PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.

Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.
1. Phương trình: sin x  a .
| a | 1 (hay a �[  1;1] )
+ Nếu
thì phương trình vơ nghiệm
| a |�1 (hay 1 �a �1 )
+ Nếu
sin x  a
Khi đó:
� sin x  sin 
x
  k2
�
� �
x      k2
�
VD 01. Giải các phương trình lượng giác sau:

1
c) sin x   ;
2
e) sin x  

1
;
2
2

d) sin x 
;
2
3
f) sin x 
;
2
b) sin x 

a) sin x  0 ;

2
;
2

h) sin x  1 ;

i) sin x  1 ;

g) sin x  

3
;
2

2
j) sin x   ;
3

Lưu ý:

� 1
�
2
3
0;
�
;
�
;
�
;
�
1
(1). Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt �
�
� 2
�thì ta sử dụng hàm ngược của
2
2
�
�
hàm sin (arcsin) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:
sin x  a
x
arcsin a  k2
�
� �
x    arcsin a  k2
�
(2). Các trường hợp đặc biệt:

sin  �1 � cos x  0 �

sin x  0 � x  k


 k2
2
2. Phương trình: cos x  a .
| a | 1 (hay a �[  1;1] )
+ Nếu
thì phương trình vơ nghiệm
| a |�1 (hay 1 �a �1 )
+ Nếu
cos x  a
Khi đó:
� cos x  cos 
x    k2
�
� �
x    k2
�
VD 02. Giải các phương trình lượng giác sau:
sin x  1 �

a) cos x  0 ;
1
c) cos x   ;
2

1

;
2
2
d) cos x 
;
2
b) cos x 

Trang 5


sin x  1 � x    k2
2

x


 k
2


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
e) cos x 

3
;
2

h) cos x  1 ;

3
;
2
1
i) cos x   ;
4
f) cos x  

g) cos x  1 ;
j) cos x  2 ;

Lưu ý:
� 1
�
2
3
0;
�
;
�
;
�
;
�
1
(1). Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt �
�
� 2

�thì ta sử dụng hàm ngược của
2
2
�
�
hàm cos (arccos) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:
cos x  a
x  arccos a  k2
�
� �
x   arccos a  k2
�
(2). Các trường hợp đặc biệt:

cos x  �1 � sin x  0 � x  k
cos x  0 � x   k
2
cos x  1 � x  k2
cos x  1 � x    k2
� 
�
tan x  a , �x �  k �
3. Phương trình:
� 2
�
tan x  a
� tan x  tan 
� x    k
VD 03. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) tan x  0 ;

b) tan x  1 ;
c) tan x  3 ;
d) tan x 

3
;
3

e) tan x  1 ;

f) tan x  1, 6 ;

�
�
3
0;
�
;
�
1;
�
3
Lưu ý: Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt �
�
� 3
�thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan
�
�
(arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:
tan x  a

� x  arctan a  k
cot x  a , (x �k)
cot x  a
� cot x  cot 
� x    k
VD 04. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) cot x  0 ;
b) cot x  1 ;
4. Phương trình:

c) cot x  3 ;
6
f) cot x   ;
5

3
;
3
�
�
3
0;
�
;
�
1;
�
3
Lưu ý: Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt �
�

� 3
�thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan
�
�
d) cot x  1 ;

e) cot x 

(arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:
cot x  a
� x  arcot a  k
5. Mở rộng:
Mở rộng 1. Sử dụng MTBT để giải phương trình lượng giác:
VD 05. Giải các phương trình sau:
a) 2sin x  1  0
b) 2 cos x  2  0
Trang 6

c) tan 2 x  3


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Mở rộng 2. (Cung chứa bội):
VD 06. Giải các phương trình sau:
a) 3sin 2x  2  0
Mở rộng 3. (Cung chứa tổng):
VD 07. Giải các phương trình sau:
2

a) sin(x  45o )  
2

b) cos 3x  

2
2

c) cot

e) cot 4x  cot

3
2
1
o
f) cot(2x 10 ) 
3
1
2
i) cos 2x 
4

a) tan(3x  1)  1 ;

b) cot 3x  3 ;

1
c) sin(2x  1)   ;
2

1
d) cos 2x  ;
3

e) cos 2x  1 ;

f) sin 2x  1 ;

g) cos(2x  1)  cos(2x  1) ;

h) tan 3x  tan x ;

b) cos(x  60o ) 

2
2

x
 2
3

c) cos(x  300 ) 

2
7
�
�
�
�

2x  � sin �  x �
g) cos 3x  cos12o
h) sin �
5�
�
�5
�
Mở rộng 4. Phương trình tích (đơn giản):
A0
�
A.B = 0 � �
B0
�
VD 08. Giải các phương trình sau:
a) cos 2x.tan x  0
b) sin 3x.cot x  0
c) tan 3x. tan x  1
2
d) sin x.cos x  cos x  0
e) 2sin x  3sin x  1  0
f) (cos 2x  cos x).(sin x  sin 3x)  0
d) tan(3x  15o )  3

BÀI TẬP
1) Giải các phương trình:

�
�
� �
x  �;

j) tan x  tan �  2x �;
k) cot 2x  cot �
� 4�
�4
�
2) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm
a) 3sin x  m  1  0 ;
b) 4 cos 2 x  m  3 ;
3) Giải các phương trình:
3 �
�
�
�
�
�
�
�
2x  � sin �  x �;
2x  � cos �  x �;
a) cos �
b) sin �
4 �
3�
�
�2
�
�
�3
�




�
�
�
�
�
�
4x  � sin �x  �
d) sin �x  � sin 2x  0 ;
e) cos �
;
3�
� 3�
�
� 5�
2x  1
1
� 5 �
 tan ;
g) cos �x  � sin x ;
h) cot
6
3
� 4 �
j) sin x  cos 3x  0 ;
k) tan 3x  tan x  0 ;
4) Giải các phương trình:
a) sin x  cos x  1 ;
b) cos 3x.cos 2x  cos 5x ;

d) sin 2x  cos 2x  2 ;
e) sin 2x.sin 3x  cos 2x.cos 3x
5) Giải các phương trình:
1 1
�
2�
a) sin x  
b) tan �x  � 3
2 2
� 6�
�
�
d) cot �  x � 1
e) sin(x 2  4x)  0
4
�
�
Trang 7

� 1
�
2x  �  ;
i) cos �
3� 2
�
� �
� �
3x  � cos �x  �
l) cos �
� 3�

� 5�
c) 2m sin x  1  3m .
� �
c) cos 3x   cos �x  �
� 3�
�
�
2x  �
f) sin 3x   sin �
;
3�
�
i) sin x  cos x  0 ;
l) tan x  cot x  0 .
c) sin 4x.cos x  sin 3x  0 ;
f) cos 2x.cos 5x  cos 7x
�
�
4x  � 1  0
c) 2sin �
3�
�
� �
2
f) sin(x  x)  sin �x  �
� 3�


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
g) tan(x 2  2x  3)  tan 2

h) cos(x2  1)  0

i) cos(x 2  x)  cos(x  1)
� � � �
�2 �
.cos �x  � cos � �
k) cos �x  �
� 5� � 5�
�5 �

j) cos 3x  4cos 2x  3cos x  4  0

Đừng bi quan khi mình khơng lối thốt,
Đừng chán nản khi dồn dập khó khăn,
Đừng thờ ơ khi mình mang tủi nhục,
Cố gắng kiên trì tất cả sẽ thành cơng.

.
(KIỂM TRA PHẦN I)

II/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
1. Phương trình đại số hóa đơn giản:
a) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a sin 2 x  b sin x  c  0 , …
Phương pháp:
+ Đặt t  sin x (hay cos x, tan x, cot x) .
Khi đó ta được một phương trình bậc 2 theo t: at 2  bt  c  0 .
+ Giải phương trình bậc 2 theo t.

+ Với mỗi giá trị của t ta tìm nghiệm x.
Lưu ý:
Điều kiện của t khi đặt t  sin x (hay cos x) là | t |�1 .
VD 10. Giải các phương trình sau:
a) 2sin 2 x  5sin x  3  0 ;

b) cos 2x  3cos x  4  0 ;
x
d) cos2x  3sin x  2 ;
e) cos x  cos  1  0 ;
2
b) Phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác:
Phương pháp:
+ Biến đổi để đưa về dạng phương trình đại số đơn giản.
+ Đặt ẩn t theo mỗi hàm số lượng giác.
+ Giải và kiểm tra lại nghiệm.
VD 11. Giải các phương trình sau:
a) 4sin 3 x  4sin 2 x  3  3sin x ; b) sin 3x  1  2sin 2 x ;
d) tan 3 x  tan 2 x  tan x  3  0 ;

e) tan 3 x  tan x  0 ;

2. Phương trình lượng giác cổ điển:
a) Phương trình bậc nhất đối với sin và cos: a sin x  b cos x  c .
Phương pháp:
+ Thử xem phương trình có nghiệm hay không, bằng cách:
Nếu a 2  b 2 �c 2
phương trình có nghiệm
2
2

2
Nếu a  b  c
phương trình vơ nghiệm
2
+ Chia 2 vế của phương trình cho a  b 2 , ta được:
a
b
c
sin x 
cos x 
a 2  b2
a 2  b2
a 2  b2

Trang 8

c) 2cos 2 x  7sin x  5  0 ;
1
 3 tan x  1  0 .
f)
cos 2 x

c) 1 + sin3x – sinx = cos2x;
1
�
�
3
 3cot �  x � 4
f) tan x 
2

cos x
�2
�


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
+ Đặt sin  

a

thì cos  

b

.
a 2  b2
a 2  b2
Sau đó áp dụng cơng thức cộng để đưa về phương trình lượng giác cơ bản:
c
sin  sin x  cos  cos x 
2
a  b2
c
� cos(x  )  2
(*)
a  b2
+ Giải phương trình (*).
VD 12. Giải các phương trình sau:

a) cos x  sin x  1 ;
b) 4 cos 2x  3sin 2x  5 ;
c) cos 2x  sin 2x  2 ;
d) cos x  3 sin x  1  0
e) cos 3x  1  sin 3x ;
f) sin 3x  3 cos 3x  2
b) Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng: a(sin x �cos x)  b sin x.cos x  c  0 .
Phương pháp:
t 2 1
+ Đặt t  sin x  cos x,| t |� 2 . Khi đó: sin x.cos x 
, sin 2x  t 2  1
2
2
�
�
t 1
: sin x.cos x  
,sin 2x  (t 2  1) �
�t  sin x  cos x,| t |� 2. Khi đó
2
�
�
� t2 1 �
�
+ Phương trình có dạng at  b �
� c  0 (dạng phương trình bậc 2 theo t)
� 2 �
+ Giải phương trình được nghiệm t.
+ Với mỗi giá trị của t ta đi tìm giá trị của x.
� �

� �
� �
� �
x �
x  �.
Lưu ý: sin x  cos x  2 sin �x  � 2 cos �
, sin x  cos x  2 sin �x  �  2 cos �
� 4�
� 4�
� 4�
� 4�
VD 13. Giải các phương trình sau:
a) 2(sin x  cos x)  sin 2x  5  0 ;
b) 2(sin x  cos x)  sin 2x  1  0 ;
c) sin 2x  2 2(sin x  cos x)  5  0 ;
d) 2(sin x  cos x)  3sin x cos x  1  0
c) Phương trình lượng giác đẳng cấp: a sin 2 x  b sin x.cos x  c cos 2 x  d .
Phương pháp:
Cách 1: + Xét cos x  0 thì sin 2 x  1 . Phương trình trở thành: a  d (*)
Nếu (*) đúng thì cos x  0 là nghiệm của phương trình.
Nếu (*) sai thì cos x  0 không phải là nghiệm của phương trình.
+ Xét cos x �0 , chia 2 vế của phương trình cho cos2 x , ta được phương trình bậc 2
theo tan x .
(Lưu ý: Ta có thể xét sin x thay cho việc xét cos x ).
1
1
1  tan 2 x 
1  cot 2 x 
.
2 ,

cos x
sin 2 x
Cách 2: + Biến đổi với các công thức:
1  cos 2x
1  cos 2x
sin 2x
2
sin 2 x 
, cos x 
, sin x cos x 
.
2
2
2
Khi đó phương trình trở thành dạng “phương trình bậc nhất đối với sin và cos ”.
+ Giải phương trình mới ta được nghiệm cần tìm.
VD 14. Giải các phương trình sau:
a) 2 cos 2 x  sin x cos x  2sin 2 x  1  0 ;
b) sin 2 x  sin 2x  cos 2 x  1  0 ;
c) cos 2 x  2sin x cos x  sin 2 x  0 ;
d) sin 2 x  3sin x cos x  1 .

Trang 9


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI TẬP
1) Giải các phương trình sau:

a) sin 2 x  2sin x  3  0 ;
d) tan 2 x  5 tan x  6  0 ;
g) cos 2x  4sin x  1  0 ;
j) 3cos 2  5sin x  5  0 ;
m) cos x(tan x  2 cos x)  2  0 ;
2) Giải các phương trình sau:
2  cos x
 1;
a)
cos 2x
cos 2x  sin x
1  0 ;
c)
sin x  1
3) Giải các phương trình sau:
a) sin 5x  cos 5x  1  0 ;
d) 3cos 2x  4 sin 2x  1 ;
g) 1  2sin x  2 cos x ;
4) Giải các phương trình sau:
a) 2(sin x  cos x)  4sin x cos x  1
d) 2sin 2x  sin x  cos x  1 ;
5) Giải các phương trình sau:
1
2
a) sin x  sin x cos x  ;
2
d) ( 3  1)(sin x  cos x) cos x  1
g) cos 4 x  sin 4 x  cos 3x ;
6) Giải các phương trình sau:
a) cos 2x  cos x ;

d) cos x  cos 2x  sin 3x ;
g) 3 sin x  cos x  2 ;
j)

2 sin x  sin 2x  0 ;

cos 2x  sin x  2  0 ;
2 cos 2x  5sin x  2  0 ;
cos 4x  2sin 2x  1  0
sin 2 x  3cos x  3  0 ;
2
 3 tan x  9  0 ;
n)
cos 2 x
b)
e)
h)
k)

c) 3cos 2 x  2 cos x  5  0 ;
f) cos 2x  7 cos x  1  0 ;
i) 2 cos 2x  4sin x  5  0 ;
l) tan x(1  cot 2 x)  2 ;
1
 ( 2  1) tan x  2  3
o)
cos 2 x

sin 2 x  sin x
 2 ;

sin x  1
cos 2 x  cos x  2
d)
 cos x  3 .
cos x  1
b)

b) sin 3x  cos 3x  1 ;
e) sin x  3 cos x  1 ;
h) 4 cos x  3sin x  3 ;

c) 2sin 5x  6  2cos 5x ;
f) 3 sin 2x  cos 2x  2 ;
i) 3cos 3x  4sin 3x  5 ;

b) sin 2x  3(sin x  cos x)  3  0 c) sin 2x  5(sin x  cos x  1)
e) 3(sin x  cos x)  2sin 2x ;
f) sin x  cos x  sin 2x
1
cos x
2
e) 2sin 2x  sin 4x  2  0 ;
h) cos6 x  sin 6 x  cos 4x
b) 4sin x  6 cos x 

c) 2sin 2 5x  sin10x  4 cos 2 5x  3
f) cos 4 x  sin 4 x  cos 4x

b) cos 2x  9cos x  5  0 ;
e) sin x cos x  3 sin 2x  0 ;

h) cos8x  sin 4x  0 ;

c) sin x  3 cos x  1 ;
f) cos x  cos 2x  1  0 ;
i) cos 2x  cos x  2  0 ;

k) sin x  1 ;

l) cos x  sin x 

3
� �
6
6
x  � 0 ;
m) sin x  cos x  sin 2x   ; n) sin x  sin �
4
� 4�
p) cos 2x  3(sin 2x  1)
q) sin 4 x  cos 4 x  1 ;
s) 2 cos 2 x  ( 3  2) sin x  3  2 t) sin 2x  (cos x  sin x) 2 ;

2
;
2

� 5 �
o) cos �x  � sin x ;
� 2 �
r) 2(sin x  cos x)  1  2sin 2x

1
2
2
u) cos x  sin x  ;
2

1
2
2
v) cos x  sin 2x  sin x  0 ; w) sin 2x  3 cos 2x  3 ;
x) sin 2x  2 2(sin x  cos x)  3  0
2
7) Cho phương trình: m sin x  3 cos x  m  1 .
a) Giải phương trình khi m = 1;
b) Tìm m để phương trình vơ nghiệm.
8) Cho phương trình: cos 4 x  sin 4 x  m .
a) Giải phương trình khi m = 1;
b) Tìm m để phương trình vơ nghiệm.
9) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
a) m sin x  2 cos x  3 ;
b) (m  2) cos x  m sin x  3m  2 .
(KIỂM TRA PHẦN II)
Trang 10


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

III/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT.

Phương pháp: Dùng các phép biến đổi, các phương pháp giải phương trình đưa phương trình về các
dạng phương trình lượng giác đơn giản, phương trình đại số hóa đơn giản, phương trình lượng giác cơ
bản rồi giải. Có 2 hướng:
Hướng 1: Biến đổi phương trình đã cho về các dạng phương trình đơn giản.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đại số đơn giản.
VD 15. Giải phương trình: 2 cos 2 x  sin x  1
+ Phương pháp hạ bậc để đưa về phương trình có bậc thấp hơn.
VD 16. Giải phương trình: sin 2 3x  sin 2 2 x  sin 2 x  0
A0
�
+ Phương pháp biến đổi về phương trình tích: A.B  0 � �
B0
�
VD 17. Giải phương trình: sin 2x  sin 4x  2 cos x
A0
�
2
2
+ Phương pháp tổng các số hạng không âm: A  B  0 � �
B0
�
VD 18. Giải phương trình: 2sin 2 x  2 2 sin x  3 tan 2 x  2 3 tan x  2  0
+ Phương pháp đánh giá: Sử dụng điều kiện, pitago, các bất đẳng thức cơsi, bunhiacốpski
VD 19. Giải phương trình: cos x.cos 2005x  1
+ Phương pháp hàm số: Sử dụng các tính chất của hàm số để đánh giá phương trình.
VD 20. Giải phương trình: 2cos x  2sin x  sin x  cos x
Hướng 2: Chứng minh phương trình vô nghiệm (khi không thể giải bằng các cách trên).
VD 21. Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  tan x  cot x
1. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài toán này chúng ta đã được làm quen trong phần “Phương trình lượng giác thường gặp” với các

phép đặt để đưa về một phương trình đại số đơn giản. Ngồi các phép đặt trên ra chúng ta còn một số
phép đặt như:
+ Áp dụng công thức lượng giác biểu diễn qua hàm tan của góc chia đơi:
x
2t
1 t2
2t
Đặt t  tan . Khi đó: sin x 
.
;
cos
x

; tan x 
2
2
2
1 t
1 t
1 t2
1
1
+ Đặt t 
hoặc t 
với điều kiện | t |�1 .
sin x
cos x
+ Đặt t  a sin x  b cos x với điều kiện | t |� a 2  b 2 .
+ Dùng ẩn t để đổi biến.
VD 22. Giải các phương trình sau (phương trình thuàn nhất bậc cao đối với sinx và cosx):

a) 4sin 3 x  3sin 2 x.cos x  sin x  cos3 x  0 ; b) sin 4 x  3sin 2 x.cos 2 x  4sin x.cos 3 x  3cos 4 x  0 ;
�
3�
c) (tan x  1) sin 2 x  3(cos x  sin x) sin x  3 ; d) sin �x  � 2 sin x .
� 4�
VD 23. Giải các phương trình sau (Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx):
a) (tan x  7).tan x  (cot x  7).cot x  14  0 ;
b) 3(tan 2 x  cot 2 x)  2( 3  1)(tan x  cot x)  4  2 3  0 .
VD 24. Giải các phương trình sau:
4
2
5  0;
a) cot x  tan x  2 tan 2x ;
b) 4 tan x 
cos x
VD 25. Giải các phương trình sau:
�
�
�
� �
6�
2x  � 5sin �x  � cos 3x ;
a) sin �
b) 32 cos �x  � sin 6x  1 ;
3�
�
� 6�
� 4�
�
� �

3�
c) 8cos �x  � cos 3x ;
d) 2 cos �x  � sin 3x  cos 3x .
� 3�
� 6�
2. Phương pháp hạ bậc.
Trang 11


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Ta áp dụng các cơng thức sau:
1  cos 2x
1  cos 2x
sin 2 x 1  cos 2x
sin 2 x 
cos 2 x 
;
;
;
tan 2 x 

2
2
cos 2 x 1  cos 2x
3sin x  sin 3x
3cos x  cos 3x
sin 3 x 3sin x  sin 3x

sin 3 x 
cos3 x 
;
;
;
tan 3 x 

4
4
cos 3 x 3cos x  cos 3x
VD 26. Giải các phương trình sau:
17  �
�
2
2
10x 
a) sin 2x  cos 8x  sin �
b) sin 2 x  cos 2 2x  cos 2 3x ;
�;
2 �
�
� 1
4x
4
4�
2
c) cos x  cos
;
d) sin x  cos �x  � .
3

� 4� 4
3. Phương pháp biến đổi về phương trình tích.
Dùng các phép biến đổi, các công thức để đưa phương trình về dạng phương trình tích:
A0
�
�
B0
A.B...  0 � �
�
� ...
VD 27. Giải các phương trình sau:
(Dùng phép biến đổi tổng hiệu thành tích)
a) 1  cos x  cos 2x  cos 3x  0 ;
b) cos x  cos 2x  cos 3x  cos 4x  0 ;
c) 1  sin x  cos 3x  cos x  sin 2x  cos 2x ; d) sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  cos 2 x  cos 3 x  cos 4 x .
VD 28. Giải các phương trình sau:
(Dùng phép biến đổi tích thành tổng, cơng thức nhân đơi)
a) 2 cos x.cos 2x.cos 3x  7  7 cos 2x ;
b) 2 cos3 x  cos 2x  sin x  0 ;
c) 2sin 3 x  cos 2x  cos x  0 ;
d) sin 3 x  cos 3 x  cos 2x ;
e) 4sin 2x  3cos 2x  3(4sin x  1) ;
f) sin 4 x  cos 2x  2 cos 6 x  0 .
VD 29. Giải các phương trình sau:
(Luận hệ số, dùng phép nhân thêm hạng tử)
a) cos x  cos 3x  2 cos 5x  0 ;
b) 5sin 3x  3sin 5x ;
c) 3(cot x  cos x)  5(tan x  sin x)  2 ;
d) 2sin x  cot x  2sin 2x  1 .
5x

x
4 x
2 x
 5cos3 x.sin .
e) (sin x  3)sin  (sin x  3)sin  1  0 ; f) sin
2
2
2
2
VD 30. Giải các phương trình sau:
a) cos 2 x  sin 3 x  cos x  0 ;
b) cos3 x  sin 3 x  sin 2x  sin x  cos x ;
c) cos10x  2 cos 2 4x  6 cos 3x.cos x  cos x  8cos x.cos 3 3x .
4. Phương pháp biến đổi về phương trình tổng các số hạng khơng âm.
Các đại lượng khơng âm bao gồm: A 2 , | B | , 1 �sin x , 1 �cos x .
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình về dạng các đại lượng không âm:
A1  A 2  ...  A n  0 với A i �0, i  1, n .

�

�A1  0
�A  0
�2
�
� ...
�
�A N  0

Giải hệ ta được nghiệm cần tìm.
Lưu ý: Sử dụng vịng tròn lượng giác khi giao các nghiệm trên.

VD 31. Giải các phương trình sau:
a) cos 2 4x  cos 2 8x  sin 2 12x  sin 2 16x  2 ; b) 4 cos 2 x  3 tan 2 x  4 3 cos x  2 3 tan x  4  0 .
Trang 12


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

5. Phương pháp đánh giá.
Xét phương trình: f (x)  g(x) có tập xác định D. Nếu với mọi x �D mà f (x) �k , g(x) �k thì:
�f (x)  k
f (x)  g(x)
� �
.
g(x)  k
�
Ta có thể dùng bất đẳng thức. Với A �k, B �h thì:
�A  k
� �
.
AB kh
�B  h
VD 32. Giải các phương trình sau:
(Sử dụng tính chất của các hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác)
a) (sin x  3 cos x)sin 3x  2 ;
b) sin 4x  cos 4x  1  4(sin x  cos x) ;
c) 4 cos x  2 cos 2x  cos 4x  1 ;
d) cos 2x  cos 4x  cos 6x  cos x.cos 2x.cos 3x  2 ;
8

8
10
10
e) 4(sin x  cos x)  8(sin x  cos x)  5cos 2x .
VD 33. Giải các phương trình sau:
(Phương trình lượng giác dạng pitago)
1
sin 6 x  cos 6 x
a) (sin10 x  cos10 x) 
; b) cos5 x  sin 5 x  sin 2x  cos 2x  1  2 .
2
2
4
sin 2x  4cos 2x
VD 34. Giải các phương trình sau:
(Sử dụng bất đẳng thức Cauchy)
1
1
8
8
n
n
n
a) sin 2x  cos 2x  ;
b) (tan x  cot x)  sin x  cos x .
8
4
VD 35. Giải các phương trình sau:
(Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski)
a) sin x  2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x  3 ; b) 2 cos x  2 sin10x  3 2  2cos 28x.sin x .

6. Phương pháp hàm số.
(Yêu cầu học sinh đã học tính biến thiên của đồ thị hàm số – lớp 12)
7. Chứng minh phương trình vơ nghiệm.
VD 36. Giải các phương trình sau:
a) cos 2x  cos 5x  3  0 ;
b) cos 3x.cos 5x  10 .
BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau:
3
a) sin x  
;
2
�
�
�
�
2x  � sin �  x �
d) sin �
;
5�
�
�5
�
g) tan x  1 ;
j) cot 3x  1 ;
3
;
2
2. Giải các phương trình sau:
� 2 �

a) sin �x  � cos 2x ;
� 3 �
m) sin(x  20o ) 

b) sin x 

�
� 1
c) cot �  x �
;
�4
� 3

2
;
3

e) 2 cos x  2  0 ;

f) cos(2x  1)  cos(2x  1) ;

h) tan 5x  tan 25o ;
1
k) cot   ;
3

i) tan 2x  tan x ;
2x  1
1
 tan ;

l) cot
6
3
x
o) tan  3 ;
3

n) cos(3x  15o )  

2
;
2

� �
b) 2cos �x  � 2  0 ;
c) 2 cos(x  )  1  0 ;
� 6�
� � x�
�
�
� �
�
o
2x  �
.tan �
  � 1 ;
d) tan  2x  15   1 ;
e) cos �  2x � sin �x  � 0 ; f) tan �
4� � 2�
�3

�
� 6�
�
� �
� �
� �
� �
� �
3x  � cos �x  � 0 ; h) tan �
3x  �
.cot(5x  )  1 ; i) sin 2 �x  � cos 2 �
3x  �
g) sin �
2�
2�
� 4�
� 3�
�
� 4�
�
Trang 13


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

�
�
� �

2x  � cos �x  �;
j) sin �
k) sin 2x.sin 6x  cos x.cos 3x ;
l) cos 7x.cos 6x  cos 5x.cos8x
3�
�
� 3�
3. Giải các phương trình sau:
x
2
2
a) sin 3x 
;
b) tan  3 ;
c) cos 2x  
;
2
2
2
�
� �
�
3
x  � 2  0 ;
2x  � 1 ;
d) cot 2x  
;
e) 2sin �
f) tan �
4�

� 4�
�
3
� 
5 �
�
�
�
�
� �
2x  �  ;
2x  � 3  0 ;
2x  � sin �x  �;
g) cos �
h) 3cot �
i) sin �
6� 2
2 �
3�
�
�
� 4�
�
�
� �
� �
�
5x  � cos �x  �;
2x  � cot x ;
j) cos �

k) cot �
l) sin 3x  cos 4x ;
3�
� 3�
� 6�
�
1
32
4
4
m) sin 2 x 
;
n) sin 2x  cos 2x  ;
o) sin 5x  sin x  2sin 2 x  1 ;
2
4
2
2
2
2
3
p) sin x  sin 2x  cos 3x  cos 4x ;
q) cos x  sin 3 x  sin x  cos x ;
5 �
1  tan x
�
�x  �
2x  � 20 cos 2 �  � 2 3 sin x cos x  2
 1  sin 2x ;
r)

s) sin �
2 �
1  tan x
�
�2 12 �
2
3
t) cos10x  2 cos 4x  6cos 3x cos x  cos x  8cos x cos 3x
4. Giải các phương trình sau:
5 �
�
� 7 �
2
2x  � 3cos �
x  � 1  2sin x ;
a) 4sin x  2 1  2 sin x  2  0 ;
b) sin �
2 �
�
� 2 �
2
�
�
� 1
�
2x  �;
 2sin 2x �;
c) cos 2x  3 sin 2x  5  cos �
d) cot x  tan x  2 �
3�

�
�sin 2x
�
�x  �
x�
3  2 cos x  2sin 2 �  �
� 4x
5sin x  4 �
sin  cos 4 � 6
�2 4 � 1 ;
2�
e)
;
f)
� 2
0
x
4sin 2  1
2 cos x  3
2
x
3 x
g) sin x  3 cos x  1 ;
h) 3sin  3 cos x  1  4sin ;
3
3
x�
1 � �
1 �
� 4x

� 2
sin  cos 4 � 3 sin 2x  2 ;
cos x 
cos x 
i) 4 �
j) 4 �
� 4 �
� 7  0 .
2
2�
cos x � �
cos x �
� 2
�
5. Giải các phương trình sau:
a) 4sin 2 x  3 3 sin 2x  2 cos 2 x  4 ;
b) cos3 x  2sin x  5sin 3 x  0 ;
�
� �
3�
3
3
x  � 1  0 ;
c) cos x  8sin �x  �;
d) sin x  cos x  2 2 cos �
� 6�
� 4�
� �
e) sin x  cos x  sin 2x  1  0 ;
f) 6 2 sin �x  � sin x cos x  6  0 ;

� 4�
1
1
10
2
2

 ;
g) sin x  cos x 
h) 2  tan x  cot x   5  tan x  cot x   6  0 .
sin x cos x 3
6. Giải các phương trình sau:
a) sin x  sin 2x  sin 3x  0 ;
b) cos 2x  cos8x  cos10x  1 ;
5
5
c) 4sin 3x cos 2x  1  sin 3x ;
d)  sin x  cos x   2  sin 2x   4  sin x  cos x  ;













3x
11x
� 5x �
� 13x �
 cos 2 �  � cos 2
 cos 2 � 
�.
2
2
2 �
�4 2 �
�4
7. Giải các phương trình sau:
2
e) cos

Trang 14






Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2
a) 4sin 2 x  4sin  3cot 2 x  2 3 cot x  2  0 ; b) sin x  sin 2x  2 sin x 

c) 2sin 5x  cos 4x  2 

1
;
sin 2 x

3
0;
2

d) cos 2015 x  sin 2010 x  1 ;
f) 1  cos x 

e) cos 2010 x  sin 2010 x  1 ;

x2
 0.
2

IV – Luyện Tập
Bài tập rèn luyện
1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1  cos x
;
sin x
1  cos x
1  sin x
d)
;
e) y 

;
2sin x  2
1  cos x
1
tan x
g) y 
;
h) y 
.
3 cot 2x  1
1  tan x
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
� �
a) y  1  sin x ;
b) y  2 cos �x  � 3 ;
� 3�
d) y  4sin x .
3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) y  2sin x ;
b) y  3sin x  2 ;
� �
d) y  sin x.cos 2 x  tan x ;
e) y  cos �x  �;
� 4�
4. Giải các phương trình sau:

x
1
 ;
a) sin 4x  sin ;

b) sin
5
5
2
3
� � 2
d) cos �x  � ;
e) tan 3x  tan
;
5
� 18 � 5
a) y  3  sin x ;

g) tan(x  15o )  5 ;

b) y 

h) tan(2x  1)  3 ;

�
�
2x  �;
c) y  tan �
3�
�
sin(x  2)
f) y 
;
cos 2x  cos x

c) y  1  sin(x 2 )  1

c) y  sin x  cos x ;
f) y  tan x  sin 2x .
x
 cos 2 ;
2
�1�
 �
f) cot 2x  cot �
� 3�
�x
o�
i) cot �  20 �  3 ;
�4
�
c) cos

2
.
5
5. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho
1
3
a) sin 2x   với 0  x   ;
b) cos(x  5) 
với   x   ;
2
2
1


c) tan(2x 15o )  1 với 180o  x  90o ;
d) cot 3x  
với   x  0 .
3
2
6. Giải các phương trình sau:
�
�
�
� �
�
� �
2x  � sin �
3x  � 0 ;
2x  � sin �x  � 0 ;
a) sin �
b) cos �
4�
3�
4�
�
�
�
� 4�
c) sin( sin 2x)  1 ;
d) sin 3x  cos 2x ;

�


� 2
�
�
� �

e) cos � cos �x  �
;
f) tan � (sin x  cos x) � 1 ;
�
4
�
�
� 4�
�2
� 2
j) cot 3x  tan

6.
Trang 15


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
sin 2x.cos 3x  sin 3x.cos 4x

7.
3 cot 2 x  4 cot x  3  0
3
 4 tan x  0

cos 2 x
sin 2 3x  2sin 3x  3  0
4sin 2 2x  8cos 2 x  9  0
3.
4 cos 2 x  cos 3x  6 cos x  2(1  cos 2x)
cos 3x  cos 2x  cos x  1  0
(cos x  1)(cos 2x  2 cos x)  2sin 2 x
4.
sin 2x  3cos 2x  3
3sin x  3cos x  2
2 2(sin x  cos x) cos x  3  cos 2x
(1  3)sin x  (1  3) cos x  2
2( 3 sin x  cos x)  3sin 2x  7 cos 2x
2sin x(cos x  1)  3 cos 2x
2(sin x  3 cos x)  3 cos 2x  sin 2x
5.
sin x  cos x  2sin x.cos x  1  0
1  tan x  2 2 sin x
6(sin x  cos x)  sin x.cos x  6  0
4(sin x  cos x)  sin 2x  1
6.
sin 2 x  3sin x.cos x  2
2sin 2 x  sin x.cos x  cos 2 x  1  0
1
3 sin x  cos x 
cos x
7.
cos3 x  sin 3 x  cos x  sin x
4sin 3 x  10sin 2 x.cos x  6sin x.cos 2 x  cos 3 x  0
4sin 3 x  sin 2 x.cos x  3sin x  3cos3 x  0

2sin 3 x  3sin x  4 cos3 x  0
sin 3 x  5sin 2 x.cos x  7 sin x.cos 2 x  2 cos3 x  0
sin 2x.sin x  sin 3x  6 cos3 x

Trang 16


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài tốn chọn lọc
1. Giải các phương trình sau:

�
�
2
a) cos � 3x  9x  160x  800 � 1
8
�
�
8
4
2
 x  3x  2.sin[(16x  2x)]  0 (ĐH tổng hợp Lômônốp 1982)





1  5sin x  2 cos 2 x  0 , với điều kiện cos x �0 (ĐH CSND 1999)

3cot 2 x  2 2 sin 2 x  (2  3 2) cos x
3sin 3x  3 cos 9x  1  4sin 3 3x
cos 7x.cos 5x  3 sin 2x  1  sin 7x.sin 5x
�2 6 �
3 sin 7x  cos 7x  2 , x �� ; �(ĐH KTQD 1997)
�5 7 �
(sin x  2 cos x) 4  (sin x  2 cos x)(5  7 sin 2x  7 cos 2 x) cos x  cos 4 x  0
sin 3x  2 cos 3 x
1  3sin 2x  2 tan x
� �
8cos3 �x  � cos 3x
� 3�
1
1
10
 sin x 

cos x
sin x 3
2
3
sin x  sin x  sin x  sin 4 x  cos x  cos 2 x  cos 3 x  cos 4 x (ĐH Nha Trang 1998)
cos x 

sin 4x  tan x (ĐH Y Hà nội 2000)
tan x.sin 2 x  2sin 2 x  3(cos 2x  sin x.cos x)
cos 2x  5  2(2  cos x)(sin x  cos x)
� �
� �
sin �

3x  � sin 2x.sin �
x �
� 4�
� 4�
�3 x � 1
� 3x �
sin �  � sin �  �
10 2 �
�10 2 � 2 �

Trang 17


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Đề thi ĐH CĐ

V – Ơn Tập
Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác thường gặp

Phương trình lượng giác tổng quát

Bài tập tự luyện
1. Giải các phương trình sau:
a) sin( cos 2x)  1
cos( cos 3x)  1

cos( sin x)  1

sin  cos( x)
x
�

� 1
� �
cos � cos �x  �
� 2
� 4�
�2
�

�
�
tan �  cos x  sin x  � 1
4
�
�

�
�
cot � (cos x  sin x) � 1
4
�
�
2.
4(sin 3x  cos 2x)  5(sin x  1)
sin 3x  sin x  2 cos 2 x  0

3.
cos 2 x  3 sin 2x  sin 3 x  1
3sin x  3 cos 3x  4sin 3 x  1
2 cos x(sin x  1)  3 cos 2x
2sin 3x  sin 2x  3 cos 2x  0
3 sin 4x  cos 4x  sin x  3 cos x
3sin 2x  4 cos 2x  5cos 2003x  0

Trang 18


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
� �
� �
3 sin �
x  � sin �
x  � 2sin1972x  0
� 4�
� 6�
1
sin x  (3  3 cos x)
3
(1  3)sin x  (1  3) cos x  2
sin 2x  ( 3  2) cos 2x  1
3cos x  sin 2x  3(cos 2x  sin x)
4.
3(sin x  cos x)  4sin x.cos x  0
12(sin x  cos x)  2sin x.cos x  12  0

(1  sin x)(1  cos x)  2
| sin x  cos x | 4sin 2x  1
| sin x  cos x |  sin 2x  0
1
� � 1
2 2 sin �x  �

. (ĐH QG Hà Nội – Khối B 1997)
� 4 � sin x cos x
cot x  tan x  sin x  cos x
tan x  tan 2 x  cot x  cot 2 x  6

5.
3
1

sin x cos x
� �
2 sin 3 �x  � 2sin x
� 4�
5(sin x  cos x)  sin 3x  cos 3x  2 2(2  sin 2x)
sin 3 x  5sin 2 x.cos x  3sin x.cos 2 x  3cos3 x  0
sin 3 x  3sin x.cos 2 x  cos 3 x  0
sin 3 x  sin x.cos 2 x  cos 3 x  0
sin 3x  cos 3x  2 cos x  0 (HV Ngân Hàng TPHCM 2000)
4sin 3 x  sin x  cos x  0 (ĐH Y Hà Nội 1999)
sin 3 x  3sin 2 x.cos x  2sin x.cos 2 x  cos 3 x  0
(sin 2 x  4 cos 2 x)(sin 2 x  2sin x.cos x)  2cos 4 x

8cos x 

� �
0;
sin x.(2sin 2 x  cos 2 x)(8sin 4 x  8sin 2 x.cos 2 x  cos 4 x)  0 , với x ��
� 4�
�

Trang 19


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
� �
0;
64sin 6 x  96sin 4 x.cos 2 x  36sin 2 x.cos 4 x  3cos 6 x  0 , với x ��
� 4�
�

1  3sin 2x  2 tan x
1  3 tan x  2sin 2x
6 tan x  tan 2x
sin 2x  2 tan x  3
x
cos x  tan  1
2
x
2  cos x  2 tan
2
(1  tan x)(1  sin 2x)  1  tan x

4sin 2 x  3 tan 2 x  1
x
1  0
2
(cos x  sin x)sin x.cos x  cos x.cos 2x
�
�
sin 3x  2 cos �  x �
�6
�
� 5 �
cos 3x  2sin �x  �
� 6 �
�3x  �
�3 x �
sin �  � 3sin �  �
�2 10 �
�10 2 �
�3x  �
� x �
sin �  � 3sin �  �
�2 4 �
�4 2 �
2 �
�
cos 9x  2cox �
6x 
� 2  0
3 �

�
6x
8x
2cos
 1  3cos
5
5
3sin x  cos x  4 cot

Trang 20


Giaovienvietnam.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI KIỂM TRA PHẦN I
Giải các phương trình sau:
1
sin x 
1)
3
1
cos2 x 
2)
2
�
�
� �
sin �
2x  � cos�x  � 0

3)
5�
�
� 2�
sin 3x.cos x  sin 2x  0
4)
5)
cos x  3 sin x
� � �
�
cos �
 sin �x  �
6)
� 1
� � 3�
�

(1,0 điểm)
(2,0 điểm)
(2,0 điểm)
(2,0 điểm)
(1,0 điểm)

BÀI KIỂM TRA PHẦN II
Giải các phương trình sau:
tan 5x  tan x  0
1)
2)
cos 2x  sin 2 x  2cos x  1  0
1

2 cos 2x  8cos x  7 
3)
(ĐH NN 2000)
cos x
4)
3 sin 3x  cos 3x  2
5
3sin x  4 cos x  
5)
2
2
6)
2 3 cos x  6sin x.cos x  3  3
7)
Cho phương trình: cos 2 x  (2m  1) cos x  m  1  0 .
3
a) Giải phương trình với m  .
2
 3 �
�
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc � ; �.
2 2�
�
(ĐH Đà Nẵng 1996)

Trang 21

1,0 đ
1,5 đ
1,5 đ

1,5 đ
1,5 đ
1,5 đ
1,0 đ
0,5 đ