Tài liệu phương trình đường thẳng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHỦ ĐỀ 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Phương trình đường thẳng:  • Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) với a12 + a2 2 + a32 ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình tham số là :. •. II.. x x0 + a1t =  y0 + a2 t ; ( t ∈  ) y = =  z z0 + a 2 t  Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) sao cho a1a2a3 ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình chính tắc là : x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3. Góc: 1. Góc giữa hai đường thẳng:  ∆1 có vectơ chỉ phương a1  ∆ 2 có vectơ chỉ phương a2.   a1.a2 Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 . Ta có: cos ϕ =   a1 . a2. 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:  ∆ có vectơ chỉ phương a∆  (α ) có vectơ chỉ phương nα.   a∆ .nα Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆ và (α ) . Ta có: sin ϕ =   a∆ . nα. III.. Khoảng cách: 1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ :  ∆ đi qua điểm M 0 và có vectơ chỉ phương a∆    a∆ , M 0 M    d ( M , ∆) =  a∆. 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:  ∆1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a1  ∆ 2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương a2     a1 , a2  .MN   d ( ∆1 , ∆ 2 ) =    a1 , a2    IV. Các dạng toán thường gặp: 1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt A, B .  Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là AB . 2. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M và song song với d . Cách giải: Trong trường hợp đặc biệt:. Trang 1/42.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> •. Nếu  ∆  song song hoặc trùng bới trục Ox thì ∆ có vectơ chỉ phương là a∆ = i = (1;0;0 ). •. Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Oy thì ∆ có vectơ chỉ phương là   a∆= j= ( 0;1;0 ). Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Oz thì ∆ có vectơ chỉ phương là   a∆= k= ( 0;1;0 )    Các trường hợp khác thì ∆ có vectơ chỉ phương là a∆ = ad , với ad là vectơ chỉ phương của d 3. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α ) .    Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = nα , với nα là vectơ pháp tuyến của •. (α ) .. 4. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 (hai đường thẳng không cùng phương).      Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ =  a1 , a2  , với a1 , a2 lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 , d 2 . 5. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α ) .     Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ =  ad , nα  , với ad là vectơ chỉ  phương của d , nα là vectơ pháp tuyến của (α ) . 6. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng (α ) , ( β ) ; ( (α ) , ( β ) là hai mặt phẳng cắt nhau)      Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ =  nα , nβ  , với nα , nβ lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α ) , ( β ) . 7. Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và ( β ) . Cách giải: • Lấy một điểm bất kì trên ∆ , bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý.      • Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ =  nα , nβ  , với nα , nβ lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α ) , ( β ) .. 8. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 ( A ∉ d1 , A ∉ d 2 ) .      Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ =  n1 , n2  , với n1 , n2 lần lượt là vectơ pháp tuyến của mp ( A, d1 ) , mp ( A, d 2 ) . 9. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α ) và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 ..   Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = AB , với A = d1 ∩ (α ) , B = d 2 ∩ (α ) 10. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc và cắt d . Cách giải: • Xác định B = ∆ ∩ d . • Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, B . 11. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc với d1 và cắt d 2 , với A ∉ d2 . Cách giải: Trang 2/42.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> •. Xác định B = ∆ ∩ d 2 .. • Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, B . 12. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α ) . Cách giải: • Xác định B = ∆ ∩ d . • Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, B . 13. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α ) cắt và vuông góc đường thẳng d . Cách giải: • Xác định A= d ∩ (α ) . •.     Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ =  ad , nα  , với ad  là vectơ chỉ phương của d , nα là vectơ pháp tuyến của (α ) .. 14. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (α ) , nằm trong (α ) và vuông góc đường thẳng d (ở đây d không vuông góc với (α ) ) . Cách giải: • Xác định A= d ∩ (α ) . •.     Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ =  ad , nα  , với ad  là vectơ chỉ phương của d , nα là vectơ pháp tuyến của (α ) .. 15. Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 . Cách giải:  AB ⊥ d1 • Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d 2 sao cho   AB ⊥ d 2 • Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B . 16. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 . Cách giải:    • Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d 2 sao cho AB, ad cùng phương, với ad là vectơ chỉ phương của d .   • Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương ad = a∆ .. 17. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α ) và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 . Cách giải:    • Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d 2 sao cho AB, nα cùng phương, với nα là vectơ. pháp tuyến của (α ) .. •.   Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương ad = nα .. 18. Viết phương trình ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (α ) .    Cách giải : Xác định H ∈ ∆ sao cho AH ⊥ ad ,với ad là vectơ chỉ phương của d . •. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (α ) .. •. Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và ( β ). 19. Viết phương trình ∆ là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (α ) theo phương. d '. Trang 3/42.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Cách giải :  • Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d và có thêm một véc tơ chỉ phương ud' . •. Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và ( β ) .. B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 1. Học sinh xác định được vectơ chỉ phương và điểm nào đó thuộc đường thẳng khi cho trước phương trình. 2. Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình chính tắc và ngược lại. 3. Học sinh lập được phương trình chính tắc và phương trình tham số. 4. Học sinh tìm được hình chiếu, điểm đối xứng. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  x= 2 − 2t  x= 6 + 2t '   Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :  y= 3 − 2t và d’:  y= 3 + 2t ' . Xét các mệnh  z= 7 + 9t '  z = 1 − 3t   đề sau:  (I) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương a ( 2; 2;3)  (II) d’ đi qua A’ (0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương a ' ( 2; 2;9 )   (III) a và a ' không cùng phương nên d không song song với d’     (IV) Vì  a ; a '  . AA ' = 0 nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận: A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai. B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai. C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai. D. Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng.  x= 2 + t  Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số  y = −3t .  z =−1 + 5t  Phương trình chính tắc của đường thẳng d là? x−2 y z +1 = = . 1 −3 5 x + 2 y z −1 x+2 y z −1 C. D. = = . = = . 1 −3 5 −1 −5 3 Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc. A. x − 2 = y = z + 1.. B.. x − 3 y +1 z . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là? = = −3 2 1  x= 2 + 3t  x =−3 + 2t  x =−3 − 2t  x= 3 + 2t     A.  y =−1 − 3t . B.  y =−3 − t . C.  y = 1 − 3t . D.  y = 1 + 3t . z = t z = t z = t     z = t x + 2 y −1 z − 3 Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = . Đường thẳng d 2 −1 3  đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương ad có tọa độ là:   A. M ( 2; −1;3) , ad = B. M ( 2; −1; −3) , ad = ( 2; −1;3) . ( −2;1;3) .   C. M ( −2;1;3) , ad = D. M ( 2; −1;3) , ad = ( 2; −1; −3) . ( 2; −1;3) .. Trang 4/42.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x= t − 2  Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y= 2 + 3t . Đường thẳng d đi qua  z= 1 + t   điểm M và có vectơ chỉ phương ad có tọa độ là:   A. M ( −2; 2;1) , ad = B. M (1; 2;1) , ad = ( −2;3;1) . (1;3;1) .   C. M ( 2; −2; −1) , ad = D. M (1; 2;1) , a= ( 2; −3;1) . (1;3;1) . d Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tham số của  đường thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) và có vectơ chỉ phương = a (1; −2; 2 ) ?  x= 2 + t  A.  y =−3 − 2t .  z =−1 + 2t .  x = 1 + 2t  B.  y =−2 − 3t .  z= 2 − t .  x = 1 − 2t  C.  y =−2 + 3t .   z= 2 + t.  x =−2 + t  D.  y= 3 − 2t .  z = 1 + 2t . Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc ∆ của đường thẳng đi qua hai điểm A (1; −2;5) và B ( 3;1;1) ? x −3 x −1 y + 2 z − 5 A. = = B. = . 1 2 3 −4 x +1 y − 2 z + 5 x −1 C. = = D. = . −4 2 3 3 Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC. y −1 z −1 = . −2 5 y + 2 z −5 . = 1 1 có A ( −1;3;2 ) , B ( 2;0;5) , C ( 0; −2;1) .. Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là. x −1 y + 3 z + 2 x −1 y + 3 z + 2 B. = = A. = = . . −2 −1 −4 4 2 1 x − 2 y + 4 z +1 x +1 y − 3 z − 2 C. = = D. = = . . −1 1 3 2 −4 1 Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1;4; −1) , B ( 2;4;3) , C ( 2;2; −1) . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là x = 1 x = 1 x = 1 x = 1     A.  y= 4 + t . B.  y= 4 + t . C.  y= 4 + t . D.  y= 4 − t .  z = 1 + 2t   z =−1 + 2t  z =−1 − 2t   z =−1 + 2t   Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm. M (1;3;4 ) và song song với trục hoành là. x= 1+ t  A.  y = 3 .  y = 4 Câu 11.. x = 1  B.  y= 3 + t . y = 4 . x = 1  C.  y = 3 .  y= 4 − t . x = 1  D.  y = 3 .  y= 4 + t .  x = 1 − 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = t . Phương trình  z =−3 + 2t . chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 3;1; −1) và song song với d là x + 3 y +1 z −1 A. = = . −2 1 2 x + 2 y −1 z − 2 C. = = . −1 3 1. x − 3 y −1 z +1 B. = = . −2 1 2 x − 2 y +1 z + 2 D. = = . 3 1 −1. Trang 5/42.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> x − 2 y −1 z − 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = . Phương trình tham số −1 2 3 của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (1;3; −4 ) và song song với d là.  x= 2 + t  A.  y =−1 + 3t .  z= 3 − 4t .  x =−1 + 2t  B.  y =−3 − t .  z= 4 + 3t .  x =−1 + 2t  C.  y =−3 − t .  z= 4 + 3t .  x = 1 + 2t  D.  y= 3 − t .  z =−4 + 3t . 0 . Phương trình chính tắc của Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 3 = của đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( −2;1;1) và vuông góc với ( P ) là x + 2 y −1 z −1 x − 2 y −1 z −1 A. = = B. = = . . 2 −1 1 2 −1 1 x + 2 y −1 z −1 x + 2 y −1 z −1 C. = = D. = = . . 2 1 1 2 −1 −1 0 .Phương trình tham số của Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − 2 y + 2 z − 3 =. đường thẳng d đi qua A ( 2;1; −5) và vuông góc với (α ) là  x =−2 + t  A.  y =−1 − 2t .  z= 5 + 2t .  x =−2 − t  B.  y =−1 + 2t .  z= 5 − 2t .  x= 2 + t  C.  y = 1 − 2t .  z =−5 + 2t .  x = 1 + 2t  D.  y =−2 + t .  z= 2 − 5t . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2; −1;3) và vuông góc với mặt phẳng ( Oxz ) là.. x = 2  A.  y = 1 − t . z = 3 . x = 2  B.  y = 1 + t . z = 3 .  x= 2 + t x = 2   C.  y =−1 + t . D  y = −1 .  z= 3 + t z = 3   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 2;1; −2 ) , B ( 4; −1;1) , C ( 0; −3;1) . Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) là  x= 2 + t  x= 2 + t  x= 2 + t  x =−2 + t     A.  y =−1 − 2t . B.  y =−1 − 2t . C.  y = 1 − 2t . D.  y = 1 + 2t .  z = −2t  z = −2t  z = 2t  z = −2t     (ĐH D2007). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;4;2 ) và B ( −1;2;4 ) . Phương trình. d đi qua trọng tâm của ∆OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB ) là x y−2 z−2 x y+2 z+2 A. B. = = . . = = 2 −1 1 2 1 −1 x y−2 z−2 x y+2 z+2 C. D. = = . . = = 2 1 1 2 1 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 0;1;2 ) , B ( −2; −1; −2 ) , C ( 2; −3; −3) .. Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng d .  x =−2 − t  x =−2 + t  x =−2 − 6t    A.  y =−1 − 3t . B.  y =−1 + 3t . C.  y =−1 − 18t .  z =−2 + 2t  z =−2 − 2t  z =−2 + 12t   .  x =−2 − t  D.  y =−1 − 3t .  z =−2 − 2t . Trang 6/42.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( 2;1; −5) , đồng thời   vuông góc với hai vectơ a = (1;0;1) và = b ( 4;1; −1) là x + 2 y +1 z − 5 x − 2 y −1 z + 5 A. = = B. = = . . −1 5 1 −1 5 1 x + 2 y +1 z − 5 x +1 y − 5 z −1 C. = = D. = = . . −5 −1 1 −5 2 1 (ĐH B2013). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; −1;1) , B ( −1; 2;3) và đường thẳng x +1 y − 2 z − 3 . Phương trình đường thẳng đi qua điểm = = −2 1 3 hai đường thẳng AB và ∆ là x−7 y−2 z −4 x −1 y +1 A. = = B. = = . 1 −1 1 7 2 x +1 y −1 z +1 x +1 y −1 C. = = D. = = . −2 7 4 7 2 ∆:. A , đồng thời vuông góc với z −1 . 4 z +1 . 4.  x= 1 + t  x − 2 y z +1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : và d 2 :  y= 3 − 2t . = = 2 3 −1  z= 5 − 2t  Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2;3; −1) và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 là  x =−8 + 2t  A.  y = 1 + 3t .  z =−7 − t .  x= 2 − 8t  B.  y= 3 + 3t .  z =−1 − 7t .  x =−2 − 8t  C.  y =−3 + t .  z = 1 − 7t . ( P ) : 2 x + y + 2 z − 1 =0. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng x +1 y z − 3 = = . Phương trình đường thẳng d −1 2 3 và vuông góc với ∆ là x − 2 y +1 z − 5 B. A. = = . −5 2 4 x + 2 y −1 z + 5 C. = = D. . −2 −4 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai ∆:.  x =−1 + 14t  B.  y= 3 + 8t .  z =−1 + t . và đường thẳng. đi qua điểm B ( 2; −1;5) song song với ( P ) x + 2 y −1 z + 5 = = . −5 2 4 x −5 y + 2 z + 4 = = . −1 2 5 0 và mặt phẳng (α ) : x − 2 y + 2 z + 3 =. ( β ) : 3x − 5 y − 2 z − 1 =0 . Phương trình đường thẳng hai mặt phẳng (α ) , ( β ) là  x = 1 + 14t  A.  y= 3 + 8t .  z =−1 + t .  x =−2 + 8t  D.  y =−3 − t .  z = 1 + 7t . d đi qua điểm M (1;3; −1) , song song với.  x =−1 + t  C.  y= 3 + 8t .  z = 1+ t.  x =−1 + t  D.  y= 3 − t . z = 1+ t . 0 . Phương trình đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : 2 x − y + 2 z − 3 = d đi qua điểm A ( 2; −3; −1) , song song với hai mặt phẳng (α ) , (Oyz ) là..  x= 2 − t  A.  y = −3 .  z =−1 + t . x = 2  B.  y =−3 + 2t .  z =−1 + t . x = 2  C.  y =−3 − 2t .  z =−1 + t .  x = 2t  D.  y= 2 − 3 t. z = 1− t . Trang 7/42.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 0 và Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) : x − 3 y + z =. ( β ) : x + y − z + 4 = 0 = 0 . Phương trình tham số của đường thẳng d  x= 2 + t  B.  y = t .  z =−2 + 2t .  x= 2 + t  A.  y = t .  z= 2 + 2t .  x= 2 − t  C.  y = −t .  z =−2 − 2t . là  x =−2 + t  D.  y = t .  z= 2 + 2t . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng. (α ) : x − 2 y − z + 1 =0. 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm và ( β ) : 2 x + 2 y − 3z − 4 =. M (1; −1;0) và song song với đường thẳng ∆ là x +1 y −1 z x −1 y −1 z A. = = . B. = = . 8 1 6 8 1 6 x −1 y +1 z x − 8 y −1 z C. = = . D. = = . 8 1 6 1 1 6 x −1 y + 3 z . Phương trình đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = 2 1 −2 ∆ đi qua điểm A ( 2; −1; −3) , vuông góc với trục Oz và d là  x = −2t  x= 2 − t  x =−2 − t    B.  y = 1 + 2t . C.  y = 1 − 2t . D.  y =−1 + 2t . y = 3  y = 3   y = −3  0 . Phương trình đường Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3 y + 5z − 4 =  x= 2 − t  A.  y =−1 + 2t .  y = −3 . thẳng ∆ đi qua điểm A ( −2;1; −3) , song song với ( P ) và vuông góc với trục tung là.  x =−2 + 5t  . A.  y = 1  y =−3 + 2t .  x =−2 + 5t  . B.  y = 1  y =−3 + 2t .  x =−2 + 5t  . D.  y = 1  y =−3 − 2t .  x =−2 − 5t  C.  y = 1 − t .   y =−3 + 2t. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9 . Phương trình 2. 2. 2. 0 và vuông đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu ( S ) , song song với (α ) : 2 x + 2 y − z − 4 = góc với đường thẳng ∆ :. x +1 y − 6 z − 2 là. = = 3 −1 1. x= 1− t  A.  y =−2 + 5t .  z= 3 − 8t .  x =−1 + t  B.  y= 2 − 5t .   z =−3 − 8t. x= 1− t  C.  y =−2 − 5t .  z= 3 − 8t . x= 1− t  D.  y =−2 + 5t .  z= 3 + 8t .  x = 1 + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−1 + t . Hình chiếu vuông góc của d lên  z= 2 + t  mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình là.  x = 1 + 2t  A.  y =−1 + t . z = 0 .  x =−1 + 2t  B.  y =−1 + t . z = 0 .  x =−1 + 2t  C.  y = 1 + t . z = 0 . x = 0  D.  y =−1 − t .  z = 0. Trang 8/42.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  x = 1 + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−2 + 3t . Hình chiếu vuông góc của d lên   z= 3 + t mặt phẳng (Oxz ) có phương trình là..  x =−1 + 2t  . A.  y = 0  z= 3 + t .  x = 1 + 2t  x = 1 + 2t   . C.  y = 0 . D.  y = 0  z= 3 + t  z =−3 + t   x − 12 y − 9 z − 1 , và mặt thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = 4 3 1 x = 0  B.  y = 0 .  z= 3 + t . ( P ) : 3x + 5 y − z − 2 =0 . Gọi d ' là hình chiếu của d.  x = −62t  A.  y = 25t .  z= 2 − 61t .  x = 62t  B.  y = −25t .  z= 2 + 61t . lên ( P ) . Phương trình tham số của d ' là.  x = 62t  C.  y = −25t .  z =−2 + 61t .  x = 62t  D.  y = −25t .  z= 2 + 61t .  x = 1 + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−2 + 4t . Hình chiếu song song của d lên   z= 3 + t mặt phẳng (Oxz ) theo phương ∆ :.  x= 3 + 2t  . A.  y = 0  z = 1 − 4t . x +1 y − 6 z − 2 có phương trình là: = = −1 −1 1.  x= 3 + t  B.  y = 0 .   z = 1 + 2t.  x =−1 − 2t  . C.  y = 0  z= 5 − 4t .  x= 3 − 2t  . D.  y = 0 z = 1+ t .  x = 1 − 3t x − 2 y −1 z −1  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = và d 2 :  y =−2 + t . 3 2 −1  z =−1 − t . 0 và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 là: Phương trình đường thẳng nằm trong (α ) : x + 2 y − 3z − 2 = x + 3 y − 2 z −1 . A. = = −1 5 1 x − 3 y + 2 z +1 . C. = = −5 −1 1. x + 3 y − 2 z −1 . B. = = −5 1 −1 x +8 y −3 z . D. = = 1 3 −4 x+2 y−2 z = = (ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : và mặt 1 1 −1. 0 . Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong ( P ) , cắt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3 z + 4 =. và vuông góc đường thẳng ∆ là:  x = 1 − 3t  x =−3 + 2t   A.  y =−2 + 3t . B.  y = 1 − t .  z =−1 + t z = 1+ t  .  x =−3 − 3t  C.  y = 1 + 2t . z = 1+ t .  x =−3 + t  D.  y = 1 − 2t .  z= 1 − t . x−2 y +2 z−3 (ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = và 2 1 −1 x −1 y −1 z +1 d2 : = = . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A (1;2;3) vuông góc với d1 −1 2 1 và cắt d 2 là: Trang 9/42.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> x −1 y + 2 z + 3 . B. = = 1 −3 −5 x −1 y + 3 z + 5 . D. = = 1 −2 −3  x =−3 + 2t  (ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = 1 − t . Phương trình  z =−1 + 4t  x −1 y − 2 z − 3 . A. = = 1 −3 −5 x +1 y + 2 z + 3 . C. = = −1 3 5. chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A ( −4; −2;4 ) , cắt và vuông góc với d là:. x − 3 y − 2 z +1 A. = = 4 −4 −2 x−4 y−2 z+4 C. = = 1 −3 −2. x−4 y−2 z+4 B. = = 3 2 −1 x+4 y+2 z−4 D. = = −1 3 2 x −1 y + 3 z − 3 (ĐH A2005). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt 2 1 −1. 0 . Gọi A là giao điểm của d và ( P ) . Phương trình tham số của phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z + 9 =. đường thẳng ∆ nằm trong ( P ) , đi qua điểm A và vuông góc với d là: x = 1  A.  y =−1 + t .  z =−4 + t . x = t  B.  y = −1. z = t . x = t  C.  y = −1 .   z= 4 + t.  x= 1 + t  D.  y = 1 .  z = t. x−3 y −3 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2; −1) và đường thẳng d : = = . 1 3 2 Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng. (Q ) : x + y − z + 3 =0 là:. x −1 y − 2 z +1 . A. = = 1 −2 −1 x +1 y + 2 z −1 . C. = = −1 2 1. x +1 y + 2 z −1 . B. = = 1 2 1 x −1 y − 2 z +1 . D. = = 1 2 −1 x +1 y − 2 z −1 = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : và 3 1 2 x = 3 x −1 y z +1  ∆2 : = = . Phương trình đường thẳng song song với d :  y =−1 + t và cắt hai 1 2 3  z= 4 + t  đường thẳng ∆1; ∆ 2 là:. x = 2  A.  y= 3 − t .  z= 3 − t .  x = −2  B.  y =−3 − t .  z =−3 − t .  x = −2  C.  y =−3 + t .  z =−3 + t . x = 2  D.  y =−3 + t .  z= 3 + t . x y −1 z + 2 = và (ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d= 1: 2 −1 1  x =−1 + 2t  0 và cắt hai d 2 :  y = 1 + t . Phương trình đường thẳng vuông góc với ( P ) : 7 x + y − 4 z = z = 3  đường thẳng d1 , d 2 là: Trang 10/42.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> x−7 y z+4 = = . 2 1 1 x + 2 y z −1 = = . C. −7 −1 4. x − 2 y z +1 = = . 7 1 −4 x − 2 y z +1 = = . D. 7 1 4 x −1 y − 2 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = . Viết phương trình đường 1 2 −1 thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2;3; −1) cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng A.. B.. (α ) : x + y + z − 1 =0 bằng 2. 3.. x−3 y−6 z+2 . A. = = 1 3 −1 x−7 y z+4 = = . B. 2 1 1 x −3 y −6 z + 2 . C. = = 2 −2 −3 x−3 y −6 z+2 x+3 y+6 z−2 . D. = = và = = 1 3 −1 5 −5 −9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( −2;2;1) cắt trục tung tại B sao cho OB = 2OA. x y −6 z x y+6 z = = . = = . A. B. 2 −8 −1 2 4 −1 x y −6 z x+3 y+6 z−2 x = = . = C. = = D. và −1 −5 −9 3 2 4 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm. x − 2 y − 3 z +1 thẳng d : = = tại C 1 −2 1 x −1 y −1 z − 2 . A. = = −2 −1 3 x y −6 z = = . B. 2 4 −1 x −1 y −1 z − 2 x −1 và = C. = = −2 −1 3 31 x −1 y −1 z − 2 . D. = = −109 31 78. y+6 z = . −8 −1 B (1;1;2 ) cắt đường. sao cho tam giác OBC có diện tích bằng. 83 . 2. y −1 z − 2 = . 78 −109. x = t x − 2 y −1 z − 2  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = và d 2 :  y = 3 . 1 −1 −1  z =−2 + t  Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 là..  x= 2 + t  A.  y = 1 + 2t .  z= 2 − t .  x= 3 + t  B.  y= 3 − 2t . z = 1− t .  x= 2 + 3t  C.  y = 1 − 2t .   z= 2 − 5t.  x= 3 + t  D.  y = 3 . z = 1− t . x +1 y z − 2 = = , mặt phẳng 2 1 1 ( P ) : x + y − 2 z + 5 =0 và A (1; −1; 2 ) . Đường thẳng ∆ cắt d và ( P ) lần lượt tại M và N sao. (ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :. cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là. Trang 11/42.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> x +1 y −1 z + 2 . B. = = 2 3 2 x −2 y −3 z −2 . D. = = 1 −1 2 x − 2 y −1 z −1 , mặt cầu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = 1 2 −1 x −1 y +1 z − 2 . A. = = 2 3 2 x +1 y + 4 z + 2 . C. = = 3 2 −2. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z + 1) 2. 2. 2. 29 và A (1; −2;1) . Đường thẳng ∆ cắt d và ( S ) lần lượt tại =. M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là. x −1 y + 2 z −1 x +1 y − 2 và = = A. = = 2 5 −1 7 11 x +1 y − 2 z +1 x −1 y + 2 B. = = và = = 2 5 −1 7 11 x −1 y + 2 z −1 x −1 y + 2 C. = = và = = 2 5 −1 7 11 x +1 y − 2 z +1 x +1 y − 2 D. = = và = = 2 5 −1 7 11 (ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,. z +1 . −10 z −1 . −10 z −1 . −10 z +1 . −10 0 và hai điểm cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 =. A ( −3;0;1) , B (1; −1;3) . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với ( P ) , đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là. x − 2 y +1 z − 3 x + 3 y z −1 = = . . A. B. = = 26 11 −2 26 11 −2 x − 3 y z +1 x + 2 y −1 z + 3 = = . . C. D. = = 26 11 −2 −2 26 11 x − 3 y + 2 z +1 , mặt phẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = 2 1 −1 ( P ) : x + y + z + 2 =0 . Gọi M là giao điểm của d và ( P ) . Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong. ( P). vuông góc với d và cách M một khoảng bằng. x −5 A. = 2 x −5 B. = 2 x+3 C. = 2 x+3 D. = 2. y+2 = −3 y+2 = −3 y+4 = −3 y+4 = 3. 42 . Phương trình đường thẳng ∆ là.. x +3 y + 4 z −5 z+5 . và = = 1 2 1 −3 z +5 . 1 z −5 . 1 x +3 y + 4 z −5 z −5 . và = = 1 2 3 1.  x= 3 + t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1;1;2 ) , hai đường thẳng ∆1 :  y =−1 + 2t và z = 4 . x+2 y z−2 = = . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng 1 1 2 ∆1 , ∆ 2 là.. ∆2 :. x −1 y −1 z − 2 . A. = = 1 −1 1.  x = 1 + 2t  B.  y = 1 − t .  z= 2 + t  Trang 12/42.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>  x = 1 + 2t  D.  y = 1 + t .  z= 2 + t . x −1 y −1 z − 2 . C. = = 1 1 −1. x −1 y − 2 z x −1 y +1 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = , d2 : = = 2 1 1 1 2 1 và mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 3 = 0 . Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( P ) và cắt d1 , d 2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB = 29 . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là  x =−1 + 2t  x= 3 + 4t   A. ∆ :  y = 2t hoặc ∆ :  y =−2 + 4t .  z =−1 + 3t   z = 1 + 3t   x= 3 + 4t  C. ∆ :  y = −2t .  z = 1 + 3t . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,.  x= 3 + 4t  B. ∆ :  y = 2t .   z = 1 + 3t  x =−1 + 2t  D. ∆ :  y =−2 + 4t .   z =−1 + 3t. cho hai đường thẳng d1 :. x −1 y z + 2 = = 2 1 −1. và. x −1 y + 2 z − 2 d2 : = = 0 và cắt . Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( P ) : x + y + z − 7 = 1 3 −2 d1 , d 2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng ∆ là. x 12 − t =  A.  y = 5 .  z =−9 + t .  x = 6  5  C.  y= −t . 2  9   z =− 2 + t.   x= 6 − t  5  B.  y = . 2  9   z =− 2 + t. Trong không gian với hệ tọa độ. Oxyz,. cho hai đường thẳng.   x= 6 − 2t  5  D.  y= +t . 2  9   z =− 2 + t x +1 y + 2 z ∆1 : = = 1 2 1. và. x − 2 y −1 z −1 = = . Đường thẳng d song song với ( P ) : x + y − 2 z + 5 = 0 và cắt hai 2 1 1 đường thẳng ∆1; ∆ 2 lần lượt tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là ∆2 :. x −1 y − 2 z − 2 . B. = = 2 1 1 x +1 y + 2 z + 2 . C. x + 1 = y + 2 = z + 2. D. = = 2 1 1 x−2 y z+2 = = , mặt phẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : 2 1 1 ( P ) : 2 x − y − z + 5 =0 và M (1; −1;0 ) . Đường thẳng ∆ đi qua điểm M , cắt d và tạo với ( P ) A. x − 1 = y − 2 = z − 2.. một góc 300 . Phương trình đường thẳng ∆ là. x+2 y z−2 x+4 y+3 z +5 = = A. và = = . −2 1 1 5 2 5 x−2 y z+2 x −4 y −3 z −5 = = B. và = = . 1 1 −2 5 2 5 x −1 y +1 z x −1 y +1 z . C. = = và = = 1 1 −2 −1 23 14. Trang 13/42.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> x+2 = 1 Trong không gian D.. y z−2 x −4 y −3 z −5 = và = = . −2 1 5 2 5 với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A ( 3; −1;1) , nằm trong mặt phẳng x 1. ( P ) : x − y + z − 5 =0 , đồng thời tạo với ∆ : = thẳng d là  x= 3 + 7t  A.  y =−1 − 8t .  z =−1 − 15t   x= 3 + 7t  C.  y =−1 − 8t .  z = 1 − 15t . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,. y−2 z = một góc 450 . Phương trình đường 2 2  x= 3 + t  B.  y =−1 − t . z = 1 .  x= 3 + 7t  x= 3 + t   D.  y =−1 − t và  y =−1 − 8t .  z = 1 − 15t z = 1   gọi d đi qua điểm A (1; −1;2 ) , song song với. ( P ) : 2 x − y − z + 3 =0 , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ :. x +1 y −1 z = = một góc lớn nhất. 1 2 −2. Phương trình đường thẳng d là. x −1 y +1 z − 2 . A. = = −5 1 7 x −1 y +1 z − 2 . C. = = 4 5 7. x −1 y +1 z + 2 . B. = = 4 7 −5 x −1 y +1 z − 2 . D. = = 1 −5 −7 x −1 y − 2 z + 2 = = , sao cho Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A ( −1;0; −1) , cắt ∆1 : 2 1 −1 x−3 y −2 z+3 = = góc giữa d và ∆ 2 : là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là −1 2 2 x +1 y z +1 x +1 y z +1 x +1 y z +1 x +1 y z +1 = = . = = . C. = = = = . D. . A. B. −1 2 2 4 5 −2 4 −5 −2 2 2 1 x = t x y−2 z  d= = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng d1 :  y= 4 − t và 2 : 1 −3 −3  z =−1 + 2t  x +1 y −1 z +1 d2 : = = . Gọi ∆ là đường thẳng cắt d1 , d 2 , d 3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao 5 2 1 cho AB = BC . Phương trình đường thẳng ∆ là x−2 y−2 z x y−2 z x y − 3 z −1 x y − 3 z −1 = = . = = . D. = = . A. = = . B. C. −1 −1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. Trang 14/42.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 8.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D C A A C A A D A B A C D A A B II –HƯỚNG DẪN GIẢI  x= 2 − 2t  x= 6 + 2t '   Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :  y= 3 − 2t và d’:  y= 3 + 2t ' . Xét các mệnh đề sau:  z = 1 − 3t  z= 7 + 9t '    (V) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương a ( 2; 2;3)  (VI) d’ đi qua A’ (0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương a ' ( 2; 2;9 )   (VII) a và a ' không cùng phương nên d không song song với d’     (VIII) Vì  a ; a '  . AA ' = 0 nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận: A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai. B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai. C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai. D. Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng.  x= 2 + t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số  y = −3t . Phương  z =−1 + 5t  trình chính tắc của đường thẳng d là? A. x − 2 = y = z + 1.. x−2 y z +1 = = . 1 −3 5 x+2 y z −1 D. = = . 1 −3 5. B.. x + 2 y z −1 = = . −1 −5 3 Hướng dẫn giải Cách 1:  d đi qua điểm A ( 2;0; −1) và có vectơ chỉ phương a= d. C.. Vậy phương trình chính tắc của d là Cách 2:  x − 2 = t  x= 2 + t    y −3t ⇔  = t y = 3 −  z =−1 + 5t    z +1  5 = t Vậy phương trình chính tắc của d là. (1; −3;5). x−2 y z +1 = = 1 −3 5. x−2 y z +1 = = 1 −3 5. x − 3 y +1 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc = = . 2 −3 1 Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là? Trang 15/42.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  x= 3 + 2t  A.  y =−1 − 3t . z = t .  x= 2 + 3t  B.  y =−3 − t . z = t .  x =−3 + 2t  C.  y = 1 − 3t . z = t . Hướng dẫn giải Cách 1:  ∆ đi qua điểm A ( 3; −1;0 ) và có vectơ chỉ phương a= ∆.  x =−3 − 2t  D.  y = 1 + 3t . z = t . ( 2; −3;1).  x= 3 + 2t  Vậy phương trình tham số của ∆ là  y =−1 − 3t z = t . Cách 2:. x−3  2 =t  x − 3 y +1 z  y +1 == = = t⇔ t −3 2 1  −3 z  1 = t.  x= 3 + 2t  Vậy phương trình tham số của ∆ là  y =−1 − 3t  z = t x + 2 y −1 z − 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = . Đường thẳng d đi qua 2 −1 3  điểm M và có vectơ chỉ phương ad có tọa độ là:   A. M ( 2; −1;3) , ad = B. M ( 2; −1; −3) , ad = ( 2; −1;3) . ( −2;1;3) .   D. M ( 2; −1;3) , ad = ( 2; −1; −3) . C. M ( −2;1;3) , ad = ( 2; −1;3) . Hướng dẫn giải  d đi qua điểm M ( −2;1;3) và có vectơ chỉ phương a= ( 2; −1;3) d. x= t − 2  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y= 2 + 3t . Đường thẳng d đi qua điểm M  z= 1 + t   và có vectơ chỉ phương ad có tọa độ là:   A. M ( −2; 2;1) , ad = B. M (1; 2;1) , ad = ( −2;3;1) . (1;3;1) .   C. M ( 2; −2; −1) , ad = D. M (1; 2;1) , a= (1;3;1) . ( 2; −3;1) . d Hướng dẫn giải  d đi qua M ( −2;2;1) và có vectơ chỉ phương ad = (1;3;1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường  thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) và có vectơ chỉ phương = a (1; −2; 2 ) ?  x= 2 + t  A.  y =−3 − 2t .  z =−1 + 2t .  x = 1 + 2t  B.  y =−2 − 3t .  z= 2 − t .  x = 1 − 2t  C.  y =−2 + 3t .  z= 2 + t .  x =−2 + t  D.  y= 3 − 2t .  z = 1 + 2t . Hướng dẫn giải. Trang 16/42.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) và có vectơ chỉ phương  a =.  x =−2 + t (1; −2; 2 ) là  y= 3 − 2t  z = 1 + 2t . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc ∆ của đường thẳng đi qua hai điểm A (1; −2;5) và B ( 3;1;1) ? x − 3 y −1 z −1 x −1 y + 2 z − 5 B. = = A. = = . . −2 1 5 2 3 −4 x +1 y − 2 z + 5 x −1 y + 2 z − 5 C. = = D. = = . . −4 2 3 3 1 1 Hướng dẫn giải  ∆ đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương = AB ( 2;3; −4 ) x −1 y + 2 z − 5 Vậy phương trình chính tắc của ∆ là = = −4 2 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( −1;3;2 ) , B ( 2;0;5) , C ( 0; −2;1) . Phương. trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là. x −1 y + 3 z + 2 x −1 y + 3 z + 2 A. = = B. = = . . −4 −2 4 −1 2 1 x − 2 y + 4 z +1 x +1 y − 3 z − 2 C. = = D. = = . . −1 1 3 −4 2 1 Hướng dẫn giải M là trung điểm BC ⇒ M (1; −1;3)  AM đi qua điểm A ( −1;3;2 ) và có vectơ chỉ phương AM = ( 2; −4;1) x +1 y − 3 z − 2 Vậy phương trình chính tắc của AM là = = −4 2 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1;4; −1) , B ( 2;4;3) , C ( 2;2; −1) . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là x = 1 x = 1 x = 1 x = 1     A.  y= 4 + t . B.  y= 4 + t . C.  y= 4 + t . D.  y= 4 − t .  z =−1 − 2t   z = 1 + 2t  z =−1 + 2t  z =−1 + 2t    Hướng dẫn giải Gọi d là đường thẳng cẩn tìm..  BC =( 0; −2; −4 ) =−2 ( 0;1;2 ). . Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương ad = ( 0;1;2 ). . d qua A (1;4; −1) và có vectơ chỉ phương ad. x = 1  Vậy phương trình tham số của d là  y= 4 + t  z =−1 + 2t . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M (1;3;4 ) và song song với trục hoành là. x= 1+ t x = 1   A.  y = 3 . B.  y= 3 + t . y = 4   y = 4. x = 1  C.  y = 3 .  y= 4 − t . x = 1  D.  y = 3 .   y= 4 + t Trang 17/42.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Hướng dẫn giải Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.   Vì d song song với trục hoành nên d có vectơ chỉ phương ad = i =  d đi qua M (1;3;4 ) và có vectơ chỉ phương ad. (1;0;0).  x= 1 + t  Vậy phương trình tham số của d là  y = 3 y = 4   x = 1 − 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = t . Phương trình chính tắc của  z =−3 + 2t . đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 3;1; −1) và song song với d là x + 3 y +1 z −1 A. = = . −2 1 2 x + 2 y −1 z − 2 C. = = . 3 1 −1 Hướng dẫn giải  d có vectơ chỉ phương ad =. x − 3 y −1 z +1 B. = = . −2 1 2 x − 2 y +1 z + 2 D. = = . 3 1 −1. ( −2;1; 2 ).   Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương a∆ = ad = ( −2;1; 2 )  ∆ đi qua điểm A ( 3;1; −1) và có vectơ chỉ phương a∆ = ( −2;1; 2 ) x − 3 y −1 z +1 Vậy phương trình chính tắc của ∆ là = = −2 1 2 x − 2 y −1 z − 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = . Phương trình tham số −1 2 3 của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (1;3; −4 ) và song song với d là.  x= 2 + t  A.  y =−1 + 3t .  z= 3 − 4t .  x =−1 + 2t  B.  y =−3 − t .   z= 4 + 3t. Hướng dẫn giải  d có vectơ chỉ phương a= d.  x =−1 + 2t  C.  y =−3 − t .  z= 4 + 3t .  x = 1 + 2t  D.  y= 3 − t .  z =−4 + 3t . ( 2; −1;3).   Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương a= a= ∆ d  ∆ đi qua điểm M (1;3; −4 ) và có vectơ chỉ phương a∆. ( 2; −1;3).  x = 1 + 2t  Vậy phương trình tham số của ∆ là  y= 3 − t  z =−4 + 3t . 0 . Phương trình chính tắc của Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 3 = của đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( −2;1;1) và vuông góc với ( P ) là x + 2 y −1 z −1 A. = = . 2 −1 1 x + 2 y −1 z −1 C. = = . 2 1 1 Hướng dẫn giải  ( P ) có vectơ pháp tuyến n= P. x − 2 y −1 z −1 B. = = . 2 −1 1 x + 2 y −1 z −1 D. = = . 2 −1 −1. ( 2; −1;1).   Vì ∆ vuông góc với ( P ) nên d có vectơ chỉ phương a= n= ∆ P. ( 2; −1;1) Trang 18/42.

<span class='text_page_counter'>(19)</span>  ∆ đi qua điểm M ( −2;1;1) và có vectơ chỉ phương a∆ x + 2 y −1 z −1 Vậy phương trình chính tắc của ∆ là = = 2 −1 1 0 .Phương trình tham số của Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − 2 y + 2 z − 3 =. đường thẳng d đi qua A ( 2;1; −5) và vuông góc với (α ) là  x =−2 + t  A.  y =−1 − 2t .  z= 5 + 2t .  x =−2 − t  B.  y =−1 + 2t .  z= 5 − 2t . Hướng dẫn giải  (α ) có vectơ pháp tuyến n= α.  x = 1 + 2t  D.  y =−2 + t .  z= 2 − 5t .  x= 2 + t  C.  y = 1 − 2t .  z =−5 + 2t . (1; −2; 2 ).   Vì d vuông góc với (α ) nên d có vectơ chỉ phương a= n= d α  d đi qua A ( 2;1; −5) và có vectơ chỉ phương a= (1; −2; 2 ) d. (1; −2; 2 ).  x= 2 + t  Vậy phương trình tham số của d là  y = 1 − 2t  z =−5 + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2; −1;3) và vuông góc. với mặt phẳng ( Oxz ) là.. x = 2 x = 2   A.  y = 1 − t . B.  y = 1 + t . z = 3 z = 3   Hướng dẫn giải  (Oxz ) có vectơ pháp tuyến j = ( 0;1;0). x = 2  C.  y =−1 + t . z = 3 .   Vì ∆ vuông góc với (Oxz ) nên ∆ có vectơ chỉ phương a∆= j=  ∆ đi qua điểm A ( 2; −1;3) và có vectơ chỉ phương a∆.  x= 2 + t  D  y = −1 .  z= 3 + t . ( 0;1;0). x = 2  Vậy phương trình tham số của ∆ là  y =−1 + t z = 3 . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 2;1; −2 ) , B ( 4; −1;1) , C ( 0; −3;1) . Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) là  x= 2 + t  x =−2 + t   A.  y =−1 − 2t . B.  y =−1 − 2t .  z = −2t  z = −2t   Hướng dẫn giải Gọi G là trọng tâm ∆ABC , ta có G ( 2; −1;0 ).  x= 2 + t  C.  y = 1 − 2t .  z = −2t .  x= 2 + t  D.  y = 1 + 2t .  z = 2t . . Gọi ad là vectơ chỉ phương của d  AB = ( 2; −2;3)  AC =( −2; −4;3)   d ⊥ AB ad ⊥ AB    d ⊥ ( ABC ) ⇒  ⇒    ⇒ ad =  AB, AC  = d ⊥ AC  ad ⊥ AC. ( 6; −12; −12 ) =. 6 (1; −2; −2 ). Trang 19/42.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>  d đi qua G ( 2; −1;0 ) và có vectơ chỉ phương là ad = (1; −2; −2 ).  x= 2 + t  Vậy phương trình tham số của d là  y =−1 − 2t  z = −2 t . (ĐH D2007). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;4;2 ) và B ( −1;2;4 ) . Phương trình d đi qua trọng tâm của ∆OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB ) là x y−2 z−2 A. = = . 2 −1 1 x y−2 z−2 C. = = . 2 1 1 Hướng dẫn giải Gọi G là trọng tâm ∆OAB , ta có G (0;2;2)  OA = (1;4;2 )  OB = ( −1;2;4 ). x y+2 z+2 B. = = . −1 2 1 x y+2 z+2 D. = = . 2 1 1. . Gọi ad là vectơ chỉ phương của d   d ⊥ OA ad ⊥ OA    ⇒    ⇒ ad = OA, OB  = (12; −6;6 ) = 6 ( 2; −1;1) d ⊥ (OAB ) ⇒  d ⊥ OB ad ⊥ OB x y−2 z−2 Vậy phương trình của d = là = 2 1 −1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 0;1;2 ) , B ( −2; −1; −2 ) , C ( 2; −3; −3) . Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng d .  x =−2 + t  x =−2 − 6t  x =−2 − t    A.  y =−1 − 3t . B.  y =−1 + 3t . C.  y =−1 − 18t .  z =−2 − 2t  z =−2 + 12t  z =−2 + 2t    Hướng dẫn giải  AB =( −2; −2; −4 )  AC = ( 2; −4; −5).  x =−2 − t  D.  y =−1 − 3t .  z =−2 − 2t . Đường thẳng d đi qua điểm B ( −2; −1; −2 ) và có vectơ chỉ phương là.    ad = AB, AC  =− ( 6; −18;12 ) =−6(1;3; −2). Đáp án sai là câu A Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( 2;1; −5) , đồng thời   vuông góc với hai vectơ a = (1;0;1) và = b ( 4;1; −1) là x+2 x − 2 y −1 z + 5 A. = = B. = . −1 −1 5 1 x +1 x + 2 y +1 z − 5 C. = = D. = . 2 1 −5 −1 Hướng dẫn giải  ∆ đi qua điểm M ( 2;1; −5) , và có vectơ chỉ phương a∆ = x − 2 y −1 z + 5 Vậy phương trình chính tắc của ∆ là = = −1 5 1. y +1 z − 5 = . 5 1 y − 5 z −1 = . 1 −5.    a, b =  . ( −1;5;1). Trang 20/42.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> (ĐH B2013). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; −1;1) , B ( −1; 2;3) và đường thẳng x +1 y − 2 z − 3 . Phương trình đường thẳng đi qua điểm = = −2 1 3 hai đường thẳng AB và ∆ là x −1 y +1 x−7 y−2 z −4 A. = = B. = = . 7 2 1 1 −1 x +1 y −1 z +1 x +1 y −1 C. = = D. = = . 7 −2 4 7 2 Hướng dẫn giải  Gọi d là đường thẳng cần tìm và có vectơ chỉ phương ad  AB = ( −2;3; 2 )  ∆ có vectơ chỉ phương a∆ = ( −2;1;3)        d ⊥ AB  ad ⊥ AB ; a∆  ( 7;2;4 ) ad  AB= ⇒    ⇒ =  d ⊥ ∆    ad ⊥ a ∆ x −1 y +1 z −1 Vậy phương trình chính tắc của d là = = 7 2 4 ∆:. A , đồng thời vuông góc với z −1 . 4 z +1 . 4.  x= 1 + t  x − 2 y z +1 và d 2 :  y= 3 − 2t . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = 2 3 −1  z= 5 − 2t  Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2;3; −1) và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 là  x =−8 + 2t  A.  y = 1 + 3t .  z =−7 − t .  x= 2 − 8t  B.  y= 3 + 3t .  z =−1 − 7t .  x =−2 − 8t  C.  y =−3 + t .  z = 1 − 7t .  x =−2 + 8t  D.  y =−3 − t .  z = 1 + 7t . Hướng dẫn giải  d1 có vectơ chỉ phương= a1 ( 2;3; −1)  d 2 có vectơ chỉ phương a2 = (1; −2; −2 ) . Gọi a∆ là vectơ chỉ phương ∆        ∆ ⊥ d1  a∆ ⊥ a1  a1; a2  =− ⇒    ⇒ a∆ =    ( 8;3; −7 ) ∆ ⊥ d 2   a ∆ ⊥ a2  x= 2 − 8t  Vậy phương trình tham số của ∆ là  y= 3 + 3t  z =−1 − 7t . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng x +1 y z − 3 = = . Phương trình đường thẳng d 2 −1 3 và vuông góc với ∆ là x − 2 y +1 z − 5 A. = = B. . −5 2 4 x + 2 y −1 z + 5 C. = = D. . 5 −2 −4 Hướng dẫn giải  ∆ có vectơ chỉ phương a= ( 2; −1;3) ∆ ∆:. ( P ) : 2 x + y + 2 z − 1 =0. và đường thẳng. đi qua điểm B ( 2; −1;5) song song với ( P ) x + 2 y −1 z + 5 = = . −5 2 4 x −5 y + 2 z + 4 = = . −1 2 5. Trang 21/42.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> ( P ) có vectơ pháp tuyến .  nP = ( 2;1; 2 ). Gọi ad là vectơ chỉ phương d       d / / ( P )  ad ⊥ n P  a∆ ; nP  =− ⇒    ⇒ ad =    ( 5;2;4 ) d ⊥ ∆   ad ⊥ a ∆ x − 2 y +1 z − 5 Vậy phương trình chính tắc của d là = = −5 2 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng. ( β ) : 3x − 5 y − 2 z − 1 =0 . Phương trình đường thẳng hai mặt phẳng (α ) , ( β ) là  x =−1 + 14t  x = 1 + 14t   B.  y= 3 + 8t . A.  y= 3 + 8t .  z =−1 + t  z =−1 + t   Hướng dẫn giải  (α ) có vectơ pháp tuyến n= (1; −2;2 ) α  ( β ) có vectơ pháp tuyến nβ = ( 3; −5; −2 ). (α ) : x − 2 y + 2 z + 3 =0 và đi qua điểm M (1;3; −1) , song song với. d.  x =−1 + t  C.  y= 3 + 8t . z = 1+ t . .  . = nα , nβ  là ad = d đi qua điểm M (1;3; −1) và có vectơ chỉ phương.  x =−1 + t  D.  y= 3 − t . z = 1+ t . (14;8;1).  x = 1 + 14t  Vậy phương của d là  y= 3 + 8t  z =−1 + t . 0 . Phương trình đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : 2 x − y + 2 z − 3 = d đi qua điểm A ( 2; −3; −1) , song song với hai mặt phẳng (α ) , (Oyz ) là.. x = 2  x= 2 − t   A.  y = −3 . B.  y =−3 + 2t .  z =−1 + t  z =−1 + t   Hướng dẫn giải  (α ) có vectơ pháp tuyến n= ( 2; −1;2 ) α  (Oyz ) có vectơ pháp tuyến i = (1;0;0). x = 2  C.  y =−3 − 2t .  z =−1 + t . .  . nα , i  là ad = d đi qua điểm A ( 2; −3; −1) và có vectơ chỉ phương =.  x = 2t  D.  y= 2 − 3 t. z = 1− t . ( 0;2;1). x = 2  Vậy phương của d là  y =−3 + 2t  z =−1 + t . 0 và Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) : x − 3 y + z =. ( β ) : x + y − z + 4 = 0 = 0 . Phương trình tham số của đường thẳng d  x= 2 + t  A.  y = t .  z= 2 + 2t .  x= 2 + t  B.  y = t .  z =−2 + 2t .  x= 2 − t  C.  y = −t .  z =−2 − 2t . là  x =−2 + t  D.  y = t .  z= 2 + 2t . Hướng dẫn giải Cách 1:.  x + z =3t  x =−2 + t ⇒ Đặt y = t , ta có   x − z =−4 − t  z =2 + 2t Trang 22/42.

<span class='text_page_counter'>(23)</span>  x =−2 + t  Vậy phương trình tham số của d là  y = t   z= 2 + 2t. Cách 2: Tìm một điểm thuộc d , bằng cách cho y = 0  x + z =0  x =−2 ⇒ ⇒ M ( −2;0; 2 ) ∈ d Ta có hệ   x − z =−4  z =2  (α ) có vectơ pháp tuyến n= (1; −3;1) α  nβ (1;1; −1) ( β ) có vectơ pháp tuyến =    = ad = nα ; nβ  ( 2; 2; 4 ) d có vectơ chỉ phương  d đi qua điểm M ( −2;0;2 ) và có vectơ chỉ phương là ad  x =−2 + t  Vậy phương trình tham số của d là  y = t  z= 2 + 2t . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng. (α ) : x − 2 y − z + 1 =0. 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm và ( β ) : 2 x + 2 y − 3z − 4 =. M (1; −1;0) và song song với đường thẳng ∆ là x −1 y −1 z x +1 y −1 A. = = . B. = = 8 1 6 8 1 x − 8 y −1 x −1 y +1 z C. = = . D. = = 1 1 8 1 6 Hướng dẫn giải  (α ) có vec tơ pháp tuyến nα = (1; −2; −1)  ( β ) có vec tơ pháp tuyến= nβ ( 2; 2; −3). . z . 6 z . 6.  . = nα , nβ  là ad = d đi qua điểm M (1; −1;0) và có vectơ chỉ phương. (8;1;6). x −1 y +1 z Vậy phương trình của d là = = 8 1 6. x −1 y + 3 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = . Phương trình đường thẳng 2 1 −2 ∆ đi qua điểm A ( 2; −1; −3) , vuông góc với trục Oz và d là.  x= 2 − t  A.  y =−1 + 2t .  y = −3 .  x =−2 − t  B.  y = 1 + 2t . y = 3 . Hướng dẫn giải  Oz có vectơ chỉ phương k = ( 0;0;1)  d có vectơ chỉ phương= ad ( 2;1; −2 ).  x = −2t  C.  y = 1 − 2t . y = 3 . .  . ∆ đi qua điểm A ( 2; −1; −3) , và có vectơ chỉ phương là a∆ =  k , ad  =.  x= 2 − t  D.  y =−1 + 2t .  y = −3 . ( −1;2;0).  x= 2 − t  Vậy phương của ∆ là  y =−1 + 2t  y = −3 . Trang 23/42.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 0 . Phương trình đường Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3 y + 5z − 4 = thẳng ∆ đi qua điểm A ( −2;1; −3) , song song với ( P ) và vuông góc với trục tung là.  x =−2 + 5t  . A.  y = 1  y =−3 + 2t .  x =−2 + 5t  . B.  y = 1  y =−3 + 2t . Hướng dẫn giải  Oy có vectơ chỉ phương j = ( 0;1;0 )  ( P ) có vectơ pháp tuyến n= ( 2; −3;5) P.  x =−2 − 5t  C.  y = 1 − t .  y =−3 + 2t . .  x =−2 + 5t  . D.  y = 1  y =−3 − 2t .  . a∆  j, = nP  ∆ đi qua điểm A ( −2;1; −3) , và có vectơ chỉ phương là=. ( 5;0; −2 ).  x =−2 + 5t  Vậy phương của ∆ là  y = 1  y =−3 − 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9 . Phương trình 2. 2. 2. 0 và vuông đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu ( S ) , song song với (α ) : 2 x + 2 y − z − 4 = góc với đường thẳng ∆ :. x +1 y − 6 z − 2 là. = = 3 −1 1. x= 1− t  x =−1 + t   A.  y =−2 + 5t . B.  y= 2 − 5t .  z= 3 − 8t  z =−3 − 8t   Hướng dẫn giải Tâm của mặt cầu ( S ) là I (1; −2;3)  ∆ có vectơ chỉ phương a= ( 3; −1;1) ∆  nα ( 2;2; −1) (α ) có vectơ pháp tuyến=. x= 1− t  C.  y =−2 − 5t .  z= 3 − 8t . .  . d đi qua điểm I (1; −2;3) và có vectơ chỉ phương là ad =  a∆ , nα  =. x= 1− t  D.  y =−2 + 5t .  z= 3 + 8t . ( −1;5;8).  x= 1 − t  Vậy phương của d là  y =−2 + 5t  z= 3 + 8t .  x = 1 + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−1 + t . Hình chiếu vuông góc của d lên  z= 2 + t  mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình là.  x = 1 + 2t  A.  y =−1 + t .  z = 0 Hướng dẫn giải.  x =−1 + 2t  B.  y =−1 + t . z = 0 .  x =−1 + 2t  C.  y = 1 + t . z = 0 . x = 0  D.  y =−1 − t . z = 0 .  x = 1 + 2t  Cho z = 0 , phương trình của d ' là  y =−1 + t z = 0 . Trang 24/42.

<span class='text_page_counter'>(25)</span>  x = 1 + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−2 + 3t . Hình chiếu vuông góc của d lên   z= 3 + t mặt phẳng (Oxz ) có phương trình là..  x =−1 + 2t  . A.  y = 0  z= 3 + t  Hướng dẫn giải. x = 0  B.  y = 0 .  z= 3 + t .  x = 1 + 2t  C.  y = 0 .  z= 3 + t .  x = 1 + 2t  . D.  y = 0  z =−3 + t .  x = 1 + 2t  Cho y = 0 , phương trình của d lên mặt phẳng (Oxz ) là  y = 0   z= 3 + t x − 12 y − 9 z − 1 , và mặt thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = 4 3 1. ( P ) : 3x + 5 y − z − 2 =0 . Gọi d ' là hình chiếu của d.  x = −62t  A.  y = 25t .  z= 2 − 61t .  x = 62t  B.  y = −25t .  z= 2 + 61t . Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi A= d ∩ ( P ). lên ( P ) . Phương trình tham số của d ' là.  x = 62t  C.  y = −25t .  z =−2 + 61t .  x = 62t  D.  y = −25t .  z= 2 + 61t . A ∈ d ⇒ A (12 + 4a;9 + 3a;1 + a ) A ∈ ( P ) ⇒ a =−3 ⇒ A ( 0;0; −2 ) d đi qua điểm B (12;9;1). Gọi H là hình chiếu của B lên ( P )  nP ( 3;5; −1) ( P ) có vectơ pháp tuyến=.   BH đi qua B (12;9;1) và có vectơ chỉ phương a BH= n= P. ( 3;5; −1). x 12 + 3t =  BH :  y= 9 + 5t   z= 1 − t. H ∈ BH ⇒ H (12 + 3t;9 + 5t;1 − t ) H ∈ ( P ) ⇒ t =−. 78  186 15 113  ;− ; ⇒H  35 7 35   35.   186 15 183  ;− ; AH  =  7 35   35.  ad ' d ' đi qua A ( 0;0; −2 ) và có vectơ chỉ phương =. ( 62; −25;61).  x = 62t  Vậy phương trình tham số của d ' là  y = −25t  z =−2 + 61t . Cách 2: • Gọi (Q ) qua d và vuông góc với ( P ). Trang 25/42.

<span class='text_page_counter'>(26)</span>  d đi qua điểm B (12;9;1) và có vectơ chỉ phương ad = ( 4;3;1)  nP ( 3;5; −1) ( P ) có vectơ pháp tuyến=. (Q ) •. .  . qua B (12;9;1) có vectơ pháp tuyến nQ =  ad , nP  =. ( −8;7;11). 0 (Q ) : 8 x − 7 y − 11z − 22 = d ' là giao tuyến của (Q ) và ( P ). Tìm một điểm thuộc d ' , bằng cách cho y = 0 = 3 x − z 2 = x 0 ⇒ ⇒ M ( 0;0; −2 ) ∈ d ' Ta có hệ  −2 22  y = 8 x − 11z =     ad  nP ; n= d ' đi qua điểm M ( 0;0; −2 ) và có vectơ chỉ phương = Q  x = 62t  Vậy phương trình tham số của d ' là  y = −25t  z =−2 + 61t . ( 62; −25;61).  x = 1 + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−2 + 4t . Hình chiếu song song của d lên   z= 3 + t mặt phẳng (Oxz ) theo phương ∆ :. x +1 y − 6 z − 2 có phương trình là: = = −1 −1 1.  x= 3 + 2t  x= 3 + t  x =−1 − 2t    . . A.  y = 0 B.  y = 0 . C.  y = 0  z = 1 − 4t  z = 1 + 2t  z= 5 − 4t    Hướng dẫn giải Giao điểm của d và mặt phẳng (Oxz ) là : M 0 (5;0;5) ..  x= 3 − 2t  . D.  y = 0 z = 1+ t .  x = 1 + 2t  Trên d :  y =−2 + 4t chọn M bất kỳ không trùng với M 0 (5;0;5) ; ví dụ: M (1; −2;3) . Gọi A là  z= 3 + t  x +1 y − 6 z − 2 . = = −1 −1 1 x +1 y − 6 z − 2 +/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với ∆ : . = = 1 −1 −1 +/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và (Oxz ). hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (Oxz ) theo phương ∆ :. +/ Ta tìm được A(3;0;1).  x = 1 + 2t  Hình chiếu song song của d :  y =−2 + 4t lên mặt phẳng (Oxz ) theo phương   z= 3 + t x +1 y − 6 z − 2 là đường thẳng đi qua M 0 (5;0;5) và A(3;0;1) . ∆: = = 1 −1 −1  x= 3 + t  Vậy phương trình là:  y = 0  z = 1 + 2t . Trang 26/42.

<span class='text_page_counter'>(27)</span>  x = 1 − 3t x − 2 y −1 z −1  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = và d 2 :  y =−2 + t . −1 3 2  z =−1 − t . 0 và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 là: Phương trình đường thẳng nằm trong (α ) : x + 2 y − 3z − 2 = x + 3 y − 2 z −1 . A. = = 5 −1 1 x − 3 y + 2 z +1 . C. = = −5 1 −1 Hướng dẫn giải Gọi d là đường thẳng cần tìm • Gọi A= d1 ∩ (α ). x + 3 y − 2 z −1 . B. = = −5 −1 1 x +8 y −3 z . D. = = 1 3 −4. A ∈ d1 ⇒ A ( 2 − a;1 + 3a;1 + 2a ) A ∈ (α ) ⇒ a =−1 ⇒ A ( 3; −2; −1) •. = d 2 ∩ (α ) Gọi B B ∈ d 2 ⇒ B (1 − 3b; −2 + b; −1 − b ) B ∈ (α ) ⇒ b = 1 ⇒ B ( −2; −1; −2 ). •.  d đi qua điểm A ( 3; −2; −1) và có vectơ chỉ phương AB = ( −5;1; −1). x − 3 y + 2 z +1 . Vậy phương trình chính tắc của d là = = −5 1 −1 (ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :. x+2 y−2 z = = và mặt 1 1 −1. 0 . Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong ( P ) , cắt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3 z + 4 = và vuông góc đường thẳng ∆ là:  x =−3 + 2t  x = 1 − 3t   A.  y =−2 + 3t . B.  y = 1 − t . z = 1+ t  z =−1 + t   Hướng dẫn giải Gọi M = ∆ ∩ ( P ).  x =−3 − 3t  C.  y = 1 + 2t . z = 1+ t .  x =−3 + t  D.  y = 1 − 2t .  z= 1 − t . M ∈ ∆ ⇒ M ( −2 + t;2 + t; −t ) M ∈ ( P ) ⇒ t =−1 ⇒ M ( −3;1;1)  nP (1;2; −3) ( P ) có vectơ pháp tuyến=  a∆ (1;1; −1) ∆ có vectơ chỉ phương =   d ⊂ ( P) ⇒ ad ⊥ nP        ⇒ ad =  nP , a∆  = (1; −2; −1) Có d ⊥ ∆ ⇒ ad ⊥ a∆ . . d đi qua điểm M ( −3;1;1) và có vectơ chỉ phương là ad.  x =−3 + t  Vậy phương trình tham số của d là  y = 1 − 2t .  z= 1 − t . Trang 27/42.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> x−2 y +2 z−3 (ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = và 2 −1 1 x −1 y −1 z +1 d2 : = = . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A (1;2;3) vuông góc với d1 2 1 −1 và cắt d 2 là: x −1 y − 2 z − 3 . A. = = 1 −3 −5 x +1 y + 2 z + 3 . C. = = −1 3 5 Hướng dẫn giải Gọi B = ∆ ∩ d 2. x −1 y + 2 z + 3 . B. = = 1 −3 −5 x −1 y + 3 z + 5 . D. = = 1 −2 −3. B ∈ d 2 ⇒ B (1 − t;1 + 2t; −1 + t )  AB =− ( t; 2t − 1; t − 4 )  d1 có vectơ chỉ phương a= ( 2; −1;1) 1   ∆ ⊥ d1 ⇔ AB ⊥ a1   ⇔ AB.a1 = 0 ⇔ t =−1  ∆ đi qua điểm A (1;2;3) và có vectơ chỉ phương AB =. (1; −3; −5). x −1 y − 2 z − 3 . Vậy phương trình của ∆ là = = 1 −3 −5.  x =−3 + 2t  (ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = 1 − t . Phương trình  z =−1 + 4t . chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A ( −4; −2;4 ) , cắt và vuông góc với d là:. x − 3 y − 2 z +1 A. = = −4 −2 4 x−4 y−2 z+4 C. = = −3 −2 1 Hướng dẫn giải Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm Gọi B = ∆ ∩ d B ∈ d ⇒ B ( −3 + 2t;1 − t; −1 + 4t )  AB = (1 + 2t;3 − t; −5 + 4t )  d có vectơ chỉ phương a= ( 2; −1; 4 ) d   ∆ ⊥ d ⇔ AB ⊥ ad   0 ⇔ AB.ad =. x−4 y−2 z+4 B. = = 3 2 −1 x+4 y+2 z−4 D. = = 3 2 −1. 1 ⇔t =  AB ∆ đi qua điểm A ( −4; −2;4 ) và có vectơ chỉ phương =. ( 3; 2; −1). x+4 y+2 z−4 Vậy phương trình của ∆ là = = 3 2 −1. Trang 28/42.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> x −1 y + 3 z − 3 (ĐH A2005). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt 2 1 −1. 0 . Gọi A là giao điểm của d và ( P ) . Phương trình tham số của phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z + 9 = đường thẳng ∆ nằm trong ( P ) , đi qua điểm A và vuông góc với d là: x = 1  A.  y =−1 + t .  z =−4 + t . x = t  B.  y = −1. z = t . x = t  C.  y = −1 .  z= 4 + t .  x= 1 + t  D.  y = 1 .  z = t. Hướng dẫn giải Gọi A= d ∩ ( P ). A ∈ d ⇒ A (1 − t; −3 + 2t;3 + t ) A ∈ ( P ) ⇒ t = 1 ⇒ A ( 0; −1; 4 )  nP ( 2;1; −2 ) ( P ) có vectơ pháp tuyến=  d có vectơ chỉ phương ad = ( −1; 2;1)  Gọi vecto chỉ phương của ∆ là a∆ Ta có :     ∆ ⊂ ( P) ⇒ a∆ ⊥ nP   a∆  nP , = ad  ( 5;0;5 )    ⇒= d ⊥ ∆ ⇒ ad ⊥ a∆   ∆ đi qua điểm A ( 0; −1;4 ) và có vectơ chỉ phương là a∆ = ( 5;0;5 ) x = t  Vậy phương trình tham số của ∆ là  y = −1  z= 4 + t . x−3 y −3 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2; −1) và đường thẳng d : = = . 1 3 2 Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng. (Q ) : x + y − z + 3 =0 là:. x −1 y − 2 z +1 . A. = = −2 −1 1 x +1 y + 2 z −1 . C. = = −1 2 1 Hướng dẫn giải Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm Gọi B = ∆ ∩ d B ∈ d ⇒ B ( 3 + t;3 + 3t; 2t )  AB = ( t + 2;3t + 1; 2t + 1)  nQ (1;1 − 1) (Q ) có vectơ pháp tuyến =   ∆ / / ( Q ) ⇒ AB ⊥ nQ   ⇔ AB.nQ = 0. x +1 y + 2 z −1 . B. = = 1 2 1 x −1 y − 2 z +1 . D. = = 1 2 −1. ⇔ t =−1  ∆ đi qua điểm A (1;2; −1) và có vectơ chỉ phương AB = (1; −2; −1). x −1 y − 2 z +1 Vậy phương trình của ∆ là = = 1 −2 −1 Trang 29/42.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> x +1 y − 2 z −1 = = và 3 1 2 x = 3 x −1 y z +1  ∆2 : = = . Phương trình đường thẳng song song với d :  y =−1 + t và cắt hai 1 2 3  z= 4 + t . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,. cho hai đường thẳng ∆1 :. đường thẳng ∆1; ∆ 2 là:. x = 2  A.  y= 3 − t .  z= 3 − t .  x = −2  B.  y =−3 − t .  z =−3 − t .  x = −2  C.  y =−3 + t .  z =−3 + t . x = 2  D.  y =−3 + t .  z= 3 + t . Hướng dẫn giải Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm Gọi A = ∆ ∩ ∆1 , B = ∆ ∩ ∆ 2. A ∈ ∆1 ⇒ A ( −1 + 3a;2 + a;1 + 2a ). B ∈ ∆ 2 ⇒ B (1 + b;2b; −1 + 3b )  AB = ( −3a + b + 2; −a + 2b − 2; −2a + 3b − 2 )  d có vectơ chỉ phương ad = ( 0;1;1)   ∆ / / d ⇔ AB, ad cùng phương   ⇔ có một số k thỏa AB = kad. −2 0 1  −3a + b + 2 =  −3a + b = a =    ⇔  − a + 2b − 2 = k ⇔  − a + 2b − k = 2 ⇔  b = 1  −2a + 3b − 2 =  −2a + 3b − k = k = −1 k 2   . Ta có A ( 2;3;3) ; B ( 2;2;2 ).  ∆ đi qua điểm A ( 2;3;3) và có vectơ chỉ phương AB =. ( 0; −1; −1). x = 2  Vậy phương trình của ∆ là  y= 3 − t  z= 3 − t . x y −1 z + 2 = (ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d= và 1: 2 −1 1  x =−1 + 2t  0 và cắt hai d 2 :  y = 1 + t . Phương trình đường thẳng vuông góc với ( P ) : 7 x + y − 4 z = z = 3  đường thẳng d1 , d 2 là:. x−7 y z+4 = = . 2 1 1 x + 2 y z −1 = = . C. −7 −1 4 Hướng dẫn giải Gọi d là đường thẳng cần tìm d ∩ d1 , B = d ∩ d2 Gọi A = A.. x−2 = 7 x−2 = D. 7. B.. y z +1 = . 1 −4 y z +1 = . 1 4. Trang 30/42.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> A ∈ d1 ⇒ A ( 2a;1 − a; −2 + a ) B ∈ d 2 ⇒ B ( −1 + 2b;1 + b;3)  AB = ( −2a + 2b − 1; a + b; −a + 5)  nP ( 7;1; −4 ) ( P ) có vectơ pháp tuyến=   d ⊥ ( P ) ⇔ AB, n p cùng phương   ⇔ có một số k thỏa AB = kn p 7k 1 = − 1 7k  −2a + 2b=  −2a + 2b −= a 1    0 ⇔ a + b = k ⇔ a + b − k = ⇔ b = −2  −a + 5 =−4k  −a + 4k =−5 k =−1      n= d đi qua điểm A ( 2;0; −1) và có vectơ chỉ phương a= ( 7;1 − 4 ) d P Vậy phương trình của d là. x − 2 y z +1 = = 7 1 −4. x −1 y − 2 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = . Viết phương trình đường 1 2 −1 thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2;3; −1) cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng. (α ) : x + y + z − 1 =0 bằng 2. 3.. x−3 y−6 z+2 . A. = = 1 3 −1 x−7 y z+4 . = = B. 2 1 1 x −3 y −6 z + 2 . C. = = 2 −2 −3 x−3 y −6 z+2 x+3 y+6 z−2 . và = = D. = = 1 3 −1 5 −5 −9 Hướng dẫn giải. B ∈ d ⇒ B (1 + t ; 2 + 2t ; −t ).   B 3;6; 2 , AB = − ( ) (1;3; −1) t 2 =  d ( B , (α ) ) = 2 3⇔ ⇒  t = −4  B ( −3; −6; 4 ) , AB =( −5; −9;5 )  ∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB x+3 y+6 z −2 x−3 y−6 z+2 . Vậy phương trình của ∆ là = = và = = 1 3 −1 −5 −9 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( −2;2;1) cắt trục tung tại B sao cho OB = 2OA. x y+6 z = = . A. 2 −8 −1 x+3 y+6 z−2 . C. = = −5 −9 3 Hướng dẫn giải. x y −6 z = = . B. 2 4 −1 x y −6 z x y+6 z = = = = . D. và 2 −8 −1 −1 2 4. B ∈ Oy ⇒ B ( 0; b;0 ).   B 0;6;0 , = AB ( 2;4; −1) ( ) b = 6 OB = 2OA ⇔  ⇒  b = −6  B ( 0; −6;0 ) , AB = ( 2; −8; −1) Trang 31/42.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> . ∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB x y −6 z x y+6 z = = = . Vậy phương trình của ∆ = là và −1 2 4 2 −8 −1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm B (1;1;2 ) cắt đường. x − 2 y − 3 z +1 tại C thẳng d : = = 1 −2 1 x −1 y −1 z − 2 . A. = = 3 −2 −1 x y −6 z . = = B. −1 2 4 x −1 y −1 z − 2 x −1 C. = = và = 3 −2 −1 31 x −1 y −1 z − 2 . D. = = 31 78 −109 Hướng dẫn giải. sao cho tam giác OBC có diện tích bằng. 83 . 2. y −1 z − 2 = . −109 78. C ∈ d ⇒ C ( 2 + t;3 − 2t; −1 + t )  OC = ( 2 + t;3 − 2t; −1 + t )  OB = (1;1;2 )   OB, OC  = ( 5t − 7; t + 5;1 − 3t )  .  t = 2 ⇒ BC = ( 3; −2; −1) 1   OB, OC  ⇔  −4   31 78 109  = S∆OBC t = ⇒ BC =  2  ; ;−   35  35 35 35   ∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương BC x −1 y −1 z − 2 x −1 y −1 z − 2 . Vậy phương trình của ∆ là = = và = = 3 −2 −1 31 78 −109. x = t x − 2 y −1 z − 2  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = và d 2 :  y = 3 . 1 −1 −1  z =−2 + t  Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 là..  x= 2 + t  x= 3 + t   B.  y= 3 − 2t . A.  y = 1 + 2t .  z= 2 − t z = 1− t   Hướng dẫn giải Gọi d là đường thẳng cần tìm Gọi A = d ∩ d1 , B = d ∩ d2.  x= 2 + 3t  C.  y = 1 − 2t .  z= 2 − 5t .  x= 3 + t  D.  y = 3 . z = 1− t . A ∈ d1 ⇒ A ( 2 + a;1 − a;2 − a ). B ∈ d 2 ⇒ B ( b;3; −2 + b )  AB =( −a + b − 2; a + 2; a + b − 4 )  d1 có vectơ chỉ phương a1 = (1; −1; −1)  d 2 có vectơ chỉ phương a2 = (1;0;1). Trang 32/42.

<span class='text_page_counter'>(33)</span>     0  d ⊥ d1 a = 0  AB ⊥ a1  AB.a1 = ⇔    ⇔    ⇔ ⇒ A ( 2;1;2 ) ; B ( 3;3;1)  3 0 b = d ⊥ d 2  AB ⊥ a2  AB.a2 =   ad AB = (1;2; −1) d đi qua điểm A ( 2;1;2 ) và có vectơ chỉ phương =  x= 2 + t  Vậy phương trình của d là  y = 1 + 2t .  z= 2 − t . x +1 y z − 2 , mặt phẳng = = 2 1 1 ( P ) : x + y − 2 z + 5 =0 và A (1; −1; 2 ) . Đường thẳng ∆ cắt d và ( P ) lần lượt tại M và N sao. (ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :. cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là. x +1 y −1 z + 2 x −1 y +1 z − 2 . . A. = = B. = = 2 3 2 2 3 2 x −2 y −3 z −2 x +1 y + 4 z + 2 . . C. = = D. = = −2 3 2 1 −1 2 Hướng dẫn giải M ∈ d ⇒ M ( −1 + 2 t ; t ; t + 2 ) A là trung điểm MN ⇒ N ( 3 − 2t; −2 − t; 2 − t ). N ∈ ( P ) ⇒ t = 2 ⇒ M ( 3; 2; 4 ).   a∆ AM = ∆ đi qua điểm M ( 3; 2; 4 ) và có vectơ chỉ phương=. ( 2;3; 2 ). x −1 y +1 z − 2 Vậy phương trình của ∆ là = = 2 3 2. x − 2 y −1 z −1 , mặt cầu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = 1 2 −1. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z + 1) 2. 2. 2. = 29 và A (1; −2;1) . Đường thẳng ∆ cắt d và ( S ) lần lượt tại. M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là. x −1 y + 2 z −1 x +1 A. = = và = 2 5 −1 7 x +1 y − 2 z +1 x −1 B. = = và = 2 5 −1 7 x −1 y + 2 z −1 x −1 C. = = và = 2 5 −1 7 x +1 y − 2 z +1 x +1 D. = = và = 2 5 −1 7 Hướng dẫn giải M ∈ d ⇒ M ( 2 + t;1 + 2t;1 − t ). y−2 = 11 y+2 = 11 y+2 = 11 y−2 = 11. z +1 . −10 z −1 . −10 z −1 . −10 z +1 . −10. A là trung điểm MN ⇒ N ( −t; −5 − 2t;1 + t )  t =1 ⇒ MN =− ( 4; −10;2 ) =−2 ( 2;5; −1)  2 N ∈ ( S ) ⇒ 6t + 14t − 20 =0 ⇒  10   14 22 20  2 = − ⇒ MN = t  ; ; −  =( 7;11; −10 )  3 3 3  3 3   ∆ đi qua điểm A (1; −2;1) và có vectơ chỉ phương a∆ = MN. x −1 y + 2 z −1 x −1 y + 2 z −1 Vậy phương trình của ∆ là = = và = = 2 5 −1 7 11 −10 Trang 33/42.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> 0 và hai điểm (ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 = A ( −3;0;1) , B (1; −1;3) . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với ( P ) , đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là. x − 2 y +1 z − 3 x + 3 y z −1 = = . . A. B. = = 26 11 −2 26 11 −2 x + 2 y −1 z + 3 x − 3 y z +1 = = . . C. D. = = 26 11 −2 26 11 −2 Hướng dẫn giải Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm 0 Gọi mặt phẳng (Q ) qua A ( −3;0;1) và song song với ( P ) . Khi đó: (Q ) : x − 2 y + 2 z + 1 = Gọi K , H lần lượt là hình chiếu của B lên ∆, (Q ) . Ta có d ( B, ∆= ) BK ≥ BH . Do đó AH là đường thẳng cần tìm.  (1; −2; 2 ) (Q ) có vectơ pháp tuyến n= Q   BH qua B và có vectơ chỉ phương a BH= n= (1; −2; 2 ) Q  x= 1 + t  BH :  y =−1 − 2t  z= 3 + 2t . H ∈ BH ⇒ H (1 + t; −1 − 2t;3 + 2t ) H ∈ ( P ) ⇒ t =−. 10  1 11 7  ⇒ H − ; ;  9  9 9 9.    26 11 2  1 ∆ đi qua điểm A ( −3;0;1) và có vectơ chỉ phương a∆ = AH =  ; ; −  = ( 26;11; −2 )  9 9 9 9 Vậy phương trình của ∆ là ∆ :. x + 3 y z −1 == 26 11 −2. x − 3 y + 2 z +1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , mặt phẳng 2 1 −1. ( P ) : x + y + z + 2 =0 . Gọi M là giao điểm của d và ( P ) . Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong ( P ) vuông góc với d và cách M một khoảng bằng 42 . Phương trình đường thẳng ∆ là.. x −5 y +2 A. = = 2 −3 x −5 y + 2 B. = = 2 −3 x+3 y+4 C. = = 2 −3 x+3 y+4 D. = = 2 3 Hướng dẫn giải Gọi M= d ∩ ( P ). x +3 y + 4 z −5 z+5 . và = = 1 −3 2 1 z +5 . 1 z −5 . 1 x +3 y + 4 z −5 z −5 . và = = 1 2 3 1. M ∈ d ⇒ M ( 3 + 2 t ; −2 + t ; −1 − t ) M ∈ ( P ) ⇒ t =−1 ⇒ M (1; −3;0 )  ( P ) có vecttơ pháp tuyến nP = (1;1;1)  ad ( 2;1; −1) d có vecttơ chỉ phương=. Trang 34/42.

<span class='text_page_counter'>(35)</span>      a ∆ có vecttơ chỉ phương a= ∆  d , nP= . ( 2; −3;1).  Gọi N ( x; y; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ , khi đó MN =( x − 1; y + 3; z ) .    2 x − 3 y + z − 11 =  MN ⊥ a∆ 0   Ta có:  N ∈ ( P ) ⇔  x + y + z + 2 = 0   2 2 2 42  MN = 42 ( x − 1) + ( y + 3) + z = Giải hệ ta tìm được hai điểm N ( 5; −2; −5) và N ( −3; −4;5). x −5 y +2 z +5 = = −3 2 1 x +3 y +4 z −5 = = Với N ( −3; −4;5) , ta có ∆ : 2 −3 1. Với N ( 5; −2; −5) , ta có ∆ :.  x= 3 + t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1;1;2 ) , hai đường thẳng ∆1 :  y =−1 + 2t và z = 4 . x+2 y z−2 = = . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng 1 1 2 ∆1 , ∆ 2 là.. ∆2 :. x −1 y −1 z − 2 . A. = = 1 1 −1.  x = 1 + 2t  B.  y = 1 − t .  z= 2 + t . x −1 y −1 z − 2 . C. = = −1 1 1.  x = 1 + 2t  D.  y = 1 + t .  z= 2 + t . •. Hướng dẫn giải Gọi (α1 ) là mặt phẳng qua I và ∆1.  ∆1 đi qua M 1 ( 3; −1;4 ) và có vectơ chỉ phương a1 = (1;2;0 )  IM= ( 2; −2;2 ) 1    (α1 ) có vectơ pháp tuyến n1 = a1 , IM 1  = ( 4; −2; −6) • Gọi (α 2 ) là mặt phẳng qua I và ∆ 2  ∆ 2 đi qua M 2 ( −2;0;2 ) và có vectơ chỉ phương a2 = (1;1;2 )  IM 2 = ( −3; −1;0 )     ( 2; −6;2 ) (α 2 ) có vectơ pháp tuyến n=2 a2 , IM 2=     • d đi qua điểm I (1;1;2 ) và có vectơ chỉ phương ad = n1 , n2  =− ( 40; −20; −20)  x = 1 + 2t  Vậy phương trình đường thẳng d là  y = 1 + t  z= 2 + t . x −1 y +1 z x −1 y − 2 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = , d2 : = = 2 1 1 1 2 1 và mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 3 = 0 . Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( P ) và cắt d1 , d 2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB = 29 . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là Trang 35/42.

<span class='text_page_counter'>(36)</span>  x =−1 + 2t  x= 3 + 4t   A. ∆ :  y = 2t hoặc ∆ :  y =−2 + 4t .  z =−1 + 3t  z = 1 + 3t    x= 3 + 4t  C. ∆ :  y = −2t .  z = 1 + 3t  Hướng dẫn giải A ∈ d1 ⇒ A (1 + 2a; −1 + a; a ).  x= 3 + 4t  B. ∆ :  y = 2t .  z = 1 + 3t .  x =−1 + 2t  D. ∆ :  y =−2 + 4t .  z =−1 + 3t . B ∈ d 2 ⇒ B (1 + b;2 + 2b; b ).  ∆ có vectơ chỉ phương AB = ( b − 2a;3 + 2b − a; b − a )  nP (1;1; −2 ) ( P ) có vectơ pháp tuyến =    Vì ∆ / / ( P ) nên AB ⊥ nP ⇔ b = a − 3 .Khi đó AB = ( −a − 3; a − 3; −3)   A ( 3;0;1) , AB =( −4; −2; −3) a = 1 Theo đề bài: AB =29 ⇔  ⇒   a = −1  A ( −1; −2; −1) , AB =( −2; −4; −3)  x= 3 + 4t  x =−1 + 2t   và  y =−2 + 4t Vậy phương trình đưởng thẳng ∆ là  y = 2t    z = 1 + 3t  z =−1 + 3t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,. cho hai đường thẳng d1 :. x −1 y z + 2 = = 2 1 −1. và. x −1 y + 2 z − 2 d2 : = = 0 và cắt . Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( P ) : x + y + z − 7 = 1 3 −2 d1 , d 2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng ∆ là.   x= 6 − t  5  B.  y = . 2  9   z =− 2 + t. x 12 − t =  A.  y = 5 .  z =−9 + t . Hướng dẫn giải A ∈ d1 ⇒ A (1 + 2a; a; −2 − a ).  x = 6  5  C.  y= −t . 2  9   z =− 2 + t.   x= 6 − 2t  5  D.  y= +t . 2  9   z =− 2 + t. B ∈ d 2 ⇒ B (1 + b; −2 + 3b; 2 − 2b )  ∆ có vectơ chỉ phương AB = ( b − 2a;3b − a − 2; −2b + a + 4 )  n P có vectơ pháp tuyến ( ) P = (1;1;1)      Vì ∆ / / ( P ) nên AB ⊥ nP ⇔ AB.nP = 0 ⇔ b = a − 1 .Khi đó AB = ( −a − 1;2a − 5;6 − a ) AB = =. ( −a − 1). 2. + ( 2 a − 5) + ( 6 − a ) 2. 2. 6a 2 − 30a + 62 2. =. 5  49 7 2  6 a −  + ≥ ; ∀a ∈  2 2 2 . Trang 36/42.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> 5 7  5 9    7 Dấu " = " xảy ra khi a = ⇒ A  6; ; −  , AB =  − ;0;  2 2  2 2  2.  5 9 Đường thẳng ∆ đi qua điểm A  6; ; −  và vec tơ chỉ phương ud =  2 2. ( −1;0;1).   x= 6 − t  5  Vậy phương trình của ∆ là  y = 2  9   z =− 2 + t Trong không gian với hệ tọa độ. Oxyz,. cho hai đường thẳng. ∆1 :. x +1 y + 2 z = = 1 2 1. và. x − 2 y −1 z −1 = = . Đường thẳng d song song với ( P ) : x + y − 2 z + 5 = 0 và cắt hai 2 1 1 đường thẳng ∆1; ∆ 2 lần lượt tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là ∆2 :. A. x − 1 = y − 2 = z − 2. C. x + 1 = y + 2 = z + 2. Hướng dẫn giải Gọi A= d ∩ ∆1 , B= d ∩ ∆ 2. x −1 y − 2 z − 2 . B. = = 2 1 1 x +1 y + 2 z + 2 . D. = = 2 1 1. A ∈ ∆1 ⇒ A ( −1 + a; −2 + 2a; a ). B ∈ ∆ 2 ⇒ B ( 2 + 2b;1 + b;1 + b )  AB = ( −a + 2b + 3; −2a + b + 3; −a + b + 1)   d / / ( P ) ⇒ AB.nP = 0 ⇔ b = a − 4  AB = ( a − 5; −a − 1; −3) AB =. 2 ( a − 2 ) + 27 ≥ 3 3; ∀a ∈  2. Dấu " = " xảy ra khi a = 2 ⇒ A (1; 2; 2 ) , B ( −2; −1; −1)  AB =( −3; −3; −3)  d đi qua điểm A (1; 2; 2 ) và có vectơ chỉ phương ad = (1;1;1) Vậy phương trình của d là x − 1 = y − 2 = z − 2. x−2 y z+2 = = , mặt phẳng 2 1 1 ( P ) : 2 x − y − z + 5 =0 và M (1; −1;0 ) . Đường thẳng ∆ đi qua điểm M , cắt d và tạo với ( P ). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :. một góc 300 . Phương trình đường thẳng ∆ là. x+2 y z−2 x+4 y+3 z +5 = = A. và = = . 1 1 −2 5 2 5 x−2 y z+2 x −4 y −3 z −5 = = B. và = = . 1 1 −2 5 2 5 x −1 y +1 z x −1 y +1 z . C. = = và = = 1 1 −2 23 14 −1. Trang 37/42.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> x+2 y z−2 x −4 y −3 z −5 = = và = = . −2 1 1 5 2 5 Hướng dẫn giải Gọi N = ∆ ∩ d N ∈ d ⇒ N ( 2 + 2 t ; t ; −2 + t )  ∆ có vectơ chỉ phương MN = (1 + 2t;1 + t; −2 + t )  ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 2; −1; −1)    t = 0 ⇒ MN = (1;1 − 2 ) MN .nP  sin=   23 14 1   d , ( P )    ⇔  9 MN . nP =⇒ t MN =  ; ;−   5  5 5 5   ∆ đi qua điểm M (1; −1;0 ) và có vectơ chỉ phương ad = MN D.. x −1 y +1 z x −1 y +1 z Vậy phương trình của ∆ là = = và = = 1 1 −2 23 14 −1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A ( 3; −1;1) , nằm trong mặt phẳng. x 1. ( P ) : x − y + z − 5 =0 , đồng thời tạo với ∆ : =. y−2 z = một góc 450 . Phương trình đường 2 2. thẳng d là  x= 3 + 7t  A.  y =−1 − 8t .  z =−1 − 15t .  x= 3 + t  B.  y =−1 − t .  z = 1.  x= 3 + 7t  C.  y =−1 − 8t .  z = 1 − 15t .  x= 3 + 7t  x= 3 + t   D.  y =−1 − t và  y =−1 − 8t .  z = 1 − 15t z = 1  . Hướng dẫn giải  ∆ có vectơ chỉ phương a∆ = (1;2;2 )  d có vectơ chỉ phương ad = ( a; b; c )  (1; −1;1) ( P ) có vectơ pháp tuyến n= P   d ⊂ ( P ) ⇒ ad ⊥ nP ⇔ b = a + c; (1). ( ∆, d ) =. 450 ⇔ cos ( ∆, d ) = cos 450 ⇔. a + 2b + 2 c. 2 = 2 3 a +b +c 2. 2. 2. ⇔ 2 ( a + 2b + 2 c ) = 9 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ; ( 2 ) 2. c = 0 0⇔ Từ (1) và ( 2 ) , ta có: 14c 2 + 30ac = 0 15a + 7c =  x= 3 + t  Với c = 0 , chọn a= b= 1 , phương trình đường thẳng d là  y =−1 − t z = 1   x= 3 + 7t 0 , chọn a =7 ⇒ c =−15; b =−8 , phương trình đường thẳng d là  Với 15a + 7c =  y =−1 − 8t  z = 1 − 15t . Trang 38/42.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d. đi qua điểm. ( P ) : 2 x − y − z + 3 =0 , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ :. A (1; −1;2 ) , song song với. x +1 y −1 z = = một góc lớn nhất. 1 −2 2. Phương trình đường thẳng d là. x −1 y +1 z − 2 x −1 y +1 z + 2 . . A. = = B. = = 1 7 −5 4 −5 7 x −1 y +1 z − 2 x −1 y +1 z − 2 . . C. = = D. = = 4 5 7 1 −5 −7 Hướng dẫn giải  ∆ có vectơ chỉ phương a= (1; −2;2 ) ∆  d có vectơ chỉ phương ad = ( a; b; c )  ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 2; −1; −1)     Vì d / / ( P ) nên ad ⊥ nP ⇔ ad .nP = 0 ⇔ 2a − b − c = 0 ⇔ c = 2a − b. 5a − 4b ( 5a − 4b ) 1 = cos ( ∆, d ) = 2 2 3 5a 2 − 4ab + 2b2 3 5a − 4ab + 2b 2. a 1 ( 5t − 4 ) Đặt t = , ta có: cos ( ∆, d ) = 2 b 3 5t − 4t + 2 2. Xét hàm số f ( t ) =. ( 5t − 4 ). 2.  1 5 3 , ta suy ra được: max f ( t ) = f  −  = 3 5t − 4t + 2  5 2. 5 3 1 1 a Do đó: max cos ( ∆, d )  = ⇔ t =− ⇒ =− 27 5 5 b 1 b =−5, c =7 Chọn a =⇒ x −1 y +1 z − 2 Vậy phương trình đường thẳng d là = = 1 −5 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A ( −1;0; −1) , cắt ∆1 :. x −1 y − 2 z + 2 = = , sao cho 2 1 −1. x−3 y −2 z+3 = = là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d 2 2 −1 x +1 x +1 y z +1 x +1 y z +1 x +1 y z +1 = = . = = . C. = = = . D. A. B. 2 2 −1 4 5 −2 2 4 −5 −2 Hướng dẫn giải Gọi M = d ∩ ∆1 ⇒ M (1 + 2t;2 + t; −2 − t )   d có vectơ chỉ phương ad= AM= ( 2t + 2; t + 2; −1 − t )  ∆ 2 có vectơ chỉ phương a2 = ( −1;2;2 ). góc giữa d và ∆ 2 :. là. y z +1 = . 2 1. 2 t2 cos ( d ; ∆ 2 ) = 3 6t 2 + 14t + 9 t2 Xét hàm số f ( t ) = 2 , ta suy ra được min f ( t ) = f ( 0 ) = 0 ⇔ t = 0 6t + 14t + 9  Do đó min cos ( ∆, d )  = 0 ⇔ t = 0 ⇒ AM = ( 2;2 − 1) Vậy phương trình đường thẳng d là. x +1 y z +1 = = 2 2 −1. Trang 39/42.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> x = t x y−2 z  d= = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng d1 :  y= 4 − t và 2 : 1 −3 −3  z =−1 + 2t . x +1 y −1 z +1 d2 : = = . Gọi ∆ là đường thẳng cắt d1 , d 2 , d 3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao 5 2 1 cho AB = BC . Phương trình đường thẳng ∆ là x y−2 z x y − 3 z −1 x−2 y−2 z x y − 3 z −1 = = . = = . D. . = = A. = = . B. C. 1 1 −1 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 Hướng dẫn giải Gọi A ∈ d1 , B ∈ d 2 , C ∈ d 3 Ta có: A ( a;4 − a; −1 + 2a ) , B ( b;2 − 3b; −3b ) , C ( −1 + 5c;1 + 2c; −1 + c ). Yêu cầu bài toán ⇔ A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔ B là trung điểm AC. Suy ra A (1;3;1) , B ( 0;2;0, ) , C ( −1;1; −1). a − 1 + 5c =2b a = 1   ⇔ 4 − a + 1 + 2c= 2 ( 2 − 3b ) ⇔ b= 0   c = 0  −1 + 2a − a + c = 2 ( −3b ).  ∆ đi qua điểm B ( 0;2;0, ) và có vectơ chỉ phương là CB = (1;1;1). x y−2 z = Vậy phương trình đường thẳng ∆ = là 1 1 1. Trang 40/42.

<span class='text_page_counter'>(41)</span>