NHIN BBT DO THI SE BIET DIEU GI

<span class='text_page_counter'>(1)</span>NHÌN BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ SẼ BIẾT NHỮNG ĐIỀU GÌ? Một trong những kỹ năng và kiến thức cần thiết để giải nhanh các câu của đề thi trắc nghiệm môn Toán THPT Quốc gia là luyện nhìn nhanh các bảng biến thiên, các đồ thị để chọn ra phương án đúng. Qua các đề mình hoạ, thử nghiệm, tham khảo do Bộ GD-ĐT công bố xuất hiện những câu hỏi trắc nghiệm gắn với bảng biến thiên và các đồ thị. Tuy nhiên, ở các đề thi đó chưa đủ các tình huống mà hội đồng ra đề có thể yêu cầu trong đề thi chính thức. Bài viết này chia sẻ rõ các vấn đề mà đề thi có thể yêu cầu xoay quanh bảng biến thiên và đồ thị hàm số cho trước, cũng như tránh những sai lầm do các bạn học sinh chưa để ý khi làm bài. 1. Nhìn bảng biến thiên của hàm số Có thể nói nhìn bảng biến thiên của hàm số chúng ta có thể biết được khá nhiều điều về hàm số và đồ thị của hàm số: - Tập xác định. - Chiều biến thiên - Các điểm cực đại, cực tiểu - Giá trị cực đại, cực tiểu - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số - Các đường tiệm cận của đồ thị - Các giới hạn liên quan tới hàm số - Các điểm không có đạo hàm. - Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = m theo m..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Thí dụ 1. Ta biết gì từ câu dẫn sau: Cho hàm số y  f  x  xác đinh, ̣ liên tu ̣c trên. và có bảng biế n thiên:. (Đề minh hoạ của Bộ GD-ĐT). Ta biết: -. Tập xác định của hàm số là . Hàm số không có đạo hàm tại x = 0 (những vẫn xác định tại x = 0). Hàm số đồng biến trên từng miền:  ;0;1;   . Hàm số nghịch biến trên [0; 1]. Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 0; tức là: xCĐ  0; yCĐ  0.. - Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu là y  1; tức là: xCT  1; yCT  1.. - Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. - Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. - lim f  x   ; lim f  x   ; x. x. - Số nghiệm của phương trình: f(x) = m : o m  1; m  0 : Phương trình có 1 nghiệm. o m  1; m  0 : Phương trình có 2 nghiệm. o 1  m  0 : Phương trình có 3 nghiệm..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Thí dụ 2. Ta biết gì từ câu dẫn sau: Câu 5. Cho hàm số y  f  x  xác đinh ̣ trên \ 0 , liên tu ̣c trên mỗi khoảng xác đinh ̣ và có bảng biế n thiên như sau:. (Đề thử nghiệm của Bộ GD-ĐT) Ta biết: - Tập xác định của hàm số  ;0    0;   . - Hàm số đồng biến trên (0; 1]. - Hàm số nghịch biến trên từng miền  ;0  ;1;   . - Hàm số đa ̣t cực đại tại x = 1, giá trị cực đại y = 2; tức là xCĐ  1; yCĐ  2.. -. lim f  x   ; đồ thị tiệm cận bên phải đường thẳng x = 0. x0. lim f  x   1; lim f  x   ; lim f  x   . x0. x. x. - Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. - Số nghiệm của phương trình f(x) = m: o m  1; m  2 :. Phương trin ̀ h có 2 nghiê ̣m.. o 1  m  2 :. Phương trình có 3 nghiê ̣m.. o m  2:. Phương trin ̀ h có 1 nghiệm..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Thí dụ 3. Ngoài câu hỏi về số tiệm cận, ta còn biết những gì? Câu 11. Cho hàm số y  f  x  có bảng biế n thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thi ̣của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiê ̣m câ ̣n ?. (Đề tham khảo của Bộ GD-ĐT) Ta biết: -. Tập xác định của hàm số là  2;0    0;   . Hàm số đồng biến trên  2;0  , nghịch biến trên  0;   . Hàm số không có cực đại, cực tiểu. Hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x   1; lim f  x   0. x2. x0. x0. x. - Đồ thị tiệm cận bên phải đường x  2, tiệm cận bên trái đường x = 0, tiệm cận với đường y = 0. - Số nghiệm của phương trình f(x) = m: o m  1; m  0 : 1 nghiệm (có thể thấy nghiệm âm). o 0  m 1 : 2 nghiệm (1 nghiệm âm và 1 nghiệm dương). 2. Nhìn đồ thị hàm số Tuỳ theo hình vẽ với sự cụ thể đến đâu, ta có thể biết được Tập xác định. Chiều biến thiên hàm số, từ đó có thể biết dấu f’(x) trên các miền. Các điểm cực đại, cực tiểu Các đường tiệm cận Dựa vào tính lồi, lõm của đồ thị có thể biết dấu của f”(x) trên các miền. - Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất - Suy ra từ đồ thị nào? -.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> - Nếu cho trước các hàm số, ta có thể chọn được hàm số có đồ thị đã cho - Công thức tính diện tích hình phẳng cho trước..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Thí dụ 4. Câu 15. Cho hàm số f  x   x ln x. Mô ̣t trong bố n đồ thi cho trong bố n ̣ phương án A, B, C, D dưới đây là đồ thi ̣của hàm số y  f '  x  . Tìm đồ thi ̣ đó.. (Đề tham khảo của Bộ GD-ĐT) Trước hết giải câu này: y  f ’ x   1  lnx , vì f '  e1   0 nên chọn C. Từ đồ thị C có thể biết: - Hàm số đồng biến với x > 0 tức là f ''( x) > 0 với x > 0. - Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 0 (đồ thị tiệm cận bên phải đường x = 0). - Hàm số không có cực đại, cực tiểu, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. - Vì đồ thị lồi với x > 0 nên còn biết  f ''( x ) ’ < 0 với x > 0..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Thí dụ 5. Câu 23. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thi ̣của mô ̣t hàm số trong bố n hàm số đươ ̣c liêṭ kê ở bố n phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào? A. y . 2x  3 . x 1. B. y . 2x  1 . x 1. C. y . 2x  2 . x 1. D. y . 2x  1 . x 1. (Đề tham khảo của Bộ GD-ĐT) Trước hết giải câu này: Từ đồ thị biết tiệm cận đứng x  1, tiệm ngang y = 2 nên loại ngay C và D. Mặt khác hàm số đồng biến trên từng khoảng  ; 1 ;  1;   nên loại A và chọn B. Từ đồ thị này còn biết: - Do tính lồi, lõm của đồ thị ta có: f”(x) > 0 với x  1; f”(x) <0 với x  1..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Thí dụ 6. Câu 21. Go ̣i S là diêṇ tích hình phẳ ng (H) giới ha ̣n bởi các đường y  f  x  , tru ̣c hoành và hai đường thẳ ng x  1; x  2 (như hình vẽ bên). Đă ̣t 0. 2. 1. 0. a   f  x  dx, b   f  x  dx, mê ̣nh đề. nào dưới đây đúng? A. S  b  a.. B. S  b  a.. C. S  b  a.. D. S  b  a. (Đề tham khảo của Bộ GD-ĐT). Trước hết giải câu này: Với x > 0 phần hình phẳng không ở phía dưới trục hoành nên diện tích phần hình phẳng này đúng bằng b. Với x < 0 phần hình phẳng không ở phía trên trục hoành nên diện tích phần hình phẳng này là – a. Bởi vậy tổng diện tích sẽ là S  b  a, nên chọn phương án A. Từ đồ thị này còn biết: -. Hàm số luôn đồng biến trên tức là f’(x)  0 với mọi x. Đồ thị lồi trên miền x < 0 nên f”(x) < 0 với x < 0 Đồ thị lõm trên miền x > 0 nên f”(x) > 0 với x > 0. Đồ thị có điểm uốn tại gốc toạ độ O..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Thí dụ 7. Cho hàm số chẵn y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x) và trục hoành.. 2. 0. 1. 1. Nếu a   f  x  dx; b   f  x  dx thì mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S = 2 (a+b).. B. S = 2  b  a  . C. S = 2  b  a  .. D. S = 2 a  b .. Trước hết ta giải câu này: Do hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là trục tung. Diện tích phần hình phẳng không ở phía dưới trục hoành chính là 2b, diện tích 2 phần hình phẳng không ở phía trên trục hoành là 2a. Do đó: S  2b  (2a)  2(b  a) nên chọn phương án B Từ đồ thị này ta biết: - Bất phương trình f(x) > 0 có tập nghiệm là:  ; 2    1;1   2;   . - Bất phương trình f(x) < 0 có tập nghiệm là:  2; 1  1;2  . - Hàm số có giá trị nhỏ nhất chính là yCT mà không có giá trị lớn nhất..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Thí dụ 8. Câu 32. Hàm số y   x  2   x 2  1 có đồ thi ̣ như hiǹ h vẽ bên. Hình nào dưới đây là đồ thi ̣ của hàm số y  x  2  x 2  1 ?. (Đề tham khảo của Bộ GD-ĐT) Trước hết giải câu này: Gọi hàm số đã cho đồ thị là y = f(x) và hàm số cần xác định đồ thị là y = g(x) thì với x > 2 ta có y = g(x) = f(x). Như vậy trên miền x > 2 đồ thị y = g(x) trùng với đồ thị y = f(x). Điều này chưa loại được phương án nào..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Với x < 2 thì y = g(x) =  f  x  nên đồ thị của y = g(x) sẽ đối xứng với đồ thị y = f(x) qua trục hoành, từ đó ta chọn A. Từ đồ thị A ta biết: - Hàm số y = g(x) đạt cực tiểu tại 2 điểm, tại điểm x = 2 hàm số không có đạo hàm (điểm “nhọn” của đồ thị) và hàm số đạt cực đại tại 1 điểm. - Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng  yCĐ của hàm số y = f(x). - Số nghiệm của phương trình g(x) = m nhiều nhất là 4, khi đó có 3 nghiệm dương và 1 nghiệm âm..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Thí dụ 9. Câu 3. Cho hàm số y  f  x  xác đinh, ̣ liên tu ̣c trên đoa ̣n  2;2  và có đồ thi ̣là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f  x  đa ̣t cực đa ̣i ta ̣i điể m nào dưới đây? A. x  2. B. x  1. C. x  1. D. x  2. (Đề thử nghiệm của Bộ GD-ĐT) Trước hết ta giải câu này: Thấy ngay hàm số đạt cực đại tại x = 1 nên chọn phương án B. Từ đồ thị hàm số đã cho ta biết: - Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. - Hàm số có giá trị lớn nhất là 4 và giá trị nhỏ nhất là 4. - Đồ thị có tâm đối xứng là O nên hàm số là hàm số lẻ. 2. -.  f  x  dx  0. 2. - Hàm số y  f  x  là hàm số chẵn.. - Đồ thị hàm số lồi trên  2;0  và lõm trên  0;2 nên ta biết dấu của f”(x) trên 2 miền này..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Thí dụ 10. Câu 19. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thi ca ̣ ́ c hàm x x số y  a , y  b , y  c x đươ ̣c cho trong hiǹ h vẽ bên. Mê ̣nh đề nào dưới đây đúng? A. a  b  c. B. a  c  b. C. b  c  a. D. c  a  b. (Đề thử nghiệm của Bộ GD-ĐT) Trước hết ta giải câu này: Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của hàm số mũ, từ đồ thị thấy ngay b > 1; c > 1 và 0 < a < 1. Vậy ta loại ngay C và D. Mặt khác với x > 0 thì đồ thị y  b x nằm phía trên đồ thị y  c x nên b > c. Do đó ta chọn B. Chú ý: Từ cách nhìn so sánh vị trí (trên hay dưới) của 2 điểm cùng hoành độ của 2 đồ thị y = f(x) và y = g(x) ta có thể có biết được khi nào f(x) > g(x) và ngược lại..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Thí dụ 11. Bài tương tự bài trên. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y  loga x ; y  log b x ; y  log c x được cho ở hình vẽ dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. b < c < a.. B. c < b < a.. C. c < a < b.. D. a < c < b.. Ta giải thí dụ này: Xét đường thẳng y  1 lần lượt cắt các đồ thị tại các điểm kể từ trái sang phải có hoành độ là: a, c, b nên a  c  b Do đó chọn D..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Thí dụ 12. Cho đồ thị hàm số y = f(x) có tập xác định là  1;1 và có đồ thị là nửa đường tròn tâm O bán kính r = 1 (đ.v.đ.d) như hình vẽ.. 1. Nếu I   f  x  dx thì: 0.  B. I = 2. A. I =  .. C. I =. 2 4. D. I =.  4. Ta giải thí dụ này: Thấy ngay diện tích của phần tư hình tròn là 1 1 2 1 S =  r   .1 đ .v.d .t . Mặt khác: S   f  x  dx (đ.v.d.t) = I (đ.v.d.t) . 4 4 0. Do đó: I .  4. . Vậy ta chọn D.. Chú ý: Có thể từ đồ thị ta có hàm số y = 1  x 2 từ đó các bạn tính trực tiếp I . Cách làm trên không cần tính tích phân ..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Thí dụ 13. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị ở hình bên. Khi đó đồ thị hàm số y = f   x  là đồ thị nào trong các đồ thị dưới đây?. A. Hình 1.. B. Hình 2.. C. Hình 3. D. Hình 4..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Ta giải thí dụ này: Chỉ cần các bạn nhớ từ đồ thị y = f(x) để có đồ thị y  f   x  ta chỉ cần lấy đối xứng qua trục tung và từ đó ta chọn hình 1 tức là chọn phương án A. Tuy nhiên có một cách khá hay là đồ thị y  f   x  khi cho x = 0 ta có y  f   0   f  0   1 nên đồ thị phải đi qua điểm  0; 1. Trong 4 hình đã cho chỉ có hình 1 thoả mãn nên ta chọn phương án A. Chú ý: Khi bài toán cho nhiều hình vẽ, nhiều khi các hình vẽ làm chúng ta bị “hoả mù” và rất mất thời gian để nhìn hình. Đôi khi chỉ bằng một nhận xét đơn gian ta tìm ra hình thoả mãn..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Thí dụ 14. Cho hàm số y = f(x) và đồ thị như ở thí dụ 13. Đồ thị nào là đồ thị của hàm số y  f  x  trong 4 hình cho ở thí dụ 13? A. Hình 1.. B.Hình 2.. C. Hình 3.. D. Hình 4.. Giải: Vì f  x   0 với mọi x thuộc tập xác định nên đồ thị không có điểm nào ở phía dưới trục hoành. Do đó ta loại A và C. Mặt khác f 1  0  0 nên đồ thị đi qua điểm (1; 0), vậy loại D, chọn B. Thậm chí nếu nhận xét ngay f 1  0  0 thì ta loại ngay A và D. Sau đó loại C để chọn B. Chú ý: Thí dụ dưới đây muốn các bạn cảnh giác khi nhìn đồ thị mà quên mất giả thiết quay hình phẳng này quanh trục toạ độ nào để tạo thành khối tròn xoay và từ đó có thể tính sai thể tích khối tròn xoay..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Thí dụ 15. Cho đồ thị hàm số y =  x 2  1 có đồ thị như hình dưới.. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành. Đặt V là thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi quay H quanh trục tung. Khi đó kết quả nào dưới đây sẽ đúng? A. V =. 2  đ .v.t.t . 3. B. V =. C. V =. 16  đ .v.t.t . 5. D.V=.  2.  đ .v.t.t .. 4  đ .v.t.t . 3. Phân tích: Theo thói quen, khi nhìn hình vẽ trên các bạn thường áp dụng ngay công thức: 1. V     f  x   dx và chọn phương án C. 2. 1. Tuy nhiên bài toán cho giả thiết là quay hình H quanh trục tung, bởi vậy ta cần đưa về hàm số x = g(y) = 1  y và tính theo công thức: 1. V     g  y   dy và chọn phương án B. Nếu quên bình phương của g(y), 2. 0. các bạn sẽ chọn nhầm phương án A, còn nhân đôi lên thì sẽ chọn nhầm phương án D. Thay cho lời kết bài viết, xin chúc các thầy cô cùng các em cùng bước vào giai đoạn “nước rút” thật hiệu quả để cùng Thành công ở kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới!.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> TS. Lê Thống Nhất.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>