tai lieu on vao lop 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (494.96 KB, 44 trang )

(1)¤n Thi vµo THPT. Phần I: đại số. A- LÝ thuyÕt 1. C¨n bËc hai: §N : C¨n bËc hai cña mét sè a kh«ng ©m lµ sè x sao cho x2=a. *a>0 : Cã hai c¨n bËc hai lµ : √ a , − √ a *a=0 : Cã mét c¨n bËc hai lµ √ a=0 *a<0 : Kh«ng cã c¨n bËc hai. 2.C¨n bËc hai sè häc : Định nghĩa : Với số dơng a, số √ a đợc gọi là căn bậc hai số học của a, số 0 cũng đợc gọi là c¨n bËc hai sè häc cña 0. x=√ a ⇔ x≥0 Chó ý : Víi sè a ≥ 0 , ta cã 2 x =a ¿{. 3.So s¸nh c¸c c¨n bËc hai sè häc : §Þnh lÝ : Víi c¸c sè a vµ b kh«ng ©m, ta cã : a< b ⇔ √ a< √ b B.Bµi tËp : Bµi 1 : T×m x sao cho : a.x2=16; b.x2= 9 ; c.x2=-4. 25 Bµi 2 : Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau : 2 2− √ 5¿ b .(3+ √ 2)(3 − √2)c .(5 √ 2− 3)(5 √2+3) a.¿. Bµi 3 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : ¿ a x − 1=3 b ¿ √ x2 +1=2¿ c ¿ √ x 2 +5 x+ 20=4 d ¿ √ x 2 +3=− 1 ¿. Bµi 4 : So s¸nh c¸c sè : a ¿ √ 7+ √ 15 víi 7 b ¿ √ 2+ √ 11 víi √ 3+5 d ¿ √5 √ 3 vµ √ 3 √5 √ 17 vµ √ 17 *Bµi 5 : Chøng minh r»ng : a) √ 3; √7 lµ c¸c sè v« tØ; b) √ 3+1 lµ sè v« tØ. Bµi 6: a.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A=1+ √ x − 2 b.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : B=5 − √ 2 x −1 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √ A=| A|  Điều kiện xác định của √ A là A ≥0  Víi mäi sè thùc a, ta cã √ a=|a|  Víi A lµ biÓu thøc ta cã : A nÕu A ≥ 0 ¿ − A nÕu A< 0 ¿ ¿ ¿ √ A=| A|=¿. Bài 1: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa : A=√ 4 x 2 −1 B=√ 2 x 2 +4 x +5 1 3 C= D= x + + √ −3 x 2 x √2 x − x. Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:. √.

(2) ¿ a 9 −12 x+ 4 x =4 b ¿ √ x −2 x+ 1+ √ x − 6 x+ 9=1 ¿ c ¿ √ 3 x 2 − 18 x +28+ √ 4 x 2 −24 x + 45=− 2. 2. 2. *Bµi 3 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= √ x 2 +2 x +1+ √ x 2 −2 x +1 B=√ 49 x 2 − 42 x+1+ √ 49 x 2 +42 x+ 9. Bµi 4 : Rót gän c¸c biÓu thøc sau :. ¿ 2. 2. 2. a 6+2 √ 5+ √ 6 −2 √5 b ¿ √ 8 −2 √ 7 − √ 8+2 √ 7 ¿ c ¿ √ 64a +2a víi a ≥0 d ¿ √ a +6a +9+ √ a −6a +9 víi a bÊt ki¿ e ¿ √ a+. Bµi 5 : Ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö: ¿ a x ¿ 2 −11 ; b ¿ x 2 +5 √ x +6 ¿ c ¿ x 2+ 4 √ x+ 3 d ¿ 3 x 2 − 6 √ x −6 . ¿. *Bµi 6: a) Chøng minh r»ng nÕu x2+y2=1 th× − √ 2 ≤ x + y ≤ √ 2 b) Cho x,y,z lµ sè thùc d¬ng, chøng minh : 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + x y z √ xy √ yz √ xz. *Gîi ý : a) v× x2+y2=1, (x-y)2 0 nªn 2xy 1 =>(x+y)2 2=> |x + y|≤ √ 2 b)áp dụng bất đẳng thức Côsi : a+b ≥ 2 √ ab dấu “=” xảy ra khi a=b. *Bài 7: Tìm các số x,y,z thoả mãn đẳng thức : x+ y+ z+8=2 √ x −1+ 4 √ y − 2+ 6 √ z −3 √ z −3 − 3¿ 2=0 2 *Gợi ý : Biến đổi thành : ( √ y −2 −2 ¿2 +¿ √ x − 1− 1¿ + ¿ ¿. B- Bµi tËp HS tù lµm Bµi 1: Kh«ng dïng m¸y tÝnh h·y so s¸nh a, 2 √ 31 vµ 10 -3 √ 26 vµ 15 2 √ 5 vµ 5 √ 2 √ 5 √3 va √ 3 √5. -3 √ 11 vµ -12 3 ❑√ 2 .3 vµ. bËc 3) b, √ 7+√ 15 vµ 15 √ 2+ √ 11 va √ 3+5 vµ 2 14 vµ √ 13. √ 15 √ 37− √ 15 c, 3+ √ 8 vµ 6+ 2 1+ 6  27 vµ √ 48 d, √ 15− √14 vµ √ 14 − √ 13. 2 √ 2+ √6. 2. √. G= √ 2 x 2 +4 x +5 J= − 5 x. −5 − x −7. √ x2 − 4. N=. √. x −2 x−3. √. 1. P= √ x − √ x 2 − 4 x +4 Q= 2 √ x +2 x + 4 Bµi 3a, Cho A= 6+2 √ 5 vµ B= 6-2 √ 5 3b, Cho C= √ 36+10 √11 vµ D= √ 36− 10 √11 2 2 − 3 √ 2 −4 3 √ 2+4. D= √ 3 x 2 +1. E= I= M=. √2 x − x 1. R= 2 U= x+ 3 + √ −3 x x √x − 3 TÝnh A+B ; A-B ; A.B ; A:B TÝnh C+D ; C-D ; C.D ; C:D. Bµi 4 Thùc hiÖn phÐp tÝnh. A=. √ 105− √ 101. vµ 3+ √ 5 vµ √ 101− √97. H= √ −5 x −10 1 K= 2. − x −7. (c¨n. 1 vµ √ 3− 1. Bài 2: Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x A= √ 2− x B= √ −7 x C= √ 4 x +12. √4 x − 1 F= √ x2 −2 x+1. 3 ❑√32. B=. 1. √. 1 1 + 1+ √ 34 √ 34+ √ 67 √ 67+ √ 100 +.

(3) C= √5 − √3 +¿ √ 5+ √ 3 D= ( √ 12+3 √15 − 4 √ 135¿ . √ 3 √ 5+ √ 3 √5 − √3 E= (√ 252− √700+ √1008) √ 448 F=2 √ 40 √ 12− 2 √ √ 75− 3 √5 √ 48 G=(15 √ 50+5 √200 −3 √ 450 ¿ : √ 10 H= √ 3+√5+ 2 √3 . √ 3− √5+2 √3 I= (√ 4+ √15)( √10 − √ 6)(√ 4 − √ 15) J=( 3+ 2 √ 3 + 2+ √2 ¿ :(1: 1 ) √3+2 √2+1 √ 2+√ 3 Bµi 5:Rót gän c¸c biÓu thøc sau A= √ 9 −4 √5 - ❑√ 5 B= √ 23− 8 √7 - √ 7 2+ √ 3 2− √ 3 C= + D= √ 3+ √5 − √3 − √5 − √2 2+ √ 4+2 √ 3 2 − √ 4 −2 √ 3 E= √ 4 − √7 − √ 4+ √7 − √7 F= √ 6,5+ √ 12+ √6,5 − √12+2 √ 6 1 1 − G= H= √ 4+ √15+ ¿ √ 4 − √15 -2 √ 3− √5 √7 − √24 +1 √ 7+ √ 24 −1 I= 4 √ 3+2 √2 − √ 57+ 40 √2 J= √ 3− 2 √2 − √ 6+4 √2 Bµi 6: TÝnh A= √ √5 − √3 − √29 −6 √20 B= √ 6+2 √5 − √13+ √ 48 C= √ 4+ √5 √ 3+5 √ 48 −10 √ 7+ 4 √3 D= √ √5 − √3 − √29 −12 √ 5 Bµi 7: Rót gän biÓu thøc a, x-4- √ 16− 8 x 2+ x 4 víi x>4 d, √ a2 +6 a+ 9+ √ a2 − 6 a+ 9 víi a bÊt k× x − 2 √ x +1 b, víi x 0 e, √ a+2 √ a −1 + √ a −2 √ a −1 víi. √. x+2 √ x+1 1≤ a ≤ 2 c, √ a+ √ b − √a − √ b √a − √ b √ a+ √ b. 3. 3. a−b a −√b víi a 0 ; b ≥ 0 ; a ≠b g, −√ a −b √a − √ b h,Tìm đ/k xác định của biểu thức sau đây rồi rút gọn H1= √ x+ 4 √ x − 4+ √ x −4 √ x −4 H2= √ x − √ x 2 − 4 x +4 Bài 8: Chứng minh đẳng thức. √ a+ √ b ¿ 2=1. a−b víi mäi a>0 ; b>0 ; a b a + √ b3 √ ( − √ ab).¿ √ a+ √ b b, a+b −2 √ ab : 1 =a −b víi mäi a>0 ; b>0 ; a √ a− √ b √ a+ √ b 2− c, (2+ a− √ a ¿ . ¿ a+ √ a ¿=4 −a víi mäi a>0 ; a 1 a+1 √ √ a −1 d, √ x+12+6 √ x+ 3 - √ x+12 −6 √ x+ 3 =6 víi mäi x 6 e, ( √ a+2 − √ a −2 ¿ . √ a+1 = 2 víi mäi a>0 ; a 1 a+2 √ a+1 a −1 √ a a− 1 2 1−a¿ f, ( 1 − a √ a + √a ¿ .( 1+a √ a − √ a)=¿ víi mäi a 0 ; a 1 1 − √a 1+ √ a 4 neu 2 ≤ x ≤6 ¿ 2 √ x −2 neux >6 g, ¿ ¿ ¿ x − 4 x −2+2+ √ √ √ x +4 √ x −2+2=¿. a,. 3. b. Bµi 9:T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau A=x2 - 4x +1 B=4x2+4x+11. víi a. 0 ; b ≥ 0 ; a ≠b.

(4) C=3x2-6x+1 E=x2-2x+y2-4y+6 H=x (x+1) (x+2) (x+3). D=2+x-x2 F= x2-2xy +3y2-2x-10y +20 1 G= 2 x −6 x+ 17. II. Rót gän biÓu thøc h÷u tØ √ x − 2 √ 2 - √ x+ 2 √2 Bµi 10.1: Cho biÓu thøc A= √ x 2 − 4 x √ 2+ 8 √ x 2 +4 x √ 2+ 8 a,Rót gän A b,TÝnh gÝa trÞ cña A t¹i x=3 ( KQ: A=2) 1 1 + √1 − x ¿:( +1) √1+ x √1 − x 2. Bµi 10.2: B=(. a,Rót gän B bTÝnh gÝa trÞ cña B t¹i x=4 √ 2− 5 Bµi 10.3 C= x+5 − 5 √ x −1 x −1 −3 √ x −1 a,Rót gän C. víi -1<x<1 ( KQ: B= √ 1− x =....=2- √ 2 ). víi x 1; x ≠10 KQ; :C= √ x − 1− 2 √x − 1 (đúng với mọi ; x 1; x ≠10 ). b,Tìm x để C<3 Bµi 10.4. D= √ x+1 + 2 √ x + 2+5 √ x √ x − 2 √ x+ 2 4 − x. víi mäi x 0 ; x ≠ 4 ). a,Rót gän D b,Tìm x để D=2 Bµi 10.5. § =(. x+ 2 x 1 x−1 + √ + ¿ :( √ ) 2 x √ x −1 x + √ x+ 1 1− √ x. a,Rót gän §. ( KQ:§=. b, C/m rằng Đ >0 với mọi đ/k của x để Đ có nghĩa 1 1 Bµi 10.6 E= ( ) : ( √ x+2 − √ x +1 ¿ √x √x− 1 √ x − 1 √ x −2 1; Rót gän E 2; Tìm x để E=0 Bµi 10.7 F= 15 √ x −11 + 3 √ x −2 − 2 √ x +3 x +2 √ x −3 1− √ x 3+ √ x a,Rót gän F. 2 ) x + √ x+ 1. ( víi x>0 ;x. ( KQ:F= 2 −5 √ x ) √ x +3 ( x=1/121) (EMAX=2/3<=>x=0). bTìm gía trị của x để F=0,5 c, Tìm x để F nhận giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó 2 2(x − 1) Bµi 10.8 G= x − √ x − 2 x + √ x + x + √ x+ 1 √x √x−1 a,Rót gän G b, Tìm x để G nhận giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị đó Bµi 10.9 H= 12− x − √ x √x +4 a,Rót gän H ( KQ: H=3- √ x bTìm x để H có giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó Bµi 10.10. I= ( √ x+ 2 − √ x −2 ). √ x+1 x +2 √ x+1 x −1 √x. a,Rót gän I bTính gía trị nguyên của x để I có giá trị nguyên. 1 vµ x. víi x>0; x. 1. ( KQ : I =. 2 ) x −1. 3 v×.... 4).

(5) Bµi 10.11. J = 3 x + √ 9 x −3 − √ x+1 + √ x+2 x +√ x − 2 √ x +2 1 − √ x. (víi mäi x 0 ; x ≠ 1 ). ( KQ J = √ x − 3 √ x −1 ( x=0;4;9). a,Rót gän J bTính gía trị nguyên của x để J có giá trị nguyên Bµi Bµi 10.12 K= 2 √ x − 9 + 2 √ x +1 + √ x +3 x −5 √ x+6 √ x − 3 2 − √ x a,Rót gän K bTính gía trị nguyên của x để K có giá trị nguyên x+ 2 x+ 1 1 Bµi 10.13 M= + √ − x √ x −1 x + √ x+ 1 1− √ x a,Rót gän M. ( KQ:K= √ x+1 √x− 3 ( x=1;16;25;49). √x =...= 3 √3 −1 x + √ x+ 1 28 −3 √ 3. b,TÝnh gÝa trÞ cña M nÕu x=28-6 √ 3. ( M=. c,C/m r»ng M < 1. (xÐt hiÖu vµ c/m hiÖu <0). 3. Bµi 10.14 a,Rót gän N b, C/m N > 2. =... ). N =1+( 2 x + √ x −1 − 2 x √ x − √ x + x ¿ . x − √ x 1−x 1 − x √x 2 √ x −1. 3. √6 1+ √ 6 P= 2 √ x + √ x − 3( √ x +3) ¿ :( 2 √ x −2 − 1) víi mäi x 0 ; x ≠ 9 ) x−9 √ x +3 √ x − 3 √ x −3. c,T×m x biÕt N= Bµi 10.15 a,Rót gän P. b,Tìm x để P<-1 c,Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất 2 Bµi 10.16 Q= x + √ x − 2 x + √ x +1 x − √ x+ 1 √x a,Rót gän Q b,BiÕt x >1so s¸nh Q vµ / Q/ c,Tìm x đẻ Q=2 d,Tìm x đẻ Q có giá trị nhỏ nhất. (KQ: 3 ( √ x −3) < −1 <=>.... 4( √ x −6) < 0 ...) √ x +3 √ x+3. III. Hµm sè y=ax+b (a 0)– hÖ ph¬ng tr×nh Bµi 1: Cho hµm sè y=f(x)=(3-a) x+8 a, Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hµm sè lµ hµm sè bËc nhÊt b,Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên R ? c, Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hµm sè nghÞch biÕn trªn R ? d,Nếu a=5 thì hàm số đồng biến hay nghịch biến ? e, TÝnh f(- 4); f(0); f(5) Bµi 2: Cho hµm sè y= k x+(k2-3) (d) a, Tìm k để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ b, Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng có phơng trình y=-2x+10 Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : y=k2x+(m+3),và đờng thẳng (d’) có phơng trình : y=(3k-2)x+(5-m) .Xác định k và m để 2 đờng thẳng trùng nhau Bµi 4:Cho 2 hµm sè : y=(k-1) x+3 vµ y= (2k+1)x -4 a,Xác định k để 2 đờng thẳng cắt nhau b, Xác định k để 2 đờng thẳng song song với nhau c, Hai đờng thẳng có trùng nhau đợc không? Vì sao?.

(6) Bài 5: Cho 3 đờng thẳng: y=kx-2 (d1) ; y=4x +3 (d2) ; y=(k-1)x+4 (d3) Tìm k để : a, (d1) song song với (d2) d, (d1) vu«ng gãc víi (d3) b, (d1) song song víi (d3) e, (d2) c¾t (d3) c, (d1) vu«ng gãc víi (d2) Bài 6: Cho 2 hàm số : y=2 x+1 và y= 4-x . Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số ? Bài 7: Xác định hàm số y=a x+b biết a, §å thÞ hµm sè ®i qua M(1;-1)vµ cã hÖ sè gãc lµ 2 b, §å thÞ hµm sè ®i qua A(4;3) vµ B(-2;6) c, Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=2-3x và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 d,Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng AB với trục hoành và trục tung Bµi 8:Cho 3 ®iÓm: A(1;2) ; B(2;1) ; C(3 ;k) a, Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B b, Tìm k để 3 điểm A;B;C thẳng hàng Bài 9: Cho 3 đờng thẳng: y=2x-7 (d1) ; y=x +5 (d2) ; y=k x+5 (d3) a,Tìm toạ độ giao điểm của (d1) và (d2) b, Tìm k để 3 đờng thẳng đồng quy tại 1 điểm trong mặt phẳng toạ độ Bài 10: a,Vẽ đồ thị của 3 hàm số sau trên cùng 1 hệ trục toạ độ : y=-x+5 (1) ; y=4x (2) ; y= 1 x 4. (3). b, Gọi giao điểm của đờng thẳng có phơng trình (1) với các đờng thẳng có phơng trình (2) và (3) là A và B .Tìm toạ độ các điểm A và B c, tam gi¸c AOB lµ tam gi¸c g× ? v× sao? d, TÝnh S Δ ABO =? Bµi 11: Cho hµm sè y=(m-1)x+m (1) a) Xác định m để hàm số đồng biến , nghịch biến b) Xác định m để đờng thẳng (1) b1. Song song víi trôc hoµnh b2 Song song với đờng thẳng có phơng trình x-2y=1 b3 Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x=2- √3 2 c) C/m rằng đờng thẳng (1) luôn đi qua 1 điểm cố định khi m thay đổi Bµi 12: Cho hµm sè y=(m-2)x+ n (1) (m;n lµ tham sè ) a) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua 2 điểm : A(1;-2); B(3;-4) b) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm C có hoành độ x=2+ √ 2 và Cắt trục tung tại điểm D có tung độ y=1- √ 2 c) Xác định m;n để đờng thẳng (1) c1 . Vuông góc vớiđờng thẳng có phơng trình x-2y=3 c2 . Song song với đờng thẳng có phơng trình 3x+2y=1 c3 .Trùng với đờng thẳng có phơng trình y-2x+3 =0 Bµi 13: Cho hµm sè y=(2m-1)x+ n -2 (1) a) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x= √ 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ y=- √ 2 b) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua gốc toạ độ và vuông góc với đờng thẳng có phơng tr×nh 2x-5y=1. IV.Gi¶i vµ biÖn luËn nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh. ¿ 2 x −ay =b Bµi 14: Cho hÖ ph¬ng tr×nh ax+ by=1 ¿{ ¿ a). Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y) = (. Gi¶i hÖ khi a=3 ; b=-2. √ 2; √ 3 ¿.

(7) b) Tìm a;b để hệ có vô số nghiệm. ¿ ax − y=2 Bµi 15: Cho hÖ ph¬ng tr×nh x+ ay=3 ¿{ ¿. Gi¶i hÖ khi a=. √ 3− 1. a) C/m r»ng hÖ lu«n cã nghiÖm víi mäi a b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x+y=<0 d)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x<0; y<0 e)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y>0. ¿ ax − 2 y =a Bµi 16:Cho hÖ ph¬ng tr×nh −2 x+ y=a+1 ¿{ ¿. a)Gi¶i hÖ khi a=-2 b)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x-y=1. ¿ 2 x +my=1 Bµi 17:Cho hÖ ph¬ng tr×nh mx +2 y=1 ¿{ ¿. a) Gi¶i vµ biÖn luËn nghiÖm cña hÖ theo tham sè m b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số nguyên. ±2. KQ:( Víi m. hÖ cã ng duy nhÊt: x=y=. 1 ; x=y m+2. Z <=>1. ⋮ m+2 <=>........ ¿ mx+ 4 y=10 − m Bµi 18:Cho hÖ ph¬ng tr×nh x +my=4 ¿{ ¿. a) Gi¶i vµ biÖn luËn nghiÖm cña hÖ theo tham sè m b)Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số nguyên dơng KQ: (m. ±2. 8− m 5 ; ; y= m+2 m+ 2 8− m −( m+2)+10 10 N<=> N<=> =−1+ m+2 m+ 2 m+ 2. hÖ cã ng : x=. x nguyªn d¬ng<=>x. N<=>10 ⋮ m+2 ..... ). ¿ (m− 1) x − my=3 m−1 Bµi 19:Cho hÖ ph¬ng tr×nh 2 x − y =m+5 ¿{ ¿. a)Gi¶i vµ biÖn luËn nghiÖm cña hÖ theo tham sè m b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S=x2+y2 đạt giátrị nhỏ nhất. ¿ (m+1) x+ my=2m −1 Bµi 20:Cho hÖ ph¬ng tr×nh mx− y=m2 − 2 ¿{ ¿. a)Gi¶i hÖ khi m=2. b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà P=xy đạt giá trị lớn nhất. 3 ) 2 ¿ x+ my=2 Bµi 21:Cho hÖ ph¬ng tr×nh mx −2 y=1 ¿{ ¿. a)Gi¶i hÖ khi a=2. b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y<0 c)Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số dơng KQ: ( hÖ cã ng v¬i mäi m : x=. (min S=8 khi m=1). m+ 4 2 m− 1 ; y= 2 ; ..........) 2 m +2 m +2. Bài 22: Giải các hệ phơng trình sau ( có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ). (max P=. 1 4. khi m=.

(8) ¿ 1 2 − =2 x+y x − y a) 5 4 − =3 x+y x − y ¿{ ¿ ¿ 3 √ x −2 − 4 √ y − 2=3 c) 2 √ x −2+ √ y − 2=1 (®k x;y 2) ¿{ ¿ ¿ x y 5 + = y x 2 e) t¬ng tù c©u c x+ y − 5=0 ¿{ ¿. √ √. ¿ 3 √ x − 4 √ y=−8 2 √ x + √ y=2 ¿{ ¿. b). ¿ d). √. đặt ẩn phụ. y−1 2 x +1 + =2 2 x+1 y −1 x+ y =5 ¿{ ¿. √. y −1 =t (t>0) Khi đó 2 x +1. y −1 >0 <=> . .. . 2 x +1. (®k. 2 x +1 1 = y −1 t. Bµi 23: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau ( Dµnh cho líp 9A1) 2. ¿ x +1=3 y a) y 2+ 1=3 x ¿{ ¿ 2. ¿ x + xy+ y 2=4 x + xy+ y =2 ¿{ ¿ ¿ x+ y=1 5 ( đặt x+y=u; xy=t ta có u=1; t2 –t-6=0 =>u=... x + y5 =31 ¿{ ¿ ¿ ¿ x+ y+ xy=19 xy=12 ( đặt x+y=u; xy=t ta có u và v là 2 nghiệm của pt k2-19k+84=0 => k1=7; k2=12 <=> x+ y=7 ......... x 2 y + y 2 x =84 ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ x + y=4 (hay x+y=4 vµ x.y=3 x 2+ y 2 =10 ¿{ ¿ ¿ (x − 1)( y −1)=18 ( từ (1) => xy-(x+y)=17 ta có hệ mới rồi đặt -(x+y)=u; xy=t x 2+ y 2 =65 ¿{ ¿ 2. b). c). d). e). f). ¿ x +1=3 y x − y=0 ¿ ¿ ¿ 2 ¿ x +1=3 y x2 +1=3 y ¿ ( Trừ từng vế đợc pt tích ta có hệ (x − y)( x + y −3)=0 <=> x + y −3=0 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿{ ¿ ¿ u2 − t=4 (đặt x+y=u; xy=t ta có hệ u+t=2 cộng từng vế và giải đợc u;t ¿{ ¿.

(9) ¿ x+ y + xy=5 g) x 2 y + y 2 x =6 ¿{ ¿. t¬ng tù c©u d. h). ¿ x + y=5 x y 13 + = y x 6 ¿{ ¿. ®k x; y 0. ¿ mx − y =3 m− 4 3 ) Bµi 24:a) cho hÖ ph /t Tìm m để hệ có nghiệm kép (kq; Δ =0=>m=x 2+ y 2=25 4 ¿{ ¿ ¿ x + y=8 x y b) Cho hÖ ph /t Tìm m để hệ có nghiệm kép (kq: a=2=>(x;y)=(4;4) + =m y x ¿{ ¿ ¿ 2 xy +1=2 m Bµi 25: Cho hÖ ph /t Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt .Tìm nghiệm đó x 2+ y 2=2 m ¿{ ¿ x − y ¿2 =1 ¿ ( ®a vÒ d¹ng 2 xy=2 m− 1 th× x¶y ra 2 hÖ råi gi¶i ) ¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 x( x +2 y − 4 )+ 4 k =8+ 4 y − y 2 2 Bµi 26: Cho hÖ ph /t Tìm k nguyên để hệ có nghiệm y − 2 y +2=4 x ( y − x −1)+ 2k +2 k ¿{ ¿ Biến đổi từng phơng trình về dạng (a ± b ± c)2 =A , Hệ có ng <=> A 0 ¿ x − y=m Bµi 27: Cho hÖ ph /t Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất . Tìm nghiệm đó m=x 2+ y 2 =1 ¿{ ¿. √2. ; m=. √2. V. Sự tơng giao của đồ thị 2 hàm số : y=ax2 và y=a x+b Bài 1: Cho Parabol (P): y= 1 x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x-2 2 Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất.Xác định toạ độ điểm chung đó Bài 2: Cho Parabol (P): y= − 1 x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=x+m 4 a) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất b) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt c) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) khôngcó điểm chung Bài 3: Cho Parabol (P): y=x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=ax+b Tìm a và b để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm A(1;1) Bµi 4: Cho Parabol (P): y= 1 x2 4 a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua M(1,5; -1) b) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau c) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt Bµi 5; Cho Parabol (P): y=ax2 a)Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;-1) và vẽ (P) với a vừa tìm đợc b) Điểm B có hoành độ là 4 thuộc (P) (ở câu a). hãy viết phơng trình đờng thẳng AB.

(10) c) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) (ở câu a) và song song với AB Bµi 6: Cho Parabol (P): y= 1 x2 vµ ®iÓm N(m;0) vµ I(0;2) víi m 0 .VÏ (P) 2 a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm N; I b)C/m r»ng (d)vµ (P) lu«n c¾t nhau t¹i 2 diÓm ph©n biÖt A vµ B víi mäi m 0 c) Gäi H;K lµ h×nh chiÕu cña A vµ B lªn trôc hoµnh . c/m r»ng tam gi¸c HIK vu«ng t¹i I Bµi 7: Cho Parabol (P): y=x2 a) Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) lần lợt có hoành độ là -1 và 2.C/m Δ OAB vuông tại A b) Viết phơng trình đờng thẳng (d1) // AB và tiếp xúc với (P) c) Cho đờng thẳng (d2) : y=mx+1 (với m là tham số ) +C/m rằng đờng thẳng (d2) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m +Tìm m sao cho đờng thẳng (d2)cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là x1 và 1. 1. x2 tho¶ m·n x + x =11 1 2 Bµi 8:Cho Parabol (P): y=(2m-1)x2 a)Tìm m để Parabol (P)đi qua A(2;-2) b) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) ở câu a và đi qua B(-1;1) c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm C thuộc (P)ở câu a và có tung độ là − 1 16 d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1 Bài 9: : Cho Parabol (P): y=x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x+m a)Tìm m để (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau .Xác định toạ độ điểm chung đó b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm ,một điểm có hoành độ x=-1.Tìm điểm còn lại c)Giả sử đờng thẳng cắt Parabol tại 2 điểm A và B . Tìm tập hợp trung điểm I của AB Bµi 10: Bµi thi n¨m 05-06 vµ 06-07 2. 2. Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau. VI. Gi¶i Ph¬ng tr×nh. 1) 1,5x2 -2,5x -1=0 2) -x2 +4x+3=0 3) x 2 -2(1+ √ 3 )x +2 √ 3 +1=0 4) x 2 –( √ 2+ √3 ¿|x|+ √ 6=0 5). |3 x − 2|=3 − √ 2. 1 2 x + x + − √ 4 − 2 √3=0 4 7) √ 4 x +4 √ x +1 − √ 7 − 4 √ 3=0 8) |x − 5|−|x|=1 x−1 x x+1 = 9) 2 − x −1 1+ x 1 − x 2x 1 10) 2 − 2= 1+ x x −1. 6). √. ( LËp b¶ng xÐt dÊu). Bài 2: Giải các phơng trình sau ( có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ) 1) x4 –x2-6=0 2) x+ 1 + x −1 =3 §Æt x+ 1 =t (®k x ± 1) x −1 x+1 x −1 3) (x2 +2x)2 -2(x2+2x) -3=0 §Æt (x2+2x)=t 2 2 2 4) (x +2x+2) -2(x +2x) -28=0 §Æt (x2+2x)=t 2 2 2 5) (x -5x) -30(x -5x) = 216 6) (y-x-2)2 + (x+2y) 2 =0 7) (x- 2 ¿ x. 2. +x- 2 - 2=0 x. 8) (x+ 1 ¿ 2 − 4,5(x + 1 )+5=0 9). x x 2 1 x−4 − 2 + 2 =0 2 x −4 x − 2 x x +2 x. a2+b2 = 0 <=>. ¿ a=0 b=0 ¿{ ¿. §Æt x- 2 =t (®k x. 0). x. §Æt x+ 1 =t (®k x x. 0). MTC: x(x-2)(x+2) => ng x=3 ..... lu ý §KX§.

(11) 10) (x+ 1 ¿2 +6x +11=0 2 Bµi 3; Gi¶i ph¬ng tr×nh 1) √ 1− 2 x 2=x − 1 2) x-4= √ x −2 3) √ 1− x − √ 2+ x=1 5) √ x+1+1=x 6) x-1= √ x+1 7) 3x-4 √ x −1=18 8) x- √ x −12=14 x+1 x −1 3 9) − =. √√ √√. x−1 x +1 2 10) 1− x − 2+ x=1 11) √ x2 − 4= x −2. 12. T¸ch 11= 6 +8 råi §Æt x + 1 =t 2. 2. đk....; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ hoặc bình phơng 2 vế ...... 4) √ 1− x + √ 4 + x=3 đk....; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ hoặc bình phơng 2 vế. ...... ...... ....... đặt ẩn phụ ta có pt: t - 1 = 3 t. 2. (®k t>0 ; x>1 hoÆc x<-1). 2. √ 3 x 2 −12 x +16+ √ y 2 − 4 y +13=5. x −2 ¿ + 4 ≥ 4 3 x −12 x+16=3 ¿ √ 3 x 2 −12 x +16 ≥ 2 ;. (ta cã Nªn. 2. √ y 2 − 4 y +13 ≥ 3. 10) √ x+3+ 4 √ x − 1+ √ x +8 −6 √ x − 1=5 11) √ x2 −2 x+5=x 2 − 2 x −1 đặt ẩn phụ √ x2 −2 x+5=t ( t ≥ 0) 2 2 2 12) 3x +2x=1-x+2 √ x + x đặt √ x + x =t ( t ≥ 0) VII. Ph¬ng tr×nh bËc cao (Dµnh cho líp 9A1). Ph¬ng tr×nh a x3 +bx2 +cx+d=0 (1) (a 0) -Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải -NÕu a+b+c+d=0 th× (1) sÏ cã 1 nghiÖm x=1 - Nếu a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1 nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích -Nếu (1) có các hệ số nguyên , nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ớc của hạng tử tự do , giả sử 3 nghiÖm lµ x1;x2;x3 th× x1+x2+x3 =-b/a x1.x2.x3 =-d/a x1.x2 +x1x3 + x2.x3 =c/a. Bµi 4.1: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x3+7x2+7x+2=0 a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích b) Gi¶i ph¬ng tr×nh x3+7x2-56 x+48=0 a+b+c+d=0 th× (1) sÏ cã 1nghiÖm x=1 d) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x3+5x2+6x+3=0 e) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 (1) <=> (x-1 )( x2+5x-24 )=0 Bµi 4.2 Gi¶i ph¬ng tr×nh sau 4x 4 – 109x2+ 225 =0 (1) Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc 4 : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0. ( x lµ Èn , a, b, c, d, e lµ c¸c hÖ sè ; a 0) (Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau ) ph¬ng ph¸p gi¶i gåm 4 bíc -NhËn xÐt x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) ta chia c¶ hai vÕ (1) cho x 2 (®k x 0) råi nhãm c¸c sè h¹ng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc phơng trình mới 1 1 -§Æt Èn phô : (x+ =t2 -2 ta đợc phơng trình ẩn t ¿ =t (3) => x2+ 2 x x -giải phơng trình đó ta đợc t = …. - thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1). Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : 10x4- 27x3- 110x2 -27x +10=0 Ta nhËn thÊy x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) chia c¶ hai vÕ (1) cho x2. (®k x. (1). 0) ta đợc pt <=>10x2 -27x – 110 -. 27 10 + x x2. Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc PT. §Æt Èn phô. 1 1 )  (x  2 x) ) -110 =0 10( x2 + x (2) 1 (x+ 1 ¿ =t (3) => x2+ 2 =t2 -2 thay vµo (2) ta cã x x. =0.

(12) <=> 10t2 -27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc + Víi t1=- 5.  (x+ 1 ¿ =- 5. 2. x. 26 5. +Víi ; t 2=. x. 5. 2. ; t 2=. 26 5.  2x2 +5x+2=0 cã nghiÖm lµ x1=-2 ; x2=-1/2. 2.  (x+ 1 ¿ = 26. t1=- 5.  5x2-26x+5 =0 cã nghiÖm lµ x3=5 ; x4=1/5. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã tËp nghiÖm lµ S=. {−12 ; −2 ; 15 ;5 }. Bµi 4.4 Ph¬ng tr×nh håi quy d¹ng tæng qu¸t :. a x4 + bx3+ cx2 + dx +e =0 (1) d 2 ¿ b Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 e 0) vµ ; e =¿ a phơng tình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là 1 trờng hợp đặc biệt của phơng trình hồi quy e Chó ý :Khi =1 hay a=e thì d= ± b; lúc đó (1) có dạng a x4 + bx 3+ cx2 ± bx +e =0 a C¸ch gi¶i: -Do x=0 không phải là nghiệm của phơng trình (1)nên chia cả hai vế cho x2 ta đợc d c + a x2 +bx +c + =0 (2) x x2 c d ¿+ b(x + )+c=0 Nhãm hîp lÝ a (x2 + 2 bx ax d d d ¿+2 =t 2 -§æi biÕn đặt x+ =t => x2 +( do (d/b)2 =c/a 2 b bx bx nªn x2+ c/ a x2=t2 -2. d/b d Khi đó ta có phơng trình a (t2 - 2 ) bt +c =0 b Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at2+ bt +c=0 (3) -Giải (3) ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4-4x3-9x2+8x+4=0 (1) 8. 2. NhËn xÐt 4/1= − 4 ¿ ; Nªn ph¬ng tr×nh (1). lµ ph¬ng tr×nh håi quy. ¿.  x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1)  Do đó chia cả hai vế phơng trình cho x2 (x. 0) 8 4 4 x2- -4x -9 + + 2 =0  (x2 + 2 ¿ - 4( x x x x 4 2 * §Æt ( x ) =t (3) => .( x2 + 2 ¿ =t2 +4 x x. Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh nhËn xÐt : t¬ng. ta đợc 2 ) -9 =0 x. (2). thay vµo (2). t2-4t -5 =0 cã nghiÖm lµ t1=-1 ; t2=5. tự nh giải phơng trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bớc đặt ẩn phụ m bx. 2. m 2m = y2 − 2 2 b b x Bµi 4.5 Ph¬ng tr×nh d¹ng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong đó a+d=b+c) cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó Khi đó phơng trình có dạng [x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0 Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc ) Ta cã ph¬ng tr×nh At2 +B t + C =0 (Víi A=1) Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x. §Æt x+. =yb => x2 +. Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)  nhËn xÐt 1+7 =3+5  Nhãm hîp lý  (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0  (x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2) *§Æt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vµo (2) ta cã (2)  t( t+ 8) + 15=0 y2 +8y +15 =0 nghiÖm y1=-3 ; y2=-5.

(13) Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình 1/x2 +8x +7 = -3  x2+ 8x +10=0 cã nghiÖm x1,2 = -4 ± √ 6 2/ x2 +8x +7 = -5  x2 +8x +12 = 0 cã nghiÖm x3=-2; x4 =-6 VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ S = { −2 ; −6 ; − 4 ± √ 6 } Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là các hệ số ) c¸ch gi¶i : Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b) a+b a− b a− b §Æt t =x+ => x+a =t+ vµ x+b=t 2 2 2 a+b a+b Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( )2 t2 + 2( )4 –c =0 2 2 Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải. ¸p dông Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626 §Æt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1 Ta cã ph¬ng tr×nh  (t+2)4 + (t – 2)4 =626  9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626 t4 +24t2 - 297 =0 => t=-3 vµ t=3 Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã cho Bµi 4.7/ Ph¬ng tr×nh d¹ng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 (trong đó x là ẩn ;a 0 ; f(x) lµ ®a thøc mét biÕn ) c¸ch gi¶i: - T×m TX§ cña ph¬ng tr×nh - Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) là PT bậc ha +/nếu (2) cã nghiÖm lµ t=t0 th× ta sÏ gi¶i tiÕp ph¬ng tr×nh f(x) =t +/ nghiệm của phơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phơng trnh (1). VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TX§ : ∀ x R Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 VËy ta cã ph¬ng tr×nh <=> (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 =0 §Æt x2+ 3x =t (2) Ta cã PT <=> t2 -4t +3 = 0 cã nghiÖm lµ t1=1 ;t2=3 Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0. Ph¬ng tr×nh cã tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc lÎ , cã nghiÖm x=- 1 .Nên biến đổi phơng trình về dạng. ( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0 Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phơng trình 2x4+x3 -6x2+x+2 =0(2) là phơng trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải Giải (2) ta đợc x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 ;x5=-1 Bµi tËp VN : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau 1) x3 - 4x2- 29x -24 =0 2) 8x3 - 20x2 +28x - 10 =0 4 3 2 3) x - 3x +9x -27 x+81=0 4, x4-10x3+11x2 -10x+1=0 4 3 2 5, x +5x -14x -20x +16 =0 6, x4 +4x3 -10 x2 -28 x-15=0 4, (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4 h, (x+10) (x+12) (x+15) (x+18) =2x2 2 7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x nhãm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8) råi chia 2 vÕ cho 4x2 và đặt t=x+7/x. (®k x. 0). 8) 3x5 -10x4 +3x3+3x2-10x+3=0 9) x5 +2x4 +3x3+3x2+2x+1=0 5 4 3 2 10) 6x -29x +27x +27x -29x+6=0 11) x5 +4x4 +3x3+3x2-4x+1=0 12) (x2-8x+7)(x2-8x+15)=20 13) (x2-3 x+1) (x2+3x+2) (x2-9x+20)=-30 biến đổi <=> (x2-3 x+1) (x2-3x-4) (x2-3x-10)=-30 14) 3(x2+x) -2(x2+x ) -1=0 15) (x2-4x+2)2 +4x2-4x-4=0 VIII. §Þnh lÝ Vi et - dÊu cña nghiÖm ph¬ng tr×nh a x2+bx+c=0 (1)(a −b c vµ P=x1 x2 = a a *NÕu tån t¹i 2 sè u vµ v sao cho S= u + v = vµ P= u.v th× u vµ v lµ 2 ng p/t X2 - S X + P=0 *§Þnh lÝ Vi et: NÕu p/t (1) cã 2 ng x1 ; x2 th×. 0). S=x1 + x2 =. ®k:s2-4p>0.

(14) *DÊu cña nghiÖm: 1. Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm/ kÐp  (a 0) ; 3. Ph¬ng tr×nh (1) cã 2 ng tr¸i dÊu a.c<0 4.Phơng trình (1) có 2 nghiệm đối nhau:  (a 0) ; S = x1 + x2 =0 (b=0). Δ =0. ¿ a ≠ 0 ; Δ≥ 0 P>0 6.Phơng trình (1) có2 nghiệm đều dơng S>0 ¿{{ ¿. 2.Ph¬ng tr×nh (1) cã 2 ng p/b  (a 0); Δ >0 5. Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt  ∗ a=0 ¿ ∗ a≠ 0 ; Δ=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ a ≠ 0 ; Δ≥ 0 P<0 7.Phơng trình (1) có 2 nghiệm đều âm S>0 ¿{{ ¿. GI¶I vµ biÖn lu©n PH¬ng TR×nh BẬC HAI ( chøa tham sè) Lo¹i to¸n suy luËN Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình: ax2+bx+c = 0 (a  0) có: 1. Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm)    0 2. V« nghiÖm   < 0 3. NghiÖm duy nhÊt (nghiÖm kÐp, hai nghiÖm b»ng nhau)   = 0 4. Cã hai nghiÖm ph©n biÖt (kh¸c nhau)   > 0 5. Hai nghiÖm cïng dÊu   0 vµ P > 0 6. Hai nghiÖm tr¸i dÊu   > 0 vµ P < 0  a.c <0 7. Hai nghiÖm d¬ng(lín h¬n 0)   0; S > 0 vµ P > 0. 8. Hai nghiÖm ©m(nhá h¬n 0)   0; S < 0 vµ P > 0 9. Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1 11 .Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đốilớn h¬n  a.c < 0 vµ S < 0 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lín h¬n  a.c < 0 và S > 0 (ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = ). Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (gi¶i vµ biÖn luËn): x2- 2x+k = 0 ( tham sè k) Gi¶i ’ = (-1)2- 1.k = 1 – k NÕu ’< 0  1- k < 0  k > 1  ph¬ng tr×nh v« nghiÖm NÕu ’= 0  1- k = 0  k = 1  ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1= x2=1 NÕu ’> 0  1- k > 0  k < 1  ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 = 1- √ 1− k ; x2 = 1+ √ 1− k KÕt luËn: NÕu k > 1 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm NÕu k = 1 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=1 NÕu k < 1 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 1- √ 1− k ; x2 = 1+ √ 1− k Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham sè m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó? c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)? Gi¶i a) + NÕu m-1 = 0  m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0  x = + NÕu m. 3 2. (lµ nghiÖm). 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm  2. ’ = 3m-2  0  m  3. 2. + KÕt hîp hai trêng hîp trªn ta cã: Víi m  3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 3. b) + NÕu m-1 = 0  m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0  x = 2 (lµ nghiÖm) + Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm duy 2. nhÊt  ’ = 3m-2 = 0  m = 3 (tho¶ m·n m 1) Khi đó x =.......= 3 +VËy víi m = 1 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 3 ; víi m = 2 th× ph¬ng tr×nh cã 2 3 nghiÖm duy nhÊt x = 3.

(15) c) Do ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 2 nªn ta cã: (m-1)22 + 2.2 - 3 = 0  4m – 3 = 0  m = 3 4. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 = 3 -1= − 1 4. −3. =. −3. 0)Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2. 4. =12 ⇒ x =6. 2 = m−1 1 − 4 Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( Èn sè x) a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiÖm tr¸i dÊu c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm d) T×m m sao cho nghiÖm sè x1, x2 cña ph¬ng trtho¶ m·n x12+x22 10. e) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m f) H·y biÓu thÞ x1 qua x2 Gi¶i. a) Ta cã: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =. (. m−. 1 2 15 Do + 2 4. ). (. m−. 1 2 ≥0 2. ). víi mäi m; 15 >0   4. > 0 víi mäi m  Ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt . Hay ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm (®pcm) b) Ph tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3 c) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) ⇔ 2(m− 1)< 0 3)>cã: 0 S = x + x = 2(m-1) vµ P = d) Theo ý a) ta có ph tr luôn có hai nghiệm Theo định lí −(m+ Viet ta 1 2 ⇔ Khi VËy m < -3 x1.x2đó = -ph¬ng (m+3)tr×nh cã hai nghiÖm ©m  S < 0 vµ P > 0 ¿ m<1 2 2 2 2 2 Khi đó A=x1 +x2 = (x1 + x2) - 2x1x2 =4(m-1) +2(m+3) = 4m – 6m + 10 m<−3 ⇔⇔ m< −3 ¿ m ≥¿ {0 2 m−3 ≥ 0 ¿ ¿ ¿ m≤ 0 ¿ 2 m−3 ≤ 0 ¿ ¿ ¿ Theo bµi A  10  4m2 – 6m  0  2m(2m-3)  0 VËy m  3 hoÆc m  0 2 ⇔ ¿ ¿ ¿ m≥ 0 ¿ ¿ 3 m≥ 2 ¿ ¿ ¿. e) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm.

(16) Theo định lí Viet ta có:. ¿ x1 + x 2=2(m −1) x 1 . x 2=−(m+3) ⇔.  x1 + x2+2x1x2 = - 8 kh«ng phô thuéc m ¿ x1 + x 2=2 m− 2 2 x 1 . x 2=− 2m −6 ¿{ ¿ Bµi tËp. 2. Bài 1: Cho ph.t: x – 2mx + m + 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm x 1 = 2. Tìm nghiệm x2. Bài 2: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = 0 (1) a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt và trong 2 nghiệm đó có 1 nghiệm bằng −2 m. 1 2. HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt  b) m = 0 hoặc m = 4 2 Bài 3: Cho phương trình x  3x  5 0 và gọi hai nghiệm của phương trình là x 1, x2. Không 1 1  giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau: a) x1 x 2 1 1  2 3 3 2 c) x1 x 2 d) x1  x 2. 2 2 b) x1  x 2. HD: Đưa các biểu thức về dạng x1 + x2 và x1x2 rồi sử dụng hệ thức Viét Bài 4: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1) a) Chứng minh rằng m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu HD: a) Chứng minh ' > 0 b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu  m < −1 hoặc m>3 Bài 5: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1 b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m c) gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Chứng minh A = x 1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị của m HD: a) Khi m = 1: PT có 2 nghiệm x 2 2 7 ;b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10  A không phụ thuộc vào m Bài 6: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x 1)2 + (x2)2 theo m b) Tìm m để P nhỏ nhất HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10 (2m  5) 2 . 15 15 5  m 4 4 . Dấu "=" xảy ra  2. c) P = Bài 7: Cho phương trình x2 − 6x + m = 0 (m là tham số) (1) a) Giải phương trình (1) với m = 5 b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20 HD: a) Với m = 5  x1 = 1, x2 = 5 b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2) 2 Bài 8: Cho phương trình x − 4x + k = 0.

(17) a) Giải phương trình với k = 3 Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3 b) ' = 4 − k > 0  k < 4. ĐS: k  {1 ; 2 ; 3} 2 Bài 9: Cho phương trình : x − (m + 5)x − m + 6 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2. HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5 b) ĐS: m = − 20 Bài 10: Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2mx + m − 2 = 0. (*) 1) Giải phương trình (*) khi m = 1. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. x. 1 2. 2 m  , m 1 3 b) ĐS: .. 2) HD: a) Khi m = 1: Bµi 11: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ a) x1=1/2 vµ x2=2 b) x1=2+ √ 3 vµ x2=2- √ 3 c) 1/x1 vµ 1/x2 2 2 (1) Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh (m -5m+3)x +(3m-1)x -2 =0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=2 b) Tìm m để phơng trình (1) có 1 nghiệm là 1. Khi đó tìm nghiệm còn lại (thay x=1.. Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh x2 +(2m+1) x +m2 +3m =0 (1) ( m lµ tham sè) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm mà tích 2 nghiệm bằng 4 .Tìm 2 nghiệm đó Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh x2 +(2m-5) x +3n =0 (1) Tìm m và n để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1=2; x2=-3 Bài 5: a) Tìm m để phơng trình x2 - x +2m-2 =0 (1) cã 2 nghiÖm d¬ng b) Tìm m để phơng trình 4x2 +2x +m-1 =0 (1) cã 2 nghiÖm ©m c) Tìm m để phơng trình m 2x2 +2mx -2 =0 (1) có 2 nghiệm phân biệt Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh x2 -2(m+1)x +m-4=0 (1) ( m lµ tham sè) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=2 b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu d) Chøng minh r»ng biÓu thøc M=x1(1-x2)+(1-x1) x2 kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh x2 - (m- 1)x – m 2+m-2 =0 (1) ( m lµ tham sè) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=-1 b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho S=x12 +x22 đạt giá trị nhỏ nhất Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh x2 - (m +2)x +m+1 =0 (1) ( m lµ tham sè) a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm đối nhau Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh x2 - (m +1)x +m =0 (1) ( m lµ tham sè) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm víi mäi m b) Gi¶ sö (1) cã 2 nghiÖm x1;x2 tÝnh S=x12 +x22 theo m c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho x12 +x22 =5 Bµi 20: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2mx +2m-1 =0 (1) ( m lµ tham sè) a) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x1;x2 víi mäi m b) Gäi A=2(x12 +x22 )-5 x1.x2 .; b1) c/m r»ng A=8m2-18m +9 ; b2)T×m m sao cho A=27 c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia Bµi 21: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 – (2m+1)x +m2-9m +39 =0 (1) ( m lµ tham sè) a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt b)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia .Tìm các nghiệm đó Bµi 22: Cho ph¬ng tr×nh (m-1)x2 +2(m-1)x -m =0 (1) ( m lµ tham sè) a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đều âm Bµi 13: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m-1)x -3 -m =0 (1) ( m lµ tham sè) a)Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm víi mäi m b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho x12 +x22 10 c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho E=x12 + x22 đạt GTNN Bµi 14: Cho ph¬ng tr×nh x2 –(2m+1)x +m2+m -6 =0 (1) ( m lµ tham sè) a) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm đều âm.

(18) b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho / x13 - x23/ =50. 0 víi ∀ m ; x1x2 =(m-2)(m+3) >0 ; x1+x2 =2m+1< 0 m+3 ¿3 3 Kq:m<-3b tÝnh x1=m-2 ;x2 =m+3 theo c«ng thøc ng =>/ x13 - x23/ =50 <=> m− 2¿ − ¿ =50=>m= ¿ ¿ − 1± √ 5 2 a) (1) có 2 nghiệm đều âm t/m:. Δ =25. Bµi 15: Cho ph¬ng tr×nh x2 -6x +m =0 (1) ( m lµ tham sè) a)Tìm m để (1) có 2 nghiệm phân biệt b)Tìm m để (1) có 2 nghiệm sao cho x13 + x23 =72 Δ. (Víi =>m=8(t/m). 0 <=> m. 9 ta cã x13 + x23 =72 < => (x1 + x2)3 -3x1x2 (x1 + x2)<=>63-3.m.6=72. Bµi 16: Cho ph¬ng tr×nh x2 –(m-1)x –m2+m-2=0 (1) ( m lµ tham sè) a)Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m b)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho E=x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất Bµi 17: Cho ph¬ng tr×nh x2 –2(m+1)x +2m+10 =0 (1) ( m lµ tham sè) Giả sử (1) có 2 nghiệm phân biệt là x1;x2 . Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho E=x12 + x22 +10 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó Bµi 18: Cho ph¬ng tr×nh x2 –(m-1)x +1=0 (1) ( m lµ tham sè) Giả sử (1) có 2 nghiệm phân biệt là x1;x2 . Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho M=3x12 + 3x22 +5 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm nghiệm trong trờng hợp M đạt GTNN Bµi 19: Cho ph¬ng tr×nh x2 –2(m-1)x –m2-3m+4=0 (1) ( m lµ tham sè) a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho. 1 1 + =1 x1 x2. b) LËp mét biÓu thøc gi÷a x1 vµ x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 20: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 +(2m-1)x +m-1=0 (1) ( m lµ tham sè) a)C/m r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi m b)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho -1<x1<x2<1 c) Khi (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1;x2 LËp mét biÓu thøc gi÷a x1 vµ x2 mµ Bµi 21: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + (m-1)x+m2=0 (1) ; -x2 -2mxx+m=0 (2) C/m rằng ít nhất một trong 2 phơng trình đã cho phải có nghiệm ( XÐt. Δ. + Δ. 1. 2. 0 víi mäi m . Th× ph¶i cã Ýt nhÊt 1 trong 2 biÓu thøc Δ. m. 0 hoÆc. 1. Δ. 0. 2. => ®pcm). Bµi 22: Cho 2 ph¬ng tr×nh : x2 – a1x+b1=0 (1) ; x2 – a2x+b2=0 (2) Cho biÕt a1.a2 2(b1+b2) . C/m rằng ít nhất một trong 2 phơng trình đã cho có nghiệm Δ 1+ Δ 2= a12+a22-4(b1+b2). a12+a22-2a1a2 = (a1-a2)2. 0 víi mäi m Th× ph¶i cã Ýt nhÊt. Δ. 1. 0hoÆc. Δ. 2. 0=> ®pcm. Bµi 23: Cho 3 ph¬ng tr×nh : ax2 + 2bx+c=0 (1) ; bx2 +2cx+a=0 (2) ; cx2 +2ax+b=0 (3) Cho biết a ;b;c 0 . C/m rằng ít nhất một trong 3 phơng trình đã cho có nghiệm Δ 2’. Δ 1’+ Δ 2’+ Δ 3’= .....=1/2 [ ( a − b )2+ ( b −c )2 ( c − a )2 ] ≥ 0 => cã Ýt nhÊt 1 trong 3 biÓu thøc Δ 1’. 0hoÆc. 0.... Bµi 24: Cho ph¬ng tr×nh : ax2 + bx+c=0 (1) vµ cx2 + bx+a=0 (2) trong đó a; c>0 a) Chøng minh r»ng 2 ph¬ng tr×nh cïng cã nghiÖm hoÆc cïng v« nghiÖm b) Gi¶ sö (1) cã 2 nghiÖm x1;x2 vµ (2) cã 2 nghiÖm x3;x4.Chøng minh r»ng x1x2+x3.x4 2 c) Gi¶ sö (1) vµ (2) cïng v« nghiÖm. C/m r»ng a+c>b Δ =b2-4ac => ®pcm c a v× a;c>0 nªn x1x2 +x3x4= + a c. +Vì a;c>0 nên (1) và (2) đều là bậc 2 và có chung +¸p dông ViÐt x1x2= b®t ) +(1) v« ng <=>. c a ; x3x4= a c. Δ =b2-4ac<0 <=>b2<4ac<(a+c)2 mµ a+c>0 nªn b. 2 (đã c/m ở. /b/<a+c. Bµi 25: Cho ph¬ng tr×nh : x + mx+n=0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=-(3+ √ 3 ) n=3 √ 3 (kq: Δ =(3- √ 3 )2 >0) b)Tìm m;n để (1) có 2 nghiệm là x1=-2; x2=1 c) C/m r»ng (1) cã 2 ng/ d¬ng x1;x2 th× ph/tr: n x2+mx+1=0 (2) còng cã 2 ng/ d¬ng x3;x4 x1x2=m/n ; x3x4 =n/ m nªn (1) cã 2 ng tr¸i dÊu th× (2) cã 2 ng tr¸i dÊu 2. m n V× x1 lµ ng cña (1) <=> x12 + mx1+n=0 <=> 1+ x + x =0 1 1 2. (v× x1 >0 nªn chia c¶e 2 vÕ cho x1 2 ).

(19) Hay x 3 =. 1 x1. lµ ng d¬ng cña (2). T.tù x4=. 1 lµ ng d¬ng cña (2) x2. 1 1 vµ x1 x2. (v× x1;x2>0 nªn. >0 ) lµ ®pcm. Bµi 26; Cho ph¬ng tr×nh (m-1)x2 –2(m+1)x +m=0 (1) ( m lµ tham sè) a) Gi¶i vµ biÖn luËn nghiÖm ph¬ng tr×nh (1) theo m b) Khi (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1;x2 .H·y t×m 1 hÖ thøc gi÷a x1 vµ x2 mµ c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho /x1 -x2 / 2. m. d) a)m=1=>th× (1) cã ng.... c) /x 1 -x2 / 2<=> (x1-x2) 2 4 e) m 1 khi đó Δ =3m+1 <=>(x 1+x2)2 - 4 x1x2 4 +) nÕu m<-1/3 th× (1) V« ng <=>........ +) nÕu m=-1/3 th× (1) cã ng kÐp ..... ; +) nÕu m>-1/3 th× (1) cã 2 ng. Bµi 27; Cho ph¬ng tr×nh x2 –2mx –m2-1=0 (1) ( m lµ tham sè) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Khi (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1;x2 .H·y t×m 1 hÖ thøc gi÷a x1 vµ x2 mµ c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho Bµi 28; Cho ph¬ng tr×nh x2 –ax – Bµi 29; Cho ph¬ng tr×nh. x1 x2. +. 1 (1) T×m min P=x14+x24 2 =0 a. x2 –mx +m–1=0 (1). = −5 2. ( min P=2 √ 2. +4 <=> a8=2). 2 x 1 x 2+ 3 x 1 + x 2 +2(1+ x 1 x2 ) 2. x2 –ax –. m. ( m lµ tham sè). Ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm x1;x2 víi mäi m .T×m max Q= Bµi 30; Cho ph¬ng tr×nh. x2 x1. 1 =0 (1) 2 a2. 2. ( a lµ tham sè) 1. C/m rằngx14+x24 2+ √ 2 dấu (=) xảy ra khi nào? ( dấu đẳng thức xảy ra a4= 2 a4 Bµi 31: Cho ph¬ng tr×nh x2 + 2(a+3)x +4(a+3)=0 (1) (a tham sè) a) Tìm a để phơng trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó b) Tìm a để (1) có 2 nghiệm phân biệt >-1. <=>a8=. 1 từ đó tính x1;x2 2. ¿ Δ '>0 t 1 t 2=2 a+7> 0 §Æt x=t-1 ; (1) <=> ...t2+2(a+2)t+2a+7=0 (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt >-1<=> t 1 +t 2=− 2(a+2)>0 ¿{{ ¿ -7/2<a<-3. <=>. Bµi 32: Cho ph¬ng tr×nh bËc ba :x3- (2m-1)x2 + (m2-3m-2)x +2m2+2 m=0 (1) (m tham sè) a)C/m r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x=-2 víi mäi m b)Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm ; c) Tìm m để (1) có 3 ng sao cho x12 +x22 +x32 đạtGTNN. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Dạng 1: Toán chuyển động. Bài 1:Một ô tô đi từ A->B dài 120 km trong một thời gian dự định . Sau khi đi đợc nửa quãng đờng xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đến B sớm hơn dự định 12 phút . Tính vận tốc dự định S (km) Cả quãng đờng AB. 120. Nửa quãng đờng đầu Nửa quãng đờng sau. 60 60. v (km/h) x (®k: x>0) .... ..... Kq: Vận tốc dự định. t (h) 120/x .... ...... 50km/h. Bài 2:Một ôtô đi từ A-B dài 250 km với một vận tốc dự định.Thực tế xe đi hết quãng đờng với vận tốc tăng thêm 10km/h sovới vận tốc dự định nên đến B giảm đợc 50phút Tính v dự định Kq: Vận tốc dự định. 50km/h. Bài 3:Một ngời đixe máy từ A->B lúc 7h sáng với vận tốc trung bình là 30km/h . Sau khi đi đợc nửa quãng đờng ngơi đó nghỉ 20 phút rồi đi tiếp nửa quãng đờng sau với vận tốc trung bình 25 km/h. Tính SAB . Biết ngời đó đến B lúc 12 giờ 50 phút.

(20) Bài 4:Một ô tô đi từ A->B trong một thời gian dự định ,nếu đi với vận tốc trung bình là 35km/h thì đến B chậm 2 giờ,nếu đi với vận tốc trung bình là 50km/h thì đến B sớm 1 giờ Tính SAB và thời gian dự định ban đầu ? S (km) quãng đờng AB Thay đổi 1 Thay đổi 2. x x x. v (km/h). t (A->B). (®k: x>0) 35 50. x -2= 35. x 50. +1. Kq: 8 giê ; 350 km. Bµi 5:Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ bÕn A .Sau 5h 20 phót Mét chiÕc ca n« còng khëi hµnh tõ bÕn A ®uæi theo vµ gÆp thuyÒn c¸ch A 20km TÝnh vËn tèc cña thuyÒn . BiÕt vËn tèc cña ca n« lín h¬n vËn tèc cña thuyÒn 12km/h. S (km) ThuyÒn Ca n«. 20 20. v (km/h) x (®k: x>0) x+12. t (A->B). Kq: v thuyÒn :3 km/h. Bµi 6:Hai chiÕc ca n« cïng khëi hµnh tõ 2 bÕn A vµ B c¸ch nhau 85 km vµ ®i ngîc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 1 giê 40 phót . vËn tèc ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ca n« ngîc dßng lµ 9km/h TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« BiÕt vËn tèc cña dßng lµ 3km/h. VËn tèc riªng V xu«i dßng V ngîc dßng t (h) S (km) x X+3 5/3 Ca n« 2 y y-3 5/3 Bài 7:Một ngời đi xe máy và một ngời đi xe đạp cùng đi từ A->B dài 57km . Ngời đi xe máy sau khi đến B nghỉ 20 phút rồi quay về A gặp ngời đi xe đạp cách B 24 km . Tính vận tốc của mỗi ngời. Biết vận tốc ngời đi xe máy lớn hơn vận tốc của ngời đi xe đạp là 36km/h S (km) v (km/h) t (A->gÆp nhau) Xe đạp 57-24=33 x (®k: x>0) 33/ x Xe m¸y 57+24=81 Ca n« 1. Bài 8:Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình là 9km/h . khi từ B vềA ngời đó chọn con đờng khác để về nhng dài hơn con đờng lúc đi là 6 km, và đi với vận tốc là 12 km/h nên thời gian về ít hơn lúc đi là 20 phút .Tính SAB lúc đi (Gọi độ dài qũãng đờng AB là x (>0) Kq: SAB =30km) Bµi 9:Mét chiÕc ca n« khëi hµnh tõ bÕn A - B víi vËn tèc 30 km/h råi tõ B quay vÒ A. BiÕt r»ng thêi gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc dßng lµ 40 phót TÝnh SAB .BiÕt vËn tèc cña dßng lµ 3km/h và vận tốc thật không đổi Bài 10:Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình là 12km/h Sau khi đi đợc 1/3 quãng xe bị hỏng ngời đó ngồi chờ ôtô mất 20 phút và đi ôtô với vận tốc 36km/h,nên đến B sớm hơn dự định 1h20phút Tính SAB Gọi độ dài qũãng đờng AB là x (>0) Kq: SAB= 45km Bµi 11:Mét chiÕc ca n« khëi hµnh tõ bÕn A - B dµi 120 km råi tõ B quay vÒ A mÊt tæng céng 11 giờ Tính vận tốc của ca nô.Biết vận tốc của dòng là 2km/h và vận tốc thật không đổi Bµi 12:Mét chiÕc ca n« ch¹y trªn s«ng 7h , xu«i dßng 108 km vµ ngîc dßng 63 km .Mét lÇn kh¸c ca n« còng ch¹y trong7h ,xu«i dßng 81 km vµ ngîc dßng 84 km.TÝnh vËn tèc cña dßng níc ch¶y vµ vËn tèc riªng cña ca n«. (Cã thÓ chän 2 Èn Kq: vËn tæc riªng x=24km/h ;vËn tèc dßng y=3km/h Bài 13:Lúc 7h30 phút một ôtôđi từ A-B nghỉ 30phút rồi đi tiếp đến C lúc 10h 15phút .Biết quãng đờng AB=30km;BC=50km, vận tốc đi trên AB nhỏ hơn đi trên BC là 10km/hTính vận tốc của ôtô trên quãng đờng AB, BC (Gọi vận tốc ....quãng đờng AB là x, trên BC: (x+10) kq: 30km/h ; 40km/h D¹ng 2: To¸n cã néi dung h×nh häc Bài 1:Một khu vờn hcn có chu vi 280m .Ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn (thuộc đất của vờn) rộng 2m ,diện tích còn lại là 4256m2.Tính các kích thớc của vờn (rộng x=60m, dài =80m Bài 2:Một hcn có chu vi 90m.Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài đi15m thì ta đợc hcn mới có diện tích = diện tích hcn ban đầu .Tính các cạnh của hcn đã cho (réng x=15m, dµi =30m). Bµi 3:Mét hcn .NÕu t¨ng chiÒu dµi thªm 2m vµ chiÒu réng 3m th× diÖn tÝch t¨ng 100m2. NÕu cïng giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68m2.Tính diện tích thửa rộng đó (Kq:22m;14m) Bài 4:Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m2, Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng , biết rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4m và chiều cao giảm đi 1m thì diện tích không đổi (cạnh đáy x=36m) Bµi 5:Mét tam gi¸c vu«ng cã chu vi lµ 30m , c¹nh huyÒn lµ 13m .TÝnh c¸c c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c D¹ng 3: To¸n cã néi dung sè häc, phÇn tr¨m Bài 1:Cho một số gồm 2 chữ số .Tìm số đó biết rằng tổng 2 chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và thêm 25 vào tích của 2 chữ số đó sẽ đợc số viết theo thứ tự ngợc lại số đã cho.

(21) Có thể chọn 2 ẩn Kq:só đó là 54. Bài 2:Cho một số gồm 2 chữ số .Tìm số đó biết rằng :Khi chia số đó cho tổng 2 chữ số của nó thì đợc thơng là 6 và d 11.Khi chia số đó cho tích 2 chữ số của nó thì đợc thơng là 2 và d 5, Có thể chọn 2 ẩn Kq: só đó là 95. Bµi 3: T×m 2 sè biÕt r»ng tæng cña chóng lµ 17 vµ tæng lËp ph¬ng cña chóng b»ng 1241 Có thể chọn 2 ẩn Kq: 2 só đó là 9 và 8. Bài 4: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng hiệu của chúng là 1275 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì đợc thơng là 3 và d 125 (số lớn x; số nhỏ y , ta co x-y=1275 ; x=3y+125) Bài 5:Cho một số tự nhiên có 2 chữ số .Nếu đổi chỗ 2 chữ số thì đợc số mới lớn hơn số đã cho là 36 .Tổng của số đã cho và số mới là 110 .Tìm số đã cho ( số đó là 37) Bài 6:Dân số một khu phố trong 2 năm tăng từ 30.000 ngời đến 32.448 ngời .Hỏi trung bình hàng năm dân số khu phố đó tăng bao nhiêu % (Gọi số% dân số hàng năm khu phố tăng là x % Kq:4%) Bµi 7:Hai líp 9A vµ 9B gåm 105 hs; líp 9A cã 44 hs tiªn tiÕn ,líp 9B cã 45 hs tiªn tiÕn, biÕt tØ lÖ häc sinh tiªn tiÕn 9A thÊp h¬n 9B lµ 10%.TÝnh tØ lÖ häc sinh tiªn tiÕn cña mçi líp ,vµ mçi líp cã bao nhiªu häc sinh Gäi x % lµ tØ lÖ häc sinh tiªn tiÕn cña líp 9A -> 9B lµ (x+10)% ta cã pt: 4400/x +4500/x =105. Kq:80 % vµ 90% ; 9A: 55hs , 9B 50 hs. Bài 8:Trong tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy .Sang tháng 2 tổ I vợt mức 15%, tổ IIvợt mức 20%,, dó đó cuối tháng cả 2 tổ sản xuất đợc tổng cộng 945 chi tiết máy .Tính xem trong tháng đầu , tháng hai mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy Bµi 9 Hai xÝ nghiÖp theo kÕ ho¹ch ph¶i lµm 360 dông cô .Nhê s¾p xÕp hîp lý d©y chuyÒn s¶n xuÊt nên xí nghiệp I đã vợt mức 12% kế hoạch xí nghiệp II đã vợt mức 10% kế hoạch ,do đó cả 2 đã làm đợc 400 dụg cụ . Tính số dụng cụ mà mỗi xí nghiệp làm theo kế hoạch và thực tế làm?. IX. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Dạng 1: Toán chuyển động. Bài 1:Một ô tô đi từ A->B dài 120 km trong một thời gian dự định . Sau khi đi đợc nửa quãng đờng xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đến B sớm hơn dự định 12 phút . Tính vận tốc dự định S (km) Cả quãng đờng AB. 120. Nửa quãng đờng đầu Nửa quãng đờng sau. 60 60. v (km/h) x (®k: x>0) .... ..... t (h) 120/x .... ...... Kq: Vận tốc dự định 50km/h Bài 2:Một ôtô đi từ A-B dài 250 km với một vận tốc dự định.Thực tế xe đi hết quãng đờng với vận tốc tăng thêm 10km/h sovới vận tốc dự định nên đến B giảm đợc 50phút Tính vận tốc dự định Kq: Vận tốc dự định 50km/h S (km) v (km/h) t. Bài 3:Một ngời đixe máy từ A->B lúc 7h sáng với vận tốc trung bình là 30km/h . Sau khi đi đợc nửa quãng đờng ngơi đó nghỉ 20 phút rồi đi tiếp nửa quãng đờng sau với vận tốc trung bình 25 km/h. Tính SAB . Biết ngời đó đến B lúc 12 giờ 50 phút S (km). v (km/h). t. Bài 4:Một ô tô đi từ A->B trong một thời gian dự định ,nếu đi với vận tốc trung bình là 35km/h thì đến B chậm 2 giờ,nếu đi với vận tốc trung bình là 50km/h thì đến B sớm 1 giờ Tính SAB và thời gian dự định ban đầu ? S (km) Quãng đờng AB Thay đổi 1 Thay đổi 2. (®k: x>0) x x Kq: 8 giê ; 350 km. v (km/h). t (A->B). x. 35 50. Bµi 5:Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ bÕn A .Sau 5h 20 phót Mét chiÕc ca n« còng khëi hµnh tõ bÕn A ®uæi theo vµ gÆp thuyÒn c¸ch A 20km TÝnh vËn tèc cña thuyÒn . BiÕt vËn tèc cña ca n« lín h¬n vËn tèc cña thuyÒn 12km/h. ThuyÒn Ca n«. S (km) 20 20. v (km/h) x (®k: x>0) x+12. t (A->B). Bµi 6:Hai chiÕc ca n« cïng khëi hµnh tõ 2 bÕn A vµ B c¸ch nhau 85 km vµ ®i ngîc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 1 giê 40 phót . vËn tèc ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ca n« ngîc dßng lµ 9km/h TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« BiÕt vËn tèc cña dßng lµ 3km/h..

(22) VËn tèc riªng V xu«i dßng V ngîc dßng t (h) S (km) x x+3 5/3 Ca n« 2 y y-3 5/3 Bài 7:Một ngời đi xe máy và một ngời đi xe đạp cùng đi từ A->B dài 57km . Ngời đi xe máy sau khi đến B nghỉ 20 phút rồi quay về A gặp ngời đi xe đạp cách B 24 km . Tính vận tốc của mỗi ngời. Biết vận tốc ngời đi xe máy lớn hơn vận tốc của ngời đi xe đạp là 36km/h S (km) v (km/h) t (A->gÆp nhau) Xe đạp 57-24=33 x (®k: x>0) 33/ x Xe m¸y 57+24=81 Ca n« 1. Bài 8:Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình là 9km/h . khi từ B vềA ngời đó chọn con đờng khác để về nhng dài hơn con đờng lúc đi là 6 km, và đi với vận tốc là 12 km/h nên thời gian về ít hơn lúc đi là 20 phút .Tính S AB lúc đi (Gọi độ dài qũãng đờng AB là x (>0) Kq: SAB =30km). S (km). v (km/h). t. Bài 9:Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình là 12km/h Sau khi đi đợc 1/3 quãng xe bị hỏng ngời đó ngồi chờ ôtô mất 20 phút và đi ôtô với vận tốc 36km/h,nên đến B sớm hơn dự định 1h20phút Tính SAB Gọi độ dài qũãng đờng AB là x (>0) Kq: SAB= 45km Bµi 10:Mét chiÕc ca n« khëi hµnh tõ bÕn A - B dµi 120 km råi tõ B quay vÒ A mÊt tæng céng 11 giờ Tính vận tốc của ca nô.Biết vận tốc của dòng là 2km/h và vận tốc thật không đổi S (km). v (km/h). t. Bµi 11:Mét chiÕc ca n« ch¹y trªn s«ng 7h , xu«i dßng 108 km vµ ngîc dßng 63 km .Mét lÇn kh¸c ca n« còng ch¹y trong 7h ,xu«i dßng 81 km vµ ngîc dßng 84 km.TÝnh vËn tèc cña dßng níc ch¶y vµ vËn tèc riªng cña ca n«. (Cã thÓ chän 2. Èn Kq: vËn tæc riªng x=24km/h ;vËn tèc dßng y=3km/h S (km). v (km/h). t. Bài 12:Lúc 7h30 phút một ôtôđi từ A-B nghỉ 30phút rồi đi tiếp đến C lúc 10h 15phút .Biết quãng đờng AB=30km;BC=50km, vận tốc đi trên AB nhỏ hơn đi trên BC là 10km/hTính vận tốc của ôtô trên quãng đờng AB, BC (Gọi vận tốc ....quãng đờng AB là x, trên BC: (x+10) kq: 30km/h ; 40km/h S (km) v (km/h) t. D¹ng 2: To¸n cã néi dung h×nh häc. Bài 1:Một khu vờn hcn có chu vi 280m . ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn ( thuộc đất của vờn ) rộng 2m , S cßn l¹i lµ 4256m2 .TÝnh c¸c kÝch thíc cña vên (réng x=60m, dµi =80m) Réng Dµi S Lóc ®Çu Lóc sau Bài 2:Một hcn có chu vi 90m.Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài đi15m thì ta đợc hcn mới có diện tích = Shcn ban đầu .Tính các cạnh của hcn đã cho (rộng x=15m, dài =30m) Réng Dµi S Lóc ®Çu Lóc sau Bµi 3:Mét hcn .NÕu t¨ng chiÒu dµi thªm 2m vµ chiÒu réng 3m th× diÖn tÝch t¨ng 100m2. NÕu cïng gi¶m chiÒu dµi và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68m2.Tính diện tích thửa rộng đó (Kq:22m;14m) Réng Dµi S Lóc ®Çu Lóc sau Bài 4:Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m2, Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng , biết rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4m và chiều cao giảm đi 1m thì diện tích không đổi (cạnh đáy x=36m) Réng Dµi S Lóc ®Çu Lóc sau. Bµi 5:Mét tam gi¸c vu«ng cã chu vi lµ 30m , c¹nh huyÒn lµ 13m .TÝnh c¸c c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c. D¹ng 3: To¸n cã néi dung sè häc- phÇn tr¨m Bài 1:Cho một số gồm 2 chữ số .Tìm số đó biết rằng tổng 2 chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và thêm 25 vào tích của 2 chữ số đó sẽ đợc số viết theo thứ tự ngợc lại số đã cho Có thể chọn 2 ẩn Kq:só đó là 54.

(23) Bài 2:Cho một số gồm 2 chữ số .Tìm số đó biết rằng :Khi chia số đó cho tổng 2 chữ số của nó thì đợc thơng là 6 và d 11.Khi chia số đó cho tích 2 chữ số của nó thì đợc thơng là 2 và d 5, Có thể chọn 2 ẩn Kq: só đó là 95. Bµi 3: T×m 2 sè biÕt r»ng tæng cña chóng lµ 17 vµ tæng lËp ph¬ng cña chóng b»ng 1241 Có thể chọn 2 ẩn Kq: 2 só đó là 9 và 8. Bài 4: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng hiệu của chúng là 1275 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì đợc thơng là 3 và d 125 (số lớn x; số nhỏ y , ta co x-y=1275 ; x=3y+125) Bài 5:Cho một số tự nhiên có 2 chữ số .Nếu đổi chỗ 2 chữ số thì đợc số mới lớn hơn số đã cho là 36 .Tổng của số đã cho và số mới là 110 .Tìm số đã cho ( số đó là 37) Bài 6:Dân số một khu phố trong 2 năm tăng từ 30.000 ngời đến 32.448 ngời .Hỏi trung bình hàng năm dân số khu phố đó tăng bao nhiêu % (Gọi số% dân số hàng năm khu phố tăng là x % Kq:4% Bµi 7:Hai líp 9A vµ 9B gåm 105 hs; líp 9A cã 44 hs tiªn tiÕn ,líp 9B cã 45 hs tiªn tiÕn, biÕt tØ lÖ häc sinh tiªn tiÕn 9A thÊp h¬n 9B lµ 10%.TÝnh tØ lÖ häc sinh tiªn tiÕn cña mçi líp ,vµ mçi líp cã bao nhiªu häc sinh Gäi x % lµ tØ lÖ häc sinh tiªn tiÕn cña líp 9A -> 9B lµ (x+10)% ta cã pt: 4400/x +4500/x =105. Kq:80 % vµ 90% ; 9A: 55hs , 9B 50 hs. Bài 8:Trong tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy .Sang tháng 2 tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 20%,, dó đó cuối tháng cả 2 tổ sản xuất đợc tổng cộng 945 chi tiết máy .Tính xem trong tháng đầu , tháng hai mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy Bµi 9 Hai xÝ nghiÖp theo kÕ ho¹ch ph¶i lµm 360 dông cô .Nhê s¾p xÕp hîp lý d©y chuyÒn s¶n xuÊt nên xí nghiệp I đã vợt mức 12% kế hoạch xí nghiệp II đã vợt mức 10% kế hoạch ,do đó cả 2 đã làm đợc 400 dụng cụ . Tính số dụng cụ mà mỗi xí nghiệp làm theo kế hoạch và thực tế làm D¹ng 4: To¸n cã néi dung c«ng viÖc-n¨ng xuÊt –ph©n chia s¾p xÕp Bµi 1:Hai c«ng nh©n nÕu cïng lµm chung th× hoµn thµnh 1 c«ng viÖc trong 4 ngµy .NÕu lµm riªng th× ngêi thø nhÊt lµm hoµn thµnh c«ng viÖc Ýt h¬n ngêi thø hai lµ 6 ngµy .Hái nÕu lµm riªng th× mçi ngêi lµm hoµn thµnh c«ng viÖc trong bao nhiªu ngµy ?. Bài 2; 2 đội công nhân làm chung 1 công việc d định xong trong 12 ngày .họ làm chung với nhau 8 ngày thì đội 1 nghỉ đội 2 làm tiếp với năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã hoàn thành phần việc còn lại trong 3 ngày rỡi .Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải làm trong bao lâu thì xong công viÖc trªn? Lóc ®Çu Lóc sau. Bµi 3: 2 c«ng nh©n lµm chung1c«ng viÖc th× hoµn thµnh trong 4 ngµy.Khi lµm ngêi thø nhÊt lµm một nửa công việc , sau đó ngời thứ hai làm tiếp nửa còn lại thì toàn bộ công việc hoàn thành trong 9 ngµy .Hái nÕu lµm riªng th× mçi ngêi lµm hoµn thµnh c«ng viÖc trong bao nhiªu ngµy ?. Mét m×nh ng T1 lµm x(ngµy) xong -> 1/2 c.v lµ x/2 (ng) Tg ng T2 lµm cv trong 9- x/2(ng) -> c¶ cv lµ 2(9-x/2)=18-x (ng) Ph¬ng tr: 1/x -1/18-x =1/4. Bài 4: Một phân xởng theo kế hoạch phải dệt 3000 tấm thảm .Trong 8 ngày đầu họ đã thực hiện đợc đúng kế hoạch , những ngày còn lại họ đã dệt vợt mức mỗi ngày 10 tấm ,nên đã hoàn thành kÕ ho¹ch tríc kÕ ho¹ch 2 ngµy .Hái theo kÕ ho¹ch mçi ngµy ph©n xëng ph¶i dÖt bao nhiªu tÊm? 3000/x =(3000-8x):(x+10) +2+8. KÕ ho¹ch 8 ngµy ®Çu Nh÷ng ngµy cßn l¹i. Sè th¶m 3000 8x 3000-8x. Sè th¶m dÖt /ngµy x x x+10. Sç ngµy dÖt 3000/x 8 (3000-8x):(x+10). Bài 5: Một tổ sản xuất dự định sản xuất 360 máy nông nhgiệp . Khi làm do tổ chức quản lí tốt nên mỗi ngày họ đã làm đợc nhiều hơn dự định 1 máy;Vì thế tổ đã hoàn thành trớc thời hạn 4 ngày .Hỏi số máy dự định s¶n xuÊt trong mçi ngµy lµ bao nhiªu ?. Dự định Thùc tÕ. Sè m¸y /ngµy x x+1. Sè m¸y 360 360. Sè tÊn hµng /1xe 360/x 360/ (x+1). Bài 6:: Một đoàn xe vận tải dự định chở 180 tấn hàng từ cảng về nhà kho .Khi sắp bắt đầu chở thì đợc bổ xung thêm 2 xe nữa ,nên mỗi xe chở ít đi 0,5 tấn hàng .Hỏi đoàn xe lúc đầu có bao nhiêu chiÕc ? Lóc ®Çu Lóc sau. Sè xe x x+2. Sè hµng(tÊn) 180 180. Sè tÊn hµng /1xe 180/x 180/ (x+2). Bµi 7Mét ®oµn xe chë 30 tÊn hµng tõ c¶ng vÒ nhµ kho .Khi s¾p b¾t ®Çu chë th× mét xe bÞ háng ,nên mỗi xe phải chở thêm 1 tấn hàng và cả đoàn còn chở vợt mức dự định 10 tấn .Hỏi đoàn xe lúc ®Çu cã bao nhiªu chiÕc ? Sè xe. Sè hµng(tÊn). Sè tÊn hµng /1xe.

(24) Lóc ®Çu Lóc sau. x x-1. 180 180+10=190. 180/x 190/ (x-1). Bài 8: Trong 1 phòng có 70 ngời dự họp đợc sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế .Nếu bớt đi 2 dãy thì mỗi dãy còn lại phải xếp thêm 4 ngời thì mới đủ chỗ ngồi .Hỏi lúc đầu phòng họp có mấy dãy ghế và mỗi dãy xếp đợc bao nhiêu ngời? Sè d·y. Sè ngêi. Sè ngêi /1d·y. Lóc ®Çu Lóc sau. Bµi 9:Trong 1buæi liªn hoan v¨n nghÖ , phßng häp chØ cã 320 chç ngåi, nhng sè ngêi tíi dù h«m đó có tới 420 ngời .Do đó phải thu xếp để mỗi dãy ghế thêm đợc 4 ngời ngồi và phải đặt thêm 1 dãy ghế nữa mới đủ .Hỏi lúc đầu trong phòng có bao nhiêu ghế ? Lóc ®Çu Lóc sau. Sè d·y x x+1. Sè ngêi 320 420. Sè ngêi /1d·y 320/x 420/ (x+1). PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH (4 tiết) Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B, người đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút. HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0). x x 1 5   5 6 . Giải ra ta được: x = 75 (km) Ta có phương trình: 30 25 3. Bài 2: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ôtô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120) x x  x    60  : 40    60  : 50   1 40  2  Ta có phương trình:  2 . Giải ra ta được: x = 280 (km). Bài 3: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h. HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 0) 80 80 1 4  8 x1  3 . Giải ra ta được: 5 (loại), x2 = 20 (km) Ta có phương trình: x  4 x  4. Bài 4: Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vận tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ. Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô đến bến B cùng 1 lúc. HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0) x x 2   Ta có phương trình: 20 24 3 . Giải ra ta được: x = 80 (km). Bài 5: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xuôi dòng sông. Sau khi đi được 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km / h. HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x km/h (x > 4) 24 16  2 Ta có phương trình: x  4 x  4 . Giải ra ta được x1 = 0 (loại), x2 = 20 (km/h). Bài 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp..

(25) HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0) 50 50   (1,5  1) Ta có phương trình: x 2,5x . Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn). Bài 7: Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn hàng. Hôm làm việc, có hai xe được điều đi làm nhiệm vụ mới nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số hàng chở được của mỗi xe là như nhau) HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x  N) 100 100 5   Ta có phương trình: x  2 x 2 . Giải ra ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa mãn). Bài 8: Để làm một chiếc hộp hình hộp không nắp, người ta cắt đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc của một miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm. Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng 2 bao nhiêu, biết rằng tổng diện tích của 4 hình vuông đó bằng 5 diện tích đáy hộp?. HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt ( 0 < x < 9) 2 4x 2  (24  2x)(18  2x) 5 Ta có phương trình: . Giải ra ta được: x1 = −18 (loại), x2 = 4 (thỏa). Bài 9: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho HD: Gọi số phải tìm là xy (0 < x, y ≤ 9 và x, y  Z) 6(x  y) 10x  y  x 5    y 4 . Vậy số phải tìm là 54 Ta có hệ:  xy  25 10y  x. Bài 10: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất 2 chảy trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy 5 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì. phải bao lâu mới đầy bể. HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, II lần lượt là x, y phút (x, y > 80)  80 80  x  y 1  x 120      y 240 10  12  2 Ta có hệ:  x y 15. Bài 11: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3giờ và người thứ hai làm 6giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc. HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm một mình xong công việc (x > 0, y > 16) 16 16  x  y 1  x 24      y 48  3  6 1 Ta có hệ:  x y 4 (thỏa mãn điều kiện đầu bài). Bài 12: Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế? HD: Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x dãy (x  Z, x > 0)  360  (x  1)   1 400 x   Ta có phương trình: . Giải ra ta được: x1 = 15, x2 = 24.

(26) ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy.. Giới thiệu Một số đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh bắc giang §Ò thi vµo líp 10 n¨m häc : 1996-1997 Ngµy thi : 31/07/1996 (Thêi gian 150 phót).. Bµi 1.Cho biÓu thøc : √ x+ 1 − √ x − 1 : 1 − √ x + 2 A= √ x −1 √ x +1 √ x +1 1 − √ x x − 1 1) Rót gän biÓu thøc A ( 2 ®iÓm). 2) Tìm x để A nhận giá trị âm (0,5 điểm). Bµi 2 : Cho hÖ phîng tr×nh:. (. )(. ). ¿ x +ay =1 ax+ y=2 ¿{ ¿. a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a=1 (0,5 ®iÓm) b) Chứng minh hệ đã cho luôn có nghiệm (1 điểm). c) Xác định a để hệ có nghiệm dơng (0,5 điểm). Bµi 3: Một đội xe chở 168 tấn thóc. Nếu có thêm 6 xe thì mỗi xe chở nhẹ đi 1 tấn và tổng số thóc chở tăng đợc 12 tấn. Tính số xe của đội lúc ban đầu. (1,5 điểm). Bài 4 :Cho hình vuông ABCD, E là điểm thuộc cạnh BC, đờng thẳng qua A vuông góc với AB c¾t c¹nh CD kÐo dµi ë F. 1)gãc FAD=gãc FAB vµ AB=AF (1 ®iÓm). 2)Vẽ đờng trung tuyến AI của tam giác AEF kéo dài cất CD ở K, đờng thẳng qua K song song víi AB c¾t AI ë Q. Tø gi¸c ....... Bµi 5. (1 ®iÓm). Tìm số nguyên x để giá trị của tích x(x+1)(x+7)(x+8) là số chính phơng §Ò thi vµo líp 10 n¨m häc : 1996-1997 Ngµy thi : 01/08/1996 Bµi 1Cho biÓu thøc : x−4x 1+ 2 x 2 x A= √ −1 : + √ −1 1 −4 x 1− 4 x 2 √ x −1 1)Rót gän biÓu thøc A ( 2 ®iÓm). 2) Tìm x để | A|> 1 (0,5 điểm). 2 Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh : x2+(2m-5)x-3n=0 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=3 vµ n=2/3 . (0,5 ®iÓm). 2) Xác định m và n để phơng trình có hai nghiệm là 3 và -2 (1 điểm). 3) Khi m=4, tìm n nguyên để phơng trình có nghiệm dơng (1 điểm).. (. )(. ).

(27) Bài 3: Một hội trờng có 240 chỗ ngồi, các ghế đợc kê thành dãy, các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau. NÕu thªm 4 chç ngåi vµo mçi d·y vµ bít ®i 4 d·y ghÕ th× héi trêng t¨ng thªm 16 chç ngåi. Hái lóc ®Çu héi trêng cã bao nhiªu d·y ghÕ. (1,5 ®iÓm). Bµi 4. Cho tam giác cân ABC (AB=AC) nội tiếp trong đờng tròn tâm O, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC của đờng tròn. Tia Bx vuông góc với AM cắt đờng thẳng CM ở D. 1) Chøng minh r»ng AMD = ABC = AMB vµ MB = MD . (1 ®iÓm). 2) Chứng minh khi M di động thì D chạt trên một đờng tròn cố định, xác định tâm và bán kính của đờng tròn cố định đó. (1 điểm). 3) Xác định vị trí của M để tắ giác ABMD là hình thoi . (1 điểm). Bµi 5 : (1 ®iÓm). Chứng minh qua điểm (0;1) có duy nhất một dây của Parabol y=x2 có độ dài bằng 2 .. §Ò thi vµo líp 10 n¨m häc : 1997-1998 Ngµy thi : 27/06/1997 (thêi gian 120 phót). Bµi 1 (2 ®iÓm) :Cho biÓu thøc : 2+ a 2 − √ a 16 Q= √ − + 2− √ a 2+ √ a 4 − a 1) Rót gän biÓu thøc Q. 2)Tìm a để Q > 0. Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh : x2-2(m+1)x+m2+2=0 1) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vµ x2. 2) Tìm m để hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : x1 – x2 = 4. Bµi 3: (2 ®iÓm). Mét Ca n« ch¹y trªn mét dßng s«ng ®ang ch¶y. NÕu ca n« ch¹y xu«i dßng 5km råi ngîc dßng 9km th× mÊt 1 giê. NÕu ca n« ch¹y xu«i dßng 10km råi ngîc dßng 6 km th× còng mÊt 1 giê. TÝnh vËn tèc thùc cña ca n« vµ vËn tèc cña dßng ch¶y. Bµi 4. (4 ®iÓm). Cho đờng tròn tâm O bán kính R và điểm A ở ngoài đờng tròn. AC và AB là hai tiếp tuyến của (O;R) (B, C là là tiếp điểm). Vẽ CH vuông góc với AB tại H cắt đờng tròn (O;R) tại B và cắt OA t¹i D. 1) Chøng minh CH//OB, COD =BOD =CDO vµ so s¸nh hai ®o¹n th¼ng CO vµ CD. 2) Tø gi¸c CDBO lµ h×nh giµ? t¹i sao? 3) Trong trờng hợp đặc biệt điểm D năm trên (O;R), hãy tính diện tích tứ giác ABOC theo R. §Ò thi vµo líp 10 n¨m häc : 1997-1998 Ngµy thi : 26/06/1997 (thêi gian 120 phót) Bµi 1 (2 ®iÓm) :Cho biÓu thøc : a+ x + √ a − x √ a+ x − √ a − x P= √ − √ a+ x − √ a − x √a+ x+ √a − x 1) Rót gän biÓu thøc P. 2)TÝnh P nÕu a= √ 3 ; x= √ 2 . Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh : x2-2(m-1)x+2m-3=0 1) Chøng minh víi mäi m ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm. 2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng -1 và khi đó hãy tính nghiệm còn lại. Bµi 3: (2 ®iÓm). Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 32 mét. Nếu ta bớt chiều rộng đi 3 mét và tăng chiều dài thêm 3 mét thì diện tích giảm đi 24m2. Tính chiều dài và chiều rộng của miếng đất..

(28) Bµi 4. (4 ®iÓm). Cho tam giác ABC có góc A = 450, hai góc B và C đều nhọn. Đờng tròn tâm O đờng kính BC c¾t AB ë D vµ AC ë E. BE c¾t CD ë H. 1) TÝnh c¸c gãc BDC, BEC, ACD vµ so s¸nh hai ®o¹n th¼ng AD vµ CD. 2) Chøng minh AH vu«ng gãc víi BC 3) Chứng minh OE là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE. §Ò thi vµo líp 10 n¨m häc : 1999-2000 Ngµy thi : 23/06/1999 (thêi gian 150 phót) Bµi 1 (1 ®iÓm) a) Trôc c¨n thøc ë mÉu sè :. 1 √3. b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh sau : 5(x-2) > 1- 2(x-1). Bµi 2: (2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh : x2-8x+m=0 (1). a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 12. b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp? c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: d) x1 – x2 = 2. e) Bµi 3: (1,5 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc sau: m3 + √ n3 2 n A= √ − √ mn : (m− n)+ √ √ m+ √ n √ m+ √ n. (. ). Bµi 4. (1,5 ®iÓm). Một ô tô tải khởi hành từ A đến B đờng dài 200 km. Sau đó 30 phút một ôtô tắc xi khởi hành từ B về A và hai ô tô gặp nhau tại địa điểm C là chính giữa quãng đờng AB. Tính vận tốc của mỗi ô t«, biÕt r»ng mçi giê « t« t¶i ch¹y chËm h¬n xe t¾c xi lµ 10 km. Bµi 5. (3,5 ®iÓm). Cho tam giác ABC (Â<900) nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Các tiếp tuyến với đờng tròn (O) ở B vµ C c¾t nhau t¹i N. a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp một đờng tròn. b) Gọi I là điểm chính giữa của cung BC. Chứng minh I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NBC. c) Gọi H là trực tâm tam giác NBC. Chứng minh hai điểm O và H đối xứng với nhau qua BC. d) Qua A dựng đờng thẳng song song với BC cắt đờng tròn (O) tại M. Gọi D là trung điểm của BC, đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh : BM =CM BK. §Ò thi vµo líp 10 n¨m häc : 2000-2001 Ngµy thi : 03/07/2000 (thêi gian 150 phót) Bµi 1 (2 ®iÓm) – Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau: 1) 2 x − 100 = 3 x −800 2). 3 ¿ 5 x − 4 y=1 x+ y=11 ¿{ ¿. 4. 3) 2x2 – 5x – 3 = 0 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc:. CK.

(29) A=. ( x+2√ x√+2x+1 − √xx−1−2 ) . √ √x+1x. 1) Rót gän A 2) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là số nguyên. Bµi 3: (2 ®iÓm). Một đội xe dự định chở 200 tấn thóc. Nếu tăng thêm 5 xe và giảm số thóc phải chở 20 tấn thì mỗi xe chở nhẹ hơn dự định 1 tấn. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc. Bµi 4. (3 ®iÓm). Cho nửa đờng tròn đờng kính AB, C là điểm chạy trên nửa đờng tròn (Không trùng với a và B). CH là đờng cao của tam giác ACB. I và K lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ H xuống AC và BC; M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AH vµ HB. 1) Tø gi¸c CIHK lµ h×nh g× ? So s¸nh CH vµ IK. 2) Chøng minh tø gi¸c AIKB lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3) Xác định vị trí của C để : a) Chu vi tø gi¸c MIKN lín nhÊt. b) DiÖn tÝch tø gi¸c MIKN lín nhÊt Bµi 5. (1 ®iÓm). Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x2+2x+m=0 (1) x2+mx+2=0 (2). §Ò thi vµo líp 10 n¨m häc : 2000-2001 Ngµy thi : 04/07/2000 (thêi gian 150 phót) Bµi 1 (2 ®iÓm) – Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau: 1) 4 x − 1 + 5 x+3 =0 5 6 2) x2- 6x + 8=0 3). ¿ x − y =1 3 x+ 4 y=5 ¿{ ¿. Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: 2 a 1 √ √ a −1 − √ a+1 P= − . 2 2 √a √ a+1 √ a− 1 a) Rót gän P b) Tìm giá trị của a để P>0.. (. )(. ). Bµi 3: (2 ®iÓm). Một ngời đi xe đạp từ A và dự định đến B vào một giờ đã định. Khi còn cách B 30 km, ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B muộn nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi: Do đó, ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h và đến B sớm nửa giừo so với giờ dự định . Tính vận tốc lúc đầu của ngời đi xe đạp. Bµi 4. (3 ®iÓm). Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë C (CA>CB) I lµ ®iÓm thuéc c¹nh AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C vÏ c¸c tia Ax, By vu«ng gãc víi AB. §êng th¼ng vu«ng gãc víi IC vÏ qua C c¾t Ax, By lÇn lît t¹i M vµ N. a) Chøng minh tø gi¸c BNCI néi tiÕp; gãc MIN = 900 b) Chứng minh tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN, tam giác ABC đồng dạng với tam gi¸c MNI. c) c) Tìm vị trí của điểm I sao cho diện tích tam giác MIN gấp đôi diện tích tam giác ABC. Bµi 5. (1 ®iÓm). Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh:.

(30) ax2+bx+c=0 cã nghiÖm nÕu : 2 b ≥ c + 4 a. a. §Ò thi vµo líp 10 n¨m häc : 1999-2000 Ngµy thi : 22/06/1999 (thêi gian 150 phót) Bµi 1 (1 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö biÓu thøc : a2-4 b) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : ( ( √ 3− √ 7)( √7 + √ 3) Bµi 2: (2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh : x2-4x+m=0 (1) a) TÝnh Δ hoÆc Δ ' cña ph¬ng tr×nh (1) theo m. b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm? c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : x 1 + x 2 =12 d) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2, hãy tìm giá trị của m để biểu thức A= x 1 + x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 2. 2. 2. Bµi 3: (1,5 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc sau: a −1 1 3 a 2 a −1 P= √ − + √ : 1− √ 2 √ a −1 2 √ a+1 4 a − 1 2 √ a+1. (. )(. 2. ). Bµi 4. (1,5 ®iÓm). Hai vßi níc cïng ch¶y sau 6 giê ®Çy bÓ. NÕu më vßi thø nhÊt ch¶y trong 2 giê vµ vßi thø hai ch¶y trong 3 giê th× ®Çy 2 bÓ. Hái mçi vßi nÕu ch¶y mét m×nh th× ph¶i bao l©u míi ®Çy bÓ. 5. Bµi 5. (3,5 ®iÓm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O, P là một điểm trên cung BC, trên tia PA lÊy ®iÓm Q sao cho PQ=PB. a) TÝnh gãc BPQ. b) Chứng minh Δ BQA=ΔBPC từ đó suy ra PA = PB + PC; c) Qua P dựng các đờng thẳng song song với các cạnh của ΔABC; Đờng thẳng song song với BC cắt AB ở D, đờng thẳng song song với AC cắt BC ở E, đờng thẳng song song với AB cắt AC ë F. Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c PCEF, BDPE lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp. d) Chøng minh 3 ®iÓm D,E vµ F th¼ng hµng. §Ò thi vµo líp 10 n¨m häc : 1999-2000 Ngµy thi : 16/08/1999 (thêi gian 150 phót) Bµi 1 (1 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh thõa sè biÓu thøc sau : b) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : ( ( √ 3− √ 7)( √7 + √ 3) Bµi 2: (2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh : x2-4x+m=0 (1) e) TÝnh Δ hoÆc Δ ' cña ph¬ng tr×nh (1) theo m. f) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm? g) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : x 1 + x 2 =12 h) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2, hãy tìm giá trị của m để biểu thức A= x 1 + x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 2. 2. 2. Bµi 3: (1,5 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc sau: a −1 1 3 a 2 a −1 P= √ − + √ : 1− √ 4 a − 1 2 √ a −1 2 √ a+1 2 √ a+1. (. )(. ). 2.

(31) Bµi 4. (1,5 ®iÓm). Hai vßi níc cïng ch¶y sau 6 giê ®Çy bÓ. NÕu më vßi thø nhÊt ch¶y trong 2 giê vµ vßi thø hai ch¶y trong 3 giê th× ®Çy 2 bÓ. Hái mçi vßi nÕu ch¶y mét m×nh th× ph¶i bao l©u míi ®Çy bÓ. 5. Bµi 5. (3,5 ®iÓm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O, P là một điểm trên cung BC, trên tia PA lÊy ®iÓm Q sao cho PQ=PB. e) TÝnh gãc BPQ. f) Chứng minh Δ BQA=ΔBPC từ đó suy ra PA = PB + PC; g) Qua P dựng các đờng thẳng song song với các cạnh của ΔABC; Đờng thẳng song song với BC cắt AB ở D, đờng thẳng song song với AC cắt BC ở E, đờng thẳng song song với AB cắt AC ë F. Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c PCEF, BDPE lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp. h) Chøng minh 3 ®iÓm D,E vµ F th¼ng hµng.. *********************************************************** Các đề kiểm tra. §Ò sè 1 (Thêi gian 120’) Bµi1 C©u a, (1®) TÝnh A= √ 7+2 √10 − √7 −2 √ 10 B=( 3+ 2 √ 3 + 2+ √ 2 ¿ −(1 : 1 ) √ 3 √2+1 √ 2+ √ 3 C©u b, (2®) Cho biÓu thøc P=( 2 √ x + √ x − 3 x+ 3 ¿ :( 2 √ x −2 − 1) víi x 0 ;x 9 √ x +3 √ x − 3 x −9 √ x −3 1) Rót gän P (1®) −1 2) Tìm x để P< (0,75®) 3 3) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P (0,75®) Bµi 2: (1®) Cho ph¬ng tr×nh x2 -2(m+1)x+m-1=0 (1) a, Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b, C/m r»ng biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo m A=x1(1-x2)+x2(1-x1) ( Trong đó x1;x2 là các nghiệm của (1) ) Bài 3:(1.5 đ) Hai đội đào một con mơng , nếu 2 đội cùng làm thì trong 12 ngày thì xong Nhng nếu 2 đội chỉ đào chung trong 8 ngày , sau đó đội thứ hai nghỉ đội thứ nhất làm tiếp trong 7 ngày nữa thì xong việc .Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì trong bao lâu thì xong con mơng? Bµi 4:(3,5®) Cho hình thang cân ABCD (BC//AD) ;đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O sao cho góc BOC=600 ,gäi I;M, N,P,Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC,OA,OB, AB ,CD a, C/m DMNC nội tiếp đợc một đờng tròn b, C/m Δ MNQ đều c, So s¸nh c¸c gãc MQP ; QND ; NMC d, C/m trùc t©m cña Δ MNQ vµ O; I th¼ng hµng Bµi 5:(1®) C/m r»ng 9x2y2+y2- 6xy-2y+2 0 víi mäi x;y §Ò sè 2 (Thêi gian 120’) 2 √ a −1 − √ a+1 Bµi1: (2®)Cho biÓu thøc B= √ a − 1 2 2 √ a √a+ 1 √ a −1 a) Rót gän B b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B khi a= √ 4+ 2 √ 3 c) Tìm các giá trị của a để B >0. (. Bµi 2;(1,5®). Cho hÖ ph¬ng tr×nh. )(. ¿ ax − 2 y =a −2 x+ y=a+1 ¿{ ¿. ).

(32) a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a=-2 b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x-y=1 Bµi 3; :(2 ®)Cho ph¬ng tr×nh x2 – (a -1)x – a2+a-2=0 a) Tìm giá trị của a để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu b) Tìm giá trị của a để phơng trình có 2 nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện x12+x22 đạt giá trÞ nhá nhÊt Bµi 4:(3.5®) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A; VÏ cung trßn BC n»m bªn trong tam gi¸c ABC vµ tiÕp xóc với AB;AC tại B và C sao cho đỉnh A và tâm của cung tròn nằm khác phía đối với BC , lấy M thuéc cung BC ; kÎ MI BC, MH AC , MK AB ; BM c¾t IK t¹i P ; CM c¾t IH t¹i Q a) Chứng minh rằng tứ giác BIMK; CIMH nội tiếp đợc b) Chøng minh r»ng MI2 =MH.MK c) Chứng minh rằng tứ giác IPMQ nội tiếp đợc và MI PQ d) Chøng minh r»ng nÕu KI=KB th× IH=IC Bµi 5(1®) Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x2 − 4 x+ 4+ √ 4 x 2 −12 x +9=1 §Ò sè 3 (Thêi gian 120’) Bµi 1: (2,5®) 1) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P= √ 4+ 2 √ 3 − √ 12+6 √ 3 2)Cho biÓu thøc. C=. a) Rót gän C b)Tìm x để C>0. 1 1 x3 − x + +√ √ x − 1− √ x √ x −1+ √ x √ x − 1. 53 c) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc C khi x= 9− 2 √7. Bµi 2: (1,5®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh. (Víi x>1 ;C= x -1 - 2 √ x −1+1. =(. √ x −1 −1 ¿2. 0.... ( kq: C=7. ¿ ax − 2 y =a −2 x+ y=a+1 ¿{ ¿. a) Gi¶i hÖ khi a=-2 b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x-y=1 2. (víi a. 4 th× x= 3 a+2 ; y= a +3 a ;............ a− 4. a −4. 2 Bài 3: (2đ) Cho Parbol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình : (P): y= x ; (d) : y=mx – m+2. 2. a)Tìm m để đờng thẳng (d) và Parbol (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x=4 b)C/m rằng với mọi m đờng thẳng (d) và Parbol (P)luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt c)Giả sử đờng thẳng (d) và Parbol (P)luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt(x1;y1) và (x2;y2). x H·y c/m r»ng y1+y2 (2 1+x2) √ 2− 1¿ ¿ Bài 4:(4đ) Cho đờng tròn (O) đk AC lấy điểm B thuộc OC và vẽ đờng tròn (O’)đk BC .Gọi M là trung điểm AB ,qua M kẻ dây cung vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) tại D và E . Nối DC cắt đờng tròn (O’) tại I a) Tø gi¸c DABE lµ h×nh g× ?T¹i sao ? b) c/m BI // AD c) c/m 3 ®iÓm I;B;E th¼ng hµng vµ MD=MI d) Xác định vị trí tơng đối của MI với đờng tròn (O’) §Ò sè 4 (Thêi gian 120’) Bµi 1: (2,5®) 1)TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc M= 2)Cho biÓu thøc a) Rót gän D. D=. (15√6 +1 + √ 64−2 − 123− √6 )( √6+ 11) x−1 1 8 x 3 x −2 ( √ − + √ ): (1 − √ 9 x −1 3 √ x − 1 3 √ x +1 3 √ x+ 1 ). (M=-115).

(33) (Víi x 0 ; x ≠ 1 ; D=. b)Tìm x để D 0. 9. c)Tìm giá trị x để D= 6. (. 5. ¿. Bµi 2: (1,5®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh. √. √x + x =6 3√ x−1 5. √ x +x ≥ 0 ;............ 3√x−1 ( Víi x 0 ; x ≠ 1 ) <=>..... 9. 2 x −1 y +2 + =m y +2 2 x−1 x + y =5 ¿{ ¿. √. a) Gi¶i hÖ khi m= 5 2 b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ vô nghiệm Bài 3: (2 đ) Cho Parabol (P): y=ax2 (a 0) và đờng thẳng (d) :y=kx+b a) Tìm k và b biết đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm : A(1;0) và B(0;-1) b) Tìm a biết rằng Parabol (P) tiếp xúc với đờng thẳng (d) vừa tìm đợc ở trên c) Viết phơng trình đờng thẳng (d2) đi qua C( 3 ; −1 ¿ và có hệ số góc là m 2 d) Tìm m để đờng thẳng (d2) tiếp xúc với (P) (tìm đợc ở câu b). Và chứng tỏ rằng qua điểm C có 2 đờng thẳng (d2) cùng tiếp xúc với (P) ở câu b và vuông góc với nhau Bài 4: (4 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A (AB>AC) đờng cao AH .Trên nửa mặt phẳng có bờ là BC chứa đỉnh A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E và vẽ nửa đờng tròn đờng kính CH c¾t AC t¹i F a)Chøng minh tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc c) Chứng minh FE là tiếp tuyến chung của 2 nửa đờng tròn d) Giả sử ∠ ABC bằng 300 .C/m rằng bán kính của nửa đờng tròn này gấp 3 lần bán kính của nửa đờng tròn kia ( Hay c/m HB=3HC ; HC=1/2 OC=1/4.BC) ........................................................................................................................................................... . §Ò sè 5 (Thêi gian 120’) Bµi 1: (2,5®) 1) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc N= ( 5 √3+ √50 )( 5 − √ 24 ) : ( √ 75 − 5 √ 2 ) (N=1) 2)Cho biÓu thøc E= x −3 √ x −1 : 9− x + √ x − 3 − √ x +2 x−9 x+ √ x − 6 √ x −2 √ x+ 3 a) Rót gän E 3 <1 <=>............ b)Tìm x để E<1 (Víi ®k x ..... ; E= √ x +2 c)Tìm giá trị x Z để E Z Bài 2: (1,5 đ) Cho Parabol (P): y=x2 và đờng thẳng (d) :y=3x+m2 (m là tham số) a) C/m rằng đờng thẳng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi m b)Giả sử đờng thẳng (d) và Parbol (P)luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có tung độ là y1và y2 Tìm m để y1+y2 =11 y1y2. (. Bµi 3: (2 ®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh. )(. ¿ (m+1) x+ y=4 mx + y=2 m ¿{ ¿. ). a) Gi¶i hÖ khi m=2 b)C/m r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x;y) sao cho x+y 2 Bài 4: (4 đ) Cho đờng tròn (O) và dâyAB lấy điểm C ở ngoài đờng tròn (O) và C thuộc tia đối của tia BA. Lấy điểm P nằm chính giữa của cung AB lớn , kẻ đờng kính PQ của (O) cắt dây AB tại D.Tia CP cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là I., dây AB và QI cắt nhau tại K a) C/m tứ giác PDKI nội tiếp đợc b) C/m CI .CP=CK .CD vµ CK .CD= CB. CA c) C/m IC là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh I của Δ AIB d) Giả sử A;B;C cố định . chứng minh rằng khi đờng tròn (O) thay đổi nhng vẫn đi qua A;B thì QI luôn đi qua 1 điểm cố định.

(34) §Ò KiÓm tra sè 6 (Thêi gian 150’-Dµnh cho hs líp A) √ x +2− 4 √ x −2+ √ x+ 2+ 4 √ x − 2 Bµi 1 :(2®) Cho biÓu thøc A=. √. 4 4 − +1 x2 x. a) Rót gän A b) Tìm số nguyên x để A có giá trị nguyên ¿. √ x+5+ √ y −2=√ m Bài 2:(1đ) Cho hệ phơng trình √ x −2+ √ y +5=√ m Tìm số dơng m để hệ có nghiệm duy nhất Bµi 3:(2®). ¿{ ¿. 1) Cho x1 vµ x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 -3x +a =0 x3 vµ x4 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 -12x +b =0 T×m a;b biÕt 2) Cho ph¬ng tr×nh:. x 2 +2 mx+1 =0 x −1. (1). x 2 x3 x 4 = = x 1 x2 x 3. Tìm m để phơng trình (1) vô nghiệm. Bµi 4:(1,5®) Cho ph¬ng tr×nh : x2 -2(m -1)x+m-3=0 a) Tìm m để phơng trình luôn có nghiệm b) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm mµ kh«ng phô thuéc vµo m. c) Xác định m sao cho phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối Bài 5: (3đ) Cho đờng tròn (O;R), M là một điểm nằm ngoài đờng tròn .Qua M kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đờng tròn (A;B là 2 tiếp điểm ). Một đờng thẳng d qua M cắt đờng tròn tại 2 điểm C vµ D ( Cn»m gi÷a M vµ D ) . Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD .§êng th¼ng AB c¾t MO ; MD;OI theo thø tù t¹i E;F;K a) Chứng minh 5 điểm M;A;B;O;I cùng nằm trên một đờng tròn b) Chøng minh OE.OM=OK.OI=R2 c) Khi d không đi qua O chứng minh tứ giác OECD nội tiếp đợc d) Khi R=10cm; IO=6cm ;MC=4cm .TÝnh MB Bµi 6:(0,5®) T×m c¸c sè nguyªn x;y tho¶ m·n : 2y2x+x+y+1=x2+xy+2y2. Một số đề thi tuyển sinh của các tỉnh khác §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10. N¨m häc 2006-2007 ( Thêi gian lµm bµi :120 phót ) 1 1 Bµi1.(2®iÓm)Cho biÓu thøc A= ( ) : ( √ x+2 − √ x +1 ¿ ( víi x>0 ; x 3 vµ √x √x− 1 √ x − 1 √ x −2 x 4) 1; Rót gän A 2; Tìm x để A=0 Bµi2.(3.5®iÓm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol(P)và đờng thẳng(d) có phơng trình : (P): y=x2 ; (d) :y=2(a-1)x+5-2a (a lµ tham sè) 1; Với a=2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và parabol (P) 2; Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt parabol(P) tại hai điểm phân biệt 3; Gọi hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và parabol (P) là x1 ; x2 . tìm a để x12+x22 =6 Bµi 3.(3.5®iÓm) Cho đờng tròn (0) đờng kính AB . điểm I nằm giữa A và O (I khác Avà O) kẻ dây MN vuông góc víi AB t¹i I . Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN (C kh¸c M , Nvµ B) . Nèi AC c¾t MN t¹i E. Chøng minh : 1.Tø gi¸c IECB néi tiÕp 2.AM2 = AE.AC 3. AE.AC-AI.IB=AI2 Bµi4: (1®iÓm) Cho a 4 , b 5 , c 6 vµ a2+b2+c2=90 .Chøng minh a+b+c 16 Sở giáo dục đào tạo. Nam định §Ò chÝnh thøc. §Ò thi tuyÓn sinh vµo 10 PTTH N¨m häc 2007-2008. M«m: to¸n (Ngµy thi:29-6-2007- Thêi gian lµm bµi :120’).

(35) Bµi 1: (2,5®) Cho biÓu thøc. (. P= 1+. 5 . √ x −2. )(. √x−. x +2 √ x +4 √ x +3. ). víi x. 0 vµ x. 4. 1) Rót gän P 2) Tìm x để P >1 Bµi 2: (3,0®) Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m+1)x + m – 4 = 0 (1) , ( m lµ tham sè ) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m=-5 2) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 víi mäi m 3) Tìm m để |x 1 − x 2| đạt giá trị nhỏ nhất (x1 ; x2 là 2 nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2/ ). Bài 3: (3,5đ) Cho đờng tròn (O;R), và hai điểm A;B phân biệt thuộc đờng tròn (O) sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O.Trên tia đối của tia AB lấy điểm M (M khác A).Qua M kẻ 2 tiếp tuyến ME và MF với đờng tròn (O) (E;F là 2 tiếp điểm ). Gọi H là trung điểm của dây cung AB .Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của EF với các đờng thẳng OM và OH 1) Chứng minh rằng 5 điểm M;O;H;E;F cùng nằm trên một đờng tròn 2) Chøng minh OH.OI=OK.OM 3) Chứng minh IA,IB là các tiếp của đờng tròn (O) Bài 4:(1đ) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn : x2+2y2 +2xy -5x-5y=-6 để x+y là số nguyên. §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 NguyÔn TÊt Thµnh N¨m häc 2006 – 2007. (Thêi gian150’). Câu 1 : (1 điểm) Tìm các giá trị của a và b để hệ phơng trình : ¿ a . x + by=2006 b . x +ay=2007 ¿{ ¿. nhËn x=1 vµ y= √ 2 lµ mét nghiÖm.. C©u 2 : (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng. √ 2+ √3+ √2 − √ 3 = √ 3 √3+2 . √3+ √3 − 2. √2 2. C©u 3 : (1® ) : T×m mét sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè , biÕt r»ng tæng c¸c ch÷ sè cña nã b»ng 12 vµ bình phơng chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị. C©u 4 : (1®) : Trong c¸c h×nh thoi cã chu vi b»ng 16cm, h·y t×m h×nh thoi cã diÖn tÝch lín nhÊt. Tìm giá trị lớn nhất đó. C©u 5 : (1®) : Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 – 4x3 + 4x2 – 1 = 0. Câu 6 : (1đ) : Tìm các giá trị của a để đờng thẳng y=ax+a+1 tạo với hai trục toạ độ một tam giác vuông cân. Tính chu vi của các tam giác đó. Câu 7 : (1đ) : Chứng minh rằng trong mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy đờng thẳng y=mx+1 luôn c¾t parabol y=x2 t¹i hai ®iÓm A,B ph©n biÖt vµ OAB vu«ng. Câu 8 : (1đ) : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Trên đờng cao BH lấy điểm M sao cho AMC = 90 và trên đờng cao CK lấy điểm N sao cho ANB = 90. Chứng minh : AM=AN. C©u 9 : (1®) Gi¶ sö a,b,c lµ ba hÖ sè cho tríc. Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét trong ba ph¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm : ax2 + 2ax + c = 0, bx2 + 2cx +a =0, cx2 + 2ax +b = 0. C©u 10 : (1®) Cho tam gi¸c c©n ABC (AB=AC) cã A = 20. Trªn c¹nh AC ta lÊy mét ®iÓm D sao cho AD = BC và dựng tam giác đều ABO ra ngoài ABC. Chứng minh rằng O là tâm đờng tròn ngo¹i tiÕp ABD vµ tÝnh gãc ABD.. ............................................................................................................................................................. §Ò thi tuyÓn sinh vµo 10 Trêng PTTH chuyªn lª h«ng phong N¨m häc 2000-2001. M«m to¸n.

(36) a. (§Ò chung-Thêi gian lam bµi :120’) b. a+b. + − Bµi 1:Cho biÓu thøc A= √ab+b √ ab − a √ab a) Rót gän A (1,25®) b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi a= √ 6+2 √ 5 ; b= √ 6 −2 √ 5 (0,75®) 4 2 2 Bµi 2;: Cho ph¬ng tr×nh x -2mx +m -3=0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m= √ 3 (1®) b) Tìm m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt (1,5) −1 2 x Bµi 3: Cho parabol (P): y= và điểm A(2;-3) cùng thuộc một mặt phẳng toạ độ 2 a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua A (0,5®) b)Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi k (1đ) Bài 4: Cho điểm M ở ngoài đờng tròn (O;R) ,qua M kẻ 2 tiếp tuyết MP;MQ với đờng tròn (P;Q là 2 tiếp điểm ) MO cắt đờng tròn tại I , qua M kẻ đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) T¹i Avµ B ( A n»m gi÷a M vµ B) a) Chứng minh rằng I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ (1,25®) b) Tìm tập hợp các điểm M thuộc d để tứ giác MPOQ là hình vuông (1,75®) c) Tìm tập hợp các tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ khi M thay đổi ? (1đ) P. M. J. I. O. Δ. A K B. d. §Ò thi tuyÓn sinh vµo 10 Trờng PTTH chuyên lê hông phong-nam định N¨m häc 2002-2003. Bµi 1:(2®). M«m to¸n (Thêi gian lam bµi 150’) (§Ò vßng 1 dµnh cho mäi thÝ sinh). 1) Chøng minh r»ng víi mäigi¸ trÞ d¬ng cña n , ta lu«n cã. 1 1 1 = − (n+1) √n+ n √ n+1 √ n √ n+1 1 1 1 1 + + +. . ..+ 2)TÝnh tæng S= 2+ √ 2 3 √ 2+2 √ 3 4 √ 3+3 √ 4 100 √ 99+99 √ 100. Bài 2:(1,5đ) Tìm trên đờng thẳng y=x+1những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức y2-3y √ x+2 x=0 Bµi 3:(1,5®) Cho 2 ph¬ng tr×nh sau : x2-(2m-3)x +6=0 vµ 2x2 +x+m-5=0 (m lµ tham sè ) Tìm m để 2 phơng trình đã cho có đúng một nghiệm chung Bài 4:(4đ)Cho đờng tròn (O;R) 2 đờng kính AB và MN .Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A cắt các đờng thẳng BM và BN tơng ứng tại M1 và N1 .Gọi P là trung điểm của A M1 , Q là trung điểm của AN1 1) Chứng minh tứ giác MM1N1N nội tiếp đợc trong một đờng tròn 2) NÕu M1N1 =4R th× tø gi¸c PMNQ lµ h×nh g× ? t¹i sao ? 3) Khi đờng kình AB cố định , tìm tập hợp các tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi MN thay đổi ? Bài 5:(1đ) Cho đờng tròn (O;R) hai điểm A;B nằm ở phía ngoài (O) ; OA=2R. Xác định vị trí của điểm M trên đờng tròn (O) sao cho biểu thức P=MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị nhỏ nhất đó . N1 Q D. A. N. O. B.

(37) I M. P. §Ò thi tuyÓn sinh vµo 10 Trờng PTTH chuyên lê hông phong-nam định N¨m häc 2002-2003. M«m to¸n (Thêi gian lam bµi 150’) (§Ò vßng 2 dµnh cho thÝ sinh thi vµo chuyªn to¸n) Bµi 1: 1) Cho 2 sè a; b d¬ng tho¶ m·n a2-b > 0 h·y chøng minh. √ a+ √ b=. √. a+ √ a2 − b a − √ a2 − b + 2 2. √. 2)Kh«ng sö dông m¸y tÝnh h·y chøng tá r»ng : 7 <. 2+ √ 3 2 − √3 + < 29 20 √ 2+ √2+ √ 3 √2 − √2 − √ 3 Bài 2: Giả sử x;y là các số dơng thoả mãn đẳng thức x+y= √ 10 5. Tìm các giá trị của x; y để P=(x4+1)(y4+1) đặt giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. x y z + + =0 x − y y −z z −x x − y ¿2 ¿ y − z ¿2 ¿ z − x ¿2 ¿ ¿0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x ¿. Bài 4: Cho Δ ABC nhọn nội tiếp trong đờng tròn (O;R).với BC=a , AC=b ,AB=c lấy điểm I bất kỳ ở phía trong Δ ABC và gọi x;y;z lần lợt là khoảng cách từ I đến cạnh BC; AC;AB của tam gi¸c 2. 2. 2. Chøng minh r»ng √ x+ √ y + √ z ≤ a + b +c 2R Bài 5; Cho tập hợp P gồm 10 điểm trong đó có một số cặp đợc nối với nhau bằng đoạn thẳng . Số các đoạn thẳng có trong tập P nối từ điểm A đến các điểm khác gọi là bậc của điểm A . Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm đợc 2 điểm trong tập P có cùng bậc. √. §Ò thi tuyÓn sinh vµo 10 Trờng PTTH chuyên lê hồng phong-nam định §Ò tuyÓn sinh vµo líp 10 ban A;B.

(38) N¨m häc 2004-2005 M«m to¸n (Thêi gian lam bµi 150’). Bµi 1: Rót gän biÓu thøc. m −n m+n+2 √ mn víi mäi m;n 0 ; m + √m − √ n √m+❑√ n 2 2 b) Q= a b− ab : √ a − √ b víi mäi a>0; b>0 ab √ a+ √ b Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ 6 − x+ √ x −2=2. a). P=. n. Bài 3: Cho các đờng thẳng (d1): y=2x+2 (d2): y=-x+2 (d3): y=mx ( m lµ tham sè) a) Tìm toạ độ các giao điểm A;B;C theo thứ tự của (d1) với (d2) ; (d1)với trục hòanh và (d2) víi trôc hoµnh b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3)cắt cả 2 đờng thẳng (d1); (d2) c) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho (d3)c¾t c¶ 2 tia AB vµ AC Bài 4; Cho Δ ABC đều nội tiếp trong đờng tròn (O), D là điểm nằm trên cung BC không chứa ®iÓm A.Trªn tia AD lÊy ®iÓm E sao cho AE=DC a) Chøng minh Δ ABE = Δ CBD b) Xác định vị trí D sao cho tổng DA+DB+DC lớn nhất Bµi 5: T×m x; y d¬ng tho¶ m·n. ¿ x+ y =1 1 8(x 4 + y 4 )+ =5 xy ¿{ ¿. §Ò thi tuyÓn sinh vµo 10 Chuyªn to¸n Thêi gian lam bµi 150’ N¨m häc 2003-2004. M«m to¸n. 1 x +1 : √ x + x −√ x √ x+ x √ x 2 n+1 ¿ ¿ 2 2) Chøng minh r»ng (0,75®) n +¿ 1 ¿ 1 1 1 1 + +. . .. .+ < Ap dông chøng tá r»ng: 2 2 5 13 2006 +2007 2. Bµi 1: 1) Rót gän biÓu thøc P=. 2. (0,5®).

(39) ¿ x √ y − 1+ y √ x − 1=xy Bµi 2: 1)Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ( x − 1) √ y+( y −1) √ x=√ 2 y ¿{ ¿ 2 2 2) Cho xy=1 vµ x>y Chøng minh r»ng x + y ≥ 2 √2 x− y. (1®) (0,75®). Bài 3: 1) Tìm m để phơng trình (m+1) x2 -3mx+4m =0 có nghiệm dơng (1đ) 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh x2+3x +1=(x+3) √ x2 +1 (1®) Bài 4: (4đ) Cho hình vuông ABCD ; M là điểm thay đổi trên cạnh BC ( M không trùng B )và N điểm thay đổi trên cạnh DC ( N không trùng D ) sao cho ∠ MAN= ∠ MAB+ ∠ NAD 1) BD c¾t AN vµ AM t¬ng øng t¹i P vµ Q . Chøng minh r»ng 5 ®iÓm P,Q,M,C,n cïng nằm trên một đờng tròn 2) Chứng minh rằng MN luôntiếp xúc với một đờng tròn cố định khi M và N thay đổi 3)Gäi diÖn tÝch tam gi¸c APQ lµ S1 vµ diÖn tÝch tø gi¸c PQMN lµ S2 c/m r»ng. S1 S2. kh«ng. đổi. khi M và N thay đổi Bài 5: Cho a;b;clà độ dài 3 cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng phơng trình x2 +(a+b+c) x+ ab+bc+ca =0 v« nghiÖm (1®). §Ò thi tuyÓn sinh vµo 10 Trêng PTTH chuyªn lª hång phong N¨m häc 2007-2008. M«m: to¸n (§Ò chung) (Ngµy thi:25-6-2007- Thêi gian lµm bµi :150’) 2 1 1 x − √x x √ x − √x Bµi 1:(2®) Cho biÓu thøc P= √ x ( víi x 0 ; x ≠ 1 + ¿+ + √ x − 1 √ x+1 x + √ x +1 √ x − 1 a)Rót gän P b)Tìm các số nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên Bài 2:(2đ) Trong 1 hệ trục toạ độ Oxy cho parabol y=x2 (P) và đờng thẳng y=2(m-1)x+m+1 (d) a)Khi m=3 .Tìm hoành độ giao điểm của (d) và (P) b)Chứng minh rằng đờng thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi m c)Giả sử đờng thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) . T×m m sao cho tho¶ m·n x1y2 + x2y1=1 Bài 3:(3đ) Cho nửa đờng tròn (O;R) ,đờng kính AB=2R, gọi C là điểm chính giữa của cung AB, M thuéc cung AC (M A vµ C ).KÎ tiÕp tuyÕn (d) cña (O;R) t¹i M ; Gäi H lµ giao ®iÓm cña BM và OC .Từ H kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng thẳng đó cắt (d) tại E 1)Chứng minh tứ giác OHME nội tiếp đợc một đờng tròn 2)Chøng minh EH =R 3)Kẻ MK OC tại K.Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp Δ OBC luôn đi qua tâm đờng.

(40) trßn néi tiÕp. Δ OMK. Bµi 4: a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (1®). ¿ x+ y+ 2=4 ( x +1)( y+ 1) −3 x+ y+ xy= 4 ¿{ ¿ 8 √ x( x 2 +1) =3(x2-x+1). b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1®) Bài 5:(1đ) Cho 2 số x;y thay đổi thoả mãn x2+y M=y2+(x2+2)2. 1.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. §Ò thi tuyÓn sinh vµo 10 Trêng PTTH chuyªn lª hång phong N¨m häc 2007-2008. M«m: to¸n (§Ò chuyªn) (Ngµy thi:26-6-2007- Thêi gian lµm bµi :150’). C©u 1: (2,5®) 1)Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã : √ n+1− √ n>. 1 2 √ n+1. 1 1 1 1 1 + + + + <2 √ 6 −2 √2 √3 √ 4 √5 √6 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 √ x2 − 4 x+5+ 1 x 2 − x+5=− 4 x 2+ 16 x −12 4 Câu 2: (2,0đ) Cho đờng tròn (I;r) nội tiếp Δ ABC, với A’;B’;C’ theo thứ tự là các tiếp điểm trên. Tõ kÕt qu¶ trªn h·y chøng minh :. √. c¸c c¹nh BC;AC;AB 1)KÝ hiÖu gãc ACB lµ C , chøng minh 2r=(BC+CA-AB)=tg C 2 2)Giả sử điểm M di động trên cung nhỏ B’C’ của đờng tròn (I;r) sao cho M khác B’và C’ Tiếp tuyến tại tiếp điểm M của đờng tròn (I;r) cắt AB’ và AC’ thứ tự tại E và F.Đờng thẳng B’C’ cắt IE và IF theo thứ tự tại P và Q.Chứng minh rằng tỉ số PQ có giá trị không đổi EF Câu 3: (1,5đ) Cho đờng tròn (O;R) và 2 điểm phân biệt A;B cố định nằm trên đờng tròn (O;R) sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O .Gọi d và d’ theo thứ tự là tiếp tuyến của (O;R) tại các tiếp điểm A và B.Điểm M thay đổi trên cung nhỏ AB của (O;R) sao cho M A và B. Kẻ MH d ; Kẻ MK d’.Hãy tìm vị trí của M để 1 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất MH Mk Câu 4: (2,0đ) Cho phơng trình a x2 +bx +c =0 (1) trong đó a;b;c là các hệ số ; ac 0 1) Khi a=1 , hãy tìm b và c là các số nguyên để phơng trình (1) nhận x=2-2 √ 3 là nghiệm 2)Giả sử phơng trình (1) nhận x=k là một nghiệm .Chứng minh rằng tồn tại số thực d để ph¬ng tr×nh a3x2 +dx+c3 =0 nhËn x=k3 lµ nghiÖm C©u 5: (2,0®).

(41) 1) Cho c¸c sè d¬ng a;b tho¶ m·n. √ a+√ b ≥ 2 . Chøng minh r»ng : √ a3 + √ b3 ≥ a+b. 2)T×m tÊt c¶ c¸c bé sè thùc x;y;z tho¶ m·n hÖ sau. ¿ x 2( y+ 1)= y y 2 (z +1)=z z2 (x +1)=x ¿ {{ ¿. Mét sè §Ò LuyÖn thi tuyÓn sinh vµo 10 §Ò 1( Thêi gian lµm bµi:120’). Bµi 1: (3,5®) 1) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P= √ 4+ 2 √ 3 − √ 12+6 √ 3 1 1 x3 − x 2)Cho biÓu thøc C= + +√ √ x − 1− √ x √ x −1+ √ x √ x − 1 a) Rót gän C b)Tìm x để C>0 53 c) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc C khi x= 9− 2 √7 Bµi 2;(1,5®). Cho hÖ ph¬ng tr×nh. ¿ mx −2 y=m 2 x − y =−m− 1 ¿{ ¿. ( Víi x>1. ). c) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m =-2 d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x-y=1 Bµi 3; :(1,5®)Cho ph¬ng tr×nh x2 – (m -1)x – m 2+m - 2=0 c) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu d) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện x12+x22 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 4: (3,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A (AB>AC) đờng cao AH .Trên nửa mặt phẳng có bờ là BC chứa đỉnh A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E và vẽ nửa đờng tròn đờng kính CH c¾t AC t¹i F a)Chøng minh tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc c) Chứng minh FE là tiếp tuyến chung của 2 nửa đờng tròn.

(42) Bµi 1:(2®). §Ò LuyÖn thi tuyÓn sinh vµo 10 §Ò 2 ( Thêi gian lµm bµi:120’) 2 Cho biÓu thøc M = x + √ x − 2 x + √ x +1 x − √ x+ 1 √x. a, Rót gän M b,Tìm x đẻ M=2 d,Tìm x đẻ M có giá trị nhỏ nhất. 2 Bµi 2: ( 2,5®) Cho Parabol (P): y= − x. 4. vµ ®iÓm M (1;-2). a) Viết phơng trình đờng thẳng (D) có hệ số góc m , tiếp xúc Parabol (P) và đi qua M b) Chứng tỏ đờng thẳng (D) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B khi m thay đổi c) Giả sử x1;x2 lần lợt là hoành độ của A và B . Xác định m sao cho E=x12.x2 +x1.x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó Bµi 3: (1®) Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x2 −2 x+1=√ 6+4 √ 2 − √6 − 4 √ 2 Bài 4: (3,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm D ,vẽ đờng tròn (O) đờng kính CD , đờng tròn đờng kính BC cắt (O)tại E , AE cắt (O) tại F a) c/m tứ giác ABCE nội tiếp đợc trong một đờng tròn b) c/m ∠ ACB = ∠ ACF c) Lấy điểm M đối xứng với D qua A, điểm N đối xứng với D qua dờng thẳng BC. c/m tứ giác BMCN nội tiếp đợc trong một đờng tròn d) Xác định vị trí của D để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kình nhỏ nhất.. §Ò LuyÖn thi tuyÓn sinh vµo 10 §Ò 3 ( Thêi gian lµm bµi:120’).

(43) Bµi 1:(2,5®) 1) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 2) Cho biÓu thøc. 1 1 − −1 √3 −2 √ 2 √ 3+2 √2 3 3 +1 − √1 − x ) : B=( √ 1+ x √1 − x 2. A=. (. ). víi -1<x<1. a, Rót gän B b,TÝnh gi¸ tri cña B khi x= 4 √ 2− 5 Bài 2: ( 2đ) Cho Parabol (P): y= x2 và đờng thẳng (d) : y= 2m x+m2 +1 a) Chứng tỏ đờng thẳng (D) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B khi m thay đổi b) Giả sử x1;x2 lần lợt là hoành độ của A và B . Xác định m sao cho. x1 x2 5 + =− x2 x1 2. Bµi 3: (1®) Gi¶i ph¬ng tr×nh √ 1− x +√ 4 + x=3 Bµi 4 :(1,5®)Cho ph¬ng tr×nh (m-1)x2 – 2(m +1)x +m =0 (1) a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m b) Khi ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1;x2 . b1 ) Tìm m để |x 1 − x 2| 2 b2) T×m mét hÖ thøc liªn quan gi÷a x1 vµ x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 4 :(3,®) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O) ; ®iÓm E,D lµ giao ®iÓm cña tia ph©n gi¸c trong vµ ngoµi gãc B vµ C ; ED c¸t BC ë I c¾t cung nhá BC ë M .C/m a)3 ®iÓm A ,E,D th¼ng hµng b) Tø gi¸c BECD néi tiÕp c) C¸c tam gi¸c BEM , MBD c©n t¹i M vµ M lµ trung ®iÓm cña ED. §Ò LuyÖn thi tuyÓn sinh vµo 10 §Ò 4 ( Thêi gian lµm bµi:120’) Bµi 1: (3®). 1)TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc M=. (15√6 +1 + √ 64−2 − 123− √6 )( √6+ 11). 2) Cho biÓu thøc A= 15 √ x −11 + 3 √ x −2 − 2 √ x +3 x +2 √ x −3 1− √ x 3+ √ x. a, Rót gän A b, Tìm gía trị của x để A=0,5 c, Tìm x để A nhận giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó Bµi 2: (2,5®) Cho Parabol (P): y=x2 a)Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) lần lợt có hoành độ là -1 và 2.C/m Δ OAB vuông tại A b)Viết phơng trình đờng thẳng (d1) // AB và tiếp xúc với (P) c)Cho đờng thẳng (d2) : y=mx+1 (với m là tham số ).

(44) +C/m rằng đờng thẳng (d2) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m +Tìm m sao cho đờng thẳng (d2)cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là x1 và 1. 1. x2 tho¶ m·n x + x =11 1 2 Bài 3(1,5đ); 2 đội công nhân làm chung 1 công việc d định xong trong 12 ngày .họ làm chung với nhau 8 ngày thì đội 1 nghỉ đội 2 làm tiếp với năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã hoàn thành phần việc còn lại trong 3 ngày rỡi .Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải làm trong bao lâu thì xong c«ng viÖc trªn? Bài4:(3đ) Cho tam giác ABC nhọn , góc A =450 các đờng cao BD,CE cắt nhau tại H . C/m a) Tø gi¸c ADHE;BEDC néi tiÕp b) HD=DC c) TÝnh tØ sè DE BC d) Gäi O lµ t©m ®/tr ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC .C/M r»ng OA DE 2. 2. A. c) BEDC néi tiÕp =>DEC=DBC Mµ AEH=AED+ DEC =900 => AED=DCB (1) DCB + DBC =900 Mµ A chung => Δ AED= Δ ACB (gg) => ED = AE BC. H. AC. Mµ AE=AC. Sin 45 =>AC=AE: √2 =AE. 0. 2. AE. ED AE = = AE . 2 BC AC √2. =. √2 2. 2 √2. D. E B. C.

(45)

tai lieu on vao lop 10

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về