De HSG Toan 920162017 176

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phần I- Đặt vấn đề: 1.Lí do chọn đề tài:. - “Trong tam giác vuông bình phơng độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phơng độ dài các cạnh góc vuông” đó chính là nội dung định lí Pythagoras mà chúng ta rất quen thuộc định lí này đợc biểu diễn bởi công thức a2=b2+c2. Theo truyền thuyết những ngời theo trờng phái Pythagoras sau khi đã chứng minh đợc định lí đã vui mừng nh phát điên và đã giết 100 con bò để ăn mừng .Vì vậy định lí này còn có tên là “Định lí 100 con bò”. Nhiều ngời cho rằng định lí Pythagoras là “Một trong mời phát minh lớn trong lịch sử khoa học” vì trong khoa học có nhiều sự kiện liên quan đến định lí Pythagoras. -Chính vì vậy ngày 8-9-1977 ngời Mỹ đã phóng vào vũ trụ hai trạm thăm dò Voyager 1 và 2. Mục tiêu của hai trạm thăm dò không ngời lái là sao Mộc và sao Thổ đồng thời có nhiÖm vô t×m hiÓu sù sèng trong vò trô. Hai tr¹m th¨m dß nµy cã mang theo mét tÊm ph¸t thanh kim loại mạ đồng và một máy ghi âm kim cơng có thể phát thanh –phát hình và có thể bền đến hàng tỉ năm. Máy phát ra 55 loại âm thanh và các loại âm hởng khác nhau của trái đất, có 116 bức vẽ bao gồm vị trí của Hệ ngân hà trong vũ trụ, Mặt trời, Trái đất, BiÓn, S«ng, Sa m¹c vµ Trêng thµnh cña Trung Quèc … Ngoµi ra cßn cã mét bøc vÏ rÊt đặc thù biểu diễn định lí Pythagoras. (xem hình vẽ ) nhằm trình bày cho ngời ngoài trái đất về một trong mời phát minh lớn của con ngời thì liệu ngời ngoài trái đất có hiểu đợc kh«ng? - Trong chơng trình hình học lớp 9 các em đợc học hệ thức lợng trong tam giác vuông xong ®©y lµ nh÷ng kiÕn thøc míi, c¸c bµi tËp vÒ tam gi¸c vu«ng rÊt phong phó vµ ®a dạng nó đòi hỏi ở học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức và phải vận dụng một cách linh hoạt sáng tạo, độc đáo các kiến thức cơ bản. - Yªu cÇu häc sinh ph¶i cã kÜ n¨ng vÏ h×nh, ãc quan s¸t nh¹y bÐn ph©n tÝch tæng hîp suy luận lôgíc, trình bày lời giải .Qua đó rèn luyện cho học sinh kĩ năng vẽ hình các kü n¨ng t duy, tr×nh bµy lêi gi¶i, rÌn luyÖn cho häc sinh ph¬ng ph¸p nghiªn cøu khoa häc, sù ®am mª t×m tßi trong to¸n häc. §Æc biÖt nã gi¸o dôc t tëng, h×nh thµnh thÕ giói quan khoa học, tình cảm đúng đắn vận dụng vào giải quyết một số bài toán hay một vấn đề nào đó trong cuộc sống. - ChÝnh v× vËy bµi to¸n nµy thêng xuyªn cã mÆt trong c¸c kú thi HSG, thi vµo líp 10. §èi víi häc sinh c¸c em thêng gÆp khã kh¨n trong qu¸ tr×nh ®i t×m lêi gi¶i cho bµi to¸n “Tam gi¸c vu«ng” mµ c¸c em cha biÕt nªn b¾t ®Çu tõ ®©u? vËn dông kiÕn thøc nào trong chơng trình đã học để giải quyết bài toán này..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> - Qua mét sè n¨m gi¶ng d¹y m«n to¸n líp 9 vµ trong c«ng t¸c båi dìng HSG, ¤n thi vào lớp 10 nên tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài này. Với thời gian còn hạn chế và mong muốnđợc nghiên cứu sâu hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề. “Vẽ đờng phụ để giải một số bài toán về tam giác vuông” 2.§èi tîng vµ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:. a,§èi tîng nghiªn cøu: Lµ häc sinh líp 9 b,Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: *Nghiên cứu tài liệu:SGK,SBT Toán 9 tập 1, S ách nâng cao và các chuyên đề hình häc 9, T¹p chÝ to¸n tuæi th¬ 2, Ch×a kho¸ vµng to¸n häc, Nh÷ng bµi to¸n cæ *C¸c ph¬ng ph¸p thùc hiÖn: -Phơng pháp nêu vấn đề -Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch-tæng hîp -Ph¬ng ph¸p suy luËn l«gÝc. PHầN II - GiảI quyết vấn đề:. A-Một số vấn đề lý thuyết:. 1.§Þnh lÝ Pythagoras: a,§Þnh lÝ thuËn: a2 = b2 + c2 b,Định lí đảo: NÕu ABC cã AB2 + AC2 = BC2 Th× ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A 2.Các hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông: Cho ABC vuông tại A đờng cao AH (Hình vẽ bên) Khi đó ta có: 2.1 b2 = a.b’ c2 = a.c’ 2.2 h2 = b’.c’ 2.3 a.h = b.c 2.4 1 1 1 2 h b2 c2 3.C¸c hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng: Cho ABC vu«ng t¹i A (H×nh vÏ bªn) b = a.SinB c = a.SinC b = a.CosC c = a.CosB.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b = c.tgB b = c.CotgC. c = b.tgC c = c.CotgB. B. Vẽ đờng phụ để giải một số bài toán về tam giác vuông: Dạng I: Chứng minh đẳng thức. 1.VÝ dô 1:. Cho tø gi¸c ABCD cã 2. 2.  ADC + DCB = 1800 2. 2. CMR: AB + CD = AC + BD GV để cho học sinh suy nghĩ tìm kiếm cách giải -Nếu học sinh không làm đợc tôi gợi ý các em có nhận xét gì về kết luận của bài toán? có liên quan tới định lí Pythagoras trong tam giác vuông không? Vậy liên quan đến tam gi¸c vu«ng nµo? T«i gîi ý dùa vµo gi¶ thiÕt ADC + DCB = 1800 ta cÇn t¹o ra OCD vu«ng t¹i O b»ng c¸ch kÐo dµi c¸c c¹nh AD vµ BC c¾t nhau t¹i O. Lêi gi¶i: Gäi O lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC 0 0    V× ADC + DCB = 180  COD = 90. . OAB, ODC,  OAC, OBD lµ c¸c tam gi¸c vu«ng t¹i O.. áp dụng định lí Pythagoras cho các OAB, ODC,  OAC, OBD vuông tại O Ta cã: O AB2 = OA 2 + OB2 CD 2 = OC2 + OD2 AB2 + CD 2 = OA 2 + OB2 + OC 2 + OD 2 (1) AC 2 = OA 2 + OC2 BD 2 = OB2 + OD 2. D. AC 2 + BD 2 = OA 2 + OC 2 + OB2 + OD 2 (2) 2. 2. 2. 2. Tõ (1), (2)  AB + CD = AC + BD (tÝnh chÊt b¾c cÇu) (®pcm) 2.VÝ dô 2: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD vµ K lµ mét ®iÓm thuéc miÒn trong cña h×nh ch÷ nhËt CMR:. KA 2 + KC 2 = KB2 + KD 2. C.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Khi tôi đa ra ví dụ này các em đã nhận thấy bài toán có liên quan đến định lí Pythagoras các em kẻ đờng phụ MN  AB và trình bày lời giải nh sau. Qua K kÎ MN  AB ( nh h×nh vÏ bªn ) . tø gi¸c AMND vµ tø gi¸c BCNM lµ c¸c h×nh ch÷ nhËt. .  AM = ND AP = BQ    MB = NC vµ PD = QC. XÐt. KA 2 = AM 2 + KM 2. KAM :. KC 2 = NC 2 + KN 2. KNC: . XÐt.  1. KA 2 + KC2 = AM 2 + KM 2 + NC2 + KN 2 (2). KBM :. KB2 = BM 2 + KM 2. KND:. KD 2 = ND 2 + KN 2. 2 2 2 2 2 2  KB + KD = BM + KM + ND + KN (3). Tõ (1),(2),(3) . KA 2 + KC2 = KB2 + KD 2 (®pcm). Còng cã em lµm theo c¸ch vÏ PQ  AD vµ tr×nh bµy t¬ng tù 3.VÝ dô 3: Cho hình vuông ABCD qua A vẽ một cát tuyến bất kì cắt các cạnh BC, DC (hoặc đờng thẳng chứa các cạnh đó) tại E, F. 1 1 1   2 2 AK AF AD 2. CMR: Phân tích: Học sinh nhận thấy đẳng thức cần đợc chứng minh có liên quan tới hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông. Do vậy cần xác định một tam giác vuông có hai cạnh bằng AE, AF và có đờng cao AD từ nhận xét đó các em kẻ thêm đờng phụ AK vuông góc với AF từ đó các em trình bàynh sau. Lời giải:Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với AF cắt cạnh CD tại K -XÐt ADK Cã:. vµ. ABE.  1=A   A 3 (cïng phô víi A 2 ). AD = AB (c¹nh h×nh vu«ng)   ADK = ABE = 900. Suy ADK đồng dạng với ABE (g.c.g)  AK = AE  AK 2 = AE 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 1 1   2 2  AK AF AD 2. - XÐt AKF vu«ng t¹i A cã AD  KF NhËn xÐt: Qua 3 ví dụ này bớc đầu các em hình thành đợc phơng pháp vẽ đờng phụ để giải bài toán về tam giác vuông và các cách triển khai theo phơng hớng đó. Tuy nhiên để hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm đờng phụ để giải bài toán về tam giác vuông GV híng dÉn HS c¸c vÝ dô sau. 4.VÝdô 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC, trên cạnh BC lấy điểm M bất kì đờng thẳng AM c¾t c¹nh CD kÐo dµi t¹i N 1 1 1   2 2 2 AM 4 AN AB. CMR: Dùa vµo vÝ dô 3 c¸c em còng t¹o ra tam gi¸c vu«ng ANS tuy nhiªn cha t×m ra lêi gi¶i t«i đã gợi ý. -Tam giác ABM đồng dạng với tam giác nào? ( ADS) C¸ch gi¶i: V× ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt 1 AD = AB 2. cã AB = 2BC  AB = 2AD  Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với AN cắt CD tại S -XÐt ADS vµ ABM cã:  1=A   A 3 (cïng phô víi A 2 )   ADS = ABM = 900 ADS đồng dạng ABM (g.g). Suy ra. AD AS 1    AB AM 2. 1 AS  AM  2. - XÐt ANS vu«ng t¹i A cã AD  NS Ta cã: 1 2. . 1 1 1   2 2 AS AN AD 2. 1 1  2 2 AN 1  AB   2 . . 1   AM  2 . . 4 1 4   2 2 2 AM AN AB. . 1 1 1   2 2 2 AM 4 AN AB. ( §PCM).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Qua ví dụ 3 và 4 có thểcho học sinh thấy rằng cách giải hai ví dụ này là một đều phải kẻ thêm đờng phụ để làm xuất hiện tam giác vuông và áp dụng hệ tthức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông từ đó có cách kẻ hợp lí. 5.VÝ dô 5: Cho hình bình hành ABCD đờng chéo lớn AC. Gọi E , F là các hình chiếu của C lên c¸c c¹nh AB vµ AD. 2. CMR: AB.AE + AF.AD = AC Khi tôi đa ra ví dụ này các em không tìm đợc mối liên hệ giữa các cạnh với đờng chéo AC. Híng dÉn: -Từ B kẻ đờng thẳng BK vuông góc với AC - Xét hai tam giác đồng dạng nào để => AC.AK = AB.AE (1) -Chứng minh hai tam giác đồng dạng khác để suy ra AC.CK = AD.AF (2) từ đó tìm đợc lời giải bài toán C¸ch gi¶i: Tõ B kÎ BK  AC (h×nh vÏ bªn) - XÐt AEC vµ AKB cã:  A chung.   AEC = AKB = 900. Suy ra. AEC AKB (g.g). AE AC   AK AB  AB.AE = AC.AK (1). -XÐt AFC vµ. CKB cã:.   CFA = BCK (so le)   AFC = CKB = 900. Suy ra AFC CKB AF AC   CK BC . (g.g) AC.AF = AC.CK (2). Tõ (1) vµ (2)  AB.AE+ AC.AF = AC.AK+ AC.CK  AB.AE+ AC.AF = AC.(AK+ CK).

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  AB.AE+ AC.AF = AC.AC= AC2. (®pcm) Qua ví dụ này tôi lu ý cho học sinh cần phải vẽ đờng phụ một cách hợp lí, vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để chứng minh 6.VÝ dô 6: Cho tam gi¸c ABC cã M lµ trung ®iÓm cña BC. MA2 . AB 2  AC 2 BC 2  2 4. CMR: C¸ch gi¶i: KÎ AH vu«ng gãc víi BC -áp dụng định lí Pythagoras cho các tam giác vuông ABH và AHC AB2 + AC2 = AH 2 + BH 2 + AH 2 + HC2 . AB2 + AC2 = (AM 2 - MH 2 ) + BH 2 + (AM 2 - MH 2 ) + HC2. . AB2 + AC2 = AM 2 - MH 2 + BH 2 + AM 2 - MH 2 + HC2.  AB2 + AC2 = 2AM 2 - (BM - BH) 2 + BH 2 - ( HC - CM)2 + HC2  AB2 + AC 2 = 2AM 2 - BM 2 + 2BM.BH - BH 2 + BH 2 - HC 2 + 2HC.CM - CM 2 + HC2 . AB2 + AC2 = 2AM 2 - BM 2 + 2BM.BH + 2HC.CM - CM 2.  AB2 + AC 2 = 2AM 2 - BM 2 + 2BM.BH + 2HC.BM - BM 2. (V× MB = MC).  AB2 + AC 2 = 2AM 2 - 2BM 2 + 2BM.(BH + HC)  AB2 + AC2 = 2AM 2 - 2BM 2 + 2BM.BC Mµ BC = 2BM  AB2 + AC2 = 2AM 2 - 2(. 1 1 BC) 2 +2( .BC).BC 2 2.  AB2 + AC2 = 2AM 2 -. 1 BC2  BC2 2.  AB2 + AC2 = 2AM 2 +. 1 BC2 2.  2AM 2 = AB2 + AC2 -. 1 BC2 2. AB 2  AC 2 BC 2 MA   2 4 2. . -Đối với ví dụ này việc biến đổi rất phức tạp nên trong quá trình làm cần phải linh ho¹t, hîp lÝ -Đây là công thức tính độ dài đờng trung tuyến trong tam giác khi biết độ dài các c¹nh cña tam gi¸c 7.VÝ dô 7:.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Cho. ABC cân tại A có các đờng cao AH, BK, CD.. a, CMR:. 1 1 1   2 2 BC 4 AH BK 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. b, CMR: 3BK +2AK + CK = AB + BC + CA c, Qua C kẻ đờng thẳng // BK cắt AB tại J. CMR: AB2 = AD.AJ -Híng dÉn: -Khi tôi đa ra ví dụ này các em đã nhận thấy có điểm giống nh ví dụ 6 nhng cha đa đợc về một tam giác vuông nào đó - kÎ HE vu«ng gãc víi AC ta suy ra ®iÒu g×? Lêi gi¶i: a, KÎ HE vu«ng gãc víi AC  HE // BK HE // BK   Xét BKC có: BH = HC   HE là đờng trung bình của BKC  BK = 2HE 0  -XÐt AHC Cã AHC = 90 , HE vu«ng gãc víi AC. . 1 1 1   2 2 BC 4 AH BK 2. b,V×. ABC cân tại A có CD, BK là các đờng cao (gt) CD = BK   AD = AK . CD2 = BK 2  2 2  AD = AK. áp dụng định lí Pythagoras cho các tam giác vuông ABK, ACD, BCK.. Ta cã:. AB2 = BK 2 + AK 2  2 2 2 AC = AD + CD BC 2 = BK 2 + KC2 .  AB2 + AC2 + BC2 = BK 2 + AK 2 + AD 2 + CD2 + BK 2 + KC 2  AB2 + AC2 + BC2 = BK 2 + AK 2 +AK 2 + BK 2 + BK 2 +KC2  3BK 2 +2AK 2 + CK 2 = AB2 + BC2 + CA 2 (®pcm). c, V×. BK // CJ    CJ  AC BK  AC . -XÐt ADC vµ ACJ cã:.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> A chung     ADC = ACJ = 900 . . . ADC đồng dạng ACJ (g.g). AD AC =  AC2 = AD.AJ AC AJ (®pcm). VÝ dô 8 Bµi to¸n “Tr¨ng lìi liÒm” Trên các cạnh của một tam giác vuông ngời ta vẽ 3 nửa đờng tròn trên cùng 1nửa mặt ph¼ng bê lµ c¹nh huyÒn vÒ phÝa tam gi¸c chóng c¾t nhau t¹o ra 2 mÆt tr¨ng lìi liÒm. (H×nh vÏ bªn) CMR: Tổng diện tích 2 mặt trăng lỡi liềm đó bằng diện tích tam giác vuông Lêi gi¶i: Theo định lí Pythagorasta có BC2 = AB2 + AC2 =>BC2/4 = AB2/4+ AC2/4 (*) Ta cã: S1+S2+S3 =……(BC)2(* *) S2+S4 =…..(AB)2 S3+S5 =…..(AC)2 => S2+S4+S3+S5 =… .[ (AB)2 + (AC)2] (* * *) Tõ (*) , (* *) , (* * *) => S1 + S2 + S3 = (S2 + S4) + (S3 + S5) => S1 = S4 + S5 (®pcm) Bµi tËp ¸p dông: Cho tam giác ABC vuông tại C có đờngcao CH (H thuộc AB). Đặt AC=b, AB =c, BC = a, AH =b’, BH = c’, CH = h, gọi I, I1, I2 là tâm các đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC, AHC, BHC và r, r1, r2 lần lợt là bán kính của các đờng tròn đó. CI1, CI2 lần lợt c¾t AB t¹i E, F. CMR: a, r + r1 + r2 = h b, r =( a + b - c ):2 c, r2 = r12+ r22 d, AC = AF , BC = BE. e, I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEF. f, I lµ trùc t©m cña tam gi¸c CI1I2 g, EI2 // AI, FI1 // BI. h, EI2, FI1và HC đồng quy tại J là trực tâm tam giác CEF. i, IE = IF = IC = I1I2. k, c¸c tø gi¸c EI1I I2, FI2I I1.lµ nh÷ng h×nh thang c©n..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Dạng 2: Tính độ dài cạnh 1.VÝ dô 1: Bµi 30(SGK-89) . . ABC cã BC =11cm, ABC =300, ACB =380 Cho Gọi N là chân đờng vuông góc kẻ từ A đến BC. Hãy tính độ dài: a,§o¹n th¼ng AN. b,C¹nh AC.. Híng dÉn: Tõ B kÎ BK  AC  Tính đợc BK  AB  AN  A C. Lêi gi¶i: C¸ch 1: Tõ B kÎ BK  AC .  = 380 + 300 = 680 A 1 (gãc ngoµi ABC ). -XÐt. BCK Cã BK = BC.SinC =11.Sin300=11.0,5 = 5,5(cm). -XÐt. ABK : Cã KB =AB.SinA1. AB = . -XÐt. BK 5,5 5,5 = = = 5,932(cm) 0 SinA1 Sin68 0,927. ABN: Cã AN = AB.SinB1  AN = 5,932.Sin380 = 5,932.0,615 = 3,65(cm) AC =. AN 3,65 3,65 = = = 7,3(cm) 0 sinC sin30 0,5. b, - XÐt ACN: Cã C¸ch 2: -Nêu cách các em đã khác kẻ đờng thẳng từ C vuông góc với cạnh AC và trình bày tơng tự. - Nếu không kẻ đờng phụ thì ta có tính đợc các đoạn AN, AC không ? C¸ch3: 0 Tôi gợi ý đặt AN = x  BN =AN.cotg B  BN = x.cotg38.  NC =AN.Cotg C  NC = x.Cotg300 0. 0. Mµ BN + NC = 11  x.Cotg38 + x.Cotg30 =11  Từ đó tính đợc AN, AC NhËn xÐt:. x=. 11 Cotg30 + Cotg380 0.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> - Qua ví dụ 1 tôi đa ra nhận xét muốn tính độ dài cạch còn lại của một tam giác khi biết số đo hai góc và một cạnh của nó ta kẻ thêm đờng phụ để làm xuất hiện tam giác vuông và áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tính. 2.VÝ dô 2: . Cho ABC cã AB =13cm, AC = 16cm, BAC = 600. TÝnh c¸c c¹nh vµ c¸c gãc cßn l¹i cña tam gi¸c? Híng dÉn: Dựa vào nhận xét trên ta kẻ thêm CH vuông góc với AB ta tính đợc đoạn thẳng nào? Lêi gi¶i: Tõ C kÎ CH AB => AH = AC.CosHAC = 16.Cos600 = 16.0,5 = 8(cm) =>BH = AB - AH =13 - 8 = 5 (cm) =>CH = 16.sin 600 = 16.0.866 = 13.86 (cm) áp dụng định lí Pythagoras cho BCH ta có BC =. BH 2  HC 2 =. 52   13,85 . 2. =14,73 (cm). Ta cã tgHBC = HC:HB = 13,86 : 5 = 2,772   => HBC =7009’ hay B = 7009’ . => C = 1800 - (600 + 7009’) = 49051’ VËy c¸c gãc cña tam gi¸c lµ A = 600, B = 7009’, C = 49051’, BC = 14,73 cm Nếu trong một tam giác ta chỉ cho biết độ dài các cạnh ta có tính đợc độ lớn của các gãc trong tam gi¸c kh«ng? Ta sÏ xem xÐt trong d¹ng sau (d¹ng tÝnh gãc) 3.Ví dụ3: (đề thi HSG huyện năm học: 2005-2006) Cho h×nh thang vu«ng MNPQ biÕt: PN // MQ, MN = 12, NP = 11, PQ = 13 MNP = 900. (h×nh vÏ bªn) Khi đó x bằng: A.16 B.18 C.20 D.22 Híng dÉn: -Khi tôi đa ra bài toán này các em nhận thấymuốn tính đợc x ta cần tính đợc cạnh MQ và áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông MQN từ đó các em đã kẻ PH vuông gãc víi MQ. C¸ch gi¶i: Tõ P kÎ PH MQ => MNPH lµ h×nh ch÷ nhËt=> MN =PH =12 MH =NP =11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông PQH => PQ2 = PH2 + HQ2 => HQ2 = PQ2 - PH2 => HQ2 = 132 - 122 => HQ2 = 169 - 144 => HQ2 = 25 => HQ = 5 => MQ = MH + HQ = 11 + 5 = 16 áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông MNQ => NQ2 = MN2 + MQ2 => NQ2 = 122 + 162 => NQ2 = 144 + 265 => NQ2 = 400 => NQ = 20 Hay x = 20 4.VÝ dô 4: Cho h×nh thang ABCD cã AB // CD, AC CD, AC = 20, BD = 15 (h×nh vÏ bªn). Độ dài đờng trung bìmh của hình thang là: A.10,5 B.12,5 C. 15,5 D. 17,5 Híng dÉn: -Đối với bài toán này các em cha tìm ra đợc mối liên hệ giữa hai dờng chéo và đờng trung b×nh trong h×nh thang -Tôi gợi ý từ D kẻ đờng thẳng vuông góc với BD cắt cạnh AB kéo dài tại K thì tứ giác ACDK là hìng gì? ….từ đó ta có lời giải nh sau. Lêi gi¶i: Từ D kẻ đờng thẳng vuông góc với BD cắt cạnh AB kéo dài tại K Ta cã DK//AC (cïng BD) AK//CD (gt) => ACDKlµ h×nh b×nh hµnh  AK = CD  AC =DK=20. áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông BDK => BK2 = BD2 + DK2 => BK2 = 152 + 202 => BK2 = 225 +400 => BK2 = 625 =>BK =25 Mà AB + CD = AB + AK = BK => độ dài đờng trung bình của hình thang bằng ….BK =…..25=12,5 Vậy độ dài đờng trung bình của hình thang là 12,5..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> * Qua ví dụ 3 và 4 nhận thấy rằng việc tính toán độ dài các cạnh cần phải có sự linh hoạt trong cách vẽ đờng phụ cũng nh việc vận dụng các kiến thức đã họcvề tam giác vu«ng. VÝ dô 5: (Bµi to¸n Hoa Sen – Trung Quèc) Trªn mÆt ao lÆng Ng «ng ®o díi Cã mét b«ng sen §óng hai thíc trßn Cao đúng nửa thớc B¹n thö tÝnh xem BÞ giã thæi nghiªng Ao s©u mÊy thíc GV Gi¶i thÝch: Qua h×nh vÏ minh ho¹. -1 thớc =1/3 m(đơn vị đo chiều dài của T/Q). -Bài toán này có ý nói có một bông sen đứng thẳng trên mặt nớc CD cao 1/2 thớc. Sau khi bị gió thổi bông sen ngả đến vị trí B trên mặt nớc (BC =2 thíc) ? Tính độ sâu AC . Híng dÉn: Dùa vµo h×nh vÏ th× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C Gọi độ sâu của ao AC = x (thớc, x> 0) víi AD = AB = AC + 1/2 (thíc) = x + 1/2 (thíc) áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông ABC Ta có thể tính đợc độ sâu của ao Lêi gi¶i: áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông ABC => AB2 = BC2 + AC2 => AD2 = BC2 + AC2 => (x + 1/2)2 = 22 + x2 => x2 + x + 1/4 = 4 + x2 => x + 1/4 = 4 => x = 11/4 (tho¶ m·n) Vậy độ sâu của ao là AC = 11/4 (thớc). Bµi tËp ¸p dông: Bài 1: Có một cây dơng mọc đơn độc giữa đồng bỗng nhiên gió thổi mạnh làm nó gẫy gập xuống, ngọn cây chạm đất cách gốc 4 thớc , từ gốc lên đến chỗ gẫy 3 thớc. Hỏi c©y d¬ng cao bao nhiªu ? Bµi 2 : “§êng ®i nhanh nhÊt” Một khu đất trống hình chữ nhật ABDC có chiều dài là 7 km và chiều rộng là 5km, bao gồm một đồng cỏ rộng 3 km và một bãi cát rộng 2 km, ngăn cách nhau bởi đờng thẳng.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> EF song song với cạnh BC ( hình vẽ). Một kị binh xuất phát từ địa điểm A để đi đến địa điểm C. Biết rằng trên bãi cát ngựa đi chậm chỉ bằng một nửa trên đồng cỏ . Hỏi ngời kị binh đó phải chọn con đờng nào để đi trong khoảng thời gian ngắn nhất? B 7km C §ång cá. 3km E 2km B·i c¸t A. D¹ng 3:. §ång cá §ång cá B·i c¸t. F. B·i c¸t B. TÝnh sè ®o gãc.. 1.Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Biết đờng cao AH, đờng trung tuyến AM chia góc A thµnh 3 gãc b»ng nhau. H·y tÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c? Híng dÉn: -Khi tôi đa ra bài tập này các em cha tìm đợc cách giải -? NÕu tõ M kÎ MK vu«ng gãc víi AC ta suy ra ®iÒu g× Lêi gi¶i: Ta cã ABM lµ tam gi¸c c©n t¹i A =>BH =HM => HM = 1/2MC -KÎ MK AC => AMH = AMK ( C¹nh huyÒn - gãc nhän) =>HM = MK mµ MH = 1/2 MC => MK = 1/2 MC => MCK = 300 => C = 300 =>M3 = 600 ( CKM vu«ng t¹i K) => M1 = M2 = 600 => B = 600 => A = 900 VËy: A = 900, B = 600, C = 300. 2.VÝ dô 2: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 8cm. TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC? Híng dÉn: KÎ AH BC ta có thể tính đợc đoạn thẳng nào? ( BH hoặc CH) Từ đó dựa vào hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc ta có thể tính đợc các góc của tam gi¸c ABC. Lêi gi¶i: KÎ AH BC, đặt BH = x => HC = 8 – x áp dụng định lí Pythagoras cho các tam giác vuông ABH, ACH..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Ta cã: ABH: => =>. AB2 = BH2 + AH2 AH2 = AB2 - BH2 AH2 = 52 - x2. (1). ACH AC2 = AH2 + CH2 => AH2 = AC2 - CH2 => AH2 = 62 – (8 - x)2 ( 2 ) Tõ (1) vµ (2) => 52 - x2 = 62 – (8 - x)2 => 25 - x2 = 36 – 64 + 16x - x2 => 16x = 53 => x = 53/16. XÐt ABH ta cã: CosB = BH/AB = (53/16) : 5 = 0,6625 => B = 48031’ Ta cã HC = BC – BH = 8 – 53/16 = 75/16 XÐt ACH ta cã: CosC = HC/AC = (75/16) : 5 = 0,7813 => C = 38037’ A = 1800- (B + C ) =1800 - ( 48031’ + 38037’ ) =92052’ VËy A =92052’, B = 48031’, C = 38037’ Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: Cho xOy = 900 trªn tia Ox lÊy ®iÓm B trªn tia Oy lÊy ®iÓm C, D, E sao cho: OC = CD = DE = OB . TÝnh ODB, OEB. Bµi 2: Cho tam gi¸c MNP cã MN =12cm, NP 15cm, MP = 20cm. TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c MNP. Nhận xét: Muốn tính độ lớn của các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố về cạnh và góc thì ta thờng vẽ đờng cao trong tam giác rồi áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc để tính. Bµi häc kinh nghiÖm: - Qua quá trình giảng dạy “Vẽ đờng phụ để giải một số bài toán về tam giác. vuông” là một phơng pháp tốt để học sinh biết cách t duy hình học, đứng trớc một bài toán các em phải biết vẽ hình (vẽ đờng phụ nh thế nào cho hợp lí) phân tích đầu bài để tìm mối liên quan giữa các dữ kiện của giả thiết với các kiến thức đã học để từ đó xác định hớng giải quyết - Đối với mỗi dạng bài tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu cũng nh phân tính để các em biết đợc cách trình bày lời giải một bài tập hình - Tõ mét bµi tËp cô thÓ gi¸o viªn cÇn khai th¸ c các cách giải, mở rộng kiến thức triệt để giúp cho các em có óc t duy linh hoạt và s¸ng t¹o.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> - Hệ thống bài tập phải đợc chọn lọc, sắp xếp theo một trình tự có lôgíc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, Giáo viên cần khái quát cách giải dạng bài tập đó. KÕt Qu¶: Qua quá trình giảng dạy “Vẽ đờng phụ để giải một số bài toán về tam giác. vu«ng” Nhìn chung các em đều có kĩ năng vận dụng tơng đối thành thạo việc kẻ thêm đờng phụ cũng nh vận dụng kiến thức về tam giác vuông để giải các bài tập tơng tự gây đợc hứng thú học tập cao. KÕt qu¶ nh sau: Líp SÜ sè Giái Sè lîng 8 9A 47 9B. 43. 6. % 17. Kh¸ Sè lîng 11. Trung b×nh YÕu % Sè lîng % Sè lîng 23 25 53 3. % 7. 14. 14. 33 20. 6. 47 3.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>