BAI TAP QUY TAC DEM HOAN VI CHINH HOP TO HOP

BI TP Đ1, Đ2
QUY TC CNG QUY TC NHN
ỵ Dạng 00: Các câu hỏi chưa phân dạng
Câu 1. Cho hai tập hợp A  {a, b, c, d } ; B  {c, d , e} . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
N  A  4
N  B  3
A. N ( A �B)  7 .
B. N ( A �B)  2 .
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:

A �B   a,b,c,d, e � N  A �B  5

.

Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số và chia hết cho 13 ?
A. 10 .
B. 7 .
C. 8 .

D. 9 .

Lời giải
Chọn B
Các số tự nhiên có 2 chữ số và chia hết cho 13 là: 13, 26,39,52, 65, 78,91.
Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần:

A. 15 .

B. 55 .

C. 10 .
Lời giải

D. 5 .

Chọn C

 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ
Với một cách chọn 9 chữ số từ tập
tự giảm dần.
 0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8,9
Ta có 10 cách chọn 9 chữ số từ tập
Do đó có 10 số tự nhiên cần tìm. nên chn D .
ỵ Dng 01: Toỏn chn (thun cng)
Cõu 4. Cho hai tập hợp A  {a, b, c, d } ; B  {c, d , e} . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
N  A  4
N  B  3
A. N ( A �B )  7 .
B. N ( A �B)  2 .
C.
.
D.
.
Lờigiải
Chọn A
A �B   a, b, c, d , e � N  A �B   5

Ta có:
.
Câu 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?
A. 40 .

B. 45 .

C. 50 .
Lời giải

D. 55 .

Chọn B

Nếu chữ số hàng chục là n thì số có chữ số hàng đơn vị là n  1 thì số các chữ số nhỏ hơn n năm ở
hàng đơn vị cũng bằng n . Do chữ số hang chục lớn hơn bằng 1 còn chữ số hàng đơn vị thi �.
Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là:

1  2  3  4  5  6  7 8 9 45 nờn chn B .

ỵ Dạng 02: Chọn người, vật (thuần nhân)
Câu 6. Một liên đồn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và
2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:
A. 45 .
B. 160 .
C. 90 .
D. 180 .
Lời giải
Chọn D
Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách. Có 10.9  90 trận.

Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách. Nên số trận đấu là 2.90  180 trận.
Trang 1/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


Câu 7. Có 7 bơng hồng đỏ, 8 bơng hồng vàng và 10 bông hồng trắng, các bông hồng khác nhau từng
đơi một. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 bơng hồng có đủ ba màu.
A. 319
B. 3014
C. 310
D. 310
Lời giải
Chọn D
Só cách chọn là 7.8.10  560
Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đó đều lẻ?
A. 25.
B. 45.
C. 20.

D. 50.

Lời giải
Chọn A

a, b � 1;3;5;7;9
- Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần lập thỏa mãn yêu cầu bài tốn là ab (
)
+ a: có 5 cách chọn
+ b: có 5 cách chọn.
Dó đó có: 5 x 5 = 25 cách lập số có 2 chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ. Chọn A
Câu 9. Trong đội văn nghệ nhà trường có 8 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn

một đôi song ca nam-nữ
A. 182 .
B. 48 .
C. 14 .
D. 91 .
Lời giải
Chọn B
Mỗi cách chọn ra một đôi song song nam-nữ được được hiện qua 2 công đoạn
-Công đoạn 1: Chọn 1 học sinh nữ từ 6 học sinh nữ có 6 cách.
-Cơng đoạn 2: Chọn 1 học sinh nam từ 8 học sinh nam có 8 cách.
Áp dụng quy tắc nhân có 6.8  48 cách chọn đơi song ca thỏa đề.
Câu 10. Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người phụ nữ
trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó khơng là vợ chồng:
A. 91 .

B. 10 .

C. 90 .
Lời giải

D. 100 .

Chọn C
Có 10 cách chọn 1 người đàn ơng.
Có 10 cách chọn 1 người phụ nữ.
Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai

người đó khơng là vợ chồng: 10.10  10  90
Nên chọn D .
Theo em nên làm như thế này cho tiện

Chọn 1 người trong 10 người đàn ơng có 10 cách.
Chọn 1 người trong 9 người phụ nữ không là vợ của người đàn ơng đã chọn có 9 cách.
Vậy có 10.9  90 cách chọn

Câu 11. Có 3 bơng hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi 1 khác
nhau) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bơng. Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bơng
màu đỏ.
A. 9.
B. 8.
C. 4.
D. 7.
Lời giải
Chọn C
Có 4 cách chọn 1 bông hồng màu đỏ.
Với mỗi cách chọn bông hồng màu đỏ, có 1 cách chọn 6 bơng cịn lại.
Trang 2/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


Vậy có tất cả 4 cách chọn bơng thỏa u cầu bài tốn.
Câu 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và
nữ ngồi xen kẻ:
A. 72 .
B. 720 .
C. 144 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn A
Chọn vị trí 3 nam và 3 nữ: 2.1 cách chọn.
Xếp 3 nam có: 3.2.1 cách xếp.

Xếp 3 nữ có: 3.2.1 cách xếp.
2
2.1.  3.2.1  72
Vậy có
cách xếp.
Câu 13. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và
nữ ngồi xen kẻ:
A. 6 .
B. 72 .
C. 720 .
D. 144 .
Lờigiải
Chọn B
Chọn vị trí 3 nam và 3 nữ: 2.1 cách chọn.
Xếp 3 nam có: 3.2.1 cách xếp.
Xếp 3 nữ cú: 3.2.1 cỏch xp.
2
2.1. 3.2.1 72
Vy cú
cỏch xp.
ỵ Dạng 03: Chọn người, vật (kết hợp cộng, trừ, nhân)
Câu 14. Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có 2 cà vạt màu vàng. Tìm
số cách chọn một áo và một cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì khơng chọn cà vạt màu vàng.
A. 29
B. 36
C. 18
D. 35
Lời giải
Chọn A
TH1: Chọn một áo trắng trong 3 áo trắng thì có 3 cách chọn.

Chọn một cà vạt trong 3 cà vạt khơng phải màu vàng thì có 3 cách chọn.
Vậy có 3.3  9 chọn áo trắng và không chọn cà vạt màu vàng.
TH2: Chọn một áo trong 3 áo khơng phải áo trắng thì có 4 cách chọn.
Chọn một cà vạt trong 5 cà vạt bất kì thì có 5 cách chọn.
Vậy có 4.5  20 chọn một áo không phải áo trắng và chọn một cà vạt bất kì.
Do đó có 9  20  29 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 15. Một liên đồn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và
2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:
A. 45 .
B. 180 .
C. 160 .
D. 90 .
Lời giải
Chọn B
Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác (trong hai lượt trận sân nhà và sân khách) có 10.9  90 trận.
Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách. Nên số trận đấu là 2.90 180 trn.
ỵ Dng 04: m s (thun nhõn)
Cõu 16. Cho 6 chữ số 2,3, 4,5, 6, 7 số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số lập thành từ 6 chữ số đó:
A. 18 .
B. 256 .
C. 108 .
D. 36 .
Lời giải
Chọn C
Trang 3/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là: abc, a �0 , khi đó:
c có 3 cách chọn
a có 6 cách chọn

b có 6 cách chọn
Vậy có: 3.6.6  108 số
Nên chọn D .
Câu 17. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?
A. 55 .
B. 40 .
C. 45 .
D. 50 .
Lời giải
Chọn C
Nếu chữ số hàng chục là n thì số có chữ số hàng đơn vị là n  1 thì số các chữ số nhỏ hơn n năm ở
hàng đơn vị cũng bằng n . Do chữ số hàng chục lớn hơn bằng 1 còn chữ số hàng đơn vị thi �0.
Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  45 nên chọn B .
Câu 18. Từ các chữ số 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số
A. 16 .
B. 120 .
C. 24 .
Lời giải
Chọn D
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là: abcd , a �0 , khi đó:

D. 256 .

a có 4 cách chọn

b có 4 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 4 cách chọn
Vậy có: 4.4.4.4  256 số

Nên chọn A .
Câu 19. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 5 có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiên khơng chia hết cho 5 gồm
4 chữ số đôi một khác nhau?
A. 54 .
B. 72 .
C. 69 .
D. 120 .
Lời giải
Chọn A

d � 0;5
Gọi số tự nhiên không chia hết cho 5 gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là abcd , ( a �0 ,)
d � 1;2;3
Có 3 cách chọn d (
)
a � 1;2;3;5
Có 3 cách chọn a (
và a �d đã chọn ở trên)
b � 0;1;2;3;5
Có 3 cách chọn b (
và b �a , b �d đã chọn ở trên)
c � 0;1;2;3;5
Có 2 cách chọn c (
và c �a , c �b , c �d đã chọn ở trên)
Theo quy tắc nhân có 3.3.3.2  54 số.
Câu 20. các chữ số 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số:
A. 16 .
B. 120 .
C. 24 .
Lời giải

Trang 4/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841

D. 256 .


Chọn D
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là: abcd , a �0 , khi đó:
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 4 cách chọn
Vậy có: 4.4.4.4  256 số
Nên chọn A .
Câu 21. Từ các chữ số 2, 3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số:
A. 256 .

B. 120 .

D. 16 .

C. 24 .
Lời giải

Chọn A
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là: abcd , a �0 , khi đó:
a có 4 cách chọn

b có

4 cách chọn

c có 4 cách chọn

d có

4 cách chọn

Vậy có: 4.4.4.4  256 số
Nên chọn A .
Câu 22. Từ các số 1,3,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số:
A. 12 .
B. 27 .
C. 6 .
Lời giải
Chọn B
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng abc .
Khi đó: a có 3 cách chọn, b có 3 cách chọn, c có 3 cách chọn.
Nên có tất cả 3.3.3  27 số

D. 8 .

Câu 23. Từ các số 1, 2,3, 4,5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là:
Số chẵn
A. 347 .
B. 360
C. 343
D. 523
Lời giải
Chọn B
a, b, c, d � 1, 2,3, 4,5, 6, 7
Gọi số cần lập x  abcd ;

và a, b, c, d đôi một khác nhau.
Công việc ta cần thực hiện là lập số x thỏa mãn x là số chẵn nên d phải là số chẵn. Do đó để thực
hiện công việc này ta thực hiện qua các cơng đoạn sau
Bước 1: Chọn d : Vì d là số chẵn nên d chỉ có thể là các số 2, 4, 6 nên d có 3 cách chọn.
Bước 2: Chọn a : Vì ta đã chọn d nên a chỉ có thể chọn một trong các số của tập
nên có 6 cách chọn a
Bước 3: Chọn b : Tương tự ta có 5 cách chọn b
Bước 4: Chọn c : Có 4 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có: 3.6.5.4  360 số thỏa yêu cầu bài toán.

 1, 2,3, 4,5, 6, 7 \ {d }

Câu 24. Từ các chữ số 0;1; 2;3; 4;5; 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số?
A. 13 .
B. 49 .
C. 36 .
D. 42 .
Lời giải
Chọn D
Trang 5/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


Gọi số cần lập có dạng ab . Để lập được số có 2 chữ số ta cần thực hiện liên tiếp hai hành động.
Chọn một chữ số khác 0 vào vị trí a có 6 cách.
Ứng với mỗi cách chọn một số vào vị trí a có 7 cách chọn một số vào vị trí b .
Theo quy tắc nhân ta có số các số có 2 chữ số lập được là 6.7  42 số.
Câu 25. Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người phụ nữ
trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng:
A. 91 .
B. 10 .

C. 90 .
D. 100 .
Lời giải
Chọn C
Cách 1.
Có 10 cách chọn 1 người đàn ơng.
Có 10 cách chọn 1 người phụ nữ.
Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai
người đó khơng là vợ chồng: 10.10  10  90
Nên chọn D .
Cách 2.
Chọn 1 người trong 10 người đàn ơng có 10 cách.
Chọn 1 người trong 9 người phụ nữ không là vợ của người đàn ông đã chọn có 9 cách.
Vậy có 10.9  90 cách chọn
Câu 26. Cho các số 1, 2,3, 4,5, 6, 7 . Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho chữ số
đầu tiên bằng 3 là:
A. 240 .
Lờigiải
Chọn B

B. 2401 .

5
C. 7 .

D. 7! .

Gọi số cần tìm có dạng: abcde .
 a  3
Chọn a : có 1 cách

4
Chọn bcde : có 7 cách
4
Theo quy tắc nhân, có 1.7  2401 (số)

Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số lớn hơn 4 và đôi một khác nhau:
A. 120 .
B. 360 .
C. 24 .
D. 240 .
Lờigiải
Chọn A
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng abcde .
Khi đó: a có 5 cách chọn, b có 4 cách chọn, c có 3 cách chọn, d có 2 cách chọn, e có 1 cỏch chn.
Nờn cú tt c 5.4.3.2.1 120 s.
ỵ Dạng 05: Đếm số (kết hợp cộng, trừ, nhân)
Câu 28. Từ các số 1, 2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác
nhau:
A. 36
B. 15 .
C. 20 .
D. 72 .
Lời giải
Chọn B
TH1: số có 1 chữ số thì có 3 cách.
TH2: số có 2 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có 3.2  6 số.
TH3: số có 3 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có 3.2.1  6 số
Vậy có 3  6  6  15 số.
Trang 6/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841

BÀI 2: HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Câu 29. Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần:
A. 55 .
B. 10 .
C. 5 .
D. 15 .
Lời giải
Chọn B
 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ
Với một cách chọn 9 chữ số từ tập
tự giảm dần.
 0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8,9
Ta có 10 cách chọn 9 chữ số từ tập
Do đó có 10 số tự nhiên cần tìm. nên chọn D .
Câu 30. Có bao nhiêu số có 5 chữ số tận cùng là 1 và chia hết cho 7 .
A. 1286 .
B. 12856 .
C. 1285 .
Lời giải
Chọn A
Gọi số cần lập là abcd1 .

D. 12855 .

Giả sử abcd1  10.abcd  1  3.abcd  7.abcd  1 số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn đề bài là.
Ta có chia hết cho 7 khi 3.abcd  1 chia hết cho 7 .
k 1
3.abcd  1  7 k � abcd  2k 
, k ��

3
Khi đó,
là số nguyên khi k  3l  1 .
998
9997
abcd ��
�7l 
2 1000 7l 2 9999
l
7
7 có 1286 giá trị của l .
Suy ra
Vậy có 1286 số thỏa mãn bài tốn.
Câu 31. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác cân.
A. 216.
B. 81.
C. 165.
D. 45.
Lờigiải
Chọn C
TH1: a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác đều.
Trường hợp này có 9 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác cân và khơng đều.
Khơng làm mất tính tổng qt, giả sử a  b .
*) a  b  c
+ a  b  2 � c  1.
+ a  b  3 � c  1, 2.
+ a  b  4 � c  1, 2,3.
………..
+ a  b  9 � c  1, 2,3,...,8

� Có: 1  2  3  ..  8  36 số thỏa bài toán.
*) a  b  c
c
a  b  c �  a  c.
2
Do
9
c  9 �  a  9 � a  5, 6, 7,8.
2
+
+ c  8 � 4  a  8 � a  5, 6, 7.
7
 a  7 � a  4,5, 6
2
+
+ c  6 � 3  a  6 � a  4,5.
c7�

Trang 7/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


+
+
+

5
 a  5 � a  3, 4.
2
c  4�2 a  4�a 3

3
c  3 �  a  3 � a  2.
2
c  2,1 khơng có a tương ứng.
c 5�

+
� Có: 4  3  3  2  2  1  1  16 số thỏa bài toán.
� Trong trường hợp a  b �c , có: 36  16  52 số thỏa mãn.
Tương tự, mỗi trường hợp b  c �a , c  a �b đều có 52 số thỏa mãn.
Theo quy tắc cộng ta có: 9  52.3  165 số thỏa mãn yêu cầu bài toán bài toán.
Câu 32. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 8 lập được bao nhiêu số có ba chữ số đơi một khác nhau, chia
hết cho 2 và 3 .
A. 48 số.

B. 52 số.

C. 32 số.
Lời giải

D. 35 số.

Chọn D
Số chia hết cho 2 và 3 là số chẵn và có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 .

aa a
Gọi 1 2 3 là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 2 và 3 được lập từ các chữ số
0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 8 .
Trường hợp 1: a3  0

 1; 2 ,  1;5 ,  1;8 ,  2;4 ,  4;5 ,  4;8 .
Khi đó các chữ số a1 , a2 được lập từ các tập
Trường hợp này có 6.2!  12 số.
Trường hợp 2: a3  2

 1;0 ,  4;0 ,  1;3 ,  3; 4 ,  5;8 .
Khi đó các chữ số a1 , a2 được lập từ các tập
Trường hợp này có 2  3.2!  8 số.
Trường hợp 3: a3  4

 2;0 ,  2;3 ,  3;5 ,  3;8 .
Khi đó các chữ số a1 , a2 được lập từ các tập
Trường hợp này có 1  3.2!  7 số.
Trường hợp 4: a3  8

 0;1 ,  0;4 ,  1;3 ,  2;5 ,  3; 4 .
Khi đó các chữ số a1 , a2 được lập từ các tập
Trường hợp này có 2  3.2!  8 số.
Vậy có tất cả 12  8  7  8  35 số cần tìm.
Câu 33. Cho 5 chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 6 . Lập các số tự nhiên có 3 chữ số đơi một khác nhau từ 5 chữ số đã
cho. Tính tổng của các số lập được.
A. 21312
B. 12312
C. 21321
D. 12321
Lời giải
Chọn A
Mỗi số số tự nhiên có 3 chữ số đơi một khác nhau từ 5 chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 6 là một chỉnh hợp chập
3
3 của các chữ số này. Do đó, ta lập được A5  60 số.

Do vai trò các số 1 , 2 , 3 , 4 , 6 như nhau, nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số trong các chữ số này ở
mỗi hàng (hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm) là như nhau và bằng 60 : 5  12 lần.
Trang 8/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


Vậy, tổng các số lập được là:

S  12.  1  2  3  4  6   100  10  1  21312
.
HOÁN VỊ - CHNH HP T HP
ỵ Dng 00: Cỏc cõu hi chưa phân dạng
Câu 34. Cơng thức tính số hốn vị Pn là
A.

Pn  n !

.

B.

Pn  (n  1)!

.

C.
Lời giải

Pn 

n!

(n  1) .

D.

Pn  (n  1)!

.

Chọn A

Công thức tính số hốn vị n phần tử là Pn  n ! .
k
 1 �k �n  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 35. Kí hiệu An là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
n!
n!
n!
n!
Ank 
Ank 
Ank 
Ank 
k ! n  k  !
k ! n  k  !
 nk!
 nk!
A.
B.
C.
D.

Lời giải
Chọn C
Lý thuyết.

Câu 36. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cnk 

A.

n!
 n  k!

Cnk 

.

B.

n!
k ! n  k  !

Cnk 

.

C.
Lời giải

k!
n ! n  k  !

Cnk 

.

D.

k!
 n  k!

.

Chọn B
Cnk 

Ta có:

n!
k ! n  k  !

.

Câu 37. Có 3 bơng hồng vàng, 3 bơng hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đơi 1 khác
nhau) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bơng. Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bơng
hồng vàng và ít nhất 3 bơng hồng đỏ.
A. 12.
B. 36.
C. 23.
D. 36.
Lời giải

Chọn A
Vì có tất cả 4 bơng hồng đỏ nên ta có các trường hợp sau:
�7 bông được chọn gồm 3 bông vàng và 4 bông đỏ.
Số cách chọn trong trường hợp này là 1 cách.
�7 bông được chọn gồm 3 bông vàng, 3 bông đỏ và 1 bông trắng.
3
Số cách chọn trong trường hợp này là 3.C4  12 cách.
Vậy có tất cả 13 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 38. Với số nguyên k và n sao cho 1 �k  n . Khi đó

k 1
�
n  2k  1 k
�
.Cn
n 1
k 1
A.
là một số nguyên nếu �
.
n  2k  1 k
.Cn
k 1
B.
là một số nguyên với mọi k và n .
n  2k  1 k
.Cn
k 1
C.
là một số nguyên với mọi giá trị chẵn của k và n .

Trang 9/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


n  2k  1 k
.Cn
k 1
D.
là một số nguyên với mọi giá trị lẻ của k và n .
Lời giải.
Chọn B
Ta có

n  2k  1 k  n  k    k  1 k n  k k
nk
n!
.Cn 
.Cn 
.Cn  Cnk 
.
 Cnk
k 1
k 1
k 1
k  1 k !.  n  k  !


n!
 Cnk  Cnk 1  Cnk
 k  1 !. n   k  1  !

1 �k  n � k  1 �n � Cnk 1 luôn tồn tại với mọi số nguyên k và n sao cho 1 �k  n .
C k 1
Ck
C k 1  Cnk cũng là một số nguyên.
Mặt khác n và n là các số nguyên dương nên n
Do

Câu 39. Cho n �� và n !  1 .Số giá trị của n thỏa mãn giả thiết đã cho là
A. 0
B. vơ số.
C. 1

D. 2.

Lời giải
Chọn D
Có hai giá tr l 0! 1 v 1! 1 .
ỵ Dạng 01: Đếm số (chỉ dùng một loại P hoặc A hoặc C)
Câu 40. Số cách chọn 3 học sinh từ 5 học sinh là
3
A. 15 .
B. A5 .

C. 3! .
Lời giải

3
D. C5 .

C. 10 .

Lời giải

D. 120 .

Chọn D
3
Số cách chọn 3 học sinh từ 5 học sinh là C5 .

Câu 41. Số chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử bằng
A. 20 .
B. 7 .
Chọn A
2
Ta có A5  20 .

Câu 42. Cho tập hợp A gồm có 9 phần tử. Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp A là
4
A. C9 .

B. 4 �9 .

4
C. A9 .
Lời giải

D. P4 .

4
Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp A là C9 .

Câu 43. Giải bóng đá V-LEAGUE 2018 có tất cả 14 đội bóng tham gia, các đội bóng thi đấu vịng trịn 2
lượt. Hỏi giải đấu có tất cả bao nhiêu trận đấu?
A. 140 .
B. 91 .
C. 196 .
D. 182 .
Lời giải
Chọn D
2
Số trận đấu là A14  182 .
Câu 44. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau:
A. 4536 .

9
B. 4 .

Trang 10/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841

C. 2156 .

D. 4530 .


Lời giải
Chọn A
Gọi số cần tìm có dạng:

abcd

 a�0

 a�0
Chọn a: có 9 cách
A3
Chọn bcd: có 9 cách
9.A93  4536 (số)
Theo quy tắc nhân, có
Câu 45. Một hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 bi sao cho có đủ ba màu. Số
cách chọn là
A. 360 .
B. 120 .
C. 60 .
D. 220 .
Lời giải
Chọn C
C1.C 1 .C1  60 cách.
Chọn ngẫu nhiên 3 bi sao có đủ ba màu có 3 4 5
Câu 46. Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh theo một hàng dọc?
A. 720.
B. 46656 .
C. 4320.

D. 360.

Lời giải
Chọn A
Mỗi cách sắp xếp 6 học sinh theo một hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử và ngược lại.
Vậy số cách sắp xếp 6 học sinh theo một hàng dọc là: 6! = 720.
Câu 47. Từ các số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác
nhau.

A. 60
B. 10
C. 120
D. 125
Lời giải
Chọn A
3
Có thể lập A5  60 số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau.
Câu 48. Từ tập

A   1; 2;3; 4;5;6;7

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đơi một khác nhau
5
5
B. 5!
C. C7
D. A7
Lời giải

5
A. 7

Chọn D
5
Số tự nhiên có 5 chữ số đơi một khác nhau có thể lập được là: A7 số.

Câu 49. Tính số chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử ?
A. 720 .
B. 840 .

C. 35 .
Lời giải

D. 24 .

Chọn B
Ta có:

A74 

7!
 840
3!
.

Câu 50. Trên giá sách có 4 quyển sách tốn, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hoá(các quyển sách cùng mơn
đơi một khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quyển sách sao cho có ít nhất một quyển sách toán?
A. 74 .

B. 24 .

C. 10 .
Lời giải

D. 84 .

Chọn A
Trang 11/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841

Tổng số sách có trong giá sách là: 9 quyển sách
3
Số cách lấy ra 3 quyển sách trong 9 quyển là: C9  84
3
Số cách lấy ra 3 quyển sách trong 9 quyển, sao cho khơng có quyển sách tốn nào là: C5  10
Suy ra số cách lấy ra 3 quyển sách trong 9 quyển, sao cho có ít nhất một quyển sách toán là:
84  10  74 (cách)

Câu 51. Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9 . Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
2
2
2
9
A. 9 .
B. 2 .
C. C9 .
D. A9 .
Lời giải
Chọn D
Cách 1
Mỗi số tự nhiên có hai chữ số khác nhau được lập là một chỉnh hợp chập 2 của 9 phần tử trên. Số các
2
số được lập là A9 .
Cách 2
Gọi số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau có dạng: ab
a có 9 cách chọn
b có 8 cách chọn
2
Theo quy tắc nhân ta có 8.9  72  A9 .
Câu 52. Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ ‘THANH HOA” thành một hàng ngang. Tính xác suất

để có ít nhất hai chữ H đứng cạnh nhau.
5
79
5
9
A. 14 .
B. 84 .
C. 84 .
D. 14 .
Lời giải
Chọn D
Cách 1.
Xét trường hợp các chữ cái được xếp bất kì, khi đó ta xếp các chữ cái lần lượt như sau
3
- Có C8 cách chọn vị trí và xếp có 3 chữ cái H.
2
- Có C5 cách chọn vị trí và xếp có 2 chữ cáiA.
- Có 3! cách xếp 3 chữ cái T, O, N.
n     C83 .C52 .3!
Do đó số phần tử của khơng gian mẫu là
.
A
Gọi là biến cố “có ít nhất hai chữ H đứng cạnh nhau”
- Nếu có ba chữ H đứng cạnh nhau, có 6 cách xếp 3 chữ H.
- Nếu đúng hai chữ H đứng cạnh nhau thì
 Khi hai chữ H ở hai vị trí đầu hoặc cuối có 5 cách xếp chữ cái H cịn lại
 Khi hai chữ H đứng ở vị trí giữa thì có 4 cách xếp chữ cái H cịn lại.
Do đó có 2.5  5.4  30 cách xếp 3 chữ H sao cho có đúng hai chữ H đứng cạnh nhau.
2
Như vậy có 30  6  36 cách xếp 3 chữ H, ứng với cách xếp trên ta có C5 cách chọn vị trí và xếp 2

chữ cái A và 3! cách xếp T, O, N

Suy ra

n  A  36.C52 .3!

Vậy xác suất của biến cố A là

P  A 

n  A
9

n    14

.

n   

8!
 3360
2!3!

Cách 2. Số phần tử của khơng gian mẫu là
Gọi A là biến cố “có ít nhất hai chữ H đứng cạnh nhau”
Trang 12/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


5!
Đầu tiên ta xếp 2 chữ A và ba chữ T, O, N có 2! cách.

6
Tiếp theo ta có 6 vị trí để xếp 3 chữ H và khơng có chữ H nào đứng liền nhau, có C3 cách.
5!
n A  C63 � n  A   n     n A  2160
2!
Do đó
.
n  A
9
P  A 

n    14
Vậy xác suất của biến cố A là
.

 

 

Câu 53. Trên đường tròn tâm O cho 12 điểm phân biệt. Từ các điểm đã cho có thể tạo được bao nhiêu tứ
giác nội tiếp đường tròn tâm O?
4
4
A. A12 .
B. 3.
C. 4!.
D. C12 .
Lời giải
Chọn D
Ta có: Số cách lấy 4 điểm phân biệt bất kì từ 12 điểm phân biệt trên đường tròn tâm O sẽ là số tứ giác

4
nội tiếp đường trịn tâm O được tạo thành. Vậy có C12 tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O được tạo thành.

Câu 54. Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác
nhau?
A. 4096 .
B. 360 .
C. 720 .
D. 15 .
Lời giải
Chọn B
Để được một số có 4 chữ số theo yêu cầu đề bài, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số đã cho và xếp theo
một thứ tự nào đó, nghĩa là ta được một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.
Vậy số các số cần thành lập là

A64  360 .

Câu 55. Với năm chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 7 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và
chia hết cho 2 ?
A. 120 .
B. 24 .
C. 48 .
D. 1250 .
Lời giải
Chọn C
Gọi số cần tìm là n  abcde , vì n chia hết cho 2 nên có 2 cách chọn e .
Bốn chữ số còn lại được chọn và sắp từ bốn trong năm chữ số trên nên có 4! cách.
Vậy có tất cả 2 �4!  48 số các số cần tìm.
Câu 56. Sắp xếp năm bạn học sinh Cường, Hồng, Hoa, Nam, Mai vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn Cường và bạn Nam không ngồi cạnh nhau?

A. 108
B. 100
C. 72
D. 104
Lời giải
Chọn C
Có 5!  120 cách xếp 5 bạn ngồi bất kì.
Có 2 cách xếp hai bạn Cường và Nam cạnh nhau. Với mỗi cách, có 4! cách xếp hai bạn đó và ba bạn
cịn lại vào 5 chỗ ngồi. Do đó có 2.4!  48 cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn mà Cường và Nam ngồi cạnh
nhau.
Vậy có 120  48  72 cách sắp xếp sao cho bạn Cường và bạn Nam không ngồi cạnh nhau.
Trang 13/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


Câu 57. Cho 6 chữ số 4,5, 6, 7,8,9 . Số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lập thành từ 6 chữ số
đó:
A. 216 .
B. 120 .
C. 60 .
D. 256 .
Lờigiải
Chọn C
Gọi số cần tìm có dạng: abc .

c � 4;6;8 
Chọn c : có 3 cách 
2
Chọn ab : có A5 cách

2

Theo quy tắc nhân, có 3. A5  60 (số).

Câu 58. Cho các số 1, 2, 4,5,7 có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ
số đã cho:
A. 36 .

B. 120 .

C. 256 .
Lời giải

D. 24 .

Chọn D
Gọi số cần tìm có dạng: abc

 c� 2;4 

Chọn c : có 2 cách
A2
Chọn ab : có 4 cách
Theo quy tắc nhân, có

2.A42  24(số)

Câu 59. Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
A. 12900 .
B. 13125 .
C. 550 .

D. 15504 .
Lời giải
Chọn A
2
3
Chọn 2 nam và 3 nữ: C10 .C10 .
2
3
Chọn 3 nam và 2 nữ: C10 .C10 .
4

1

Chọn 4 nam và 1 nữ: C10 .C10 .
Số cách chọn ra 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ:
C102 .C103  C102 .C103  C104 .C101  12900 .
Câu 60. Từ các số 1, 2,3, 4,5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có 3 chữ số đôi một khác nhau?
7
3
7
A. A3
B. P3
C. 3
D. C7
Lời giải
Chọn A
3
Chọn 3 số tự nhiên từ 7 chữ số đã cho và hốn vị chúng thì ta được A7 số tự nhiên có 3 chữ số đơi
một khác nhau.

X   1; 2;3;4;7;8;9
Câu 61. Có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử của tập hợp
?
3
3
3
3
A. C9 .
B. C7 .
C. A9 .
D. A7 .
Lời giải
Chọn B
Trang 14/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


X   1; 2;3; 4;7;8;9
Số tập con gồm 3 phần tử của tập hợp
là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.
3
Vậy có C7 tập hợp.
Câu 62. Trong mặt phẳng cho 15 điểm phân biệt trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Số tam giác
có đỉnh là 3 trong số 15 điểm đã cho là.
3

A. 15 .

B.

A153 .

C. 15! .
Lời giải

D.

C153 .

Chọn D

C3
Số tam giác có đỉnh là 3 trong số 15 điểm đã cho là: 15 .
Câu 63. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?
A. 5040
B. 210
C. 1200

D. 4536

Lời giải
Chọn D
4
3
Có A10  A9  4536 số
Câu 64. Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số?
A. 24 .

B. 16 .

C. 256 .

Lời giải

D. 120 .

Chọn C
Câu 65. Cho các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ
số và các chữ số phải khác nhau.
A. 240 .
B. 160 .
C. 156 .
D. 752 .
Lời giải
Chọn C
Gọi số có bốn chữ số khác nhau là abcd

 a, b, c, d   0,1, 2,3, 4,5 , a

0

.

 1, 2,3, 4,5 . Suy ra có
+ TH1: d  0 Số cách Chọn Cộ số abc là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử
A53  60
.
d � 2, 4
+ TH2:
d có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn
Suy ra có 2.4.4.3  96

Áp dụng quy tắc cộng ta có tất cả 60  96  156
Câu 66. Số đường chéo của đa giác đều có  20 cạnh là bao nhiêu?
A. 380 .
B. 170 .
C. 190 .
Lời giải
Chọn B
2
Số đường chéo của đa giác đều n cạnh là Cn  n .

D. 360 .

2
Với n  20 thì C20  20  170 .

Câu 67. Từ các chữ số của tập hợp
một khác nhau?

A   0,1, 2,3, 4,5, 6

lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi
Trang 15/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


A. 418

C. 300

Lời giải

B. 720

D. 731

Chọn B
Gọi số cần tìm có dạng abcd .
3
a có 6 cách chọn. b, c, d có A6
6. A63  720 số.
Vậy lập được
Câu 68. Cho các số 1, 2, 4,5,7 có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số
đã cho:
A. 120 .
B. 256 .
C. 24 .
D. 36 .
Lời giải
Chọn C
Gọi số cần tìm có dạng: abc
c � 2; 4 
Chọn c : có 2 cách 
2
Chọn ab : có A4 cách

2
Theo quy tắc nhân, có 2. A4  24 (số).

Câu 69. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .

A. 20 số.
B. 720 số.
C. 120 số.
D. 90 số.
Lời giải
Chọn C
Số các số có 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho là số chỉnh hợp chập 3 của 6 và bằng
A  120
số.
3
6

Câu 70. Trong các số nguyên từ 100 đến 999 , số các số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần
(kể từ trái qua phải) bằng:
A. 240 .
B. 204 .
C. 120 .
D. 168 .
Lời giải
Chọn B
Số nguyên cần lập có 3 chữ số đôi một khác nhau. Xét hai trường hợp:
+ TH1: Các chữ số tăng dần từ trái qua phải.

A   1; 2;3; 4;5;6;7;8;9
Khi đó 3 chữ số được chọn từ tập
Với một cách chọn 3 chữ số từ tập này ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự tăng dần. Do đó
3

số các số lập được trong trường hợp này là: C9 .
+ TH2: Các chữ số giảm dần từ trái qua phải.

B   0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9
Khi đó 3 chữ số được chọn từ tập
Với một cách chọn 3 chữ số từ tập này ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự giảm dần. Do
3

đó số các số lập được trong trường hợp này là: C10 .
3
3
Vậy số các số cần tìm là: C9  C10  204 số.
Câu 71. Cho các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có
4 chữ số và các chữ số đôi một bất kỳ khác nhau.
A. 160 .
B. 156 .
C. 752 .
D. 240 .
Lời giải
Trang 16/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


Chọn B

b, c, d � 0;1; 2;3; 4;5 a� 1; 2;3; 4;5
Gọi số cần tìm là: abcd (với
,
).
Trường hợp 1:
Chọn d  0 , nên có 1 cách chọn.
a � 1, 2,3, 4,5
Chọn

nên có 5 cách chọn.
Chọn b có 4 cách chọn.
Chọn c có 3 cách chọn.
Suy ra, có 1.5.4.3  60 số.
Trường hợp 2:
d � 2, 4
Chọn
, nên có 2 cách chọn.
Chọn a �0 nên có 4 cách chọn.
Chọn b có 4 cách chọn.
Chọn c có 3 cách chọn.
Suy ra, có 2.4.4.3  96 số.
Vậy có tất cả: 60  96  156 số.
Câu 72. Số cách chia 12 phần quà cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất hai phần quà là
A. 72 .
B. 28 .
C. 36 .
D. 56 .
Lời giải
Chọn B
+ Chia trước cho mỗi học sinh một phần q thì số phần q cịn lại là 9 phần quà.
+ Chia 9 phần quà cho 3 học sinh sao cho học sinh nào cũng có ít nhất một phần quà:
Đặt 9 phần quà theo một hàng ngang, giữa các phần quà sẽ có 8 khoảng trống, chọn 2 khoảng trống
trong 8 khoảng trống đó để chia 9 phần quà còn lại thành 3 phần quà mà mỗi phần có ít nhất một phần
2
2
q, có C8 . Vậy tất cả có C8  28 cách chia.

A   0,1, 2, 3, 4, 5, 6
Câu 73. Từ các chữ số của tập hợp

lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
5 chữ số
A. 15223.
B. 14422
C. 14406.
D. 13353.
4 chữ số đôi một khác nhau
A. 418.
B. 720.
C. 723.
D. 731
4 chữ số đôi một khác nhau và là số lẻ
A. 300.
B. 324.
C. 354.
D. 341
5 chữ số đôi một khác nhau và là số chẵn.
A. 1260.
B. 1234.
C. 1250.
D. 1235
Lời giải
Gọi x  abcde với a, b, c, e  A; a 0

Để lập x ta chọn các số a, b, c, d , e theo tứ thự sau
Chọn a : Vì a  A, a 0 nên ta có 6 cách chọn a
Trang 17/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


Vì b �A và b có thể trùng với a nên với mỗi cách chọn a ta có 7 cách chọn b

Tương tự: với mỗi cách chọn a, b có 7 cách chọn c
với mỗi cách chọn a, b, c có 7 cách chọn d
với mỗi cách chọn a, b, c, d có 7 cách chọn e

Vậy theo quy tắc nhân ta có: 6.7.7.7.7  14406 số thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn C
Gọi x  abcd là số cần lập với a, b, d , c �A đôi một khác nhau và a �0 . Ta chọn a, b, c, d theo thứ tự
sau
Chọn a : Vì a  A, a 0 nên có 6 cách chọn a
A \  a
Với mỗi cách chọn a ta thấy mỗi cách chọn b, c, d chính là một cách lấy ba phần tử của tập
và xếp chúng theo thứ tự, nên mỗi cách chọn b, c, d ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử
3
Suy ra số cách chọn b, c, d là: A6
3
Theo quy tắc nhân ta có: 6. A6  720 số thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn C
Gọi x  abcd là số cần lập với a, b, c, d �A đôi một khác nhau, a �0 .

d � 1,3,5 � d
Vì x là số lẻ nên
có 3 cách chọn.
a �A \  0, d  � a
Với mỗi cách chọn d ta có
có 5 cách chọn
2
Với mỗi cách chọn a, d ta có A5 cách chọn bc

2
Theo quy tắc nhân ta có: 3.5. A5  300 số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn C
Gọi x  abcde là số cần lập với a, b, c, d , e �A đôi một khác nhau và a �0 .

e � 0, 2, 4, 6
Vì x là số lẻ nên
. Ta xét các trường hợp sau
e

0
�
e
�
có 1 cách chọn
Vì a �0 � a có 6 cách chọn
3

Số cách chọn các chữ số cịn lại: A5
3
Do đó trường hợp này có tất cả 1.6. A5  360 số
�e �0 � e có 3 cách chọn
a �A \  0, e � a
Với mỗi cách chọn e ta có
có 5 cách chọn
3
Số cách chọn các số cịn lại là: A5
3
Do đó trường hợp này có tất cả 3.5. A5  900 số
Vậy có cả thảy 360  900  1260 số thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn C

Câu 74. Từ các chữ số 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có 5 chữ số dạng
a1a2 a3 a4 a5

A. 126

mà

a1  a2  a3  a4  a5

.
B. 27216

C. 28214
Lời giải

D. 252

Chọn A
a ; a ; a ; a ; a � 1; 2;...;9
a  a2  a3  a4  a5
Vì 1
nên 1 2 3 4 5 
.
5
Mỗi cách chọn 5 số thuộc tập trên cho ta duy nhất số thỏa u cầu bài tốn. Vậy có C9  126 cách
thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trang 18/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841

Câu 75. Cho các chữ số 0,1, 2,3, 4,5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và
các chữ số đó phải khác nhau:
A. 160 .
B. 156 .
C. 752 .
D. 240 .
Lời giải
Chọn B
abcd
 a �0  .
Gọi số cần tìm có dạng:
TH1. d  0
Chọn d : có 1 cách
3
Chọn abc : có A5 cách
3
Theo quy tắc nhân, có 1. A5  60 (số)
TH2. d �0
d � 2; 4 
Chọn d : có 2 cách 
a �0, a �d 
Chọn a : có 4 cách 
2
Chọn bc : có A4 cách
2
Theo quy tắc nhân, có 2.4. A4  96 (số)
Theo quy tắc cộng, vậy có 60  96  156 (số).

Câu 76. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn
lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị.

A. 209.
B. 210.
C. 215
D. 221.
Lời giải
Chọn B
9 �a1  a2  a3  a4 �0
Gọi x  a1a2 a3a4 với
là số cần lập.
X   0; 1; 2; ...; 8; 9

.
Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số.A. Nghĩa là khơng có hoán vị
hay là một tổ hợp chập 4 của 10.
4
Vậy có C10  210 số.
Câu 77. Biển số xe máy tỉnh K gồm hai dòng
- Dòng thứ nhất là 68 XY , trong đó X là một trong 24 chữ cái, Y là một trong 10 chữ số;
- Dòng thứ hai là abc.de , trong đó a , b , c , d , e là các chữ số.
Biển số xe được cho là " đẹp " khi dòng thứ hai có tổng các số là số có chữ số tận cùng bằng 8 và có
đúng 4 chữ số giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 biển số trong các biển số " đẹp " để đem bán
đấu giá?
A. 71994000 .
B. 143988000 .
C. 4663440 .
D. 12000 .
Lời giải
Chọn A
Chọn X từ 24 chữ cái và chọn Y từ 10 chữ số, ta có 24.10  240 (cách chọn).
Chọn 4 chữ số giống nhau từ các chữ số ta có 10 cách chọn;

Mỗi bộ gồm 4 chữ số giống nhau, ta có một cách chọn duy nhất 1 chữ số cịn lại để tổng các số là số
có chữ số tận cùng bằng 8 , chẳng hạn: 4 chữ số 0 , chữ số còn lại sẽ là 8 ; 4 chữ số 1 , chữ số còn lại sẽ
là 4 ;…; 4 chữ số 9 , chữ số còn lại sẽ là 2 ).
Sắp xếp 5 chữ số vừa chọn có 5 cách xếp.
Do đó, có tất cả 10.5  50 (cách chọn số ở dòng thứ hai).
Trang 19/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


Suy ra có tất cả 240.50  12000 (biển số đẹp).
2
Chọn 2 biển số trong các biển số " đẹp " ta cú C12000 71994000 (cỏch).
ỵ Dng 02: m số (kết hợp P-A-C)

Câu 78. Từ các số 0,1, 2, 7,8,9 tạo được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau?
A. 600 .
B. 360 .
C. 312 .
D. 288 .
Lời giải
Chọn D
Gọi abcde là số cần tìm.
Chọn e có 3 cách.
Chọn a �0 và a �e có 4 cách.
3
Chọn 3 trong 4 số còn lại sắp vào b, c, d có A4 cách.
3
Vậy có 3.4. A4  288 số.

S   1; 2;3;...;19, 20
Câu 79. Cho tập hợp

gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20, lấy ngẫu nhiên 3 số thuộc S ,
xác suất để 3 số lấy được lập thành một cấp số cộng là
5
3
1
7
A. 38
B. 38
C. 114
D. 38

Lời giải
Chọn B
3
n     C20

Gọi A là biến cố “3 số lấy được lập thành 1 cấp số cộng”
a, b, c
Khơng mất tính tổng qt, gọi 
là 3 số tự nhiên lập thành cấp số cộng với a  b  c , d là công
*
sai của cấp số cộng với d �N
d  1 : chọn a có 18 cách ( a có thể chọn từ số 1 đến số 18)

d  2 : chọn a có 16 cách ( a có thể chọn từ số 1 đến số 16)
d  3 : chọn a có 14 cách ( a có thể chọn từ số 1 đến số 14)
d  4 : chọn a có 12 cách ( a có thể chọn từ số 1 đến số 12)
d  5 : chọn a có 10 cách ( a có thể chọn từ số 1 đến số 10)
d  6 : chọn a có 8 cách ( a có thể chọn từ số 1 đến số 8)
d  7 : chọn a có 6 cách ( a có thể chọn từ số 1 đến số 6)

d  8 : chọn a có 4 cách ( a có thể chọn từ số 1 đến số 4)
d  9 : chọn a có 2 cách ( a có thể chọn từ số 1 đến số 2)
 18  2  9  90
n  A   18  16  ...  2 
2
90
3
P  A  3 
C20 38 .
Câu 80. Với năm chữ số 1, 2,3,5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia
hết cho 5 ?
A. 24 .
B. 16 .
C. 25 .
D. 120 .
Lời giải
Chọn A
Trang 20/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


Gọi x  abcde là số thỏa ycbt. Do x chia hết cho 5 nên e  5 . Số cách chọn vị trí a, b, c, d là 4! . Vậy
có 24 số có 5 chữ số đơi một khác nhau và chia hết cho 5 .
Câu 81. [1D2-3] Lập các số tự nhiên có 7 chữ số từ các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4 . Tính xác suất để số lập được
thỏa mãn: các chữ số 1 ; 2 ; 3 có mặt hai lần, chữ số 4 có mặt 1 lần đồng thời các chữ số lẻ đều nằm ở
các vị trí lẻ (tính từ trái qua phải).
9
3
A. 8192 .
B. 4096 .

3
C. 2048 .
Lời giải

9
D. 4096 .

Chọn A
Ta có:

n     47

2
+) Chọn 2 trong 4 vị trí lẻ cho số 1 có C4 cách, 2 vị trí cịn lại cho số 3 :
+) Chọn 1 trong 3 vị trí chẵn cho số 4 có 3 cách.
+) 2 vị trí cịn lại cho số 2 .

Vậy

P

C42 .3
9

7
4
8192 .

Câu 82. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đơi một khác nhau trong đó chứa các chữ số 3 , 4 , 5 và
chữ số 4 đứng cạnh chữ số 3 và chữ số 5 ?

A. 2940 .

B. 1500 .

C. 1470 .
Lời giải

D. 750 .

Chọn B

aa a a a a
Giả sử mỗi số thỏa mãn u cầu bài tốn có dạng 1 2 3 4 5 6 .
Ta thấy các chữ số 3 , 4 , 5 luôn đứng cạnh nhau và chữ số 4 đứng giữa hai chữ số cịn lại.
3
a 4
 Trường hợp 1: 2
, ta có: 2!. A7  420 số.
2
 Trường hợp 2: a3  4 hoặc a4  4 hoặc a5  4 có 3.2!.6. A6  1080 số.
Vậy có 420  1080  1500 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 83. Một người viết ngẫu nhiên một số có bốn chữ số. Tính xác suất để các chữ số của số được viết ra
có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần ( nghĩa là nếu số được viết dưới dạng abcd thì a  b  c  d hoặc
a  b  c  d ).
7
A. 375 .

7
B. 250 .

14
C. 375 .
Lời giải

7
D. 125 .

Chọn C
n   9.10.10.10  9000
Viết ngẫu nhiên một số có 4 chữ số nên số phần tử của không gian mẫu là  
.
A
Gọi là biến cố các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần có

dạng abcd .
Trường hợp 1: số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự giảm dần
Vì a  b  c  d nên các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số a , b , c , d lấy từ tập
X   1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8,9

và với 4 chữ số lấy ra từ X thì chỉ lập được duy nhất một số thỏa u cầu bài

4
tốn. Do đó số số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần là C9 .

Trang 21/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


Trường hợp 2: số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần

Vì a  b  c  d nên các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số a , b , c , d lấy từ tập
Y   0,1, 2, 3, 4,5, 6, 7,8,9

và với 4 chữ số lấy ra từ Y thì chỉ lập được duy nhất mọt số thỏa yêu cầu bài

4
tốn. Do đó số số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự giảm dần dần là C10 .
n A  C94  C104  336
Vậy số phần tử của biến cố A là  
.
n  A
336
14
P  A 


n    9000 375
Xác suất của biến cố A l:
.
ỵ Dng 03: Chn ngi, vt (thun hoỏn v)

Cõu 84. Có 5 người đến nghe một buổi hịa nhạc. Số cách xếp 5 người này vào một hàng có 5 ghế là:
A. 125 .
B. 120 .
C. 100 .
D. 130 .
Lời giải
Chọn B
P  5!  120
Số cách sắp xếp là số hốn vị của tập có 5 phần tử: 5

.
Câu 85. Số cách sắp xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn dài có 5 ghế là:
A. 5! .
B. 5 .
C. 1 .
Lời giải
Chọn A
Số cách sắp xếp là hoán vị của 5 phần tử � 5! .
Câu 86. Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh theo một hàng dọc?
A. 360 .
B. 46656 .
C. 4320 .
Lời giải
Chọn D
Số cách sắp xếp 6 học sinh theo một hàng dọc là số hốn vị của 6 phần tử.
Vậy có P6  6!  720 cách.
Câu 87. Có bao nhiêu cách xếp n người ngồi vào một bàn tròn.
A. (n  1)! .
B. 2(n  1)! .
C. (n  2)!

D. 4! .

D. 720 .

D. n ! .

Lời giải
Chọn A
Nếu xếp một người ngồi vào một vị trí nào đó thì ta có 1 cách xếp và

n  1 người cịn lại được xếp vào n  1 vị trí cịn lại nên có ( n  1)! cách xếp.
Vậy có tất cả (n  1)! cách xếp.
Câu 88. Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn A, B, C, D, E, F vào một ghế dài sao cho bạn A, F ngồi ở 2 đầu
ghế?
A. 24 .
B. 48 .
C. 120 .
D. 720 .
Lời giải
Chọn B
Có 2! cách xếp bạn A, F ngồi ở 2 đầu ghế
Có 4! cách xếp 4 bạn vào 4 vị trí cịn lại
Vậy: Có 2!.4!  48 (cách xếp).
Câu 89. Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề
quyển thứ hai:
Trang 22/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


A. 9! 2! .

B. 10! .

C. 725760 .
Lời giải

D. 9! .

Chọn C
Chọn 2 vị trí liên tiếp trong 10 vị trí, có 9 cách.
Hốn vị hai quyển sách có 2 cách.

Sắp 8 quyển sách cịn lại vào 8 vị trí, có 8! cách.
Vậy có 9.2.8!  725760 cách.
Câu 90. Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau,
nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lơ đất chia thành 7 nền đang
rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu
trên
A. 132
B. 125.
C. 140.
D. 144.
Lời giải
Chọn D
Xem lơ đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền, 1 vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền.
Bước 1: nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách có
2!  2 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 4.2  8 cách chọn nền.
Bước 2: nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí cịn lại cho 3 nền có 3 cách và mỗi cách có 3!  6 cách
chọn nền cho mỗi người.
Suy ra có 3.6  18 cách chọn nền.
Vậy có 8.18  144 cách chọn nền cho mỗi người.
O
Câu 91. Cho đa giác đều 20 cạnh nội tiếp đường tròn   . Xác định số hình thang có 4 đỉnh là các đỉnh
của đa giác đều.
A. 810 .
B. 315 .
C. 720 .
D. 765 .
Lời giải
Chọn C

Gọi d là trục đối xứng của đa giác đều 20 cạnh.

TH1: Xét d đi qua hai đỉnh đối diện của đa giác đều (có 10 đường thẳng) d .
Chọn 2 đoạn thẳng trong 9 đoạn thẳng song song hoặc trùng với d thì sẽ tạo thành 1 hình thang hoặc
hình chữ nhật có các đỉnh là đỉnh của đa giác.
2

� số hình thang là C9 (hình thang).
2
Vì vai trị của 10 đường thẳng d như nhau nên có 10C9 (hình thang).
2
Mặt khác, trong số các hình trên có C10 hình thang (là hình chữ nhật) trùng nhau.

� số hình thang có cạnh song song hoặc trùng với d là 10.C9  C10 (hình thang).
TH2 : Xét d là đường trung trực của hai cạnh đối diện của đa giác (có 10 đường thẳng) d .
2

2

Trang 23/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841


Chọn 2 đoạn thẳng trong 10 đoạn thẳng song song với d thì sẽ tạo thành 1 hình thang hoặc hình chữ
nhật có các đỉnh là đỉnh của đa giác.
2

� số hình thang là C10 (hình).
2
Vì vai trị của 10 đường thẳng d như nhau nên có 10C10 (hình thang).
2
Mặt khác, trong số các hình trên có C10 hình thang (là hình chữ nhật) trùng nhau.

2
2
� số hình thang là 10.C9  C10 (hình thang).
10  C92  C102   2C102  720

Vậy số hình thang cần tìm là

(hình thang).

ỵ Dng 04: Chn ngi, vt (thun chnh hp)

S  1; 2;3; 4;5; 6
Câu 92. Cho tập hợp
. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác
nhau lấy từ tập hợp S ?
A. 20 .

B. 360 .

C. 120 .
Lời giải

D. 15 .

Chọn B
4
Từ tập S lập được A6  360 số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau.

Câu 93. Số cách chọn một ban chấp hành gồm một trưởng ban, một phó ban, một thư kí và một thủ quỹ
được chọn từ 16 thành viên là:

A. 4 .

B. .

C. .
Lời giải

16!
D. 12! .

Chọn D
Chọn 4 trong 16 thành viên để bầu ban chấp hành (có phân biệt thứ tự) có

A164 

16!
12!

Câu 94. Từ 7 chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau?
4
A. 7.6.5.4 .
B. 7!.6!.5!.4! .
C. 7! .
D. 7 .
Lờigiải
Chọn A
7!
A74   7.6.5.4
3!
Chọn 4 trong 7 chữ số để sắp vào 4 vị trí (phân biệt thứ tự) có

.
Câu 95. Cho các số 1, 2, 4, 5, 7 có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số
đã cho:
A. 120 .
B. 256 .
C. 24 .
D. 36 .
Lờigiải
Chọn C
Gọi số cần tìm có dạng: abc

c � 2; 4 
Chọn c : có 2 cách 
2
Chọn ab : có A4 cách

2
Theo quy tắc nhân, có 2. A4  24 (số)

Câu 96. Số cách xếp 4 học sinh vào một dãy ghế dài gồm 10 ghế, mỗi ghế chỉ một học sinh ngồi là
4
10
C4
A4
A. 10
B. 10
C. 10
D. 4
Lời giải
Trang 24/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841

Chọn B
Câu 97. Từ các chữ 2018 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu 2018 có 5 chữ 2018 khác nhau
mà 2018 đó nhất thiết phải có mặt các chữ 2018 1 , 2 , 5 ?
A. 846 .

B. 864 .

D. 648 .

C. 684 .
Lời giải

Chọn D
Gọi 2018 tạo thành là n  abcde .
 Trường hợp 1 : a bất kỳ.
3
Chọn 3 vị trí để đặt 2018 1 , 2 , 5 có A5  60 cách.
2
Chọn hai 2018 cịn lại có A4  12 .
Theo quy tắc nhân ta có: 60.12  720 2018.
 Trường hợp 2 : a  0 .
3
Chọn 3 vị trí để đặt 2018 1 , 2 , 5 có A4  24 cách.
1
Chọn một 2018 cịn lại có A3  3 .

Theo quy tắc nhân ta có: 24.3  72 2018.

2018 các 2018 tự nhiên thỏa mãn đề bài là: 720  72  648 2018.
Câu 98. Nhân dịp lễ sơ kết học kì I, để thưởng cho ba học sinh có thành tích tốt nhất lớp cơ An đã mua
10 cuốn sách khác nhau và chọn ngẫu nhiên ra 3 cuốn để phát thưởng cho 3 học sinh đó mỗi học sinh
nhận 1 cuốn. Hỏi cơ An có bao nhiêu cách phát thưởng.
3
3
3
A. 3.C10 .
B. C10 .
C. A10 .
Lời giải
Chọn C
3
Chọn ngẫu nhiên 3 cuốn sách rồi phát cho 3 học sinh có: A10 cách.

3

D. 10 .

Câu 99. Một nhóm học sinh có 10 người. Cần chọn 3 học sinh trong nhóm để làm 3 cơng việc là tưới
cây, lau bàn và nhặt rác, mỗi người làm một công việc. Số cách chọn là
3
3
3
A. A10 .
B. 3 �10 .
C. C10 .
D. 10 .
Lời giải
Chọn A

Số cách chọn 3 em học sinh là số cách chọn 3 phần tử khác nhau trong 10 phần tử có phân biệt thứ tự
A3
nên số cách chọn thỏa yêu cầu là 10 .
Câu 100. Ông và bà An cùng có 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách
xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng:
A. 18720 .
B. 40320 .
C. 720 .
D. 1440 .
Lời giải
Chọn A
Ta dùng phần bù.
Sắp 8 người vào 8 vị trí theo hàng dọc có 8! cách sắp xếp.
2
Sắp ông và bà An vào 2 trong 6 vị trí (trừ vị trí đầu và cuối hàng) có A6 cách.
Sắp 6 người con vào 6 vị trí cịn li cú 6! cỏch.
ỵ Dng 05: Chn ngi, vt (thun tổ hợp)
Câu 101. Một tổ cơng nhân có 12 người. Cần chọn 3 người để đi làm cùng một nhiệm vụ, hỏi có bao
nhiêu cách chọn?
Trang 25/36 - HỒNG MINH - 077 555 1841