Tài liệu học tập toán lớp 11học kỳ 2 Trần Quốc Nghĩa

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.4 MB, 305 trang )

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11

HỌC KÌ II – NH: 2020-2021

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2020-2021

Chủ đề 4. GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
Vấn đề 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ .......................................................................... 1
Dạng 1. Dãy có giới hạn 0 ............................................................................................................ 2
Dạng 2. Khử dạng vô định / .................................................................................................. 2
Dạng 3. Khử dạng vô định  -  ................................................................................................ 8
Dạng 4. Cấp số nhân lùi vô hạn ............................................................................................... 11
BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 1............................................................................ 12
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 1 ..................................................................................... 14

Vấn đề 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ....................................................................... 21
Dạng 1. Định nghĩa giới hạn .................................................................................................... 22
Dạng 2. Giới hạn một bên ......................................................................................................... 25
Dạng 3. Khử dạng vô định / ................................................................................................ 28
Dạng 4. Khử dạng vô định ........................................................................................................ 31
Dạng 5. Khử dạng vô định  - , 0.  ...................................................................................... 35
Dạng 6. Sử dụng đồ thị để tìm giá trị của giới hạn ................................................................ 37
BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 2 ........................................................................... 40
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 2 ..................................................................................... 47

Vấn đề 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC .................................................................................. 51
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm ................................................................ 52
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn ....................................................... 57
Dạng 3. Chứng minh phương trình có nghiệm ...................................................................... 63

Dạng 4. Xét dấu biểu thức ......................................................................................................... 67
BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 3 ........................................................................... 69
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 3 ..................................................................................... 73
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 4 .................................................................................. 75

CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4 ............................................................................. 83
ĐỀ SỐ 1 – THPT Nguyễn Trãi, Thanh Hóa ............................................................................ 83
ĐỀ SỐ 2 – THPT Hồng Thái Hiếu, Vĩnh Long ..................................................................... 84
ĐỀ SỐ 3 – THPT Nguễn Trung Trực, Bình Định ................................................................... 86
ĐỀ SỐ 4 – THPT Như Xuân, Thanh Hóa ................................................................................. 89
GV. Trần Quốc Nghĩa

i

HỌC KÌ II – NH: 2020-2021

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11

ĐỀ SỐ 5 – THPT Nho Quan A, Ninh Bình .............................................................................. 91
ĐỀ SỐ 6 – THPT An Hải, Hải Phòng ....................................................................................... 92
ĐỀ SỐ 7 – THPT Đoàn Thượng, Hải Dương .......................................................................... 93
ĐỀ SỐ 8 – Nguồn Internet ......................................................................................................... 95
ĐỀ SỐ 9 – THPT Thị xã Quảng Trị .......................................................................................... 96
ĐỀ SỐ 10 – THPT Đoàn Thượng, Hải Dương (18-19) ............................................................ 98

Chủ đề 5. ĐẠO HÀM
Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM ...................................... 101
Dạng 1. Tìm số gia của hàm số ............................................................................................... 103
Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa ................................................................................ 104

Dạng 3. Quan hệ giữa liên tục và đạo hàm ........................................................................... 106
Dạng 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Bài toán tiếp tuyến ............................................... 108
Dạng 5. Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm cấp 1 ............................................................................ 113

Vấn đề 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ....................................................... 114
Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số .................................... 115
Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác ................................................................ 117
Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm ..................................................... 120
Dạng 4. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức..................................... 122

Vấn đề 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO ....................................................... 124
Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số ........................................................................................... 125
Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số ............................................................................ 127
Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số ........................................................................... 128
Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai ................................................................................... 129
Dạng 5. Tìm cơng thức đạo hàm cấp n .................................................................................. 130
Dạng 6. Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm .............................................................. 131

Vấn đề 4. SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TỐN CĨ CHỨA Cnk 133
Vấn đề 5. DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN .................. 136
Vấn đề 6. MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ TIẾP TUYẾN .................. 139
BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO CHỦ ĐỀ 5 .......................................................... 147
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 5 ................................................................... 156
1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM ............................................................. 156
2. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ............................................................................................... 161
ii

GV. Trần Quốc Nghĩa

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11

HỌC KÌ II – NH: 2020-2021

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ...................................................................... 165
4. VI PHÂN .............................................................................................................................. 170
5. ĐẠO HÀM CẤP CAO ........................................................................................................ 172

CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 5 ........................................................................... 178
ĐỀ SỐ 1 – THPT Chương Mỹ B, Hà Nội ............................................................................... 178
ĐỀ SỐ 2 – THPT Hồng Văn Thụ , Hịa Bình ......................................................................... 80
ĐỀ SỐ 3 – THPT Vĩnh Lộc, Huế ............................................................................................ 182
ĐỀ SỐ 4 - THPT Nho Quan A, Ninh Bình ............................................................................ 184
ĐỀ SỐ 5 – THPT Nguyễn Trung Trực, Bình Định ............................................................... 185
ĐỀ SỐ 6 – THPT Nguyễn Khuyến, Bình Phước ................................................................... 186
ĐỀ SỐ 7 – THPT Nam Hà, Đồng Nai .................................................................................... 188
ĐỀ SỐ 8 – THPT Đoàn Thượng, Hải Dương ........................................................................ 190
ĐỀ SỐ 9 – THPT Triệu Quang Phục, Hưng Yên .................................................................. 193
ĐỀ SỐ 10 – THPT Cây Dương, Kiên Giang .......................................................................... 195

Chủ đề 7. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GĨC
Vấn đề 1. VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN ......................................................... 197
Dạng 1. Tính tốn véctơ .......................................................................................................... 199
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ .................................................................................. 203
Dạng 3. Quan hệ đồng phẳng ................................................................................................ 205
Dạng 4. Cùng phương và song song ...................................................................................... 206
BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ðỀ 1 .......................................................................... 207
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ...................................................................................................... 209

Vấn đề 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ................................................ 210
Dạng 1. Chứng minh vng góc ............................................................................................ 211
Dạng 2. Góc giữa hai đường thẳng ........................................................................................ 212
BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ðỀ 2 .......................................................................... 217
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ...................................................................................................... 218

Vấn đề 3. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG .............................. 219
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ........................................... 221
Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ..................................................................... 226
Dạng 3. Thiết diện qua một điểm và vng góc với một đường thẳng cho trước ............ 230
Dạng 4. Điểm cố định - Tìm tập hợp điểm ........................................................................... 233
BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ðỀ 3 .......................................................................... 235
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ...................................................................................................... 236
GV. Trần Quốc Nghĩa

iii

HỌC KÌ II – NH: 2020-2021

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11

Vấn đề 4. HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC ...................................................... 239
Dạng 1. Góc giữa hai mặt phẳng ........................................................................................... 241
Dạng 2. Chứng minh hai mặt phẳng vng góc .................................................................. 245
Dạng 3. Thiết diện chứa đường thẳng a và vng góc với (α) ......................................... 248
Dạng 4. Hình lăng trụ– Hình lập phương – Hình hộp ...................................................... 250
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .................................................................................................... 252

Vấn đề 5. KHOẢNG CÁCH ..................................................................................... 256

Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng ...................................... 257
Dạng 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ...................................................... 260
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ...................................................................................................... 267
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ðỀ 3 ........................................................................................... 269
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP CHỦ ðỀ 3 ............................................................... 275

PHỤ LỤC
A – KIẾN THỨC CƠ BẢN ....................................................................................... 285
B – CÔNG THỨC CƠ BẢN ..................................................................................... 286
C – MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP ..................................................................... 287
HÌNH 1. ................................................................................................................................... 287
HÌNH 2. ................................................................................................................................... 289
HÌNH 3. ................................................................................................................................... 290
HÌNH 4. .................................................................................................................................... 292
HÌNH 5. ................................................................................................................................... 294
HÌNH 6a. ................................................................................................................................. 295
HÌNH 6b. ................................................................................................................................. 296
HÌNH 7. ................................................................................................................................... 297

iv

GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 11

Chủ đề

4

ng 4: GI I H N. LI N T C

GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

Vấn đề 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY
DÃY SỐ
SỐ
A - GIỚ
GIỚI HẠ
HẠN HỮ
HỮU HẠ
HẠN
 Giới hạn hữu hạn
• lim un = 0 ⇔ un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
n →+∞

• Dãy số ( un ) có giới hạn là L nếu: lim vn = L ⇔ lim ( vn − L ) = 0
n →+∞

n →+∞

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un = 0, lim un = L .
 Giới hạn ñặc biệt
1
1) lim = 0
n

2) lim

4) un = 0 ⇒ lim un = 0

7) lim

1
= 0, k ∈ ℕ *
nk

1
=0
n

1
3) lim 3 = 0
n

5) lim C = C , ∀C ∈ ℝ

6) lim q n = 0 nếu q < 1 )

8) lim q n = +∞ nếu q > 1

9) lim n k = +∞, k ∈ ℕ *

 ðịnh lí về giới hạn
• Nếu hai dãy số ( un ) và ( vn ) cùng có giới hạn thì ta có:

1) lim(un ± vn ) = lim un ± lim vn
3) lim

2) lim ( un .vn ) = lim un .lim vn

un lim un
=
(nếu lim vn ≠ 0 )
vn lim vn

4) lim ( k .un ) = k .lim un , (k ∈ ℝ)

5) lim un = lim un

6) lim 2k un = 2k lim un (nếu un ≥ 0 ) (căn bậc chẵn)

7) lim 2k +1 un = 2 k +1 lim un (căn bậc lẻ)

8) Nếu un ≤ vn và lim vn = 0 thì lim un = 0 .

- ðịnh lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số ( un ) , ( vn ) ,

( wn )

và L ∈ ℝ . Nếu

un ≤ vn ≤ wn , ∀n ∈ ℕ * và lim un = lim wn = L thì ( vn ) có giới hạn và lim vn = L .
• Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì lim

un
=0.
vn

1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
n

 1
 Chú ý: e = lim  1+  ≈ 2, 718281828459... , là một số vô tỉ.
 n

 Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn
• Một cấp số nhân có cơng bộ i q với | q |< 1 ñược gọi là cấp số nhân lùi vơ hạn.

Ta có : S = u1 + u1q + u1q 2 +… =

GV. Trần Quốc Nghĩa

u1
(với | q |< 1 )
1− q
1

Ch

ng 4: GI I H N. LI N T C

T I LI U H C T P TO N 11

B - GIỚ
GIỚI HẠ

HẠN VƠ CỰ
CỰC
 ðịnh nghĩa
• lim un = +∞ nếu với mỗ i số dương tùy ý cho trước, mọ i số hạng của dãy số, kể từ một số
n →+∞

hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
• lim un = −∞ nếu với mỗ i số âm tùy ý cho trước, mọ i số hạng của dãy số, kể từ một số hạng
n →+∞

nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
• lim un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞
n →+∞

n→+∞

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un = ±∞ .
 ðịnh lí

−

Nếu lim un = +∞ thì lim

1
=0
un

− Nếu lim un = 0, ( un ≠ 0, ∀n ∈ ℕ ) ⇔ lim

1

=∞
un

 Một vài qui tắc tìm giới hạn
Qui tắc 1:
Nếu lim un = ±∞

Qui tắc 2:
Nếu lim un = ±∞

và lim vn = ±∞ ,

và lim vn = L ≠ 0 ,

thì lim ( un .vn ) là:

thì lim ( un .vn ) là:

lim un lim v n lim ( un .v n )

lim un

+∞
+∞
−∞
−∞

+∞
−∞
+∞

−∞

+∞
−∞
−∞
+∞

+∞
+∞
−∞
−∞

Dấu của
lim ( un .v n )
L

+
−
+
−

+∞
−∞
−∞
+∞

Qui tắc 3:
Nếu lim un = L ≠ 0 ,
lim vn = 0 và vn > 0 hoặc
vn < 0 kể từ một số hạng nào

đó trở đi thì:
un
L
Dấu của vn lim
vn

+
+
−
−

+
−
+
−

+∞
−∞
−∞
+∞

Dạng 1. Dãy có giới hạn 0
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Dãy ( un ) có giới hạn 0 nếu mỗ i số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọ i số hạng của dãy
số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi ñó ta viết: lim ( un ) = 0 hoặc lim un = 0 hoặc un → 0 .
lim un = 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ℕ* : n > n0 ⇒ un < ε

• Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)
 Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp ñể chứng minh, ñánh giá biểu thức lượng giá,

nhân liên hợp của căn thức, …

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1. Chứng minh un

( −1)
=

n

3n + 2

dãy có giới hạn là 0 .
n

( −1) = 0 .
1
1 1
1
Ta có: 0 ≤ un =
<
< , ∀n ∈ ℕ* . Mà lim = 0 nên suy ra lim
3n + 2 3n n
n
3n + 2
2

GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 11

ng 4: GI I H N. LI N T C

Ví dụ 2. Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0 :
1
a) un =
n+3

c) un =

1
3n

b) un

( −1)
=

n

n+4
n
−1)
(
b) un = n
2

c) un =

1
n2

c) un = ( 0,99 )

d) un =
n

1
, k ∈ℕ*
nk

d) un = ( −0,97 )

n

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
n

( −1) cos n
1
Ví dụ 3. Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0 : a) un =
b) vn =
n ( n + 1)
n2 + 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
GV. Trần Quốc Nghĩa

3

Ch

ng 4: GI I H N. LI N T C

T I LI U H C T P TO N 11

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:
cos 3n
b) un =
n +1

sin n
a) un =
n+5

c) un

( −1)
=

n

d) un =

3 +1
n

− sin 2n

(1, 2 )

n

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 5. Tính: a) lim

n + 2sin ( n + 1)
3

3

n n+2 n

b)

( −2 )
lim
3n

n

3 +4

c) lim

(

n +1 − n

)

d) lim 2

(

n2 + 1 − n

)

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

un +1 2
< với mọ i n
un
3

b) Chứng minh rằng dãy ( un ) có giới hạn 0

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

u
1
Ví dụ 8. Cho dãy số ( un ) với u1 = , un +1 = un2 + n , n ≥ 1 .
4
2
1

a) Chứng minh 0 < un ≤ với mọ i n .
b) Tính lim un .
4
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
GV. Trần Quốc Nghĩa

5

Ch

ng 4: GI I H N. LI N T C

T I LI U H C T P TO N 11

Dạng 2. Khử dạng vơ định

∞
∞

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• ðối với dãy un =

a0 n m + a1n m −1 + ... + am
, a0 ≠ 0, b0 ≠ 0 thì chia cả tử lẫn mẫu của phân thức
b0 n k + b1n k −1 + ... + bk

cho lũy thừa lớn nhất của n ở tử n m hoặc mẫu nk , việc này cũng như ñặt thừa số chung cho
n m hoặc mẫu nk rồi rút gọn, khử dạng vơ định. Kết quả:
0
khi m < k

a
a
lim un =  0 khi m = k (dấu +∞ hoặc −∞ tùy theo dấu của 0 )
b0
 b0
±∞ khi m > k
• ðối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số
chung rồ i đưa ra ngồi căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n
ở tử hoặc mẫu.
• ðối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này
cũng như ñặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó.
 Biến đổ i rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, … và sử dụng các kết quả đã biết.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 9. Tính các giới hạn sau:
2n + 1
a) lim
3n + 2

n 2 − 3n + 5
b) lim
3n 2 + 4

n3 + n 2 − n + 1
c) lim
2n3 + n 2 + 2

2n 4 + 1
d) lim 4
3n + n + 2

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

b) lim

−2n3 + 3n − 2
3n − 2
2
( 2n + 1) ( 4 − n )

c) lim
f) lim

( 3n + 5)

3

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

3.2n +1 − 2.3n+1
4 + 3n

d) lim

22 n + 5n + 2
3n + 5.4n

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

Dạng 3. Khử dạng vơ định ∞ - ∞
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• ðối với dãy un = am n m + am−1nm −1 + ... + a0 , am ≠ 0 thì ñặt thừa số chung m cho thừa số lớn
nhất của n là nm. Khi đó: lim un = +∞ nếu am > 0 và lim un = −∞ nếu am < 0
• ðối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba ñể ñưa về
dạng:


A− B2

A+ B=
A− B



A+ B =



A− B=



A− B
A− B

A − B2
A+ B
A− B
A− B =
A+ B



3



3



3



3

A+ B=
A− B=

A+ B3
3

A2 − B.3 A + B 2
A − B3

3

A+ 3 B =
A− 3 B =

A2 + B.3 A + B 2
A+ B
3

A − A.B + 3 B 2
A− B
2

3

A2 + 3 A.B + 3 B 2
• ðặc biệt, đơi khi ta thêm, bớt ñại lượng ñơn giản ñể xác ñịnh các giới hạn mới có cùng
dạng vơ định, chẳng hạn:
3

(
=(

n3 + 2 − n2 + 1 =
n 2 + n + 3 2 − n3

3

3

) (
n + n − n) + (n +

)
2−n )

n3 + 2 − n + n − n 2 + 1 ;
2

3

3

• ðối với các biểu thức khác, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ
số lớn nhất, lũy thừa của n lớn nhất.
8

GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 11

ng 4: GI I H N. LI N T C

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 13. Tính các giới hạn sau:

a) lim ( n 2 − 14n − 7 )

b) lim ( −2n 2 + 3n − 19 )

c) lim 2n 2 − n + 1

d) lim 3 −8n3 + n 2 − n + 3

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

c) lim

n +1 − n n
3

3

2

2

n + n − n + 3n

)

f) lim

(

3

n3 + n 2 − 3 n3 + 1

)

n2 + 2 − n2 + 1
3

n3 + 2 − 3 n 3 + n 2

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
GV. Trần Quốc Nghĩa

9

Ch

ng 4: GI I H N. LI N T C

T I LI U H C T P TO N 11

Ví dụ 15. Tính các giới hạn sau:

(

a) lim n n − 2 n + 1
d) lim

(

)

n2 + n + 2 − n + 1

b) lim

)

e) lim

(

3

n 2 + 7 − 2n

)

1
n + 2 − n +1

c) lim
f) lim

(

n2 − n − n

)

2
3n + 2 − 2n + 1

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
10

GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 11

ng 4: GI I H N. LI N T C

Dạng 4. Cấp số nhân lùi vô hạn
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Một cấp số nhân có cơng bộ i q với | q |< 1 ñược gọi là cấp số nhân lùi vơ hạn.
Ta có: S = u1 + u1q + u1q 2 + … =

u1
1− q

, với | q |< 1 .

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 16. Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số: 0, 444…; 0, 212121…
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ví dụ 17. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là

5
39
, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là
. Tìm số hạng
3
25

đầu và cơng bộ i của cấp số đó.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ví dụ 18. Cho q < 1 . Tính tổng vơ hạn sau:

a) A = 1 + 2q + 3 p 2 + ... + nq n −1 + ...

b) B = 1 + 4q + 9 p 2 + ... + n 2 q n−1 + ...

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
GV. Trần Quốc Nghĩa

11

Ch

ng 4: GI I H N. LI N T C

T I LI U H C T P TO N 11

B I TẬ
TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤ
VẤN ĐỀ
ĐỀ 1
Bài 1.

Bài 2.

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim ( −2n3 + 3n + 5 )

2)

lim 3n 4 + 5n3 − 7n

3)

lim ( 3n3 − 7 n + 11)

4)

lim 2n 4 − n 2 + n + 2

5)

lim 3 1 + 2n − n3

6)

lim ( −n3 − 3n − 2 )

2)

lim

2n − 3n3 + 1
n3 + n 2

3)

lim

5)

2n − 3
lim
4n + 5

Tìm các giới hạn sau:
4n 2 − n − 1
3 + 2n 2

1)

lim

4)

( 2 − 3n ) ( n + 1)
lim

3

7)

2

1 − 4n5
4n 2 − 3
lim 3
n + 3n + 1

8)

lim

11)

( 2n − 1) ( n − 3)
lim
9
3 ( n + 1)

( 2n − 3)

13) lim

10) lim

2

3

5

12)

n3 − 2n + 1
2n 2 − n + 3

Bài 3.

2n3 + 3n − 2
3n − 2

6

3

− 2n + 5) ( 3 − 2n )

2

+ 1) ( n − 3) + n3 − 2

( 2n

2

+ 1) ( 3 − n )

6n3 − 2n + 1
2n3 − n

(n
lim

2

+ 1) ( n − 1)

2
3

( n + 1)( 3n − 2 )

18) lim

3n2 + 1 + n
1 − 2n 2

lim

2n3 − n − 3

5n − 1

4)

n3 + n
lim
n+2

7)

lim

2n n + 3
n2 + n + 1

2n n
n + 2n − 1

2)

lim

5)

n2 + 2 n + 3
lim 2
2n + n − n

8)

lim

3

3)

lim

6)

lim

n 1 + 2 + 3 + ... + 2n
9)
3n 2 + n − 2

lim

2

n +1
n +1

( 2n

)(

n +1

n +3

)

( n + 1)( n − 3)
2n n + 3
n +3 n +2
2

Tìm các giới hạn sau:
1)

3)

12

2

Tìm các giới hạn sau:
1)

Bài 4.

16)

2 ( n − 1) ( n 2 − n + 1)

(n
(n
lim

14) lim

4n5 − n + 1
15) lim
( 2n + 1)( −n + 1) ( n2 + 2)
17) lim

3n 2 − 2n + 1
6) lim 2
4n + 5n − 2
( n + 1)( 2n − 1)
lim
( 3n + 2 )( n + 3)
3

n ( 3n − 2 )( 4n + 5 )

9)

3n3 − 5n + 1
n2 + 4

lim

lim

n − n2 − 1
n 2 + 2n
2n + 1 − n 2 + 2n − 4
3n + n 2 + 7

2)

4n 2 + 3 − 2n + 1

lim
n

4)

lim

(

n 2 + 3 − 2n

)

4 n 2 + 3 − 2n + 1
n 2 + 2n − n

GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 11

5)

3n 2 + 1 − n 2 − 1
lim
n

7)

lim

9)

lim

n

2 − n3 + n

)

n 2 + n − 1 − 4n 2 − 2
n+3

lim

8)

lim

1
2

n + 2 − n2 + 4
2n − 1 − n
3n + 1
4n 2 + 1 − 2n − 1

10) lim

n6 − n + 1 + n2

n 2 + 4n + 1 − n
4 n 2 + 3 − 2n + 1

12) lim

3n 2 n 2 − 1

n 2 + 4n + n

Tìm các giới hạn sau:

7)

)
lim (1 + n − n + 3n + 1 )
lim ( n − 3n − n + 5 )
lim ( n + 2n − n + 1)

9)

lim

(

n +1 − n

11) lim

(

n2 + n + 2 − n + 1

1)
3)
5)

lim n

(

n2 −1 − n2 + 2
2

2)

lim n

(
6) lim (
8) lim (
10) lim (

12) lim (

4

4)

3

2

)

)

1
n + 2 − n +1
1
lim
3n + 2 − 2n + 1

9)

(
12) lim (
14) lim (

(
17) lim (
15) lim

3

n3 − 2n 2 − n

3

n − n3 + n

3

3

2 − n3 + n

10) lim

)

)
)

8n3 + n2 − 1 + 3 − 2n

16) lim

)

n2 + 1 − n2 − 2

)

18) lim

)

)

n 2 + 2n − n − 1

n2 + n − n2 −1
n2 + n + 1 − n

)

)
)

3

2n − n3 + n − 1
n2 + 1 − n + 1
3n + 2

14) lim

(
13) lim (

(

lim 2n − 1 − 4n 2 − 6n + 7

13) lim

11) lim

Bài 6.

3

n2 + 1 − n

11) lim
Bài 5.

(

6)

ng 4: GI I H N. LI N T C

)

3

n3 + n 2 − n

3

n3 − 2n 2 − 2n + 1

3

n3 + 1 − n

n

(

)

3

)

2 − n3 + n

)

n 2 + 1 − 2n 2

(

3

n3 − 3n − n 2 + 4n

)

Tìm các giới hạn sau:

1)

lim  4 + ( −2 ) 



4)

n

2  3n 
lim  −
 + n
 π  4 



7)

lim

n

3n − 4n
3n + 4n

GV. Trần Quốc Nghĩa

n

2)

1

lim  2n + 
n


5)

1 − 2n
lim
1 + 2n

8)

lim

2 n+1 + 3n +1
2n + 3n

n

− 4.5n +1
2.4n + 3.5n

3)

( −2 )
lim

6)

−2 ) + 3n
(
lim
n +1
( −2) + 3n +1

9)

lim

n

2 n + 3n − 4n+3
2n − 3n+1 + 4n−1
13

Ch

ng 4: GI I H N. LI N T C

10) lim
13) lim

n 2 + ( −1)
2n 2 + ( −1)

T I LI U H C T P TO N 11

n

11) lim

n +1

2n + 3n +1
2n + 5.3n

Bài 7.

Bài 8.

Bài 9.

12) lim

2n − 3n + 4.5n+ 2
2n+1 + 3n+ 2 + 5n+1

Tính tổng vơ hạn:
1 1 1
1) S = 1 + + + + …
2 4 8
1 2 3 4
+ + + …
2 4 8 27

3)

S=

5)

1
S = 8 + 4 + 2 + 1 + + ...
2

7)

S = 1 + 0,9 + ( 0,9 ) + ( 0,9 ) +…

2

2

3n − 4n + 5n
3n + 4n + 5n +1

4.3n + 7 n+1
2.5n + 7 n
4 n − 5n
18) lim n
2 + 3.5n

3n − 4n + 1
2.4n + 2n
3n − 2.5n

17) lim
7 + 3.5n
1 + a + a2 +… + an
20) lim
1 + b + b2 + … + bn
14) lim

16) lim ( 2n − 3n )
19) lim

3 + 4n
1 + 3.4n

15) lim

(vớ i a < 1; b < 1)

2)

1 1 1
S = 1− + − +…
3 9 27

4)

S=

2 +1
1
1

+
+ +…
2 −1 2 − 2 2
1
3

1
9

1
27

1
81

6)

S = 3 .9 .27 .81 …

8)

S=

34
34
34
+
+
+…
100 10000 1000000

Tìm phân số bằng số thập phân vơ hạn tuần hoàn sau:
1) 34, (12 ) …
2) 0, ( 25 ) …
3) 3, (123) …

4) 2,131131…

Cho hai dãy số ( un ) và ( vn ) . Chứng minh rằng nếu lim vn = 0 và un ≤ vn với mọ i n thì
lim un = 0 . Áp dụng tính giới hạn của các dãy số sau:
1)

1
un =
n!

4)

un = ( 0,99 ) cos n

n

( −1)
=

n

2)

un

3)

5)

un = 5n − cos nπ

2n − 1

2 − n ( −1)
un =
1 + 2n 2

n

B I TẬ
TẬP TRẮ
TRẮC NGHIỆ
NGHIỆM VẤN ĐỀ
ĐỀ 1
Câu 1.

Câu 2.

Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
n −1
1
A.
.
B.

.
n
n
n

n

14

D.

cos n
.
n

n

 5
B.  −  .
 4

n

n

 2
C.   .
 3

 4

D.  −  .
 3

Dãy nào sau đây khơng có giới hạn?
 2
A.   .
 3

Câu 4.

1
n +1

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
 3
A.   .
 2

Câu 3.

C.

( −1)
lim

n

 2
B.  −  .
 3

n

C. ( −0, 99 ) .

n

D. ( −1) .

n

n+2

có giá trị bằng
GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 11

A.
Câu 5.

Câu 6.

1
.
2

B. 0 .

 1 − 2n 
lim 
 có giá trị bằng
 4n 
1
1
A. .
B. − .
4
4
lim

Câu 8.

B. 0 .

−2n3 + n − 5
có giá trị bằng
n 4 − 2n + 2
A. −∞ .
B. −2 .
2n 4 − n + 1
lim
có giá trị bằng
3n 4 + 2n
2
A. 0 .
B.

3

C.

1
.
2

1
D. − .
2

C.

3
.
5

D.

8
.
5

C. 0 .

D. −6 .

C. +∞ .

D.

2
.
5

C. 1 .

D.

3
.
2

C. +∞ .

D. −2 .

C. 1 .

D. +∞ .

3
C. − .
2

D. +∞ .

C. +∞ .

D. −∞ .

C. 3 .

D. 7 .

C. 0 .

D. +∞ .

lim

A. 0 .

B.

8
.
3

( 2n − n )( 3n + 1)
lim
( 2n − 1) ( n − 7 )

có giá trị bằng

A. 1 .

B. 3 .

3

Câu 12.

1
D. − .
2

lim

2n 2 − 3n3
có giá trị bằng
2n3 + 4n 2 − 1
3
A. − .
B. 0 .
2
2n3 − n 2 + 4
Câu 10. lim 2
có giá trị bằng
n + 2n − 3
A. 2 .
B. 0 .
2
3
( n + 2n )( 2n + 1) ( 4n + 5) có giá trị bằng
Câu 11. lim
( n4 − 3n − 1)( 3n2 − 7 )

Câu 9.

C. −1 .

3n + 5n
có giá trị bằng
5n

A. 1 .
Câu 7.

ng 4: GI I H N. LI N T C

2

4

Câu 13. lim ( −2n3 − 2n 2 + 3) có giá trị bằng
A. −2 .

B. −1 .

Câu 14. lim ( 3n 4 + 4n 2 − n + 1) có giá trị bằng
A. −∞ .

B. +∞ .

9n 2 − n − n + 2
có giá trị bằng
3n − 2
A. 1 .

B. 3 .

Câu 15. lim

Câu 16. lim

(

)

n 2 + 4 − n2 + 1 có giá trị bằng

GV. Trần Quốc Nghĩa

15

Ch

ng 4: GI I H N. LI N T C

T I LI U H C T P TO N 11

A. 3 .
Câu 17. lim

(

B. 1 .

A.

C. −1 .

D. −∞ .

C. +∞ .

D. 1 .

)

(

B. +∞ .

)

n 2 − 2n + 3 − n có giá trị bằng

A. −1 .
Câu 19. lim

D. +∞ .

n 2 + 2n − 1 − 2n 2 + n có giá trị bằng

A. 1 − 2 .
Câu 18. lim

C. 0 .

(

B. 0 .

)

2n 2 − n + 1 − 2n 2 − 3n + 2 có giá trị bằng

1
.
2

B. 0 .

C. +∞ .

D. −∞ .

1 
 1
Câu 20. lim 
−
 có giá trị bằng
n+2 
 n +1
A. 1 .

B. 0 .

Câu 21. lim n

(

C.

1
.
2

D. +∞ .

)

n + 2 − n − 3 có giá trị bằng

A. −1 .

B. 0 .

C. 1 .

D. +∞ .

Câu 22. Nếu lim un = L thì lim 3 un + 8 có giá trị bằng
A. L + 2 .

B.

Câu 23. Nếu lim un = L thì lim
1
.
L +3

A.
Câu 24. lim

3
3

3

A.

L +8 .

C.

3

1
có giá trị bằng
un + 9
1
B.
.
C.
L+9

L +2.

D. L + 8 .

1
.
L +3

D.

1
.
L+9

n +1
có giá trị bằng
n+8

A. 1 .
Câu 25. lim

3

B.

8n3 + 2n 2 − 1
2n 2 + 1

1
.

2

C.

1
.
8

D. +∞ .

có giá trị bằng
B. 2 .

2.

C. 1 .

D. +∞ .

C.

D. −1 .

n

3n + ( −1) cos 3n

Câu 26. lim
A.

n −1
3
.
2

có giá trị bằng
B.

3.

5.

n
Câu 27. lim 3n − 5  có giá trị bằng



A. 3 .

16

B. −∞ .

C. +∞ .

D. − 5 .

GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 11

( 5)

Câu 28. lim

5.2n +

n

− 2n +1 + 1

( )
5

n +1

ng 4: GI I H N. LI N T C

có giá trị bằng

−3

1
A. − .
3

B.

1
.
5

π n + 3n + 2 2 n
có giá trị bằng
3π n − 3n + 22 n + 2
1
A. 1 .
B. .
4
2
n + n +1
Câu 30. lim
có giá trị bằng
n2 − n − 2
A. 1 .
B. 2 .

2
C. − .
5

1
D. − .
5

C. +∞ .

D. −1 .

C. 0 .

D. −1 .

C. 1 .

D. 0 .

C. 1 .

D. 0 .

Câu 29. lim

Câu 31. lim

(

3

)

n 3 − 2n 2 − n có giá trị bằng

2
A. − .
3
Câu 32. lim

(

3

B.

1
.
3

)

n 2 − n 3 + n có giá trị bằng

1
.
B. +∞ .
3
Câu 33. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
1 − 3n
n2 + 1
A. un =
.
B. un =
.
2
n + 3n
n + 3n 2
A.

C. un =

1 + 2n 2
.
n+5

D. un =

1 − 2n
.
n+5

Câu 34. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞ ?
n 2 + 2n
A. un =
.
3n + 3n 2

1 + 2n
B. un =
.
3n + 3

2 + n2
C. un =
.
3n + 3

n2 + 2

D. un =
.
n + 5n 3

Câu 35. Dãy số nào sau ñây có giới hạn là +∞ ?
n 2 + 3n
.
2n + n 2
C. un = 2017 n − 2016n 2 .

2018 + 2017n
.
n +1
D. un = n 2 + 1.

A. un =

B. un =

Câu 36. Trong các giới hạn sau ñây, giới hạn nào bằng −1?
A. lim

3n 2 − 1
.
−3n3 + 2

B. lim

2n3 − 3
.

−2n3 + 1

C. lim

3n 2 − 1
.
−3n3 + 3n 2

D. lim

n3 − 3
.
−n2 − 1

Câu 37. Trong các giới hạn sau ñây, giới hạn nào bằng 0 ?
5n 2 + 2
A. lim
.
− 5n 3 − 4

2 n − 5n 3
B. lim
.
−2 n 2 + 1

2n 2 − n 4
C. lim 3
.
− n + 2n2

Câu 38. Trong các giới hạn sau ñây, giới hạn nào là 1 ?
n2 + 2
2n − n3
3n 2 − 2n3
A. lim 3
.
B. lim 2
.
C. lim
.
−n − 4
2n − 1
−2n3 + 4n 2
Câu 39. Dãy số nào sau đây khơng có giới hạn?
n
π

A. lim ( −1) sin  + nπ  . B. lim sin ( nπ ) .
2

GV. Trần Quốc Nghĩa

3 + 5n 3
D. lim 2
.
n −1

D. lim

3 + 2n 4

.
2n 2 + 1

π

C. lim cos  + nπ  . D. lim cos ( nπ ) .
2

17

Ch

ng 4: GI I H N. LI N T C

T I LI U H C T P TO N 11

Câu 40. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1 ?
A. lim sin ( nπ ) .

B. lim cos ( nπ ) .

1 1
1
Câu 41. Tổng S = + 2 + ... + n + ... có giá trị bằng
5 5
5
1
1
A. .

B. .
5
4

( −1)
1  1 1
Câu 42. Tổng S = +  −  + +...+
2  4 8
2n
1
A. 1 .
B. .
3

n cos n − 2
 n+2 
C. lim sin 
π  . D. lim
.
n2
 2n − 1 

C.

2
.
5

D.

5
.
4

C.

3
.
4

D.

2
3

C.

1
.
5

D. +∞ .

C. 0 .

1
D. − .
2

C. 0 .

D. −∞ .

C. –4 .

D.

n +1

+ ... là

1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1)
có giá trị bằng
5n 2 − 4
1
A. 0 .
B. − .
4

Câu 43. lim

Câu 44. lim

1 + 2 + 3 + ... + n
có giá trị bằng
n2 − 2

A. 1 .

B. +∞ .

 1

1
1
Câu 45. lim 
+
+ ... +
 có giá trị bằng
n ( n + 1) 
 1.2 2.3
1
A. .
B. 1 .
2
n cos 2n 

Câu 46. Kết quả ñúng của lim  5 − 2
 là:
n +1 


A. 4 .
Câu 47. Kết quả ñúng của lim
5
A. – .
2

Câu 48. Kết quả ñúng của lim
A. –

3
.
3

Câu 49. Giới hạn dãy số ( un )
A. – ∞ .

B. 5 .

1
.
4

2 − 5n− 2
là:
3n + 2.5n
B. 1.

C.

5
.
2

D. –

25
.
2

− n 2 + 2n + 1

là
3n 4 + 2
2
B. – .
3
3n − n 4
với un =
là
4n − 5
B. +∞ .

3n − 4.2n−1 − 3
bằng
3.2n + 4n
A. +∞ .
B. – ∞

1
C. – .
2

C.

3
.
4

D.

1
.
2

D. 0 .

Câu 50. lim

18

C. 0.

D. 1 .
GV. Trần Quốc Nghĩa

Ch

T I LI U H C T P TO N 11

Câu 51. Chọn kết quả ñúng của lim
A. 5 .

B.

Câu 52. Giá trị ñúng của lim

(

A. +∞ .

ng 4: GI I H N. LI N T C

n3 − 2n + 5
.
3 + 5n

2
.
5

C. – ∞ .

D. +∞ .

C. –2 .

D. 0 .

C. 2 .

D. –2 .

C. –2 .

D. – ∞ .

C. 1 .

D. +∞ .

)

n 2 − 1 − 3n 2 + 2 là
B. – ∞ .

Câu 53. Giá trị ñúng của lim ( 3n − 5n ) là
A. – ∞ .

B.

nπ


Câu 54. lim  n 2 sin
− 2n3  bằng
5


A. +∞ .
B. 0 .
Câu 55. Giá trị ñúng của lim  n n + 1 − n − 1  là


A. –1 .
B. 0 .

(

)

Câu 56. Cho dãy số ( un ) với uu = ( n − 1)

2n + 2
. Chọn kết quả ñúng của lim un là
n + n2 − 1
C. 1 .
D. +∞ .
4

A. – ∞ .

B. 0.

5n − 1
bằng
3n + 1
A. +∞ .

B. 1 .

C. 0 .

D. – ∞ .

B. 10 .

C. 0 .

D. – ∞ .

Câu 57. lim

1

Câu 58. lim

n4 + n2 + 1
A. +∞ .

bằng

Câu 59. lim 5 200 − 3n5 + 2n 2 bằng
A. 0 .
B. 1 .
Câu 60. Cho dãy số có giới hạn ( un )

A. 0 .

C. +∞ .
D. – ∞ .
1

u1 = 2
xác định bởi: 
. Tìm kết quả ñúng của lim un .
1
un +1 =

, n ≥1
2 − un


B. 1 .

C. –1 .

D.

1
.
2

D.

1
.
2

1
 1 1 1

Câu 61. Tìm giá trị đúng của S = 2 1 + + + + ... + n + ...  .
2
 2 4 8

A.

2 + 1.

Câu 62. lim 4

B. 2 .

C. 2 2 .

4n + 2n +1
bằng:
3n + 4n + 2

A. 0 .
GV. Trần Quốc Nghĩa

B.

1
.
2

C.

1
.
4

D. +∞ .
19

Ch

ng 4: GI I H N. LI N T C

Câu 63. Tính giới hạn: lim
A. 1 .
Câu 64. Tính giới hạn lim
A. 0 .

T I LI U H C T P TO N 11

n +1 − 4
.
n +1 + n
B. 0 .

C. –1 .

1 + 3 + 5 + + ( 2n + 1)
.
3n 2 + 4
1
B. .
3

D.

1
.
2

C.

2
.
3

D. 1 .

C.

2
.
3

D. 2 .

 1

1
1
Câu 65. Tính giới hạn lim  +
+ ... +
.
n ( 2n + 1) 
1.3 3.5
A. 1 .

B. 0 .

 1

1
1
Câu 66. Tính giới hạn lim  +
+ ... +
.
n ( n + 2) 
1.3 2.4
3
A. .
B. 1 .
2

C. 0 .


1 
1 
1 
Câu 67. Tính giới hạn lim 1 − 2  1 − 2  ...  1 − 2   .
 2   3   n  
1
1
A. 1 .
B. .
C. .
2
4
Câu 68. Chọn kết quả ñúng của lim 3 +

A. 4 .
Câu 69.

Tổng vô hạn 12 − 9 +
A.

Câu 70.

2
.
3

D.

3
.
2

D.

1
.
2

n2 − 1 1
−
.
3 + n 2 2n

B. 3 .

27 81
− + … bằng:
4 16
39
B.
4

C. 2 .

C.

75
16

D. Không tồn tại

Biểu diễn số thập phân 1, 245454545… như một phân số:
A.

20

48
7

D.

249
200

B.

137
110

C.

27
22

D.

69
55

GV. Trần Quốc Nghĩa

Tài liệu học tập toán lớp 11học kỳ 2 Trần Quốc Nghĩa

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về