Tài liệu học tập toán lớp 10 Học kỳ 2 Trần Quốc Nghĩa

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (11.96 MB, 437 trang )

Ch

T I LI U H C T P TO N 10

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chủ đề 4

1. BẤT ĐẲNG THỨC
Tóm tắt
tắt lí thuyết
1. Tính chất:
ðiều kiện
Cộng hai vế với số bất kì
Bắc cầu
c>0
Nhân hai vế
c<0

Nội dung
aa < b và b < c ⇔ a < c
a < b ⇔ ac < bc
a < b ⇔ ac > bc
a < b
⇔ a+c < b+d
c < d

Cộng vế theo vế các BðT cùng chiều

Lấy căn hai vế
Nghịch
ñảo

(4)

0 < a < b
 ⇔ ac < bd
0 < c < d

(5)

M ũ lẻ
Mũ chẵn
a≥0

a < b ⇔ a 2 n+1 < b 2 n+1
0 ≤ a < b ⇔ a 2n < b2n
a

(6a)
(6b)
(7a)

a bất kỳ

a1 1
a>b⇔ <
a b
1 1
a>b⇔ >
a b

(7b)

Nhân 2 vế BðT khi biết nó dương:
a > 0, c > 0
Nâng lên lũy
thừa với n ∈ ℤ +

(1)
(2)
(3a)
(3b)

a, b cùng dấu
a, b khác dấu

(8a)
(8b)

 Lưu ý:
 Khơng có qui tắc chia hai về bất ñẳng thức cùng chiều.
 Ta chỉ nhân hai vế bất ñẳng thức khi biết chúng dương.
 Cần nắm vững các hằng ñẳng thức ñáng nhớ và cách biến ñổi.
2. Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác:
Với a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác, ta có:
• a −b < c < a +b
• a, b, c > 0

•

b−c < a
•

c−a
3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
• − x ≤ x ≤ x , với mọi số thực x

•

x ≥ 0; x ≥ x; x ≥ − x , với mọi số thực x

•

x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a với a ≥ 0

•

x ≥ a ⇔ x ≤ −a hoặc x ≥ a với a ≥ 0

• ðịnh lí: ∀ a, b ta có: a − b ≤ a + b ≤ a + b .
GV. Trần Quốc Nghĩa

1

Ch

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

T I LI U H C T P TO N 10

4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
(Bất đẳng thức Cơ-si hay AM-GM)
• ðịnh lí: Với hai số khơng âm a, b ta có:
2

a +b
a+b
≥ ab hay a + b ≥ 2 ab hay 
 ≥ ab
2
 2 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
• Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai
số đó bằng nhau.
Tức là với hai số dương a, b có a + b = S khơng đổi thì:
S2
S2
⇒ ( ab ) max =
, ñạt ñược khi a = b
2 ab ≤ S ⇔ ab ≤
4
4
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vng có diện tích lớn
nhất.
• Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích khơng đổi thì tổng của chúng lớn nhất khi hai
số đó bằng nhau.
Tức là với hai số dương a, b có a. b = P khơng đổi thì:

a + b ≥ 2 P ⇒ ( a + b ) min = 2 P , ñạt ñược khi a = b
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vng có chu vi nhỏ
nhất.

• Mở rộng:
① Với các số a, b, c khơng âm, ta có:
3

a +b+c 3
 a+b+c
≥ abc hay a + b + c ≥ 3 3 abc hay 
 ≥ abc
3

3


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
a + a + a + ... + an n
② Với n số a1, a2, a3, …, an khơng âm, ta có: 1 2 3
≥ a1a2 a3 ...an
n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = … = an.

5. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (chứng minh trước khi dùng)
 Dạng tổng quát:
Cho 2n số thực tùy ý a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn,khi đó:
 Dạng 1:

( a1b1 + a2b2 + ... + anbn )
Dấu “=” xảy ra ⇔

 Dạng 2:

2

2
1

(a

+ a22 + ... + an2 )( b12 + b22 + ... + bn2 )

a

a1 a2
=
= ... = n .
b1 b2
bn

a1b1 + a2b2 + ... + an bn ≤

Dấu “=” xảy ra ⇔

≤ ( a12 + a22 + ... + an2 )( b12 + b22 + ... + bn2 )

a
a1 a2
=
= ... = n .
b1 b2
bn

a1b1 + a2 b2 + ... + an bn ≤

Dấu “=” xảy ra ⇔
 Dạng 3:

2

2
1

(a

+ a22 + ... + an2 )( b12 + b22 + ... + bn2 )

a
a1 a2
=
= ... = n ≥ 0 .
b1 b2
bn
GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 10

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

 Hệ quả:
 Nếu a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = c là hằng số thì:

min ( x12 + x22 + ... + xn2 ) =

x
c2
x
x
⇔ 1 = 2 = ... = n

2
2
2
a1 + a2 + ... + an
a1 a2
an

 Nếu x12 + x12 + ... + xn2 = c 2 là hằng số thì:

max ( a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ) = c a12 + a22 + ... + an2 ⇔

x
x1 x2
=
= ... = n ≥ 0
a1 a2
an

max ( a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ) = − c a12 + a22 + ... + an2 ⇔

x
x1 x2
=
= ... = n ≤ 0
a1 a2
an

 Tr
Trư
ường hợp đặc biệt:

Cho a, b, x, y là những số thực, ta có:
 Dạng 1:

( ax + by )

2

 Dạng 2: ax + by ≤
 Dạng 3: ax + by ≤

≤ ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) . Dấu “=”⇔

(a
(a

2

2

+ b 2 )( x 2 + y 2 ) . Dấu “=”⇔

+ b 2 )( x 2 + y 2 ) . Dấu “=”⇔

a b
= .
x y
a b
= .
x y

a b
= ≥ 0.
x y

Phương pháp giải
giải toán

Dạng 1. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
ðể chứng minh A > B bằng ñịnh nghĩa, ta lựa chọn theo các hướng sau:
Hướng 1. Chứng minh A – B > 0
Hướng 2. Thực hiện các phép biến ñổi ñại số ñể biến ñổi bất ñẳng thức ban ñầu về một bất ñẳng thức
ñúng.
Hướng 3. Xuất phát từ một bất ñẳng thức ñúng.
Hướng 4. Biến ñổi vế trái hoặc vế phải thành vế còn lại.
Chú ý: Với các hướng 1 và hướng 2 cơng việc thường là biến đổi A – B thành tổng các đại lượng
khơng âm. Và với các bất ñẳng thức A – B ≥ 0 chúng ta cần chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào ?
B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.1 Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

① a 2 + b 2 ≥ 2ab

② a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b

③ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

④ Nếu

⑤ a3 + b3 ≥ a 2b + b 2 a = ab(a + b)

⑥

a
a a+c
< 1 thì <
b
b b+c

a 2 + x 2 + b2 + y 2 ≥

2

( a + b) + ( x + y )

2

....................................................................................................................................................................................................................

GV. Trần Quốc Nghĩa

3

Ch

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

T I LI U H C T P TO N 10

....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................

+ b 2 + c 2 ≥ ab − ac + 2bc
4

⑤ a 2 (1 + b 2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ≥ 6abc
⑦
1.2

④ a 4 + b 4 + c 2 + 1 ≥ 2a ( a 2b − a + c + 1)
⑥ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e )

1 1 1
1
1
1
+ + ≥
+
+
, với a, b, c > 0 ⑧ a + b + c ≥ ab + bc + ca , với a, b, c ≥ 0
a b c
ab
bc
ca

Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh các bất ñẳng thức sau:
①

3

a 3 + b3  a + b 
≥

 , với a, b ≥ 0
2
 2 

③ a 4 + 3 ≥ 4a 2
⑤ a4 + b4 ≤
⑦
1.3

② a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 ( ab + bc − ca )

a 6 b6
+ , với a, b ≠ 0
b2 a 2

1
1
2
+
≥
, với a, b > 1
2
2
1 + a 1 + b 1 + ab

② a 4 + b 4 ≥ a 3b + ab3
④ a3 + b3 + c 3 ≥ abc , với a,b,c ≥ 0
⑥

a2 + 3

a2 + 2

>2

⑧ ( a5 + b5 ) ( a + b ) ≥ ( a 4 + b 4 )( a 2 + b 2 ) ,với ab > 0

Cho a, b, c, d , e ∈ ℝ . Chứng minh a 2 + b 2 ≥ 2ab (1). Áp dụng bất ñẳng thức (1) ñể chứng minh
các bất ñẳng thức sau:
① ( a 2 + 1)( b 2 + 1)( c 2 + 1) ≥ 8abc

② ( a 2 + 4 )( b 2 + 4 )( c 2 + 4 )( d 2 + 4 ) ≥ 256abcd

③ a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ≥ 4abcd
1.4

Cho a, b, c ∈ ℝ . Chứng minh a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (2). Áp dụng bất ñẳng thức (2) ñể chứng
minh các bất ñẳng thức sau:
① ( a + b + c ) ≤ 3 ( a2 + b2 + c 2 )

② a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc ( a + b + c )

③ ( a + b + c ) ≥ 3 ( ab + bc + ca )

④

2

⑤
1.5

a +b+c
ab + bc + ca
≥
, với a, b, c > 0
3
3

Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh rằng: nếu

a 2 + b2 + c2  a + b + c 
≥

3
3



2

⑥ a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc , với a + b + c = 1
a
a a+c
< 1 thì <
(3). Áp dụng bất ñẳng thức (3) ñể
b
b b+c

chứng minh các bất ñẳng thức sau:
a
b

c
a
b
c
d
①
+
+
<2②
1<
+
+
+
<2
a +b b+c c+a
a +b+c b+c+d c+d +a d +a +b
a +b
b+c
c+d
d +a
③ 2<
+
+
+
<3
a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b

GV. Trần Quốc Nghĩa

5

Ch

1.6

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

T I LI U H C T P TO N 10

Cho a, b, c ∈ ℝ . Chứng minh a3 + b3 ≥ a 2b + b 2 a = ab ( a + b ) (4). Áp dụng bất ñẳng thức (4) ñể
chứng minh các bất ñẳng thức sau:
①
②
③
④
⑤

1.7

a 3 + b3 b3 + c 3 c3 + a 3
+
+
≥ 2 (a + b + c)
ab
bc
ca
1

1
1
1
+ 3 3
+ 3
≤
, a, b, c > 0
3
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
1
1
1
+ 3 3
+ 3
≤ 1 , với abc = 1
3
3
a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1
1
1
1
+
+
≤ 1 , với a, b, c > 0 và abc = 1
a + b +1 b + c +1 c + a +1
3

4 ( a 3 + b3 ) + 3 4 ( b3 + c 3 ) + 3 4 ( c 3 + a 3 ) ≥ 2(a + b + c) , a, b, c ≥ 0

Cho a, b, x, y ∈ ℝ . Chứng minh bất đẳng thức sau (BðT Min-cơp-xki):
a 2 + x 2 + b2 + y 2 ≥

2

( a + b) + ( x + y )

2

(5).

Áp dụng (5):
① Cho a, b ≥ 0 thỏa a + b = 1 . Chứng minh:
② Tìm GTNN của P = a 2 +

1 + a2 + 1 + b2 ≥ 5

1
1
+ b 2 + 2 , với a, b ≠ 0
2
b
a

③ Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z = 1 . Chứng minh:

x2 +

1

1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82
2
x
y
z

....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................

6

GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 10

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

Dạng 2. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM)


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Các dạng của bất ñẳng thức Cauchy (AM-GM):

 x + y ≥ 2 xy ①
• Với x, y ≥ 0 thì 
. Dấu “=” xảy ra khi x = y .
2
2
x
y
2
xy
+
≥
②

 x + y  2
≥ xy ③


• Với x, y ∈ ℝ thì  2 
. Dấu “=” xảy ra khi x = y .

2
( x + y ) ≥ 4 xy ④
 x + y + z ≥ 3 3 xyz ⑤

• Với x, y, z ≥ 0 thì  x + y + z 3
. Dấu “=” khi x = y = z
≥
xyz
⑥


3



B. BÀI TẬP MẪU
Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại:
VD 1.2 Cho a, b, c > 0 . Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

① ( a + b ) ≥ 4ab ② 2 ( a 2 + b 2 ) ≥ ( a + b )
2

2

③

1 1
4
+ ≥
a b a+b

④

1 1 1
9
+ + ≥
a b c a+b+c

....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................

GV. Trần Quốc Nghĩa

7

Ch

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

T I LI U H C T P TO N 10

Loại 2: Tách cặp nghịch đảo
VD 1.3 Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a b
+ ≥ 2 ( ∀a, b > 0 )
b a
2
x
③ +
≥ 3 ( ∀x > 2 )
2 x−2

①

x 18
+ ≥ 6 ( ∀x > 0 )
2 x

1 10
④ a+ ≥
( ∀a ≥ 3)
a 3

②

....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................

Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM):

1 1
1 1

4
+  ≥ 4 hay + ≥
(1) . Dấu “=” xảy ra khi x = y
x y x+ y
x y

Dạng 1:

( x + y)

Dạng 2:

( x + y + z)

1 1 1
1 1 1
9
+ +  ≥ 9 hay + + ≥
(2) . Dấu “=” xảy ra khi x=y=z
x y z x+ y+ z
x y z

VD 1.4 Cho a, b > 0 . Chứng minh

1 1
4
(1). Áp dụng bất ñẳng thức (1) ñể chứng minh các bất
+ ≥
a b a+b

ñẳng thức sau:
1 1 1
1
1 
 1
① + + ≥ 2
+
+
 ( ∀a, b, c > 0 )
a b c
 a +b b+c c+a 
②

8

1
1
1
1
1
1


+
+
≥ 2
+
+

a +b b+c c+a

 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b 

( ∀a, b, c > 0 )

GV. Trần Quốc Nghĩa

T I LI U H C T P TO N 10

Ch

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................

1 1
④ ( a + b)  +  ≥ 4
a b

 a  b  c 
⑤  1 + 1 +  1 +  ≥ 8
 b  c  a 

⑥

1 1 1 1
16
+ + + ≥
a b c d a +b+c+d

⑦ (1 + a + b )( a + b + ab ) ≥ 9ab

⑧

(

⑨ 3a 3 + 7b3 ≥ 9ab 2

⑩ ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc

⑪
1.9

(

a+ b

)

2

≥ 2 2(a + b) ab

⑫

a+ b

8

)

≥ 64ab ( a + b )

2

a+4
≥ 2, ∀a > −3
a +3

Cho a, b, c > 0 . Chứng minh các bất ñẳng thức sau:
① a + b + c ≥ ab + bc + ca

② ab + bc + ca ≥ abc

ab bc ac

+ +
≥ a+b+c
c
a
b
a b
⑤ ab + + ≥ a + b + 1
b a

④

(

a+ b+ c

)

a b
c 1 1 1
+ +
≥ + +
bc ca ab a b c
a 3 b3 c 3
⑥
+ + ≥ ab + bc + ca
b c a

③

1.10 Cho a, b, c > 0 . Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a 2 b2 c2
①
+ + ≥ a +b+c
b c a
a3 b3 c3 a 2 b2 c 2
+ +
③ 2+ 2+ 2≥
b c a
b
c a
3
3
3
a b c
⑤
+ + ≥ ab + bc + ca
b c a

a 3 b3 c 3
② 2 + 2 + 2 ≥ a+b+c
b c a
a 3 b3 c 3
④
+ +
≥ a +b+c
bc ca ab
a 5 b5 c5
⑥ 3 + 3 + 3 ≥ a2 + b2 + c 2
b c a

Loại 2: Tách cặp nghịch đảo
1.11 Chứng minh các bất ñẳng thức sau:
① a+
③

1 9
≥
a2 4

x+8
≥6
x −1

②

( ∀a ≥ 2 )

a2 + 2

≥ 2 ( ∀a ∈ ℝ )
a2 +1
1
④ a+
≥ 3 ( ∀a > b > 0 )
a (a − b)

( ∀x > 1)

Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM):

1.12 Cho a, b > 0 . Chứng minh

1 1
4
(1). Áp dụng bất ñẳng thức (1) ñể chứng minh các bất
+ ≥
a b a+b

ñẳng thức sau, với a, b, c > 0 :

10

GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 10

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

①

1 1 1
1
1 
 1
+ + ≥ 2
+
+


a b c
 a +b b+c c+a 

③

1
1
1
1 1 1
+
+
≤ 1 với + + = 4
2 a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
a b c

④

1
1
1
1
1
1


+
+
≥ 2
+

+

a +b b+c c+a
 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b 

②

ng tr nh

ab
bc
ca
a+b+c
+
+
≤
a +b b+c c+a
2

1.13 Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi.

Chứng minh rằng:

1
1
1
 1 1 1
+
+
≥ 2 + + 

p − a p −b p −c
a b c

1.14 Cho a, b, c > 0 . Chứng minh

1 1 1
9
(2). Áp dụng bất ñẳng thức (2) ñể chứng minh
+ + ≥
a b c a+b+c

các bất ñẳng thức sau:
①
②
③
④
⑤

2
2
2
9
+
+
≥
( ∀ a, b , c > 0 )
a +b b+c c+a a +b+c
( a2 + b2 + c 2 )  a 1+ b + b +1 c + c +1 a  ≥ 23 (a + b + c) ( ∀a, b, c > 0)
x
y

z
3
+
+
≤ ( ∀x > y > z > 0; x + y + z = 1)
x +1 y +1 z +1 4
1
1
1
+ 2
+ 2
≥ 9 ( ∀ a, b, c > 0 )
2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
1
1
1
1
+
+ + ≥ 30 ( ∀a, b, c > 0 )
2
2
2
a + b + c ab bc ca

Loại 4: Đặt ẩn phụ để áp dụng BĐT Cauchy:
1.15 Cho x > 2014 . Chứng minh bất ñẳng thức sau:

x − 2013
x − 2014

1
1
+
≤
+
. HD: ðặt
x+2
x
2 2015 2 2014

a = x − 2013 ≥ 0

b = x − 2014 ≥ 0

1.16 Cho x, y, z > 0 . Chứng minh bất ñẳng thức sau:
a = 2 x + y + z > 0
x
y
z
3

+
+
≤ . HD: ðặt b = x + 2 y + z > 0
2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 4
c = x + y + 2 z > 0

....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................

 x y 


ta được:
Bunhiacơpski 

 a 2 b2 
a
b
a 2 b 2 ( a + b) 2
. x+
. y⇔
+ ≥
(1)
 +  ( x + y ) ≥ 

y
x
y
x+ y
y
 x
 x


(

)

 a b c 

,
,
 ;
x
y
z



2. Cho a, b, c ∈ ℝ và x, y , z > 0 . Áp dụng BðT Bunhiacôpski cho bộ ba số: 


(

)

x , y , z ta được:
Bunhiacơpski 

 a 2 b2 c 2 
a
b
c
+
+
x
+
y
+
z

≥ 
. x+
. y+
. z
(
)


 x

y z 
y
z
 x



⇔

a 2 b 2 c 2 (a + b + c )2
+ + ≥
(2)
x
y z
x+ y+z

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.6 Chứng minh:

a2

b2
c2
a+b+c
+
+
≥
, với a, b, c > 0
b+c c +a a +b
2

....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................

12

GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 10

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

VD 1.7 Với a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 3 . Chứng minh rằng:

①

a
b
c
+
+
≥1
a + 2bc b + 2ac c + 2ab

②

a
b
c
+
+
≤1
2a + bc 2b + ac 2c + ab

....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.17 Chứng minh:
a
b
c
①
+
+
≥ 1 , với a, b, c > 0
b + 2c c + 2a a + 2b
a

b
c
3
②
+
+
≥ , với a, b, c > 0
b+c c+a a+b 2

a3
b3
c3
a 2 + b2 + c 2
+
+
≥
, với a, b, c ∈ ℝ
b+c c+a a +b
2
9
a
b
c
+
+
≥
④
, với a, b, c > 0
2
2

2
(b + c ) ( c + a ) ( a + c ) 4 ( a + b + c )
③

⑤

a2
b2
c2
+
+
≥ 1 , với a, b, c > 0 và a + b + c = 3 .
a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2

1.18 Với a, b, c là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

a2
b2
c2
①
+
+
≥ a +b+c
b +c − a c + a −b a +b −c

GV. Trần Quốc Nghĩa

a3
b3
c3

②
+
+
≥ a 2 + b2 + c2
b +c − a c + a −b a +b −c

13

Ch

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

T I LI U H C T P TO N 10

Dạng 4. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S
C.B.


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cho a, b, x, y ∈ ℝ

Cho a, b, c, x, y, z ∈ ℝ

① ( ax + by ) ≤ ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 )

❶ ( ax + by + cz ) ≤ ( a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 )

2

a b
=
x y

Dấu “=”xảy ra khi
② ax + by ≤

(a

2

(a

2

❷ ax + by + cz ≤

a b
=
x y

(a

2

+ b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 )

Dấu “=”xảy ra khi

❸ ax + by + cz ≤

+ b 2 )( x 2 + y 2 )

Dấu “=” xảy ra khi

a b c
= =
x y z

Dấu “=”xảy ra khi

+ b 2 )( x 2 + y 2 )

Dấu “=”xảy ra khi
③ ax + by ≤

2

a b
= ≥0
x y

(a

2

a b c
= =
x y z

+ b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 )

Dấu “=” xảy ra khi

a b c
= = ≥0
x y z

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.8 Chứng minh rằng:

① Nếu x 2 + y 2 = 1 thì x + y ≤ 2 .
① Ta có: ( x + y )

2

② Nếu 4 x − 3 y = 15 thì x 2 + y 2 ≥ 9 .

Giải
= x + y + 2 xy ≤ 2 ( x + y 2 ) = 2 nên x + y ≤ 2 .
2

2

2

x = y
Dấu "=" xảy ra khi:  2
⇔

2
x
+
y
=
1

4
Ta có: 4 x − 5 y = 15 ⇔ y = x − 5 .
3

x = y
1
⇔ x= y=±
.
 2
2
x
=
1
2


2

16
40
4

Do đó: x + y = x +  x − 5  = x 2 + x 2 − x + 25

9
3
3

2

2

2

2

25 2 40
5

=
x − x + 25 =  x − 4  + 9 ≥ 9 .
9
3
3

5
 x = 12 / 5
 x−4=0
Dấu "=" xảy ra khi:  3
.
⇔
y
=
−

9
/
5

4 x − 3 y = 15
VD 1.9 Chứng minh rằng: Nếu 2 x + 3 y = 7 thì 2 x 2 + 3 y 2 ≥

2

Ta có: 7 2 = ( 2 x + 3 y ) =
⇒ 2x2 + 3 y2 ≥

(

Giải
2.x 2 + 3.x 3 ≤ ( 2 + 3) ( 2 x 2 + 3 y 2 ) = 5 ( 2 x 2 + 3 y 2 )

)

49
.
5

Dấu "=" xảy ra khi ta có:

14

49
.
5

x 2
2

=

2 x + 3 y = 7
7
⇔
⇒x=y= .
5
3
x = y

y 3

GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 10

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

VD 1.10 Chứng minh rằng: ① Nếu x 2 + y 2 = 1 thì 3 x + 4 y ≤ 5

② Nếu x 2 + y 2 = 1 thì x + 2 y ≤ 5

③ Nếu 3 x + 4 y = 1 thì x 2 + y 2 ≥

1
25

....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.19 Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

① Nếu x 2 + y 2 = 1 thì 3 x + 4 y ≤ 5
③ Nếu x 2 + 4 y 2 = 1 thì x − y ≤

5
2

② Nếu x 2 + 2 y 2 = 8 thì 2 x + 3 y ≤ 2 17
④ Nếu 36 x 2 + 16 y 2 = 9 thì y − 2 x ≤

5
4

1.20 Chứng minh các bất ñẳng thức sau:
① Nếu x ∈ [1; 3] thì A = 6 x − 1 + 8 3 − x ≤ 10 2
② Nếu x ∈ [1; 5] thì B = 3 x − 1 + 4 5 − x ≤ 10
③ Nếu x ∈ [ − 2; 1] thì C = 1 − x + 2 + x ≤ 6
④ Nếu x ∈ [4; 13] thì D = 2 x − 4 + 13 − x ≤ 3 5
GV. Trần Quốc Nghĩa

15

Ch

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

T I LI U H C T P TO N 10

Dạng 5. Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. a = ( x; y ) ⇒ a = x 2 + y 2
2. AB =

2

( xB − x A ) + ( y B − y A )

2

3. AB + BC ≥ AC , dấu “=” xảy ra khi B nằm giữa A và C.
4. u − v ≤ u + v ≤ u + v , dấu “=” xảy ra khi u , v cùng hướng
5. u + v + w ≤ u + v + w , dấu “=” xảy ra khi u , v , w cùng hướng
6. u .v ≤ u . v

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.11 Chứng minh rằng: ∀x, y, z ta ln có

x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 ≥

y 2 + yz + z 2

Giải:


y 3 
z 3 

Trong mặt phẳng ( Oxy ) , xét: a =  x + ;
y  và b =  − x − ;
z

2 2 
2 2 


y z 3
3 
Suy ra a + b =  − ;
y+
z.
2 
2 2 2
2

2

y 3
z 3


a =  x +  + y2 ; b =  x +  + z2
2 4
2 4


2
3 

 y−z  3
a+b = 
y+
z
 + 
2 
 2   2

2

Ta có a + b ≥ a + b
2
2
2
y 3
z 3
3 


 y−z  3
⇔  x +  + y2 +  x +  + z 2 ≥ 
y+
z
 + 
2 4
2 4
2 


 2   2

x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 ≥

2

y 2 + yz + z 2 (ñpcm)

VD 1.12 Với mọ i x , y , z thỏa x + y + z = 1 . Chứng minh rằng:

x2 +

1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 .
2
x
y
z

Giải:

Trong mặt phẳng ( Oxy )
ðặt:

16

1
 1
a =  x;  ⇒ a = x 2 + 2 ;

x
 x
 1
1
b =  y;  ⇒ b = y 2 + 2
y
 y
GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 10

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

1
 1
c =  z;  ⇒ c = x2 + 2
z
 z

1 1 1
Suy ra a + b + c =  x + y + z; + +  và a + b + c =
x y z


(x + y + z)

2

1 1 1
+ + + 
x y z

Ta có a + b + c ≥ a + b + c
⇔ x2 +

Lại có

Vậy
VD 1.13 CMR:

1
1
1
+ y2 + 2 + x2 + 2 ≥
2
x
y
z

( x + y + z)

2

1 1 1
+ + + 

x y z

1 1 1
1
3
+ + ≥ 32
≥
=9
x y z
xyz x + y + z
3
1
1
1
x 2 + 2 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82
x
y
z

(a + c)

2

+ b2 +

(a − c)

2

+ b2 ≥ 2 a 2 + b 2 , với a, b, c ∈ ℝ

....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................

VD 1.14 Chứng minh rằng với mọ i x , y , z ta có:

x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 ( x + y + z ) .
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................

GV. Trần Quốc Nghĩa

17

Ch

ng 4: B t ñ ng th c. B t ph

ng tr nh

T I LI U H C T P TO N 10

....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.21 Chứng minh bất ñẳng thức sau:
①

a 2 + 4b 2 + 6a + 9 + a 2 + 4b 2 − 2a − 12b + 10 ≥ 5 ,với a, b, c ∈ ℝ

② a 2 + ab + b 2 + a 2 + ac + c 2 ≥ b 2 + cb + c 2 , với a, b, c ∈ ℝ
③

(a − b)

2

+ c2 +

(a + b)

2

+ c 2 ≥ 2 a 2 + c 2 , với a, b, c ∈ ℝ

④ −1 ≤ x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 < 1 , với x ∈ ℝ
⑤

c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab , với a > c > 0, b > c

Dạng 6. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. − x ≤ x ≤ x , với mọi số thực x
2. x ≥ 0; x ≥ x; x ≥ − x , với mọi số thực x
3. x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a với a ≥ 0
4. x ≥ a ⇔ x ≤ −a hoặc x ≥ a với a ≥ 0

5. ðịnh lí: ∀a, b ta có: a − b ≤ a + b ≤ a + b

B. BÀI TẬP MẪU

18

GV. Trần Quốc Nghĩa

Tài liệu học tập toán lớp 10 Học kỳ 2 Trần Quốc Nghĩa

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về