TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ VÀO 10 CÁC TRƯỜNG HÀ NỘI CÓ ĐÁP ÁN

TUYỂN TẬP
ĐỀ THI THỬ VÀO 10

CÁC TRƯỜNG HÀ NỘI
CÓ ĐÁP ÁN
1. ĐỀ KSL1- ÁI MỘ - LONG BIÊN
2. HK2- AMSTERDAM – 2020
3. HK2- AMSTERDAM-2018-2019
4. HK2- AMSTERDAM-2019-2020
5. YÊN VIÊN – GIA LÂM 2020
6. ARCHIMEDES – 2020
7. BA ĐÌNH 2020
8 . BẮC NINH 2020
9. BẮC TỪ LIÊM 2020
10. PHÚC DIỄN 2020
11. BỒ ĐỀ - LONG BIÊN 2020
12. CẦU GIẤY 2020
13. CẦU GIẤY 2020
14. CẦU GIẤY 2020
15. DỊCH VỌNG 2020
16. DỊCH VỌNG 2020
17. DƯƠNG NỘI 2020
18. ĐẠI ÁNG 2019
19. THANH TRÌ 2020
………………………………………………………………………………………..


UBND QUẬN LONG BIÊN

ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT VÒNG 1

TRƯỜNG THCS ÁI MỘ

NĂM HỌC 2019-2020
Mơn : Tốn 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi: 29/5/2020
(Thời gian làm bài 120 phút )

Bài 1.

(2,0 điểm) Cho biểu thức A =

x
3
+
và B =
x−2 x
x

9
2
với x  0 , x  4 ; x  .
4
x −2

a) Tính giá trị biểu thức B khi x = 25 .
b) Biết P = B : A . Chứng minh rằng: P =

x
.
2 x −3

c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 2.

(2,5 điểm) Bài toán liên quan đến ứng dụng toán học vào thực tế.
1. Một máy bơm theo kế hoạch phải bơm đầy nước vào một bể cạn có dung tích 50 m 3 trong một
thời gian nhất định. Người công nhân vận hành máy đã cho máy bơm hoạt động với công suất
tăng thêm 5 m 3 /giờ, cho nên đã bơm đầy bể sớm hơn quy định 1 giờ 40 phút. Hỏi theo kế hoạch,
mỗi giờ máy bơm phải bơm được bao nhiêu mét khối nước.
2. Một cốc nước có dạng hình trụ có đường kính đáy bằng
6 cm, chiều cao 12 cm và chứa một lượng nước cao 10 cm.
Người ta thả từ từ một viên bi làm bằng thép đặc (khơng
thấm nước) có thể tích là V = 4 ( cm 3 ) vào trong cốc.
(hình minh họa)
Hỏi mực nước trong cốc lúc này cao bao nhiêu?

Bài 3.

(2,0 điểm)

 1
 x +1 −

1. Giải hệ phương trình: 
 3 +
 x + 1

2
= −3
y+2
.
8
=5
y+2

2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng (d ) : y = 10 x − m − 5 (
với m là tham số, x là ẩn).
a) Tìm m để ( d ) ln cắt ( P) tại hai điểm phân biệt A, B .
b) Gọi x1 ; x2 là hoành độ của điểm A, B . Tìm m để x1 ; x2 là các số nguyên tố.
Bài 4.

(3,0 điểm) Cho một đường tròn ( O ) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn

BC sao cho AC  AB và AC  BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp
tuyến của ( O ) tại D, C cắt nhau tại một điểm E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp
đường thẳng AB với CD, AD với CE.


a. Chứng minh DE / / BC.
b. Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp.
c. Gọi giao điểm của các dây AD, BC là S . Chứng minh hệ thức
Bài 5

1
1
1
.

=
+
CE CQ CS

(0,5 điểm). Cho a, b là các số dương thoả mãn a 2 + b2 = a + b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P = a 4 + b 4 +

2020

( a + b)

.

2

 HẾT 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KHẢO SÁT TOÁN 9 THCS ÁI MỘ
MƠN TỐN 9 (2019 – 2020)
Bài 1.

(2 điểm) Cho biểu thức A =

x
3
+
và B =
x−2 x
x

9

2
với x  0 , x  4 ; x  .
4
x −2

a) Tính giá trị biểu thức B khi x = 25 .
b) Biết P = B : A . Chứng minh rằng: P =

x
.
2 x −3

c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Lời giải
2
2
= .
25 − 2 3

a) Khi x = 25 ( thỏa mãn điều kiện), giá trị của biểu thức B là:
b) Ta có:

P=


2
x
3 
: 
+

=
x −2  x−2 x
x 

(


2
:
x −2  x


=


2
:
x −2  x


=

x x −2
x
2
=
.
.
2 x −3
x −2 2 2 x −3

(

c) Ta có P =

(

)

x −2 
=
+
x −2
x x −2 

3

x

(

)

(

)

(



3 
+
x
x −2


x

)


2
4 x −6
:
x −2  x x −2


(

)






)
)

x

1
=
(Vì x  0  x  0 ).
2 x −3 2− 3
x

P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi

P = 1 hoặc P = −1.

1
3
2−
x

nguyên  2 −

3
 Ư (1) = 1; − 1 . Khi đó
x


Với P = 1  2 −

3
= 1  x = 3  x = 9 (thỏa mãn).
x

Với P = −1  2 −

3
= −1  x = 1  x = 1 (thỏa mãn).
x

Vậy x  1; 9 thì P nhận giá trị nguyên.

Bài 2.

(2,5 điểm) Bài toán liên quan đến ứng dụng toán học vào thực tế.
1. Một máy bơm theo kế hoạch phải bơm đầy nước vào một bể cạn có dung tích 50 m3 trong một
thời gian nhất định. Người công nhân vận hành máy đã cho máy bơm hoạt động với công suất
tăng thêm 5 m3 /giờ, cho nên đã bơm đầy bể sớm hơn quy định 1 giờ 40 phút. Hỏi theo kế hoạch,
mỗi giờ máy bơm phải bơm được bao nhiêu mét khối nước.
2. Một cốc nước có dạng hình trụ có đường kính đáy bằng
6 cm, chiều cao 12 cm và chứa một lượng nước cao 10 cm.
Người ta thả từ từ một viên bi làm bằng thép đặc (khơng
thấm nước) có thể tích là V = 4 ( cm 3 ) vào trong cốc.
(hình minh họa)
Hỏi mực nước trong cốc lúc này cao bao nhiêu?
Lời giải
1. Gọi công suất dự định của máy bơm là x ( m3 /giờ, x  0 )
Công suất thực tế là x + 5 ( m3 /giờ)
Thời gian bơm đầy bể dự định là

50
(giờ)
x

Thời gian bơm đầy bể thực tế là

50
(giờ)
x+5

Đổi 1 giờ 40 phút =

5
giờ
3

Theo đầu bài ta có phương trình:

50 50
5
−
=
x x+5 3

 x = 10 (tm)
 3 ( 50 x + 250 − 50 x ) = 5 x ( x + 5 )  5x 2 + 25x − 750 = 0  
.
 x = −15 (l )
Vậy công suất dự định của máy bơm là 10 m 3 /giờ.
2. Bán kính đáy là: 6 : 2 = 3 ( cm ) .
Thể tích khối nước ban đầu là: V =  .32.10 = 90

( cm ) .

Thể tích khối nước và viên bi là: 90 + 4 = 94

( cm ) .

3

3

Thể tích của cốc nước có dạng hình trụ là: V =  .32.12 = 108  94

( cm ) nên ta có:
3


Chiều cao mực nước lúc sau là:

Bài 3.

94 94
=
 10, 44 ( cm ) .
 .32 9

(2,0 điểm)

 1
 x +1 −

1. Giải hệ phương trình: 
 3 +
 x + 1

2
= −3
y+2
.
8
=5
y+2

2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng (d ) : y = 10 x − m − 5 (
với m là tham số, x là ẩn).
a) Tìm m để ( d ) ln cắt ( P) tại hai điểm phân biệt A, B .
b) Gọi x1 ; x2 là hoành độ của điểm A, B . Tìm m để x1 ; x2 là các số nguyên tố.
Lời giải
1) Điều kiện: x  −1 và y  −2

 1
 x +1 −


 3 +
 x + 1

2
 3
= −3
 x +1 −
y+2


8

 3 +
=5
 x + 1
y+2

6
= −9
y+2

8
=5
y+2

 14
 y + 2 = 14


 1 − 2 = −3
 x + 1 y + 2

y + 2 =1
 x = −2

 1

(thoả mãn)
y
=
−
1

=
−
1

 x + 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( x ; y ) = ( −2; − 1) .
2.
a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm của ( d ) và ( P ) :

x 2 = 10 x – m − 5  x 2 − 10 x + m + 5 = 0
Ta có :  ' = 25 − ( m + 5 ) = 20 − m
Để ( d ) luôn cắt ( P) tại hai điểm phân biệt A, B suy ra :  ' = 20 − m  0  m  20
Vậy với m  20 thì ( d ) cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B .
b) Gọi x1 ; x2 là hoành độ của điểm A, B . Tìm m để x1 ; x2 là các số nguyên tố.
Ta có: x1 ; x2 là nghiệm của phương trình x 2 − 10 x + m + 5 = 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m  20
 x1 + x2 = 10
Theo Định lí Vi-ét: 
 x1.x2 = m + 5

Vì x1 ; x2 là hai số nguyên tố khác nhau mà x1 + x2 = 10
Nên x1 = 3 thì x2 = 7 thay vào x1.x2 = m + 5 ta được:


21 = m + 5  m = 16 ( thỏa mãn).

Vậy với m = 16 thì x1 ; x2 là các số nguyên tố.
Bài 4.

(3 điểm) Cho một đường tròn ( O ) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn

BC sao cho AC  AB và AC  BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp
tuyến của ( O ) tại D, C cắt nhau tại một điểm E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp
đường thẳng AB với CD, AD với CE.
a. Chứng minh DE / / BC.
b. Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp.
c. Gọi giao điểm của các dây AD, BC là S . Chứng minh hệ thức

1
1
1
.
=
+
CE CQ CS

Lời giải

A

O

B

C

S
E

D
P

Q

a. Do D nằm chính giữa cung BC nên DB = DC (1) (Liên hệ giữa dây và cung)
Có B, C  ( O )  OB = OC

( 2)

Từ (1) và ( 2 ) suy ra OD là đường trung trực của đoạn thẳng BC  OD ⊥ BC ( 3 ) .
Lại có DE là tiếp tuyến của ( O ) (giả thiết)  OD ⊥ DE ( 4 ) .
Từ ( 3 ) và ( 4 ) suy ra BC // DE .

1
b. Xét ( O ) , có BAD = s® BD ( 5 ) (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung chắn)
2


1
+) CE là tiếp tuyến nên DCE = s®CD
2

( 6 ) (góc nội tiếp bằng góc tạo bởi dây cung và tiếp

tuyến)
+Mà D nằm chính giữa cung BC nên s® BD = s® DC ( 7 )
Từ ( 5 ) , ( 6 ) và ( 7 ) suy ra BAD = DCE hay PAQ = PCQ .
Xét tứ giác PACQ có hai đỉnh A, C kề nhau cùng nhìn cạnh PQ các góc bằng nhau

PAQ = PCQ (cmt) nên suy ra nó là tứ giác nội tiếp.
c. Tứ giác PACQ nội tiếp (cmt) nên CPQ = CAQ (2 góc nội tiếp cùng chắn CQ )
Xét ( O ) có CAD = DCE (góc nội tiếp bằng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn CD )

 CAQ = PCQ
 QPC = QCP  QCP cân tại Q  QP = QC .
Có CDE = ECD (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Lại có QCP = QPC (cmt)

 CDE = QPC mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên suy ra DE   PQ .


CE DE
(8) .
=
CQ PQ

Có DE / / BC (cmt) hay DE / / CS 

DE QE
(9)
=
CS QC

Nhân ( 8 ) với ( 9 ) vế với vế ta được
1
PQ
CQ
QE + CE
CE DE DE QE

CE QE

=
=
=
.
=
.

=
CE CS .QE CS .QE
CS .QE
CQ CS PQ QC
CS PQ

Hay

1
QE + CE
1
CE
(10 )
=
=
+
CE
CS .QE
CS CS .QE

Có DE / / CS 



EC QE
DE QE
mà có DE = EC 
=
 EC.QC = CS .QE
=
CS QC
CS QC

CE
1
(11)
=
CS .QE CQ

Từ (10 ) và (11) suy ra

Bài 5

1
1
1
(đpcm) .
=
+
CE CQ CS

2

2
(0,5 điểm). Cho a, b là các số dương thoả mãn a + b = a + b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P = a 4 + b 4 +

2020

( a + b)

2

.
Lời giải


Ta có: a + b  2ab  2 ( a + b
2

2

2

)  ( a + b)

(a + b)
 a+b 

Lại có a + b = a + b
2

2

2

2

2

 a +b
2

2

(a + b)

2

2

.

 2 ( a + b )  ( a + b )  ( a + b )( a + b − 2 )  0 .
2

2

Vì a, b là các số dương nên a + b  0  0  a + b  2 .
Tương tự ta có: a + b
4

Suy ra P = a + b +
4

( a + b)
P
2

4

2

+

4

(a


2

2020

( a + b)
8

(a + b)

2

2

+

+ b2 )

( a + b)
=

2

2

.

2

( a + b)


2

+

2

2012

(a + b)

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có:

Ta lại có: 0  a + b  2 

2

2

2020

( a + b)

2

.

( a + b)

2

2

+

8

( a + b)

2

 2. 4 = 4 .

1
1
1
1
2012
 
 
 503
2
2
a+b 2
( a + b) 4 ( a + b)

Suy ra P  4 + 503 = 507
 ( a + b )2
8
=

2
Dấu “=” xảy ra   2
( a + b)

a = b

( a + b )4 = 16
a + b = 2


 a = b = 1.
a = b

a = b
Vậy Min P = 507  a = b = 1 .
 HẾT 


Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10

Hà Nội – Amsterdam

Mơn: TỐN

Thi thử vào lớp 10 ngày 07/6/2020

(Dành cho mọi thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Cho biểu thức:

 x+x
x
x + 2 x −3 
x −1

M = 
+
−

 . 
 với x  0, x  1 .
x
−
1
x
−
x
x
+
1
x
x
−
x
+
4
x




a) Rút gọn M .
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 3 .

(

)

c) Tìm x thỏa mãn x − x − 3 .M = 1 .

Bài 2.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hội trường 200 chỗ của trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam có đúng 200 ghế được
chia đều vào các dãy. Nhằm giãn cách xã hội, trong đợt phòng chống dịch COVID -19 để mỗi
dãy bớt đi 2 ghế mà số ghế trong hội trường không đổi thì nhà trường phải kê thêm 5 dãy như
thế nữa. Hỏi ban đầu, số ghế trong hội trường được chia thành bao nhiêu dãy?

Bài 3.

3

4 2 − x + y = 1

Giải hệ phương trình: 
 2− x − 2 =3

y

Bài 4.

Cho hai tam giác vng ABC, ABE có chung cạnh huyền AB và hai điểm C , E cùng phía với
đường thẳng AB . Gọi D là điểm đối xứng của C qua đường thẳng AB sao cho CD cắt AB và
AE lần lượt tại I và F ( với F nằm giữa C và D ).

a) Các điểm A, B, C, D, E nằm trên đường tròn đường kính AB .
b) Tứ giác BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Hệ thức: AE. AF = AD2 .
Bài 5.

Cho các số dương x, y , z thỏa mãn x + 2 y + 3 z  25 2 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1
8
+
.
x+ z y+ z

----------------------Hết-------------------------

Trang 1


HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1.

Cho biểu thức:

 x+x
x
x + 2 x −3 
x −1

M = 
+
−
 . 
 với x  0, x  1 .

x
−
1
x
−
x
x
+
1
x
x
−
x
+
4
x




a) Rút gọn M .
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 3 .

(

)

c) Tìm x thỏa mãn x − x − 3 .M = 1 .
Lời giải
a) Rút gọn M .

Điều kiện xác định: x  0, x  1

 x+x
x
x + 2 x −3 
x −1

M = 
+
−
 . 
x − 1   x x − x + 4 x 
x +1
 x− x

x+x
x
M =
+
−
 x x −1
x +1


(

M=

(

x+x

)

)(

)

M=

M=

M=

M=

(

)(

x −1

x + 1 + x. x
x

(


.
x +1 



x+ 2 x −3

(

)

)

(

)(

x −1

(

x x−

(

x −1 − x x + 2 x − 3

)(

x −1

)

x +1

)
x + 4)
x +1

).(

(

x x−

x x + 2x + x + x x − x − x x − 2x + 3 x
1
.
x
x x− x +4

(

)(

x −1

)
x + 4)
x +1

)

x x −x+4 x

(

x x− x +4

)

(

x x− x +4

(

x x− x +4

)

)

1
x

b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 3 .

(

Thay x = 7 + 4 3 = 2 + 3
M=

1

(2 + 3)

2

=

)

2

(thỏa mãn x  0, x  1 ) vào M ta được:

1
= 2− 3
2+ 3

(

)

c) Tìm x thỏa mãn x − x − 3 .M = 1 .
Với x  0, x  1
Trang 2


(x −


(

)

(

)

x − 3 .M = 1  x − x − 3 .

)(

x +1

1
=1 x − x −3 = x  x − 2 x −3 = 0
x

)

x − 3 = 0  x + 1 (loại) hoặc

x − 3 = 0  x = 9 (thỏa mãn x  0, x  1 )

Vậy x = 9 thỏa mãn yêu cầu của bài.
Bài 2.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hội trường 200 chỗ của trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam có đúng 200 ghế được
chia đều vào các dãy. Nhằm giãn cách xã hội, trong đợt phòng chống dịch COVID -19 để mỗi

dãy bớt đi 2 ghế mà số ghế trong hội trường khơng đổi thì nhà trường phải kê thêm 5 dãy như
thế nữa. Hỏi ban đầu, số ghế trong hội trường được chia thành bao nhiêu dãy?
Lời giải
Gọi số dãy ghế ban đầu là x (ghế, x  N ).
Số ghế trong một dãy ban đầu là y (dãy, y  N ).
Vì số ghế là 200 nên ta có: x. y = 200 (1) .
Mỗi dãy bớt đi 2 ghế mà số ghế trong hội trường không đổi thì nhà trường phải kê thêm 5 dãy
như thế nữa nên ta có: ( x + 5 )( y − 2 ) = 200 ( 2 ) .
Kết hợp lại ta có hệ phương trình:


 x. y = 200
 x. y = 200



 xy − 2 x + 5 y − 10 = 200
( x + 5)( y − 2 ) = 200

200

x=
200
200



y
 xy = 200


x = y
x = y




200
−2 x + 5 y = 10
−2.
5 y 2 − 10 y − 400 = 0
+ 5 y = 10 −400 + 5 y 2 = 10 y


y


 x = 20 (TM )

   y = 10 (TM )

  y = −8 ( Loai )
Vậy ban đầu hội trường có 20 dãy ghế.

Bài 3.

3

4 2 − x + y = 1

Giải hệ phương trình: 

 2− x − 2 =3

y
Lời giải
Điều kiện: x  2; y  0

3
3
2



4 2 − x + y = 1 4 2 − x + y = 1
 2− x − y =3  2− x − 2 = 3




y




 2− x − 2 =3
4 2 − x − 8 = 12
 −11 = 11
 y = −1





y
y


 y
Trang 3



 x = 1(TM )
2 − x = 1
 2 − x =1






 y = −1(TM ) 
 y = −1(TM )
 y = −1(TM ) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( x; y ) = (1; −1) .
Bài 4.

Cho hai tam giác vng ABC, ABE có chung cạnh huyền AB và hai điểm C , E cùng phía với
đường thẳng AB . Gọi D là điểm đối xứng của C qua đường thẳng AB sao cho CD cắt AB và
AE lần lượt tại I và F ( với F nằm giữa C và D ).

a) Các điểm A, B, C, D, E nằm trên đường trịn đường kính AB .

b) Tứ giác BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Hệ thức: AE. AF = AD2 .
Lời giải

a) Ta có hai tam giác ABC, ABE vng có cạnh huyền là AB (gt)
Suy ra ACB = AEB = 90  C , E thuộc đường trịn đường kính AB (1).
Ta có D là điểm đối xứng của C qua đường thẳng AB  AB là đường trung trực của đoạn thẳng
CD

Suy ra AC = AD, BC = BD
Xét CAB và DAB có
AC = AD (cmt )
BC = BD (cmt )
AB chung.

 CAB = DAB(c.c.c)
ADB = ACB = 90 (cặp góc tương ứng), suy ra D thuộc đường trịn đường kính AB (2).

Từ (1) và (2) suy ra các điểm C , D, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AB , hay các điểm

A, B, C, D, E cùng nằm trên đường trịn đường kính AB .
b) Có tam giác ABE vuông tại E (gt)  AEB = 90 hay FEB = 90
Mà AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD (cmt)  AB ⊥ CD  FIB = 90
Xét tứ giác BEFI có
Trang 4


FEB + FIB = 90 + 90 = 180

Mà hai góc ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).
c)

Xét AIF và AEB có

AIF = AEB = 90

A chung.
AIF ∽ AEB ( g.g ) 

AI AF
=
 AI . AB = AE. AF ( 3)
AE AB

Xét DAB vng tại D có DI là đường cao ứng với cạnh huyền nên ta có:

AD 2 = AI . AB ( 4 )
Từ (3) và (4) suy ra AE. AF = AD2 (điều phải chứng minh).
Bài 5.

Cho các số dương x, y , z thỏa mãn x + 2 y + 3 z  25 2 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1
8
+
.
x+ z y+ z
Lời giải

Vì x + 2 y + 3 z  25 2  ( x + z ) + 2( y + z )  25 2
Đặt x + z = a; y + z = b  a  0, b  0
Vậy a + 2b  25 2 và P =

1 8
+
a b

2b 8a
1 8
+  ( a + 2b ) =17 + +
a b
a b

Xét 

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có:

2b 8a
2b 8a
+ 2
. =8
a b
a b

1 8
+  ( a + 2b )  25
a b

Suy ra: 

Suy ra:

1 8
25
1
2
2
+ 

=
 P
a b a + 2b
2
2
2

 2b 8a
a = b

a = 5 2
 x + z = 5 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a + 2b = 25 2  

b =10 2  y + z =10 2
a  0, b  0


Trang 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2
khi và chỉ khi
2


x + z =5 2
.

y
+
z
=
10
2



Trang 6


ĐỀ KIỂM TRA HK2 TOÁN 9 HÀ NỘI AMS NĂM HỌC 2018 – 2019
Bài 1. Cho các biểu thức:
M=

a +1 a a +1
a a −1

−
và N =
với a  0, a  1 .
a
a +a
a− a

1. Rút gọn biểu thức M .
2. Tìm các số thực a sao cho N =

7
.
2

3. Chứng minh rằng: M + N  4 .
Bài 2 .

Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình.
Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sơng A lúc 7 giờ đến bến sông B cách nhau 100km.Đến 10giờ

45 phút một ca nô cũng đi từ bến sông A về B và bắt kip thuyền tại C cách B là 75km. Tính vận tốc của
thuyền biết vận tốc của ca nô hơn vận tốc của thuyền là 15km/h
Bài 3.

( x + 20)( y − 1) = xy
1. Giải hệ phương trình 
.
( x − 10)( y + 1) = xy
2. Cho phương trình x 2 − 2(m − 1) x − 3 − m = 0 với m là tham số
a) Chứng minh rằng với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 .

b) Tìm m để x1 ; x2 thỏa mãn 1 + 1  1 .
x1

Bài 4.

x2

Từ một điểm M nằm ngồi đường trịn (O ) vẽ hai tiếp tuyến MB, MD tới đường tròn (O ) ( với

B, D là các tiếp điểm). Qua M kẻ đường thẳng không qua O, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A và C

( với C nằm giữa A và M ). Gọi E là trung điểm của AC .
a) Chứng minh rằng năm điểm O, E, B, M , D cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: BC. AD = AB.CD
c) Chứng minh rằng: AEB DCB .
d) Một đường thẳng qua D và song song với MB , cắt BA, BC lần lựợt tại I và J . Chứng
minh rằng DI = DJ .
a  b  c
Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 
.
a + b + c = 3
1. Chứng minh rằng ac + 1  a + c .
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1
1
.
+
ac + 1 b + c

ĐÁP ÁN THAM KHẢO

Bài 1. Cho các biểu thức:
M=

a +1 a a +1
a a −1
−
và N =
với a  0, a  1 .
a
a +a
a− a

1. Rút gọn biểu thức M .
2. Tìm các số thực a sao cho N =

7
.
2

3. Chứng minh rằng: M + N  4 .
Lời giải
1. M =

a +1 a a +1 a +1 a − a +1
−
=
−

=1
a
a +a
a
a

2. N =

a + a +1 7
a a −1 7
7
= ⇔
= ⇔ 2a + 2 a + 2 = 7 a
⇔
2
2
a− a 2
a

(

)(

⇔ 2a − 5 a + 2 = 0 ⇔ 2 a − 1
⇔ a=

1
1
hoặc a = 4 (tmđk). Vậy a = hoặc a = 4
4

4

3. M + N  4 ⇔ 1 +

(
⇔

)

a −1

Bài 2 .

)

a −2 = 0

a

a + a +1
a + a +1
a − 2 a +1
4 ⇔
−3  0 ⇔
0
a
a
a

2

 0 ⇒ a  0, a  1 . Vậy a  0, a  1

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình.
Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A lúc 7 giờ đến bến sông B cách nhau 100km.Đến 10giờ

45 phút một ca nô cũng đi từ bến sông A về B và bắt kip thuyền tại C cách B là 75km. Tính vận tốc của
thuyền biết vận tốc của ca nô hơn vận tốc của thuyền là 15km/h
Lời giải
Gọi vận tốc của thuyền là x (km/h, x  0 )
Vận tốc của ca nô là x + 15 (km/h).
Lúc gặp nhau ca nô và thuyền cùng đi được 100 − 75 = 25 (km)
Thời gian thuyền đi được là
Thời gian ca nô đi là

25
(h).
x

25
(h).
x + 15

Vì thun đi từ 7h và ca nơ đi từ 10 giờ 45 phút nên thời gian của thuyền đi bằng thời gian của ca nô +

3 15
với 10 giờ 45 phút -7 giờ =3 giờ 45 phút = 3 =
(h), ta có phường trình:
4 4

25
25
15
25.4.( x + 15)
25.4 x
15 x( x + 15)
=
+ 
=
+
x x + 15 4
4 x( x + 15)
4.x( x + 15) 4.x( x + 15)
 100 x + 1500 = 100 x + 15x 2 + 175x  x 2 + 15x − 100 = 0

x = 5
Giải phương trình ta có 
 x = −20(ko t / m)
Vậy vận tốc của ca nô là 5 (km/h).
Bài 3.

( x + 20)( y − 1) = xy
1. Giải hệ phương trình 
.
( x − 10)( y + 1) = xy
2. Cho phương trình x 2 − 2(m − 1) x − 3 − m = 0 với m là tham số
a) Chứng minh rằng với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 .
b) Tìm m để x1 ; x2 thỏa mãn 1 + 1  1 .
x1

x2

Lời giải

( x + 20)( y − 1) = xy
 xy − x + 20 y − 20 = xy
− x + 20 y = 20


1) 
( x − 10)( y + 1) = xy
 xy + x − 10 y − 10 = xy
 x − 10 y = 10
10 y = 30
 x = 40


 x − 10 y = 10
y = 3

Vậy ( x; y) = (40;3)
2)
a) a = 1  0 thì phương trình là phương trình bậc hai một ẩn.
2

1  15

Xét  ' = m2 − 2m + 1 − (−3 − m) = m2 − m + 4 =  m −  +  0 m
2

4


Vậy phương trình có có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m .

 x1 + x2 = 2m − 2
b) Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 x1.x2 = −3 − m
Ta có 1 + 1  1  x1 + x2 − 1  0  x1 + x2 − x1 x2  0 .
x1



x1 x2

x2

x1 x2

2m − 2 − (−3 − m)
3m + 1
0
0
−3 − m
m+3

−1

3m + 1  0 m 
−1

TH 1: 

3  −3  m 
3
m + 3  0
m  −3
−1

3m + 1  0 m 
TH 2 : 

3  m 
m + 3  0
m  −3

Vậy −3  m  −1 .
3


Bài 4.

Từ một điểm M nằm ngồi đường trịn (O ) vẽ hai tiếp tuyến MB, MD tới đường tròn (O ) ( với

B, D là các tiếp điểm). Qua M kẻ đường thẳng khơng qua O, cắt đường trịn tại hai điểm phân biệt A và C

( với C nằm giữa A và M ). Gọi E là trung điểm của AC .
a) Chứng minh rằng năm điểm O, E, B, M , D cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: BC. AD = AB.CD
c) Chứng minh rằng: AEB DCB .
d) Một đường thẳng qua D và song song với MB , cắt BA, BC lần lựợt tại I và J . Chứng

minh rằng DI = DJ .
Lời giải
J

D

M

F

O
C
E
A

I

B

a) Có MDO = MBO = MEO = 900 suy ra năm điểm O, E, B, M , D cùng thuộc một đường trịn đường
kính MO

 1

b) Xét ( O ) có MBC = MAB  = sd BC 
 2

Xét MBC và MAB có:

chung AMB 


MBC = MAB 
 MBC MAB ( g.g )


MB BC
( tỉ số đồng dạng)
=
MA AB

Chứng minh tương tự MDC MAD ( g.g ) . Mà FEB và NMB là hai góc đồng vị.




BC CD
MD CD
=
( tỉ số đồng dạng) 
 BC. AD = AB.CD
=
AB AD
MA AD

c) Có năm điểm O, E, B, M , D cùng thuộc một đường tròn

 Tứ giác MDEB nội tiếp
 MEB = MDB ( hai góc nội tiếp cùng chắn MB ) (1)
Xét

(O )

có BAD = MDB (2)

Từ (1), (2)  BEM = BAD

 BCD = BEA ( Hai góc này cùng bù với BEM và BAD )
Xét AEB và DCB có

EAB = CDB 
  AEB ∽DCB ( g.g )
AEB = BCD 
d) Gọi F là giao điểm của IJ và ( O )
có DF//MB  MBD = IDB
Xét (O)

MBD là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung BD
IDB là góc nội tiếp chắn cung BF
Mà MBD = IDB

 BD = BF  BJD = BDC

 BDC ∽BJD ( g.g ) 

DC BC
DC
=
 JD = BD.
JD BD
BC

Tương tự BDA∽ BID ( g.g ) 

AD

DA BA
DA
=
 ID = BD.
ID BD
BA

CD

Mà AB = BC ( theo b)  DI = DJ
a  b  c
Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 
.
a + b + c = 3
1. Chứng minh rằng ac + 1  a + c .
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1
1
.
+
ac + 1 b + c

Lời giải
1. Do a  b  c nên ta có 3a  a + b + c = 3  a  1 ; 3c  a + b + c = 3  c  1 .

Vậy ( a − 1)(1 − c )  0  a − ac − 1 + c  0  a + c  ac + 1 hay ac + 1  a + c (đpcm).
2. Ta chứng minh với mọi số thực dương x , y ta có

1 1
4
+ 
(*).
x y x+ y


Thật vậy:

1 1
x+ y
4
4
2
2
 ( x + y )  4 xy (do x, y  0 )  ( x − y )  0 (luôn đúng). Dấu “
+ 


x y x+ y
xy
x+ y

= ” xảy ra  x = y . Vậy bất đẳng thức (*) được chứng minh.
Áp dụng ý 1 và bất đẳng thức (*).
Ta có P =

1
1
1
1
4
4
4
+

+

=

= 1.
ac + 1 b + c a + c b + c a + b + 2c 3 + c 3 + 1

Vậy Pmin = 1 khi và chỉ khi a = b = c = 1 .


TRƯỜNG THPT CHUYÊN

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2

HÀ NỘI AMSTERDAM

NĂM HỌC 2019 – 2020

TỔ TỐN - TIN

Mơn kiểm tra: TỐN 9

Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 1 trang)

Câu 1.

(2 điểm)
Cho biểu thức: A =

x−7
và B =
x

1
x
2x − x + 2
+
+
với x  0 , x  4
x−4
x +2 2− x

1) Tính giá trị của A khi x = 9
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên.
Câu 2.

(2 điểm)
1) Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một ca nơ đi xi dịng 54 km rồi quay ngược dòng 46 km và tổng thời gian cả đi lẫn về là 4
giờ. Nếu ca nơ đi xi dịng 81 km và ngược dịng 23 km thì tổng thời gian đi cũng hết 4 giờ.

Tính vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc của dịng nước, biết các vận tốc đó khơng đổi.
2) Mặt xung quanh của một thung chứa nước hình trụ có chiều cao 1m được gõ từ một tấm tơn
hình chữ nhật có kích thước 1m x 2m (như hình vẽ). Hỏi thung nước này đựng đầy được bao
nhiêu mét khối nước?
(Bỏ qua bề dày của thùng nước và lấy  = 3,14 làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
2m

1m

Câu 3.

(2,0 điểm)
1) Giải phương trình x + 7 x − 8 = 0 .
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng ( d ) : y = mx + 4 ( m
là tham số).
a) Chứng minh rằng đường thẳng ( d ) cắt đồ thị ( P) tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi x1 , x2 là hoành độ giao điểm của ( d ) và ( P) . Tìm tất cả các giá trị của m để

− x1 = 4 x2
Câu 4.

(3,5 điểm)

Trang 1


Cho nửa đường trịn ( O ) có đường kính BC và dây cung EF sao cho các điểm F , C nằm
khác phía so với dây BE . Hai dây cung BE , CF cắt nhau tại H ; tia BF và CE cắt nhau tại
điểm A . Đường thẳng AH cắt BC tại điểm D . Giả sử AB  AC
1) Chứng minh tứ giác AEDB là tứ giác nội tiếp

2) Gọi S là giao điểm của EF và CB . Chứng minh FB là phân giác của góc SFD .
3) Chứng minh:

SB DB
.
=
SC DC

4) Tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn (O) cắt CF tại điểm P , tiếp tuyến tại C của nửa
đường tròn (O) cắt BE tại điểm Q . Chứng minh ba điểm S , P , Q thẳng hàng.
Câu 5.

(0,5 điểm)
Với các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
1
của biểu thức P = ab + bc + ca − abc.
2

 HẾT 

Trang 2


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2
NĂM HỌC 2019 – 2020
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM

Câu 1.

(2 điểm)
Cho biểu thức: A =

x−7
và B =
x

1
x
2x − x + 2
+
+
với x  0 , x  4
x−4
x +2 2− x

1) Tính giá trị của A khi x = 9
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên.
Lời giải
1) Với x = 9 (thỏa mãn điều kiện)
Thay x = 9 vào A , ta có: A =
2
3

Vậy khi x = 9 thì A =

1
x
2x − x + 2

+
+
với x  0 , x  4
x−4
x +2 2− x

2) B =

1
x
2x − x + 2
−
+
x−4
x +2
x −2

B=

x −2− x

B=

(

B=

B=

(

)

x + 2 + 2x − x + 2

x +2

)(

x −2

)

x − 2 − x − 2 x + 2x − x + 2

B=

B=

9−7 2
=
3
9

(

(

)(

x−2 x
x +2

x

(

x +2

(

)(

x −2

x −2

x +2

)(

)

x −2

x −2

)

)

)

x
x +2

Vậy B =
3) P = A.B

x
với x  0 , x  4
x +2

( x  0, x  4 )
Trang 3


P=

P=

x−7
x
.
x
x +2

x−7
x +2

+ Xét P = 0 

x−7
= 0  x − 7 = 0  x = 7 (thỏa mãn dk )
x +2

+ Xét P  0 .
TH1: x  ; x  7;
TH2: x  ;
Ta có: P =
Để P 

x là số vô tỉ P 

(loại)

x

x −4−3
x−4
3
3
=
−
= x −2−
x +2
x +2
x +2
x +2

 x −2−

3
 
x +2

3
  x + 2 Ư(3)
x +2

 x + 2 1;3
do

x + 2  2  x + 2 = 3  x = 1  x = 1 (thỏa mãn)

Vậy với x  1;7 thì P có giá trị ngun
Câu 2.

(2 điểm)
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một ca nơ đi xi dịng 54 km rồi quay ngược dòng 46 km và tổng thời gian cả đi lẫn về là 4
giờ. Nếu ca nơ đi xi dịng 81 km và ngược dịng 23 km thì tổng thời gian đi cũng hết 4 giờ.
Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dịng nước, biết các vận tốc đó khơng đổi.
2) Mặt xung quanh của một thung chứa nước hình trụ có chiều cao 1m được gõ từ một tấm tơn
hình chữ nhật có kích thước 1m x 2m (như hình vẽ). Hỏi thung nước này đựng đầy được bao
nhiêu mét khối nước?
(Bỏ qua bề dày của thùng nước và lấy  = 3,14 làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
2m

1m

Lời giải
1) Gọi vận tốc riêng của Ca nô là x (km/h) , x  0
Gọi vận tốc của dòng nước là y ( km/h) , y  x
Vận tốc của ca nơ khi đi xi dịng là: x + y (km/h)
Vận tốc của ca nơ khi đi ngược dịng là : x − y (km/h)
Trang 4


Thời gian Ca nơ đi xi dịng 54 km là:

54
( h)
x+ y

Thời gian ca nơ đi ngược dịng 46 km là:

46
( h)
x− y

Vì ca nơ đi xi dịng 54 km và ngược dịng 46 km thì hết tổng thời gian là 4 giờ nên ta có
phương trình:

54
46
+
=4
x+ y x− y

(1)

Thời gian ca nơ đi xi dịng 81 km là:

81
( h)
x+ y

Thời gian ca nơ đi ngược dịng 23 km là:

23
( h)
x− y

Vì ca nơ đi xi dịng 81 km và ngược dịng 23 km thì hết tổng thời gian là 4 giờ nên ta có
phương trình:

81
23
+
=4
x+ y x− y

( 2)

Từ (1) và ( 2 ) ta có hệ phương trình:
 54
x+ y +



 81 +

x+ y

46
1
 1
=4
=

x− y
 x + y = 27
 x = 25
 x + y 27



23
 x − y = 23
y = 2
 1 = 1
=4

x− y
 x − y 23

Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 25, y = 2 thỏa mãn yêu cầu bài tốn
Vậy: Vận tốc riêng của Ca nơ là 25 km/h
Vận tốc của dòng nước là 2 km/h
2) Thùng nước là một hình trụ có chiều cao h = 1m , Chu vi đáy là C = 2m

Gọi R là bán kính đáy của hình trụ
Ta có : C = 2 R  R =

C
2
1
( m)
=
=
2 2 
2

1 1
1
1
Thế tích của hình trụ là : V =  R h =  .   .1 =  . 2 = =
 0,32m3

 3,14
 
2

Vậy thùng đựng được 0,32m3 nước.
Câu 3.

(2,0 điểm)
1) Giải phương trình x + 7 x − 8 = 0 .
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng ( d ) : y = mx + 4 ( m
là tham số).
a) Chứng minh rằng đường thẳng ( d ) cắt đồ thị ( P) tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi x1 , x2 là hoành độ giao điểm của ( d ) và ( P) . Tìm tất cả các giá trị của m để

− x1 = 4 x2
Trang 5