DE THI HSG 9 20162017

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS Năm học 2016-2017 Khóa ngày 21 tháng 10 năm 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề). Bài 1: (4 điểm) 1. . 3. . 2. Cho biểu thức: P = x +1 x x +1 x - x +1 a) Rút gọn P. b) Chứng minh P  0. Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng n3 - n chia hết cho 6 với mọi n  Z. Bài 3: (4 điểm) Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1 a) Tính giá trị của biểu thức M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15  1  1   1+   1+  b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  x   y  .. Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0 Bài 5: (2 điểm) 3 Tìm tất cả các số có 5 chữ số abcde sao cho abcde ab. Bài 6: (5 điểm) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. M là trung điểm của cạnh AB. Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho hai đường thẳng MG và AH song song với nhau. a) Chứng minh: DH.GB = BM.DA  b) Tính số đo góc HOG . ----------------- HẾT-------------------. Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 (4đ). HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề). a) ĐKXĐ: x 0 1 3 2   P = x +1 x x +1 x - x +1 1 3 2   x +1 x +1 x - x +1 x - x +1.   x - x +1  3  2  x +1   x +1  x - x +1  = =. 0,25. 0,5. . 1,0. x+ x. . . x +1 x - x +1. x = x - x +1 b) x 0. 0,75 0,5 2. 1 3 3  = x    2 4 4 x - x 1 . Bài 2 (2đ). Bài 3 (4đ). x P= x - x +1 0 P= n3 - n = n(n2 -1) = n(n+1)(n-1) Ta có n(n+1)  2 => P  2 n(n+1)(n-1)  3=> P 3 Mà (2,3) = 1 => P  6 a) M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15 = x2 + 2000x + y2 + 2000y + 2xy + 15 = x2 + 2xy + y2 + 2000x + 2000y + 15 = (x +y)2 + 2000(x + y) + 15 = 12 + 2000.1+15 = 2016  1  1  1 1 1 x+y 1 + + +  1+   1+  x y y x xy xy xy     b) P = =1+ =1+ 1 1 2 + = 1 + xy xy = 1 + xy. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5. Ta có: x + y 2 xy 1 2 xy  1 4 xy 1 4 xy . 0,5 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 4 (3đ). 2 P = 1 + xy  1+ 2.4=9 1 Vậy GTNN của P là 9  x = y = 2 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0  (x2 + 4x + x + 4)(x2 + 3x + 2x + 6) - 24 = 0  (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = 0 Đặt t = x2 + 5x + 4 ta được phương trình: t(t + 2) - 24 = 0  t2 + 2t - 24 = 0  t2 - 4t + 6t - 24 = 0  t(t - 4) + 6(t - 4) = 0  (t - 4)(t + 6) = 0  t = 4 hoặc t = -6 Với t = 4 ta được x2 + 5x + 4 = 4  x = 0; x = -5 Với t = -6 ta được x2 + 5x + 4 = -6  x2 + 5x + 10 = 0. 5 15  (x + 2 )2 + 4 = 0. Pt vô nghiệm.. 0,25. 0,25 0,5 0,5. 0,5 0,5 0,5 0,25. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 hoặc x = -5 Bài 5 (2đ). 0,5 0,25 0,25 0,25. Đặt x = ab , y = cde ta có abcde = 1000x + y. với 10  x < 100, 0  y < 1000 (1) Ta có: x3 = 1000x + y (2) Từ (1),(2)=> 1000x  x3 < 1000x+1000 1000 => 1000  x < 1000+ x <1100. 0,25. 2. 0,25 0,25. => 31< x<33 Vậy x = 32 và x3 = 32768 Bài 6 (5đ). A. M. B. O G. D. H. C. a) ADH và GBM có:   ADH = GBM (=900)   AHD = GMB ( cặp góc có cạnh tương ứng song song). => ADH. GBM (g-g). DH AD = BM GB. => => DH.GB = BM.DA b) Ta có : DH.GB = BM.DA ( câu a). 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2 MBO vuông cân tại M => BM = BO. 2 ADO vuông cân tại O => AD = DO. 2 2 DH.GB = BM.DA = BO. 2 . DO. 2 =BO.DO DH DO    => BO GB mà ODH = GBO (=450). => ODH. GBO (c-g-c).   => DOH = BGO       => DOH + HOG + GOB = BGO + GOB + OBG (=1800)   0 HOG OBG. =>. =. = 45. Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.. 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>