Chuyên đề rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. CĂN THỨC BẬC 2






2
Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x  a .

Cho số thực a khơng âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là
bình phương của nó bằng a :
a �0
�
�x �0
� �2
�
�a  x
�x  a

a là một số thực không âm x mà

 b
a b.
Với hai số thực không âm a, b ta có: a �
Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
+
+
+

�A
A �0
A2  A  �
 A nếu A  0
�

A2 B  A B  A B
A

B

A.B

B2

A.B
B

với A, B �0 ;

A2 B  A B   A B

với A  0; B �0

với AB �0, B �0

M
M. A


A với A  0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
+ A



+



M Am B
M

A B
A� B
với A, B �0, A �B (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu)

2. CĂN THỨC BẬC 3.


Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là
a �R; 3 a  x � x 3 

 a

3

a là số x sao cho x 3  a

3




a
Cho
Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.



Nếu a  0 thì

3

a  0.



Nếu a  0 thì

3

a 0.



Nếu a  0 thì

3

a  0.

3




3

a 3a

b 3 b với mọi b �0 .
ab  3 a . 3 b với mọi a, b .



ab� 3 a  3 b .



A 3 B  3 A3 B .
3



3

A

B

3

AB 2
B với B �0
Page 1


3



A 3 A

B
B3

A2 m3 AB  3 B 2
3
A �B

với A ��B .
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1

A �3 B

3

Dạng 1: Rút gọn biểu thức không chứa biến
1. Phương pháp

1.

u A �0
�A n�
A2  A  �
 A n�
u A <0
�

2.

AB 

3.

A

B

4.

A2 B  A

(Với A �0; B �0 )

A. B

A
B

(Với A �0; B  0 )
(Với B �0 )

B

(Với A �0; B �0 )

5.

A B

6.

A B   A2 B

A2 B

7.

A
1

B
B

8.

A
A B


B
B

(Với A  0; B �0 )
(Với A �0; B  0 )

AB

(Với B  0 )



9

C A �B
C

A  B2
A �B

10

C
C

A� B

11

 A

3

3





2
(Với A �0; A �B )

A� B
A B



(Với A �0; B �0; A �B )

 3 A3  A

2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
M  45  245  80
A  12  27  48

N  5 8  50  2 18
B  2 3  3 27  300

P  125  4 45  3 20  80

C  (2 3  5 27  4 12) : 3

Hướng dẫn giải

M  45  245  42.5

N  5 8  50  2 18

 32.5  7 2 �
5  4 2.5
Page 2

P  5 5  12 5  6 5  4 5
 5 5


3 5 7 5 4 5  6 5

 5.2 2  5 2  2.3 2
 10 2  5 2  6 2
 (10  5  6) 2  9 2

A  12  27  48

B  2 3  3 27  300

C  (2 3  5 27  4 12) : 3

 2 33 34 3

 2 3  3 32.3  10 2.3
 2 3  3.3. 3  10 3

 (2 3  5.3 3  4.2 3) : 3

 3

 5 3 : 3  5

 3
Nhận xét: Đây là một dạng tốn dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để kiểm tra kết quả, đa phần áp dụng
A2 B  A B B �0
(
)

kiến thức đưa thừa số ra ngồi dấu căn để giải tốn.
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a)

 3  2 2 2   3  2 2  2

d)

 3

2 
2

 1

2

 5  2 6 2   5  2 6  2

b)

2

e)



5  2 
2



5  2

c)

 2  3 2   1 3 2

f)



2

2  1 

2



2  5

Hướng dẫn giải

a)

 3 2 2 

2



 3 2 2

2

 3  2 2  3  2 2  3 2 2  3  2 2  6

u A �0
�A n�
A2  A  �
 A n�
u A 0
�

Lưu ý:

Kết quả:

b) 4 6

c) 1

e) 2 5

d) 4

f) 2 2  4

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức
a) A  4  2 3

b) B  8  2 15

c) C  9  4 5

d) D  7  13  7  13

e) E  6  2 5  6  2 5

f)

F  7  2 10  20 

Hướng dẫn giải
a)
b)

c)

A  42 3 



3 1

B  8  2 15 



15  1

C  94 5 



 2 5

2



2

 3 1
2

 15  1

 5 2

Page 3

1
8
2

2


D  7  13  7  13 
d)
1 �
�
2�







2

13  1 





1
2

14  2 13  14  2 13





2 �
13  1 � 2
�

e) E  6  2 5  6  2 5  5  2 5  1  5  2 5  1
 ( 5  1) 2  ( 5  1) 2 | 5  1|  | 5  1| 5  1  5  1  2

F  7  2 10  20 

f)




1
8
2

5 2



2

1
 2 5  .2 2
2

5 2 2 5 2  5 22 5 2 3 5

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: (áp dụng các kiến thức tổng hợp)
62 5
52 6

5 1
3 2
1
1
1
1
C


 ... 
1 2
2 3
3 4
99  100

A

E

3 34
34

2 3 1
5 2 3

B

3
4
1


5 2
6 2
6 5

1
 74 3
2 3
1
2
2
F



2 3
6 3 3
D

Hướng dẫn giải

a)

b)

A

62 5
52 6
5 1
3 2



2
5 1
3 2
5 1
3 2

B

3
3
4

1



5 2
6 2
6 5



5 2
3

  4

6 2
4





6 5

 5 2 6 2 6 52 6

C
c)




 

2 1 

D
d)


1
1
1
1


 ... 
1 2
2 3
3 4
99  100

 

3 2 



4  3  ... 





100  99  9

1
1
1
 74 3 
 44 3 3 
 (2  3) 2
2 3
2 3
2 3

1
2 3
2 3
2 3 
2 3 
2 3  4
1
2 3
(2  3)(2  3)

Page 4



3

3 34
34


2 3 1
52 3

E

e)


 2 3

 

3  4 2 3 1
2

1



22  11 3
26  13 3

 2 3  2 3

11
13



42 3
42 3
1 �


�
2
2
2�







2

3 1 



 2 3

3 4 52 3

52

2



2 �
1
3  1 �
� 2



3 1  3 1 



3 1  2  3

3
1
1
2
1
2
2 



F



2 3
3
3 3 1
2

3
6
3 3
f)







3

2 34



2 3



3 1 2  3



  3

3 1

3  3  1





2
3





32



3 1 2  3

  3

3 1
3



3

3

 1







2. 3
3







3 1



3 1



1
.(2)   2
2

 

  3  1  2  2  3 
3  3  1  2  3 



3 1

3
3

Kinh nghiệm: Đơi khi một số bài tốn rút gọn căn thức sẽ thực hiện dễ dàng hơn nếu chúng ta trục căn
thức hoặc rút gọn được một hạng tử trong đề toán. Nếu quy đồng mẫu số thì việc thực hiện các phép tính
rất phức tạp. Vì vậy trước khi làm bài toán rút gọn, học sinh cần quan sát kỹ đề tốn từ đó có định hướng
giải đúng đắn để lời giải được ngắn gọn, chính xác.
Ví dụ 5: Thu gọn các biểu thức sau
a) A = 18 - 2 50 + 3 8
B = 27 - 6

b)
C =

c)

5
7+ 2

1
3- 3
+
3
3
-

8- 2 7 + 2

Hướng dẫn giải
2
2
2
a) A = 18 - 2 50 + 3 8 = 3 .2 - 2 5 .2 + 3 2 .2 = 3 2 - 10 2 + 6 2 = - 2

B = 27 - 6

b)

C =

c)

5
7+ 2

1

3- 3
3
+
= 32.3 - 6.
+ 13
3
3

-

8- 2 7 + 2

=

(

(

3

)

5 7-

2

)(

7-

7+ 2

Page 5

= 3 3 - 2 3 + 1-

)

2

-

3=1

7- 2 7 + 1 + 2


= 7-

2-

= 7-

2-

(

(

)

2

7- 1 + 2 = 7-

)

7- 1 + 2

2-

7- 1+ 2

7 >1 )

= 1 ( Vì

Ví dụ 6: Thực hiện phép tính

1
48 - 2 75 2
a)
6 +2 5 -

b)

33
1
+5 1
3

11

6- 2 5 -

3

8

50a - 2 a 3 + 4 32a với a �0

c) 5 2a -

Hướng dẫn giải

a)

1
48 - 2 75 2

33

1 1 2
+5 1 =
4 .3 - 2 52.3 3 2
11

3+5

b) 6 + 2 5 -

6- 2 5 -

(

)

2

5 +1 -

= 5 +1=0

(

11

+5

3

)

8 = 5+ 2 5 + 1-

2

5- 1 - 2=

5 +1 -

5- 2 5 + 1 -

3

5- 1- 2

5 +1- 2 ( Vì 5 > 1 )

3
2
2
2
c) 5 2a  50a  2 a  4 32a  5 2a  5 .2a  2 a .a  4 4 .2a

 5 2a  5 2a  2 a a  16 2a  2a a  16 2a
( Vì a �0 )
Ví dụ 7. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)

Thu gọn các biểu thức sau:

A

5 5
5
3 5


52
5 1 3  5
Lời giải

A



5 5
5
3 5


52
5 1 3  5

 5 5 
 5  2 


5  2 

5 2

4
3

22
10 3 - 17 3
=- 9 3+
=
3
3

3

= 2 3 - 10 3 -

=

3. 11

5





5 1



5 1





3 5 3 5



  3 5  3 5

5 1

Page 6

23


 3 5 5

5  5 9 5  15
5  5  9 5  15

 3 5 5
4
4
4

 3 5 55 2 5  5 .

Ví dụ 8. Tính

B  21



2 3  3 5

 
2

6

2 3  3 5



2

 15 15

.

Lời giải

B


21
2





3  1  5 1  3

21
2

42 3  62 5



2



 
2

3

42 3  62 5



2

3  1  5  1  15 15 

15
2





2

 15 15

3 5



2

 15 15  60

.

Dạng 2: Tìm điều kiện xác định của biểu thức
BIỂU THỨC - ĐKXĐ:
1.
2.

A

A
B

ĐKXĐ: A �0

Ví dụ:

ĐKXĐ: B �0

3.

A

B

ĐKXĐ: B  0

4.

A
B

ĐKXĐ: A �0; B  0

A
B

�
�A �0
�
�
�B  0
�
�
�A �0
�
�
�B  0
�
ĐKXĐ: �

5.

VÍ DỤ
ĐKXĐ:

x �2018

x4
Ví dụ: x  7

ĐKXĐ:

x �7

Ví dụ:

x 1
x 3

ĐKXĐ:

x3

Ví dụ:

x
x 3

ĐKXĐ:

�x �0
� x3

�
�x  3

ĐKXĐ:

�
�x  1 �0
�
�
x  2
�
�x  2  0
�
��
�
x �1
�x  1 �0
�
�
�
�
�x  2  0
�

Ví dụ:

x  2018

x 1
x2

Cho a > 0 ta có:
6.

7.

�
x a
x a��
x a
�
2

Ví dụ:

.

Cho a > 0 ta có:
x a� a x a
2

x2

�
x a
��
 1 �x   a

2
Ví dụ: x  4 � 2  x  2

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa biến
1. Phương pháp
Page 7


2. Các ví dụ
1 �� 2
6
� x
�
B�

: 1

��
�
x  3 �� x x  3 x �  x  0  .
�x  3 x
Ví dụ 1: Rút gọn
Hướng dẫn giải
1 �� 2
6
� x
�
B�

: 1

 x  0

��
�
x  3 �� x x  3 x �
�x  3 x

�
� x
1 �� x  2
6
�

:

�
� x 3
x 3�
x
x x 3
�
��
�



�
x 1 � x  2
:
x 3 �
x
�










x 3 6�
�
�
x 3
�







�
�
�
�



x 1 .

x
x x

1

Ví dụ 2: (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)

Rút gọn biểu thức

P

x 2
2x  2

x  2 , với x  0, x �2 7).
2 xx 2
Lời giải:

Với điều kiện đã cho thì:
P

2x



x 2
2 x

2



 



x 2

x 2





x 2





x

2 x

2
1
x 2

.

� x
3 � x 3
A�

.
�
� x 3
�
x

3
�
� x  9 với x �0, x �9 .
Ví dụ 3: Thu gọn các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải
Với x �0 và x �9 ta có:

�
�
x 3 x 3 x 9 � x 3 1
�
A
.

3
� x 3
x
x 3 � x9

�
�
.







Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức:

a)

A x  x x 

1
4 khi x �0 .

1
x�
4.
b) B  4 x  2 4 x  1  4 x  2 4 x  1 khi
Lời giải

Page 8


2

1
1�
�
 x  � x  � x 
4
2�
�

A x  x x 

a)
+ Nếu

1
x �۳
2

+ Nếu

1
x
<
  0
2

1
4 thì

x

1
1
1
 x �A
2
2
2.

x

1
4 thì

x

1
2

x

x

1
1
1
 x �A2 x
2
2
2

b)
B  4 x  2 4 x 1  4 x  2 4 x 1  4 x  1  2 4x 1  1  4 x 1  2 4 x 1  1



B
Hay
+ Nếu

+ Nếu





2

4x  1  1 



2

4x  1  1 

4x  1 1 

4 x 
1��
1 0�۳ 4 x 1 1

x

1
2 thì

4x <

1 �<
1 0 4 x 1 1

1
4

x

4x  1  1 

4 x 1 1  4 x 1 1

1
2 thì

4x 1 1  4x 1 1

suy ra B  2 4 x  1 .

4 x  1  1   4x  1  1

suy ra B  2 .

Ví dụ 5. Cho các số thực dương a, b ; a �b .

 a  b



3

a b



3

 b b  2a a


a a b b

Chứng minh rằng:

3a  3 ab
0
ba
.
Lời giải

Ta có:



Q











3

a b



3

 b b  2a a


a a b b

a b



 a  b


3

a b

a b





3

3

 b b  2a a



a  b a  ab  b





a a  3a b  3b a  b b  2a a



3a  3 ab
ba



a  b a  ab  b









3 a

a b

3 a
a b

3a a  3a b  3b a  3a a  3a b  3b a





a  b a  ab  b

Ví dụ 6. Rút gọn biểu thức

A







a b



a b



0



0

x  x  6 x  7 x  19 x  5 x


; x  0, x �9

x 9
x  x  12 x  4 x
.
Page 9


Lời giải
x 2

x 3

x  x  6 x  7 x  19 x  5 x 
A


x 9
x  x  12 x  4 x


x  2 x  8  x  7 x  19  x  8 x  15



x 3



x 4










x  7 x  19
x 3


x  3 
x 1



x 4


x  4

x 4



x 5
x 4



x 1
x 3

.

Dạng 4: Rút gọn biểu thức, biết biến thỏa mãn điều kiện cho trước
1. Phương pháp
2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho

x
10 x
5


x  5 x  25
x  5 , với x �0, x �25 .

A

1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của A khi x  9 .
Lời giải:

 x  5
 x  5  x  5
 x  5 � A 
x  5 x  10 x  5 x  25

x  10 x  25



 x  5  x  5 
 x  5   x  5   x  5  x  5
A

x.

x
10 x
5



x  5 x  25
x 5





x  5  10 x  5.

2

Với x  9 ta có:

Ví dụ 2: Cho

3  5 2
1
A


x  3 . Vậy
35 8
4.

x
2 x 3x  9


x 3
x  3 x  9 , với x �0, x �9 .

P

1) Rút gọn P .
1
3.
2) Tìm giá trị của x để
3) Tìm giá trị lớn nhất của P .
P

Lời giải
P

x



1)



x 3  2 x



x 3







x  3  3x  9
x 3





3
x 3

3

1
 � x  3  9 � x  36
x 3 3
2)
(thỏa mãn ĐKXĐ)
3
3
x �0, P 
�
 1 � Pmax  1
0

3
x

3
3) Với
khi x  0 (TM).
P

1
�
3

Page 10

x 5
x 5

.

Ví dụ 3: Cho biểu thức

P

x3  y 3
x y
. 2
, x �y
2
2
x  xy  y x  y 2
.

1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tính giá trị của P khi x  7  4 3 và y  4  2 3 .
Lời giải
P

1)

x3  y 3
x y
x y
.

2
2
x  xy  y  x  y   x  y  x  y

.

2) Với x  7  4 3  2  3 và y  4  2 3  3  1
2  3  3 1
1
3 2 3
P


3
2  3  3 1 3  2 3
Thay vào P ta được:
.



Ví dụ 4: Cho biểu thức
Rút gọn A và tìm x để

 



A

1
1
2 x



2 x 2 x 4 x

A

1
3.

 x �0, x �4  .

Lời giải

A





1
1
2 x
4
2 x 2 2 x
2
1
2
1







A �

4 x
3
2 x 2 x 4 x 4 x 4 x
2  x . Với
2 x 3

� x  4 � x  16 (nhận).

Vậy

A

1
3 khi x  16 .

Ví dụ 5. Cho biểu thức

C

a
2
2


a  16

a 4
a 4.

1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C .
2) Tính giá trị của biểu thức C khi a  9  4 5 .
Lời giải
�a �0
a �0
�
�a  16 �0
�
a �16
�
�
��
�
a 0, a 16
�
a

4
�
0
a
�
16
�
�
� a  4 �0 �
�

a �0
1) Biểu thức C có nghĩa khi: �
.
a
2
2
a
2
2 


C


a 4
a 4
a 4
a 4
a  16
a 4
a 4
Rút gọn





Page 11



  a  4  a  2 a  8  2 a  8 
 a  4  a  4 
 a  4  a  4
a  a  4
a


 a  4  a  4 a  4 .


a2



a 4 2

a4 a
a 4



a 4



2) Giá trị của C khi a  9  4 5 .
Ta có:

C

Vậy



a  a  94 5  44 5 5  2 5
a



a 4





2

� a

52
5 2

 94 5
5 24
52





2 5



2

 52

.

Ví dụ 6. (Đề thi năm 2014 – 2015 chun Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)
� 2
3
5 x 7 � 2 x 3
A�


� x  2 2 x  1 2x  3 x  2 �
�: 5 x  10 x
�
�
Cho biểu thức

 x  0, x �4  .

1) Rút gọn biểu thức A .
2) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Lời giải

1) Với x  0, x �4 biểu thức có nghĩa ta có:
� 2
3
5 x 7 � 2 33
A�
� x  2  2 x 1  2x  3 x  2 �
�: 5 x  10 x
�
�




 

2 2 x 1  3



 

x 2  5 x 7





x  2 2 x 1

Vậy với x  0, x �4 thì

A

:

2 x 3
5 x



x 2



 

2 x 3





x  2 2 x 1

.

5 x



x 2

2 x 3



5 x
2 x 1

.

5 x
2 x 1 .
A

5 x
 0, x  0, x �4
2 x 1

2) Ta có x  0, x  0, x �4 nên
5 x
5
5
5
A
 
 , x  0, x �4
5
�0 A
2 x  1 2 2 2 x 1 2

2 , kết hợp với A nhận giá trị là một số nguyên



thì

A� 1, 2



.
1
1
�x
3
9 thỏa mãn điều kiện.
x  2 � x  4 không thỏa mãn điều kiện.

A  1 � 5 x  2 x 1 � x 

A2� 5 x 4 x 2�
1
x
9 thì A nhận giá trị là nguyên.
Vậy với

1 � x 1
� x2
P�


.
�
x

2
x
x

2
x  1 với x  0 và x �1 .
�
�
Ví dụ 7. Cho biểu thức

Page 12


a) Chứng minh rằng

x 1
x .

P

b) Tìm các giá trị của x để 2 P  2 x  5 .
Lời giải

�
x2 x
P�

� x x 2
�









�
�
x  1 � x 1 . x  2
�
.

� x 1 � x x  2
�
�

b) Theo câu a)





�
�
.

x 1

� x 1
�

x 1
x

.

x 1
x

P

2 x 2
 2 x 5
2 x  2  2 x  5 x � 2 x  3 x  2  0 và x  0
x
1�
1
1
�
x  2 � x  � 0 � x  � x 
2�
2
4.
�

� 2P  2 x  5 �
�





Dạng 5: Các bài toán tổng hợp bao gồm các câu hỏi phụ

Q=
Bài 1: Cho biểu thức

x + 2 x - 10
x- x - 6

x- 2
x- 3

1
( x �0; x �9)
x +2

1. Rút gọn biểu thức Q
2. Tính giá trị của Q khi x = 16
3. Tìm giá trị của x khi

Q=

4. Tìm giá trị của x sao cho

1
3

Q>

1
9

5. Tìm giá trị lớn nhất của Q .
Hướng dẫn giải
1. Với x �0; x �9 thì

x + 2 x - 10
Q=
x - 3 x +2 x - 6

x- 2
x- 3

1
=
x
x +2
Page 13

(

x + 2 x - 10

)

x - 3 +2

(

)

x- 3

-

x- 2
x- 3

1
x +2


=

=

=
=

(

x + 2 x - 10

)(

x- 3

x +2

x + 2 x - 10 -

(

)

(

x- 2
x- 3

-

x- 2

)(

x- 3

(

)(

x- 3
x- 3

)(

x- 3

x +2

x +2

)

)

)

x- 3

)

x +3

1
x +2

=

Vậy với x �0; x �9 thì

) (

x +2 -

x +2

x + 2 x - 10 - x + 4 -

(

)(

1
x +2

Q=

1
x +2

2. Thay x = 16 ( thỏa mãn x �0; x �9 ) vào Q ta được:

1
1
1
=
=
16 + 2 4 + 2 6
1
Q=
6
Vậy khi x = 16 thì

Q=

1
Q= �
3
3.

1
1
= � 3 = x + 2 � x =1 � x =1
x +2 3
( thỏa mãn x �0; x �9 )

Vậy với x = 1 thì

1
Q> �
9
4.
Vì

Q=

1
3

1
1
> �
x +2 9

9- x - 2
7- x
1
1
>0 �
> 0 ( 1)
- >0 �
x +2 9
x +2
x +2

x �0 với mọi x �0; x �9 nên

� ( 1) � 7 -

x + 2 > 0 với mọi x �0; x �9

x > 0 � x < 7 � x < 49

Kết hợp với điều kiện x �0; x �9 nên

0 �x < 49
�
�
�
�
�x �9

�

0 �x < 49
�
1
�
Q
>
�
x �9
9
Vậy với �
thì
5. Vì

x �0 với mọi x �0; x �9 nên

1
x +2

x + 2 �2 với mọi x �0; x �9

1
‫ޣ‬
2 với mọi x �0; x �9

1
Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi x = 0 ( thỏa mãn x �0; x �9 )
Page 14


Bài 2: Cho biểu thức

P





3 x  2 2 x 3 3 3 x 5


x 1
3 x x  2 x 3 .

a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị của P, biết x  4  2 3 ;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: x �0; x �9 .

P

3 x  2 2 x 3


x 1
x 3

a)











3

x 2





3 3 x 5





x 1



x 3



 
  x  1  3  3
 x  1  x  3

x 3  2 x 3

x 5



3 x  9 x  2 x  6  2 x  2 x  3 x  3  9 x  15





5 x  17 x  6



x 1

x 3



x 1

x 3





5 x  15 x  2 x  6



5




x 1


x  1 
x 2

b) Ta có

P

P  5

x 3
x 3

5

Do đó:

c) Ta có





 5

x  42 3 

P

Vì

x 3









3 1  2



3 1 1

x 2
x 1



.

2

3 1 � x  3 1





;






5 3 3 5 3 3 2 3

 7 3 9
32
3 2 2 3





5 x 2 5 x 57

x 1
x 1

7
x 1 .

7
0
�
x 1
nên P có giá trị nhỏ nhất

7
x  1 lớn nhất
Page 15

.


�

x  1 nhỏ nhất � x  0 .

Khi đó min P  5  7  2 .

� x 1 2 x
5 x 2� 3 x x
Q�
� x 2  x 2  4 x �
�: x  4 x  4
�
�
Bài 3: Cho biểu thức
a) Rút gọn Q;
b) Tìm x để Q  2 ;
c) Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm.
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: x  0; x �4; x �9 .

a)









� x 1 2 x
5 x 2� 3 x x
Q�



�
� x 2
�: x  4 x  4
4

x
x

2
�
�





x 1



x 2 2 x



x 2





 

x 2  5 x 2
x 2



2

x  3 x  2  2x  4 x  5 x  2






x 2

x  2 x
x 2
 x



x 2





x 2
x 2

Q  2 �

b)
�



x 2




.



.





x 2









x 2





2

x 3 x



2

x 3 x
x 2

.





2

x 3 x



x 2
x 3



x 2
2
x 3

x 2  2 x 6

�  x  8 �

Q0�
c)
�



x 2

 : x  3 x 
 x  2

x  8 � x  64 .(Thỏa mãn ĐKXĐ).

x 2
0
x 3

x  3  0 (vì

x 2  0 )�

x  3 � x  9.

Kết hợp với điều kiện xác định ta có
Bài 4: Cho biểu thức

B

Q  0 khi 0  x  9 và x �4 .

a
3
a2


a 3
a  3 a  9 với a �0; a �9

a) Rút gọn B.
Page 16

b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên
Hướng dẫn giải
Với a �0; a �9 ta có:

a)

a
3
a2
a
3
a2




a  3 ( a  3)( a  3)
a 3
a 3 a 9 = a 3

B


a ( a  3)
3( a  3)
a2


( a  3)( a  3) ( a  3)( a  3) ( a  3)( a  3)



a 3 a 3 a 9  a  2
11

a 9
a  3)( a  3)

b) Để
Ư

B �Z �

11
�Z � 11M(a  9) � (a  9) �
a 9
Ư (11)

(11)   1;11; 1; 11

Vậy

. Khi đó ta có bảng giá trị

a9

-11

-1

1

11

a

-2

8

10

20

Khơng thoả mãn

Thoả mãn

Thoả mãn

Thoả mãn

a � 8;10; 20

thì B �Z

Bài 5: Cho biểu thức

A

x2 x
x 1
1 2x  2 x


x x 1 x x  x  x
x 2  x ( Với x  0, x �1 )

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn giải

a)

A

x 2
.
x  x 1

b) Cách 1: Với x  0, x �1 � x  x  1  x  1  1.
x 2
x 2
1
0 A

 1
 2.
x


x

1
x

1
x

1
Vậy
x 2
1� x 1
x  x 1
Vì A nguyên nên A = 1
( Khơng thỏa mãn).
Vậy khơng có giá trị nguyên nào của x để giả trị A là một số nguyên.
Cách 2: Dùng miền giá trị
�

A=

x +2
x + x +1

� Ax+(A - 1) x + A - 2 = 0

Page 17


Trường hợp 1: A  0 � x  2 � x ��

1
A �0 �   (A  1) 2  4 A( A  2)  3 A2  6 A  1 �0 � A2  2 A  �0
3
Trường hợp 2:
4
4
� A2  2 A  1 � � (A  1)2 � � A � 1; 2 doA �Z , A  0
3
3
Với A = 1 => x = 1 ( loại)
x 2
�
2� x0
x  x 1
Với A = 2
( loại).

P=
Bài 6: Cho biểu thức

x- 3
x- 2
9- x
+
2 - x 3 + x x + x - 6 với x �0; x �4

a) Rút gọn P

b) Tìm x để

c) Tìm x để

P=

7
12

P>

1
2

1
d) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
e) Tìm tất cả các giá trị hữu tỷ của của x để P nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải

x �0; x �4 thì

a) Với
=

=

x- 3
2-

=

=

x

x- 3
2-

-

x

+

+

x- 3

=-

(

3+ x
x- 2
3+ x
+

-

x

-

x- 2

x

(
(

9- x

) (

)

x +3 - 2 x +3
9- x

) (

)

x +3 - 2 x +3
9- x

-

3+ x

2

x-

9- x +

x- 2

x- 3
x- 2
9- x
+
2 - x 3 + x x +3 x - 2 x - 6

( x + 3)( x - 2)
3)( x + 3) + ( x - 2) - 9 + x
( x + 3)( x - 2)

x- 2

(

P=

(

)

2

x - 2 - 9+ x

)(

x +3

)

x- 2

=

(

(

)

x- 2

)(

x +3

2

)

x- 2

Page 18

=

x- 2
x +3


x- 2
x +3

P=

x �0; x �4 thì
7
x- 2 7
P= �
= � 12 x - 24 = 7 x + 21 � 5 x = 45
12
12
x
+
3
b)
� x = 9 � x = 81 ( thỏa mãn x �0; x �4 )
7
P=
12
Vậy với x = 81 thì
Vậy với

P>

c)

1
�
2

x- 2 1
> �
x +3 2

x- 2 1
2 x - 4- x - 3
- >0 �
>0
�
x +3 2
2 x +3

(

x- 7
>0
x +3
(3)

)

x �0 với mọi x �0; x �4 nên x + 3 > 0 với mọi x �0; x �4
Nên (3) � x - 7 > 0 � x > 7 � x > 49
x �0; x �4 .

Kết hợp với điều kiện
Vì

Vậy x > 49 thì

P>

1
2

1
x +3
x - 2 +5
5
=
=
=1+
x- 2
x- 2
x- 2
d) Ta có P
5
1
5M x - 2
� x - 2 là Ư (5) = { �1; �5}
P nguyên � x - 2 nguyên �

(

)

Lập bảng:

x- 2

-1

1

-5

5

x
x

1

3

-3

7

1
Thỏa mãn

9
Thỏa mãn

Loại

49
Thỏa mãn

1
x �{1;9;49}
Vậy
thì P ngun.

P=
e) Ta có

x- 2
x +3- 2
=
= 1x +3
x +3

2
x +3

Vì

2
x + 3 > 0 nên P <1 với mọi x �0; x �4

Mà

2

2
x =-�-�-�-�‫�ޣ‬+
3 3
x +3 3

2
x +3

2
3

1

2
x +3

1

1
�P <1
Do đó 3
. Vậy khơng có giá trị hữu tỷ nào của x để P nguyên.
Page 19

2
3

1
3

� 1 �� x  1 1  x �
P�
1

�
�: �
x ��
x
x x �
�
�
�, (với x  0 và x �1 ).
Bài 7: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tính giá trị của biểu thức P tại x  2022  4 2018  2022  4 2018 .
Hướng dẫn giải
a) Ta có

Và

1

1

x

x 1
x

x 1 1 x x 1 1 x



x
x x
x 1 x









x  1
x 1

x
x


b) Có x  2022  4 2018  2022  4 2018


2018  2 





x 1
x 1

2018  2  2018  2  2018  2  4

Bài 8: Cho hai biểu thức



2





2018  2

thỏa mãn điều kiện x  0 và x �1 .

x 2
B
x  5 và

3
20  2 x

x  25 với x �0, x �25 .
x 5

a) Tính giá trị biểu thức A khi x  9 .

B
b) Chứng minh rằng

1
x 5 .

A  B. x  4
c) Tìm tất cả các giá trị của x để
.
Hướng dẫn giải
a) Tính giá trị biểu thức A khi x  9 .

Khi x  9 ta có

A

9  2 3 2
5


2
9 5 35

B

1
x 5 .

B

3
20  2 x 

x  15
x 5

b) Chứng minh rằng

Với x �0, x �25 thì



3

x 5

Page 20

x 1
x .

2

4 1 3

2.
4

+ Vậy giá trị của biểu thức P tại x  4 là:
A

nên

2018  2

x 1 x 1
.

x
x 1

P



20  2 x
x 5



x 5






3





x  5  20  2 x



x 5



x 5





3 x  15  20  2 x



x 5



x 5

A  B. x  4

c) Tìm tất cả các giá trị của để







x 5
x 5



1
x  5 (đpcm)



x 5 

.

A  B. x  4
Với x �0, x �25 Ta có:
�

x 2


x 5

1
. x4
�
x 5

x 2  x4

Nếu x �4, x �25 thì (*) trở thành :
� x x 6  0 �

Do

x  2  0 nên



x 3



x 2  x4



x 2 0

x  3 � x  9 (thỏa mãn)

Nếu 0 �x  4 thì (*) trở thành :
� x x 2 0 �

Do

(*)

x  2  0 nên





x 2  4 x



x 1

x 2 0

x  1 � x  1 (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị x  1 và x  9 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 9: Cho biểu thức

B=

2( x + 4)

x- 3 x - 4

x
x +1

+

8
x - 4 với x �0; x �16

a) Rút gọn B.
b) Tìm giá trị của x để B = 1

3
c) Tính giá trị của x sao cho B khơng vượt q 2
d) Tìm giá trị của B khi x thỏa mãn đẳng thức

2x - 1 = x

e) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.
Hướng dẫn giải

x �0; x �16 thì

a) Với

=

x

(

2 ( x + 4)

)

x +1 - 4

(

B=

)

x +1

2 ( x + 4)
x+ x - 4 x - 4
+

x
x +1

x
x +1

+

8
=

x- 4

Page 21

(

8
x- 4

2 ( x + 4)

)(

x- 4

)

x +1

+

x
x +1

8
x- 4


=

(
3 x

(

(

2x +8 + x

(

x- 4

x-

)

) (
4)( x +1)

) = 2x +8 + x - 4
( x - 4)(

x- 4 - 8

x +1

)

x +1

=

(

3x - 12 x
x- 4

)(

)=

x +1

x- 4

3 x
3 x
B=
x +1 = x +1
x �0; x �16 thì
x +1
Vậy với

)(

)

3 x
1

1
= 1 � 3 x = x +1 � 2 x = 1 � x = � x =
2
4
x +1

B =1 �
b)

( thỏa mãn

3
2

3 x- 3
‫ۣޣ‬
2 x +1

0

(

x=

x �0; x �16 ). Vậy

3 ‫ۣޣޣ‬
B
c) B không vượt quá 2

)

0

x- 1
x +1

‫ۣޣ‬

1
4 thì B = 1

3 x
x +1

x 1
Suy ra (*) �-‫�ޣޣ‬
Kết hợp với điều kiện

0

6 x- 3 x- 3
3
3 x
3
‫ۣޣ‬
- �0
2 x +1
2 � x +1 2

(

)

0

(*)

x �0 với mọi x �0; x �16 nên

Vì

x- 8 x- 8

x

1

x +1 > 0 với mọi x �0; x �16
x

1

x �0; x �16

3
Vậy 0 �x �1 thì B khơng vượt q 2
d) Ta có

2x - 1 = x

2

(

2
2
x �0; x �16 ) � 2 x - 1 = x � x - 2 x +1 = 0 � ( x - 1) = 0 � x = 1

x �0; x �16 )

�B=

3 1
3
=
1 +1 2 Vậy

B=

3
2

2 x - 1 = x thì
3 x
3 x +3 - 3
3
3
B=
=

= 3<3
>0
x �0; x �16 )
x +1
x +1
x +1
e)
( vì x +1
với
x �0; x �16 nên x +1 �1 với mọi x �0; x �16
Vì x �0 với mọi
3
3
3
�-�-�-�‫ޣ‬3
3 3
0
x +1
x +1
x +1
B �{ 0;1; 2}
Suy ra 0 �B < 3 Mà B �Z nên
( thỏa mãn

B =0 �

3 x
=0 � x =0
x +3
( thỏa mãn)

B =1 �

3 x
3
9
=1 � 3 x = x + 3 � x = � x =
2
4 ( thỏa mãn)
x +3

TH1:
TH2:

Page 22


B=2�
TH3:

3 x
= 2 � 3 x = 2 x + 6 � x = 6 � x = 36
x +3
( thỏa mãn)

�9 �
x ��
0; ;36�
�
4 �

�thì B �Z
�
Vậy

�x + 2 x - 2
�
x- 1
1 �
�
P = 1: �
+
�
�
�
� x x +1
x - x +1
x +1�
�
�

với x > 0

Bài 10: Cho biểu thức
a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P biết x = 7 - 4 3
c) Tìm x để P = 2 x - 1
d) Tìm m để có giá trị x thoả mãn P = m
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Hướng dẫn giải

�x + 2 x - 2
�
x- 1
1 �
�
P = 1: �
+
�
�
�
�
x - x +1
x +1�
� x x +1
�
a) Với x �0 thì

�
�
x- 1
1 �
� x +2 x - 2
= 1: �
+
�
� x +1 x - x +1 x - x +1
x +1�
�
�

(

=

=

)(

(

)

)(

)

x +1 x -

x +1

x + 2 x - 2 - x +1 + x -

(

)(
x(

x +1 x -

)

x +1

Vậy với x > 0 thì
b) Với

) = x-

x +1

P=

x-

x +1

=

(

)(

x +1 x x+ x

x +1
x

x +1
x

(

x = 7 - 4 3 = 4 - 2.2. 3 + 3 = 2 -

� x=

( 2-

3

)

2

= 2-

3 = 2-

3

3

)

2

thỏa mãn điều kiện x > 0

( vì 2 > 3 )

x +1 7 - 4 3 - 2 - 3 +1 6 - 3 3
=
=
=3
x
2- 3
2- 3
Vậy với x = 7 - 4 3 thì P = 3
�P=

)

x +1

x-

Page 23


P =2 x - 1�

x-

c)

x +1
=2 x - 1� xx

x +1 = 2 x -

x

� x = 1 (thỏa mãn x > 0 )

Vậy với x = 1 thì P = 2 x - 1

P=

x-

d)

x +1
= m � xx

x +1 = m x � x - ( m +1) x +1 = 0
(1)

Vì 1 �0 nên (1) là phương trình bậc hai.
Đặt

t = x ( t > 0)

(1) trở thành

t 2 - ( m +1) t +1 = 0

(2)

2

D = ( m +1) - 4 = m2 + 2m - 3 = m2 - m + 3m - 3

Ta có
= m ( m - 1) + 3( m - 1) = ( m - 1) ( m + 3)

Phương trình (1) có nghiệm � Phương trình (2) có nghiệm dương
TH1: Phương trình (2) có 2 nghiệm dương

�
1 �0
�
�
�
D = ( m - 1) ( m + 3) �0
�
��۳
�
�
S = m +1 > 0
�
�
�
�
�P = 1 > 0

m - 1 �0
�
�

�
�
m +1 > 0
�

m

1

TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu

� S = 1 < 0 ( vô lý) � Loại
TH3: Phương trình (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0

02 - ( m +1) .0 +1 = 0 � 1 = 0
Với t = 0 thay vào (2) ta được
( vô lý ) � Loại
Vậy m �1 là giá trị cần tìm.

P=

x-

e)

x +1
1
= x+
- 1
x

x

Vì x > 0 nên

x > 0;

1
>0
x
.
x;

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương

1
=2
x
1
� x=
� x =1
x
Dấu “=” xảy ra
( thỏa mãn x > 0 )
x+

1
�2
x

1

x ta được:

x.

Page 24


=

-

‫ޣ‬
P

2 1 1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 1 khi x = 1

�
P =�
1�
�
�
�
Bài 11: Cho biểu thức

�� x + 2
�
x �
x- 3
x- 2 �
�

�
�
:
+
+
�
��
�
� x + 3 2 - x x + x - 6�
x +1�
��
�

với x �0; x �4
a) Rút gọn P

x=

b) Tính giá trị của P biết

3-

5
2

c) Tìm x �Z để P �Z
d) So sánh P với 1
e) Tìm các giá trị của x để P = x - 3 .
Hướng dẫn giải
a) Với x �0; x �4

�
P =�
1�
�
�
�

�
x ��
x +2
x- 3
x- 2 �
�
�
�
�
:
+
+
�
�
��
�
� x +3 2 - x x + x - 6�
x +1��
�
�
x +1- x �
x +2

x- 3
x- 2
�
�
=
:�
+
+
�
�
�
�
� x +3 2 - x x +3 x - 2 x - 6�
x +1
�
�
�
1
x- 3
x- 2
�x + 2
�
=
:�
+
+
�
x +1 � x + 3 2 - x
x x +3 - 2 x - 3 �
�

�
�
�
1
x- 3
x- 2
�x + 2
�
=
:�
+
�
x +1 � x + 3
x- 2
x +3 x - 2 �
�
�

(

)

(

(

x +2

)(

) (

(

)(

x- 2 -

)(

)

)

x- 3

x +3 + x - 2

)(

)

=

1
:
x +1

=

1
x - 4- x +9 + x - 2
1
:
=
.
x +1
x +1
x +3 x - 2

=

x- 2
x- 2
P=
x +1 . Vậy với x �0; x �4 thì
x +1

(

b) Với

x=

3-

)(

5
2

(

x +3

)

)

x- 2

(

)(

x +3

6 - 2 5 5 - 2. 5.1 +1
=
=
=
4
4

Page 25

x- 2

)

x +3

(

)

5- 1
4

2

thỏa mãn x �0; x �4