tiep tuyen

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỰ TƯƠNG GIAO 1. Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C 1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm). Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị. 3 2 2. Đồ thị hàm số bậc ba y ax  bx  cx  d (a 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt 3 2  Phöông trình ax  bx  cx  d 0 coù 3 nghieäm phaân bieät. 3 2 y .y  0  Hàm số y ax  bx  cx  d có cực đại, cực tiểu và CĐ CT .. x 3 x  1 có đồ thị là (C). VD1: Cho hàm sô a) Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = 2x + m luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N. b) Xác định m để độ dài MN nhỏ nhất. 3 2 VD2: Cho hàm sô y x  6x  9x  6 (C). Định m để đường thẳng (d): y mx  2m  4 cắt đồ thị (C) tại ba y. điểm phân biệt. VD3: Cho hàm sô. 1 2 y  x 3  mx 2  x  m  (Cm ) 3 3 . Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành. 2 2 2 độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x1  x 2  x 3  15 3 2 VD4: Cho hàm sô y x  3x  9x  m (C m ) . Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm sô đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với các hoành độ lập thành cấp sô cộng. 3 2 2 VD5: Cho hàm sô y x  3mx  2m(m  4)x  9m  m (C m ) . Tìm m để đồ thị (C ) của hàm sô cắt trục hoành. m. tại 3 điểm cách đều nhau. 4 2 VD6: Cho hàm sô y  x  2(m  2)x  2m  3. (C m ). . Định m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại bôn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp sô cộng. 3 2 VD7: Cho hàm sô y  x  mx  m (Cm ) . Định m để đồ thị (C ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. m. m− x có đồ thị là ( H m ) , với m là tham sô thực. x +2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sô đã cho khi m=1 . 2. Tìm m để đường thẳng d :2 x +2 y − 1=0 cắt ( H m ) tại hai điểm cùng với gôc tọa độ tạo thành một 3 tam giác có diện tích là S= . 8 2x VD9: Cho hàm sô y = x  2 (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô (C). 2. Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. x 1 y x 1 . VD10: Cho haøm soá VD8: Cho hàm sô. y=. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.. 2) Tìm a và b để đường thẳng (d): y ax  b cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng (  ): x  2 y  3 0 . x 1 y x  1 ( 1 ) có đồ thị (C ) . VD11: Cho hµm sè 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( 1)..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. Chứng minh rằng đờng thẳng (d ) : y 2 x  m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất. 2 x +1 VD13: Cho hàm sô y = (1) x −1 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sô (1) 2/ Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm sô (1) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại O. ( O là gôc tọa độ) 2x  4 y 1 x . VD14: Cho hàm sô.  C  của hàm sô trên. 1) Khảo sát và vẽ đồ thị 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ sô góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và MN 3 10 . 2x  2 y x  1 (C) VD15: Cho hàm sô 1. Khảo sát hàm sô. 2. Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5 . 3 2 VD 16: Cho hàm sô y  x  2mx  3(m  1) x  2 (1), m là tham sô thực 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi m 0 .  : y  x  2 tại 3 điểm phân biệt A(0; 2) ; B; C sao cho tam 2. Tìm m để đồ thị hàm sô cắt đường thẳng giác MBC có diện tích 2 2 , với M (3;1).. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1. Tìm m để đồ thị các hàm số: 3 2 a) y x  3 x  mx  2 m; y  x  2 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. 3 2 b) y mx  3mx  (1  2m) x  1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 3 2 2 2 c) y  x  2 x  m x  3m; y 2 x  1 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. Bài 2. Tìm m để đồ thị các hàm số: 4 2 a) y  x  2 x  1; y m caét nhau taïi boán ñieåm phaân bieät. 4 2 3 b) y  x  m(m  1) x  m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. 4 2 2 c) y x  (2m  3) x  m  3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Bài 3. Tìm m để đồ thị của các hàm số: 3x 1 y ; y  x  2m x 4 a) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn nhất.. b). y. 4x  1 ; y  x  m 2 x cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn nhất.. x2  2x  4 ; y mx  2  2m x 2 c) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính AB theo m. Bài 4. Tìm m để đồ thị của các hàm số: y. 3 2 a) y  x  3mx  6mx  8 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng. 3 2 b) y  x  3 x  9 x  1; y 4 x  m cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn AC. 4 2 2 c) y  x  (2m  4) x  m cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3 2 d) y  x  (m  1) x  (m  1) x  2m  1 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhaân.. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến với M x ; f ( x0 )  đồ thị (C) của hàm số tại điểm 0  0 . M x ; f ( x0 )  Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 0  0 laø:. y – y0 = f. (x0).(x – x0). (y0 = f(x0)) 2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghieäm:  f ( x ) g( x )   f '( x ) g '( x ) (*) Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) M x ;y Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm 0  0 0  :  Neáu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). Neáu cho y0 thì tìm x0 laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = y0.  Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0).  Phöông trình tieáp tuyeán  laø: y – y0 = f (x0).(x – x0) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.  Goïi M(x0; y0) laø tieáp ñieåm. Tính f (x0).   coù heä soá goùc k  f (x0) = k (1)  Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của . Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc.  Phương trình đường thẳng  có dạng: y = kx + m.  f ( x ) kx  m    tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  f '( x ) k.  Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của . Chuù yù: +  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì k = tan +  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a. +  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k =. . 1 a. k a tan  1  ka +  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc  thì. Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua điểm Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.. A( x A ; y A ). .. (*).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y0 = f (x0).  Phöông trình tieáp tuyeán  taïi M: y – y0 = f (x0).(x – x0) A( x A ; y A )   ñi qua neân: yA – y0 = f (x0).(xA – x0)  Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của . Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc. A( x A ; y A )  Phương trình đường thẳng  đi qua vaø coù heä soá goùc k: y – yA = k(x – xA)  f ( x ) k ( x  x A )  y A    tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  f '( x ) k (*). (2).  Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến . VD1 : Cho hs y=x 3 +3 x2 +1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến: a) tại M(-1 ;3) b) tại M có hoành độ là 2 c) tại M có tung độ là 1 d) tại giao điểm (C) với trục tung. e) Có hệ sô góc là 9 f) Song song với đường thẳng (d): 27 x − 3 y +5=0 1 g) Vuông góc với đường thẳng (d) : y=− x+ 2011 9. 1 m 2 1 y  x3  x  3 2 3 . Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng – 1. Tìm m VD2 : Gọi (Cm) là đồ thị của hàm sô để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0. 3 2 VD3: Cho hàm sô y x  3x  9x  5 (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ sô. góc nhỏ nhất. 1 2 y  x3  x  3 3 (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với VD4: Cho hàm sô 1 2 y  x  3 3. đường thẳng x 1 y x  1 (C). Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B VD5: Cho hàm sô sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.  19  A ;4 3 2 VD6: Cho hàm sô y 2x  3x  5 (C) . Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm  12  và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm sô.  4 4 1 A ;  y  x 3  2x 2  3x 3 VD7: Cho hàm sô (C). Qua điểm  9 3  có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị (C). Viết phương trình các tiếp tuyến ấy.  3 1 3 A  0;  y  x 4  3x 2  2 2 (C). Tìm phương trình tiếp tuyến đi qua điểm  2  và tiếp xúc với đồ VD8: Cho hàm sô thị (C). x 2 y x  2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-6;5). VD9: Cho hàm sô 4. x 5 −3 x 2+ 2 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm sô. 2. Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M. VD10 : Cho hàm sô y =.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x (C). x−1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm sô. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đôi xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. 2 x −1 y= VD12 : Cho hµm sè x +1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I ( −1 ; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất . x +2 VD13: Cho hµm sè y= (C) x−1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). 2. Cho điểm A(0;a) .Xác định a đẻ từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tơng ứng nằm về hai phÝa trôc ox. 2x  3 y x  2 có đồ thị (C). VD14: Cho hàm sô 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sô (C) 2.Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất . 2 3 5 2 VD15: Cho hàm sô y=− x +(m− 1) x +(3 m− 2) x − có đồ thị (C m), m là tham sô. 3 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sô đã cho khi m=2 . m để trên (C m) có hai điểm phân biệt M 1( x1 ; y 1), M 2 ( x 2 ; y 2) thỏa mãn x 1 . x2 >0 và tiếp 2. Tìm tuyến của (C m) tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x −3 y +1=0. 2x  1 y x 1 VD16:1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng √ 2 . VD11 : Cho hàm sô. y=. x 3 x  1 có đồ thị là (C) VD17: Cho hµm sè 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB VD18: Cho hàm sô y = x3 – 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3. 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô. 2/ Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc nhau. 2 x +3 VD19: 1)khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm sô: y= x −2 2) Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C ) tại hai điểm đó song song với nhau. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: y. 3 2 a) (C): y 3x  x  7x  1 taïi A(0; 1) 3x  4 y 2 x  3 taïi C(1; –7) c) (C):. 4 2 b) (C): y x  2 x  1 taïi B(1; 0). Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:. b) (C):. y. 3( x  2) x  1 taïi ñieåm B coù yB = 4. 3 e) (C): y  x  3 x  1 taïi ñieåm uoán cuûa (C)..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1 9 y  x4  2 x2  4 4 tại các giao điểm của (C) với trục hoành. f) (C): Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra: 3 2 a) (C): y 2 x  3 x  9 x  4 vaø d: y 7 x  4 . 3 2 2 b) (C): y 2 x  3 x  9 x  4 vaø (P): y  x  8 x  3 . Bài 4. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng S cho trước: 2x  m 1 y x  1 taïi ñieåm A coù xA = 2 a) (C): vaø S = 2 .. b) (C):. y. x  3m 9 x  2 taïi ñieåm B coù xB = –1 vaø S = 2 .. 3 c) (C): y  x  1  m( x  1) taïi ñieåm C coù xC = 0 vaø S = 8. Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  có hệ số góc k được chỉ ra: 2x  1 y 3 2 y  2 x  3 x  5 x  2 ; k = –3 a) (C): ; k = 12 b) (C):. Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  song song với đường thẳng d cho trước:. a) (C):. y. x3  2 x 2  3x  1 3 ; d: y = 3x + 2. b) (C):. y. 2x  1 3 y  x  2 x  2 ; d: 4. 1 3 y  x 4  3x 2  2 2 ; d: y = –4x + 1 c) (C):. Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  vuông góc với đường thẳng d cho trước:. y. x3 x  2 x 2  3x  1 y   2 3 8 ; d:. y. 2x  1 x  2 ; d: y  x. b) (C): a) (C): Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với chiều dương trục Ox góc : x3 y   2 x 2  x  4;  750 3 a) (C):. (C ) : y . 3x  2 ;  450 x 1. c) Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với đường thẳng d một góc : x3 4x  3  2 x 2  x  4; d : y 3x  7;  450 (C ) : y  ; d : y 3 x;  450 3 x  1 a) (C): c) Bài 10. Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho trước: y. 2 x 2  mx  1 x 3 (C): ; taïi ñieåm B coù xB = 4 vaø d: x – 12y + 1 = 0 . Bài 11. Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước: y. (3m  1) x  m 2  m (m 0) x m (C): taïi ñieåm A coù yA = 0 vaø d: y  x  10 . Bài 12. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  đi qua điểm được chỉ ra: y. 3 a) (C): y  x  3 x  2 ; A(2; –4)  3 1 3 D  0;  y  x 4  3x 2  2 2;  2 d) (C):. 2.  2  ; C(0; 4) c) (C): y  2  x x 2 y x  2 ; E(–6; 5) e) (C):.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) Caùch 1:  Goïi M(x0; y0) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) cuûa hoï (Cm). M(x0; y0)  (Cm), m  y0 = f(x0, m), m  Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:. (1). 2  Daïng 2: (1)  Am  Bm  C 0 , m  A 0   A 0  B 0     B 0 (2a)  C 0 (2b)  Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định. Chuù yù: Caùc heä (2a), (2b) laø caùc heä phöông trình coù 2 aån x0, y0. Caùch 2:  Goïi M(x0; y0) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) cuûa hoï (Cm). M(x0; y0)  (Cm), m  y0 = f(x0, m), m (1)  Đặt F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 không đổi.  F (m) = 0 (3)  Giải (3) tìm được x0. Thay x0 vào (1) tìm được y0. Từ đósuy ra được các điểm cố định..  Daïng 1: (1)  Am + B = 0, m. Bài 1. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị (C m) có phương trình sau:. a) c). y (m  1) x  2m  1. 2 b) y mx  2(m  2) x  3m  1. y (m  1)x 3  2mx 2  (m  2) x  2m  1 y. (m  1) x  2 (m  1, m  2) x m. 4 2 h) y  x  mx  m  5. y. x  3m  1 (m  2) x  4m. k) Bài 2. Chứng minh rằng họ đồ thị (Cm) có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó: i). a) b). y (m  3) x 3  3(m  3) x 2  (6m  1) x  m  1 y (m  2) x 3  3(m  2) x 2  4 x  2m  1 VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  Gọi M(x0; y0) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua. M(x0; y0)  (Cm), m  y0 = f(x0, m) voâ nghieäm m (1)  Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:  A 0   Daïng 1: (1)  Am + B = 0 voâ nghieäm m   B 0 (2a)   A B 0  C 0    A 0   B 2  4 AC  0 2  Daïng 2: (1)  Am  Bm  C 0 voâ nghieäm m   . (2b). Chú ý:  Kết quả là một tập hợp điểm.  Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị không đi qua. Bài 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ (C m) đi qua:. a). y (m  2) x  m 2  2m. 2 3 2 d) y  x  m x  m  2. 3 2 3 2 e) y 2 x  3mx  m  5m  4 Bài 2. Tìm các điểm thuộc (L) mà không có đồ thị nào của họ (C m) đi qua: 3 2 2 2 a) (Cm): y mx  m x  4mx  4m  6 ; (L) là trục hoành. 3 2 2 b) (Cm): y 2 x  3(m  3) x  18mx  6 ; (L): y x  14 .. VẤN ĐỀ 4: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên P( x ) y Q( x ) có toạ độ là những số nguyên: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ P( x ) a y  A( x )  Q( x ) thaønh daïng Q( x ) , với A(x) là đa thức, a là số nguyên.  Phaân tích x     Khi đó  y    Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước số của a. y.  Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.. Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên: x 2 x  10 y y x 1 x 2 a) b) e). y. 2. x  2x x 1. f). y x  1 . c). y. x 2 x 2. 4 x 1. VẤN ĐỀ 5: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d  d là trung trực của đoạn AB  Phương trình đường thẳng  vuông góc với d: y = ax = b có dạng: 1 y  x  m a :  Phương trình hoành độ giao điểm của  và (C):.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1 x m f(x) = a (1)  Tìm điều kiện của m để  cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1).  Tìm toạ độ trung điểm I của AB.  Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm được m  xA, xB  yA, yB  A, B. (d) (C)  x A  xB  y  yB B Chuù yù:  A, B đối xứng nhau qua trục hoành   A A I  x A  xB  y  yB  A, B đối xứng nhau qua trục tung   A  x A xB  y  y 2b  A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b   A B  x A  x B 2a  y  yB  A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a   A Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: x 4 (C ) : y  ; d : x  2 y  6 0 3 d : x  2 y 0 x 2 a) (C ) : y x  x; b) . (). VẤN ĐỀ 6: Đối xứng tâm-trục. 1. Đôi xứng tâm ( đôi xứng điểm) y=f(x) ---(C) nếu ta dời trục Oxy -> IXY theo. ¿ x =X + x 0 y=Y + y 0 được Y=f(X) là hs lẻ => I (x 0 ; y 0 ) là tâm đôi xứng ¿{ ¿. của (C). 2. Đôi xứng trục tương tự như trên => Y=f(X) là hàm chẳn => (C) nhận y=... làm trục đôi xứng. VD: CM hs y=x 3 +3 x2 −1 nhận I(-1;1) làm tâm đôi xứng. Giải: ¿ x=X −1 Dời trục tọa độ Oxy thanh IXY. Ta có: y =Y +1 ¿{ ¿ 2 3 2 X −1 ¿ − 1 ⇔ Y = X − 3 X + 3 X − 1+ 3( X 2 −2 X +1)− 2 X −1 ¿3 +3 ¿ => Y +1=¿ 3 ⇔ Y =X −3 X=f ( X) f (− X )=− X 3 +3 X =− f ( X ) hs lẻ => đồ thị của hàm sô trên nhận I(-1;1) làm tâm đôi xứng. VẤN ĐỀ 7: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I  I là trung điểm của AB.  Phương trình đường thẳng d qua I(a; b), coù heä soá goùc k coù daïng: y k ( x  a)  b ..  Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: f(x) = k ( x  a)  b (1). I. A. B.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1).  Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là trung điểm của AB, ta tìm được k  xA, xB.  x A  xB  y  yB Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O   A Bài 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm I: 3. 2. 3. 2. a) (C ) : y x  4 x  x  2; c) (C ) : y x  3 x  2 x  1;. I (2; 4) I O(0; 0). b) d). (C ) : y . (C ) : y . x2  x  2 ; x 1. x 4 ; x 1.  5 I  0;   2. I O(0; 0). 2 x 2  5x  1 3x  4 (C ) : y  ; I   2;  5 (C ) : y  ; I (1;1) x 1 2x  1 e) e) Bài 2. Cho đồ thị (C) và điểm I. Viết phương trình đồ thị (C) đối xứng với (C) qua điểm I: 3 2 a) (C ) : y 2 x  3x  5 x  1;. x2  x 1 (C ) : y  ; x 1 c). I (2;1). I (1;2). b). (C ) : y . ( x  1)2 ; x 2. I (1;1). x3  2 x2  5x  1 (C ) : y  ; 2x  3 d). I (2;1).

<span class='text_page_counter'>(11)</span>