Bài giảng Xử lý số tín hiệu (Chương 3)

Chương 3:
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN
TẦN SỐ LIÊN TỤC
3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER
3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F
3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
3.5 LẤY MẪU & KHƠI PHỤC TÍN HIỆU
1


3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER TÍN HIỆU RỜI RẠC
3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:
j

• Biến đổi Fourirer của dãy x(n): X ( e ) 



 j n
x
n
e
(
)


n  

Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc

X( e

j

)  X( e

j

)e

j arg X ( e j )

/X(ej)/ - phổ biên độ
argX(ej) - phổ pha

• Ký hiệu:
x(n)
X(ej)

F

 X(ej)
F 1




x(n)

hay X(ej) = FT{x(n)}

hay x(n) = FT-1{X(ej)}
2


• Nhận thấy X(ej) tuần hoàn với chu kỳ 2, thật vậy:

X (e

j (   2 )

)



 x ( n )e

 j (  2 ) n





j
 jn
(
)
(
)
x
n

e

X
e




n  





n  



 





X e j e  jl d   

 n 







n 

Áp dụng kết quả:






e

j ( l  n )

2 : l  n
d  
0 : l  n

x( n )e j n ejld


x( n )  e

 j  l  n 

d



Biến đổi Fourier ngược:
1
x( n ) 
2





X ( e j )e j n d 


3


Ví dụ 3.1.1: Tìm biến đổi F của các dãy:
x1 ( n)  a nu ( n) : a  1 x2 (n)  a nu(n 1) : a  1

j

X 1 (e ) 



 a u ( n )e
n

 jn



n 0

n  



  ae



 j n





n  

n  1

1

1  ae  j



X 2 (e j )    a nu ( n  1)e  jn    a 1e j





  a e
m 1

1



j m





  a e
1



j m



n

1

m0

1
1

 1
1 j
1 a e
1  ae  j
4


3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER
jω

X (e ) 



 x ( n)e

 jn

n  





 x ( n) e

 jn

n  





 x ( n)

n  

Vậy, để X() hội tụ thì điều kiện cần là:



 x ( n)  

n  

Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng,
thậy vậy:

Ex 
Nếu:





x(n)    x(n) 
2

n  



n  





n  

x ( n)  

2



Ex 



 x ( n)

2



n  

5


Ví dụ 3.1.2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:
x1 (n)  0.5n u(n); x2 (n)  2n u(n); x3 (n)  u(n); x4 (n)  rectN (n)

1
x1 (n)   (0.5) u (n)   (0.5) 
2

1  0.5
n  
n  
n 0










n  




n  

x2 (n) 
x3 (n) 



n
2
u
(
n
)

2

 

n  

n 0





n  

n 0

 u ( n )   u ( n)  

 x (n)   rect

n  



n

n  

n

X2(ej) không tồn tại
X3(ej) không tồn tại

N 1



4



n

N

(n)   rect N (n)  N
n 0

6


3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
3.2.1 Tuyến tính
Nếu:

F
x1 (n) 
X1 (e j )

Thì:

F
a1 x1 ( n)  a 2 x2 ( n) 
a1 X 1 (e j )  a2 X 2 (e j )

F
x2 (n) 
X 2 (e j )

3.2.2 Dịch theo thời gian
Nếu:

F

x(n) 
X (e j )

Thì:

F
x(n  n0 ) 
e-jn0 X (e j )

7


Ví dụ 3.2.1: Tìm biến đổi F của dãy (n) và (n-2)
j

x( n)   ( n)  X (e ) 
F



 j n
n
e

(
)
1


n  

Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:
F
 ( n  2)  x ( n  2) 
e  j 2  X ( e j )  e  j 2 

3.2.3 Liên hiệp phức
Nếu:

F
x(n) 
X (e j )

Thì:

F
x * (n) 
X * (e  j )

8


3.2.4 Đảo biến số
Nếu:

F
x ( n) 
X ( e j )

Thì:

F
x ( n) 
X ( e  j )

Ví dụ 3.2.2: Tìm biến đổi F của dãy y(n)=2nu(-n)
Theo ví dụ 3.1.1, có kết quả:

1
F
j
1
x ( n)    u( n)  X ( e ) 
 j
e
1

(
1
/
2
)
2
 
n

n

y( n )  x( n )  2 u( n )  X (e
F

 j

1
)
1  (1 / 2)e j
9


3.2.5 Vi phân trong miền tần số
Nếu:

F
x( n) 
X ( e j )

Thì:

j
dX(e
)
F
n x( n)  j
d

Ví dụ 3.2.3: Tìm biến đổi F của g(n)=nanu(n); /a/<1
F
x ( n )  a n u( n) 
X ( e j ) 

1
; a 1
 j
1  ae

j
 j

(
)
dX
e
ae
F
; a 1
g(n)  nx(n) 
G(e j )  j

2
j


d
1  ae





10

3.2.6 Dịch theo tần số
Nếu:

F
x ( n) 
X ( e j )

Thì:

F
e j 0 n x ( n) 
X [ e j (  - 0 ) ]

Ví dụ 3.2.4: Tìm biến đổi F của y(n)=ancos(0n)u(n); /a/<1
1
x ( n )  a u( n)  X (e ) 
; a 1
 j
1  ae
n

F

j

y( n)  a n u( n) cos( 0 n)  a n u( n)



1
y( n)  x ( n) e j 0 n  e  j0 n
2



1 j 0 n
e
 e  j 0 n
2




11


F


Y ( e j ) 





1
X [e j (  0 ) ]  X [e j (  0 ) ]
2


1
1
1
Y (e )  


 j (   0 )
2  (1  ae
) (1  ae  j (  0 ) ) 
j

3.2.7 Tích 2 dãy
F
Nếu: x1 ( n ) 
X 1 ( e j )

Thì:

1
x1 ( n) x 2 ( n) 
2
F

1

2

F

x 2 ( n ) 
X 2 ( e j )



j '
j (   ')
X
(
e
)
X
[
e
]d '
2
 1






X 2 (e j ' ) X 1[e j (  ') ]d '
12


3.2.8 Tổng chập 2 dãy
F
F

Nếu: x1 ( n ) 
X 1 ( e j ) x 2 ( n ) 
X 2 ( e j )
F
j
j
x
n
x
n


X
e
X
e
(
)
*
(
)
(
)
(
)
Thì: 1
2
1
2

Ví dụ 3.2.5: Tìm y(n)=x(n)*h(n) biết x(n)=h(n)=(n+2)+(n-2)
Theo ví dụ 3.2.1, có kết quả:

X ( e j )  H ( e j )  e j 2   e  j 2 

Y (e j )  X (e j )H (e j )  (e j 2  e j 2 )2  e j 4  2  e j 4
y ( n )  x ( n ) * h ( n )  F 1[Y ( )]

y ( n )   ( n  4 )  2 ( n )   ( n  4)

13


3.2.9 Quan hệ Parseval
Nếu:

F
x1 ( n ) 
X 1 ( e j )

Thì:

1
x1 ( n) x ( n) 

2
n  


*

2

F
x 2 ( n ) 
X 2 ( e j )






X 1 (e j ) X 2* (e j )d

(*)

Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval
Nhận xét:
Nếu: x1 ( n )  x 2 ( n )  x ( n )
Theo quan hệ Parseval, ta có:

1
 x( n)  2
n  


2





j

2

X ( e ) d

2

Với: S xx (e )  X (e ) - gọi là phổ mật độ năng lượng
j

j

14


3.2.10 Tương quan các tín hiệu
Nếu:

F
x1 ( n ) 
X 1 ( e j )

Thì:

FT  rx1 x2   Rx1 x2 ( e j )  X1( e j )X 2 ( e  j )

F
x 2 ( n ) 

X 2 ( e j )

Nhận xét:
Nếu: x1 ( n )  x 2 ( n )  x ( n )
Rxx ( e

j

)  X( e

j

)X ( e

 j

)  X( e

j

2

)  S xx ( e j )

 Vậy biến đổi Fourier của hàm tự tương quan sẽ bằng
phổ mật độ năng lượng, quan hệ này còn được gọi là
định lý Weiner-Khintchine
15

TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER

x(n)

X()

a1x1(n)+a2x2(n)

a1X1(ej)+a2X2(ej)

x(n-n0)
ej0n x(n)
nx(n)

e-jn0 X(ej)
Xej (- 0)
jdX(ej)/d

x(-n)
x*(n)

X(e-j)
X*(e-j)

x1(n)x2(n)




n 

x1( n )x*2 ( n )

1
2

1
2



j '



j(   ' )



X 1( e



X1( e j )X 2* ( e j )d 





)X 2 e



d'

16


TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER

x(n)




x( n )

2

n 

rx1x2 ( n ) 





m 

x1( m )x2 ( m  n )

rx1x2 ( n )

X()
1
2





X( e

j

2

) d

X1( e j )X 2 ( e  j )
Rxx ( e

j

)  X( e

j

2

)  S xx ( e j )

17


3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z
Z
x( n ) 
 X( z ) 





x( n )z  n

n 
F

x( n )  X ( e

j

)





X ( e j )  X ( z ) z e j

x( n )e  j n

Im(z)

n 

/z/=1

Hay biến đổi Fourier chính là
biến đổi Z được lấy trên vòng
tròn đơn vị theo biến số 

ROC X(z)
/z/=1


Re(z)

• Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1
X(ej)=X(z) với z=ej
• Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1
X(ej) không hội tụ

18


Ví dụ 3.3.1: Tìm biến đổi ZT & FT của các dãy:
x1(n)=(0.5)nu(n)
x2(n)=2nu(n)

1
X1( z) 
; z  0.5
1
1  0.5 z
Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên:
j

X 1 (e )  X 1 ( z ) z e 
j

1

1  0.5e  j

1
X 2 ( z) 
;z 2
1
1  2z
Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2(ej) không tồn tại
19


3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC
TRONG MIỀN TẦN SỐ
3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số
Miền n:

x(n)

h(n)

Miền :

X(ej)

H(ej)

h(n)

H(ej)=Y(ej)/X(ej): gọi là đáp ứng tần số

F

y(n)=x(n)*h(n)

F

Y(ej)=X(ej)H(ej)

Nếu H(ej) biểu diễn dạng môdun và pha:

H( e j )  H( e j ) e j (  )

H ( e j )

- Đáp ứng biên độ

 (  ) - Đáp ứng pha
20


Ví dụ: 3.4.1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:
h(n)=rect4(n)
Biến đổi Fourier của h(n):

H ( e j ) 



3

n  

n 0

 jn
 jn
rect
n
e
(
)

e
 4


1  e  j 4

1  e  j

j 2
 j 2
 j 2
sin( 2 )  j3 / 2
(
)

e
e
e
j
e
H (e )   j / 2 j / 2  j / 2 
(e
) sin( / 2)
e
e

H( e

j

sin( 2 )
)
sin(  / 2 )

 3 / 2 : A(  )  0
(  )  
3 / 2   : A(  )  0

với

sin(2)
A() 
sin( / 2)

21


4

-

-/2

0

3/4

-

/H(ej)/

-/2

/2



3/2

2



argH(ej)

0

/2



3/2

2



-/4
-/2
-3/4

22

3.4.2 Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối
a. Ghép nối tiếp:
h1(n)

x(n)

h(n)=h1(n)*h2(n)



 Miền n:

h2(n)

Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n)
X(ej)
X(ej)

F

y(n)

H1(ej)H2(ej)

H2(ej)

Y(ej)

H(ej)=H1(ej)H2(ej)

Y(ej)

H1(ej)



 Miền  :

y(n)

x(n)

23


b. Ghép song song:
x(n)

h2(n)

+

y(n)



 Miền n:

h1(n)

x(n)

X(ej)

H1(ej)
H2(ej)

+

y(n)

Y(ej)



 Miền :

h1(n)+h2(n)

X(ej)

H1(ej)+H2(ej)

Y(ej)
24


3.4.3 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức
Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Aejn

y (n)  x(n) * h(n)  h(n) * x(n) 

y ( n) 



jn
j ( n  m )

Ae
h
m
Ae
(
)


m  



 h ( m )x ( n  m )

m  



 jm
j
h

m
e

x
n
H
e
(
)
(
)
(
)


m

Ví dụ: 3.4.2: Tìm y(n) biết x(n)=2ejn/3 và h(n)=0.5nu(n)

 
j n
1
y ( n)  x ( n) H ( )  2e 3 
 1  1 e  j
 2



j n


e 3

2

j

1

3

e
1



3
2
25