De HSG Toan 920162017 54

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phòng giáo dục và đào tạo SểC TRĂNG. Kỳ thi chọn đội tuyển dù thi häc sinh giái líp 9 cÊp tØnh n¨m häc 2009 - 2010 M«n thi: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót đề bài Bµi 1 ( 4 ®iÓm): Cho biÓu thøc: A=. (. x 6 1 − + : x √ x − 4 √ x 3 √ x −6 √ x +2. )(. √ x −2+. a, Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b, Rót gän A. c, Tìm x để A < 2. Bµi 2 (3 ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: 2. 2. 10 − x √ x +2. ). 2. √ ( x −2008 ) + √( 2009 − x ) +√ ( x −2010 ) =2. Bµi 3 (3 ®iÓm): Chøng minh r»ng víi a > 0 ta cã: 7 ( a2 +1 ) 15 a 2. a +1. +. 2a. ≥. 2. Bµi 4 (3 ®iÓm): Cho hai sè d¬ng x vµ y tho¶ m·n x + y = 2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc M = x2y2(x2 + y2) Bài 5 (4.5điểm): Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M di động trên đờng tròn đó ( M khác A, B). Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với đờng kính AB tại N. Đờng tròn (E) cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai là D và C. a, Chøng minh CD // AB. b, Chøng minh MN lµ ph©n gi¸c cña gãc AMB. c, Gọi giao điểm thứ hai của MN với đờng tròn (O) là K. Chứng minh tích KM.KN không đổi. Bµi 6 (2.5 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm I bÊt kú. a, Hãy nêu cách xác định điểm M trên đờng thẳng AB, điểm N trên đờng thẳng AC sao cho I lµ trung ®iÓm cña MN. b, Cho biÕt IA = 6 cm; BC = 10 cm, h·y tÝnh chu vi tam gi¸c AMN.. híng dÉn chÊm Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh n¨m häc 2009 – 2010 M«n thi: To¸n Bµi ý Néi dung §iÓm 1 a §iÒu kiÖn x  0; x  4 0.5 4® b x 6 1 10 − x − + : √ x −2+ A= x √ x − 4 √ x 3 √ x −6 √ x +2 √ x +2 x 6 1 x − 4+10 − x 0.5 − + : = ( )( ) ( ) x+ 2 x +2 x x − 2 x +2 3 x − 2 √ √ √ √ √ √ 0.5. (. [. )(. ). ].

<span class='text_page_counter'>(2)</span> x − 2 ( √ x +2 ) + √ x − 2 6 = √ : ( √ x − 2 )( √ x +2 ) √ x +2 −6 √ x +2 = 1 . = 2− √ x ( √ x −2 ) ( √ x+2 ) 6. 1 <2 vµ x  0; x  4 2− √ x 1 2 x −3 ⇔ − 2<0 ⇔ √ <0 2− √ x 2− √ x ¿ 2 √ x −3>0 2− √ x <0 ⇔ 9 + Trêng hîp 1: ¿ x> 4 x >4 ⇔ x >4 ¿{ ¿ ¿ 2 √ x −3<0 2− √ x >0 ⇔ 9 ¿ x< + Trêng hîp 2: 4 x <4 9 ⇔x< 4 ¿{ ¿. 0.5. Ta cã A < 2 ⇔. c. 2 3®. 0.5 0.5. 0.5. 9. KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta cã x > 4 hoÆc 0 ≤ x < 4 th× A < 2. Ta cã: |a|+|b|≥|a+ b| ThËt vËy: |a|+|b|≥|a+ b| ⇔ (|a|+|b|)2 ≥ (|a+b|)2 ⇔ a2+ 2|ab|+b 2 ≥ a2 +2 ab+b 2 ⇔|ab|≥ ab luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi ab  0. Phơng trình đã cho tơng đơng với: |x − 2008|+|x −2009|+|2010− x|=2 áp dụng bất đẳng thức đã chứng minh trên ta đợc: |x − 2008|+|2010 − x|≥|x − 2008+2010 − x|=2 (1) DÊu “=” x¶y ra khi (x – 2008)(2010-x)  0. 0.5. 0.5. 1. ⇔ 2008 ≤ x ≤ 2010. Lu«n cã: |x − 2009|≥0 (2) DÊu b»ng x¶y ra khi x = 2009 Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đợc: |x − 2008|+|x −2009|+|2010− x|≥ 2. DÊu b»ng x¶y ra khi x = 2009 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = 2009. 1 0.5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3 3®. 7 ( a2 +1 ) 15 a + ≥ 2a 2 a2 +1. Biến đổi vế trái ta đợc: 7 ( a2 +1 ) 14 ( a 2+1 ) a a 2. a +1. +. 2a. =. 2. a +1. +. 4a. 0.5. 2 2 a a +1 13 ( a +1 ) = 2 + 4a a +1 4 a. ¸p dông B§T C«si ta cã: a a2 +1 a a2 +1 + ≥ 2 . =1 a2 +1 4 a a 2+1 4 a 2 Vµ a2 + 1  2a ⇒ 13 ( a +1 ) ≥ 13 .2 a =13 4a 4a 2 2 VËy 2a + 7 ( a +1 ) ≥1+ 13 =15 2a 2 2 a +1. 1. √. 4 3®. 1. ( a > 0). 0.5. Vì x, y > 0 nên áp dụng BĐT Côsi ta đợc:. 0.75. 2 ( x + y ) xy =1 ( v× x + y = 2) 4 Suy ra M xy . ( x 2 + y 2 ) ⇔2 M ≤ 2 xy . ( x 2+ y 2 ). 5 a 4.5®. b c. 6 a 2.5®. 2 2 ¸p dông B§T C«si ta l¹i cã: 2 xy ( x 2 + y 2 ) ≤ ( 2 xy + x + y ) =4 4 ( v× x + y = 2) Suy ra M ≤ 2. VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña M lµ 2 khi x = y = 1. Ta có AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) H Hay DMC = 900 M  DC là đờng kính của (E) Do (E) vµ (O) tiÕp xóc nhau t¹i M D E C nªn ba ®iÓm O, E, M th¼ng hµng XÐt hai tam gi¸c c©n OMA vµ EMD A N O cã chung gãc M nªn suy ra OAM = EDM suy ra DC // AB ( có cặp góc đồng vị bằng nhau). 0.5 0.75 0.5 0.5. 0.5 0.5 B. Theo chøng minh c©u (a) ta cã DC // AB nªn hai cungKDN vµ CN b»ng nhau suy ra DMN = CMN suy ra MN lµ ph©n gi¸c cña AMB. Ta cã MN hay MK lµ ph©n gi¸c cña AMB ( Theo c©u b ) suy ra hai cung AK vµ BK b»ng nhau suy ra OK AB Kẻ đờng kính KH ta có KMH = 900 XÐt hai tam gi¸c KON vµ KMH cã gãc K chung, KON = KMH =900 suy ra hai tam giác KON và KMH đồng dạng KO KN 2 ⇒ = ⇒KM . KN=KO . KH=2 R không đổi (với R là bán kính KM KH của đờng tròn tâm O) Giả sử xác định đợc M, N thoả mãn yêu cầu bài toán, khi đó tam giác AMN vu«ng t¹i A cã IM = IN nªn AI lµ trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn suy ra IA = IM = IN A. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5. 0.5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> B. b. C H. I. I cố định, AI không đổi nªn M, N n»m trªn N đờng tròn (I, IA) Cách xác định điểm M và N: - Vẽ đờng tròn (I, IA) - Giao ®iÓm cña (I, IA) vµ AB lµ ®iÓm M - Giao ®iÓm cña (I, IA) vµ AC lµ ®iÓm N Qua M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt BC tại H (giải sử AM < AN ) Ta có MHB = ACB (đồng vị) mà ACB = ABC (gt)  MHB = ABC ⇒ Δ MBH c©n t¹i M  MB = MH (1) Δ MIH = Δ NIC (g-c-g)  CN = MH (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra CN = BM áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC vuông tại A ta đợc: AB2 + AC2 = BC2  2AB2 = BC2 = 102 = 100  AB = 10 √2 =5 √ 2 2. MN = 2AI = 12 Chu vi tam gi¸c AMN lµ: AM + AN + MN = AM + MB + AC + 2AI = 2AB + 2AI = 12 + 10 √ 2 (cm). 0.5. 0.5. 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>