De HSG Toan 920162017 60

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§Ò thi chän häc sinh giái líp 9 THCS n¨m häc 2007 - 2008. Sở giáo dục và đào tạo TØnh ninh b×nh đề thi chính thức. M«n: To¸n Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) §Ò thi gåm 01 trang. C©u 1 ( 4,0 ®iÓm) Cho c¸c sè d¬ng: a; b vµ x =. 2 ab . XÐt biÓu thøc P = b2 +1. 1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P. 2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P. C©u 2 (3,0 ®iÓm) T×m x; y; z tho¶ m·n hÖ sau:. {. √ a+ x + √ a − x + 1 √ a+ x − √ a − x 3b. x 3 − 3 x −2=2− y y 3 −3 y −2=4 − 2 z z 3 −3 z − 2=6 − 3 x. C©u 3 ( 4,0 ®iÓm) Với mỗi số nguyên dơng n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a =. 3+ √ 5 3 − √5 ;b= . 2 2. 1. Chøng minh r»ng víi n ≥ 1, ta cã Sn + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn) 2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên. n. 3. Chøng minh Sn – 2 =. n 2. [( ) ( ) ] √ 5+ 1 − √ 5− 1 2. 2. . Tìm tất cả các số n để S n – 2 là số. chÝnh ph¬ng. C©u 4 (7,0 ®iÓm) Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đờng tròn (O1) đờng kính AE và đờng tròn (O2) đờng kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đờng tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2). 1. Gọi F là giao điểm của các đờng thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đờng thẳng EF vuông góc với đờng thẳng AB. 2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đờng tròn (O) đờng kính AB. Đờng thẳng MN cắt đờng tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD. C©u 5 ( 2,0 ®iÓm) Để lựa chọn học sinh khối lớp 9 có điểm tổng kết cao nhất các bộ môn để tham dự kiểm tra đánh giá chất lợng học kỳ I năm học 2007-2008, với tổng số 99 học sinh đợc các thày giáo, cô giáo lập danh sách đề nghị chọn kiểm tra đã có: 50 học sinh giỏi Toán; 45 học sinh giỏi Ngữ v¨n; 48 häc sinh giái TiÕng Anh; 25 häc sinh giái c¶ To¸n vµ Ng÷ v¨n; 22 häc sinh giái c¶ To¸n vµ TiÕng Anh; 15 häc sinh giái c¶ Ng÷ v¨n vµ TiÕng Anh; 6 häc sinh kh«ng giái bÊt cø m«n nµo trong c¸c m«n trªn. H·y tÝnh sè häc sinh giái c¶ 3 m«n To¸n, Ng÷ v¨n vµ TiÕng Anh. ------------- HÕt-------------. Hä vµ tªn thÝ sinh :.............................................. Sè b¸o danh ....................... Ch÷ kÝ gi¸m thÞ 1 …………………… Ch÷ kÝ gi¸m thÞ 2 ……………………… híng dÉn chÊm thi m«n to¸n kú thi chän häc sinh giái líp 9 THCS n¨m häc 2007-2008 C©u 1. (4,0 ®iÓm) Tãm t¾t lêi gi¶i 1. (2,75 ®iÓm) Ta cã: a; b; x > 0 ⇒ a + x > 0. §iÓm 0,25 (1). 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> b −1 ¿2 ¿ XÐt a – x = (2) a¿ ¿ Ta cã a + x > a – x ≥ 0 ⇒ (3) √ a+ x − √ a − x ≠ 0 Từ (1); (2); (3) ⇒ P xác định Rót gän: 2 b+1 ¿ ¿ a a¿ Ta cã: a + x = ⇒ √ a+x=(b+1) 2 b +1 2 ab a+ 2 =¿ b +1 b −1 ¿2 ¿ a a¿ a-x= ⇒ √ a − x=|b− 1| 2 b +1 2 ab a − 2 =¿ b +1 a a (b+1) 2 +|b− 1| 2 b +1 b +1 1 b+1+|b− 1| 1 + = + ⇒ P= 3 b b+1−|b −1| 3 b a a (b+1) 2 −|b −1| 2 +1 b +1 b 2 1 4  NÕu 0 < b < 1 ⇒ P = + = 2b 3b 3b 1 3 b2 +1  NÕu b 1 ⇒ P = b+ = 3b 3b 2. (1,25 ®iÓm) XÐt 2 trêng hîp: 4 4  NÕu 0 < b < 1, a d¬ng tuú ý th× P = ⇒ P 3b 3 1 b 1 2b  NÕu b 1 , a d¬ng tuú ý th× P = b+ = + + 3b 3 3b 3 b 1 2 Ta cã: , dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi b = 1 + ≥ 3 3b 3 2b 2 MÆt kh¸c: , dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi b = 1 ≥ 3 3 2 2 4 VËy P + = , dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi b = 1 3 3 3 4 KL: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = 3. √. √. √ √. √ √. (. 0,25 0,25 0,50. 0,50. 0,25 0,25. 0,25 0,25 0,25. 0,25 0,25. ). C©u 2 (3,0 ®iÓm) Tãm t¾t lêi gi¶i. §iÓm. Biến đổi tơng đơng hệ ta có 1,00 0,50.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25. 2. x+1 ¿ =2− y ¿ y +1¿ 2=2(2 − z ) ¿ z +1 ¿2=3 (2− x) ¿ (x −2)¿ ¿ Nhân các vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) z+ 1¿ 2+6 y +1 ¿2 ¿ =0 ⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) x +1 ¿2 ¿ ¿ ¿ ⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0 ⇔ x = 2 hoÆc y = 2 hoÆc z = 2 Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2 Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho C©u 3 (4,0 ®iÓm) Tãm t¾t lêi gi¶i 1. (1,0 ®iÓm) Víi n ≥ 1 th× Sn + 2 = an+2 + bn+2 (1) MÆt kh¸c: (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn) = an+2 + bn+2 (2) Tõ (1); (2) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 2. (1,5 ®iÓm) Ta cã: S1 = 3; S2 = 7 Do a + b =3; ab =1 nªn theo 1 ta cã: víi n ≥ 1 th× Sn+2 = 3Sn+1 - Sn Do S1, S2 Z nªn S3 Z; do S2, S3 Z nªn S4 Z Tiếp tục quá trình trên ta đợc S5; S6;...; S2008 Z 3. (1,5 ®iÓm) Ta cã Sn – 2 =. 2 n. [( ) ] [( [( √ ) ] [ ( √ ([ √ ) ( √ 2. 2. √5 − 1 +. n. =. 0,50 0,50 0,25 0,25. 2 n. 2. 0,25. 2. n 2. n. 0,25. n 2. 0,25. √ 5+1 ; b1 = √ 5 −1. ⇒ a1 + b1 = √ 5 ; a1b1 = 1 2 2 XÐt Un= a1 +b 1 Víi n ≥ 1 th× Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 + b1n + 1) – a1b1(a1n + b1n) ⇒ Un+2 = Ta cã U1 = 1 Z; U2 = √ 5 Z; U3 = 4 Z; U4 = 3 √ 5 Z;... Tiếp tục quá trình trên ta đợc Un nguyên ⇔ n lẻ VËy Sn – 2 lµ sè chÝnh ph¬ng ⇔ n = 2k+1 víi k Z vµ 0 k ≤ 1003. §Æt a1 =. 0,25 0,50 0,25. ) ] −2 5+ 1 5 −1 5+1 √ 5 −1 + −2 ( √ ) ] [ 2 2 2 )( 2 ) ] 5+ 1 5− 1 ®pcm − 2 2 )] √5 + 1. n 2. =. §iÓm. n. 0,25. n. √ 5 Un+1 – Un. 0,25 0,25. C©u 4 (7,0 ®iÓm) Tãm t¾t lêi gi¶i. §iÓm. F D N I M.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> S. A. O1. E. O. O2. B. 1. (4,0 ®iÓm) O1M; O2N MN ⇒ O1M/ / O2N Do O1; E; O2 th¼ng hµng nªn ∠ MO1E = ∠ NO2B C¸c tam gi¸c O1ME; O2NB lÇn lît c©n t¹i O1 vµ O2 nªn ta cã: ∠ MEO1= ∠ NBO2 MÆt kh¸c ta cã: ∠ AME = 900 ⇒ ∠ MAE + ∠ MEO1= 900 (2) ⇒ ∠ MAE + ∠ NBO2 = 900 ⇒ ∠ AFB = 900 ⇒ Tø gi¸c FMEN cã 3 gãc vu«ng ⇒ Tø gi¸c FMEN lµ h×nh ch÷ nhËt ⇒ ∠ NME = ∠ FEM (3) Do MN MO1 ⇒ ∠ MNE + ∠ EMO1 = 900 (4) Do tam gi¸c O1ME c©n t¹i O1 ⇒ ∠ MEO1 = ∠ EMO1 (5) Tõ (3); (4); (5) ta cã: ∠ FEM + ∠ MEO1= 900 hay ∠ FEO1 = 900 (®pcm) 2. (3,0 ®iÓm) Ta cã EB = 12 cm ⇒ O1M = 3 cm < O2N = 6 cm ⇒ MN c¾t AB t¹i S víi A n»m gi÷a S vµ B. O M SO Gäi I lµ trung ®iÓm CD ⇒ CD OI ⇒ OI// O1M //O2N ⇒ 1 = 1 O 2 N SO2 SO = 2SO SO +O O = 2SO SO = O O ⇒ ⇒ 2 1 1 1 2 1 ⇒ 1 1 2 Do O1O2 = 3 + 6 = 9 cm ⇒ SO1= O1O2 = 9 cm ⇒ SO =SO1 + O1O = 15cm OI SO = MÆt kh¸c: ⇒ OI = 5 cm O 1 M SO1 XÐt tam gi¸c COI vu«ng t¹i I ta cã: CI2 + OI2= CO2 ⇒ CI2 + 25 = CO2 Ta cã: CO = 9 cm ⇒ CI2 + 25 = 81 ⇒ CI = √ 56 ⇒ CD = 4 √ 14 cm. (1). 0,50 0.50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25. C©u 5 (2,0 ®iÓm) Tãm t¾t lêi gi¶i Gäi x lµ sè häc sinh giái c¶ 3 m«n To¸n, Ng÷ v¨n vµ TiÕng Anh ( x > 0; x Z) Sè häc sinh chØ giái mét m«n To¸n lµ: 50 - 25 - (22 - x) Sè häc sinh chØ giái mét m«n Ng÷ v¨n lµ: 45 - 25 - (15 - x) Sè häc sinh chØ giái mét m«n TiÕng Anh lµ: 48 - 22 - (15 - x) Do cã 6 häc sinh kh«ng giái bÊt kú m«n nµo trong c¸c m«n trªn nªn ta cã: 99 - 6 = 50 - 25 - (22 - x) + 45 - 25 - (15 - x) + 48 - 22 - (15 - x) + 25 + (22 - x) + (15 - x) ⇔ x = 12 Sè häc sinh giái c¶ 3 m«n lµ 12 häc sinh. §iÓm 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>