Hinh hoc HE THUC LUONG TRONG TAM GIAC VUONG NANG CAO

BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
PHẦN BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Cho ABC vuông tại A, đường cao AE. Gọi I là trung điểm AB. Vẽ IH vng góc với BC taị H.
1
1
1


2
2
AB
AC 2
a) Chứng minh: 4IH
2
2
2
b) Chứng minh: AC  BH  CH

Bài 2: Cho hình vng ABCD. I là một điểm thuộc BC. AI cắt CD tại M. kẻ DH và BK cùng vuông góc với AI
a) Chứng minh: AH = BK.
b) Chứng minh: DH.AI luôn không đổi khi I di động trên cạnh BC.
Bài 3: Cho ABC vuông tại A. Đường cao AH.Gọi M,N là hình chiếu vng góc của H lần lượt lên AB, AC.
2
2
2
2
a) Chứng minh: BM  3 AH  CN  BC

b) Chứng minh: AH3 = BM.CN.BC
AB 3 BM


3
CN
c) Chứng minh: AC
Bài 4: Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
MN và BC.
a. Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng.
b. Gọi P, Q, H lần lượt là hình chiếu của M, N, A lên BC, O = MP  NQ, R là trung điểm của AH. Chứng
minh rằng: J, O, R thẳng hàng.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD, phân giác ngoài AE. Cho biết AB < AC. Chứng
minh các hệ thức sau:
a/

b/

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Chứng minh các hệ thức sau:
a/

b/

Bài 7: Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC, một góc xOy = 60 0 có cạnh Ox, Oy luôn cắt AB, AC tại
M và N.
a/ Chứng minh rằng OB2 = BM.CN
b/ Chứng minh rằng tia MO, NO luôn là phân giác của góc BMN và CMN


c/ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường trịn cố định khi góc xOy quay quanh O
nhưng hai cạnh Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC.

Bài 8: Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm bất kỳ O, M, N sao cho O khác B, C và

MON = 600. Chứng minh rằng: . Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là chân đường cao vẽ từ A
của ABC. Chứng minh rằng: .

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng:

Bài 11: CMR trong tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD.

Bài 12: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C 1 là điểm đối xứng của H qua AB, B 1 là điểm đối xứng của
H qua AC. Gọi giao điểm của B1C1 với AC và AB là I và K. Chứng minh rằng đường BI, CK là đường cao của
tam giác ABC.

Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là hình chiếu vng góc của H lên
cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng hai tam giác BIC và AOH đồng dạng với nhau và AO
vuông góc với BI.

Bài 14: Cho tam giác ABC vng ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác, M là trung điểm BC.
Cho biết . Tính BC : AC : AB ?
Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h.
Chứng minh rằng tam giác có các cạnh là một tam giác vuông.
Bài 16: Cho tam giác nhọn ABC, diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a)
b)
Bài 17: Cho  ABC vng tại A có

. Tính các tỉ số lượng giác của góc B và C.

Bài 18: Cho tam giác ABC vng tại A có , BC = 4cm.
a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính , AH, AM, HM, HC.

b) Chứng minh rằng:

6 2
4
.

cos150 

Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A có , BC = 1cm. Kẻ phân giác CD. Gọi H là hình chiếu vng góc của D
trên AC.
a) Tính AD, DC.
b) Kẻ CK  BD. Giải tam giác BKC.
c) Chứng minh rằng

.

Bài 20: Cho tam giác ABC có AB = 1, o, . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1. Vẽ ED // AD (D thuộc
AC). Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt BC tại F. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC.
a) Chứng minh rằng tam giác ABE đều. Tính AH.
b) Chứng minh o.
c) Tính các tỉ số lượng giác của góc AED và góc AEF.
d) Chứng minh . Từ đó suy ra AD = AF.
1
2

e) Chứng minh rằng AD



1
AF

2



4
3.

Bài 21: Cho tam giác nhọn ABC có . Hai đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:
Bài 22: Cho tam giác ABC có . Một điểm M di chuyển trên cạnh AB. Gọi N, P là các hình chiếu của M xuống
BC và AC. Chứng minh:
a.
b. Xác định điểm I ở miền trong tứ giác MNCP để IM = IN = IC = IP.
c. Tìm vị trí của điểm M trên cạnh AB để PN có độ dài nhỏ nhất.
Bài 23: Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a.
b. H là giao điểm các đường phân giác trong tam giác DEF.
c.
Bài 24: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE. Lấy các điểm M, N trên BD, DE sao cho Chứng
minh tam giác AMN cân.
Bài 25: Cho hình thoi ABCD có Tia Ax tạo với cạnh AB một góc và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD
tại N.
Chứng minh rằng: .
Bài 26: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BM. Gọi D là hình chiếu của C trên BM, H là hình
chiếu của D trên AC. Chứng minh rằng AH = 3.HD.

Bài 27: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Kẻ đường cao AH và trung
tuyến AM. Chứng minh rằng HM = 2.
Bài 28: Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I và
thỏa mãn: .
Bài 29: Qua điểm D trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC kẻ các đường vng góc DH và DK xuống
hai cạnh bên AB, AC. Chứng minh hệ thức: .
Bài 30: Cho tam giác ABC vng tại A có trung tuyến CM. Kẻ đường cao MH của tam giác MBC và đặt trên
tia AB đoạn AD = BH. Chứng minh rằng tam giác CDM cân.

------------------------------------- HẾT ------------------------------------

-

Anh Tuấn – VT – VP -