CÂU HỎI NÂNG CAO PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 LUYỆN THI VÀO 10

Trang 62

CÂU HỎI NÂNG CAO
PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

LUYỆN THI VÀO 10
CHUN ĐỀ 20: TÌM m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CĨ HAI NGHIỆM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC
GIỮA x1 , x2 ( KHÔNG ĐỐI XỨNG – BẬC CAO)
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN
Phương pháp:
Với dạng bài toán này, các em cần phải làm theo 2 bước:
- Bước 1: Tìm điều kiện để tồn tại nghiệm.
a  0
a  0
Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm : 
hoặc hai nghiệm phân biệt 
  0
  0

Chú ý : Điều kiện bị ẩn trong câu hỏi ( nếu có) : Ví dụ có căn, có mẫu số thì cần thêm đkxđ.
- Bước 2: Sử lý biểu thức liên hệ giữa x1 , x2 mà bài cho.
Ưu tiên hàng đầu cho dạng toán này là nhẩm nghiệm.
Khi nhẩm nghiệm xong thì kiểm tra xem có phải chia trường hợp không.
a + b + c = 0

Ta chỉ nhẩm nghiệm với những bài tốn có đặc điểm:  a − b + c = 0
 Δ =a0

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122

Ví dụ: Tìm m để phương trình x − ( m + 2 ) x + m + 1 = 0 có nghiệm thỏa mãn :

Trang 63

2

a)

3

x1 + 3 x2 = 10

b) x12019 + x22020 = 2021 .
Hướng dẫn

x = 1
Các em nhận thấy a + b + c = 0  
.
x = m +1

a) Vì biểu thức x1 , x2 đối xứng, nên các em không phải chia trường hợp:
3

x1 + 3 x2 = 10  3 1 + 3 m + 1 = 10  3 m + 1 = 9  m = 728

b) Ở đây biểu thức giữa x1 , x2 khơng có tính đối xứng, nên các em phải chia hai trường hợp:
 x1 = 1
2020
 x12019 + x22020 = 2021  12019 + ( m + 1) = 2021  m = 2020 2020 − 1

TH1: 
 x2 = m + 1
 x1 = m + 1
2019
 x12019 + x22020 = 2021  ( m + 1) + 12020 = 2021  m = 2019 2020 − 1
TH2: 
 x2 = 1

Trong trường hợp không nhẩm được nghiệm. Ta xử lý như sau:
+ Nếu biểu thức giữa

x1 , x2 khơng có tính đối xứng, bậc  2 ta thường kết hợp với Vi ét để đưa về

biểu thức đối xứng hoặc đưa về phương trình chỉ có 1 ẩn là x1 hoặc x2 .
Ví dụ: Tìm m để phương trình x 2 − ( m − 2 ) x + 3m − 1 = 0 có nghiệm thỏa mãn ( m + 1) x1 + x22 + 3x2 = 10
Hướng dẫn
Sau khi tìm điều kiện có nghiệm, các em nhận thấy x1 + x2 = m − 2  m + 1 = x1 + x2 + 3 .
Lúc đó ( m + 1) x1 + x22 + 3x2 = 10  ( x1 + x2 + 3) x1 + x22 + 3x2 = 10  ( x12 + x22 ) + x1 x2 + 3 ( x1 + x2 ) = 10
Bài tốn đến đây sẽ trở nên đơn giản.
Ví dụ: Tìm m để phương trình x 2 − 4 x + m − 1 = 0 có nghiệm thỏa mãn x23 + 3x22 − x1 = 10
Hướng dẫn
Sau khi tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, các em nhận thấy:

x1 + x2 = 4  x1 = 4 − x2
Sau đó thay vào x23 + 3x22 − x1 = 1  x23 + 3x22 − ( 4 − x2 ) = 1  x23 + 3x22 + x2 − 5 = 0  x2 = 1
Sau đó thay x2 = 1 vào x 2 − 4 x + m − 1 = 0 để tìm m
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Trang 64

+ Có thể tìm biểu thức giữa x1 , x2 khơng phụ thuộc vào m, sau đó kết hợp với phương trình bài cho
để tìm m.
Ví dụ: Tìm m để phương trình x 2 − ( 2m − 1) x + m − 2 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn x1 = − x22
Hướng dẫn
Sau khi tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm, sử dụng định lí Vi-Et ta được:
 x1 + x2 = 2m − 1
 x1 + x2 − 2 x1 x2 = 3

 x1.x2 = m − 2

3
9
Mà x1 = − x22  − x22 + x2 − 2 ( − x22 ) x2 = 3  ( 2 x2 + 3) ( x22 − x2 + 1) = 0  x2 = −  x1 = −
2
4
Mà x1.x2 = m − 2  m =

35
8

ax + bx1 + c = 0
+ Sử dụng chú ý nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình thì  12
để biến đổi các biểu
2


ax2 + bx2 + c = 0

thức trở về đơn giản hơn.

Ví dụ: Tìm m để phương trình x 2 + 2 ( m − 1) x + m − 3 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn: x12 − 2 ( m − 1) x2 + 4 = 0
Hướng dẫn
Sau khi tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm, các em nhận thấy do phương trình có nghiệm là x1
nên x12 + 2 ( m − 1) x1 + m − 3 = 0  x12 = −2 ( m − 1) x1 − m + 3 .
Thay vào biểu thức : x12 − 2 ( m − 1) x2 + 4 = 0 ta được:
−2 ( m − 1) x1 − m + 3 − 2 ( m − 1) x2 + 4 = 0  −2 ( m − 1)( x1 + x2 ) − m + 7 = 0

Đến đây việc giải toán trở nên đơn giản .
+ Biểu thức có dạng x13 = x2 ta thường nghĩ đến ý tưởng nhận xét, đánh giá rồi nhân cả hai vế với

x1  x14 = x2 x1 từ đó xử lý tiếp.
Ví dụ: Tìm m để phương trình x 2 + ( m − 1) x + 16 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn x13 = x2
Hướng dẫn

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122


Trang 65

Sau khi tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm các em nhận thấy: Do x = 0 khơng phải là nghiệm
của phương trình, nên nhân cả hai vế của x13 = x2 với x1  x14 = x2 x1 = 16  x1 = 2 .
Từ đó các em thay x1 = 2 vào phương trình x 2 + ( m − 1) x + 16 = 0 để tìm m.
BÀI MẪU
Bài 1.

Cho phương trình x 2 − 2 ( m − 1) x − 2m = 0

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x12 + x1 − x2 = 5 − 2m
Hướng dẫn

a) Δ ' = m2 + 1  0, m
 x + x = 2m − 2
b) Ta có:  1 2
 x1 x2 = −2m
x12 + x1 − x2 = 5 − 2m  x12 + x1 − ( 2m − 2 − x1 ) = 5 − 2m  x12 + 2 x1 − 3 = 0 .

Suy ra x1 = 1 hoặc x1 = −3
Với x1 = 1 thay vào phương trình được m =
Tương tự x1 = −3 các em tìm được m = −

Bài 2.

3
4

3
4

Cho phương trình : x 2 − 2 x + m − 3 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x12 − 2 x2 + x1 x2 = 16
Hướng dẫn
a) m  4
 x1 + x2 = 2
b) Ta có: 
 x1 x2 = m − 3

Mà x12 − 2 x2 + x1 x2 = 16  x12 − ( x1 + x2 ) x2 + x1 x2 = 16  x12 − x22 = 16
 ( x1 + x2 )( x1 − x2 ) = 16  x1 − x2 = 8 . Mà x1 + x2 = 2 nên x1 = 5; x2 = −3

Thay vào x1 x2 = m − 3 các em tìm được m = −12

Bài 3.

Cho phương trình: x2 − 5x + m − 3 = 0 (1)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Trang 66

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x12 − 2 x1 x2 + 3x2 = 1
Hướng dẫn
a) m 

37
4

 x +x =5
b) Ta có:  1 2
 x1 x2 = m − 3
 x1 = 2
mà x − 2 x1 x2 + 3x2 = 1  x − 2 x1 ( 5 − x1 ) + 3 ( 5 − x1 ) = 1  3x − 13x1 + 14 = 0  
.
 x1 = 7
3

2
1

2
1

2
1

Thay x1 = 2 vào phương trình (1) suy ra m = 9
Thay x1 =

83
7
vào phương trình (1) suy ra m =
9
3

Các em cũng có thể làm: x1 = 2  x2 = 3 rồi thay vào x1 x2 = m − 3 để tìm m

Bài 4.

Cho phương trình: x 2 + mx + n = 0; ( m + n = 6 )

Tìm m, n để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 = x22 + x2 + 2
Hướng dẫn
Ta có: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ  0  m 2  4n (1)
Áp dụng định lí Vi ét ta có:

 x1 + x2 = − m
 x1 x2 − ( x1 + x2 ) = m + n = 6


x
x
=
n
 1 2

Mà x1 = x22 + x2 + 2  ( x22 + x2 + 2 ) .x2 − ( x22 + x2 + 2 + x2 ) = 6
m = − ( x1 + x2 ) = −10
 x23 = 8  x2 = 2  x1 = 8  
n = 16


Bài 5.

Cho phương trình: x 2 − 2 ( m − 1) x + 2m − 5 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
b) Tìm m để ( x12 − 2mx1 + 2m − 1) ( x2 − 2 )  0
Hướng dẫn
a) Ta có Δ ' = ( m − 2 ) + 2  0 m
2

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Trang 67

b) Chú ý: vì x1 là nghiệm của phương trình nên x − 2 ( m − 1) x1 + 2m − 5 = 0
2
1

Ta sẽ biến đổi x12 − 2mx1 + 2m − 1 =  x12 − 2 ( m − 1) x1 + 2m − 5 − ( 2 x1 − 4 ) = − ( 2 x1 − 4 )
Suy ra

(x

2
1

)

− 2mx1 + 2m − 1 ( x2 − 2 )  0

 − ( 2 x1 − 4 )( x2 − 2 )  0  2 ( x1 + x2 ) − x1 x2  4 . Các em thay Vi Et vào tìm được m 

3
2

Cho phương trình : x 2 + mx + n − 3 = 0 (1). Tìm m và n để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình (1)

Bài 6.

 x1 − x2 = 1
thoả mãn hệ thức  2 2
 x1 − x2 = 7

Hướng dẫn
Phương trình có hai nghiệm khi  = m2 − 4n + 12  0 .

 x1 − x2 = 1

x = 4
 x1 − x2 = 1

 1


 x2 = 3
x − x = 7
( x1 − x2 )( x1 + x2 ) = 7  x1 + x2 = 7

 x1 − x2 = 1

Ta có: 

2
1

2
2

 x1 + x2 = −m m = −7

Áp dụng định lí Vi-Et: 
x
.
x
=
n
−
3

n = 15
 1 2
Bài 7.

Cho phương trình x 2 + mx + n = 0 . Tìm m, n biết phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn

 x1 − x2 = 1
 3 3
 x1 − x2 = 7

Hướng dẫn
Phương trình có hai nghiệm khi :  = m2 − 4n  0 .
 x1 + x2 = − m
(1)
Áp dụng định lí Vi –Et: 
 x1.x2 = n
  x1 = −1

 x1 − x2 = 1
 x2 = −2
Ta có:  3 3
( các em tự giải hệ trên)

 x = 2
x
−
x
=
7
 1

2
 1
  x2 = 1

 x1 = −1
TH1: 
thay vào (1) suy ra
 x2 = −2
 x1 = 2
TH2: 
thay vào (1) suy ra
 x2 = 1

m = 3
( thỏa mãn)

n = 2

 m = −3
( thỏa mãn)

n = 2

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Trang 68

Bài 8.

Xác định các hệ số p và q để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình: x 2 + px + q = 0
 x1 − x2 = 5
thoả mãn điều kiện  3 3
 x1 − x2 = 35

Hướng dẫn
Ta có: Δ = p 2 − 4q
Để phương trình có hai nghiệm thì Δ = p 2 − 4q  0
x + x = − p
Áp dụng định lí Vi Ét ta có:  1 2
 x1 x2 = q

 x1 − x2 = 5

mà  3 3
 x1 − x2 = 35

x1 − x2 = 5
x1 − x2 = 5






 2
2
2
2



( x1 − x2 ) x1 + x2 + x1 x2 = 35
 x1 + x2 + x1 x2 = 7

(

(

)

)

x1 − x2 = 5

 x1 − x2 = 5


 2
2
( x1 + x2 ) − x1 x2 = 7
 p − q = 7 (*)


 x1 + x2 = − p (1)

Ta có:  x1 x2 = q ( 2 ) . Từ (1)(2) suy ra:
 x − x = 5 ( 3)
 1 2

5− p


 x1 = 2
thay vào (3)

 x = −5 − p
 2
2

 5 − p  −5 − p 


 = q . Thay vào (*) suy ra :
 2  2 

 p = 1
( tm )

2
q
=
−
6
5
−
p
−
5
−
p
p

−
25




2
p2 − 
= 7  p 2 = 1  p = 1 . Suy ra 

 = 7 p −
  p = −1
2
2
4




( tm )
  q = −6
Bài 9.

a) Cho phương trình x 2 − ( 2m − 1) x + m 2 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn:
x12 + ( 2m − 1) x2 = 8

b) Cho phương trình: x 2 − 2mx + m2 − m + 1 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
x12 + 2mx2 = 9

Hướng dẫn

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: m 

1
4

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Trang 69

Ta có: x1 + x2 = 2m − 1 nên

x12

b) Giải tương tự câu a. m =
Bài 10.

+ (2m − 1) x2 = 8 

x12

+ ( x1 + x2 ) x2 = 8  ( x1 + x2 ) − x1x2 = 8
2

5
3

Tìm m để phương trình x2 + 2mx + 2m2 − 5 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho 9 x12 +

x22

= 10
9

Hướng dẫn
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: − 5  m  5
Biến đổi:
2
x22
9 x + = 10 ⇔ 81x12 + x12 = 90 ⇔ ( 9 x1 + x2 ) = 90 + 18 x1 x2 . Thay x1 x2 = 2m2 − 5
9
2
1

ta được: ( 9 x1 + x2 ) = 36m 2 suy ra 9 x1 + x2 = 6m hoặc 9 x1 + x2 = −6m
2

Đến đây các em tự giải.
Bài 11.

Cho phương trình x 2 + 3x + m2 − 8 = 0 . Tìm m để phương trinh có hai nghiệm thỏa mãn:

( x1 −1)( x1 + 2x2 ) = ( m + 2 −

)(

6 . m+2+ 6

)
Hướng dẫn

Phương trình có hai nghiệm khi Δ  0 
Ta có: ( x1 − 1)( x1 + 2 x2 ) = ( m + 2 ) − 6  ( x1 − 1)( x1 + x2 + x2 ) = ( m + 2 ) − 6
2

2

 ( x1 − 1)( x2 − 3) = ( m + 2 ) − 6  x1 x2 − ( x1 + x2 ) − 2 x1 − 3 = ( m + 2 ) − 6
2

2

Suy ra x1 = −2m  x2 = 2m − 3 thay vào x1 x2 = m2 − 8  m = 2

Bài 12.

Cho phương trình : x 2 − 2 ( m − 2 ) x − 2m = 0

a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm.

b) Tìm m để x1 − x2 = x12 .

Hướng dẫn
a) HS tự làm
b) Ta có: x1 + x2 = 2m − 4; x1 x2 = −2m  ( x1 + x2 ) + x1 x2 = −4 (1)
Vì x1 − x2 = x12  x2 = x1 − x12 thay vào (1) suy ra: x13 − 2 x1 − 4 = 0  x1 = 2  x2 = −2
Suy ra m = 2 .
Bài 13.

Cho phương trình: 2 x 2 + mx + m − 2 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 sao cho

x1 − x2 = x1x2
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Trang 70

Hướng dẫn
Vì a = 1 nên phương trình có hai nghiệm khi Δ  0  m2 − 8m + 18  0  (m − 4)2  0 ln đúng với mọi
m. Vậy phương trình có hai nghiệm với mọi m.
m
m


 x1 + x2 = − 2
 x1 + x2 = − 2 (1)


m−2
m−2


Áp dụng định lí ViEt ta có:  x1.x2 =
  x1.x2 =
( 2) .
2
2


m−2
 x1 − x2 = x1.x2



 x1 − x2 = 2 ( 3)



1

 x1 = − 2
1  1− m  m − 2
Từ (1) và (3) suy ra : 
thay vào (2) ta được: − 
 m = 3 . Vậy m = 3 .
=
2 2 
2
x = 1− m
 2
2
Bài 14.

Cho phương trình: x 2 − 2 x + 3 − m = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:

2 x13 + (m + 1) x22 = 16

Hướng dẫn
Điều kiện: m  2
 x2 = 2 − x1
 x1 + x2 = 2


Áp dụng định lí Vi Ét ta có: 
2
 x1 x2 = 3 − m
 m = 3 − x1 x2 = 3 − x1 ( 2 − x1 ) = x1 − 2 x1 + 3

Thay vào biểu thức 2 x13 + (m + 1) x22 = 16 ta được:
2 x13 + (m + 1) x22 = 16  2 x13 + ( x12 − 2 x1 + 3 + 1) ( 2 − x1 ) = 16
2

 2 x13 + ( x12 − 2 x1 + 3 + 1) ( 2 − x1 ) = 16  x14 − 4 x13 + 16 x12 − 24 x1 = 0
2

 x1 = 0
 x1 ( x1 − 2 ) ( x − 2 x1 + 12 ) = 0   x1 = 2
( HS tự giải tiếp)
 x12 − 2 x1 + 12 = 0 ( vn )
2
1

Bài 15.

Cho phương trình: x 2 − 2(m + 1) x + 2m + 1 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x12 = x2
Hướng dẫn
b) Theo a phương trình ln có hai nghiệm với mọi m.
x = 1
Vì a + b + c = 1 − 2(m + 1) + 2m + 1 = 0  
 x = 2m + 1

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Trang 71

TH1: x = x2  1 = 2m + 1  m = 0
2
1

2

m = 0
TH2: (2m + 1) 2 = 1  
 m = −1

Tìm m để phương trình x2 − 2mx + m2 − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn

Bài 16.

x13 − x13 = 10 2 .

Hướng dẫn
Vì  = 2  0  Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
 x1 + x2 = 2m
Áp dụng định lí Vi Ét: 
.
2
 x1.x2 = m − 2
2
Ta có: x13 − x13 = 10 2  ( x1 − x2 )  ( x1 + x2 ) − x1 x2  = 10 2

 ( x1 − x2 ) . ( 3m2 + 2 ) = 10 2

Bình phương tiếp hai vế tìm được m = 1
Cho phương trình x2 − ( m + 2 ) x + m + 8 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 17.

x1 , x2 thỏa mãn x13 = x2 .
Hướng dẫn
 m  28
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 là : 
 m  − 28
 x1 + x2 = m + 2
 x1 x2 = m + 8

Áp dụng định lí Vi Ét: 

Vì x13 = x2 nên x1 , x2 cùng dấu, suy ra x1x2  0  m  −8
Ta có: x13 = x2  x14 = x2 x1 = m + 8  x1 = 4 m + 8
Đặt t =

4

 x2 = t 3
m+8  0 
. Vì x1 + x2 = m + 2 nên ta có phương trình:
4
m + 2 = t − 6

t + t 3 = t 4 − 6  ( t − 2 ) ( t 3 + t 2 + 2t + 3 ) = 0

Vì t  0  t = 2  m = 8

Bài 18.

Cho phương trình x 2 − 2 x − 2m − 1 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

sao cho

x13 + ( 2m + 5 ) x2 + 2m x23 + ( 2m + 5 ) x1 + 2m 122
+
=
2
2
11
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Trang 72

Hướng dẫn
Điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt: m  −1
 x + x2 = 2
Áp dụng định lí Vi Ét:  1
 x1 x2 = −2m − 1

Ta có: x12 − 2 x1 − 2m − 1 = 0  x12 = 2 x1 + 2m + 1
x13 + ( 2m + 5 ) x2 + 2m = x1.x12 + ( 2m + 5 ) x2 + 2m = ( 2 x1 + 2m + 1 ) .x1 + ( 2m + 5 ) x2 + 2m
= ........ = 10m + 12

Bài 19.

Tìm m để phương trình x 2 − ( m + 3) x + 3m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn

x12 − 5x1 + 2 x2 = 0

Hướng dẫn
x = 3
 phương trình ln có hai nghiệm
Các em chuyển phương trình về dạng: ( x − 3)( x − m ) = 0  
x = m

với mọi m
x = 3
TH1:  1
. Thay vào x12 − 5x1 + 2 x2 = 0 để tìm m
 x2 = m
x = m
TH2:  1
. Thay vào x12 − 5x1 + 2 x2 = 0 để tìm m
 x2 = 3

Bài 20.

(Đề tuyển sinh 10- Bình Phước-2019-2020) Cho phương trình x 2 − ( m + 2 ) x + m + 8 = 0 . Tìm

m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn x13 = x2 .
Hướng dẫn
Sau khi tìm điều kiện có hai nghiệm dương, các em biến đổi theo một trong hai cách sau:

Cách 1: x13 = x2  x14 = x1.x2 = m + 8  x1 = 4 m + 8; x2 = 4 ( m + 8) rồi thay vào tổng x1 + x2 = m + 2 ,
3

được

4

m+8 +

4

( m + 8)

3

4

t = m + 8  0
= m+2 
t = 2m=8
3
2
t
−
2
t
+
t
+
2

t
+
3
=
0
(
)
(
)



 x1 + x2 = m + 2
 x1.x2 − ( x1 + x2 ) = 6
 x1.x2 = m + 8

Cách 2: Ta có: 

Mà x13 = x2  x14 − x1 − x13 = 6  ( x1 − 2 ) ( x13 + x12 + 2 x1 + 3) = 0  x1 = 2 ( vì x1 , x2  0 )
Với x1 = 2  m = 8
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Cho phương trình x 2 − (2m − 1) x + m2 − 1 = 0 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Trang 73

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn ( x1 + x2 ) = x1 − 3x2
2

Bài 2. Cho phương trình x 2 − 2mx + m2 − 4 = 0 .

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = x1 x2
Bài 3. Cho phương trình x 2 − 2 x + m + 3 = 0 .

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 + 12 = 2 x2 − x1 x2
Bài 4. (Chuyên sư phạm Hà Nội 2007)

Cho phương trình x 2 + 6 x + 6a − a 2 = 0
a) Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm.
b) Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình. Hãy tìm a sao cho x2 = x12 − 8x1
Bài 5. Cho phương trình: x 2 − 2 ( m − 1) x + 2m − 5 = 0 ( m là tham số ). Chứng minh phương trình ln có

hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:

(x

2
1

− 2mx1 − x2 + 2m − 3)( x22 − 2mx2 − x1 + 2m − 3) = 19.

Bài 6. Cho phương trình x 2 + ( a − 4 ) x + a 2 − 3a + 3 = 0 . Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình. Tìm giá

trị của a để
ax12
ax22
8
+
= − ( thi học sinh giỏi năm 2002 -2003)

1 − x1 1 − x 2
9
Bài 7. Cho phương trình x2 − 2 ( m + 1 ) x + 2m − 2 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm với mọi m
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 . Tính giá trị của biểu thức A = x12 + 2 ( m + 1 ) x2 + 2m − 2
Bài 8. Phương trình x 2 + x + m − 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , thỏa mãn

6 − m − x1 6 − m − x2 10
+
=
x2
x1
3
Bài 9. Phương trình x2 − 2 ( m − 1 ) x − 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt, thỏa mãn x12 + x1 − x2 = 5 − 2m
Bài 10. Phương trình x2 − ( 2m + 1 ) x + m2 − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , thỏa mãn

( x12 − 2mx1 + m2 ) ( x2 + 1 ) = 1
Bài 11. Phương trình x2 − 2 ( m − 1 ) x − 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , thỏa mãn

x1 = 5 − 2m + x2 − x1
Bài 12. Phương trình x 2 − x + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , thỏa mãn x1 =

7 − x1 x2 − 3x2

Bài 13. Phương trình 2013x2 − ( m − 2014 ) x − 2015 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , thỏa mãn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Trang 74

x + 2014 − x1 =
2
1

x + 2014 + x2
2
2

Bài 14. Phương trình x2 – 2 ( 2m + 1 ) x + 4m2 + 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện

x1 − x2 = x1 + x2
Bài 15. Phương trình x 2 − 2 x − 2m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện

x22 .( x12 − 1) + x12 .( x22 − 1) = 8 .
Bài 16. Phương trình x2 − 5 x + m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 − 2 x1 x2 + 3x2 = 1
Bài 17. Phương trình x 2 + 5 x + 3m − 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: x13 − x23 + 3x1 x2 = 75
2
Bài 18. Cho phương trình x − (m − 2) x − 3 = 0 ( m là tham số). Chứng minh phương trình ln có hai

nghiệm phân biệt: x1 ; x2 với mọi m . Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức

x13 + 2018 − x1 = x22 + 2018 + x2
Bài 19. Cho phương trình a.x 2 + bx + c = 0, a  0 có 2 nghiệm x1 , x2 .thoả mãn x1 = x22

Chứng minh rằng: a3 + a 2c + ac 2 = 3abc .
Bài 20. Cho phương trình x 2 − 2mx + m2 − m = 0 (1) .Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm phân

biệt x1 , x2 sao cho:
a)

x1 = 3x2

b) x1 , x2 là độ dài hai đường chéo của 1 hình thoi có cạnh là 1.
c)

x1
x
+ 2 =4
x2
x1

Bài 21. Cho phương trình: x 2 − 2 ( m + 1) x + 6m − 4 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa

mãn ( 2m − 2 ) x1 + x22 − 4 x2 = 4
Bài 22. Cho phương trình: x 2 − 2 x + m − 3 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

thỏa mãn hệ thức : x12 + 12 = 2 x2 − x1 x2 .
Bài 23. Cho phương trình x 2 − 2mx + m2 − 9 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

thỏa mãn x12 = 7 − x2 ( x1 + 2m ) .
Bài 24. (Thanh Hóa – 2019-2020) Cho phương trình x 2 − 2 ( m − 1) x + 2m − 5 = 0 ( m là tham số) . Chứng

minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn
hệ thức: ( x12 − 2mx1 − x2 + 2m − 3) . ( x22 − 2mx2 − x1 + 2m − 3) = 19 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Trang 75

Bài 25. (Thi thử Yên Nghĩa – 2019-2020) Cho phương trình x + 2 ( m − 1) x + 4m − 11 = 0 . Tìm m để
2

phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức 2 ( x1 − 1) + ( 6 − x2 )( x1 x2 + 11) = 72 .
2

Bài 26. (Thi Thử - Cao Xuân Huy – 2019-2020) Cho phương trình x 2 − 2 ( m + 2 ) x + m 2 − 3 = 0 . Tìm m

để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn ( x1 − 2 ) + 2mx2 + m 2 − 28 = 0 .
2

Bài 27. (Dựa vào đề thi Tạ Quang Bửu-2020-2021) Cho phương trình x 2 − ( m − 1) x − 1 = 0 . Tìm m để

phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x2 .m + x12 − x2 = 2 .
Bài 28. Cho phương trình − x 2 − 4mx − 4m − 2 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn

x1 − 4 x2 − x22 = 4m + 4 .
Bài 29. (Dựa trên đề KSCL-Phương Liệt-2019-2020). Cho phương trình x 2 − 2 x + m − 5 = 0 . Tìm m để

phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 + 2 x2  6 .
Bài 30. (Dựa trên đề KSCL-Bắc TL- 2019-2020). Cho phương trình x 2 − 2mx + m2 − 1 = 0 . Tìm m để

phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 2 x12 + 4mx2 − 2m2 − 3  0 .

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122