- Toán học 10 - Hồ Sỹ Chi - Website của Trường THPT Đạ Tông - Lâm Đồng

Hãy cho biết bóng
của biển báo trên
in trên mặt đất là
hình gì?

Hình elip


Nghiêng cốc
nước trong một ly
hình trụ thì mặt
thống của nước
giới
hạn
bởi
đường gì?

Đường elip


J. Kepler
(người Đức)

“Mỗi hành tinh trong hệ Mặt Trời đều
chuyển động theo quỹ đạo là một đường
elip mà tâm Mặt Trời là một tiêu điểm”.

1. Định nghĩa đường elip:
a. Cách vẽ elip
b. Định nghĩa:

M

Cho 2 điểm cố định F1 và F2
F1

Với F1F2 = 2c (c > 0)
M  (E)  MF1 + MF2 = 2a

(a > c)

. F1, F2: tiêu điểm
. 2c : tiêu cự
. MF1 , MF2: bán kính qua tiêu điểm

F2


2. PT chính tắc của elip

M  (E)  MF1 + MF2 = 2a
y

Chọn hệ trục toạ độ Oxy với gốc
O là trung điểm của F1F2.
Trục Oy là đường trung trực
của F1F2 và F2 nằm trên Ox.

M
-c
F1

F1(-c; 0) , F2(c; 0) , M(x; y)  (E)

x2 y2
M  (E)  2  2 1 (1) (b 2 a 2  c 2 , a  b)
a
b
PT (1) gọi là pt chính tắc của elip.

O

c
F2

x


Trong các phương trình sau đây,phương trình nào là
phương trình chính tắc của Elip ?
y2 x2
A/

1
16 25

C/

x2 y2

1
4
9

2

B/

2

x
y
 2 1
2
5
3

D/ 4x2 + 16y2 = 64


3. Hình dạng của Elip
y

a. Trục đối xứng: Ox, Oy
b. Pt cạnh hcn cơ sở:
x= a, y= b
c. 4 đỉnh: A   a;0  , A

A1

-c
F1

M
c
F2

O

A2

FF
1 2 2c

 a;0  ,
B1  0;  b  ,B2  0;b 
1

B2

2

B1

.Độ dài trục lớn:A1A 2 2a , độ dài trục bé: B1B2 2b
.Tâm sai : e =

c
a

x


Ví dụ1:

Cho Elip (E) : 4x2 + 9y2 – 36 = 0
1/ Tìm toạ độ tiêu điểm, các đỉnh, tính độ dài trục,
tiêu cự , tâm sai của elip
2/ Tìm toạ độ điểm M trên elip biết: 2MF1 = MF2
Giải
x2 y2


1
1/ (E) : 4x2 + 9y2 – 36 = 0
9
4
Ta có: a = 9  a = 3 , b2 = 4
2

c =a –b =5
2

2

2

 c 5



b=2


Tiêu điểm: F1  5;0 ,F2 5;0
. Tiêu cự : 2c 2 5
. 4 đỉnh: A1   3;0  , A 2  3;0  ,B1  0;  2  ,B 2  0;2 
.Độ dài trục lớn:2a=6, độ dài trục bé:2b= 4
c
.Tâm sai : e =
a
cx 
cx

2/ Ta có: 2MF1 = MF2  2  a   a 
a
a



 





2

a
3
 x=
3c
5

Thay vào pt (E) ta tìm được
Vậy có 2 điểm là :

y= 

 3 4 

M1  
;
 ,M2  
5 5



4

5
3

4 
;

5
5

Ví dụ 2:
Lập phương trình chính tắc của elip biết:
a/ Độ dài trục lớn bằng 8 và độ dài trục nhỏ bằng 6
b/ Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6
Giải:
a/
x2
y2
* PTCT (E) : a2  b2 1với a > b > 0
* Ta có 2a = 8  a = 4 , 2b = 6  b = 4
2
y2
* Vậy : PTCT(E): x

1
16
9
2
2
x
y
b/ PTCT(E):

1
25 16


Củng cố, dặn dị:

- Định nghĩa elip
- Phương trình chính tắc
- Các dạng toán thường gạp
- Làm bài tập SGK trang102+103
- Đọc sách giáo khoa phần liên hệ giữa
đường tròn và Elip
- Bài tập trắc nghiệm


1/ Phương trình chính tắc của (E) có độ dài trục lớn
bằng 8 và một tiêu điểm F( -3;0) là:
2

2

x
y

1
A/
64 9
C/

2

2

x
y


1
16 9

B/
D/

x2 y2

1
16 7
2

2

x
y

1
64 7

x2 y2

1 có tâm sai bằng
2/ Elip (E):
25 9
4
5
4
3
A/

B/
C/ D/
5
3
5
5