So phuc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề. Email: Naêm hoïc : 2015 – 2016.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Email: CHƢƠNG IV: SỐ PHỨC Vấn đề 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 . Số i i2 = - 1 ( i : đơn vị ảo) Chú ý: (1+ i)2 = 2i. 2. Số phức a,b   ĐN: z  a  bi   2 i  1. .  i: đơn vị ảo,.  a: phần thực,.  b: phần ảo.. Chú ý: o z  a  0i  a được gọi là số thực (a    ) o z  0  bi  bi được gọi là số ảo (hay số thuần ảo) o 0  0  0i vừa là số thực vừa là số ảo  Biểu diễn hình học của số phức: Trong mp(Oxy). Điểm M(a;b) biểu diễn cho số phức z = a + bi  Môđun của số phức z = a + bi  o z  a 2  b2  zz  OM o z  0 z  C , z  0  z  0 o z.z'  z z' , z  z'  z  z' z,z'  Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z  a  bi.  o. z là số thực  z  z ; z là số ảo  z   z. 3. Các phép toán về số phức Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i với o. Hai số phức bằng nhau: o. a,b,a ',b'. a  a ' z  z'   b  b'. Cộng và trừ số phức: z  z'   a  a '   b  b' i z  z'   a  a '   b  b' i. Số đối của z = a + bi là –z = – a – bi (a, b o Nhân hai số phức: o Chia hai số phức:.  ). z.z'   aa ' bb'   ab' a 'b  i. a  bi  a  bi  a ' b ' i   a ' b ' i  a ' b ' i  a ' b ' i .  x2  y 2  a   x, y o Khai căn z = a + bi Đặt ( x+ yi)2 = a+bi    2 xy  b. II. CÁC DẠNG TOÁN. y b. O. M. a. x.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề: Số phức. - 3-. Bài toán 1: Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: b) z  (1  i)3  (2i)3. a) z  i  (2  4i)(3  2i). c) z .  . 2  1 i 1 i. Giải: a) z  i  (2  4i)(3  2i)  i  14  8i  14  7i . Phần thực a = 14; Phần ảo b = - 7 ; môđun z  7 5 b) z  (1  i)3  (2i)3  2  2i  (8i)  2  10i . Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun z  2 26.  . 2  1  i  1  i  1  i  2 . Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun z  2 1 i BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: 1 a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b) (2 + i)3 – (3 – i)3 c) d) (2  3i)3 2  3i. c) z . e) (1 + i)2 – (1 – i)2. f). . 3i.   2. 3 i. . 2. g) (2 + i)3 – (3 – i)3. h). (1  2i)2  (1  i)3 (3  2i)3  (2  i)2. Bài 2. Tính: a)  3  2i   2. f). 4  5i 2i. b) (1 – 2i) +. 1i 2i. c). 3i 2 i  1 i i. d). 3  2i 1  i  1  i 3  2i. 3  4i. 1  4i  (2  3i). Bài 3. a) (TN2010CB) Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 – 3i. Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 – 2z2 b) (TN2010CB) Cho hai số phức z1 = 2 + 5i và z2 = 3 – 4i. Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 – z2. 25i biết z = 3 – 4i z Bài 4.(TN 2013CB) Cho số phức z thỏa (1+i)z – 2 – 4i = 0. Tìm số phức liên hợp của z Bài 3(TN 2012CB) Tìm các số phức 2z  z và. Bài 5. (ĐH 2010A) . a) CB:Tìm phần ảo của số phức z, biết z . 1  3i  b) NC: Cho số phức z thỏa z  1 i. . 2 i.  1  2i  2. 3. Tìm môđun của số phức z  iz 2. Bài 6. (ĐH 2011A) a)CB: Tìm tất cả các số phức z biết z2  z  z. . . b) NC: Tính mo đun của số phức z biết  2z  11  i   z  1 1  i   2  2i Bài 7.(ĐH 2012A,A1) Cho số phức z thỏa.    2  i . Tính mô đun của số phức w = 1+ z + z. 5 z i z 1. Bài 8. (ĐH 2014A,A1) Cho số phức z thỏa : z   2  i  z  3  5i Tìm phần thực và phần ảo của z. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Email: Bải 9. (THPTQG 2015) Cho số phức z thỏa (1 – i)z – 1 + 5i = 0. Tìm phần thực và phần ảo của z.  1  3i  Bài 10.(ĐH 2011B) Tìm phần thực và phần ảo của số phức    1 i   . 3. Bài 11. (ĐH 2014B) Cho số phức z thỏa 2z + 3(1 – i) z =1 – 9i. tính mô đun của z Bài 12. (ĐH 2012D-CB) Cho số phức z thỏa (2  i)z . 2(1  2i)  7  8i . Tìm môđun của số phức 1 i. w=z+1+i Bài 13. (ĐH 2013D-CB) Cho số phức z thỏa (1+i)(z – i)+2z=2i. Tính mô đun của w=. . . z  2z  1 z2. Bài 14. (ĐH 2014D) Cho số phức z thỏa điều kiện: 3z  z 1  i   5z  8i  1 . Tính mô đun của z. Bài toán 2: Tính (1  i) 2012 Giải: 1006. (1  i)2012  (1  i)2   (2i)1006  21006.i1006  21006.(i 2 )503  21006.(1)503  21006 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ 1) Tính: 100 c) (1  i)2008  (1  i)2008 a) 1  i  i 2  i3  ...  i 2016 b) 1 i  2) Tính. .   2. . 2. a) P  1  3i  1  3i (TN-2008L1) Bài toán 3: Tìm các số thực x và y biết : 2x  yi  3  2i  x  yi  2  4i Giải: 2x  yi  3  2i  x  yi  2  4i  (2 x  3)  ( y  2)i  ( x  2)  (4  y)i. 2 x  3  x  2 x  4   y  2  4  y  y 1 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Tìm các số thực x và y biết: a) (2x + 3) + (y + 2)i = x – (y – 4) b) (2 – x) – i 2 = 3 + (3 – y)i a) (3x – 2) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)Id) (2x + y) + (y + 2)i = (x + 2) – (y – 4)i Bài toán 4: Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a) z  i  z  2  3i b) z  3  1 Giải: Đặt z  x  yi , khi đó: a) z  i  z  2  3i  x  yi  i  x  yi  2  3i  x  ( y  1)i  x  2  ( y  3)i  x2  ( y  1)2  ( x  2)2  ( y  3)2  x  2 y  3  0. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x  2y  3  0 b) z  3  1  x  yi  3  1  x  3  yi  1  ( x  3)2  y 2  1  ( x  3)2  y 2  1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề: Số phức. - 5-. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn (x  3)2  y2  1 tâm I(-3;0) và bán kính bằng 1. BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: z i a) z  z  3  4 b) z  z  3  4i c) d) z  1  i  2 1 zi e) z2  z  0. f) 2  z  i  z. Bài 2. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a) 2  z  2 b) z  1  1 c) 1  z  i  2.  1 1 d) z  1 và phần ảo của z thuộc đoạn   ;   2 2 Bài 3. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a) Phaàn aûo cuûa z baèng -2. b) Phần thực của z thuộc đoạn [-1; 2], phần ảo của z thuộc đoạn [0; 1]. Bài 4. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a) Phần ảo của z bằng 2 lần phần thực của nó cộng với 1. b) Tổng bình phương của phần thực và phần ảo của z bằng 1, phần thực của z không âm. Bài 5. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a) z  2i là số thực b) z  2  i laø soá thuaàn aûo c)  2  z  i  z  là số thực tùy ý. d)  2  z  i  z  laø soá aûo tuøy yù. Bài 6. (ĐH 2010B) Trong mp Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z  i  1  i  z Bài 7. (ĐH 2009D) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:| z – (3-4j)| = 2.. Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Căn bậc hai của số phức o z  0 có một căn bậc hai là 0 o z  a là số thực dương có 2 căn bậc 2 là  a o z  a là số thực âm có 2 căn bậc hai là  a .i x 2  y2  a  o z  x  yi là số phức có căn bậc 2 là w = a + bi sao cho w 2  z   (a,b,x,y  )  2xy  b. 2. Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (1) (a, b, c là số thực, a  0 ) Tính   b2  4ac o.   0 : (1) có hai nghiệm phân biệt thực x1 ,2 . o.   0 : (1) có hai nghiệm phân biệt phức x1 ,2 . b   2a. b  i  2a.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Email: b 2a 3. Phương trình bậc hai: Az2 + Bz + C = 0 (2) (A, B, C là số phức, A  0 ) Tính   B2  4AC B   o   0 : (2) có hai nghiệm phân biệt z1 ,2  (  là 1 căn bậc hai của 2A B o   0 : (2) có một nghiệm kép là z1  z 2   2A II. CÁC DẠNG TOÁN   0 : (1) có một nghiệm kép là x  . o. Bài toán 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: Giải:. a) 4. ). b) 3  4i (NC). a) Hai căn bậc hai của – 4 là :  4 .i  2i b) Gọi w  x  yi là căn bậc hai của 3  4i , ta có:. x  2   x 2  1 (loại)  x  2  x 2  y2  3 x 4  3x 2  4  0  2   x  y  3   x  4   x  2  y  1          2 2   x  2  2 2xy  4   2 y   y    y x x   y     y  1 x  x  Vậy 3  4i có hai căn bậc hai là 2  i và 2  i . BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 9 ; 11 ; 2i ; 3i ; 4i Bài 2. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 5  12i ; 8  6i ; 33  56i ; 3  4i ; 3 + 4i; 5 – 12i 1  9i  5i Bài 3.(TN 2012NC) Tìm căn bậc hai của số phức: z  1 i Bài toán 2: Giải các phƣơng trình sau trên tập số phức: z  2  3i  5  2i a) (3  2i)z  4  5i  7  3i b) 4  3i Giải: 3  8i 25 18   i a) (3  2i)z  4  5i  7  3i  (3  2i)z  3  8i  z  3  2i 13 13 z z  2  3i  5  2i   3  i  z  (3  i)(4  3i)  15  5i b) 4  3i 4  3i BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 3  5i 2i 1  3i z  2  4i a) b) c) z  (2  3i)  5  2i z 1 i 2i 4  3i 1  1  1 d) z  3  i   3  i e) [(2  i)z  3  i](iz  )  0 f) (iz –1)(z + 3i)( z –2+3i) = 0 2 2 2i   Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2. 2. a) 2iz + 1 – i = 0. b) (1 – i)z + 2 – i = 2z + I. c)  3  2i   z  i   3i 2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề: Số phức d) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z. - 7e) (3 + 4i)z =(1 + 2i)( 4 + i). f) (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i). 2i Bài 3. Tìm số phức 2z  z , biết z = 3 – 4i z Bài toán 3: Giải các phƣơng trình sau trên tập số phức: a) 7z2  3z  2  0 b) 3x 2  2x  1  0 Giải: a) Ta có: 7z2  3z  2  0   b2  4ac  47  0 Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:. b  i  3  47.i 3  47.i 3 47 3 47   i ; z2     i 2a 14 14 14 2a 14 14 14 b) 3x 2  2x  1  0  '  b'2  ac  2  0 Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt: z1 . b  i . . b' i  ' 1  2.i 1 1  2.i 1 2 2   i ; x2     i a 3 3 3 a 3 3 3 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: x1 . b' i  '. . a) x2  3.x  1  0 b) 3 2.x2  2 3.x  2  0 c) 3x2  x  2  0 2 2 d) x  x  1  0 e) –5z + 7z – 11 = 0 f) –8z2 + 4z – 1 = 0 Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) z3 + 8 = 0 b) x3 – 8 = 0 c) z4 + 4 = 0 4 2 d) z – 4 = 0 d) x + 7 = 0 f) x2 – 7 = 0 Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) z4 – 5z2 – 6 = 0 b) z4 + 6z2 + 25 = 0 c) 8z4 + 8z3 = z + 1 d) z4 +7z2 – 8 = 0 Bài 4. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận  làm nghiệm: 5i a)   (2  i)(3  i) b)   2i Bài 5. Giải phƣơng trình sau trên tập số phức. a) x2 – 4x + 7 = 0 (TN2007 L1) b) x2 – 6x +25 = 0 (TN-2007 L2) c) x2 – 2x + 2 = 0 (TN2008 L2) d) 8z2 – 4z + 1 = 0 (TN2009CB) e) 2z2 – iz + 1 = 0 (TN2009NC) f) (1–i )z +(2–i) = 4–5i (TN 11) f) (z– i)2 + 4 = 0 (TN 2011 NC) g) z2–(2+3i)z+5+3i=0 (TN-13NC) h) z2+3(1+i)z+5i=0 (ĐH2012D) Bài toán 4: Giải các phƣơng trình sau trên tập số phức: (NC) a) x 2  (3  4i)x  5i  1  0 b) z2  2iz  2i  1  0 Giải: a) x 2  (3  4i)x  5i  1  0.   b2  4ac  3  4i  (1  2i)2  0 Gọi  là một căn bậc hai của  , ta có   1  2i Do   0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 . b   3  4i  1  2i b   3  4i  (1  2i)   2  3i ; x 2   1 i 2a 2 2a 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Email: b) z2  2iz  2i  1  0  '  b'2  ac  2i  (1  i)2  0 Gọi  ' là một căn bậc hai của  ' , ta có  '  1  i Do  '  0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt: b'  ' i  1  i b'  ' i  (1  i) z1    1 ; z2    1  2i a 1 a 1 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ (NC) Bài 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 b) x2  1  i  x  2  i  0 c) z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0 d) x2   2  8i  x  14i  23  0 e) z 2   5  14i  z  2 12  5i   0 f) (1 + i)x2 – 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0 Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = 0 b)  z  3  i 2  6  z  3  i   13  0 c) z 4  81  i  z 2  63  16i  0 d) z 4  24 1  i  z 2  308  144i  0 Bài 3. Giải các hệ phương trình:  z1  z2  4  i  2 2   z1.z2  5  5.i a)  2 b)  2 c)  z1  z2  5  2i 2 2 z  z  5  2 i z  z   5  2. i   2 2  1  1   z1  z2  4  i.  z  2i  z d) .  z  i  z  1. Bài 4. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt làø: a) 2  3i vaø  1  3i b) 2i vaø  4  4i Bài 5. Giaûi caùc phöông trình sau, bieát chuùng coù moät nghieäm thuaàn aûo: a) z3  (1  i)z2  (i  1)z  i  0 b) z3  (4  5i)z2  (8  20i)z  40i  0 Bài 6. Cho đa thức: P(z)  z3  (3i  6)z2  (10  18i)z  30i . a) Tính P(3i). b) Giaûi phöông trình P(z)  0 .. Bài 7. Cho z1 , z2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình 1  i 2  z2  (3  2i)z  1  i  0 . Tính giaù trò cuûa các biểu thức sau: a) A  z12  z22. b) B  z12 z2  z1z22. c) C . z1 z2  z2 z1. Bài 8.(ĐH-A 2009) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z +10 =0 Tính 2. A  z1  z2. 2. Bài 9. (ĐH 2010D)Tìm số phức z thỏa z  2 và z2 là số thuần ảo. Bài 10. (ĐH 2009B) Tìm số phức z thỏa z  (2  i)  10 và z. z  25 Bài 11(ĐH2010B) Tìm số phức z biết: z . 5i 3 1  0 z 2. Bài 12(ĐH 2010D) Tìm số phức z. Biết z2  z  z Bài 13. (ĐH 2011D-CB) Tìm số phức z biết z  (2  3) z  1  9i Bài 14. (TN- 2013) Cho số phức z thỏa: (1 + i)z – 2 – 4i = 0. Tìm số phức liên hợp của z Vấn đề 3: DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề: Số phức. - 9-. 1. Dạng lượng giác của số phức: z = r(cos   isin ) (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b  , z  0) o r  a 2  b2 là môđun của z a b o  (số thực) là một acgumen của z thỏa : cos   ; sin   r r 2. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác: Nếu z = r(cos   isin ) , z'  r '(cos  ' isin ') thì : z r  [cos(   ')  isin(   ')] z' r '. o z.z'  r.r '[cos(   ')  isin(   ')]. 3. Công thức Moa-vrơ: [r(cos   isin )]n  r n (cos n  isin n) Nhân xét: (cos   isin )n  cos n  isin n 4. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: Căn bậc hai của số phức z = r(cos   isin ) (r > 0) là. r (cos. . . . . . .  i sin ) và  r (cos  i sin )  r [cos(   )  isin(  )] 2 2 2 2 2 2. II. CÁC DẠNG TOÁN Bài toán 1: Viết dạng lƣợng giác của các số phức sau: a) z  2  2i b) z  1  3.i Giải:. 1  cos   2  a) Mô đun r  a 2  b2  2 2 . Gọi  là một acgumen của z ta có   4 sin    1  2       Dạng lượng giác z  2 2 cos     isin      4    4 1  cos     2 2  b) Mô đun r  a  b  2 . Gọi  là một acgumen của z ta có   3 3 sin     2  2. 2.   2   2   Dạng lượng giác z  2 cos     isin     3    3   BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: 1 i 3     a) 2  2 3.i b) (1  i. 3)(1  i) c) d) cos  i.sin e)  sin  i.cos 1 i 4 4 8 8 Bài 2. Thực hiện phép tính:     a) 5 (cos  i.sin ).3(cos  i.sin ) b) 3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o) 6 6 4 4.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Email: c). 2 2  i.sin ) 3 3   2(cos  i.sin ) 2 2. 2(cos. 2(cos 450  i.sin 450 ). d). 3(cos150  i.sin150 ). Bài 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: a) 1  i 3 d). c) 2.i.( 3  i). b) (1  i 3)(1  i). 1 i 3. e). 1 i. 1 2  2i. f) z sin   i. cos . Bài 4. (ĐH 2013A,A1) Cho số phức z = 1 + phần ảo của số phức w  1  i  z5. 3i . Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và. Bài 5. (ĐH 2012B) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2  2 3iz  4  0 Viết dạng lượng giác của z1, z2.. Bài toán 2:. . a) (1  i)10 3  i. Tính:. . 6. b). . (1 i)10 3i. . 9. Giải: 10.         a) (1  i)10   2  cos     isin      4    4    . . 3 i. . 6.   5   5    25 cos     isin      32  0  i   32i 2    2  . 6.       2  cos  isin    32.  cos   isin    26  1  0i   26 6 6   .  (1  i)10. . 3 i. . 5.  32i. 64   2048i 10.      5 5   b). Ta có: (1  i)10   2  cos  isin    25. cos  isin   32  i   32i 4 4  2 2    . . 3 i. . 9. 9. (1  i)10 1      3 3      2  cos  isin    29  cos  isin   512i  9 16 6 6 2 2      3i. . . BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Tính : a) ( 3  i)6. f). . 1 i . 50. 3i. . 49. Bài toán 3:. 1 i  b)   1 i . 33. 12. 1 3 c)   i  2  2.    g)  cos  i sin  i 5 (1  3i )7 3 3 .  i 1 d)    i . 2010.  1i  e)     3 i . h)  2(cos300  i sin 300 ) . 7. 280.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề: Số phức. - 11-. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a) z  1  i 3. b) z . 1 i 3 1 i. Giải: a) 1  i 3.   2   2   Dạng lượng giác: z  2 cos     isin      3    3  Hai căn bậc hai của z là 1    3  1 3 2 6    w1  2 cos     isin      2   i    i  i và 2 2 2 2 2 2  3    3   1    3  1 3 2 6    w 2   2 cos     isin       2   i     i  i 2 2 2 2  3    3 2 2 . b. z .   7  1 i 3  7   . Dạng lượng giác z  2 cos     isin     1 i 12    12   .   7   7   Hai căn bậc hai của z là w1  4 2 cos     isin     và 24   24       7    17   7    17   w 2   4 2 cos     isin      4 2 cos    isin    24    24     24    24  BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau: a) –1 + 4 3.i. b) 4 + 6 5.i. f) ( 3  i)6.  i  g)   1i . c) –1 – 2 6 .i. 2004. h). 2 1  i  2. d) 1+ 4 3 I   k) cos  isin 3 3. e) 11  4 3i.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Email: Danh ngôn về học tập Vĩ nhân chỉ 1 phần trăm thiên phú còn lại 99% là mồ hôi Thomas. Trên con đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>