ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2019-2020
ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC
Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề
I. TRẮC NGHIỆM ( 5 ĐIỂM)
Câu 1.

Câu 2.

Tìm tập xác định của hàm số y  sin x .
A. D 

.

C. D 

\ k , k 

.

B. D 



\   k , k   .
2


D. D 

 


\ k , k   .
 2


Gọi x là góc lượng giác thỏa mãn phương trình sin x  1. Hỏi điểm biểu diễn của góc lượng
giác x là điểm nào trong các điểm trong hình vẽ dưới đây?
y

1B

-1

A'

1
O

x

A

-1 B'

A. A .
Câu 3.

B. B

C. A ' .

D. B ' .

Cho phương trình cos2 x  cosx  4  0 . Nếu đặt t  cosx thì ta được phương trình nào trong
các phương trình dưới đây?
A. 2t 2  t  3  0 .

Câu 4.

B. 2t 2  t  3  0 .

C. 2t 2  t  3  0 .

D. 2t 2  t  3  0 .

Ank , Cnk , Pn lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k và số hoán vị của n phần tử. Trong các

khẳng định sau, khẳng định nào sai
A. Pn  n ! .
Câu 5.

D. Ank 

Ckn
.
k!

B. u30  u15 .

C. u19  u14 .

D. u15  u18 .

Cho hình bình hành ABCD . Phép tịnh tiến theo véc tơ AB biến điểm D thành điểm nào?
A. C .

Câu 7.

C. Cnk  Cnnk .

Cho cấp số cộng  un  có công sai d  7 .Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. u30  u15 .

Câu 6.

B. Cnk 1  Cnk  Cnk1 .

B. A .

C. B .

D. D .

Cho đa giác đều T  có 12 cạnh. Đa giác T  có bao nhiêu đường chéo ?
A. 66 .

B. 45 .

C. 78 .

D. 54 .

n

Câu 8.

1

Nếu khai triển, rút gọn biểu thức  x   ta được đa thức P  x  . Khi sắp xếp P  x  theo số mũ
3


giảm dần của x ta được hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5. Tìm n .
A. n  8 .
Câu 9.

C. n  10 .

B. n  12 .

D. n  6 .

Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 7 ?
A. A53 .

B. C53 .

C. 53 .

D. P3 .

C. 1760 .

D. 112640 .

Câu 10. Tìm hệ số của x3 trong khai triển của 1  2x  .
12

A. 112640 .

B. 1760 .

Câu 11. Một hộp đựng 9 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3
viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu xanh.
A.

10
.
11

B.

5
.
14

C.

5
.

42

D.

25
.
42

Câu 12. Một hộp có 10 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 5 quả từ hộp đó. Xác suất để được

5 quả có đủ hai màu là
A.

13
.
143

B.

132
.
143

C.

12
.
143

D.

250
.
273

Câu 13. Hình nào trong các hình sau là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác?

A. Hình 4 .

B. Hình 1 .

C. Hình 2 .

D. Hình 3 .

Câu 14. Cho hình chóp S. ABCD , đáy là tứ giác lồi có AC  BD  M và AB  CD  N . Giao tuyến
của mặt phẳng  SAC  và mặt phẳng  SBD  là đường thẳng.
A. SB. .

B. SM . .

C. SN . .

D. SC.

Câu 15. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong khơng gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a
và b .
A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 16. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P). Giả sử a / / b, b / /  P  . Khi đó:
A. a  ( P) .

B. a / /( P) hoặc a  ( P) .

C. a cắt  P  .

D. a / /( P) .

Câu 17. Cho mặt phẳng   và đường thẳng d    . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu d / /   thì trong   tồn tại đường thẳng a sao cho a / / d .


B. Nếu d / /   và đường thẳng b    thì b / / d .
C. Nếu d / / c    thì d / /   .
D. Nếu d     A và đường thẳng d     thì d và d  hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
Câu 18. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu mặt phẳng   chứa hai đường thẳng phân biệt a , b và a , b cùng song song với mặt
phẳng    thì  a 

  .

B. Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
C. Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song
với mặt phẳng đó.

D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vơ số mặt phẳng song song với mặt
phẳng đó.





Câu 19. Phương trình tan  2 x    tan  x   tương đương với phương trình
4
2


A. tan 3 x  tan 2 x  tan x  1  0 .

B. tan 2 x  tan x  1  0 .

C. tan 3 x  tan 2 x  1  0 .

D. tan 3 x  tan 2 x  tan x  1  0 .

Câu 20. Phương trình sin 2 x  4sin x  0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng  0;10  .
A. 10 .

B. 9.

C. 8 .

D. 8 .

Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10  để phương trình





sin  x    3 cos  x    2m vô nghiệm.
3
3



A. 21 .

B. 20 .

C. 18 .

D. 9 .

Câu 22. Gọi S là tổng tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số

y  cos 2 x  sin x  m bằng 3 . Tính S
A. S 

55
.
8

B. S  4 .

C. S 

7
.
8

D. S  6

Câu 23. Tính tổng các nghiệm của phương trình cos3 x  sin 3 x  sin 2 x  sin x  cos x trong  0; 2018  .
A. 8144648 .

B. 4036 .

C. 814666 .

D. 4037 ..

Câu 24. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
và M là trung điểm cạnh SC . Gọi K là giao điểm của SD với mặt phẳng  AGM  . Tính tỷ số

KS
.
KD
A.

1
.
2

B.

1
.
3

C.

2
.
5

D.

4
.
9


Câu 25. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá
của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng
thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới
có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
A. 4.000.000 đồng

B. 10.125.000 đồng

C. 52.500.000 đồng

D. 52.500.000 đồng

II. TỰ LUẬN

Câu 1.

Giải phương trình sau:  2sin x  cos x 1  cos x   sin 2 x

Câu 2.

Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh của trường THPT có 10 học sinh đạt giải trong đó có 4 học
sinh nam và 6 học sinh nữ. Nhà trường muốn chọn một nhóm 5 học sinh trong 10 học sinh trên
để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ 1 năm học 2019 – 2020 do Tỉnh tổ
chức. Tính xác suất để chọn được một nhóm gồm 5 học sinh mà có cả nam và nữ, biết số học
sinh nam ít hơn số học sinh nữ?





10

Câu 3.

Tìm hệ số của x12 trong khai triển 2 x  x2

Câu 4.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  SAC  và  SBD  .
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB  và  SCD  .

c) Gọi G1 , G2 lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và ACB . Chứng minh G1G2 song song với
mặt phẳng (SCD).
d) Mặt phẳng ( ) chứa G1G2 và song song với AD . Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng ( ) .
Câu 5.

Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là hình thang  AD / / BC  . Gọi M là một điểm di
động bên trong hình thang ABCD . Qua M vẽ các đường thẳng lần lượt song song SA, SB với
cắt các mặt phẳng  SBC  và  SAD  theo thứ tự tại N và P . Chứng minh rằng:
không đổi.

MN MP

SA SB


ĐÁP ÁN
Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

Câu 6

Câu 7

Câu 8

Câu 9

Câu 10

A

B

B

D

A

A

D

C

A

C

Câu 11

Câu 12

Câu 13

Câu 14

Câu 15

Câu 16

Câu 17

Câu 18

Câu 19

Câu 20

D

D

C

B

B

B

B

C

A

B

Câu 21

Câu 22

Câu 23

Câu 24

Câu 25

C

C

C

A

B

LỜI GIẢI
I. TRẮC NGHIỆM ( 5 ĐIỂM)
Câu 1.

Tìm tập xác định của hàm số y  sin x .
A. D 

.

C. D 

\ k , k 

.

B. D 



\   k , k   .
2


D. D 

 

\ k , k   .
 2


Lời giải
Chọn A

Hàm số: y  sin x xác định với mọi x 
Câu 2.

nên D  .

Gọi x là góc lượng giác thỏa mãn phương trình sin x  1. Hỏi điểm biểu diễn của góc lượng
giác x là điểm nào trong các điểm trong hình vẽ dưới đây?
A. A .

B. B .

C. A ' .

D. B ' .

y

1B

-1

A'

1
O

x

A

-1 B'

Đáp án: B
Do sin x  1 nên điểm biểu diễn góc x là điểm có tung độ bằng 1 trên đường tròn lượng giác.
Vậy điểm B thỏa mãn yêu cầu.
Câu 3.

Cho phương trình cos2 x  cosx  4  0 . Nếu đặt t  cosx thì ta được phương trình nào trong
các phương trình dưới đây?
A. 2t 2  t  3  0 .

B. 2t 2  t  3  0 .

C. 2t 2  t  3  0 .

D. 2t 2  t  3  0 .


Lời giải
Chọn B
Ta có: cos2 x  cosx  4  0  2cos 2 x  cosx  3  0(*)
Đặt: t  cosx , với 1  t  1.
Khi đó phương trình (*) trở thành: 2t 2  t  3  0
Câu 4.

Ank , Cnk , Pn lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k và số hoán vị của n phần tử. Trong các
khẳng định sau, khẳng định nào sai
A. Pn  n ! .

B. Cnk 1  Cnk  Cnk1 .

C. Cnk  Cnnk .

D. Ank 

Ckn
.
k!

Lời giải
Chọn D
n!
 k
Cn  k ! n  k  !

Ta có 
 Ank  Cnk .k !
 Ak  n !
n

 n  k !


Câu 5.

Cho cấp số cộng  un  có công sai d  7 .Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. u30  u15 .

B. u30  u15 .

C. u19  u14 .

D. u15  u18 .

Lời giải
Chọn A
Do công sai dương nên cấp số cộng là dãy số tăng
Câu 6.

Cho hình bình hành ABCD . Phép tịnh tiến theo véc tơ AB biến điểm D thành điểm nào?
A. C .

B. A .

C. B .

D. D .

Lời giải
Chọn A
Do DC
Câu 7.

AB nên phép tịnh tiến theo véc tơ AB biến điểm D thành điểm C.

Cho đa giác đều T  có 12 cạnh. Đa giác T  có bao nhiêu đường chéo ?
A. 66 .

C. 78 .

B. 45 .

D. 54 .

Lời giải
Chọn D
Số cạnh và đường chéo của đa giác đều T  có 12 cạnh là C122 .
Số cạnh của đa giác đều T  là 12 cạnh .
Vậy số đường chéo của đa giác đều T  có 12 cạnh là C122  12  54
n

Câu 8.

1

Nếu khai triển, rút gọn biểu thức  x   ta được đa thức P  x  . Khi sắp xếp P  x  theo số mũ
3

giảm dần của x ta được hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5. Tìm n .


C. n  10 .

B. n  12 .

A. n  8 .

D. n  6 .

Lời giải

Chọn C
n

k

n
1

1
Ta có khai triển  x     Cnk .x nk .   . Suy ra hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5 thì có
3  k 0

 3

2

n!
1
C .   5 
 45  n  n  1  90  n  10
2! n  2 !
3
2
n

Câu 9.

Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 7 ?
B. C53 .

A. A53 .

C. 53 .

D. P3 .

Lời giải
Chọn A
Số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 7 là một chỉnh hợp
chập 3 của 5 phần tử.
Vậy có A53 số cần tìm.
Câu 10. Tìm hệ số của x3 trong khai triển của 1  2x  .
12

A. 112640 .

C. 1760 .

B. 1760 .

D. 112640 .

Lời giải
Chọn C
Số hạng tổng quát trong khai triển của 1  2x  là
12

C12k . 1

12  k

.  2 x   C12k .  2  .x k .
k

k

Vậy hệ số của x3 trong khai triển trên là  2  .C123  1760 .
3

Câu 11. Một hộp đựng 9 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3
viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu xanh.
A.

10
.
11

B.

5
.
14

C.

5
.
42

D.

25
.
42

Lờigiải
Chọn D
Ta có các trường hợp sau:
TH1: 2 bi xanh và 1 bi đỏ, suy ra có C52 .C41  40 cách
TH2: 3 bi xanh và 0 bi đỏ, suy ra có C53  10 cách
Suy ra xác suất sẽ bằng

40  10 25
.

C93
42

Câu 12. Một hộp có 10 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 5 quả từ hộp đó. Xác suất để được

5 quả có đủ hai màu là


A.

13
.
143

B.

132
.
143

C.

12
.
143

D.

250
.
273

Lời giải
Chọn D
Số phần tử của không gian mẫu: n     C155  3003 .
Gọi biến cố A : “ 5 quả lấy ra có đủ hai màu”. Suy ra biến cố A : “ 5 quả lấy ra chỉ có 1 màu”.
TH1: Lấy ra từ hộp 5 quả cầu xanh, có C105  252 cách.
TH2: Lấy ra từ hộp 5 quả cầu đỏ, có C55  1 cách.

 

Suy ra: n A  252  1  253 .

 

Xác suất để được 5 quả có đủ hai màu là: P  A   1  P A  1 
Vậy xác suất cần tìm là

   1  253

n A

n 

3003



250
.
273

250
.
273

Câu 13. Hình nào trong các hình sau là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác?

A. Hình 4 .

B. Hình 1 .

C. Hình 2 .

D. Hình 3 .

Lời giải
Chọn.C.
Hình 1 là hình biểu diễn của hình chóp tam giác.
Hình 3 là hình biểu diễn của hình chóp ngũ giác.
Hình 4 là hình biểu diễn của hình chóp lục giác.
Hình 2 là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác.
Câu 14. Cho hình chóp S. ABCD , đáy là tứ giác lồi có AC  BD  M và AB  CD  N . Giao tuyến
của mặt phẳng  SAC  và mặt phẳng  SBD  là đường thẳng.
A. SB. .

B. SM . .

C. SN . .
Lời giải

Chọn B

D. SC.


Giao tuyến của mặt phẳng  SAC  và mặt phẳng  SBD  là đường thẳng SM . .
Câu 15. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong khơng gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a
và b .
B. 3 .

A. 4 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn.B
Hai đường thẳng phân biệt a và b trong khơng gian có ba vị trí tương đối là: cắt nhau, song
song, chéo nhau.
Câu 16. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P). Giả sử a / / b, b / /  P  . Khi đó:
A. a  ( P) .

B. a / /( P) hoặc a  ( P) .

C. a cắt  P  .

D. a / /( P) .
Lời giải

Chọn B
B

C

D

A

B'

A'

C'

D'

AB / / CD, CD / /  A’B’C’D’ và ta có AB / /  A’B’C’D’
AB / /CD, CD / /  ABB’ A’ và ta có AB  ( ABB ' A ') .
Câu 17. Cho mặt phẳng   và đường thẳng d    . Khẳng định nào sau đây sai?


A. Nếu d / /   thì trong   tồn tại đường thẳng a sao cho a / / d .
B. Nếu d / /   và đường thẳng b    thì b / / d .
C. Nếu d / / c    thì d / /   .
D. Nếu d     A và đường thẳng d     thì d và d  hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
Lời giải
Chọn B
d

b

Khi d / /   và đường thẳng b    thì ngồi trường hợp b / / d cịn có trường hợp b và d
chéo nhau.
Câu 18. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu mặt phẳng   chứa hai đường thẳng phân biệt a , b và a , b cùng song song với mặt
phẳng    thì  a 

  .

B. Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song
với mặt phẳng đó.
D. Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho trước có vơ số mặt phẳng song song với mặt

phẳng đó.
Lời giải
Chọn C
Ta có tính chất (Định lý 1-HH11-trang 64): “Nếu mặt phẳng   chứa hai đường thẳng cắt
nhau a , b và a , b cùng song song với mặt phẳng    thì  a 

   ”. A là mệnh đề sai vì

thiếu giả thiết a, b cắt nhau.
Theo Hệ quả 2-HH11-trang 66: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba
thì song song với nhau. B là mệnh đề sai vì thiếu giả thiết hai mặt phẳng phân biệt.
Theo Định lý 2-HH11-trang 66: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất
một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. Mệnh đề C đúng và mệnh đề D sai.





Câu 19. Phương trình tan  2 x    tan  x   tương đương với phương trình
4
2


A. tan 3 x  tan 2 x  tan x  1  0 .

B. tan 2 x  tan x  1  0 .


D. tan 3 x  tan 2 x  tan x  1  0 .

C. tan 3 x  tan 2 x  1  0 .

Lời giải
Chọn A

 



2
x

  k


x   k
4
2
Điều kiện 

8
2 ; k  . Với điều kiện này, ta có
 x      k
 x  k

2 2



2 tan x

1

tan 2 x  1 1  tan 2 x
1  2 tan x  tan 2 x

4
tan  2 x   



.
4  1  tan 2 x.tan  1  tan 2 x 1  2 tan x
1  2 tan x  tan 2 x

4
1  tan 2 x
tan 2 x  tan


1

Và tan  x     cot x  
.
2
tan x

Do đó


  1  2 tan x  tan 2 x

1


tan  2 x    tan  x   

2
4
2
1  2 tan x  tan x
tan x


2
3
2
3
 tan x  2 tan x  tan x  1  2 tan x  tan x  tan x  tan 2 x  tan x  1  0
Câu 20. Phương trình sin 2 x  4sin x  0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng  0;10  .
A. 10 .

B. 9.

C. 8 .

D. 8 .

Lời giải
Chọn B
Ta có:
sin 2 x  4sin x  0  2sin x.cos x  4sin x  0

sin x  0
 2 sin x  cos x  2   0  
 x  k  k 
 cos x  2 VN 

.

 0  k  10
0  k  10

 k  1; 2;3;...; 9 .
Do x   0;10  nên 
k

k



Vậy phương trình có 9 nghiệm thuộc khoảng  0;10  .
Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10  để phương trình




sin  x    3 cos  x    2m vô nghiệm.
3
3



A. 21 .

B. 20 .

C. 18 .

D. 9 .

Lời giải
Chọn C

m  1
Phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi 1  3  4m2  m2  1  
.
 m  1
Vậy có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.


Câu 22. Gọi S là tổng tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số

y  cos 2 x  sin x  m bằng 3 . Tính S
55
.
8

A. S 

B. S  4 .

C. S 

7
.
8

D. S  6

Lời giải
Chọn C
Ta có: y  cos 2 x  sin x  m  2sin 2 x  sin x  1  m .
Đặt sin x  t

 1  t  1 .

 y  2t 2  t  1  m

Xét hàm số: f  x   2t 2  t  1  m ta có bàng biến thiên:

t

1

1
4



f t 



1

9
m
8

2  m

m

9
Vậy max f  x    m và min f  x   2  m .
8

 9
  m  3
  8
 9
  m  2  m
9

max y  max   m , 2  m  9  3    8
8

  2  m  3


9

  2  m   m
8

m

15
; m  1
8

15

Vậy m   ; 1 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 3 .
8


Câu 23. Tính tổng các nghiệm của phương trình cos3 x  sin 3 x  sin 2 x  sin x  cos x trong  0; 2018  .
A. 8144648 .

B. 4036 .

C. 814666 .
Lời giải

Chọn C
Ta có cos3 x  sin 3 x  sin 2 x  sin x  cos x

D. 4037 ..


  sin x  cos x 1  sin x.cos x   2sin x cos x  sin x  cos x

  sin x  cos x 1  sin x.cos x  1  2sin x cos x   sin x  cos x   sin x.cos x   2sin x cos x
sin x.cos x  0
 sin x.cos x  2  sin x  cos x   0  
sin x  cos x  2  vn 

 sin 2 x  0  2 x  k  x 

Có 0 

k
k 
2

.

k
 2018  0  k  4036 , suy ra các nghiệm của phương trình đã cho trong
2

 0; 2018  tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1  0 , cơng sai d  

2

và có 4037 số

hạng.
Vậy tổng cần tìm là S 

4037 


2.0  4036   8146666 .

2 
2

Câu 24. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
và M là trung điểm cạnh SC . Gọi K là giao điểm của SD với mặt phẳng  AGM  . Tính tỷ số
KS
.
KD

A.

1
.
2

B.

1
.
3

2
.
5

C.

D.

Lời giải
Chọn A

S

K

M
I

A

B

D

G

O
C

Cách 1: Gọi O  AC  BD , I  AM  SO .
Trong mặt phẳng  SBD  , kéo dài GI cắt SD tại K  K  SD   AMG  .
Tam giác SAC có SO và AM là hai đường trung tuyến.
Suy ra I là trọng tâm của tam giác SAC nên ta có

OI 1
 . (1)
OS 3

4
.
9


Mặt khác, G là trọng tâm tam giác ABC nên có
Từ (1) và (2) suy ra

OG 1
 . (2)
OB 3

OI OG
KD GD
.
 GI // SB  GK // SB 


OS OB
KS GB

Ta có DO  BO  3GO  GD  4GO , GB  2GO .
Vậy

KD GD 4GO
KS 1


 .

2
KS GB 2GO
KD 2

Cách 2: Gọi O  AC  BD , I  AM  SO .
Trong mặt phẳng  SBD  , kéo dài GI cắt SD tại K  K  SD   AMG  .
Tam giác SAC có SO và AM là hai đường trung tuyến.
Suy ra I là trọng tâm của tam giác SAC nên ta có

SI
 2.
OI

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SOD ta có
IS GO KD
1 KD
KS 1
.
.
 1  2. .
1
 .
IO GD KS
4 KS
KD 2

Câu 25. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá
của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng
thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới
có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?

A. 4.000.000 đồng

B. 10.125.000 đồng

C. 52.500.000 đồng

D. 52.500.000 đồng

Lời giải
Chọn B
* Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu u1  80.000 ,
cơng sai d  5.000 ta được số tiền phải trả khi khoan đến mét thứ n là:

Sn 

n  u1  un  n  2u1   n  1 d 

2
2

* Khi khoan đến mét thứ 50 , số tiền phải trả là:

S50 

50  2.80000   50  1 .5000
2

 10.125.000 đồng.

II. TỰ LUẬN

Câu 1.

Giải phương trình sau:  2sin x  cos x 1  cos x   sin 2 x
Lời giải

 2sin x  cos x 1  cos x   sin 2 x
  2sin x  cos x 1  cos x   1  cos x 1  cos x 
 1  cos x  2sin x  1  0



 x    k 2
cos x  1

 x    k 2  k 


1
 sin x 

6

2

5
x 
 k 2
6





5


KL: Vậy PT có tập nghiệm T    k 2 ;  k 2 ;
 k 2 \ k  
6
6


Câu 2.

Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh của trường THPT có 10 học sinh đạt giải trong đó có 4 học
sinh nam và 6 học sinh nữ. Nhà trường muốn chọn một nhóm 5 học sinh trong 10 học sinh trên
để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ 1 năm học 2019 – 2020 do Tỉnh tổ
chức. Tính xác suất để chọn được một nhóm gồm 5 học sinh mà có cả nam và nữ, biết số học
sinh nam ít hơn số học sinh nữ?
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu: n  C105  252
Gọi A: “5 học sinh được chọn có cả nam và nữ và số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ”
TH1: Chọn 1 học sinh nam, 4 học sinh nữ, có: C41.C64  60 (cách)
TH2: Chọn 2 học sinh nam, 3 học sinh nữ, có: C42 .C63  120 (cách)
 nA  60  120  180  PA 

Câu 3.

nA 180 5


 .
n 252 7



Tìm hệ số của x12 trong khai triển 2 x  x2



10

.

Lời giải
Số hạng tổng quát: C10k  2 x 

10k

 x 

2 k

 C10k 210k  1 x10k
k

Hệ số của x12 ứng với 10  k  12  k  2 .Vậy hệ số cần tìm là: C102 28
Câu 4.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  SAC  và  SBD  .

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB  và  SCD  .
c) Gọi G1 , G2 lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và ACB . Chứng minh G1G2 song song với
mặt phẳng (SCD).
d) Mặt phẳng ( ) chứa G1G2 và song song với AD . Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng ( ) .
Lời giải


x

S

Q

G1

P

A
D

M

O

I

N

G2

B

C

 SO  ( SAC )
 ( SAC )  ( SBD)  SO .
a)Gọi O  AC  BD . Khi đó: 
 SO  ( SBD)

b)

 S  ( SAB), S  ( SCD)

 ( SAB)  ( SCD)  Sx; Sx / / AB / / CD .
 AB / /CD
 AB  ( SAB), CD  ( SCD)

c) Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó:

IG1 IG2 1

  G1G2 / / SC
IS
IC 3

G1G2  ( SCD)

 G1G2 / /( SCD) .
G1G2 / / SC
 SC  ( SCD)


d) Từ G2 kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB, CD lần lượt tại M, N,
Gọi MG1  SA  Q . Từ Q kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại P.
Khi đó mặt phẳng ( ) cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác MNPQ.
Câu 5.

Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là hình thang  AD / / BC  . Gọi M là một điểm di
động bên trong hình thang ABCD . Qua M vẽ các đường thẳng lần lượt song song SA, SB với
cắt các mặt phẳng  SBC  và  SAD  theo thứ tự tại N và P . Chứng minh rằng:
không đổi.
Lời giải

MN MP

SA SB


Gọi AM  BC   I  , BM  AD=  E
Khi đó, SI   SBC    SAI  , SE 

 SBE    SAD 

Ta có: MN / / SA, MP / / SB
Xét SAI , có MN / / SA suy ra

MN IM

SA
IA

Xét SBE , có MP / / SB suy ra

MP EM

SB
EB

Xét hình thang ABCD , có :

IM BI
IM
BI
IM
BI





MA AE
MA  IM AE  BI
IA AE  BI

EM EA
EM
EA
EM
EA






MB BI
MB  EM BI  AE
EB BI  EA
Suy ra

MN MP IM EM
BI
EA
BI  EA






 1 (đpcm)
SA SB
IA EB AE  BI BI  AE BI  EA