Tom tat kien thuc on tap toan 12 HK1

TĨM TẮT KIẾN THỨC ƠN TẬP HỌC KỲ I MƠN TOÁN 12
Kiến thức 1: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Định lí Viet thuận
Phương trình bậc hai (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎)
−𝑏
 Tổng 2 nghiệm: 𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 =
 Tích 2 nghiệm: 𝑃 = 𝑥1 . 𝑥2 =

𝑐

𝑎

𝑎

3. Điều kiện nghiệm của phương trình
bậc hai
 Có 2 nghiệm trái dấu⇔ 𝑎. 𝑐 < 0
𝛥>0
 Có 2 nghiệm cùng dấu⇔ {
𝑃>0
𝛥>0
 Có 2 nghiệm cùng dương ⇔ {𝑆 > 0
𝑃>0
𝛥>0
 Có 2 nghiệm cùng âm ⇔ {𝑆 < 0
𝑃>0

2. Định lí Viet đảo
𝛼+𝛽 =𝑆
Nếu 𝛼, 𝛽 là hai số có: {
𝛼. 𝛽 = 𝑃

thì chúng là 2 nghiệm phương trình:𝒙𝟐 −
𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎
4. Phương trình bậc hai chứa tham số thỏa
điều kiện cho trước
 𝑥1 < 𝑎 < 𝑥2
⇔{

𝑥1 − 𝑎 < 0
𝛥>0
⇔{
(𝑥1 − 𝑎)(𝑥2 − 𝑎) < 0
𝑥2 − 𝑎 > 0

 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑎

𝛥>0
𝑥1 − 𝑎 < 0
⇔{
⇔ {(𝑥1 − 𝑎) + (𝑥2 − 𝑎) < 0
𝑥2 − 𝑎 < 0
(𝑥1 − 𝑎)(𝑥2 − 𝑎) > 0

 𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2

𝛥>0
𝑥 −𝑎 > 0
⇔{ 1
⇔ {(𝑥1 − 𝑎) + (𝑥2 − 𝑎) > 0
𝑥2 − 𝑎 > 0
(𝑥1 − 𝑎)(𝑥2 − 𝑎) > 0

Kiến thức 2: ĐẠO HÀM
1. Hàm sơ cấp
2. Hàm hợp
1. Hàm thường gặp 1. Hàm thường gặp
(𝐶 )′ = 0
(𝑢𝛼 )′ = 𝛼𝑢𝛼−1 . 𝑢′
(𝑥 )′ = 1
𝑢′
′
(
𝑢)
=
√
(𝑥 𝑛 )′ = 𝑛. 𝑥 𝑛−1
2√𝑢
1
′
′
1
−𝑢′
(√𝑥) =
( ) = 2
2√𝑥
𝑢
𝑢
1 ′ −1
( ) = 2
𝑥
𝑥

2. Hàm lượng giác
(𝑠𝑖𝑛 𝑥 )′ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
2. Hàm lượng giác
(𝑐𝑜𝑠 𝑥 )′ = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥
(𝑠𝑖𝑛 𝑢 )′ = 𝑢.′ 𝑐𝑜𝑠 𝑢
1
(𝑐𝑜𝑠 𝑢)′
(𝑡𝑎𝑛 𝑥 )′ =
= −𝑢′ . 𝑠𝑖𝑛 𝑢
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
1
𝑢′
(𝑐𝑜𝑡 𝑥 )′ = −
′
(𝑡𝑎𝑛 𝑢) =
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑢
3. Hàm mũ-logarit
(𝑐𝑜𝑡 𝑢)′
𝑥
𝑥
(𝑎 )′ = 𝑎 . 𝑙𝑛 𝑎
𝑢′
(𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥
=−
𝑠𝑖𝑛2 𝑢

3. Quy tắc tính
* Quy tắc:
(𝑢 ± 𝑣 )′ = 𝑢′ ± 𝑣′

(𝑢. 𝑣 )′ = 𝑢′. 𝑣 + 𝑣′. 𝑢
𝑢
𝑢′. 𝑣 − 𝑣′. 𝑢
( )=
𝑣
𝑣2
* CT Tính nhanh:
1. (

𝑎𝑥+𝑏 ′

𝑎𝑑−𝑏𝑐

) = (𝑐𝑥+𝑑)2

𝑐𝑥+𝑑
2

′

𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎𝑑𝑥 2 + 2𝑎𝑒𝑥 + 𝑏𝑒 − 𝑑𝑐
2. (
) =
(𝑑𝑥 + 𝑒)2
𝑑𝑥 + 𝑒
′
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
3. (
)

𝑎1 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1
(𝑎𝑏1 − 𝑎1 𝑏)𝑥 2 + 2(𝑎𝑐1 − 𝑎1 𝑐)𝑥 + (𝑏𝑐1 − 𝑏1 𝑐)
=
(𝑎1 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 )2
4. Ứng dụng
1. Phương trình tiếp tuyến
𝑦 = 𝑓′(𝑥0 ). (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑦0

www.luyenthivn.com

Trang 1


1
𝑥. 𝑙𝑛 𝑎
1
(𝑙𝑛 𝑥 )′ =
𝑥

(𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 )′ =

3. Hàm mũ-logarit
(𝑎𝑢 )′ = 𝑢′ . 𝑎𝑢 . 𝑙𝑛 𝑎
(𝑒 𝑢 )′ = 𝑢′. 𝑒 𝑢
𝑢′
(𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢 )′ =
𝑢. 𝑙𝑛 𝑎
𝑢′
(𝑙𝑛 𝑢 )′ =
𝑢

+ (𝑥0 ; 𝑦0 )là tọa độ tiếp điểm
+ 𝑓′(𝑥0 ) là hệ số góc
2. Ứng dụng trong vật lí
Một chuyển động với qng đường 𝑠(𝑡)có:
+ Vận tốc: 𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡)
+ Gia tốc: 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) = 𝑠′′(𝑡)

Kiến thức 3: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ
1. Khảo sát sự biến thiên
 Các bước khảo sát
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính y’
Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’
không xác định
Bước 4: Lập bảng biến thiên
Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch
biến
 Áp dụng giải phương trình
+ Nếu 𝑓 tăng (giảm) và𝑓(𝑥0 ) = 𝑎 thì phương
trình 𝑓(𝑥) = 𝑎 có nghiệm duy nhất là 𝑥 = 𝑥0
+ Nếu 𝑓 tăng và 𝑔 giảm và𝑓(𝑥0 ) = 𝑔(𝑥0 ) thì
phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) có nghiệm duy
nhất là 𝑥 = 𝑥0
+ Nếu 𝑓 tăng (giảm) trên tập xác định
D thì: f (u)  f (v)  u  v (ví i u,v  D)

2. Tìm cực trị
 Cách 1: Dùng BBT
(Tương tự các bước như mục 1)

 Cách 2: Dùng y’’
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính y’
Bước 3: Tìm các nghiệm 𝑥𝑖 của y’
Bước 4: Tính 𝑦′′
Bước 5: Tính 𝑦′′(𝑥𝑖 )
Bước 6: Kết luận
𝑦′′(𝑥𝑖 ) < 0 ⇒ 𝑥𝑖 là điểm cực đại
𝑦′′(𝑥𝑖 ) > 0 ⇒ 𝑥𝑖 là điểm cực tiểu

3. Tìm max, min
 Max, min trên đoạn [a;b]
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính y’
Bước 3: Tìm các điểm xi là nghiệm của y’
hoặc là điểm mà y’ không xác định trên
khoảng (a,b)
Bước 4: Tính các giá trị f(xi), f(a), f(b)
Bước 5: So sánh và kết luận Max, min.
 Max, min trên khoảng hoặc nửa
khoảng
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính y’
Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’
không xác định trên khoảng (a,b)
Bước 4: Lập bảng biến thiên
Bước 5: Kết luận Max, min

4. Tìm tiệm cận
 Tiệm cận ngang

Bước 1: Tính 𝑙𝑖𝑚 𝑦 = 𝑦1
𝑥→+∞

⇒ 𝑦 = 𝑦1 là tiệm cận ngang
Bước 2: Tính 𝑙𝑖𝑚 𝑦 = 𝑦2
𝑥→−∞

⇒ 𝑦 = 𝑦2 là tiệm cận ngang
Chú ý: Nếu hai giới hạn bằng nhau thì đths có
một TCN
 Tiệm cận đứng
Bước 1: Tìm những điểm 𝑥0 là những điểm
không xác định của hàm số( với hàm phân thức
thường là nghiệm của mẫu)
Bước 2: Kiểm tra điều kiện: 𝑙𝑖𝑚+ 𝑥 = ±∞ hoặc
𝑥→𝑥0

𝑙𝑖𝑚 𝑥 = ±∞

𝑥→𝑥0−

⇒ 𝑥 = 𝑥0 là tiệm cận đứng.

www.luyenthivn.com

Trang 2


Kiến thức 4: CÁC DẠNG ĐỒ THỊ
1. Hàm số bậc ba𝑦 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 (𝑎 ≠ 0)

Số nghiệm 𝑦′
y

O

2 nghiệm
(2 cực trị)

y

x

x

O

𝑎<0

𝑎>0
y

y

O

1 nghiệm
(0 cực trị)

x

x

O

𝑎>0

𝑎<0
y

y

O
O

x

x

Vô nghiệm
(0 cực trị)
𝑎>0

Số nghiệm 𝑦′

𝑎<0

2. Hàm số bậc bốn trùng phương 𝑦 = 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0)

www.luyenthivn.com

Trang 3


3 nghiệm
(3 cực trị)

𝑎>0

𝑎<0

𝑎>0

𝑎<0

1 nghiệm
(1 cực trị)

3. Hàm phân thức bậc nhất 𝑦 =

𝑎𝑥+𝑏

, (𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 ≠ 0)

𝑐𝑥+𝑑

+ Đồ thị
khơng có cực
trị
+ Có tâm đối

xứng là giao
điểm 2 tiệm
cận

𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 > 0

𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 < 0

4. Các dạng toán liên quan đến đồ thị
 Tương giao hai đồ thị (tìm giao
điểm)𝒚 = 𝒇(𝒙); 𝒚 = 𝒈(𝒙)
Bước 1: Tìm nghiệm 𝑥0 của phương trình
hồnh độ giao điểm𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
Bước 2: Thay vào cơng thức 𝑓(𝑥) hoặc 𝑔(𝑥).

 Phương trình tiếp tuyến
Công thức: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑓′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 )
(𝑥0 ; 𝑦0 ) là tọa độ tiếp điểm
𝑓′(𝑥0 ) Là hệ số góc

www.luyenthivn.com

Trang 4


Được tung độ 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) = 𝑔(𝑥0 )
⇒Giao điểm 𝑀(𝑥0 ; 𝑦0 )
* Các trường hợp đặc biệt:
+ Giao với trục hoành (trục Ox): 𝑦 = 0
+ Giao với trục tung (trục Oy): 𝑥 = 0

* Các trường hợp đặc biệt:
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng:
𝑑: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
⇒ 𝑓′(𝑥0 ) = 𝑎
+ Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng:
𝑑: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
⇒ 𝑓′(𝑥0 ). 𝑎 = − 1

Kiến thức 5: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
1. Tịnh tiến đồ thị hàm số
Hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥 )có đồ thị là đường cong(𝐶 )
 Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(𝒙) + 𝒂: Tịnh tiến (𝐶 ) lên
trên 𝑎 đơn vị.
 Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(𝒙) − 𝒂: Tịnh tiến
(𝐶 )xuống dưới 𝑎 đơn vị.
 Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(𝒙 + 𝒂): Tịnh tiến
(𝐶 )sang trái 𝑎 đơn vị.
 Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(𝒙 − 𝒂): Tịnh tiến
(𝐶 )sang phải 𝑎 đơn vị.

2. Suy biến đồ thị
Hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥 )có đồ thị là đường cong(𝐶 )
 Đồ thị hs 𝒚 = −𝒇(𝒙): Lấy đối xứng (C)
qua Ox
 Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(−𝒙): Lấy đối xứng (C)
qua Oy
 Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(|𝒙|):
+ Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶 )bên phải Oy, bỏ
phần bên trái

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶 ) được giữ lại
qua Oy.
 Đồ thị hs 𝒚 = |𝒇(𝒙)|:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶 ) nằm trên
𝐴(2; −3), bỏ phần đồ thị(𝐶 ) phía dưới
𝐴(2; −3).
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶 ) bị bỏ qua 𝑦 =
2𝑥−1
1−𝑥

𝑓 (𝑥 ) ≥ 0
𝑦 = ±𝑓(𝑥 )
+ Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶 ) nằm trên 𝑦 =
2𝑥−1
;, bỏ phần đồ thị nằm phía dưới𝐴(2; −3)
𝑥−1
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶 ) được giữ lại qua
2𝑥−1
𝑦=
.
 Đồ thị hs |𝑦| = 𝑓 (𝑥 ) ⇔ {

1−𝑥

www.luyenthivn.com

Trang 5


Kiến thức 6: LŨY THỪA – MŨ - LOGARIT

1. Lũy thừa
 Định nghĩa
Lũy thừa mũ nguyên dương:𝒂𝒏
𝟏
Lũy thừa mũ nguyên âm: 𝒂−𝒏 = 𝒏
𝒂
Lũy thừa mũ 0: 𝒂𝟎 = 𝟏
𝒎

𝒏

Lũy thừa mũ hữu tỉ: 𝒂 𝒏 = √𝒂𝒎
Lũy thừa mũ vơ tỉ: 𝒂𝜶

 Tính chất
(𝑎 ∈ ℝ)
(𝑎 ≠ 0)
(𝑎 ≠ 0)
( 𝑎 > 0)
(𝑎 > 0)

𝑎𝛼 ⋅ 𝑎𝛽 = 𝑎𝛼+𝛽
𝑎𝛼
𝑎𝛽

= 𝑎𝛼−𝛽

(𝑎𝛼 )𝛽 = 𝑎𝛼.𝛽
(𝑎𝑏)𝛼 = 𝑎𝛼 ⋅ 𝑏 𝛼
𝒂 𝜶 𝒂𝜶

( ) = 𝜶
𝒃
𝒃

 Định nghĩa
Số a là căn bậc n của b nếu 𝑎𝑛 = 𝑏
 Chú ý:
𝑛
+ Số dương b có 2 căn bậc chẵn: ± √𝑏
𝑛
+ Số thực b bất kì có 1 căn bậc lẻ: √𝑏
𝑛
+ √0 = 0(∀𝑛 ∈ ℕ ∗, 𝑛 ≥ 2)

2. Căn bậc n
 Tính chất
Với a, b là các số dương:
𝒏

𝒏

𝒏

√𝒂. √𝒃 = √𝒂𝒃

𝒏

√𝒂

𝒏 𝒂

= √ (𝒃 > 𝟎)
𝒃
√𝒃

𝒏
𝒏

𝒎

𝒏

( √𝒂) = √𝒂𝒎 (𝒂 > 𝟎)
𝒎 𝒏

√ √𝒂 = 𝒎𝒏√𝒂

𝒏

√𝒂𝒏 = {

 Định nghĩa
Với 2 số dương𝑎, 𝑏và 𝑎 ≠ 0: 𝛼 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 ⇔
𝑎𝛼 = 𝑏
Logarit thập phân: 𝑙𝑜𝑔10 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑙𝑔 𝑏
Logarit tự nhiên: 𝑙𝑜𝑔 𝑒 𝑏 = 𝑙𝑛 𝑏
 Tính chất
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎 = 1
𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝟏 = 𝟎
𝒂 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 = 𝒃
𝒍𝒐𝒈 𝒂 =

ếẻ
|| ếẵ

3. Logarit
Quy tc tớnh
Lụgarit cua tich: log a (b1.b2 )  log a b1  log a b2
Lôgarit của thương: log a

b1
 log a b1  log a b2
b2

Lôgarit của lũy thừa: log a b   log a b
Đổi cơ số:
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 =

𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎

⇔ 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 . 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏

Đặc biệt: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 =

www.luyenthivn.com

1
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

; log a b 

1



log a b

Trang 6


4. So sánh hai lũy thừa và logarit
 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số
 So sánh hai logarit cùng cơ số
𝜶
𝜷
+ Nếu 𝒂 > 𝟏: 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃𝟏 < 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃𝟐 ⇔
+ Nếu 𝒂 > 𝟏: 𝒂 < 𝒂 ⇔ 𝜶 < 𝜷
𝜶
𝜷
𝒃𝟏 < 𝒃𝟐
+ Nếu 𝟎 < 𝒂 < 𝟏: 𝒂 < 𝒂 ⇔ 𝜶 > 𝜷
+ Nếu 𝟎 < 𝒂 < 𝟏: 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃𝟏 < 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃𝟐 ⇔
 So sánh hai lũy thừa cùng số mũ (cơ số
𝒃𝟏 > 𝒃𝟐
dương)
𝒎
𝒎
+ Nếu 𝒎 > 𝟎: 𝒂 < 𝒃 ⇔ 𝒂 < 𝒃
+ Nếu 𝒎 < 𝟎: 𝒂𝒎 < 𝒃𝒎 ⇔ 𝒂 > 𝒃

Kiến thức 7: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1. Hàm số lũy thừa
 Dạng tổng quát
𝑦 = 𝑥 𝛼 với 𝛼 ∈ ℝ
TXĐ:
+ 𝛼nguyên dương: 𝐷 = ℝ
+ 𝛼 nguyên âm hoặc bằng 0: 𝐷 =
ℝ\{0}
+ 𝛼 không nguyên: 𝐷 = (0; +∞)
 Đạo hàm
(𝑥 𝛼 )′ = 𝛼. 𝑥 𝛼−1 .
Đối với hàm hợp:
(𝑢𝛼 )′ = 𝛼. 𝑢𝛼−1 . 𝑢′

2. Hàm số mũ

3. Hàm số logarit

 Dạng tổng quát
𝑦 = 𝑎 𝑥 , (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1).
TXĐ: 𝐷 = ℝ

 Dạng tổng quát
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 , (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)
TXĐ: 𝐷 = (0; +∞)

 Đạo hàm
(𝑎 𝑥 )′ = 𝑎 𝑥 . 𝑙𝑛 𝑎
Đặc biệt: (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥

 Đạo hàm
(𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 )′ =

Đối với hàm hợp:
(𝑎𝑢 )′ = 𝑢′ . 𝑎𝑢 . 𝑙𝑛 𝑎
Đặc biệt: (𝑒 𝑢 )′ = 𝑒 𝑢 . 𝑢′

1
𝑥. 𝑙𝑛 𝑎

Đặc biệt: (𝑙𝑛 𝑥)′ =

1
𝑥

Đối với hàm hợp:

𝑢′
(𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢 =
𝑢. 𝑙𝑛 𝑎
)′

Đặc biệt: (𝑙𝑛 𝑢)′ =

𝑢′
𝑢

Kiến thức 8: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình mũ

2. Phương trình logarit

 Phương trình mũ cơ bản
 Phương trình logarit cơ bản
𝑥
Dạng TQ: 𝑎 = 𝑏với 0 < 𝑎 ≠ 1.
Dạng TQ: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑏với 0 < 𝑎 ≠ 1.
Nghiệm:
Điều kiện: 𝑥 > 0
+ Nếu 𝑏 ≤ 0 thì phương trình vơ nghiệm.
Nghiệm: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = 𝑎𝑏
𝑥
+ Nếu 𝑏 > 0 thì 𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏.
 Một số phương pháp giải
 Một số phương pháp giải
- Đưa về cùng cơ số (chú ý trường hợp cơ số
(Chú ý đặt điều kiện phương trình)
là ẩn cần xét thêm trường hợp cơ số bằng 1) - Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ)
- Đặt ẩn phụ.
- Logarit hóa.
- Mũ hóa.

www.luyenthivn.com

Trang 7


Kiến thức 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Bất phương trình mũ
 Bất phương trình mũ cơ bản
Dạng TQ: 𝑎 𝑥 > 𝑏
(với 0 < 𝑎 ≠ 1)
(hoặc𝑎 𝑥 < 𝑏; 𝑎 𝑥 ≥ 𝑏; 𝑎 𝑥 ≤ 𝑏)
Nghiệm:
+ Nếu b<0:
BPT 𝑎 𝑥 < 𝑏vô nghiệm
BPT 𝑎 𝑥 > 𝑏vô số nghiệm
+ Nếu b>0:
𝑎𝑥 > 𝑏
𝑎𝑥 < 𝑏
𝑎>1
𝑥 > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
𝑥 < 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
0<𝑎
𝑥 < 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
𝑥 > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
<1
⇒Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo
chiều
 Một số phương pháp giải
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ)
- Logarit hóa.

2. Bất phương trình logarit
 Bất phương trình logarit cơ bản
Dạng TQ: 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 > 𝑏
(với 0 <

𝑎 ≠ 1)
(hoặc
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 < 𝑏;
log a x  b;
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 ≤ 𝑏 )
Điều kiện: 𝑥 > 0
Nghiệm:
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 > 𝑏
𝑥 > 𝑎𝑏
𝑥 < 𝑎𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 < 𝑏
𝑥 < 𝑎𝑏
𝑥 > 𝑎𝑏

𝑎>1
0<𝑎
<1
⇒Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo
chiều
 Một số phương pháp giải
(Chú ý đặt điều kiện bất phương trình)
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ.
- Mũ hóa.

Kiến thức 10: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
2. Tam giác thường

1. Tam giác vuông

𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2
ℎ2 = 𝑏′𝑐′
1
1
1
2 = 2 + 2
ℎ

𝑏

(Pitagpo)
𝑏 2 = 𝑎𝑏′
𝑐 2 = 𝑎𝑐′

Định lí cosin:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎2
=
2𝑏𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
Định lí sin:
=
=
= 2𝑅
𝑠𝑖𝑛𝐴

𝑐

www.luyenthivn.com

𝑠𝑖𝑛𝐵

𝑠𝑖𝑛𝐶

Trang 8


2(𝑏 2 +𝑐 2 )−𝑎2

𝑎ℎ = 𝑏𝑐
𝑏

𝑠𝑖𝑛 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 𝐶 =

𝑎

𝑐𝑜𝑠 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛 𝐶 =
𝑡𝑎𝑛 𝐵 = 𝑐𝑜𝑡𝐶 =

Độ dài trung tuyến: 𝑚𝑎 2 =
4
Diện tích tam giác:
1
1
1
𝑆 = 𝑎ℎ𝑎 = 𝑏ℎ𝑏 = 𝑐ℎ𝑐
2

2
2
1
1
1
𝑆 = 𝑏𝑐𝑆𝑖𝑛𝐴 = 𝑎𝑐𝑆𝑖𝑛𝐵 = 𝑎𝑏𝑆𝑖𝑛𝐶
2
2
2
𝑆 = 𝑝𝑟
(r là bán kính đường trịn nội tiếp)
𝑎𝑏𝑐
𝑆=
(R là bán kính đường trịn ngoại
4𝑅
tiếp tam giác)
𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)
𝑎+𝑏+𝑐
(với 𝑝 =
)
2
Chú ý: Với tam giác đều cạnh a

𝑏

𝑐
𝑎

𝑐

𝑐𝑜𝑡 𝐵 = 𝑡𝑎𝑛 𝐶 =

𝑐
𝑏

Diện tích: 𝑺𝜟𝑨𝑩𝑪 =

𝒂𝟐 √𝟑

Trung tuyến: 𝑨𝑴 =

𝟐

3. Diện tích các hình
D Hình bình hành
A
𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐵𝐶. 𝐴𝐻A
= 𝐴𝐵. 𝐴𝐷. 𝑠𝑖𝑛 𝐴

Hình vng cạnh a
Diện tích: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎2
Đường chéo: 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = 𝑎√2

B

B

D

B

C

A

1
𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐶.
𝐵𝐷
2 B
= 𝐴𝐵. 𝐴𝐷. 𝑠𝑖𝑛 𝐴
= 𝐴𝐵. 𝐴𝐷. 𝑠𝑖𝑛 𝐵

D

C

Hình chữ nhật cạnh a, b
A
𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎. 𝑏
Hình thoi

𝟒
𝒂√𝟑

Hình thang

D

H

C

A

𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =

D

(𝐴𝐷 + 𝐵𝐶). 𝐴𝐻
B2 H

C

Kiến thức 11: KHỐI ĐA DIỆN
2. Khối lăng trụ

1. Khối chóp
1

Thể tích: 𝑉 = 𝐵. ℎ

S

Thể tích: 𝑉 = 𝐵. ℎ

3

D

O

Khối chóp tam giác đều S.ABC

C

www.luyenthivn.com

Trang 9

C


+ Đáy là tam giác đều
+ Hình chiếu của đỉnh là trọng tâm của đáy
+ Các cạnh bên bằng nhau.

Lăng trụ đều:
+ Là lăng trụ đứng
+ Đáy là đa giác đều
+ Các cạnh bên bằng
nhau

Khối chóp tứ giác đều S.ABCD
+ Đáy là hình vng.
+ Hình chiếu của đỉnh là giao điểm AC và BD.
+ Các cạnh bên bằng nhau.

Khối hộp chữ nhật: 𝑉 = 𝑎. 𝑏. 𝑐

S

Tỉ số thể tích
𝑉𝑆.𝐴′ 𝐵′𝐶 ′ 𝑆𝐴′ 𝑆𝐵′ A’𝑆𝐶 ′
=
.
.
𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶
𝑆𝐴 𝑆𝐵 𝑆𝐶

B’
C’

A

B

Khối lập phương: 𝑉 = 𝑎3
C

Kiến thức 12: MẶT TRỊN XOAY
1. Mặt nón

2. Mặt trụ
A

r
D

h

B

Đường sinh: 𝑙 = 𝑂𝑀
Đường cao: ℎ = 𝑂𝐼
Bán kính đáy: 𝑟 = 𝐼𝑀
Diện tích xung quanh: 𝑆𝑥𝑞 = 𝜋𝑟𝑙
Diện tích đáy: 𝑆đ = 𝜋𝑟 2
Diện tích tồn phần: 𝑆𝑡𝑝 = 𝑆đ + 𝑆𝑥𝑞 =
𝜋𝑟 2 + 𝜋𝑟𝑙
1
Thể tích: 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ
3

r

C

Đường sinh: 𝑙 = 𝐷𝐶
Đường cao: ℎ = 𝐴𝐵 = 𝑙
Bán kính đáy: 𝑟 = 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶
Diện tích xung quanh: 𝑆𝑥𝑞 = 2𝜋𝑟𝑙
Diện tích tồn phần:
𝑆𝑡𝑝 = 𝑆2đ + 𝑆𝑥𝑞 = 2𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟𝑙 = 2𝜋𝑟(𝑟 + 𝑙)

www.luyenthivn.com

Trang 10


Thể tích: 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ

3. Mặt cầu
Diện tích mặt cầu: 𝑆 = 4𝜋𝑅2
4
Thể tích khối cầu: 𝑉 = 𝜋𝑅3

R

3

O

Giao của mặt cầu và mặt phẳng

O

O

O

H

P

P
H

P
H
OH>R
(P) và mặt cầu S(O; R) khơng có điểm chung

OH
OH=R
(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại H

(P) cắt mặt cầu S(O; R)

Chú ý:
1. 𝑂𝐻 = 𝑑(𝑂, (𝑃))
2. Trường hợp mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường trịn bán kính 𝑟, ta có: 𝑂𝐻2 =
𝑅2 − 𝑟 2

Download tài liệu ôn tập và luyện thi tuyển chọn : www.luyenthivn.com

www.luyenthivn.com

Trang 11