Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các ar, anr không gian

TrƯờng đại học vinh
Khoa toán
***********

Một số khái niệm và tính chất cơ bản của
các AR, ANR - Không gian

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Ngành cử nhân khoa học toán

Cán bộ h-ớng dẫn khóa LUậN:

PGS.TS. Tạ Khắc CSinh viên thực hiện:
Lớp:

Bùi Thị Mai
46B1 Toán

Vinh, tháng 05 năm 2009


Lời nói đầu

Lý thuyết corút là một phần của Tôpô học, đ-ợc bắt đầu xây dựng cách đây
60 năm, trong khoảng thời gian đó, lý thuyết corút đà tích luỹ đ-ợc một nội dung
hết sức phong phú. Khái niệm corút tuyệt đối và corút lân cận tuyệt đối lần đầu tiên
đ-ợc nghiên cứu cho các không gian mêtric compắc. Với việc nghiên cứu chi tiết
corút tuyệt đối và corút lân cận tuyệt đối trên lớp các không gian mêtric compắc
giúp chúng ta hiểu biết sâu sắc hơn nhiều kiến thức về lý thuyết tập hợp và Tôpô
đại số. Mục đích của khoá luận là tìm h-ớng nghiên cứu này. Trong tr-ờng hợp
X , Y , Z là các không gian Hausdorff, M - là họ tất cả các không gian mêtric. Với

mục đích đó dựa vào các tài liệu tham khảo, khoá luận đ-ợc trình bày thành các
mục
1. Các kiến thức chuẩn bị. Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ
bản cần dùng trong khoá luận.
2. Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các AR, ANR không gian. Trong
mục này chúng tôi trình bày Định nghĩa corút tuyệt đối và corút lân cận tuyệt đối
trên lớp các không gian mêtric compắc, một số tính chất đặc tr-ng của nó. Mối liên
hệ giữa AR, ANR không gian với đa diện hình học, một số Định lý về thác triển ánh
xạ, nhúng những cái compắc vào AR .
3. Kết luận
4. Tài liệu tham khảo
Khoá luận đ-ợc thực hiện tại tr-ờng Đại học Vinh d-ới sự h-ớng dẫn của
thầy giáo PGS.TS. Tạ Khắc C-.
Nhân dịp này cho phép tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. Tạ
Khắc C- ng-ời thầy đà tận tình h-ớng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán,
các thầy cô trong Tổ Giải tích, Khoa Toán đà nhiệt tình giảng dạy. Cuối cùng tác
giả cảm ơn tất cả các bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp 46B1-Toán đà động viên
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành khoá luận văn này.


Mặc dù đà có nhiều cố gắng nh-ng vì năng lực còn hạn chế nên luận văn
không thể tránh khỏi những thiếu sót về cả nội dung lẫn hình thức. Vì vậy, chúng
tôi rất mong nhận đ-ợc những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và những
góp ý của bạn đọc.
Vinh, tháng 5 năm 2009
Tác giả

1. Các kiến thức chuẩn bị
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản
cần dùng trong khoá luận. Trong suốt luận văn này chúng tôi giả thiết các không
gian X , Y , Z là T2 - không gian và các ánh xạ liên tục.
Định nghĩa 1.1. Cho X , Y là các không gian Hausdosff nghĩa là T2 - không
gian. ánh xạ f : X Y đ-ợc gọi là r - ánh xạ nếu tồn tại nghịch phải g : Y  X sao
cho fg : Y  Y lµ ánh xạ đồng nhất.
Định nghĩa 1.2. Giả sử Y là tập con của X . Khi đó, ánh xạ f : X Y đ-ợc
gọi là ánh xạ corút (hay phép corút) nếu ánh xạ lồng i : Y X là nghịch phải của
f . Nghĩa là f ( x) x với mọi điểm x Y .

Định nghÜa 1.3. TËp con X 0 cđa kh«ng gian X đ-ợc gọi là cái corút của X
nếu tồn tại phép corút từ X lên X 0 .
Định nghĩa 1.4. Tập con đóng X 0 của không gian X đ-ợc gọi là cái corút
lân cận của X , nếu X 0 là cái corút của tập con mở U X , và X 0 U .
Định nghĩa 1.5. Ta nói không gian mêtric X là cái corút tuyệt đối với các
không gian mêtric Y M ( M là họ tất cả các không gian mêtric) nếu với mỗi ®ång
ph«i h : X  h( X ) ®ãng  Y thì h( X ) là cái corút của Y . Ta kí hiệu X AR(M ).
Định nghĩa 1.6. Ta nói không gian mêtric X là cái corút lân cận tuyệt đối
với mọi không gian mêtric Y M ( M là họ tất cả các không gian mêtric) nếu với
mỗi đồng phôi h : X h( X ) đóng Y thì tồn tại lân cận mở U cđa h( X )  U  Y vµ
tån tại r : U h( X ) là ánh xạ corút. Ta kí hiệu X ANR(M ).
Định lý 1.7. (Định lý Kuratowski). Đối với mỗi không gian mêtric ( X , )
tồn tại không gian định chuẩn Z và đồng phôi h : X h( X ) Z và h( X ) đóng
trong bao lồi C (h( X )).
Chøng minh. Ta cã thĨ gi¶ thiÕt diam( X ,  )  1 (víi diam lµ ®-êng kÝnh). V×
nÕu diam ( X ,  )  1 thì đặt ( x, y)
diam ( X , ) 1.

( x, y)
là một mêtric vµ víi ( X ,  ) ta cã
1   ( x, y )


Đặt Z = {tất cả các hàm liên tục bị chặn trên X }.
Đặt mêtric * trên Z :  * ( f1 , f 2 )  sup f1 ( x)  f 2 ( x) , f1 , f 2  Z ;
xX

Khi ®ã f  sup f ( x) là chuẩn trên Z .
Ta xây dựng ®ång ph«i h : X  h( X )  Z nh- sau
X  x  f x  Z sao cho f x ( y)   ( x, y), y X .

Khi đó đặt h( x) f x . Ta chứng minh h là đồng phôi bằng cách chứng minh
đẳng mêtric (tức ( x, y)   * ( f x , f y )). ThËt vËy
 * ( f x , f x )  sup f x ( x)  f x ( x)  f x ( x)  f x ( x)
1

2

xX

1

2

1

2

=  ( x1 , x )   ( x2 , x)   ( x1 , x2 )
 * ( f x , f x )   ( x1 , x2 ).

Suy ra

1

(1)

2

Mặt khác, với mỗi Y  X , ta cã
f x1 ( y)  f x2 ( y)   ( x1 , y)   ( x2 , y)   ( x1, x2 ).

Suy ra

sup f x1 ( y)  f x2 ( y)   ( x1 , x2 ).

(2)

X

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra  ( x1 , x2 )   * ( f x , f x ). Vậy h là đồng phôi.
1

2

Ta còn phải chứng minh h( X ) ®ãng trong bao låi C (h( X )). Giả sử
f C (h( X )). Ta đặt f  lim f xn , f xn  h( X ) . Vì f C (h( X )) nên f là tổ hợp tuyến tính
n

nào đó các phần tử từ h( X ) , nói rõ hơn, tồn tại các điểm a0 , a1 ,..., ak X và các số
d-ơng 0 , 1 ,..., k sao cho
k

f  i f xi víi
i 0

k



i

i 0

 1.

Kh«ng mÊt tÝnh tổng quát ta giả thiết các i khác nhau và tìm đ-ợc 0 thoả
mÃn 0

1
.
k 1

Khi đó
* ( f , f x )  f ( xn )  f x ( xn )  f ( xn )  0 f a ( xn ) 
n

n

0

1
 (a0 , xn ).
k 1


Bëi v× lim f x  f , ta suy ra lim xn  a0 vµ kÕt luËn f  f a h( X ) . Định lý đ-ợc
n
n
n

0

chứng minh.
Định lý 1.8. (Định lý Dugundji). Giả sử A là tập con đóng của không gian
mêtric ( X , d ) , còn Y là không gian lồi địa ph-ơng. Khi đó mỗi ánh xạ f : A Y có
thác triển liên tục f : X Y . Hơn thế nữa tất cả các giá trị f cã thÓ lÊy tõ bao låi
C ( f ( A)) của f (A) .

Định lý 1.9. (Tính chất đặc tr-ng của AR(M)). Để không gian mêtric X là
AR( M ) điều kiện cần X là r - ảnh của tập con lồi trong không gian tuyến tính định

chuẩn Z nào đó và điều kiện đủ X là r - ảnh của tập con lồi trong không gian
tuyến tính lồi địa ph-ơng.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X AR(M ) ta chøng minh X  r (Q) víi
Q lµ tập lồi nằm trong không gian định chuẩn Z .

Theo Định lý Kuratowski tồn tại Q lồi Z định chuẩn sao cho ánh xạ đồng

phôi h : X h( X ) trong Q låi  Z . Theo giả thiết X AR nên tồn tại ánh xạ corót
r : Q  h( X ) . VËy hỵp thành h1r : Q X là r - ánh xạ.

Điều kiện đủ. Giả sử X là r - ảnh cđa tËp con låi Q  Z kh«ng gian tun
tÝnh lồi địa ph-ơng, f : Q X là r - ánh xạ có nghịch phải g : X Q . Giả sử đồng
phôi h : X h( X ) đóng trong không gian mêtric X . Khi đó hợp thành
gh1 : h( X ) Q. Theo Định lý Dugundji tồn tại thác triển liên tục : X Q lên

toàn bộ không gian X . Khi đó ta đặt r ( x)  h( f ( ( x))) víi mọi x X . Ta nhận
đ-ợc

r : X   h( X )

lµ

phÐp

corót.

ThËt

vËy,

víi

y  h( x)  h( X )

th×

r ( y)  (hf  h)( x)  h( x)  y. Suy ra X  AR(M ) .

Định lý đ-ợc chứng minh.
Định lý 1.10. (Tính chất đặc tr-ng của ANR(M)). Để không gian mêtric
X là ANR(M ) điều kiện cần X là r - ảnh của một lân cận mở nằm trong tập lồi Q

nằm trong không gian tuyến tính định chuẩn Z . Điều kiện đủ X là r - ảnh của tập
con mở nằm trong tập Q lồi của không gian tuyến tính lồi địa ph-ơng nào đó.


Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X ANR(M ) . áp dụng Định lý
Kuratowski tồn tại đồng phôi h : X  h( X ) ®ãng trong Q lồi Z định chuẩn, suy ra
tồn tại r : U h( X ) là ánh xạ corút ( U là lân cận mở của h( X ) trong Q ). Do đó
h1r : U X là r - ánh xạ.

Điều kiện đủ. Giả sử X là r - ¶nh cđa tËp më U  Q låi  Z không gian
tuyến tính lồi địa ph-ơng, f : U X là r - ánh xạ với nghịch phải g : X U . Xét
đồng phôi h : X  h( X )  X  ( X là không gian mêtric tuỳ ý). Khi đó ánh x¹
  gh1 : h( X )  U  Q. Theo Định lý Dugundji tồn tại thác triển  : X   Q. KÝ hiÖu
U   1 (U ). U là lân cận của h( X ) trong X . Đặt r ( x)  h( f ( ( x))) víi mäi
x U . Ta nhận đ-ợc ánh xạ r corút U  lªn h( X ) . VËy X  ANR (M ) .

Định lý 1.11. Giả sử Y là không gian mêtric, khi đó
(i) Y là AR(M ) không gian khi và chỉ khi đối với mỗi tập con đóng X của
không gian mêtric X , và mỗi ánh xạ f : X Y đều có thác triển liên tục
f : X Y.

(ii) Y là ANR(M ) không gian khi và chỉ khi đối với mỗi tập con đóng X của
không gian mêtric X , mỗi ánh xạ f : X Y đều có thác triển liên tục f : U Y là
lân cận U của X vào X .
Định lý 1.12. (Tính phân phối của các AR(M), ANR(M) không gian). Giả

sử không gian mêtric X là hợp của hai tập con đóng X1 , X 2 của nó và X 0  X1 X 2 ,
khi ®ã
(i)

NÕu X 0 , X1 , X 2  AR(M ) th× X  AR(M )

(ii)

NÕu X 0 , X1 , X 2  ANR(M ) th× X  ANR(M )

(iii)

NÕu X , X 0 , AR(M ) th× X1 , X 2  AR(M )

(iv)

NÕu X , X 0  ANR(M ) thì X1 , X 2 ANR(M ).

Chứng minh. Để chøng minh (i) ta cÇn chøng minh r»ng nÕu X là tập con
đóng của không gian mêtric Z và X 0 , X1 , X 2  AR(M ) , thì X là cái corút của Z .
Đặt
Z0 z  Z :  ( z, X1 )   ( z, X 2 )


Z1  z  Z :  ( z, X1 )   ( z, X 2 )
Z2  z  Z :  ( z, X1 )   ( z, X 2 ).

Rõ ràng ta nhận đ-ợc Z  Z0 Z1 Z2 , tËp X 0  Z0 ®ãng trong Z 0 vµ
Xi

Z0  X 0 (i  1, 2) . Từ đó tồn tại phép corút r0 : Z0  X 0 . Ta l¹i cã X i

Z0 đóng

trong Zi Z0 (i = 1,2), và từ Định lý 1.11 suy ra ánh xạ ri : X i Z0 X i đ-ợc xác
định bởi công thức
nếu z  X i
 z,
ri ( z )  
r ( z ), nếu z Z0 ,
có thác triển liên tôc fi : Zi Z0  X i . Ta ®Ỉt r ( z)  fi ( z) víi mäi z  Zi Z0 (i  1, 2) ta
sÏ nhËn ®-ỵc phÐp corót r : Z  X .
Ta chøng minh (ii). Chóng ta cÇn chøng minh r»ng nÕu X đóng trong không
gian mêtric Z và X 0 , X1 , X 2 ANR(M ) thì tồn tại trong Z l©n cËn U cđa tËp X , sao
cho X là cái corút của nó. Ta có X 0 đóng trong Z 0 , do đó suy ra tồn tại lân cận W0
của X 0 trong không gian Z 0 và đóng trong Z 0 , và phép corút r0 : W0 X 0 . Đặt
r ( z ), nÕu z W0
ri ( z )   0
nÕu z X i .
z,

Ta nhận đ-ợc phép corút ri tõ tËp X i  W0 lªn tËp X i , i = 1,2. Bëi v×
X i  ANR(M ) , và nhờ Định lý 1.11, suy ra tồn tại thác triển liên tục ri : Vi X i của

ánh xạ ri từ lân cận Vi của tập X i  W0 vµo Zi Z0 . Trong Vi ta sẽ tìm đ-ợc lân cận
đóng U i của tập X i trong kh«ng gian Z0 Zi sao cho Ui Z0  W0 . Bëi v×
U1  U 2  U1  (Z 0  Z1 )  (Z 0  Z 2 )  U1  Z 0  W0 , thì công thức r ( z ) ri( z ) víi
z Ui , i  1, 2 x¸c ®Þnh phÐp corót r tõ tËp U  U1 U 2 là lân cận của X trong Z , lên

tập X .

Nh- vậy (ii) đ-ợc chứng minh.
Chứng minh t-ơng tự cho (iii) và (iv) ta suy ra Định lý đ-ợc chứng minh.
Định lý 1.13. Không gian X là AR(M ) - không gian khi và chỉ khi X là
ANR(M ) - không gian và corút điểm.


Chứng minh. Ta đà có, mỗi AR - không gian là corút điểm vào ANR - không
gian. Ta xem X là tập con đóng của tập lồi Q nằm trong không gian định chuẩn Z
nào đó. Vì X corút điểm nên tồn tại họ ft các hàm liên tôc ft  X X sao cho f 0
biÕn X vào một điểm a X , còn f1 là ánh xạ đồng nhất. Đặt f0( x) a với mọi
điểm x Q ta đ-ợc thác triển liên tục f0 : Q  X cña f 0 . Áp dụng Định lý (Định lý.
Nếu X là tập con đóng của không gian mêtric X , và giả sử Y ANR(M ) . Xét họ
ánh xạ ft  , t  0,1 víi ft : X  Y và giả thiết rằng f 0 có thác triển liên tục
f0 : X Y . Khi đó tồn tại họ ánh xạ liên tục

ft với

ft: X   Y , t  0,1 , f t là thác

triển của f t ) ta nhận đ-ợc họ thác triển liên tục ft với ft: Q  X cđa f t . Nãi riªng
f1: Q  X là thác triển của ánh xạ đơn vị f t và là ánh xạ corút. áp dụng Định lý

1.9 ta có điều phải chứng minh.


Định lý 1.14. Tích đề các X n1 X n là ANR(M ) - không gian khi và chỉ khi
mỗi X n ANR(M ) và hầu hết X n AR(M ).
Định lý 1.15. (Định lý Hanner I). Mỗi tập con mở của ANR (M ) - không gian
là ANR (M ) - không gian.
Định lý 1.16. (Định lý Hanner II). Nếu không gian mêtric X là hợp đếm

đ-ợc của các tập con mở Gi của X (i 1, 2,...) là các ANR - không gian thì X là
ANR - không gian.

Bổ đề 1.17. Nếu X là tập con đóng của không gian Euclide E n và G là một
trong những thành phần liên thông bị chặn của E n \ X , thì không tồn tại ánh xạ liên
tục f : G  X sao cho f ( x)  x với mỗi x G \ G .
Hệ quả 1.18. Mỗi r - ảnh của AR(M ) không gian là AR(M ) không gian.
Chứng minh. Bởi không gian mêtric X là AR(M ) không gian thì theo Định
lý 1.9 X là r - ảnh của một tập lồi Q Z với Z là không gian định chuẩn. Nghĩa là
tồn tại r - ánh xạ f : Q X và khi đó ta viết X f (Q) . Bây giờ kí hiệu g là r - ánh
xạ g : X  g ( X ) . Khi ®ã g ( X )  gf (Q) . V× gf là tích hai r - ánh xạ nên nó là r - ¸nh


xạ. Vậy g ( X ) là r -ảnh của tập lồi Q nằm trong không gian định chuẩn Z . Theo
điều kiện đủ của Định lý 1.9 thì g ( X ) là AR(M ) không gian.


2. Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các
AR, ANR không gian

Trong mục này, ta trình bày Định nghĩa AR, ANR không gian và một số tính
chất riêng của AR, ANR .
Định nghĩa 2.1. Không gian X đ-ợc gọi là corút tuyệt đối hay AR - không
gian X - nếu compắc và là AR(M ) - không gian. Kí hiệu X AR .
Định nghĩa 2.2. Không gian X đ-ợc gọi là corút lân cận tuyệt đối hay
ANR - không gian nếu X compắc và ANR(M ) - không gian. Kí hiệu X ANR .

Định lý 2.3. Không gian X là AR khi và chỉ khi X là r - ảnh của hình hộp
Hilbert.
X là ANR khi và chỉ khi X là r - compắc ảnh của tập con mở của hình hộp

Hilbert.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X AR . Theo Định lý Urysohn tồn tại
đồng phôi h : X Q . Bởi vì X compắc, tập h( X ) đóng trong Q , và X AR(M ) ,
cho nên tồn tại ánh xạ corút r : Q h( X ) . Nh- vËy h1r : Q  X là r - ánh xạ và
X là r - ảnh của hình hộp Q . Bây giờ giả sử X ANR , cũng lí luận nh- trên ta có

ánh xạ đồng phôi h từ X lên tập con đóng h( X ) trong Q . Bëi v× X  ANR nên tồn
tại lân cận mở U của h( X ) trong Q và ánh xạ corút r : U h( X ) . Khi đó ánh xạ
h1r : U X là r - ánh xạ. Từ đó suy ra X là r - ảnh của tập con mở U Q .

Điều kiện đủ. Vì hình hộp Hilbert Q là tập con lồi, compắc trong không
gian Hilbert E . Cho nên mỗi r - ảnh của nó là cái compắc và là AR(M ) - không
gian. Do đó X là AR(M ) - không gian. Còn ANR(M ) - không gian chính là r - ảnh
của tËp con më cđa tËp låi n»m trong kh«ng gian định chuẩn. Từ đó ta có mỗi r ảnh compắc của tập con mở trong Q là không gian ANR(M ) - compắc.
Định lý 2.4. Không gian mêtric compắc X là AR - không gian khi và chỉ khi
mỗi ánh xạ đồng phôi h : X h( X ) , h( X ) đóng trong cái compắc Y , thì h( X ) là cái
corút của Y .


Chứng minh. Điều kiện cần. Nếu X AR , thì h( X ) AR(M ) và đóng trong
Y . Ta suy ra h( X ) là cái corút của Y .

Điều kiện đủ. Giả sử X là cái compắc, có ánh xạ đồng phôi h : X h( X ) Y ,
Y là cái compắc, h( X ) là cái corút của Y . Ta xét phÐp corót r : Q  h( X ) . Khi đó

h1r : Q X là r - ánh xạ. áp dụng Định lý 2.3 ta có X AR .

Định lý 2.5. Mỗi r - ảnh của AR - không gian (hoặc ANR - không gian) là
AR - không gian (hoặc ANR - không gian).

Chứng minh. Ta chứng minh r - ảnh của AR - không gian là AR - không
gian.
Giả sử X là AR - không gian, theo Định lý 2.3 ta có X r (Q ) với r : Q X
là r - ánh xạ. Giả sử r : X r ( X ) là r - ánh xạ. Khi đó ta có ánh xạ hợp
r r : Q r ( X ) .

Do r , r là r - ánh xạ nên hợp thành r .r là r - ánh xạ. Nh- vậy r ( X ) là r ảnh của hình hộp Hilbert Q . Do đó r( X ) AR.
Bây giờ ta chứng minh r - ảnh của ANR - không gian là ANR - không gian.
Giả sử X ANR , theo Định lý 2.3 ta có X f (U ) , trong đó U là tập mở trong
Q , f là r - ánh xạ compắc từ U lên X ( f : U X ) . Gi¶ sư g víi g : U g ( X ) là
r - ánh xạ. Khi ®ã g. f : U  g ( X ) là r - ánh xạ compắc. Nh- vậy g ( X ) là r - ảnh

compắc của tập con mở của hình hộp Hilbert Q . Do đó theo Định lý 2.3 ta cã
g ( X )  ANR . Định lý đ-ợc chứng minh.

Định lý 2.6. X AR khi vµ chØ khi X  ANR vµ X corót điểm.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X AR , ta suy ra X AR(M ) và X
compắc. Do đó X ANR và X corút điểm (áp dụng Định lý 1.13).
Điều kiện đủ. Từ X ANR và X corút điểm suy ra X ANR(M ) và X
compắc. Nh- vậy X ANR(M ) và X corút điểm nên theo Định lý 1.13 ta có
X AR(M ) . Do X  AR(M ) vµ X compắc nên X AR .

Định lý 2.7. Mỗi corút lân cận của ANR - không gian là ANR - kh«ng gian.


Chøng minh. Gi¶ sư X  ANR , suy ra X ANR(M ) . Theo Định lý 1.10 tồn
tại r - ánh xạ f : G X , víi G më trong tËp låi Q  Z , Z là không gian định chuẩn
với nghịch phải g : X G . Giả sử X 0 là cái corút lân cận của X , khi đó tồn tại một
lân cận mở

X và ánh xạ corút r : U X 0 . Đặt H f 1 (U )

X thoả mÃn X 0

thì H mở trong Q (vì f liên tục).
Đặt f0 ( z) r. f ( z) víi z  H , ta có f 0 là r - ánh xạ từ H vào X 0 . Khi đặt
g0 ( x) g ( x) thì với x X 0 ta đ-ợc g0 : X 0 H là nghịch phải của f 0 .

ThËt vËy, víi x  X 0 ta cã f0 .g0 ( x)  r. f .g ( x)  r ( x)  x.
VËy X 0 lµ r - ¶nh cđa tËp con më H trong tËp lồi Q nằm trong không gian
định chuẩn Z , nên theo Định lý 1.10 ta có X 0 ANR(M ) . Mặt khác X 0 là cái corút
lân cận của X nên X 0 đóng trong X compắc, do đó X 0 compắc. Vậy X 0 ANR .
Định lý 2.8. Mỗi ANR - không gian chỉ có hữu hạn thành phần liên thông.
Để chứng minh Định lý này ta cần đến Bổ đề sau đây
Bổ đề. Mỗi thành phần liên thông là tập đóng.
Chứng minh. Giả sử Lx là thành phần liên thông của điểm xi trong
i

X ANR . Khi đó ta có bao hàm thức: Lxi Lxi

(1).

Mặt khác, bao đóng của tập liên thông là liên thông nên Lx liên thông. Ta có
i

Lxi là tập liên thông lớn nhất chứa xi , do đó

Lxi Lxi

(2).

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra L  Lx , tức tập Lx đóng.
xi

i

i

Chứng minh định lý 2.8. Giả sử ng-ợc lại, X chứa vô hạn các thành phần
liên thông, tức

iI

Lxi X , xi X . Vì Lxi đóng trong X compắc nên Lxi compắc.

Với mỗi phủ më U xj  jJ cđa Lx th× ta cã
i

i

 
jJ

U xji

iI

, xi  X lµ phđ më cđa X .

Do Lx compắc nên từ phủ mở U xj iI luôn trích ra đ-ợc phủ con hữu hạn. Nh-ng
i

với phủ mở

i


jJ

U xji

iI

của X lại không thể tách ra đ-ợc phủ con hữu hạn nào, vì X


chứa vô hạn thành phần liên thông. Điều này mâu thn víi gi¶ thiÕt X  ANR . VËy
X chØ chứa hữu hạn thành phần liên thông.

Định lý 2.9. Mỗi thành phần liên thông của ANR - không gian là ANR không gian.
Chứng minh. Giả sử Aj là thành phần liên thông của X 0 ANR , ta đà chứng
minh Aj đóng trong X compắc. Vậy Aj compắc. áp dụng Định lý 2.8 ta có
X

n
i 1

Ai , Ai là thành phần liên thông của X , ta suy ra
Aj  X \

n
i 1

Ai  X \ (

i j

j 1
i 1

n

Ai

i j 1

Ai ).

Do Ai đóng và hợp hữu hạn các phần tử đóng là đóng, ta suy ra Aj mở trong
X , và X ANR nên X là tập con mở của ANR(M ) - không gian. VËy ta cã
Aj  ANR(M ) . Ngoµi ra A j compắc nên Aj ANR .

Định lý 2.10. Mỗi đa diện hình học là ANR .
Chứng minh. Mỗi đa diện hình học là tập compắc, vì nó có số tam giác
phân hữu hạn. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh đa diện hình học là ANR(M ) - không
gian.
Giả sử X là đa diện n - chiều, với J là tam giác phân của nó. Từ đó ta có J
chỉ gồm hữu hạn phần tử, vì X compắc. Kí hiệu K là số đơn hình hình học của nó,
ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

K 1 Định lý đúng, bởi vì đa diện chỉ gồm một đơn hình hình học là ANR

không gian.
Giả sử K m 1 , ta giả thiết Định lý đúng với mọi đa diện có số đơn hình
K m.

Giả sử là đơn hình n - chiều của J , gọi J1 là tam giác phân nhận đ-ợc từ
J , bớt một đơn hình . Ta thu đ-ợc đa diện X 1 với tam giác phân J1 . Theo giả

thiết quy nạp X1 ANR(M ) . Đặt X 0 * , với * là biên của  . Khi ®ã
 *  X 0  ANR(M ) , vì X 0 là một phần của X 1 với tam giác phân J1 (k m) ;


X 2    ANR(M ) . Ta cã X  X1

X 2 , X 0  X1

X 2 , nên theo Định lý phân phối

X ANR(M ) - không gian (Định lý 1.12) ta có X ANR(M ) . Vậy X ANR .

Định lý 2.11. Hợp hai AR - không gian mà có giao là AR là AR - không gian
(t-ơng tự cho ANR ).
Chứng minh. Gi¶ sư
X 0  X1

X  X1

X2 ,

víi

X1 , X 2  AR

(hc ANR ),

X 2  AR (hc ANR ). Cần chứng minh X AR (hoặc ANR ).

Vì hợp hữu hạn các tập compắc nên X X1 X 2 compắc. Theo Định lý phân
phối (Định lý 1.12) suy ra X  X1 X 2  AR(M ) (hc ANR(M ) ).
VËy X  AR (hc ANR ).
Định lý 2.12. Nếu hợp và giao hai cái compắc là AR - không gian (hoặc
ANR - không gian) thì mỗi một từ chúng là AR - không gian (hoặc ANR - không

gian).
Chứng
X 0 X1

minh.

Giả

X X1

sử

X 2 AR(M ) ,

(hc

ANR(M )) ;

X 2  AR (hc ANR ), ta suy ra X , X 0  AR(M ) (hc X , X 0  ANR(M )) .

ThËt vậy, nhờ Định lý phân phối (Định lý 1.12) ta cã X1 , X 2  AR(M ) (hc
ANR(M ) ).

Mặt khác, theo giả thiết ta có X1 , X 2 compắc nên X1 , X 2 AR (hoặc ANR ).


Định lý 2.13. Tích đề các X n1 X n là ANR - không gian khi và chỉ khi mỗi
X n ANR và hầu hết các X n AR - không gian.


Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X n1 X n là ANR - không gian, ta suy ra
X ANR(M ) và X - compắc. Từ đó suy ra X n ANR(M ) và hầu hết X n AR(M )

(Định lý 1.14). Vì X compắc nên X n compắc với mọi n IN .
Điều kiện đủ. Nếu mỗi X n ANR , và hầu hết các X n AR , ta suy ra X n
compắc và X n ANR(M ) , và hầu hết các X n AR(M ) . Khi đó theo Định lý 1.14 ta
cã X  ANR(M ) . Do X n comp¾c với mọi n IN nên tích của chúng compắc. VËy X
comp¾c.


Định lý 2.14. Cái compắc X là ANR - không gian khi và chỉ khi mọi điểm
x X đều có lân cận là ANR(M ) - không gian.

Chứng minh. Điều kiện cần. Theo Định lý Hanner I (Định lý 1.15) thì mọi
điểm của ANR(M ) - không gian đều có lân cận là ANR(M ) - tập.
Điều kiện đủ. Giả sử X là cái compắc sao cho với mọi x X đều có lân cận

U x là ANR(M ) - tập. Khi đó phần trong của U x cũng là ANR(M ) - tập và mở. Các

phần trong này phủ X . Từ X compắc tồn tại phủ con hữu hạn các ANR(M ) - tập.
n

Nghĩa là X  Vx ,Vx  int U x , xi  X . Do đó theo Định lý Hanner II (Định lý 1.16) ta
i 1

i

i

i

cã X  ANR(M ) . Vµ vì X compắc nên X ANR .
Định nghĩa 2.15. Ta nói tập con A Q là một lăng trụ trong Q , nếu với
mỗi m , ta tìm đ-ợc đa diện hình học P Qm sao cho A m1 ( P) . Đa diện hình học
P đ-ợc gọi là cơ sở của lăng trụ A .

Bổ đề 2.16. Giả sử X là tập compắc nằm trong Q , khi đó đối với mỗi 0 ,
tìm đ-ợc lăng trụ A Q và lân cận cña X trong Q sao cho  ( x, X )   víi mäi
x  A.

Chøng minh. NÕu X thì ta đặt A . Nếu X   , th× víi m sao cho
1
3

 m   ta cã tËp X m  m ( X ) là tập compắc khác rỗng, nằm trong Q . Xét đa diện

hình học Pm Qm là lân cận của X m trong Q và sao cho  ( x, X m )   m với mọi

x Pm . Bởi vì ánh xạ m liên tục, còn lăng trụ A m1 ( Pm ) là lân cận của X trong
Q

. Hơn thế n÷a m ( x)  Pm víi mäi x  A , vµ  ( x, X m )   ( x,m ( x))   (m ( x), X m )  2 m .
Tõ ®ã nhê  ( x, X )   m víi mäi x  X m suy ra  ( x, X )  3 m   víi mäi x  X .
Định lý 2.17. Không gian X là ANR khi và chỉ khi nó là r - ảnh của lăng trụ
nằm trong Q .
Chứng minh. Điều kiện cần. Vì mỗi lăng trụ trong Q là ANR - không gian,
nên mỗi r - ánh xạ của lăng trụ là ANR - không gian.


Điều kiện đủ. Giả sử X ANR , ta cần chứng minh X là r - ảnh của lăng trụ
nào đó, không mất tính tổng quát ta có thể xem X  Q . Bëi v× X  ANR nên tồn tại
lân cận U của X trong Q với phÐp corót r : U  X . Tõ Bỉ đề 2.16 ta suy ra rằng
trong Q tìm đ-ợc lăng trụ A là lân cận của X và nằm trong U . Nghĩa là
X A U . Cái hạn chế của ánh xạ r corút tập A lên X , nh- vậy X là r - ảnh của

lăng trụ trong Q .
Định lý 2.18. Nếu Y ANR và với 0 , tồn tại 0 sao cho mọi tập con
đóng X 0 của không gian mêtric X và các ánh xạ f1 , f 2  Y X víi  ( f1 , f2 ) mà f1
0

có thác triển f1 Y X thì f 2 có thác triển f 2 Y X sao cho  ( f1, f 2)   .
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể gi¶ thiÕt Y  Q   . Tõ
Y  ANR suy ra tồn tại lân cận U của Y trong Q E và ánh xạ corút r : U Y .

Do Y

1
2

compắc nên tồn tại 0 sao cho

và hình cầu

1
K { y  E :  ( y, Y )  } , n»m trong U , víi  ( y, r ( y))   , víi mäi y  K (v× r ( y)  y
2

víi y  Y ) .
Đặt ( x) f1 ( x) f 2 ( x) víi mäi x  X 0 , ta có mọi giá trị của nằm trong
K0  { y  E :  ( y,0)  } . V×  ( f1 , f 2 ) và bởi vì K 0 là tập lồi nên từ Định lý

Dugundji 1.8 suy ra rằng ánh xạ có thác triển liên tục : X K0 . Giả sử f1 là
thác triển của f1 , khi ®ã  ( f1( x), f1 ( x)   ( x))   (0,  ( x))   víi x  X .
Tõ ®ã ta cã f1( x)   ( x)  K . Nh- vËy c«ng thøc
f 2( x)  r ( f1( x) ( x)),

xác định ánh xạ f 2 : X Y , là thác triển của f 2 , v× f 2( x)  r ( f 2 ( x))  f 2 ( x) , víi
1
2

mäi x X . Từ bất đẳng thức (1) và bất ®¼ng thøc  ( y, r ( y))   suy ra
 ( f1( x), f 2( x))   với mọi x X .

Định lý đ-ợc chứng minh.
Hệ quả 2.19. Giả sử Y0 là tập con đóng của Y . NÕu Y0 , Y  ANR th× tån tại
một lân cận U của Y0 trong Y và một họ đồng luân

t   Y U sao cho
(i)

0 ( y)  y víi y U

(ii)

t ( y)  y víi y  Y ,0  t  1 .

(iii)

1 lµ phÐp corót tõ U lªn Y0.

Chøng minh. Do Y0  ANR nên tồn tại ánh xạ corút r từ lân cận U 0 cđa Y0
trong Y lªn Y0 (r : U0 Y0 Y ) . Giả sử U là một lân cận của Y0 , đ-ợc chứa trong
U 0 . Đặt
X Ux 0,1

X 0 Y0 x 0,1U

x 0 Ux 1 .

Ta xét hai ánh xạ f1 , f 2 Y X đ-ợc xác định bởi công thøc
0

f1 ( y, t )  y víi mäi ( y, t )  X 0 ,

víi ( y, t ) Y0 x 0,1 Ux 0
y
f 2 ( y, t )  

r ( y ) víi ( y, t ) Ux 1 .
Giả sử là số d-ơng, rõ ràng lân cận U của Y0 trong Y có thể chọn đ-ợc
sao cho ( f1 , f2 ) . Từ X 0 là tập con đóng trong X và từ f1 có thể thác triển liên
tục là f1 xác định trên X và lấy giá trị trong Y ( f1 đ-ợc xác định bởi công thức
f1( y, t ) y ). Theo Định lý 2.18, tồn tại thác triển liên tục f 2 : X Y của f 2 . Đặt

t ( y) f 2( y, t ) víi ( y, t ) Ux 0,1 ta nhận đ-ợc họ đồng luân t Y U thoả mÃn (i) -

(iii).
Bổ đề 2.20. Giả sử J là tam giác phân của đa diện X và X1 , X 2 là hai đa
diện con không giao nhau, đối với tam giác phân trên. Khi đó đối với tam giác
phân J của không gian XxI ( I   ,  ) , tån t¹i phÐp corút f của không gian XxI
tuyến tính trên mỗi đơn hình của J và có dạng
f ( x, t )  ( x, ( x, t )) víi x  X , t  I ;

víi  ( x, t ) là hàm nhận giá trị trong I , thoà m·n
(1)

 ( x, t )   víi x  X 1 hay t   ,

(2)

 ( x, t )  t víi x  X 2 .


Chứng minh. Dễ thấy XxI là đa diện hình học. Ta xây dựng tam giác phân
J với các đỉnh ( x0 , t0 ),...,( xn , tn ) víi x0 ,...xn không nhất thiết khác nhau, chính là các

đỉnh của tam giác phân J , còn mỗi ti bằng hoặc bằng . Ta xác định ánh xạ f
trên giá không của J bởi công thức

( xi ,  ) víi xi  X1
f (( xi , ti ))  
( xi , ti ) víi xi X X1 .

Sau đó ta thác triển tuyến tính trên tất cả các đơn hình của tam giác phân J .
Ta nhận đ-ợc thác triển, kí hiệu là f chính là phép corút, bởi vì ff f .
Định lý 2.21. Đối với mỗi cái compắc X tìm đ-ợc AR - không gian X và
đồng phôi h : X  h( X )  X  sao cho X  \ h( X ) lµ mét ®a diƯn.
Chóng ta cã thĨ gi¶ thiÕt X   . Ta nhËn thÊy r»ng X   h( X ) khả ly, nên tam
giác phân của nó có không quá đếm đ-ợc đơn hình. Số đơn hình này hữu hạn khi
và chỉ khi X h( X ) compắc. Trong tr-ờng hợp đó ta có thể thêm vào không gian
X một đoạn thẳng có điểm chung duy nhất với X . Khi đó ta nhận đ-ợc AR -

kh«ng gian X  sao cho X   h( x) không compắc. Vì vậy ta có thể xem tam giác
phân đếm đ-ợc là 0 - tam giác phân. Nh- vậy, ngoại trừ tr-ờng hợp X ta có thể
chứng minh Định lý 2.21 ở dạng t-ơng tự Định lý sau
Định lý 2.22. Mỗi cái compắc X ®ång ph«i víi tËp con X  cđa AR kh«ng gian X  sao cho X   X  là đa diện có 0 - tam giác phân.
Chứng minh Định lý 2.21 và Định lý 2.22.
Không mất tính tổng quát ta có thể xem X Q . Giả sử m , phép chiếu Q
lên Q m đ-ợc xác định bởi công thức
m (xn ) ( x1 , x2 ,..., xm ,0,0,...) .

Đối với mỗi m N , giả sử Pm là đa diện trong Q m , là lân cận của m ( X ) trong
Q m . Gi¶ sư
Z m  m1 ( Pm ) .

Ta có Z m là lân cận của X trong Q . Rõ ràng ta có thể chọn đ-ợc các Pm
bằng ph-ơng pháp quy nạp sao cho thoả mÃn ba ®iỊu kiƯn sau

Zi  Q

(1)

Z m1  int Z m

(2)


m 1

Zm  X

(3)

Từ (2) và từ Định nghĩa ánh xạ m và các tập Z m suy ra rằng các đa diện
( Z m1 ) vµ m (Q  Z m )  Qm  Pm kh«ng giao nhau. Nhê Bỉ đề 2.20 ta suy ra tồn tại

ánh xạ m : Qm xI m  I m víi I m  0,

1 
, sao cho
 m  1 

m ( x1 , x2 ,..., xm , xm1 ,0,...)  ( x1,..., xm ,  ( x1,..., xm1),0,0,...) lµ phÐp corót, tun tính

trên mỗi đơn hình của tam giác phân f cđa Q m1 , tho¶ m·n
f m ( x)  m ( x) nÕu m ( x)  Qm  Pm ;

(4)

f m ( x)  x nÕu m ( x) m (Zm1 ).

(5)

Từ các điều kiện (1), (2), (3) suy ra rằng Q X là hợp của những cái
compắc Bm Zm Zm1 thoả mÃn các điều kiƯn
Bm

Bm k   víi m – 1, 2, …, k = 2, 3,…

(6)

Bm

Bm1  Z m1 Q  Z m1 với m = 1, 2

(7)

Nếu U là lân cận nào đó của X trong Q thì với hầu hết m , tËp Bm n»m
trong U .

(8)

m1 ( Bm ) là đa diện hình học, đ-ợc chứa trong Bm (m = 1, 2, 3,…)
f m (m1 ( Bm ))  m1 ( Bm ).

Tõ ®iỊu kiƯn (7) suy ra r»ng với mỗi x Bm Bm1
m (m1 ( x)) m ( x) m ( Zm1 )

vµ m1 (m2 ( x))  m1 ( x) m1 (Q  Zm1 ) Qm1 Pm1 .
Vì vậy, từ (4) và (5) ta suy ra víi mäi x  Bm Bm1 th×
f m (m1 ( x))  m1 ( x)  m1 (m2 ( x))  f m1 (m2 ( x)) .

Chó ý đến điều kiện (6) ta có công thức
f ( ( x)) víi x  Bm ,
f ( x)   m m1
víi x  X
x

(9)
(10)


xác định hàm f trên toàn bộ Q .
Nhờ (8) ta có hàm f liên tục trong Q X . Mặt khác, đối với mỗi điểm
x xn  Bm ta cã
f ( x)  f m (m1 ( x))  f m (( x1 ,..., xm1 ,0,0,...)  ( x1 , x2 ,..., xm , ( x1 ,..., xm1 ),0,...) .

Tõ ®ã ta cã


1
.
2
k 1 ( m  k )

 ( x, t ( x)) 2 

Từ bất đẳng thức này và Định nghĩa hàm f ta suy ra rằng f liên tục tại mọi

điểm của X .
Cũng theo Định nghĩa ánh xạ f thì tập X f (Q ) là hợp của tập X và các
tập f ( Bm ) f m ( m1 ( Bm )). Từ điều kiện (9), và (10) suy ra r»ng
f m (m1 ( Bm ))  m1 ( Bm ) Bm , vì ánh xạ f m tuyến tính trên mỗi đơn hình của

tam giác ph©n cđa Q m1 , ta kÕt ln r»ng mäi tập f ( Bm ) Bm là các đa diện. Sử dụng
các điều kiện (6) và (8), ta đi ®Õn kÕt luËn tËp X   X  


m 1

f ( Bm ) là đa diện.

Để kết thúc chứng minh Định lý 2.21 cần phải chứng minh f là phÐp corót
cđa Q . NghÜa lµ f ( f ( x))  f ( x) víi mäi x  Q . Víi x  Q  X ta cã thĨ tìm đ-ợc
chỉ số m , sao cho x Bm . Khi ®ã f ( x)  fm (m1 ( x)) m1 ( Bm ) Bm . ánh xạ f m là
phép corút thoả mÃn f m f m f m ; nh- vậy với mỗi x Bm ta cã
f ( f ( x))  f m (m1 ( f ( x)))  f m ( f ( x))
 f m ( f m (m1 ( x)))  f m (m1 ( x))  f ( x).

Nh- vậy ta chứng minh đ-ợc rằng ánh xạ f là phép corút hình hộp Q lên
tập X f (Q ) . Tõ ®ã ta cã X   AR .
Các Định lý 2.21 và 2.22 đ-ợc chứng minh.


Mét sè vÝ dô

VÝ dô 1. Cho tËp A  a, b gồm hai điểm a b , trên đ-ờng thẳng. Chứng
minh rằng
a, A là cái corút lân cận của

.

b, A không là cái corút của

.

Từ các kết quả ®ã suy ra A  ANR vµ A  AR .
Chứng minh. a) Khoét bớt điểm
lân cận mở trong

ab
, ta đặt U
2

a b
\
. Khi đó U là
2

chứa A .

Ta đặt ánh xạ
ab
a nếu x 
2

r ( x)  
b nÕu a  b  x   .


2

Khi ®ã r (a)  a, r (b) b , vì vậy r là ánh xạ liên tục và corút U lên A . Mặt
khác

ANR(M ) nên A ANR(M ) . Vì A là tập 2 điểm trên

nên A compắc.

Vậy A ANR .
b) Ta có

\ A có thành phần liên thông bị chặn là G (a, b) . Khi đó

G (a, b)   a, b . ¸p dơng Bỉ đề 1.17 thì không tồn tại ánh xạ liên tục f : G  A

tho¶ m·n f ( x)  x víi mäi x  A . Nh- vËy A  AR(M ) . Do ®ã A  AR.
VÝ dơ 2. Cho tËp A  {( x, y, z) 

3

: x2  y 2  z 2 

2

; z  0}. H·y chøng minh

r»ng A AR .
Chøng minh. Ta cã A là nửa mặt cầu trên, nếu chiếu xuống mặt xoy thì ta
đ-ợc hình tròn S ( x, y) : x2 y 2

không gian định chuẩn

2

2

. Mặt khác hình tròn

S AR(M ) (tập lồi trong

). S compắc vì là hình tròn. Ta lập r - ¸nh x¹ r : S  A

nh- sau
( x, y)  S  ( x, y,

2

 x 2  y 2 )  A.


ánh xạ r
2

( x, y,

có ánh xạ nghịch phải g . Với g : A S xác định bởi

x 2  y 2 )  ( x, y) thoả mÃn x 2 y 2

2

.

Ta có hình tròn S AR(M ) và A r (S ) nên theo Hệ quả 1.18 ta có
A AR(M ) .

Mặt khác r - ảnh của hình tròn compắc (hay A đóng và bị chặn trong

3

)

nên A compắc. Do đó A AR(M ) và A compắc. Vậy A  AR .
VÝ dô 3. Cho tËp.
V  ( x, y) 

2

: a  ( x, y  b; a  0, b  0, a  b .

Chøng minh rằng biên của hình vành khăn V là ANR .
Chứng minh. KÝ hiÖu
S1  ( x, y) 

2

: ( x, y)  b

S2  ( x, y) 

2

: ( x, y)  a ,

S  S1

S2 .

Ta khoÐt mét ®-êng trßn

S0  ( x, y) 


U

2

2

: ( x, y) 

a b
. Đặt
2

\ 0 \ S0 ,

ta đ-ợc U là lân cận mở chứa S . Lập ánh x¹ corót f : U  S nh- sau
f (X )  (

2 X a b ba a b X
;
.

).
2
X
2 X a b 2

ở đây X ( x, y) . Ta có khi X
Vậy S là cái corút lân cận của

ab
thì
2

2

f ( X ) a , với X

ab
thì
2

f ( X ) b.

nên S ANR(M ) .

Mặt khác S1 , S2 là các tập compắc nên S S1 S2 là tập compắc (hợp 2 tập
compắc là compắc). Vậy S ANR .

Ví dụ 4. Cho mặt cầu





K n x En , x  1 .

Chøng minh r»ng

S n1   x  E n : x 1

của hình cầu đóng


a, S n 1 1 là cái corút lân cận của E n .

b, S n1 không là cái corút của hình cầu đóng K n .

Từ các kết quả đó ta kết luận đ-ợc S n1 ANR và S n1 AR .
Chứng minh. a, Đặt U E n \ 0 , ta đ-ợc U là lân cận mở trong E n chứa
S n 1 .

Đặt ánh xạ
r ( x)

x
, với mọi x U .
x

Khi đó r là ánh xạ corút từ U lên S n1 , bëi v× r ( x)  x khi x  S n1 ( x  1) .
VËy S n1 là cái corút của không gian E n , và do E n  ANR(M ) nªn S n1  ANR(M ).
Mặt khác S n1 là tập compắc. Vậy S n1  ANR .
b, Ta cã S n1 lµ tËp ®ãng trong E n . Khi ®ã E n \ S n1 có thành phần liên thông
bị chặn là hình cÇu më G  x  E n : x  1. VËy G  K n  x  E n : x  1 .
Theo Bỉ ®Ị 1.17 ta kết luận không tồn tại ánh xạ liên tục f : G  S n1 tho¶
m·n f ( x)  x víi x  S n1 .
Nh- vËy tån tại một không gian mêtric K n G chứa S n1 nh-ng không corút
đ-ợc về S n1 . Vậy S n1  AR(M ). Do ®ã S n1  AR.


3. Kết luận

Khoá luận đà đạt đ-ợc các kết quả chính sau đây
- Chứng minh chi tiết một số tính chất đà biết của AR, ANR không gian.
- Chứng minh chi tiết các mối liên hệ giữa AR, ANR không gian với đa diện
hình học.
- Chứng minh chi tiết một số Định lý về thác triển ánh xạ.
- Chứng minh chi tiết các Định lý nhúng những cái compắc vào AR - không
gian.
- Đ-a ra và chứng minh một số vÝ dơ ¸p dơng.