CÁC BÀI TOÁN HÌNH 8 TRONG ĐỀ THI HỌC KÌ II CÁC TRƯỜNG HÀ NỘI

CÁC BÀI TỐN HÌNH 8
TRONG ĐỀ THI HỌC KÌ II
CÁC TRƯỜNG HÀ NỘI
Câu 1. (Lê Q Đơn-2018) Cho hình vng ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE =

1
AB . Đường
3

thẳng DE cắt CB kéo dài tại K
a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng BKE
b) Gọi H là hình chiếu của C lên DE. Chứng minh AD.HD=HC.AE.
c) Tính diện tích tam giác CDK khi AB = 6cm.
d) Chứng minh CH .DK = CD2 + CB.KB
Câu 2. (Lương Thế Vinh - 2018) Cho ABC vuông tại A , đường cao AH .
a. Chứng minh ABC ∽ HBA
b. Cho BH = 4cm, BC = 13cm . Tính AH , AB
c. Gọi E là một điểm tùy ý trên AB , đường thẳng qua H và vng góc với HE cắt cạnh AC tại F .
Chứng minh AE.CH = AH .FC
d. Xác định vị trí của E trên AB để đoạn FE có độ dài ngắn nhất.
Câu 3. (Nguyễn Du-2018). Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm; BC = 6cm . Qua điểm D kẻ đường
thẳng m vuông góc với DB , cắt tia BC tại E . Kẻ CH vng góc với DE tại H .
a) Chứng minh
b) Chứng minh DC 2 = CH.DB .
c) Gọi giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD là O . Hai đường OE và HC cắt nhau tại I .
Chứng minh I là trung điểm của HC và tính

SECH
.
SEBD

d) Chứng minh ba đường thẳng OE, DC, BH đồng quy.
Câu 4. (Xuân Đỉnh - 2018) Cho ABC vuông tại A , đường cao AH , H  BC
a) Chứng minh: ABC đồng dạng với HAC
Gv: Nguyễn Chí Thành


b) Chứng minh: HBA đồng dạng với HAC từ đó suy ra AH 2 = BH .HC .
c) Kẻ đường phân giác BE của tam giác ABC ( E  AC ). Biết BH = 9cm , HC = 16cm . Tính độ dài các
đoạn thẳng AE, EC .
d) Trong AEB kẻ phân giác EM ( M  AB ). Trong BEC kẻ phân giác EN ( N  BC ). Chứng minh
rằng :

BM AE CN
.
.
=1.
MA EC BN

Câu 5. (Ba Đình - 2018). Cho tam giác ABC vng tại A có AB  AC. Lấy M là một điểm tùy ý trên
cạnh BC. Qua M kẻ đường thẳng vng góc với BC và cắt đoạn thẳng AB tại I , cắt đường thẳng

AC tại D.
a) Chứng minh: ABC ഗ MDC.
b) Chứng minh rằng: BI .BA = BM .BC.
c) Chứng minh: BAM = ICB. Từ đó chứng minh: AB là phân giác của KAM với K là giao điểm của

CI và BD.
d) Cho AB = 8 cm, AC = 6 cm. Khi AM là đường phân giác trong tam giác ABC , hãy tính diện tích tứ
giác AMBD.
Câu 6. ( Đan Phượng -2018) Cho ABC vuông tại A . Kẻ đường cao AH ( H  BC ), đường phân giác

BD của ABC cắt AH tại E , ( E  AH ) và cắt AC tại D, ( D  AC ) .
a) Chứng minh HBA ∽ ABC . Từ đó suy ra BA2 = BH .BC
b) Biết AB = 12cm, AC = 16cm . Tính AD .
c) Chứng minh

DA BE
=
DC BD

Câu 7. (Nam Trung Yên – 2018) Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH .
a) CMR: HBA đồng dạng với HCB , từ đó suy ra HB2 = HC.HA .
b) Kẻ HM ⊥ AB = M , HN ⊥ BC = N. Chứng Minh rằng: MN = BH.
c) Lấy I, K lần lượt là trung điểm của HC và HA. Tứ giác KMNI là hình gì? Vì sao?
d) So sánh diện tích tứ giác KMNI và diện tích tam giác ABC.
Câu 8. (Phúc Diễn - 2018): Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH .
1) chứng minh

ABC

HBA . Từ đó suy ra AB2 = BH .BC

2) Kẻ HM ⊥ AB tại M , HN ⊥ AC tại N. Chứng minh : tứ giác AMHN là hình chữ nhật .Từ đó so sánh
độ dài đoạn thẳng AH và MN
3) Cho BC = 10 cm , AH = 4 cm . Tính diện tích

AMN.

4) Chứng minh : BM .BA + CN.CA  2.AH 2 .
Câu 9. (Tây Hồ - 2018): Cho ABC vuông tại A, AB  AC. Điểm I di động trên cạnh BC ( I khác

B, I khác C ). Từ I kẻ đường thẳng vng góc với BC, cắt AB ở M , cắt tia CA ở N .
a) Chứng minh IBM ഗ ABC.
Gv: Nguyễn Chí Thành


b) Chứng minh CI .CB = CA.CN.
c) So sánh IAC và NBC.
d) Cho AB = 20cm, AC = 15cm. Tính tổng S = CA.CN + BM . BA.
Câu 10. (Thanh Trì - 2018): Cho ABC vng tại A, đường cao AH . Kẻ đường phân giác AD của

CAH và đường phân giác BK của ABC ( D  BC , K  AC ) . BK cắt lần lượt AH và AD tại E
và F .
a. Chứng minh: AHB

CHA

c. Chứng minh: KD AH

b. Chứng minh: AEF
d. Chứng minh:

BEH

EH KD
=
AB BC

Câu 11. (Nguyễn Công Trứ - 2018 ) Cho ABC ( AB  AC ) . Đường cao BM , CN cắt nhau tại H .
a) Chứng minh ABM ∽ CAN

b) Chứng minh AMN ∽ABC
c) Chứng minh BH .BM + CH .CN = BC 2
d) Giả sử BAC = 60o . Chứng minh SAMN =

1
SABC
4

Câu 12. (Cầu Giấy 2018) Cho tam giác MNP vuông tại M , đường cao MH
a) Chứng minh HNM ∽ MNP
b) Chứng minh hệ thức MH 2 = NH.PH
c) Lấy điểm E tùy ý trên cạnh MP ( E khác M , P ), vẽ điểm F trên cạnh MN sao cho FHE = 900 .
Chứng minh NFH ∽ MEH và NMH = FEH
d) Xác định vị trí của điểm E trên MP sao cho diện tích HEF đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 13. (ARCHIMEDES 2018) Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao BD , CE .
a).Chứng minh rằng AE. AB = AD.AC .
b).Chứng minh rằng ADE = ABC .
c).Tính diện tích tứ giác BEDC , biết SABC = 40cm2 , BAC = 60 .
d).Kẻ EH và DK cùng vng góc với BC ( H , K  BC ) , kẻ HM song song với AC , KN // AB

(M  AB, N  AC ) . Chứng minh rằng ba đường thẳng EK , DH , MN đồng quy.
Câu 14. (Trưng Vương - 2018) Cho đoạn thẳng AB = 12cm, M là trung điểm của AB. Trên cùng một nửa
mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By cùng vng góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC = 4cm.
Đường thẳng vng góc với MC tại M cắt tia By tại D. Hình vẽ đúng 0,25 điểm. HS khơng phải ghi
GT – KL.
a) Chứng minh: Tam giác AMC đồng dạng với tam giác BDM.
b) Tính độ dài BD.
c) Chứng minh: CM là tia phân giác của góc ACD.
Gv: Nguyễn Chí Thành

d) Hạ MH vng góc với CD ( H  CD). Chứng minh AHB = 90o .
Câu 15. (Ba Đình - 2019): Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH .
a) Chứng minh ABH đồng dạng với CBA
b) Cho BH = 4cm , BC = 13cm . Tính độ dài đoạn AB .
c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB , đường thẳng qua H và vng góc với HE cắt cạnh AC tại F. Chứng
minh: AE.CH = AH.FC
d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất.
Câu 16. (Dịch Vọng - 2019): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AB, kẻ BM vng
góc với tia CH tại M, MB cắt AC kéo dài tại I.
a) Chứng minh HMB ~ HAC .
b) Chứng minh IM.IB=IA.IC.
c) Tính tỉ số

S IAM
AM
biết
S IBC
BC

1
.
2

d) Vẽ IH cắt BC tại K. chứng minh BH .BA CH .CM IH .IK

1
IB2 IC 2 BC 2
2

Câu 17. (Nguyễn Trường Tộ - 2019). Cho ABC , đường cao AH , ( H  BC ) với AB  AC. Gọi hình
chiếu của H lên các đoạn thẳng AB, AC lần lượt là M và N .
a. Chứng minh AHM ∽ ABH . Từ đó chứng minh AH 2 = AM . AB.
b. Chứng minh AM . AB = AN . AC. Từ đó chứng minh AMN ∽ ACB.
c. Giả sử ABC vuông tại A và AB = 6cm, AC = 8cm.
Tính tỉ số diện tích của tứ giác BMNC và ABC.
d. Chứng minh 4 đường trung trực của các đoạn thẳng BM , MN , NC, CB đồng quy.
Câu 18. (Nam Từ Liêm - 2019). Cho hình chữ nhật ABCD ( AD  AB). Hai đường chéo AC và BD cắt
nhau tại O . Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt tia BC tại E .
a) Chứng minh : BDE đồng dạng DCE .
b) Kẻ CH vuông góc với DE tại H . Chứng minh rằng: DC 2 = CH .DB . Từ đó tính độ dài CH biết
AD = 6cm; AB = 8cm .

c) Gọi K là giao điểm của OE và HC . Chứng minh:

HK EK
, từ đó suy ra: K là trung điểm của HC.
=
OD EO

d)Chứng minh ba đường thẳng OE, CD, BH đồng quy.
Câu 19. ( Lê Q Đơn - 2019): Cho hình chữ nhật ABCD , ( AD  AB ) ; gọi O là giao điểm hai đường chéo
. kẻ đường thẳng d vng góc với DB tại D, d cắt tia BC tại E.
a) Chứng minh tam giác DBE đồng dạng với tam giác DCE.
b) Kẻ CH vng góc với DE tại H. Chứng minh DC 2 = CH .DB .
Gv: Nguyễn Chí Thành


c) Gọi K là giao điểm của OE và HC. Chứng minh K là trung điểm của HC.
d) Chứng minh ba đường thẳng OE,DC,BH đồng quy.

Câu 20. (Thanh Trì - 2019) cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vng góc với BD ( H thuộc BD).
a) Chứng minh HAD ∽ ABD .
b) Chứng minh BC 2 = DB.HD
c) Tia phân giác của góc ADB cắt AH và AB lần lượt tại M,K. Chứng minh AK . AM = BK .HM
d) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy P thuộc AC, dựng hình chữ nhật AEPF ( E thuộc AB, F thuộc
AD), BF cắt DE ở Q. Chứng minh EF / / BD và ba điểm A, Q, O thẳng hàng
Câu 21. (Nguyễn Du - 2019) Cho tam giác CDE vuông tại C ( CD  CE ) , phân giác DCE cắt DE tại I
. Qua I kẻ đường thẳng vng góc với DE cắt CE và tia DC lần lượt tại H , K .
a) Chứng minh IHE đồng dạng CDE .
b) Chứng minh DC.DK = DI .DE .
c) Chứng minh DIH cân.
d) DH cắt KE tại M . Chứng minh CM là phân giác ECK .
Câu 22. (Cát Linh - 2019) Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm , AB = 8cm , hai đường chéo AC và

BD cắt nhau tại O . Qua D kẻ đường thẳng d vng góc với BD , d cắt tia BC tại E .
a) Chứng minh rằng BDE ~ DCE
b) Kẻ CH vng góc với DE tại H . Chứng minh rằng DC 2 = CH .DB
c) Gọi K là giao điểm của OE và CH . Chứng minh K là trung điểm của CH và tính tỉ số diện tích của
tam giác EHC và diện tích của tam giác EDB .
d) Chứng minh ba đường thẳng OE,CD,BH đồng quy.
Câu 23. (Đan Phượng - 2019): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình
chiếu của H trên AB, AC.
a) Chứng minh: AFH ∽ AHC , từ đó suy ra AF . AC = AH 2 .
b) Cho AH = 6cm, BC = 9cm . Chứng minh AEF ∽ ACB , từ đó tính diện tích AEF .
c) Gọi M là điểm đối xứng với H qua AB. Kẻ đường thẳng d qua B và vng góc với BC cắt AM ở I. Chứng
minh các đường thẳng EF, AH, CI đồng quy.

Gv: Nguyễn Chí Thành