De HSG Toan 920162017 77
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (211.73 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG. ĐỀ THI CHÍNH THỨC. Ngày thi: 30/3/2013 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi có 01 trang Câu 1. (4,5 điểm). 3 2 2 3 1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a 7a b 7ab 2b .. 6 5 4 3 2 2 2) Cho x x 1 . Tính giá trị biểu thức Q x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 .. Câu 2. (4,5 điểm) x 1 4 4026 x 1 R 2 2 3 : x . Tìm x để biểu thức xác x 2x x 2x x 4x 1) Cho biểu thức:. định, khi đó hãy rút gọn biểu thức. 2) Giải phương trình sau:. x 2 x 1 x 1 x 2 4. .. Câu 3. (4,0 điểm) 3 1) Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh n n chia hết cho 24. 2 2) Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013 là một số chính phương.. Câu 4. (6,0 điểm) 1) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD=2AB=2AD và BC a 2 . a. Tính diện tích hình thang ABCD theo a . b. Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D 0 xuống AC. Chứng minh HDI 45 .. 2) Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c . Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là la , lb , lc . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 la lb lc a b c. Câu 5. (1,0 điểm) 2 2 Cho hai số không âm a và b thoả mãn a b a b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:. S. a b a 1 b 1. ---------------Hết---------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:....................... Giám thị 1 (Họ tên và ký)...............................................................................................................
<span class='text_page_counter'>(2)</span> Giám thị 2 (Họ tên và ký).............................................................................................................. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH. NGÀY THI 30 /3/2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG. ĐỀ CHÍNH THỨC. Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu 1. Hướng dẫn giải P 2 a b 7 ab a b 3. Ta có. 3. 2 a b a 2 ab b 2 7ab a b a b 2a 2 2b 2 5ab a b 2a 2 4ab 2b2 ab . 1 (2.5 điểm). a b 2a a 2b b b 2a a b 2a b a 2b . Kết luận Ta có. P a b 2a b a 2b . Q x 2 x 4 2 x3 x 2 x 4 2 x3 x 2 x 2 x x 1 2. 2 (2.0 điểm). 2. (4.5 điểm) 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5. 0.5. x 2 x 2 x x 2 x x 2. 0.5. x 2 x 3 4. 0.5. Vậy Q 4 Câu 2. 0.5 (4.5 điểm). x 1 x x 1 4 . R 2 x x 2 x x 2 x x 4 4026 Ta có x x 2 4 0. 0.5. ĐK:. x 0 x 2 1 (2.5 điểm). 0.5. Khi đó: 1 x 1 x 1 4 2 4026 x 2 x 2 x 4 1 x 1 x 2 x 1 x 2 4 . 4026 x2 4 2 1 2 x 4 1 . 2 4026 x 4 2013 x 0 1 R x 2 2013 Vậy R xác định khi và R. 0.5. 0.5 0.5.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> + Nếu x 2 , phương trình đã cho trở thành. x 2 x 1 x 1 x 2 4. 0.5. x 2 1 x 2 4 4 x 4 5 x 2 0 x 2 x 2 5 0. 2 (2 điểm). x 0 l x 5 tm x 5 l Nếu x 2 , phương trình đã cho trở thành 2 x x 1 x 1 x 2 4. 0.5. 0.5. x 2 x 1 x 1 x 2 4. x 2 1 x 2 4 4 x 4 5 x 2 8 0 2. 5 7 x 2 0 2 4 vô nghiệm. 0.25. KL: Phương trình có một nghiệm x 5 .. 0.25. Câu 3. (4 điểm) Ta có. 3. n n n n 1 n 1. 0.5. Vì n 1; n; n 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số 1 (2 điểm). n đó chia hết cho 3. Do đó . 3. n 3. (1). Vì n là số tự nhiên lẻ nên n 1 và n 1 là hai số tự nhiên chẵn liên n 1 n 1 8 n3 n 8 tiếp. Do đó (2) Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1), (2) suy ra. n. + Giả sử. 3. n 24. 0.5. (đpcm). 0.5 0.5. n 2 4n 2013 m 2 , m . n 2 + Suy ra . 2. 2. 2009 m 2 m 2 n 2 2009. 0.5. m n 2 m n 2 2009. + Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 và m n 2 m n 2 nên có các trường hợp sau xảy ra: 2 (2 điểm). . . m n 2 2009 TH1: m n 2 1. m 1005 n 1002. m n 2 287 m 147 n 138 TH1: m n 2 7 m n 2 49 m 45 TH3: m n 2 41 n 2. Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2.. 0.5. 0.5. 0.5.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> Câu 4. 1 (4 điểm). (6 điểm). a) + Gọi E là trung điểm của CD, chỉ ra ABED là hình vuông và BEC là tam giác vuông cân.. 0.5. + Từ đó suy ra AB AD a; BC 2a. 0.5. + Diện tích của hình thang ABCD là. S. AB CD . AD. . 2. a 2a .a 3a 2 2. 0.5. 2. . b) + ADH ACD (1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vuông góc) + Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có AD IB 1 DC BD 2 , do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng. ACD BDI . Suy ra. 0.5. 0.5. 0.5. (2). + Từ (1) và (2), suy ra ADH BDI 0 0 0 + Mà ADH BDH 45 BDI BDH 45 hay HDI 45. 0.5 0.5. 2 (2 điểm). + Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M.. 0.5.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ta có BAD AMC (hai góc ở vị trí đồng vị) DAC ACM (hai góc ở vị trí so le trong) Mà BAD DAC nên AMC ACM hay tam giác ACM cân tại A, suy ra AM AC b AD BA c + Do AD//CM nên CM BM b c CM AM AC 2b . + Mà + Tương tự ta có. c AD 1 11 1 b c 2b la 2 b c (1). 1 11 1 1 1 1 1 lb 2 c a (2); la 2 b c (3). 0.5 0.5. 0.5. Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm Câu 5 2. 2. 2. 2. + Ta có a 1 2a; b 1 2b a b 2 2a 2b a b 2. 1 điểm. 1điểm 0.25. 1 1 4 + Chứng minh được với hai số dương x, y thì x y x y. 0.25. 1 4 1 S 2 1 2 a 1 b 1 a 1 b 1 + Do đó. 0.25. + Kết luận: GTLN của S là 1, đạt được khi a b 1 .. 0.25 Điểm toàn bài (20điểm). Lưu ý khi chấm bài:. -. Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm..
<span class='text_page_counter'>(6)</span>
