các bài
tốn về góc.
2.1. Ứng dụng trong bài tốn về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Trong không gian, cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Trường hợp d song
0

song hoặc nằm trong (α) thì góc giữa d và (α) là 0 . Do đó, ta chỉ xét trường hợp
đường thẳng d và mặt phẳng (α) cắt nhau. Khi đó, góc giữa đường thẳng d và mặt
phẳng (α) được xác định thông qua các bước sau:
Bước 1: Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (α).
Bước 2: Trên đường thẳng d, chọn một điểm A khác M sao cho dễ dàng dựng
hình chiếu vng góc H của A xuống mặt phẳng (α).
Bước 3: Chứng minh góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là

AMH .

Việc tính góc đó cũng rất đơn giản do đó là một góc nhọn trong ∆AMH vuông
tại H. Điều quan trọng là việc chọn điểm A thích hợp. Để làm rõ hơn, ta xét một
số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC). Biết
rằng ∆ABC đều cạnh a.
0

a/ Tính SA biết rằng góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) là 60 .
b/ Xác định và tính góc giữa SM và mặt phẳng (ABC), với M là trung điểm
của cạnh BC.

c/ Xác định và tính góc giữa AC và mặt phẳng (SBC).
d/ Xác định và tính góc giữa BC, SC và mặt phẳng (SAB).
Giải:
a/ Do SB cắt mặt phẳng (ABC) tại B. Do SA

(ABC) nên góc giữa SB và

b/ Tương tự như trên, góc giữa SM và mặt phẳng (ABC) là góc
∆SMA vng tại A, AM

SMA. Xét


11


S

H

A

C

N

M
B

c/ AC cắt mặt phẳng (SBC) tại C. Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên

SM. Khi đó H là hình chiếu vng góc của A trên (SBC). Do đó góc giữa AC và
(SBC) là ACH . Xét ∆ACH vng tại H. Ta có AC = a,
AH
d/ BC cắt mặt phẳng (SAB) tại B. Gọi N là trung điểm của cạnh AB. Khi đó
CN AB nên N là hình chiếu vng góc của C trên mặt phẳng (SAB). Do đó góc
giữa BC và mặt phẳng (SAB) là CBN 600 .
SC cắt mặt phẳng (SAB) tại S. Hình chiếu vng góc của C xuống mặt phẳng
(SAB) là N nên góc giữa SC và (SAB) là CSN .

Ta có CN
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vng tâm O. Biết rằng
0

SA = 2a và góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là 45 .
a/ Tính độ dài cạnh AB.
b/ Gọi M là điểm trên cạnh CD sao cho CM = 3MD. Xác định và tính góc giữa
SM và mặt phẳng (ABCD).
c/ Gọi N là trung điểm cạnh SD. Xác định và tính góc giữa AN và mặt phẳng
(ABCD).
d/ Xác định và tính góc giữa AC và mặt phẳng (SAB).
Giải:


12


a/ Do S.ABCD là hình chóp đều nên O là hình chiếu vng góc của S xuống
(ABCD). Do đó góc giữa SA và (ABCD) là SAO 450 . Do SA = 2a nên

SO OA a 2

AC

2 2a

AB 2a .

b/ Do O là hình chiếu vng góc của S trên (ABCD) nên góc giữa SM và
(ABCD) là SMO.
Xét

SO a
tan SMO

2,OM

SO

2 10

OM

5

.

S

H
B

E
O
A

c/ Gọi P là trung điểm của cạnh OD. Khi đó NP // SO hay P là hình chiếu
vng góc của N trên (ABCD). Do đó góc giữa AN và (ABCD) là NAP . Xét
∆APN

NP

SO

2
d/ Góc giữa AC và (SAB) là góc giữa OA và (SAB). Gọi E là trung điểm của
AB, khi đó OE AB. Gọi H là hình chiếu vng góc của O trên SE. Khi đó H là
hình chiếu vng góc của O trên (SAB). Do đó góc giữa AC và (SAB) là
OAH .


OA a

2,OH

13


Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a tâm O. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt
0

phẳng (ABCD) là 60 . Xác định và tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Giải:
Do S.ABCD là hình chóp đều nên hình chiếu vng góc của S trên (ABCD) là
O. Gọi H là trung điểm của OA. Khi đó MH // SO nên H là hình chiếu vng góc
của M trên (ABCD). Do MN cắt (ABCD) tại N nên góc giữa MN và
(ABCD) là MNH 600 . Ta có CN
2
Xét ∆MHN vng tại H ta có MH NH . tan 600
S

M
B

A

Dễ thấy rằng AC (SBD). Gọi Q là trung điểm của OB, P là trung điểm của SO.
Khi đó NQ // MP // AC nên P, Q lần lượt là hình chiếu vng góc của M, N trên
(SBD). Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Khi đó I là giao của MN và (SBD). Do
đó góc giữa MN và (SBD) là MIP. Dễ thấy MPNQ là hình bình
hành

MP

OA
2

Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BA = a.
∆SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABC). Gọi M, N là

14


trung điểm của SA, BC. Tính độ dài cạnh SB biết góc giữa MN và (ABC) bằng
0

60 .
Bài 2: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa AB’ và mặt phẳng
0

(ABC) là 60 . Gọi M là trung điểm đoạn thẳng B’C’.
a/ Tính cơsin góc giữa đường thẳng AI và mặt phẳng (A’B’C’), với I là giao
điểm của BC’ và B’C.
b/ Tính góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng (A’BC).
c/ Tính cơsin góc giữa AN và (BCC’B’), với N là điểm trên cạnh BB’ sao cho
BN = 2NB’.
d/ Gọi P là trung điểm đoạn thẳng AA’. Tính góc giữa đường thẳng A’I và mặt
phẳng (MB’C’).
Bài

a 10

3:

Cho

hình

lăng

trụ

ABC.A’B’C’

có

, AC a

2, BC a , ACB 1350 . Hình chiếu vng góc của C’ lên 4
mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của cạnh AB. Tính góc tạo bởi đường
thẳng C’M và mặt phẳng (ACC’A’).
AA '

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 , ∆SAC
có SA a , SC a 3 và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính cơsin góc giữa
đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC).
Bài 5: Cho ∆ABC vng tại A có cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng (α); cạnh
0

AC a 2 và tạo với mặt phẳng (α) một góc 60 . Chứng minh rằng đường thẳng

BC tạo với mặt phẳng (α) góc 450.
2.2. Ứng dụng trong bài tốn về góc giữa hai mặt phẳng.
Trong chương trình sách giáo khoa đã đưa ra hai phương pháp xác định góc
giữa hai mặt phẳng (α) và (β). Cách thứ nhất là xác định hai đường thẳng d và d’
lần lượt vng góc với hai mặt phẳng; khi đó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa
d và d’. Cách thứ hai là xác định mặt phẳng (P) vng góc với giao tuyến ∆ của
hai mặt phẳng, xác định giao tuyến a và b của (P) lần lượt với (α) và (β); khi đó
góc giữa a và b là góc giữa hai mặt phẳng.

Tuy nhiên, trên thực tế học sinh rất lúng túng trong việc xác định góc giữa hai
mặt phẳng. Do với cách thứ nhất, việc xác định các đường thẳng vng góc với
các mặt phẳng đã khó, việc xác định góc giữa hai đường thẳng bất kỳ đó cũng
khơng phải đơn giản. Với cách thứ hai, việc xác định mặt phẳng (P) vng góc
với giao tuyến là khá trừu tượng.

15


Do đó, để học sinh có cách nhìn rõ ràng hơn, qua đó có thể giải quyết được
bài tốn về góc giữa hai mặt phẳng, ta xét hai cách tường minh hơn như sau:
Cách 1: Chọn trong không gian một điểm M sao cho từ M có thể dựng được
A và B lần lượt là hình chiếu vng góc của M xuống (α) và (β). Khi đó góc
giữa (α) và (β) là AMB (nếu là góc nhọn) hoặc 180
Cách 2: Trên mặt phẳng (α) chọn điểm A sao cho dựng được H là hình chiếu
vng góc của A xuống mặt phẳng (β). Xác định giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng.
Từ A kẻ AI vng góc với ∆ (I ∆). Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là
.

AIH
Mặc dù hai cách trên đây chỉ là các trường hợp đặc biệt tuy nhiên đó lại là các
trường hợp thơng dụng và hay gặp phải trong các đề thi. Để là rõ hơn, ta xét các
ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng
vng góc với mặt phẳng (ABC). Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (SBC) và
(ABC) biết:
a/ ∆ABC đều cạnh a và SA = a.
b/ ∆ABC vuông tại B, biết rằng SA = BC = a, AC = 2a.
c/ ∆ABC cân tại C, biết rằng AC = 2a,
Giải:

ACB 1200 , SA = a.

S

N
A

C
M
B

Do (SAB) và (SAC) cùng vng góc với (ABC) nên giao tuyến của hai mặt
phẳng là SA (ABCD) hay hình chiếu vng góc của S xuống (ABCD) là A. Giao
tuyến của (SBC) và (ABC) là đường thẳng BC. Do đó để dựng góc giữa (SBC)
và (ABC), ta chỉ cần tìm hình chiếu của A xuống đường thẳng giao tuyến BC.

16


a/ Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM

BC. Do đó góc giữa (SBC) và

(ABC)
SA a; AM
b/ Do AB BC nên góc giữa (SBC) và (ABC) là SBA 450 (do ∆SAB vuông cân
tại A).
c/ Do ∆ABC cân tại C, ACB 1200 nên hình chiếu của A xuống BC là điểm N
nằm ngồi đoạn thẳng BC về phía C (như hình vẽ). Do đó góc giữa

(SBC) và

SA a ; AN
Chú ý: Ngồi cách giải trên, các bạn có thể tìm hiểu việc giải bài tốn theo
cách 1.
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = 2a. Gọi M là trung điểm của
BC.
0

a/ Tính độ dài SA, biết rằng góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là 45 .
b/ Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (ABCD) và (SAM).
c/ Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD).
S

Giải:

E

A
H
G
B

a/ Do (SBC) và (ABCD) cắt nhau theo giao tuyến BC, hình chiếu vng
góc của S xuống (ABCD) là tâm O của hình vng ABCD, OM BC nên góc


17

giữa (SBC) và (ABCD) là

OM a

SMO 450 . Xét ∆SMO vng tại O,

SO OM .tan 450 a . Do đó SA

SO 2

OA2

a 3.

b/ Tương tự ý a, (SAM) cắt (ABCD) theo giao tuyến AM, O là hình chiếu
của S xuống (ABCD). Gọi H là hình chiếu của O xuống AM. Khi đó góc giữa
(SAM) và (ABCD) là SHO . Gọi G là giao của OB và AM, khi đó G là trọng
tâm ∆ABC nên OG
a

OG

3
c/ Mặt phẳng (SBC) và (SCD có giao tuyến là đường thẳng SC. Rõ ràng
việc dựng hình chiếu vng góc của điểm B xuống mặt phẳng (SCD) là tương
đối khó (chân đường vng góc sẽ nằm ngồi ∆SCD), và việc dựng tiếp theo
cách 2 là khó khăn trong cách dựng cũng như tính tốn. Do đó, ở đây là sử dụng
cách 1, và điểm thuận lợi cho cả hai mặt phẳng là điểm O.
Gọi N là trung điểm của cạnh CD. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của điểm
O xuống SM và SN. Do ABCD là hình vng, SO (ABCD) chứa BC và CD nên

P, Q chính là hình chiếu vng góc của điểm O xuống mặt phẳng (SBC) và
(SCD). Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa hai đường
thẳng OM và ON.
Xét ∆OMN cân tại O (do tính cân xứng của hình chóp đều),

MN

BD

a

2 . Do ∆SOM có SO = OM = a, SO OM nên P là trung điểm 2

của đoạn thẳng SM.
2
PQ

MN

a

, OM ON

Khi đó OP

a

MON

600 . Vậy góc giữa hai mặt phẳng

2
2
2
0
(SBC) và (SCD) là 60 .
Chú ý: Qua ví dụ 2, ta thấy việc áp dụng cách 1 hay cách 2 phụ thuộc vào
vị trí của hai mặt phẳng và cách nhìn vị trí điểm thuận lợi với mặt phẳng. Tuy
nhiên, ở một số trường hợp cụ thể với các vị trí của hai mặt phẳng đặc biệt, ta có
thể dựng góc giữa hai mặt phẳng theo một cách khác. Ví dụ câu 2c, ta có thể lợi
dụng tính chất SC BD, do đó gọi I là hình chiếu của B trên SC thì I là hình chiếu
của D trên SC. Từ đó ta có thể thấy việc xác định cũng như tính góc đơn giản hơn
nhiều so với cách làm trên. Hơn nữa với cách trên, ta phải có vị trí của P và Q đặc
biệt thì việc tính góc thực hiện đơn giản, cịn nếu có vị trí tùy ý thì cách vừa trình
bày ở trên ta sẽ thấy tính hiệu quả hơn hẳn. Do đó, ta khơng nên

2

OH