TUYEN TAP DE THI OLYMPIC TOAN

Bài 1: Gọi I là tâm vòng tròn nội tiếp tứ giác lồi
ABCD
. Chứng minh rằng
2
2 2
( ) ( ) ( )AI DI BI CI AB CD++ + = +
Bài 2: Nếu a,b,c > 0 và abc = 1 thì (a+b)(b+c)(c+a)
6
)
2
(
a b c+ +
≤
Bài 3: Cho n > 3 và các số thực
1 2
, ,
n
x xx
thỏa mãn
1
1
n
i
i
x
=
=
∏
. Chúng minh rằng:

1 1 2 2 2 3 1

1 1 1
1
1 1 1
n n
x x x x x x x x x
+ + >
+ + + + + +
Bài 4: Cho X={1,2,….200}. Gọi s là số các tập con của X thỏa mãn đồng thời các điều
kiện sau:
i)
A ≠ ∅
và a chia hết cho 5 với mọi a thuộc A
ii) Tồn tại a
1
thuộc A sao cho a chia hết cho a
1
với mọi a thuộc A.
Hãy tìm số dư của s khi chia s cho 5
Bài 5 : Cho dãy số } được xác định như sau: :
với mọi
CMR:
Bài 6 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Các dường phân giác trong của các
góc cắt lại đường tròn tại tương ứng .Gọi theo thứ tự
là giao điểm của với BC và là trung điểm của . Định nghĩa tương
tự với các điểm .Cmr: đồng quy ABC đều
Bài 7: Cho các số thực x,y,z 0 thỏa mãn x+y+z =2 CMR:
2 với t [2,3].
Bài 8 : Cho
CMR .( hằng số max với vp= )
Bài 9 : CMR tồn tại vô hạn hợp số sao cho

Bài 10: Tìm hàm
i. /
ii./
Bài 11 : Cho . điểm ngoài . xét các đtròn trực giao với mà qua . cắt
tại .
a./ Biết , tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn
b./ lần lượt cắt tại tìm quỹ tích tâm ngoại tam giác .
Bài 12 :a) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thoả mãn điều kiện
với mọi thuộc
b) Với là một đa thức bậc bất kỳ cho trước, hỏi có nhiều nhất bao nhiêu đa thức
với hệ số thực thoả mãn điều kiện ?
Bài 13 : Cho dãy được xác định bởi:
a,Chứng minh rằng nếu thì dãy không hội tụ.
b,Chứng minh rằng tồn tại vô số số thuộc sao cho dãy hội tụ.
Bài 14 : Trong một giải cờ vua có kỳ thủ thi đấu vòng tròn lượt. Mỗi một cặp kỳ thủ
thi đấu với nhau lần ở lượt đi và một lần ở lượt về (thắng được điểm, thua điểm và
hoà được nửa điểm). Cuối giải đấu người ta thấy rằng, đối với mỗi kỳ thủ tổng số điểm ở
lượt đi và tổng số điểm ở lượt về của kỳ thủ đó chênh lệch nhau không ít hơn .
Chứng minh rằng tất cả các chênh lệch này bằng
Bài 15 : Cho tam giác . Xét nửa đường tròn tâm đường kính (với thuộc
) tiếp xúc với lần lượt tại và . Nối và cắt nhau tại nối cắt
tại
a,Chứng minh rằng là phân giác góc
b, Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy tại điểm.
Bài 16 :
Giải hệ phương trình:
Bài 17 : a) Cho đa thức với hệ số thực.
Chứng minh rằng nếu thì
b.Tìm tất cả các giá trị của để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm
phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó vuông góc với nhau.

Bài 18 : a. Cho thỏa .
Chứng minh rằng:
b.Cho tứ diện . Chứng minh rằng trong số bằng tổng
của số còn lại .Trong đó ,
Bài 19 : Cho dãy số thực: .
Tính
Bài 20 :Cho tam giác và điểm thuộc cạnh
lần lượt thuộc các cạnh sao cho là hình vuông.
Nhận dạng tam giác biết:
Bài 21 : Giả sử rằng là các số thực dương ,chứng minh rằng :
Bài 22 : Giả sử tập hợp tất cả các số tự nhiên khác 0 là hợp của 2 tập không giao nhau :
F={f(1), f(n)} , f(1) < < f(n)
G={g(1), g(n)} , g(1) < <g(n)
và g(n) = f(f(n)) +1 với mọi n 1
Tính f(240)
Bài 23 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . Các đường thẳng AB,CD cắt nhau
tại E và các đường thẳng AD,BC cắt nhau tại F . Hai đường chéo AC.BD cắt nhau tại
M .Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC,BD,EF.CMR:
. < ( + )
Bài 24 : a. Giải phương trình:
b. Chứng minh phương trình: có đúng nghiệm và nghiệm đó nhận giá trị
dương.
Bài 25 : a. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
b. Cho các số thực thỏa mãn:
Chứng minh:
Bài 26 : Giải hệ phương trình:
Bài 27 : a. Trong mặt phẳng tọa độ Đề Các vuông góc cho tam giác nội tiếp
đường tròn . Biết có phương trình: và diện
tích tam giác bằng .
Tìm tọa độ các đỉnh .

b. Trong mặt phẳng tọa độ Đề Các vuông góc cho điểm . Điểm di
động trong mặt phẳng sao cho tam giác thỏa mãn: độ dài đường cao kẻ từ đỉnh
tới bằng lần bán kính đường tròn tâm nội tiếp tam giác . Chứng minh khi
thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 28 : Cho tam giác nhọn. và là đường cao ( và .
Đường tròn cắt tại . Đường tròn cắt tại . Chứng minh
Bài 29 : Chứng minh rằng với số nguyên lẻ bất kỳ bao giờ cũng tồn tại một số
nguyên lẻ thứ tư sao cho tổng là một số chính phương.
Bài 30 : Chứng minh rằng nếu là các số thực thoả thì
Bài 31 : Cho thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
Bài 32 : Cho với . Chứng minh:
Bài 33: Tìm các giá trị có thể của với mọi số thực .
Bài 34: Với mọi số nguyên dương , đặt . Chứng minh:

Bài 35 : Giải hệ phương trình:
Bài 36 : Cho thực thỏa mãn : =0
Chứng minh phương trình có nghiệm thuộc
Bài 37 : Cho , thuộc miền trong góc sao cho các góc và
là bằng nhau. Vẽ các đường tròn . cắt tại . cắt
tại và cắt tại . là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .Chứng minh
tam giác vuông.
Bài 38 : Cho dãy thỏa mãn và
Tính
Bài 39 : Cho hàm số thỏa mãn điều kiện:
Cmr:
Bài 40: X ét dãy
CMR có lim
Bài 41 :CMR
Bài 42 : Giải pt nghiem nguyen

Bài 43 : CMR ko tồn tại liên tục trên R mà
Bài 44 : Tìm sao cho
Bài 45 : nôi tiếp. và fân giác trong của 2 góc đồng quy trên đoạn .
CMR
Bài 46 : Giải hệ phương trình:
Bài 47 : Cho . Chứng minh nếu tập hợp với là
hữu hạn thì và là các số hữu tỷ.
Bài 48: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:
Bài 49 : Cho tam giác và là điểm tùy ý thuộc miền trong của tam giác .
CMR:
Bài 50 : Cho dãy số thực thỏa mãn:
i.
ii.
iii.
CMR: số nguyên dương sao cho
Bài 51 : Ghpt: + =
Bài 52 : Cho hàm f: N* ->N*: thoả
, m,n N*
Tìm f(2007)
Bài 53 : Cho dãy xác định bởi:
,n N*
C/m dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó
Bài 54 : Cho x,y,z (0;1) thỏa xy+yz+zx=1
tìm GTNN của : A=
Bài 55 : Cho ABC và 4 đường tròn (O1)(O2)(O3)(O4) thỏa mãn:(O1) tiếp xúc các tia
AB,AC;(O2) tiếp xúc các tia BC,BA;(O3) tiếp xúc các tia CA,CB;(O4) tiếp xúc ngoài với
(O1)(O2)(O3) lần lượt tại X,Y,Z.
C/m: AX,BY,CZ đồng quy
Bài 56 : Gsử có đồng nhất thức:
các hệ số vế phải và a,b là các sô nguyên

Cho .Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 57 : Từ miếng bìa hình vuông có cạnh bằng có thể cắt thành hình tròn có bán kính
bẳng thì tỉ số min bẳng bao nhiêu?
Bài 58 : Cho a,b,c khác o và các số này có tổng đôi một khác 0
CMR:
Bài 59 :Cho . Chứng minh rằng:
Bài 60 : Giải pt:
Bài 61 : Giải hệ:
Bài 62 : Cho tam giác nhọn nội tiếp với .
Chứng minh rằng :
Bài 63 : Tam giác nội tiếp . Đường cao = .
là hình chiếu của lên và .
a) CMR :
b) CMR : thẳng hàng.
Bài 64 : Cho hàm số . Tìm số nguyên dương bé nhất sao cho
với mỗi số nguyên .
Bài 65 : Giả sử là các số nguyên dương. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Bài 66 : Cho đường tròn . Trên lấy điểm phân biệt. Gọi và lần
lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác . Gọi là trung điểm của . Chứng
minh rằng giá trị biểu thức không phụ thuộc vào vị trí các điểm
trên .
Bài 67 : Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn:
Bài 68 : Tìm mọi hàm liên tục thỏa mãn:
Bài 69 : Cho đường tròn và tứ giác ngoại tiếp đường tròn.
Qua lần lượt kẻ vuông góc với cắt tại ,
cắt tại , cắt tại , cắt tại .
CMR: và cùng đi qua .
Bài 70 : Hãy tìm số lớn nhất là tích của các số nguyên dương sao cho tổng các số nguyên
dương đó bằng
Bài 71 : Xét hai đa thức và có các hệ số

thực.Biết rằng,tồn tại khoảng với sao cho với mọi
và với mọi .Chứng minh rằng bất phương
trình có ít nhất 1 nghiệm thực.
Bài 72 : Cho là độ dài 3 cạnh 1 tam giác.Đặt
CMR:
Bài 73 : Cho hai đường tròn không bằng nhau và tiếp xúc nhau tại .Các điểm
tương ứng chạy trên sao cho .Đường tròn nằm trong
tam giác ,tiếp xúc ngoài với 2 đường tròn và tiếp xúc với tại
. CMR: chạy trên 1 đường tròn cố định.
Bài 74 : Cho dãy số nguyên dương xác định bởi
a) Xác định công thức tường minh cho phép tính theo
b) Giả sử là số nguyên tố sao cho tồn tại số nguyên thỏa mãn Chứng
minh rằng với mọi n nguyên dương,ta có
c) Xét nguyên dương tùy ý.Giả sử là ước nguyên tố của ,nhưng không là ước của
. CMR:
Bài 75 : Với mỗi nguyên dương ta kí hiệu { }.Xét các tập
. Gọi tương ứng là số phần tử của
a)Tính theo và
b)Tính
Bài 76 : Cho tam giác ABC có . Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm
và tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại và .Các đường thẳng lần lượt
cắt đường thẳng tại và . CMR:
Bài 77 : Giải hệ phương trình sau
Bài 78 : Cho hình thang vuông ABCD(A=B= ).Dựng điểm M nằm trong hình vuông
thỏa mãn DM=DA và CM=CB.Đường trung trực AM và đường trung trực BM cắt nhau
tại P. Đường thẳng PM cắt đường tròn ngoại tiếp tại Q.Chứng minh rằng
MP=MQ
Bài 79 : Cho là các số thực. Tìm tất cả các hàm số sao cho
Bài 80 :
Tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức sau

Bài 81 : a. Chứng minh tồn tại dãy số thực dương mà mọi tổng của một số hữu hạn các
phần tử đều nhỏ hơn .
b .Cho dãy số dương giảm ,thỏa mãn tổng của một số hữu hạn các số hạng là nhỏ .
Chứng minh rằng
và tính
Bài 82 : Cho hàm số thỏa mãn:
Với mọi cặp số nguyên dương đều tồn tại một số nguyên dương sao cho :
Chứng minh là hàm hằng
Bài 83 : Trong mặt phẳng cho ba điểm thẳng hàng trong đó nằm giữa .
Hai đường tròn : đi qua , đi qua cắt nhau tại .
là điểm chính giữa cung của (không chứa ),
là điểm chính giữa cung của (không chứa )
là trung điểm của
Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và trung điểm nằm trên một đường thẳng
cố định khi thay đổi
Bài 84 : Xung quanh sân vận động có cái hộp đựng bóng .Giả sử bạn có trong tay một
số lượng đủ lớn các quả bóng.Đầu tiên người ta bỏ vào một số hộp nào đó một số quả
bòng tùy ý.Sau đó mỗi lần cho phép bạn chọn cái hộp liên tiếp và bỏ thêm vao mỗi hộp
một quả bóng.
i. Chứng minh rằng : Dù ban đầu số bóng bỏ vào trong các hộp thế nào thì bạn cũng có
thể làm cho hộp đó có số bóng như nhau sau hữu hạn lần thực hiện quy tắc trên.
ii .Khẳng định không còn đúng nếu số hộp đựng là
Bài 85 : Giải hệ phương trình
Bài 86 : Cho tùy ý nội tiếp đường tròn . là trọng tâm của tam giác đó.
tùy ý thuộc hình tròn đường kính . Các đường thẳng cắt đường tròn
ở . Xác định vị trí của để tỷ số diện tích hai tam giác và
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 87 : Trên mặt phẳng tọa độ ta quy ước một đa giác nguyên là một đa giác mà tọa độ
các đỉnh của nó là các số nguyên. Hỏi trên mặt phẳng tọa độ có tồn tại 2007-giác nguyên
mà độ dài các cạnh của nó bằng nhau.

Bài 88 : Cho là số nguyên dương. Xét hàm số : xác định bởi:
,
CMR: a)
b) chia hết cho với mọi nguyên dương.
c) Với mỗi số nguyên tố , có dạng ,trong đó bằng hoặc là số nguyên tố.
Bài 89 : Cho tam giác . Trên các cạnh và lấy các điểm và tương ứng
(khác với các đỉnh của tam giác này). Gọi là giao điểm của và ,và là giao
điểm của với .
a)CMR:ba đường tròn đường kính và có cùng trục đẳng phương.
b)Gọi tương ứng là các giao điểm (khác ) của các cặp đường tròn và
và . Gọi là giao điểm của các đường tròn đường kính và
. Chứng minh bốn điểm cùng thuộc đường tròn hoặc thẳng hàng.
Bài 90 : Xét tập khác rỗng mà mỗi phần tử của nó là tập con gồm phần tử của tập
. Biết rằng mỗi tập con gồm phần tử của đều chứa đúng phần tử
của ( nguyên dương).
a)Tính số phần tử của theo .
b) Chứng minh rằng . Từ đó suy ra chứa mọi tập con gồm phần tử của .
Bài 91 : Giải phương trình:
Bài 92 : Cho số tự nhiên n và dãy số chỉ nhận một trong hai giá trị là thỏa mãn
CMR:
Bài 93 : Cho
CMR:
Bài 94 :Cho dãy xác định:
Tìm
Bài 95 : Dãy số vô hạn được xác định bởi các đẳng thức
Chứng minh rằng
Bài 96 : Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho chia hết cho
Bài 97 : Cho đường tròn tâm đường kính cố định. Điểm chuyển động trên đường
tròn đó. là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng . Gọi là
tâm đường tròn nội tiếp tam giác . cắt ở . Vẽ đường tròn tâm , bán kính

cắt tại . cắt ở và cắt tiếp tuyến qua đối với đường tròn
tại .
i. Đường thẳng có tính chất đặc biệt gì không phụ thuộc vị trí của
ii . Đường thẳng đi qua điểm nào trên ?
Bài 98 : Cho
Giải phương trình :
Bài 99 : Cho dãy thỏa mãn:
CMR: là số chính phương
Bài 100 : Cho tam giác nhọn là trung điểm của , là hình chiếu của
trên
CMR: đồng qui tại điểm và đường thẳng đi qua điểm đó và
đi qua trung điểm đoạn .
Bài 101 : Trên mặt phẳng cho điểm sao cho không có điểm nào thẳng hàng .
điểm bất kì được nối với nhau bởi đoạn thẳng được tô đỏ hoặc xanh.
Tìm số nhỏ nhất các đoạn thẳng được tô đỏ sao cho bất kì tam giác nào tạo bởi trong số
điểm trên đều có ít nhất cạnh màu đỏ.
Bài 102 : Cho thỏa mãn ( )| ( )
CMR:
Bài 103 : Cho thỏa mãn
Tìm max , min của biểu thức sau:
Bài 104 : Tìm tất cả các hàm thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :
i.
ii.
iii.
iiii. .
iiiii .
( )f n ≤
2006 .
Bài 105 : Cho tứ diện CMR: mặt phẳng , mỗi mặt phẳng đi qua trng điểm một
cạnh và vuông góc với cạnh đối diện đồng qui tại điểm.

Bài 106 : Cho đa thức hệ số nguyên , thoả mãn với mọi thì . Xét dãy số
,Chứng mình rằng nếu với mỗi luôn tồn tại số hạng của dãy
chia hết cho thì
Bài 107 : Cho đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau tại và tiếp xúc
trong với lần lượt tại và .Tiếp tuyến chung của cắt tại và
.Đường kính của (O) vuông góc với
Gọi giao điểm của với lần lượt là . Chứng minh rằng vuông
góc với
Chứng minh rằng và đồng quy .
Bài 108 : Trong thành phố có (nhiều hơn 1) một số tuyến đường sao cho:
Mỗi đường có đúng 3 bến xe buýt
Hai đường bất kì có đúng 1 và chỉ 1 bến chung
Hai bến bất kì đều có đúng 1 và chỉ 1 đường nối chúng
Hỏi trong thành phố có bao nhiêu con đường .?
Bài 109 : Cho a,b,c,d là các số thực không đồng thời bằng nhau .cho :
;và xét các dãy :
và
Tính
Bài 110 : Cho 2 mp (P) và(Q) song song nhau , một đường tròn © nằm trên (Q) và cho
trước điễm A nằm giữa 2 mp (P) và (Q).Tìm M nằm trên (P) và B nằm trên (Q) : sao cho
MA+MB ngắn nhất
Bài 111 : Cho
Cmr: diện tích tam giác có 3 cạnh
là một số nguyên
Bài 112 : Cho f(x) thỏa:
Tìm
Bài 113 : Cho ,
CMR:
Bài 114 : Giải hệ phương trình:
Bài 115 : Cho tam giác đều và đường thẳng qua không cắt các cạnh tam giác.

Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại .
Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại .
cắt tại .
Chứng minh rằng tiếp xúc với .
Bài 116 : Tìm tất cả các hàm thỏa mãn:
Bài 117 : Giải phương trình:
Bài 118: Cho hình thang có ll ; là giao của và .
Trên lấy sao cho .
Gọi là tâm .
Chứng minh rằng:
Bài 119 : Tìm min: với thỏa mãn:
Bài 120 : Tìm thỏa mãn:
Bài 121 : Tìm số nghiệm của phương trình: trên
Bài 122 : Cho thỏa mãn:
Tìm min của:
Bài 123 : Cho đa thức : có nghiệm nguyên không âm.
Tìm lớn nhất thỏa mãn:
Bài 124 : Cho dãy số dương thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
Bài 125 : Cho số dương thỏa mãn:
CMR:
Bài 126 : a.Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn:
b.Với đa thức vừa tìm được, chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương sao cho
phương trình vô nghiệm.
Bài 127 : Cho tam giác nội tiếp . nằm trong tam giác.
cắt tại , cắt tại .
cắt tại . Tương tự ta có .
Chứng minh rằng thẳng hàng.
Bài 128 : Hai bạn A và B chơi trò chơi với bàn cờ vua như sau: mỗi bạn đến lượt mình
phải đặt 1 quân tượng vào một ô trống nào đó của bàn cờ mà chưa bị kiểm soát bởi một

quân tượng nào khác đã đặt trước đó. Ai đến lượt mình không đặt được tiếp thì thua. Giả
sử ban đầu bàn cờ không có 1 quân nào và số lượng các quân tượng không hạn chế. Với
giả thiết rằng hai người chơi đều rất thông minh và A là người đi trước , hỏi ai là người
thắng cuộc?
Bài 129 : Cho 3 số thực khác nhau đôi một .xác định như sau:
tươnng tự với
chứng minh rằng:
Bài 130 : Cho 3 điểm không thẳng hàng. kí hiệu là đường tròn đi qua B,C và
tiếp xúc với AB tại B.Đường tròn tùy ý đi qua A,B.Gọi P là giao điểm thứ hai khác
B của hai đương tròn và .Đường tròn đi qua P,C và tiếp xúc với đường
thẳn BC tại C. vẽ tiếp tuyến d với tại A.giả sử d cắt tại D.
cmr là tiếp tuyến
giả sử P nằm trong lồi .gọi là góc .
cmr
là diện tích
Bài 131 : Cho n là số nguyên dương lớn hơn . tìm số các hoán vị của tập sao
cho
với mọi i:
Bài 132 : Số nguyên dương được gọi là ''n-số đẹp'' nếu nó thỏa mãn:
i. có ít nhất ước số nguyên tố phân biệt
ii. Tồn tại các ước số dương khác nhau 1, , , của sao cho:
=1+ + +
CM: với
≥
6 luôn tồn tại số đẹp
Bài 133 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.Gọi H là trực tâm của tam giác và (d) là
đường thẳng đi qua H cắt các cạnh của tam giác( d không đi qua đỉnh của tam giác).Kí
hiệu (x),(y),(z) là ảnh của (d) qua các phép đối xứng trục BC,CA,AB.CM: (x),(y),(z)
đồng qui và điểm đồng qui chạy trên 1 đường tròn cố định khi (d) quay xung quanh H và
không đi qua đỉnh của tam giác

Bài 134 : Có N người , , tô mầu bảng theo yêu cầu sau:
i. Trong vòng 1 phút mỗi người phải tô màu xong đúng 1 ô
ii. Họ không được tô màu lại các ô đã tô màu
iii. =1,2, ,người hai phút liên tiếp tô màu 2 ô thì hai ô ấy phải có cạnh chung
Giả sử ban đầu chưa có ô nào được tô màu và ở phút đầu tiên , người được yêu cầu tô
màu ô mà không có 2 ô nào trong ô đó nằm trên cùng 1 hàng hay cùng 1 cột
Tìm số để sau phút họ có thể tô màu hết các ô của bảng
Bài 135 : Cho a, b là hai số nguyên dương, dãy {f(n)} xác định như sau:

(0) 2; (1) ; ( 2) ( 1) ( )f f a f n af n bf n= = + = + +
1)Chứng minh rằng nếu p nguyên tố, k nguyên dương thì
2) Biết rằng Hỏi khẳng định sau có đúng không? Tại sao?
Bài 136 : Cho hình vuông ABCD và điểm E chuyển động trong khoảng AB. Các đường
thẳng DE và BC cắt nhau tại M. Gọi I là trung điểm của đoạn BE. Đường thẳng CI cắt
đường thẳng DE tại N.
1) Chứng minh rằng
2) Chứng minh rằng DN>AC
Câu 3. Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức bc=1+a(b+c).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 137 : Cho bốn số nguyên dương thỏa mãn: . Chứng minh
các bất đẳng thức sau:
1. .
2. . Dấu đẳng thức có xảy ra không?
Bài 138 : Cho đa thức . Chứng minh rằng với mỗi
số nguyên dương , các số đôi một nguyên tố cùng nhau.
Bài 139 : Cho tam giác cân tại và nội tiếp đường tròn . Đường tròn tiếp
xúc ngoài với , tiếp xúc và nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa . Đường
thẳng qua tiếp xúc tại . Đường thẳng qua vuông góc với . Đường
thẳng qua vuông góc với . Chứng minh rằng:
a)

b) đồng quy.
Bài 140 : Có thí sinh tham dự cuộc thi "Hoa hậu thân thiện". BTC sắp xếp cho các thí
sinh ở phòng hình tam giác đều, mỗi phòng một người (có dạng một tam giác đều lớn
chia thành tam giác đều nhỏ bằng nhau). Hai phòng gọi là cạnh nhau nếu chúng có
cạnh chung. Biết từ mỗi phòng, người ta chỉ có thể đi sang phòng cạnh nó. Thí sinh được
giải "Thân Thiện" nếu người đó đi thăm được nhiều phòng nhất. Biết mỗi thí sinh xuất
phát từ một phòng bất kì và được phép đi qua phòng chính mình. Hỏi số phòng tối đa thí
sinh được giải "Thân Thiện" đi qua là bao nhiêu nếu mỗi phòng chỉ được đi qua đúng
một lần?

Bài 141 : Cho là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức:
Bài 142 : Cho tập hợp . Một tập con của được gọi là có tính
chất nếu có đúng phần tử và với 2 phần tử bất kì thuộc ta đều có
không thuộc .
a) Hãy chỉ ra một tập con của có tính chất .
b) Chứng minh rằng tồn tại một tập con của có tính chất sao cho phần thử nhỏ
nhất của không vượt quá .
Bài 143 : Cho tam giác và các điểm tương ứng thuộc các cạnh
. Gọi theo thứ tự là điểm đối xứng của qua trung điểm của
. Chứng minh rằng:
a) đồng quy khi và chỉ khi đồng quy.
b) . (Kí hiệu là diện tích tam giác ).
Bài 144 : Tìm tất cả các hàm số sao cho:
Bài 145 : Xét dãy số thỏa mãn điều kiện sau:
với mọi n.
cmr: với mọi
Bài 145 : Cho n là số chính phương, p>2 là số nguyên tố.a,b,c không chia hết cho p và
thỏa mãn đẳng thức :
biết (n,p-1)=1.
CMR:a=b.

Bài 146 : Cho tứ giác lồi có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.trên các cạnh
AB và CD về phía ngoài ta dựng các tam giác vuông cân ABP(PA=PB) và
CDQ(QC=QD).
CMR:
Bài 147 : Giả sử n là số nguyên dương cố định.Xét các số thực dương thỏa
mãn:
tìm min
Bài 148 : Tìm tất cả các hàm số f: thỏa mãn 3 điệu kiện:
với mọi
Bài 150 : Cho a,b,c là 3 góc của tam giác ABC.
tìm min:
Bài 151 : Cho 2 đường thẳng cố định a,b cắt nhau tại M.
A là điểm cố dịnh thuộc a.A M.xét đường tròn tâm O tùy ý tiếp xúc với a tại A và cắt b
tại B và C.
gọi là đường cao của tam giác ABC.
CMR: tiếp xúc 1 đường cong cố định
Bài 152 : Cho hàm số thỏa mãn các đk:
a,
b,
Hỏi có bao nhiêu giá trị của nhỏ hơn
Bài 153 : Cho các số dương.
Chứng minh bất đẳng thức .
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 154 : Cho ba đường tròn tâm thỏa mãn:Đường tròn tâm và đường tròn
tâm tiếp xúc ngoài tại và đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn tâm tại và
.Qua kẻ đường kính vuông góc với tiếp tuyến tại A(P,B cùng phía vơi tiếp tuyến.
Chứng minh ba đường thẳng , và tiếp tuyến tại đồng qui
Bài 155 : Cho là số nguyên dương.
Tính
Bài 156 : Cho tam giác trên cạnh và trên cạnh cắt tại .

Xác định vị trí của để tam giác có diên tích lớn nhất
Bài 157 : 1.Giải hệ phương trình sau:
2.Chứng minh rằng đối với mỗi số tự nhiên khác không bất kì,luôn tìm được ba số tự
nhiên phân biệt
sao cho tích hai trong ba số đó chia hết cho số còn lại
Bài 158 : Cho .Với mọi số tự nhiên ,biểu diễn dưới dạng
, trong đó là các số nguyên.
Tìm :
, ,
Bài 159 : Trong mặt phẳng, qua điểm cho trước , kẻ đưởng thẳng phân biệt bất kì
.Trên mỗi đường thẳng lấy một điểm khác
.Chứng minh rằng có thể chọn các điểm sao cho
Bài 160 : Chứng minh rằng với mọi số thực dương và với mọi số nguyên dương
mà thì:
Bài 161 : Cho lục giác nội tiếp đường tròn tâm bán kính r và có:
.Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh
.Chứng minh rằng tam giác là tam giác đều.
Bài 162 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Bài 163 :Tìm tất cả các hàm số sao cho:
Bài 164 : a .Chứng minh rằng với mọi
, , 0a b c >
ta có

3 3 3 2 2 2
4
( )
3
a b c abc a b b c c a+ + + ≥ + +
b. Tìm số thực k lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi a,b,c dương.

3 3 3 2 2 2
(1 )( )
3
k
a b c kabc a b b c c a+ + + ≥ + + +
Bài 165 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có BC cố định còn A thay đổi
trên (O). Gọi M, N lần lượt là các giao điểm của các đường phân giác trong góc B,C với
đường tròn ( O
1
) đường kính BC.
a. Chứng minh đường thẳng ( d
1
) đi qua A và vuông góc với MN luôn đi qua
một điểm cố định.
b. Gọi H, K lần lượt là giao điểm của AB và AC với đường tròn (O
1
). Đường
thẳng (d
2
) đi qua A và vuông góc với HK cắt đường tròn O
1
tại hai điểm P, Q.
Chứng minh rằng giao điểm S của các tiếp tuyến của đường tròn (O
1
) tại P, Q
thuộc một đường thẳng cố định.