Đề thi chọn đội tuyển HSG QG trường PTNK ĐHQG TP hồ chí minh năm học 2013 2014

"Những nhà toán học chúng tôi tất cả đều hơi điên rồ."

Bạn đang ở: Trang chủ Toán Olympic Đề thi, Kiểm tra Đề thi chọn đội tuyển HSG QG trường PTNK ĐHQG TP Hồ Chí
Minh năm học 2013-2014
Chuyên mục: Đề thi, Kiểm tra Olympic
Đề thi chọn đội tuyển HSG QG trường PTNK ĐHQG TP Hồ Chí Minh
năm học 2013-2014
Ban Biên Tập
Thứ hai, 30 Tháng 9 2013 07:08
Ngày 1: Ngày 24 tháng 9 năm 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
Bài 1.Tìm tất cả các hàm số thoả mãn
Bài 2. Cho dãy thoả mãn . Tìm tất cả các số nguyên
tố là ước của và .
Bài 3.Trong một hội nghị khoa học có đại biểu tham dự, mỗi một đại biểu biết ít nhất một thứ tiếng. Một
uỷ ban gồm một số đại biểu được gọi là uỷ ban làm việc nếu tất cả thành viên trong uỷ ban đều biết chung một
thứ tiếng và được gọi là uỷ ban thách thức nếu không có hai thành viên nào của uỷ ban biết chung một thứ
tiếng (uỷ ban có thể gồm thành viên; uỷ ban này gọi là làm việc cũng được, thách thức cũng được). Chứng
minh rằng có thể chia các đại biểu thành đúng uỷ ban rời nhau (mỗi đại biểu thuộc đúng một uỷ ban) sao
cho các uỷ ban này hoặc là uỷ ban làm việc hoặc là uỷ ban thách thức.
Bài 4. Tam giác có cố định còn di động sao cho và . Đường thẳng
đối xứng với qua cắt tại . Trên đoạn lấy sao cho . Gọi là giao điểm
của với phân giác ngoài góc . Chứng minh luôn đi qua một điểm cố định.

Ngày thi thứ hai: 26/9/2013
Thời gian làm bài 180 phút, k hông kể thời gian phát đề

Bài 5. Cho số thực thỏa mãn điều kiện và .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Bài 6. Cho dãy số xác định bởi: , .

Tìm .

Bài 7. Cho là số nguyên dương và A là tập con khác rỗng của .
Tính giá trị của tổng , trong đó lấy trên tất cả các tập con của (kể cả tập rỗng).
Cho , xét tập con khác rỗng của là và m số nguyên khác là
sao cho . Chứng minh rằng tồn tại tập con của sao cho
.
(Ký hiệu chỉ số phần tử của tập hợp , số phần tử của tập rỗng là 0).

Bài 8. Tam giác nhọn có trực tâm và là điểm di động bên trong tam giác sao cho
. Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại , đường thẳng qua vuông góc
với cắt tại . Chứng minh trung điểm của luôn thuộc một đường thằng cố định.

Hết
Chuyên mục
Tin tức và Sự kiện
Toán học và đời sống
Lịch sử Toán học
Toán học lý thú
Phương pháp học Toán
Dành cho giáo viên
Nghiên cứu
Trung học Cơ sở
Trung học Phổ thông
Thi Đại học
Toán Olympic
Toán cao cấp
Sách báo, Tài liệu
Nhịp sống diễn đàn
Trang nhất Diễn đàn Tin tức Giới thiệu Cộng tác viên Trợ giúp