Tài liệu ôn toán - Bài tập hình học lớp 12 - phần 10 docx

Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 89
2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp
S.ABMN.
ĐS: 1) dSABM
26
(,)
3
= 2)
SABMNSABMSAMN
VVV

222
2
33
=+=+=.
Baøi 17. (ĐH 2004B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường
thẳng d:
xt
yt
zt
32
1
14
ì
=-+
ï
=-
í
ï
=-+

î
. Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm A, cắt và vuông góc
với đường thẳng d.
ĐS:
D
:
xyz
424
321
++-
==
-
.
Baøi 18. (ĐH 2004D)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
. Biết A(a;
0; 0), B(–a; 0; 0), C(0; 1; 0), B
1
(–a; 0; b) với a > 0, b > 0.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B
1
C và AC
1
theo a và b.
b) Cho a, b, thay đổi, nhưng luôn thoả mãn

ab
4
+=
. Tìm a, b để khoảng cách giữa
hai đường thẳng B
1
C và AC
1
lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và
mặt phẳng (P):
xyz
20
++-=
. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có
tâm thuộc mặt phẳng (P).
ĐS: 1a)
ab
dBCAC
ab
11
22
(,)=
+
1b) dkhiab
max22
===

2) xyz
222

(1)(1)1
-++-=
.
Baøi 19. (ĐH 2004A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có A trùng với gốc toạ độ O, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0),
(
)
A
1
0;0;2
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A
1
, B, C và viết phương trình hình
chiếu vuông góc của đường thẳng B
1
D
1
trên mặt phẳng (P).
2. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A
1
C. Tính diện tích thiết diện của hình

chóp A
1
.ABCD với mặt phẳng (Q).
ĐS:
Baøi 20. (ĐH 2004A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết
(
)
A
2;1;0
,
(
)
B
2;1;0
- , S(0; 0; 3).
1. Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với hai đường
thẳng AD, SC.
2. Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của
hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P).
ĐS:
Baøi 21. (ĐH 2004B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(4; 2; 2), B(0; 0; 7) và
đường thẳng d:
xyz
361
221

==
-
. Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng

thuộc một mặt phẳng. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho DABC cân tại đỉnh A.
ĐS:
Baøi 22. (ĐH 2004B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), M(1;
1; 1).
1. Tìm toạ độ điểm O¢ đối xứng với O qua đường thẳng AM.
2. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua đường thẳng AM, cắt các trục Oy, Oz lần
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 90
lượt tại các điểm B, C. Giả sử B(0; b; 0), C(0; 0; c), với b > 0, c > 0. Chứng minh rằng:
bc
bc
2
+= . Xác định b, c sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
ĐS:
Baøi 23. (ĐH 2004D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(2;
2; 0), C(0; 0; 2).
1. Tìm toạ độ điểm O¢ đối xứng với gốc toạ độ O qua mặt phẳng (ABC).
2. Cho điểm S di chuyển trên trục Oz, gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường
thẳng SA. Chứng minh rằng diện tích tam giác OBH nhỏ hơn 4.
ĐS:
Baøi 24. (ĐH 2004D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 1) và đường
thẳng d:
xy
xz
0
220
ì
+=
í
=

î
. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường
thẳng d. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc B¢ của điểm B(1; 1; 2) trên mặt phẳng (P).
ĐS:
Baøi 25. (ĐH 2005A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng
(P) lần lượt có phương trình:
xyz
d
133
:
121
-+-
==
-
, (P):
xyz
2290
+-+=
.
1. Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
2. Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham
số của đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), biết D đi qua A và vuông góc với d.
ĐS: 1) II
12
(3;5;7),(3;7;1)
2) A(0; –1; 4),
D
:
xt
y

zt
1
4
ì
=
ï
=-
í
ï
=+
î
.
Baøi 26. (ĐH 2005B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng
ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0; –3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B
1
(4; 0; 4).
1. Tìm toạ độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt
phẳng (BCC
1
B

1
).
2. Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M
và song song với BC
1
. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạn
MN.
ĐS: 1) A
1
(0; –3; 4), C
1
(0; 3; 4), (S): xyz
222
576
(3)
25
+++=
2) (P):
xyz
42120
+-+=
, MN =

17
2
.
Baøi 27. (ĐH 2005D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
d
1
:
xyz
121
312
-++
==
-
và d
2
:
xyz
xy
20
3120
ì
+ =
í
+-=
î
.
1. Chứng minh rằng d
1
và d
2

song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
cả hai đường thẳng d
1
và d
2
.
2. Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện
tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ).
ĐS: 1) (P):
xyz
151117100
+ =
2) S = 5.
Baøi 28. (ĐH 2005A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;1;0), B(0; 2;
0), C(0; 0; 2).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC. Tìm tọa độ
giao điểm của AC với mặt phẳng (P).
2. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp tứ
diện OABC.
Trn S Tựng thi Tt nghip i hc
Trang 91
S: 1) (P):
yz
0
-=
, M

222
;;
333
ổử
ỗữ
ốứ
2) (S): xyz
222
(1)(1)2
+-+-=
.
Baứi 29. (H 2005Adb2) Trong khụng gian vi h ta ờcac vuụng gúc Oxyz cho 3 im
A(2; 0; 0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4).
1. Tỡm ta im B thuc mt phng Oxy sao cho t giỏc OABC l hỡnh ch nht. Vit
phng trỡnh mt cu qua 4 im O, B, C, S.
2. Tỡm ta im A
1
i xng vi im A qua ng thng SC.
S: 1) B(2; 4; 0), (S): xyz
222
(1)(2)(2)9
-+-+-=
2) A
1
(2; 4; 4).
Baứi 30. (H 2005Bdb1) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng:

xyz
d
1

:
112
==
v
xt
dyt
zt
2
12
:
1
ỡ
=
ù
=
ớ
ù
=+
ợ
( t l tham s )
1. Xột v trớ tng i ca d
1
v d
2
.
2. Tỡm ta cỏc im M thuc d
1
v N thuc d
2
sao cho ng thng MN song song

vi mt phng (P) :
xyz
0
-+=
v di an MN =
2
.
S: 1) d
1
, d
2
chộo nhau. 2) MN
448143
;;,;;
777777
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Baứi 31. (H 2005Bdb2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho im M(5;2; 3) v mt
phng (P) :
xyz
2210
++=
.
1. Gi M
1
l hỡnh chiu ca M lờn mt phng (P). Xỏc nh ta im M
1

v tớnh di
an MM
1
.
2. Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua M v cha ng thng:
xyz
115
216

==
-
.
S: 1) M
1
(1; 2; 1), MM
1
= 6 2) (Q):
xyz
4100
++-=
.
Baứi 32. (H 2005Ddb1) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho lng tr ng
OAB.O
1
A
1
B
1
vi A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O
1

(0; 0; 4).
1. Tỡm ta cỏc im A
1
, B
1
. Vit phng trỡnh mt cu qua 4 im O, A, B, O
1
.
2. Gi M l trung im ca AB. Mt phng (P) qua M vuụng gúc vi O
1
A v ct OA,
OA
1
ln lt ti N, K . Tớnh di an KN.
S: 1) A
1
(2; 0; 4), B
1
(0; 4; 4), (S): xyz
222
(1)(2)(2)9
-+-+-=
2) KN =
25
3
.
Baứi 33. (H 2005Ddb2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh lp phng
ABCD.A
1
B

1
C
1
D
1
vi A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D
1
(0; 2; 2).
1. Xỏc nh ta cỏc nh cũn li ca hỡnh lp phng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Gi M l
trung im ca BC. Chng minh rng hai mt phng (AB
1
D
1
) v (AMB
1
) vuụng gúc v i
nhau.
2. Chng minh rng t s khong cỏch t im N thuc ng thng AC
1
(N A) ti 2
mt phng (AB
1

D
1
) v (AMB
1
) khụng ph thuc vo v trớ ca im N.
S: 1) C(2; 2; 0), D(0; 2; 0), A
1
(0; 0; 2), B
1
(2; 0; 2), C
1
(2; 2; 2) 2)
d
d
1
2
2
2
= .
Baứi 34. (H 2006A) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh lp phng
ABCD.AÂBÂCÂDÂ vi A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), AÂ(0; 0; 1). Gi M, N ln lt l
trung im ca AB v CD.
1. Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AÂC v MN.
2. Vit phng trỡnh mt phng cha AÂC v to vi mt phng Oxy mt gúc a, bit
1
cos
6
a
=
.

thi Tt nghip i hc Trn S Tựng
Trang 92
S: 1) d =
1
22
2) (Q
1
):
xyz
210
-+-=
, (Q
2
):
xyz
210
+=
.
Baứi 35. (H 2006B) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(0; 1; 2) v hai ng
thng: d
1
:
xyz
11
211
-+
==
-
, d
2

:
xt
yt
zt
1
12
2
ỡ
=+
ù
=
ớ
ù
=+
ợ
.
1. Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A, ng thi song song vi d
1
v d
2
.
2. Tỡm to cỏc im M thuc d
1
, N thuc d
2
sao cho ba im A, M, N thng hng.
S: 1) (P):
xyz
35130
++-=

2) M(0; 1; 1), N(0; 1; 1).
Baứi 36. (H 2006D) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(1; 2; 3) v hai ng
thng: d
1
:
xyz
223
211
-+-
==
-
, d
2
:
xyz
111
121
+
==
-
.
1. Tỡm to im AÂ i xng vi im A qua ng thng d
1
.
2. Vit phng trỡnh ng thng D i qua A, vuụng gúc vi d
1
v ct d
2
.
S: 1) A

Â
(1; 4; 1) 2)
D
:
xyz
123
135

==

.
Baứi 37. (H 2006Adb1) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh lng tr ng
ABC.AÂBÂCÂ cú A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), AÂ(0; 0; 2).
1. Chng minh AÂC vuụng gúc vi BC. Vit phng trỡnh mt phng (ABCÂ).
2. Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng BÂCÂ trờn mp(ABCÂ).
S: 1) (ABC
Â
):
yz
0
-=
2)
xyz
yz
40
0
ỡ
++-=
ớ
-=

ợ
.
Baứi 38. (H 2006Adb2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P) cú phng
trỡnh:
xyz
3240
+-+=
v hai im A(4; 0; 0), B(0; 4; 0). Gi I l trung im ca on
thng AB.
1. Tỡm to giao im ca ng thng AB vi mt phng (P).
2. Xỏc nh to im K sao cho KI vuụng gúc vi mt phng (P) ng thi K cỏch u
gc to O v mt phng (P).
S: 1) M(12; 16; 0) 2) K
113
;;
424
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
Baứi 39. (H 2006Bdb1) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng D
1
, D
2
cú
phng trỡnh: D
1
:
xt

yt
z
1
1
2
ỡ
=+
ù
=
ớ
ù
=
ợ
, D
2
:
xyz
31
121

==
-
.
1. Vit phng trỡnh mt phng cha ng thng D
1
v song song vi ng thng D
2
.
2. Xỏc nh im A trờn D
1

v im B trờn D
2
sao cho on thng AB cú di nh nht.
S: 1) (P):
xyz
20
+-+=
2) A(1; 1; 2), B(3; 1; 0).
Baứi 40. (H 2006Bdb2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P) cú phng
trỡnh:
xyz
250
+-+=
v cỏc im A(0; 0; 4), B(2; 0; 0).
1. Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng AB trờn mt phng (P).
2. Vit phng trỡnh mt cu i qua O, A, B v tip xỳc vi mt phng (P).
S: (A
Â
B
Â
):
xyz
xyz
2250
2340
ỡ
-++=
ớ
-+-=
ợ

2) (S): xyzxyz
222
2240
++ =
.
Baứi 41. (H 2006Ddb1) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P) cú phng
trỡnh:
xyz
4311260
-+-=
v hai ng thng ln lt cú phng trỡnh:
d
1
:
xyz
31
123
-+
==
-
, d
2
:
xyz
43
112

== .
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 93

1. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng D nằm trên (P), đồng thời cắt cả d
1
và d
2
.
ĐS: 2)
D
:
xyz
275
584
+
==

.
Baøi 42. (ĐH 2006D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0),
C(0; 0; 3).
1. Viết phương trình đường thẳng D đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng
khoảng cách từ C đến (P).
ĐS: 1)
D
:
xyz
634

==
2) (P
1
):
xyz
6340
-++=
, (P
2
):
xyz
6340
+-=
.
Baøi 43. (ĐH 2007A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
d
1
:
xyz
12
211
-+
==
-
và d
2
:
xt
yt
z

12
1
3
ì
=-+
ï
=+
í
ï
=
î
.
1. Chứng minh rằng hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P):
xyz
740
+-=
và cắt
hai đường thẳng d
1
, d
2
.
ĐS: 2)
xyz
21

714
-+
==
-
.
Baøi 44. (ĐH 2007B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)
lần lượt có phương trình: (S): xyzxyz
222
24230
++-++-=
, (P):
xyz
22140
-+-=

1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán
kính bằng 3.
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
lớn nhất.
ĐS: 1)
yz
20
-=
2) M(–1; –1; –3).
Baøi 45. (ĐH 2007D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2;
4) và đường thẳng D:
xyz
12
112
-+

==
-
.
1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc
với mặt phẳng (OAB).
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho
MAMB
22
+
nhỏ nhất.
ĐS: 1)
xyz
d
22
:
211

==
-
2) M(–1; 0; 4).
Baøi 46. (ĐH 2007A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(–1; 3; –2), B
(–3; 7; –18) và mặt phẳng (P):
xyz
210
-++=
.
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P).
2. Tìm tọa độ điểm M Î (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
ĐS: 1)
xyz

25110
++-=
2) M(2; 2; –3).
Baøi 47. (ĐH 2007A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0); B(0;
4; 0); C(2; 4; 6) và đường thẳng (d):
xyz
xyz
6320
632240
ì
-+=
í
++-=
î
.
1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng D song song với (d) và cắt các đường AB, OC.
ĐS: 2)
D
:
xyz
xyz
632120
330
ì
++-=
í
-+=
î
.

Baøi 48. (ĐH 2007B–db1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–3; 5; –5),
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 94
B(5; –3; 7) và mặt phẳng (P):
xyz
0
++=
.
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm M Î (P) sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
ĐS: 1) I(–1; 3; –2) 2) M
º
O(0; 0; 0).
Baøi 49. (ĐH 2007B–db2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0); M(0;
–3; 6).
1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P):
xy
2–90
+=
tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính
MO. Tìm tọa độ tiếp điểm.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương
ứng B, C sao cho V
OABC
= 3.
ĐS: 1) I(3; 3; 6) 2) (Q

1
):
xyz
1
233
++=
, (Q
2
):
xyz
2
1
236
=
.
Baøi 50. (ĐH 2007D–db1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt
phẳng (P) lần lượt có phương trình: d:
xyz
321
211
-++
==
-
, (P):
xyz
20
+++=
.
1. Tìm toạ độ giao điểm M của d và (P).
2. Viết phương trình đường thẳng D nằm trong (P) sao cho D ^ d và khoảng cách từ M

đến D bằng
42
.
ĐS: 1) M(1; –3; 0) 2)
D
1
:
xyz
525
231
-++
==
-
,
D
2
:
xyz
345
231
++-
==
-
.
Baøi 51. (ĐH 2007D–db2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
xyz
–22–10
+=
và các đường thẳng
xyz

d
1
13
:
232

==
-
và
xyz
d
2
55
:
645
-+
==
-
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d
1
và (Q) ^ (P).
2. Tìm các điểm M Î d
1
, N Î d
2
sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
ĐS: 1) (Q):
xyz
2280

++-=
2) M
1
(3; 0; 2), N
1
(–1; –4; 0)
hoặc M
2
(1; 3; 0), N
2
(5; 0; –5).
Baøi 52. (ĐH 2008A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường
thẳng d:
xyz
12
212

== .
1. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (a) lớn nhất.
ĐS: 1) H(3; 1; 4) 2) (
a
):
xyz
430
-+-=
.
Baøi 53. (ĐH 2008B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2;
1), C(–2; 0; 1).
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P):
xyz
2230
++-=
sao cho MA = MB = MC.
ĐS: 1)
xyz
2460
+-+=
2) M(2; 3; –7).
Baøi 54. (ĐH 2008D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0;
3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3).
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
2. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
ĐS: 1) xyzxyz
222
3330
++ =
2) H(2; 2; 2).
Baøi 55. (ĐH 2008A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;
0), C(0; 0; 2) .
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC. Tìm tọa độ
giao điểm của AC với mặt phẳng (P).
2. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 95
tứ diện OABC.
ĐS: 1)
Pyz
():0

-=
,
222
,,
333
M
æö
ç÷
èø
2)
( ) ( )
22
2
112
xyz
+-+-=
.
Baøi 56. (ĐH 2008A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(2; 0; 0), C(0; 4;
0), S(0; 0; 4).
1. Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết
phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S.
2. Tìm tọa độ điểm A
1
đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC.
ĐS: 1) B(2; 4; 0), xyz
222
(1)(2)(2)9
-+-+-=
2) A
1

(2;4;4)
- .
Baøi 57. (ĐH 2008B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
xyz
:
112
d
==
và
2
12
:
1
xt
dyt
zt
ì
=
ï
=
í
ï
=+
î
( t là tham số ).
1. Xét vị trí tương đối của d
1
và d
2

.
2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d
1
và N thuộc d
2
sao cho đường thẳng MN song song
với mặt phẳng (P):
0
xyz
-+=
và độ dài đọan MN =
2
.
ĐS: 1) d
1
và d
2
chéo nhau 2)
MN
448143
;;,;;
777777
æöæö
-
ç÷ç÷
èøèø
.
Baøi 58. (ĐH 2008B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(5; 2; – 3) và mặt
phẳng (P):
2210

xyz
+-+=
.
1. Gọi M
1
là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác định tọa độ điểm M
1
và tính độ
dài đọan MM
1
.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng
xyz
d
115
:
216

==
-
.
ĐS: 1) M
1
(1;2;1)

, MM
1
= 6 2) (Q):
4100
xyz

++-=
.
Baøi 59. (ĐH 2008D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lăng trụ đứng
OAB.O
1
A
1
B
1
với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O
1
(0; 0; 4).
1. Tìm tọa độ các điểm A
1
, B
1
. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, O
1
.
2. Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O
1
A và cắt OA,
OA
1
lần lượt tại N, K. Tính độ dài đoạn KN.
ĐS: 1) A
1
(2; 0; 4), B
1
(0; 4; 4), Sxyz

222
():(1)(2)(2)9
-+-+-=
2) KN
25
3
= .
Baøi 60. (ĐH 2008D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương
ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
với A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D
1
(0; 2; 2).
1. Xác định tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Gọi M là
trung điểm của BC. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB
1

D
1
) và (AMB
1
) vuông góc
nhau.
2. Chứng minh rằng tỉ số khỏang cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC
1
( N ≠ A ) đến 2
mặt phẳng (AB
1
D
1
) và (AMB
1
) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
ĐS: 1) C(2; 2; 0), D(0;2;0), A
1
(0; 0; 2), B
1
(2; 0; 2), C
1
(2; 2; 2) 2)
d
d
1
2
2
2
= .

Baøi 61. (CĐ 2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) và đường thẳng
d có phương trình:
xyz
1
112
-
==
-
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 96
ĐS: 1) (P):
xyz
260
-+-=
2)
M
(1;1;3)
-
hoặc M
557
;;
333
æö

ç÷
èø
.

Baøi 62. (ĐH 2009A)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
xyz
2240
=
và mặt
cầu (S): xyzxyz
222
246110
++ =
. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu
(S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
xyz
2210
-+-=
và hai
đường thẳng D
1
:
xyz
19
116
++
== , D
2
:
xyz
131
212

+
==
-
. Xác định toạ độ điểm M
thuộc đường thẳng D
1
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D
2
và khoảng cách từ
M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
ĐS: 1) H(3; 0; 2), r = 4 2) M(0; 1; –3), M
18533
;;
353535
æö
ç÷
èø
.
Baøi 63. (ĐH 2009B)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1; 2; 1), B(–2;
1; 3), C(2; –1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho
khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
xyz
2250
-+-=
và hai
điểm A(–3; 0; 1), B(1; –1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy
viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
ĐS: 1)

Pxyz
():427150
++-=
, (P):
xz
2350
+-=
2)
xyz
31
:
26112
D
+-
==
-

Baøi 64. (ĐH 2009D)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và
mặt phẳng (P):
xyz
200
++-=
. Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho
đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D:
xyz
22
111
+-

==
-
và mặt
phẳng (P):
xyz
2340
+-+=
. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d
cắt và vuông góc với đường thẳng D.
ĐS: 1) D
51
;;1
22
æö
-
ç÷
èø
2)
xt
dyt
zt
3
:12
1
ì
=-+
ï
=-
í
ï

=-
î
.
Baøi 65. (CĐ 2009)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P
1
):
xyz
2340
+++=
và
(P
2
):
xyz
3210
+-+=
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông
góc với hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B(0; 2; 1) và
trọng tâm G(0; 2; –1). Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm C và vuông góc với
mặt phẳng (ABC).
ĐS: 1) (P):
xyz
45210
-+-=

2)
D
:
xt
yt
z
1
3
4
ì
=-+
ï
=+
í
ï
=-
î
.
Baøi 66. (ĐH 2010A)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D:
xyz
12
211
-+
==
-
và mặt
phẳng (P):
xyz
20

-+=
. Gọi C là giao điểm của D với (P), M là điểm thuộc D. Tính
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 97
khoảng cách từ M đến (P), biết MC =
6
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; –2) và đường thẳng D có
phương trình:
xyz
225
232
+-+
==. Tính khoảng cách từ A đến D. Viết phương trình mặt
cầu tâm A, cắt D tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
ĐS: 1)
dMP
1
(,())
6
=
2)
dA
(,)3
D
=
; Sxyz
222
():(2)25
+++=

.
Baøi 67. (ĐH 2010B)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c),
trong đó b, c dương và mặt phẳng (P):
yz
10
-+=
. Xác định b, c biết mặt phẳng (ABC)
vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng
1
3
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D:
xyz
1
212
-
==
. Xác định toạ
độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến D bằng OM.
ĐS: 1) bc
1
2
==
2) M(–1; 0; 0) hoặc M(2; 0; 0).
Baøi 68. (ĐH 2010D)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):
xyz
30
++-=

và (Q):
xyz
10
-+-=
. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho
khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng D
1
:
xt
yt
zt
3
ì
=+
ï
=
í
ï
=
î
và D
2
:
xyz
21
212

==
. Xác định toạ độ điểm M thuộc D

1
sao cho khoảng cách từ M đến D
2

bằng 1.
ĐS: 1) (R):
xz
220
-±=
2) M(4; 1; 1) hoặc M(7; 4; 4).
Baøi 69. (CĐ 2010)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –2; 3), B(–1; 0; 1) và mặt
phẳng (P):
xyz
40
+++=
.
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P)
b) Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng
6
AB
, có tâm thuộc đường thẳng AB
và (S) tiếp xúc với (P).
ĐS: a)
H
(1;4;1)

b) (S
1
) : xyz

222
1
(4)(–3)(2)
3
++++=

hoặc (S
2
): xyz
222
1
(6)(5)(4)
3
++-++=

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1
211
xyz
-
==
-
và mặt
phẳng (P):
xyz
2220
-+-=
.
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P).

ĐS: a)
xy
2–20
+=
b)
M
(0;1;0)
.