tich phan doi bien so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Dạng 1: Đặt x = u(t). PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ u() = a ; u() = b. . b.  f (x).dx =  f[u(t)].u (t).dt a. . Ví dụ 1: Tính tích phân sau : 1. a). 1  x 2 .dx Đặt x = Sin t. .  dx = Cos t.dt. t  [. 0. Khi.  t= 0  t = /2. /2. 1. 1  x 2 .dx =. . . 0. =. x=0 x= 1. /2. 1  Sin 2 t.cos t.dt =. 0. b). 1 2. 0. 1. dx. sin 2t 1  sin   ) = ( + )= 0 2 2 2 2 4   ) 2 2.  dx = (tan2 t+ 1).dt ; t  ( ;. Đặt x = tant.  1  x2. cos t .cos t.dt =.  /2. (1  cos 2t).dt = (t+. .  0. /2. 1 2. 0. Khi /4. I=.  0. 3 2. c).  0. 1 x. x = 0  tan t =0 x = 1  tan t = 1. (tan 2 t  1).dt = (tan 2 t  1). dx. Khi. x=0.  0. /3. dx 1 x. 2. =.  0. Cos t.dt 2. /3. . .  t =0  t = /4.  /4. dt =(t). 0. =. 0.  4.  dx = Cos t.dt. t  (.  t= 0 3 2. x= 3 2. /4. Đặt x = Sin t. 2.   ; ] 2 2. . 1  Sin t 0 Khi x=1 x= e.  t = /3. Cos t.dt  Cos t. /3. .  /3. dt =(t). 0. 0. =.  3.  t = 0  t = /6. Dạng 2: Đặt : t = v(x) => dt = v/(x).dx Khi đó biến đổi f(x) thành một biểu thức có dạng g[v(x)].v/(x) Đổi cận : x = a  t = v(a) x = b  t = v(b).   ; ) 2 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> v(b). b. g[v(x)].v(x).dx.  f (x).dx =  a. v(a). Ví dụ 2: Tích các tích phân sau : 3.  x.. a). 3  2x 2 .dx. Đặt t =3+2x2 => dt = 4xdx =>. 1. Khi. x=1 x= 3. 3. x. 3  2x 2 .dx =. . 1 1. b). x. 2. 3. .e -x .dx.  t= 5  t =9. 9. 1 4. . t.dt =. 5. 1 2 . 4 3. t3. 9. 1 = (27 53 ) 5 6. Đặt t = x3 => dt = 3x.dx => . 1. Khi 1. 3. 2 -x  x .e .dx =. 1. e3. c). dx. 1 3. x = 1 x=1. 1. 1. t. t.  e .dt = 3 e 1. e. Khi e3. x=e x = e3. 3. dx dt  x ln x =  t =ln t 1 e 1. d)  0. 6x  2 2. 3x  2x  7. 6x  2.  3x2  2x  7 0. 1 1. 1 1 1 1 = .e1 + e= (e ) 3 3 3 e 1 dx x.  t= 1  t =3. 3 1. =ln3. Đặt t= 3x2 2x+7 => dt=(6x2).dx. .dx. Khi 1. x=0 x=1.  t= 7  t =8. 8. 8. .dx = . 7. dt =ln t t 7. =ln8 ln7. Bài tập : Bài 1: Tính các tích phân : 1. a)  (3x  2)5 dx = 0. dt =x.dx 3.  t= 1  t = 1. Đặt t =lnx => dt =.  x ln x. dt =x.dx 4. (3x  2)6 3.6. 1 0. =. 1 (2)6  = 18 18.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1. b)  x(x 2  1) 6 dx. Đặt t =x2+1 => dt = 2xdx =>. 0. Khi 1. 1  x(x  1) .dx = 2 0 2. 6. 2. c)  (2x  1)7 dx = 1. x=0 x=1. 2 6  t .dt = 1. (2x  1)8 2.8.  t=1  t =2. 1 t7 2 7 2 1. =. 2 1. =. 27 1  14 14. 58 38  16 16. 0. d). x. x 2  3.dx. Đặt t =x2 +3 => dt = 2xdx =>. 1. Khi 0. 1  x x  3.dx = 2 1 2. / 2. e).  0. x = 1 x=0 3.  4. Sinx dx 1  3Cosx.  0. dt =x.dx 2.  t=4  t =3. 1 2 . 2 3. t3. 3. 1 = ( 27 8) 4 3. Đặt t = 1+3cosx  dt =3sinx.dx => . Khi / 2. t.dt =. dt =x.dx 2. Sinx 1 dx = 1  3Cosx 3. x=0  t= 4 x = /2  t = 1 1. dt 1  t = 3 ln t 4. 1. 1 1 1 = ln1+ ln4= ln4 4 3 3 3. / 2. f). . 2 1  Cosx .Sinx.dx. 0. Đặt t = 1+cosx  dt =sinx.dx => dt=sinx.dx Khi x=0  t= 2 x = /2  t = 1 / 2.  0. 1. 2 1  Cosx .Sinx.dx =2  t.dt =2. 2. / 4. g).  0. e tanx 2. Cos x. dx. Đặt t = tanx => dt = Khi. / 4.  0. e tanx Cos2 x. x=0 x =/ 4. 1. dx =  e t .dt =et 0. 1 0. =e1. 2 3. t3. 1. 4 4 = + 2 3 3. 1 dx cos2 x.  t= 0  t =1. 8. dt =sinx.dx 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> e2. dx 1 Đặt t =lnx => dt = dx x e x ln x Khi x=e  t= 1 2 x=e  t =2. h). . e2. 2. 2 dx dt = =ln t =ln2   1 e x ln x 1 t Bài 2: Tích các tích phân sau : e 3. a). 6  2ln x dx x.  1. Đặt t =6+2lnx => dt =2.. Khi e 3.  1. 6  2ln x 1 dx = x 2. x=1 x=e 8. . 3. t.dt =. 6. / 2. b). . 1 3 . 2 4. 3. t4. 8 6. =. 3 (16 3 64 ) 8. . Cosx. sin x .dx +. / 2. Cosx(1  Cos2 x).dx =. .  / 2 / 2.  / 2 0. =.  t= 6  t =8. / 2. Cosx  Cos3 x.dx =.  / 2 0. =. 1 dt 1 dx => = dx x 2 x. . Cosx. sin x .dx.  / 2. . Cosx. sin x .dx. . Cosx.sin x.dx. 0 / 2. Cosx .sin x.dx +. .  / 2. 0. Đặt t= cosx => dt = sinx.dx => dt =sinx.dx Đổi cận : Khi x = /2  t = 0 x=0  t =1 x = /2  t=0 1. I=. 0.  0. 1. / 9. c) d). 1. t.dt   t.dt =2  t.dt =2. 2dx. . 2.  / 12 3.Cos 9. . 5. 0. 3x. x.dx. 2. x  144. =. 2 1 . tan3x 3 3. 2 3. /9  /12. t3. 1 0. =. 4 3. 2   2 = (tan tan )= ( 3 1) 9 3 4 9. Đặt t =x2+144  dt =2x.dx=> Khi. x = 5 x=9.  t = 169  t = 225. dt =x.dx 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 9. x.dx. 1 = 2 x  144 2. . 5. ln 3. e).  0. 225. x=0 x =ln3. 8. ex dt .dx =  =ln t x t 5e 6.  0 5. 169. ex .dx Đặt t = 5+ex 5  ex. Khi ln 3. 225. dt 1  t = 2 ln t 169. f)  x x  1.dx. =. 1 (ln225ln169) =ln15ln13 2.  dt =ex.dx  t= 6  t =8. 8 6. =ln8ln6. x  1 => x=t2 +1 => dx =2t.dt. Đặt t=. 1. Đổi cận :. Khi. 5. x=1 x=5.  t= 0  t = 2. 2. 2. 2 4 2  x x  1.dx =  (t  1).t.(2t.dt) =  (2t  2t ).dt =( 1. 0. 2. g). dx. . 4. 2. Đặt t=. x 2. Đổi cận : 2. 2. Khi 1. dx. . 4. 0. x 2. 2t 5 2t 3 + ) 5 3. x => x=42t2 => dx =4t.dt 2. 2. x =4 x=2.  t=2  t =1. 2. 2 4t.dt =4  dt =4t =4(21)=4 1 t 2 1. =. / 6. h). 1  4Sinx.Cos x.dx.  0. Đặt t = 1+4Sin x Khi / 6.  0.  1. e. 3. t.dt =.  1. 1 2 . 4 3. x. x. .dx. Đặt t = Khi. dt =cosx.dx 4. x=0  t= 1 x = /6  t = 3. 1 1  4Sinx.Cos x.dx = 4 4. i).  dt =4Cos x.dx =>. x. => dt =. x=1. 1. 2 x  t= 1. t3. 3 1. =. 1 ( 27 1) 6. dx => 2dt=. 1 x. .dx. 2 0. =. 26 24 + 5 3.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> x=4 4. . e. x. 1. 2. x. .dx =2  e t .dt =2et 1.  2. 2.  t =2. =2e2 2e. 1. / 2. Bài 3: a)  Sin 3 x.dx =. . 0. / 2. sin 2 x.sin x.dx =. 0. . (1  cos 2 x).sin x.dx. 0. Đặt t = cos x  dt =sinx.dx Khi x=0  t=1 x = /2  t = 0  2. 0. 1. 2 2 3  Sin x.dx = (1  t )(dt) = (1  t ).dt =(t . . 0. . 1. 0. /2. b). . t3 1 1 2 ) =1 = 3 3 3 0. /2. Sin 3 x.Cos2 x.dx =. 0. . /2. Sin 2 x.Cos 2 x.sin x.dx =.  (1  cos. 0. 2. x)Cos 2 x.sin x.dx. 0. Đặt t = cos x  dt =sinx.dx Khi x=0  t=1 x = /2  t = 0 0. /2. . . 0. 2. . 1. 1 3. 1 5. =  =. 2. 4. 0. 2 15 / 2. / 2. c). 1 2. (1  cos 2 x)Cos 2 x.sin x.dx = (1  t ).t ( dt) = (t  t ).dt =(. 5.  Sin x.dx =  0. (1  cos 2 x) 2 .sin x.dx. 0. Đặt t = cos x  dt =sinx.dx Khi x=0  t=1 x = /2  t = 0 0. / 2. 1. 5.  Sin x.dx =  (1  t 0. =(t  / 3. 5. 2t t  ) 3 5 / 3. 1 2 2. ) (dt) =  (1  t ) .dt =  (1  2t 2  t 4 ).dt. 1. 3. d). 2 2. 0. 0. 1. = 8/15 0. / 3. dx dx dx =  Cosx =   =   x  x  / 4 sin(  x)  / 4 2.sin(  ).cos(  ) /4 2 4 2 4 2. t 3 t5  ) 3 5. 1 0.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> / 3. dx  x x 2   / 4 2.tan(  ).cos (  ) 4 2 4 2  x 1 Đặt t= tan(  ) => dt=   x 4 2 2.cos2 (  ) 4 2. =. . Khi. Đổi cận. x = /3 x = /4 tan. / 3.  12   t = tan 8.  t = tan.  12. tan.  8. tan(  / 8) dx dt dt = = =ln t   t  t  x x tan(  /12) 2   / 4 2.tan(  ).cos (  ) tan tan 8 12 4 2 4 2   =ln(tan ) ln(tan ) 8 12 / 4 / 4 / 4 2 Sin x Sin 2 x 1 1 e)  .dx = . .dx = tan 2 x. .dx   4 2 2 2 Cos x Cos x Cos x Cos x 0 0 0. 1 dx Cos 2 x x=0  t= 0 x = /4  t = 1. Đặt t = tan x.  dt =. Khi / 4. tan 2 x.. . 0 / 4. f). . 1. 1 2. Cos x. 2  t .dt . .dx =. 0. tan5 x.dx . Ta có :. t3 3. 1. = 0. 1 3. tan5x = (tan3xtanx)(tan2x + 1 ) + tanx. 0. / 4. . tan5 x.dx =. / 4. . / 4 3. 2. (tan x  tanx)(tan x  1 )dx . 0. 0. . / 4. (tan 3 x  tanx)(tan 2 x  1)dx =. 0. 4. =(. tan x.dx = K J. 0. / 4. Tính K =. . . (tan 3 x  tanx).d(tanx). 0. 2. tan x tan x  / 4 1 1 1  ) =  = 4 2 4 4 2 0 / 4. J =.  0. /4. tan x.dx = .  0. d(Cosx) =( Cosx.  /4. = ln. ln Cosx ) 0. 2 1  ln2 2 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> / 4. Vậy :. tan5 x.dx = .  0. 1 1  .ln2 4 2 /4. / 4. g) I=. . Sin 2 x.Cos 4 x.dx ; Xét J=. Sin 4 x.Cos 2 x.dx.  0. 0. /4. I+J=. /4. Sin 2 x.Cos2 x.(Sin 2 x  Cos2 x).dx =.  0. =. Sin 2 2x..dx =.  0. /4. I–J=. Sin 2 x.Cos 2 x.dx. 0. /4. 1 4. . 0. 1. =. Vậy I =. 2. 2. /4. .  /4. = 0. 0. 2. 1 8. 1.    1  Cos4x  dx = 8  x  4 Sin4x . 1 Sin x.Cos x.(Cos x  Sin x).dx  4 2. . 1 8. /4. Sin 2 2x.d(Sin2x) =. 0. 1  1 (  ) 2 32 24. 3. Sin 2x 24. và J =.  32. / 4. . Sin 2 2x.Cos2x.dx . 0.  /4. = 0. 1 24. 1  1 (  ) 2 32 24. 3. h).  x.. 3. Đặt t=. x  1.dx. 3. x  1 => x=t3 +1 => dx =3t2.dt. 1. Đổi cận :. Khi 3. 3 3. x=1 x=3.  t= 0  t = 3. 2.  x. x  1.dx =. . 1. 0. 3. 2. (t  1).t.(3t .dt) =. 2.  0. 3t 7 3t 4 + ) (3t  3t ).dt =( 7 4 6. 3. 3. 2. 0. 12 3 3 45 3 . 2+ .32= 2 7 2 14  Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số khi f(x) có chứa dạng sau :   a2  x2 đặt x= a.Sin t với t  [ ; ] 2 2 hoặc đặt x = a.Cos t với t  [0 ; ]   a 2  x 2 hoặc (a2 + x2 ) đặt x = a.tan t với t  ( ; ) 2 2 a  2 2 x a đặt x= với t  [0;]\  Cos t 2. =. 1. Bài 4 : a). dx.  1 x 0. 2. Đặt x = tant.   ) 2 2.  dx = (tan2 t+ 1).dt ; t  ( ;.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Khi /4. I=.  0. 2. b). dx. . 4  x2. 0. x = 0  tan t =0 x = 1  tan t = 1. /4. dx. . =. 4  x2. 0. .  0. =.  4.  t= 0  t = /4 / 4. 2Cos t.dt. 0.  dx = 2Cos t.dt. x=0 x= 2. . 4  4Sin 2 t. 0.  /4. dt =(t). Đặt x = 2Sin t Khi. 2. /4. (tan 2 t  1).dt = (tan 2 t  1).  t =0  t = /4.  0. 2Cos t.dt  2Cos t. /4.  /4. dt = t. . = /4 0. 0. 1. c)  x 2 4  x 2 .dx. Đặt x = 2Sin t.  dx = 2.Cos t.dt. 0. Khi. x=0 x= 1.  t= 0  t = /6. /6. 1. x. 2. 2. 4  x .dx =. 0. 8.Sin 2 t. 4  4Sin 2 t.Cos t.dt.  0. /6. = 16. 1 Sin t. Cos t .Cos t.dt =16. 4 2.  0. /6. . /6 2. Sin 2t.dt = 2. 0.  0. /  3 1 = 2(t  Sin 4t) =   3 4 4 4 3. d). x. . Đặt t=x2 4 => dt= 2x.dx =>. .dx. x2  4 Đổi cận : Khi 4. x=4 x=. 4 3. x. . 2. x 4. 4. 1. .dx =. 1 2. 4/3.  12. dt t.  t = 12 4.  t = 4/3. 3 4/3. = t. 12. =. 1. e)  x 3 1  x 2 .dx =  x 2 1  x 2 .x.dx 0. 0. dt =x.dx 2. 2 3.  12 =. 4 3. (1  Cos 4t).dt.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Đặt t=1+x2 => dt= 2x.dx =>. Khi. Đổi cận : 1. dt =x.dx ; và x2 =t1 2. x=0 x=1.  t= 1  t =2. 2. 2 2  x 1  x .x.dx = 0. 1 2 ( 2 5. =. t5 . 2 3. 2. 1 1 1 t 5/ 2 2 3/2 = = (  (t  1). t.dt (t  t ).dt 2 1 2 1 2 5/ 2 3. t3 ). 2. =(. 1. 1 5. 25 . 1 3. t3 ). 2 1. 1 1 2 2 2 + 23 )(  )= 5 3 15 15. 2. f). 2. x .. 4  x 2 .dx. Đặt x = 2Sin t.  dx = 2.Cos t.dt. 1. Khi. x = 1 x= 2.  t = /6  t = /4. /4. 2 2. x .. 2. 4  x .dx =. 1. 8.Sin 2 t. 4  4Sin 2 t.Cos t.dt.   / 6. /4. /4. / 4. 1 = 16  Sin t. Cos t .Cos t.dt =16. Sin 2 2t.dt = 2  (1  Cos 4t).dt  4  / 6  / 6  / 6 2. /4 1  1  1 2  5 3 = 2(t  Sin 4t) = 2(  sin) 2(  sin )= +  4 4 6 4 3 6 4 4 1 2. g). . x.dx. 1 x Đổi cận : 0. 1 2.  0. 1 = 2 2 1 x. . x.dx. 1 x Đổi cận : 0. 1 2.  0. Khi. x.dx. 1. h). Đặt t=1x2 => dt= 2x.dx => . 2. x.dx 1  x2. . dt t. 1.  t= 1  t = 3/4. 3/ 4. = t. 1. =. 3 +1 2. Đặt t=1+x2 => dt= 2x.dx =>. 2. =. 3/ 4. x=0 x = 1/2. Khi. 1 2. 2.  1. dt t. x=0 x=1 2. = t. 1. dt =x.dx 2. = 2 1. dt =x.dx 2.  t= 1  t =2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bài 5 : e. a). x 1. dx 1  (ln x). Đặt ln x = Sin t. 2. Khi e. 1  (ln x)2. 1. 2 2. b). /6. dx. x. x.dx. . =. . Cos t.dt 1  Sin 2 t. 0. x.dx. 1 = 4 2 1 x. 0. .  0. x=0 x=. . /6. Cos t.dt  Cos t. /6. . dt = /6. 0. 1 2. Khi. 2 2.  t = 0  t = /6. Đặt x2 = Sin t  2x.dx = Cos t.dt => x.dx= cost.dt. 1  x4. 0. x=1 x= e. dx = Cos t.dt x. . /6.  t = 0 2 2.  t = /6. Cos t.dt. 1 = 1  Sin 2 t 2.  0. /6.  0. Cos t.dt 1 = 2 Cos t. /6. . 1   = 2 6 12. dt = .. 0. 1 2. c).  0. Đặt. x.dx 1  2x 4. 2 x2 = Sin t  2 2 x.dx = Cos t.dt => x.dx=. Khi. x=0 x=. 1 2 2. cost.dt.  t = 0 1.  t = /4. 2. 1 2.  0. x.dx 1  2x. 4. =. 1 2 2. / 4.  0. Cos t.dt 2. 1  Sin t. =. 1 2 2. /4.  0. Cos t.dt 1 = Cos t 2 2. /4.  0. dt =.  2 2 4 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>