Bất đẳng thức và cực trị hàm nhiều biến

Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn
Tốn

Chun
đề

11

ĐẲNG
THỨC,
CỰCTHƯỜNG
TRỊ HÀM ĐƯỢC
NHIỀU BIẾN
Bài 1. CÁCBẤT
BẤT
ĐẲNG
THỨC
SỬ
DỤNG


① Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
• ∀ a, b
≥ 0,
thì:

a + b ≥ a.b . Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: a = b.
2

• ∀ a, b, c ≥ 0, thì:
. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c.

a  b  c  3.3 a.b.c
a+b
a+b
 a + b + c 3
2
ab
Nhiều trường hợp đánh giá dạng: =
⇔ a.b ≤ 
 và a.b.c ≤ 
 ⋅
3 
2
 2


② Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
(Bunhiaxcơpki)
a b
• ∀ a, b, x, y
(a.x + b.y)2 ≤ (a2 + b2 )(x2 + y2 ) . Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi:
= ⋅
∈ ℝ, thì:
x y
• ∀ a, b, c, x, y, z ∈ ℝ, thì: (a.x + b.y + c.z)2 ≤ (a2 + b2 + c2 )(x2 + y2 + z2 ) .
a b c
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: = = ⋅
x y z
Nhiều trường hợp đánh giá
dạng:

a.x + b.y (a2 + b2 )(x2 + y2 ).
≤

Hệ quả. Nếu a, b, c là các số thực và x, y, z là các số dương thì:
(a + và a2 + 2b + c2  (a + b + : bất đẳng thức cộng mẫu số.
b2
2
a +
c)2
b)2
y z
x+y+z
③xBấty đẳng
x + ythức x
→ → → →
véctơ
Xét các véctơ: u = (a; b), v = (x; y) . Ta ln có: u + v ≥ u + v
⇔ a2  b2  x2  y2  (a  x)2  (b  y)2 . Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi u và v cùng hướng.
④ Một số biến đổi hằng đẳng thức thường gặp
• x3 + y3 = (x + y)3 − 3xy(x + y).
• x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx).
• x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 − 3(x + y)(y + z)(z +
x).
•

x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz + (x + y + z)  x2 + y 2 + z 2 − (xy + yz + zx) .

•
•

(a − b)(b − c)(c − a) = ab2 + bc2 + ca2 − (a2b + b2c + c2a).
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc.
2

•

α
+

2

2

2

3
3
3
− ab − bc − ca)2(a
= + b + c ) − 6abc
⋅
a+b+c
(a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3 = 3(a − b)(b − c)(c − a).

(a
b) −

+
c)(b −

•
•

2
2

+
a)(c −

=
+b
+ 2(a
c

2

2α − β
(a − b)2 − (a2 + b2 )
2
−
=
⋅
(a b)
(a
và ab
b)
.(a
2
4
2

⑤ Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thức phụ
2

β +β
b
.ab)

=

2α +

+

2

+

-


Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn
Tốn
Các đánh giá cơ bản thường được sử dụng (không cần chứng minh lại)

a. ∀ x;
y; z
≥0
b. ∀ x;
y; z
≥0

c. ∀ x;
y; z
∈ℝ
d. ∀ x;
y; z
>0
e. ∀ x;
y; z
≥0

 suy ra → x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx.

suy ra → (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz.
suy ra → 3(x2 + y 2 + z 2 ) ≥ (x + y + z)2 .
suy ra → (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 3(x 2 y + y 2 z + z 2 x).
suy ra → (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx).


f. ∀ x; y; z ≥  suy ra → x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ xyz(x + y + z).
0
 suy ra → (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z).
g. ∀ x; y; z ≥
suy ra → 3(x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) ≥ (xy + yz + zx) 2 .
0
9
s
uy r
a
h. ∀ x; y; z ∈    → (x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ (x + y)(y + z)(z + x).
8

ℝ
Các bất đẳng thức phụ thường được sử dụng
i. ∀ x; y; z ∈
(chứng minh lại khi áp dụng)
ℝ
1
j. ∀
suy ra → x 3 + y 3 ≥ (x + y)3 .
x;
4
y≥
0
k. ∀ xy
≥1
s
1

uy
r
a
2
→

1

+

1+x

≥

vàs ∀uyxy
≤1
  ra→

1

1+x

2

1

+
2

2

≤

1+y

⋅
1 + xy

2

1 + y2
1 + xy
Suy ra:s ∀

xy
≥
1a  uy
r
→

1
2
+
≥
và ∀ xy ≤ 1 suy ra→
xy 1 + y 1 +
1+x

l. ∀ sx; uyy ≥
1

r
a →
m. ∀ x;
y ∈ 0;
1

1

1

s



1

+

1

+

1

≤

2

⋅

uy
r



a

1  x2


→
1  y2

n.
x, ∀y ≥ suy
0
r a  
−
x 1 →

+
x
y

>
1

1  xy
2

 

1
−
≥
1 −
2

 x

+y
1
y



⋅

Chứng minh các đánh giá cơ bản
a. Chứng minh:
∀ x; y; z ≥ 0

 suy ra → x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx.

x2 + y2 ≥ 2 x2 y2 = 2xy

= 2yz


z2
Cauchy: y2
 Áp dụngy2BĐT
+ z2 ≥ 2 z2 x2

2

⋅

1+x 1+y 1
+
xy

1
1

+
≥
⋅
(1 + x)2 (1 + y)2 1 + xy
1

≤


xy

⊕
D " = " khi
⇒ x2 + y2 ấ x = y = z.
2
+ z ≥ xy u
+ yz + zx.

2
2
z + x ≥
2

= 2zx

b. Chứng
minh: ∀ x;
y; z ≥ 0
suy ra →
(x + y)(y + z)

(z + x) ≥ 8xyz.
x + y ≥
2

nhân

⇒(x + y)
(y + z)(z +
x) ≥
= 8xyz.
Dấu " = "
khi x = y =
z.

Áp dụng
BĐT
Cauchy
y + z ≥
2



x2

d. Chứng minh: ∀ x; y; z > 0 suy ra → (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 ) ≥
3(x 2 y + y 2 z + z 2 x).
Ta có: (x + y + z)(x2 + y2 + z2 ) = (x3 + xy2 ) + (y3 + yz2 ) + (z3 + zx2 ) + x2
y + y2 z + z 2 x
 Áp dụng BĐT Cauchy cho từng dấu (…) ta được:
(x + y + z)(x2 + y2 + z2 ) ≥ 2x2 y + 2y 2 z + z2 x + x2 y + y 2 z + z2x = 3(x2 y +

y2 z + z2x). Dấu " = " khi x = y = z.
e. Chứng minh: ∀ x; y; z ≥ 0 suy ra → (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz +
zx).
Ta có: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) ≥ 3(xy + yz + zx).
Dấu " = " khi x = y = z.
f. Chứng minh: ∀ x; y; z ≥ 0 suy ra → x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 ≥
x2 y2 z2
yz + y + z).
 xyz(x
Đặt: a = xy; b = yz; c = zx thì bất đẳng thức cần chứng minh
tương đương với:

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca : luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy
(BĐT a.)
zx

c. Chứng minh:
∀ x; y; z ∈ ℝ
suy ra →
3(x2 + y 2 + z 2 )
≥ (x + y + z)2 .
Áp dụng BĐT
Cauchy –
Schwarz
dạng cộng
mẫu số, ta
được:
2
2
z

(x2 + y2 +
y
z2 )
x2 + y2 + z2 =
+
+
≥
⇒ 3(x2 + y2 +
z2 ) ≥ (x + y +
z)2 . Dấu " = "
khi x = y = z.
1
1
1
3


Dấu đẳng thức khi x = y hoặc y = z = 0 hoặc x =
=z
y=0

hoặc z = x = 0.
g. Chứng minh: ∀ x; y; z ≥ 0 suy ra →
(xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z).
Đặt: a = xy; b = yz; c = zx thì bất đẳng
thức cần chứng minh tương đương với:
(a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) : luôn đúng
theo BĐT e.
Dấu
hoặc y = z hoặc z = x = 0.

đẳng
= 0 hoặc
thức khi
x=y=0
x=y=z
h. Chứng minh: ∀ x; y; z ∈ ℝ suy
r
a → 3(x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) ≥ (xy + yz +
zx) 2 .
(xy)2 (
2
Cauchy −Schwarz
y (zx) 
z
)2
Ta có: 3(x2
y2 + y2 z2 +
z 2 x2 ) = 3 ⋅



+
+
1

≥
.

(xy + yz + zx)2



1
1 
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
i. Chứng
minh:
∀ x; y;
z ∈ℝ
Ta có:
(x + y)
(y + z)
(z + x)

1

+

suy ra → (x + y + z)(xy + yz
9
+ zx) ≤ (x + y)(y + z)(z + x).
8
Ca
uc
hy

x y zx = 8xyz.
≥ yz
. .
2

Mặt khác: (x + y + z)(xy + yz + zx) = xyz +
(x + y)(y + z)(z + x). Suy ra:
 
(x + y +
9
z)(xy +
1
(x +
+ (

y)(y
yz + zx) z)(z
x) = + x
≤
+
y
)(

y
+
z
)(
z
+
x
).
8
Dấu đẳng thức xảy ra khi: x = y = z.
Chứng minh

các bất
đẳng thức
phụ


j. Ch
suy ra → x 3 + y 3
ứn
1
g ≥ (x + y)3 .
4
mi
nh
: ∀
x;
y≥
0
Ta có: C  x +
(x +
x3 + a y  2
y)3
u
y3 = c (x +3 .(x + y) =
Dấu " = "
(x + h y)+ ⋅khi
x = y.
y)3 + y≥3.
3x.y(

x + y)

1 + y2 1 +


2

4

 1

1
Bất
đẳng thức
(1)
tương
đương
với: 
−
2
1
 + x 1 + xy 

xy
 1

1
≥0
+
−
1 + y2 1 + xy 



k. Ch
2
1 và
11
ứn
xy
xy − y2
2
x(y−−xx) +
y
(0x⇔
− y)
1
g
+
+
∀
⇔
≥
≤
2
+
mn ≥
xy ⋅
h:
≤ 1s
≥0

∀
uy
xy ≥
(1 + x2 )(1 + xy)
(1 +

r
1s
a
2
2
y )(1 + xy)
(1 + x )(1 + xy)
(1 +
uy
→
2

y
)(1
+
xy)
r
a
x(1 + y2 ) − y(1 + x2 )
→
1
1
(x − y) + xy(y− x)
1

1
y
−
x)
⋅
1
1
(
C
1
≥
0⇔
(y
)
h
⋅ − x)
ứ
n
≥
0
+
x+2(1
)y2
(1
g
)(1
+
xy)
m
in

(1
+ x2
)(1
2 +
y
)(1
h:
+ xy)
∀
x
y
≥
1
⇒
1

⇔

+
1
≥
2
1

(y − x)2
1
(1 +=
2
x )
(1 +

y2 )
(1 +
xy)

Chứng
minh: ∀xy
1
≤1⇒
1
+
2
≤

2

xy

(2)

1 + x2 1 + y2 1 +
xy

+
x

(xy − 1)
≥
∀ ≥
xy
1." = hoặc xy= 1.

Dấu
"y khi x

Ta làm tương tự và dấu đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi x = y hoặc xy = 1.
1
1
2
Suy ra: ∀xy ≥ 1 ⇒
+
≥
1
1
2
và ∀xy ≤ 1 ⇒
+
≤
⋅
1 + x xy1
1+x 1+y 1+
+
y
1
+


Mở rộng:
∀ x; y; z
≥ 1 thì
1

1
+
1
+
≥
3

(3)

1
+
x
2

1
+
y
2

1
+
z
2

1
+
x
y
z
Chứng minh: Ghép từng

cặp xoay vòng, cộng lại.
Dấu " = " khi và chỉ khi:
x = y = z = 1.


l. Chứng
minh: ∀ x; y ≥ 1
suy ra →

1

1

+

≥
2
+

T
a
c
ó
:
(1 + x)2

⇔
(y
−
x)2

(1
+
x)

1
(1 +⋅ x)2 (1 + y)2 1 + xy
1
1
2
 1 1
1
≥
⇔
−

1

 +

(1 + y)2 1 +
xy
1
+x

1+y

1 + xy − x − y
+ 1)(y − 1)
≥

−
≥

−

≥0

(1 + x)(1 + y)1 + xy

(y − x)2

⇔
∀

+

≥

(x

0
0 : đúng
x, y
1.
(1 + x)2 (1 + y)2 (1 + x)(1 + y)
(1 + xy)

(1 + x)(1
+ y)(1 +
xy)

2

(1
+
y)
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.
1

m. Ch ∀ x; y  s
ứn ∈  0;

g

1
uy
mi

r
nh:


+

1

≤

2

⋅

a

1  x2
1  y2

1  y2

→
1  xy

1
Ta. có:1 1. 1 ≤
12  12
1  x21  y2
+ 1.
1
1 + x2
+
≤
Mặt khác
∀x, y ∈(0;
1), thì
 
1
1
Thật

vậy:
(2)
− ⇔
2
2+
1+x
x
y





Cauchy −Schwarz

1

(1)
(2)

1
2

1 + x2 1 + y2 1 + xy
1

x
y
−
x

2

1


+
− 1 + y2

1 + xy 

xy − y2

+
≤ ≤00 ⇔
(1 + x2 )(1 + xy)(1 + y2 )
(1 + xy)



x(y − x)

⇔

+

y(x − y)

(y − x)2
⇔
≤ 0 ∀

xy 1.

≤
(xy − 1)

§ 2. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM
HAI BIẾN SỐ

≤
(1 + x2 )(1 + xy)
2
(1 + y )(1 + xy)
(1 + x2 )(1 + y2 )(1 + xy)

1
Từ (1), (2), suy ra:
1  1x2
1  y2
+
≤
2
, ∀x;
y ∈  0;1 . Dấu đẳng thức


I. Bài toán hai biến có tính đối xứng
VD 1. (CĐ – 2008) Cho hai số x, y thỏa mãn điều
1 kiện:
xy
x2 + y2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ


m
i
n



xảy ra khi: x = y.
n. C
h
ứ
n
g
m
i
n
h
:

∀
x,
y≥
0

x
+
y
>
1

s


u

y
r


a
→
1


P

2
 

− 1
−

1≥
2


 1




 x⋅
y
+
y

−


4 4 (
x
4
−1
−
≥
y
)

Ta 1 1 1
⇔ 1 − − ≥
có
: ⇔1 −4
B+ −
⇔
Đ
T

=

 

−
7

x

k
h
i
x
(x
≥
y)2−

=
y

2

xy
x
y
(x +
y)2
x+y

x
y
(
x

=

xy(
x+
y)

+

nhất
của biểu thức: P = 2(x + y ) − 3xy.
⋅
3
3
3

3

−
ĐS: 1

1
3

y
)

1
±

2

1

xy
(x +
y)2
x
y
x+y
⇔ (x − y)2 (1 − x − y) ≥ 0 :
đúng với mọi x + y < 1 và
dấu " = " khi và chỉ khi: x =
y.

∓
max P =

kh
; y=
i
x
=

2
2
2
VD 2. Cho
x, y thay đổi
hai số thực
thỏa mãn điều

x + y + 1 = 3xy. Tìm
dương
kiện:
giá trị lớn nhất
2
3x(y + 1) x
của biểu
y
+
thức: P =
y(x
3x
−
+ 1)
1


−

1

:
Đm
S

⋅

ax P = 1 khi
x = y = 1.

y2
VD 3. (D – 2009) Cho x, y ≥
0 thỏa mãn điều kiện: x + y =
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất


191
2
2

c
ủ2 +
a3y)
(4y
b
i2
ể
u
t
h
ứ
c
:
P
=
(
4
x

+
3x)
+
25
xy.
Đ
S:


k

mh
i i
nx
P=
=

;
y
4
4
⋅

=


1

2
2

VD 4.
thỏa:

Cho các số thực x, y 2x  3
5xy

+ 2y  3

= x + y. Tìm giá trị lớn nhất và giá
+ x2 + y2 +

5
2(x + 1)(y
P
+ 1).
mi
n
P
=
=
2
+
Đ 8
S
8
:

trị nhỏ nhất của:

3
3
kh ; y = −
2⋅
i 2
x
=



VD
5.
Cho

x, y là các số thực
dương thỏa mãn điều
kiện:

ma
xP=
34
khi
7x
= 1
;
y=



2

2
2x2 + 2y2 Tìm giá trị lớn
− xy = 1. nhất và

18
5
5

giá trị nhỏ
nhất của: P 4 + y4 )
+ 4x2 y2
= 7(x
2
.
5

; y =∓
min P

=
5
5
⋅
khi
x
=
ĐS: ±

max
P

70=
khi
xy
7 =
,
x2 +
2
y
20 =

VD
6.
Cho
+

x, y là các số thực
 33
33
thỏa mãn điều kiện:
33

x44 +
y + x2 − xy Tìm giá trị lớn nhất và
1
giá trị nhỏ
+ y2 = 1. 11
ĐS: min P = và max P
= 6 − 2 6.
1
5

nhất của biểu thức: P
=
⋅
x2 y2 + 1
VD 7. (B
– 2011)
Cho

a, thay đổi thỏa
b > mãn điều kiện:
0
 a3
b3 
b
2

2
a
nhỏ nhất
+

của: P = 4
−
9

⋅
+

b

3

a3 
2
b

a

2

2(a2 + b2 ) + ab Tìm giá
trị
= (a + b)(ab +
2).
23

a = 2, b = 1

ĐS: min P = −

4

khi 
⋅

a = 1, b = 2


VD 8. (HSG

Tĩnh – 2014)
số thực dương
thỏa: x + y + 2
+
y
 x2 y2

y − 1 
– Hà
Cho các
x, y
⋅ Hãy
=3
tìm

x 
3  2596

giá
trị
nhỏ
nhất
của:
P
=
(x
2 −
y)

+

−⋅

 y4 x4 y
x




x
=
1

ĐS:
min
P
=
khi

81




II. Bài tốn hai biến có
tính đẳng cấp


x
=
3

ho
ặc
⋅
y
=
1

VD 11. Cho các số thực x và y 4x2 + 2xy + y2 = 3. Tìm giá
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P = x2 + 2xy
− y2 .

ĐS: min P = −2 và max P =

1
⋅
3
VD 12. (D – 2013) Cho các số thực
xy ≤ Hãy tìm giá
dương x và y thay đổi thỏa điều kiện: y − trị
x+y
x5 − 2y
1
1.
7
lớn nhất của: P =
ĐS: max P = ; y = 2.
−

⋅
+
x − xy + 3y
2

2

6(
x+
y)

khi x =
3 30

2

VD 9. Cho các số thực dương
VD 13. Cho x và y là
2y2 (11x2 + 1) = 8x4 + 6y4 + 1.
x và y thay đổi và thỏa mãn
các số thực dương thỏa: Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
điều kiện: x2 + y2 ≠ 0. Tìm giá
x
1
2 1
trị lớn nhất
⋅
ĐS:
; y = 1.
của

2
min P =
2
max
(x2
y2 )(y  4x2  y2 ) biểu
và giá
khi
x
=
=
P
1
trị
+
thức
5
nhỏ
khi x
nhất
:
P
=
= 0; y
của:
P=
∈ ℝ∗
⋅
xy dương.
x4  9x2 y2x

ĐS: 
VD 14. Cho x và y là các số thực
⋅
3
⋅
2
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
8y
2
min

+
P=
−0, 5
khi x
3 2
= −y ≠
ĐS: max
2
0
4
VD 10. (B – 2008) Cho hai
P=
số thực x và y thay đổi thỏa
mãn hệ thức: x2 + y2 = 1. Tìm
khi x = 6
giá trị lớn nhất
2(
và y = 1.

 x
và giá
3
trị
+
VD 15. Cho hai số thực dương x và
nhỏ
ĐS:
max
x + y ≤ 2. Hãy tìm giá
nhất
y thay đổi thỏa mãn điều kiện:
P
=
3
khi
 2

của:
2
trị lớn nhất
x⋅ + y =
P=

⋅
1
4
của biểu
1
2

ĐS: max P = 8 khi x = ; y
x
+
thức: P = 7(x
2
2xy +
= ⋅
+ 2y) − 4
2
8y .
3
3


III. Bài tốn có hai biến mà cần đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau
VD 16. (D – 2012) Cho các số thực dương x và y thỏa: (x − 4)2 + (y − 4)2 + 2xy ≤ 32. Hãy
tìm giá trị nhỏ
nhất của: P = x3 + y3 + 3(xy − 1)(x +
y − 2).

+
khi x = y =1
⋅
4
4
VD 17. Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x, y > 1. Hãy tìm giá trị lớn
nhất của biểu
x3 + y3 − x2 − y2
thức: P =
⋅

ĐS: min P = khi x = y = 2.
(x − 1)(y − 1)
8
VD 18. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn
xy ≤ Hãy tìm giá trị nhỏ
điều kiện:
nhất
4.
5
5
2
2 3
của biểu thức: P =
+
+
⋅
ĐS: min P = khi x = ± 1, y = ∓ 1.
13
ĐS: min P=

17 5− 5

2
8
x4 y4 (x − y)
VD 19. Cho hai số thực dương a, b khác nhau và thỏa mãn điều kiện: a2 + 2b = 12. Tìm giá
trị nhỏ nhất
4
của biểu thức: P =
ĐS: min P = khi a = 2; b = 4.

5
4
+
⋅
27
+

a4

b4

8(a − b)2

64

VD 20. (B – 2006) Cho x, y ∈ ℝ. Tìm giá trị nhỏ nhất: P =
+
+ y−2.
x2  y2  2x  1 x2  y2  2x  1
3
ĐS: min P = 2 3+ khi x = 0, y =
⋅
3
VD 21. Cho hai số thực dương x và y thay
đổi thỏa:

biểu
thức:

P=

3x + 1
1

x; y ≤
3
5

3y +
+

và 6xy = x + y. Tìm giá trị nhỏ nhất
của

+ (3x + y)(3y + x).

34
ĐS: min P =

9y2 + 1 9x2 + 1
VD 22. Cho các số dương x và y thay đổi thỏa mãn
điều kiện:

9

1
khi x = y =

⋅

3

x + y + xy = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất
của

 x + 1 3  y + 1 3
2
2
biểu thức: P = 4 ⋅   + 4 ⋅ 
 + x + y ĐS: min P = 64 2+ khi x = y = 1.
.
 x 
 y 
VD 23. (D – 2014) Cho hai số thực dương thay đổi x và y thỏa: 1 ≤ x; y ≤ 2. Tìm giá trị
nhỏ nhất của:
x + 2y
y + 2x
1
7
P=
+
+
⋅
ĐS: min P = khi x = 1, y = 2.
x2 + 3y + 5 y2 + 3x + 5 4(x + y − 1)
8
VD 24. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn
2x2 + 2y2 + 1 / xy = 5. Tìm giá
điều kiện:
trị

3
3
32
1
lớn nhất của: P =
+
−
ĐS: max P =
khi x = y = ⋅
4
⋅
15
2
1 + x2 1 + y2 1 +
2xy
1
2
2
VD 25. Cho a, b > 0, thỏa: 2ab + 2 = a4 + 16b4 +
⋅ Tìm giá trị lớn nhất: P =
+
3
−
?


1 + 4ab
1+
4b2
VD 26. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa điều kiện: x4 + y4 + 4 = 6 / xy. Tìm giá

trị nhỏ nhất
3 − 2xy
1
1
của biểu thức: P =
+
+
⋅
ĐS: min P = 1 khi x = y = 1.
1 + 2x 1 + 2y 5 − x2 − y2
VD 27.
x, y
x, y > thỏa
và (x3 + y3 )(x + y) − xy(x − 1)(y − Tìm giá trị lớn
Cho
mãn:
nhất
∈(0;1)
0
1) = 0.
1 + a2

2ab

1
1
của: P =
+
+ xy − (x + y)2
1  x2

1  y2
.

ĐS: max P 6
1
=
10

1
+ khi x = y = ⋅
3
9

VD 28. Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa
điều kiện:
của: P =
2

 a2 + 1

+

b2 + 1 
+

a+b

⋅

a2 + b2 + a + b = 4. Tìm giá trị nhỏ

nhất
2
ĐS: min P = 4 +5 khi a = b = 1.

2
2
 a + a b + b  (a  b)2  1

5

VD 29. Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa
điều kiện:
a +1 b +1
ab
nhất của: P =
+
−
⋅
2
2
2a + 1 2b + 1 a + b − 1

a4 + b4 + 4 =

6

⋅ Hãy tìm giá trị

nhỏ
1

ab

ĐS: min P = khi a = b = 1.
3


BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Tìm giá trị lớn nhất và giá

BT 1. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x2 +
y2 = x + y.

=

+ (y +

+

⋅

3

3

=

2

trị
nhỏ
=
nhất
của:
P=
x +
y +
x y
+y
x.

xy


mi
n
P
=
0
kh
ix
=
y
=
0

ĐS: 
⋅
xma

P
4
khi
x
y
1

BT 2. Cho các x2 + y2 = 1.
số thực x và y
Tìm giá trị
thay đổi thỏa
2
nhỏ nhất
mãn điều kiện:
của biểu

t1 
Đ khi x
h
S:
ứ1 
y=
c 
m =
1
: 1)
in
⋅
P 
P

1
= 
=
4
(
+
x
3
+
1
)

2

xy

2

x
,
B y
T
3.
>
C
0
h
o

1


1
+
x
y 

t(
−
hx
2xy)
ỏy
=
a
7(x2
+
:
+ y2 )
1
−
)
2xy
(
− 2.
9

1

Tìm giá trị
lớn nhất

và giá trị
nhỏ


m
i
n
P
=



2

4
khi x
=y=
1x  y
nhất của: P = xy +

x = y =


9xy


=y=


1

+
y

n
h
ấ
t
c
ủ
a
:
P
=
1

⋅

khi 

+
+
⋅
ĐS:
xy  xy 27
max P =

2

4

x

−


2
BT 4. Cho các số thực x và y
thỏa mãn điều kiện:

x ≥ 1, y ≥ 1 và 4xy = 3(x + y). Tìm BT
giá trị lớn nhất
8.
65
3
(A –
3
3
khi x = y =
3
3
và
giá
trị
nhỏ
nhất
của:
P
=
x
+

y
−
−
200

⋅

ĐS:
12
2
6)
⋅
Cho

ĐS:
⋅

3

3
−
2

5

min P
khi x =

khi x =
4, y =

0
2

x, y là các số thực H
khác 0 và thỏa
ãy
mãn điều kiện: (x
+ y).xy = x2 + y2 −
xy.
tìm giá trị lớn nhất

2

x


m

2

y

ax
P=
74

của biểu thức: P =
1
⋅

x
=
1,
=
3 y
khi


x 3, y 1

1

+

= ĐS:
= max P = 16 khi x
1
=y= ⋅
x3


3
BT 5. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy + x2 BT 9. Cho
các số không
+ y2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá
âm x và y
4
min P = 5 khi x = y = 1
thay đổi
4

thỏa:
trị nhỏ nhất
của: P = x +
y

3

+



⋅
Đ
max
P
=
33
khi
x
=
y
=
±
S
:


3

n

−
h
ấ
tc
⋅
ủ
a
:P
=
x
+
y

BT 6. Cho các số thực x và y thay x, y ≥ x + y + xy = 8. Tìm giá
đổi thỏa mãn điều kiện:
1 và trị lớn
nhất
của: và
P =giá
x2 +trị
y2nhỏ
+ x2nhất
y2 .

min P = 24 khi x =
yĐS:
=2
⋅
max P =

2

32 3
3 y




51
7

x
y

y
x
x

y3
2

x + y + xy = 3.
Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị
nhỏ
 khi x = y
P= 1
ĐS: 
2
⋅


 m
ax P
=0
khi
x=
0, y
=3

x2 =

,= y
21
BT 7. Cho các số thực x và y thỏa: x +y 
y 1= + 2x  4
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

+ 1. Hãy tìm

5 xy
BT 10. Cho các số thực
dương x, y. Hãy tìm giá trị
lớn nhất của: P =
+
+
⋅

x42 + y24
x +y

(x +
y)4
(x +
y)2
x+y
ĐS: max P =
BT 11. Cho các số thực x và y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
x2 y − 4y3
nhất và giá trị nhỏ nhất
của: P =
⋅
x + 8y

7

khi x = y.
2
xy ≥ x + y Hãy tìm giá trị
0 và > 0. lớn

min P = −0, 5 khi x = 0, y
>
0
ĐS: 
⋅
1
khi x = 4y

 max P =
6



BT 12. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn
điều kiện:

x2 + 3y2 + 1 = y(3x
+ 2).

Tìm giá trị
x + 2y
2x2 + xy
+
8y2

n
h
ỏ
n
h
ất
c
ủ
a
bi
ể
u
th

ứ
c:
P
=
−
⋅
2
x
y
+
y

x2 +
2y2

2

BT 13. ỏa
x2
C mãn
−
h điều
xy
+
o kiện:
y2
nhỏ
=
x nhất
2.

của
v biểu
à thức:
P
y+
−
l y
à
c
á
c
s
ố
t
h
ự
c
t
h


Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
Đáp số:
min P = khi
x=±
−16

7

, y

và

khi x = ±5

max P ⋅
8
7
=
2
3
BT 14. Cho x và y là các số thực
x2 + 3y2 −
thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy ≤ 2 và
lớn nhất của biểu thức: P = x2

; y=±

= ±3
2

3  y2
2
2
1

y ≠ 0. Tìm
giá trị

+ xy + 2y2.

x(4x2 + 3) + y(4y2 + 3)
xy giá trị nhỏ nhất của
BT 15. Cho x, y > 0. Tìm
biểu thức: P =
⋅

x
+
y
+
4
x
y

Đáp số: min P = 2 khi x = y = 0, 5.
BT 16. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn
2
điều kiện: 3xy + 3 = x4 + y4 +
⋅ Hãy tìm giá
xy
20
trị lớn nhất của biểu
ĐS: max P =
⋅ khi x = y
thức: P =
= 2.
3
16
+ x2 y2 .

x2 + y2 + 2

BT 17. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn
điều kiện: x2y + y2x = x + y + 3xy. Tìm giá trị
(1 + 2xy)2 − 3
nhỏ nhất của: P = x2 + y2 +
⋅
ĐS: min P = khi x
= y = 2.
2xy
BT 18. Cho các số thực dương x và y x + 2y − Tìm giá
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
xy = 0. trị nhỏ
x2
y2
nhất của biểu thức: P =
+
⋅
ĐS: min P = khi x =
4, y = 2.
4 + 8y 1 + x
BT 19. Cho các số thực x và y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:

x+
y=

Hãy tìm
+

2y giá trị
+ 2.

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + y2 + 2(x + 1)(y +
1) + 8 4 − x − y.
Đáp số: min P = 18 khi x = 1, y = −1 và max P = 25
khi x = 2, y = 1.

BT 20.
2
Tì x 2+
Cho các =
2y −
m
số thực 3
gi
.
2x và y
á
thay
21
trị
đổi
lớ
thỏa
n
mãn
điều
kiện: x
+y

nh
ất
củ
a:
P
+
+
y
−
12(
x
1)
(
1).
BT
21.
Cho
các
số
thực
x và
y
thay
đổi
thỏa
mãn
điều
kiện:

khi

ĐS
:x=y
m 3
= ⋅
ax
2
P
=
10

(x2 +
y2 +
1)2 +
3x2y2
+1=
4x2 +
5y2.

gi
á
tr
ị
lớ
n
n
h
ấ
t
v
à

x1
gi
á
tr
ị
n
h
ỏ
n
h
ấ
t
3  x2 c
ủ
a

2
3x
y2
⋅ +2
x
y2 + 1

Đáp
k
sốh
i 1
min
x 1
=


x=
0
y;
y
và

max
=
=±
3 2
.

x
y
B ều
+
T kiện:
=
2 3 −x
2
+
.
−y
C
+
T
h
2
ì

o
.
m
c
á
c
s
ố
t
h
ự
c
d
ư
ơ
n
biểu g
thức: x
P
v
à
y
t
h
a
y
đ
ổ
i
t

h
ỏ
a
m
ã
n
đ
i


Tìm
 x4

y4

y

 1

x

x

y

+
1
2
− 3xy  −  ⋅

giá trị nhỏ nhất
2
của biểu thức: P
=
2
 y x 
y x
BT 23. Cho các số thực dương x và
5(x + y)(xy + 3) =
y thay đổi thỏa mãn điều kiện:
6(x2 + y2 ) + 20xy.
 y2 
Tìm giá trị nhỏ nhất  y4  3 y3 
của biểu thức: P = 9 
x
x2 +
x2  −
+  4  25
+ 3 
16
 x  3 x  2
y
Đáp số:
min P =
14156
27

y

khi a = 1, b = 3 hoặc a = 3, b = 1.

+

⋅


BT 24. Cho các số thực a và b thay đổi thỏa mãn điều kiện: (a2 + 2b2 )2 + 3a2b2 = 2(a2 + b2 )(a2 +
2b2 ). Tìm
a3 + b3
2
2
2 
2
2
2 


8b
3
 (a + b) + 2a + 5b  ⋅ (a − b) + 2a + 5b 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

3

b
a3
khi a = b = c = 1.
Đáp số: min P =
97
3

+

+

ab(a2 + b2 )

⋅


BT 25. Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn
x2 + 4y2 + 4xy ≤ x + 2y + 2. Tìm giá trị lớn
điều kiện:
nhất của biểu thức: P = 4x + 8y +
ĐS: max P = khi x = 1; y = 0, 5.
6xy + 1.
12
BT 26. Cho hai số thực x và y thỏa mãn điều kiện: xx +2y = 2y  1 +
nhất, giá

+ 1. Tìm giá trị lớn

y
 xy
(x − y) + (y2(1
− x)
+ xy) ⋅
2
3x2 + 8y3 x= y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
20.

BT 27. Cho x, y là hai số thực dương thay
đổi thỏa:
trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
2

P=

4

+

4

+

1

x

ĐS: min P = khi x = 2, y = 1.
6

⋅

2
x2 y2 (x − y)
BT 28. (B – 2009) Cho các
số thực

x, y thay đổi

thỏa:

(x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
2.

thức: P = 3(x4 + y4 + x2y2 ) − 2(x2 + y2
ĐS: min P = 9 khi x = y = 1 ⋅
16
2
) + 1.
BT 29. Cho x và y là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn 4(x2 + y2 + xy) ≤ 1 + 2(x + y).
điều kiện:
xy
1
Tìm giá trị lớn nhất của: P =
ĐS: min P = khi x = y = ⋅
− x2 −
xy +
3
2
y2.
4



1
1 x  1 −  y  1 − = 4. Tìm
BT 30. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện:

giá trị

+
y 
x

nhỏ nhất của: P =
xy +

1  x2  1  y2 .

ĐS: min P = 9
+2

10

khi x = y = 3.

BT 31. Cho x và y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện:x x2+ y = y  2014
Tìm
+
2
+3
2012.
2015  2xy x  y  1
2
2
giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: P = (x − 1) + (y − 1) +
⋅
xy1
2015

x =
−2
Đáp số: min P = 4044122 + khi 
2013
y=
2014

và max P = 4096577 +
2026

BT 32. Cho hai số thực dương x và y thay
đổi thỏa:
(x + 1)2 2+ 3(2xy + 1) +
(3y + 1)
biểu thức: P
⋅
x + 3y +
1
=

⋅
4 t = x+ 3y + 1
t∈ 1− 2;1+ 2
HD: f (t) = t +

BT 33. Cho x và y thỏa mãn điều x + 16y + (2xy + 1)
kiện:
= 2.
nhất của biểu thức: P = x(x2 + 3) +
2y(4y2 + 3).

khi 
⋅
y
=
2023


x2 + 9y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

,
4

x = 2

2015

4

t
2









Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

HD: Bài toán đối xứng theo x, 2y.
3

x3

y3

2


BT 34. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 3 + =
+
Tìm giá trị
xy y x x2y2
16
lớn nhất của biểu thức: P =
+ x2 y2
ĐS: min P = khi x = y = 2.
20
.
2
2
x +y +2
3
BT 35. Cho x, y
thỏa: x + y + xy = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = 4y + 2xy
>0
x+

4x
−
+
1
y +1
Đáp số: min P = 6 khi x = y = 1.

+

⋅

7 − 3xy.

BT 36. Cho các số thực dương x và y thỏa mãn điều kiện: x2 − xy + y2 = (x + y)(xy + 1). Tìm giá
trị nhỏ
x + y 4(xy − 1)2  y 2
nhất của: P = (x2 + y2 ) ⋅ +
+ 
ĐS: min P = 55.
⋅
3(x +
xy2
x
y)


§ 3. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM BA BIẾN SỐ

I. Ba biến đối xứng
1. Đặt ẩn phụ trực tiếp

VD 30.
Cho

x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
điều kiện:

ĐS:

biểu thức: P = 2xy + 2yz + 2zx +
1
x+y+z
VD 31. Cho các số thực
dương
2

2

biểu
+ y thức: P = x

x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn nhất
của
1.

⋅

max P = 2 +
3

khi x = y = z =

3
3

⋅

3

x, y, z thỏa mãn điều
kiện:
xy + yz + zx
2
+z +
⋅
x2 + y2 + z2 +
3

x + y + z = 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của
7
ĐS: min P = khi x = y = z = 1.
2

VD 32.
Cho

x, y, z là các số thực thỏa mãn điều x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ nhất của
kiện:
biểu
1.

8
2
thức: P = (xy + yz + 2zx)2 −
⋅
, y = 0.
ĐS: min P = khi x = −z = ±
2
(x + y + z) − xy − yz
2
3
+2
2
2
2
1 − 16xyz

VD
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
điều33.
kiện:

4

=x +
y

+z
. Tìm giá trị lớn
nhất

1
1
3
ĐS: max P = khi x = y = z = ⋅
28
4

4xyz  3 3 xyz
của biểu thức: P =
⋅
2
2
2
1 + 4(x + y + z )
VD 34. Cho các số thực
dương

x, y, z thỏa mãn điều
x2 + y2 + z2 + 2xyz Hãy tìm giá trị
kiện:
nhỏ
= 1.
1
nhất của biểu thức: P =
+ x (1  y2 )(1  z2(1) +z2
y )(1  x2 )  z (1  x2 )(1  y2 ).
x2 + y2 + z2
ĐS: max P = 2 khi x = y = z.

2. Đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau

VD 35. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
điều kiện:
2

2

z2

1
1

x+y+z≤

3

của
2

1

x y
biểu thức: P = +
+ + + + ⋅
y
z
x x y z
VD 36. Cho các số thực
x, y, z thỏa điều
dương
kiện:

thức: P = 8 3 xyz +

⋅
x3  y3  z3
3
x, y, z là các số thực dương
thỏa:

⋅ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất

15

1

ĐS: min P = khi x = y = z = ⋅
2
2
x + y + z = 3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của
biểu
ĐS: max P = 9 khi x = y = z = 1.

3

VD 37.
Cho

P = (x + y + z)2
1  x3 + y3 + z3
−
+



x2 + y2 + z2 = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
1


⋅

ĐS: min P = khi x = y = z =
4

1

⋅


2

xyz

xy + yz + zx 

3

VD 38. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa: x ≥ y ≥ z và x2 + y2 + z2 = 5. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu
thức: P = (x − y)(y − z)(x − z)(xy + yz + zx).
ĐS: max P = 4 khi x = 2; y = 1; z = 0.
VD 39. Cho x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:
P = 3(x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 ) + 3(xy + yz + zx) + x2 + y2 + z2 . ĐS: min P = 1 khi (x; y; z) =
(1; 0; 0).
VD 40. (B – 2010) Cho a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 1. Hãy tìm giá trị
nhỏ nhất của:
P = 3(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) + 3(ab + bc + a2 + b2 +
ca) + 2
c2 .
VD 41. Cho các số thực
dương
2

biểu
+ y thức: P = x

2

x, y, z thỏa mãn điều
kiện:
xy + yz + zx
2
+z +
⋅
2
x y + y2z + z2
x

ĐS: min P = khi (a; b; c) = (1; 0; 0).
2
x + y + z = 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất

của
ĐS:
min P = khi x = y = z = 1.
4