KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TOÁN HỌC: Vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự hướng
dẫn, chỉ bảo tận tình của giảng viên Nguyễn Thị Hải, sự giúp đỡ, tạo
điều kiện của các giảng viên khoa Toán - Lý - Tin nói chung và các giảng
viên giảng dạy bộ môn Đại số nói riêng và sự động viên, giúp đỡ, ủng hộ
của các bạn sinh viên K50 ĐHSP Toán Trường Đại học Tây Bắc. Đồng
thời để hoàn thành khóa luận này em cũng đã nhận được sự giúp đỡ, tạo
điều kiện về cơ sở vật chất, thời gian và tài liệu tham khảo của Phòng đào
tạo, các phòng ban, thư viện Trường Đại học Tây Bắc.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo, các bạn
sinh viên và các đơn vị nói trên đã ủng hộ và giúp đỡ em hoàn thành khóa
luận trong thời gian qua.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2013
Người thực hiện:
Đồng Thị Ngọc Mai
1
Mục lục
LỜI CẢM ƠN 1
MỞ ĐẦU 4
1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 7
1.1 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Module tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Module kiểu hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Hạng của một module . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5 Module trên vành chính . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.6 Chuẩn và vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Phần tử nguyên trên một vành . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Phần tử nguyên trên một vành . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Vành đóng nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Iđêan phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Một số vành trong số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Vành Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Vành chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.3 Vành Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.4 Vành Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.5 Vành Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Chuẩn của một iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2
2 VÀNH CÁC PHẦN TỬ NGUYÊN CỦA TRƯỜNG
ĐẠI SỐ BẬC HAI K = Q(
√
d) VỚI d LÀ SỐ
NGUYÊN KHÔNG CÓ NHÂN TỬ BÌNH PHƯƠNG
KHÁC 1 31
2.1 Vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai K =
Q(
√
d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Một số trường hợp vành các phần tử nguyên là vành chính;
vành Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Trường toàn phương K = Q[
√
−19] . . . . . . . . . 36
2.2.2 Trường toàn phương K = Q(
√
5) . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 Trường toàn phương K = Q[
√
13] . . . . . . . . . . 41

KẾT LUẬN 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO 44
3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một bộ môn khoa học có nhiều ứng dụng với các ngành
khoa học cũng như thực tiễn. Toán học giúp cho người học phát triển các
năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho người học óc tư duy trừu
tượng, tư duy chính xác, hợp logic, phương pháp khoa học trong suy luận,
trong học tập. Nhưng nó cũng là một môn học mang tính trừu tượng cao
và khô khan.
Trong quá trình học môn "Đại số đại cương" ở trường Đại học Tây
Bắc, do thời gian có hạn và chưa có các phương pháp tốt để nghiên cứu
môn này nên một số nội dung của nó chưa được các sinh viên nghiên cứu
sâu.
Vành các phần tử nguyên là vành quan trọng trong số học. Chương
trình Đại số đại cương đã trình bày những kiến thức tổng quát và chỉ ra
một số trường hợp vành các phần tử nguyên là vành chính và vành Euclide,
trong đó trình bày ví dụ, tính chất và đã kết luận được nếu A là một vành
Euclide thì A là một vành chính. Chúng ta đã biết điều ngược lại không
đúng qua chứng minh vành Z

1 + i
√
19
2

=

a + b


1 + i
√
19
2

/a, b ∈ Z

không phải là vành Euclide nhưng là một vành chính. Giáo trình Đại số
đại cương mới chỉ dừng lại ở mức khẳng định vành Z

1 + i
√
19
2

là vành
chính mà chưa chứng minh, vì vậy tôi chọn vấn đề "Vành các phần tử
nguyên của trường đại số bậc hai" và chỉ ra một số trường hợp cụ thể về
vành các phần tử nguyên là vành chính và vành Euclide.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của khóa luận này là nghiên cứu vành các phần
tử nguyên của trường đại số bậc hai và chỉ ra một số trường hợp cụ thể
vành các phần tử nguyên là vành chính, vành Euclide.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai
4
K = Q(
√
d) và chỉ ra một số trường hợp cụ thể d = −19; 5; 13 vành các

phần tử nguyên là vành chính, vành Euclide.
- Nghiên cứu vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai một
cách có hệ thống, logic, chứng minh một số định lý một cách chi tiết.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Các định nghĩa, tính chất về vành các phần tử nguyên của trường
toàn phương Q(
√
d) ở đó d là số nguyên không có nhân tử bình phương
khác 1 đưa ra các ví dụ về một số vành các phần tử nguyên với d là một
số cụ thể: -19; 5; 13.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm và tập hợp tài liệu, đọc, nghiên cứu, lựa chọn để thu thập các
thông tin, dữ liệu liên quan sau đó trao đổi, thảo luận với Thầy, Cô giáo
và bạn bè.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục, danh mục tài liệu tham khảo
nội dung của khóa luận có 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Trình bày các kiến thức cơ sở chuẩn bị cho chương 2 đó là các kiến
thức về module, phần tử nguyên trên một vành, iđêan phân, một số vành
trong số học và chuẩn của một iđêan.
Chương 2: Vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai
K = Q(
√
d) với d là một số nguyên không có nhân tử bình phương là một
số nguyên khác 1.
Chương này là nội dung chủ yếu của khóa luận, tập trung giải quyết
vấn đề vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai K = Q(
√
d) ở

đó d là số nguyên không có nhân tử bình phương là một số nguyên khác 1
và khẳng định vành các phần tử nguyên ứng với một số trường hợp cụ thể
là vành chính hay không là vành chính, vành Euclide hay không là vành
Euclide.
5
7. Đóng góp của khóa luận
- Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Toán ở trường
Đại học Tây Bắc, giúp sinh viên có thể hiểu sâu hơn về vành các phần
tử nguyên của trường đại số bậc hai K = Q(
√
d) với d là một số nguyên
không có nhân tử bình phương khác 1.
- Chứng minh được vành các phần tử nguyên K = Q(
√
−19) là
vành chính và vành các các phần tử nguyên của trường toàn phương
K = Q(
√
5); Q(
√
13) vừa là vành Euclide vừa là vành chính mà ở các
giáo trình và tài liệu liên quan chưa chứng minh hoặc chứng minh bằng
tiếng anh.
6
Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Các vành ở đây được giả sử là vành giao hoán có đơn vị, ngoài ra một
vành con của vành có đơn vị chứa đơn vị của vành ấy. Chương này sẽ cung
cấp những kiến thức cơ sở phục vụ cho quá trình nghiên cứu vành các
phần tử nguyên của trường đại số bậc hai K = Q(

√
d) ở đó d là số nguyên
không có nhân tử bình phương là một số nguyên khác 1.
1.1 Module
1.1.1 Định nghĩa
Khái niệm module trên một vành là sự mở rộng của khái niệm không
gian vectơ trên một trường, nói rõ hơn nếu vành đã cho là một trường thì
module trên trường này sẽ là không gian vectơ trên trường đó.
Định nghĩa 1.1. Giả sử E là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu
bằng x, y, z, và A là một vành (vẫn giả sử là vành giao hoán có đơn vị
như đã quy ước ban đầu) mà các phần tử được ký hiệu bằng λ, µ, γ, Giả
sử cho hai phép toán
- Phép cộng:
E × E −→ E
(x, y) −→ x + y
- Phép nhân một phần tử của A với một phần tử của E:
A ×E → E
(λ, x) → λx
thỏa mãn các tính chất sau với mọi x, y ∈ E và mọi λ, µ ∈ A
1) E cùng với phép cộng là một nhóm aben.
7
2) Phép nhân phân phối đối với phép cộng của vành A:
(λ + µ)x = λx + µy
3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng của E:
λ(x + y) = λx + λy
4) Phép nhân kết hợp:
(λµ)x = λ(µx)
5) 1x = x với 1 là đơn vị của vành A
Lúc đó ta nói E cùng với phép cộng trong E và phép nhân với một phần tử
của vành A, thỏa mãn các tính chất 1), 2), 3), 4), 5) là một module trên

vành A, hay A- module, hay module khi A được hiểu ngầm.
Như vậy, ta thấy định nghĩa module là một mở rộng của định nghĩa
không gian vectơ vì trường K được thay bằng vành A; đồng thời lớp các
module chứa lớp các nhóm aben vì mỗi nhóm aben có thể coi như một
module trên vành số nguyên Z.
Cho một module ta cũng có khái niệm module con, module thương,
module tích, ánh xạ tuyến tính hay đồng cấu (module) như trong không
gian vectơ. Cũng vậy, ta cũng có khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộc
tuyến tính, hệ sinh, cơ sở. Nhưng vì thay trường K bằng vành A nên không
phải module nào cũng có cơ sở như trong không gian vectơ. Một module
có cơ sở được gọi là module tự do, đó là một hệ (e
i
)
i∈I
(I có thể hữu hạn hay
vô hạn) những phần tử của module, sao cho mọi phần tử x của module
được viết duy nhất dưới dạng:
x =

i∈I
λ
i
e
i
λ
i
∈ A và λ
i
= 0 tất cả trừ một số hữu hạn.
1.1.2 Module tự do

Cho một vành A và một tập hợp I. Ta ký hiệu bằng A
I
module tích:
A
I
= {(a
i
)
i∈I
|a
i
∈ A}
8
với cấu trúc A - module xác định bởi các thành phần:
(a
i
) + (b
i
) = (a
i
+ b
i
) λ(a
i
) = (λa
i
) a
i
, b
i

, λ ∈ A
Ta ký hiệu bằng A
(I)
module con sau đây của A
I
:
A
(I)
= {(a
i
)
i∈I
|a
i
= 0 tất cả trừ một số hữu hạn}
Trong A
(I)
ta xét phần tử e
j
= (δ
ji
)
i∈I
sao cho δ
ji
= 1 và δ
ji
= 0
với i = j. Mọi phần tử (a
j

)
j∈I
của A
(I)
được viết một cách duy nhất dưới
dạng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn các e
j
(do a
j
= 0 tất cả trừ một số
hữu hạn):
(a
j
)
i∈I
=

j∈I
a
j
e
j
Người ta bảo (e
j
)
j∈I
là cơ sở chính tắc của A
(I)
và A
(I)

là một module
tự do vì có cơ sở. Khi I hữu hạn thì A
I
= A
(I)
= A là A - module tự do
với cơ sở chính tắc là {1}, phần tử đơn vị là vành A.
Giả sử M là một A - module, và (x
i
)
i∈I
là một họ phần tử của M. Cũng
như trong không gian vectơ, ánh xạ e
i
→ x
i
với i ∈ I, mở rộng một cách
duy nhất thành một ánh xạ tuyến tính từ module tự do A
(I)
vào module M
f : A
(I)
→ M
(a
i
)
i∈I
=

i∈I

a
i
e
i
→

i∈I
a
i
x
i
và ta cũng có các tương đương sau đây:
(x
i
)
i∈I
độc lập tuyến tính ⇔ f đơn ánh.
(x
i
)
i∈I
là hệ sinh ⇔ f là toàn ánh.
(x
i
)
i∈I
là cơ sở ⇔ f song ánh.
1.1.3 Module kiểu hữu hạn
Định nghĩa 1.2. Một module gọi là kiểu hữu hạn nếu nó có một hệ sinh
hữu hạn.

9
Chúng ta hãy đặc trưng các module có các module con kiểu hữu hạn
(như vậy trước hết các module đó phải là kiểu hữu hạn) để làm cơ sở cho
việc nghiên cứu vành và module nơte.
Bổ đề 1.1. Giả sử E là một tập hợp sắp thứ tự. Các điều kiện sau là tương
đương:
a) Mọi họ không rỗng những phần tử của E có một phần tử tối đại.
b) Mọi dãy tăng (x
n
)
n≥0
những phần tử của E là dừng (nghĩa là tồn
tại n
0
sao cho x
n
= x
n
0
với mọi n ≥ n
0
).
Định lý 1.1. Giả sử M là một A - module. Các điều kiện sau đây là tương
đương:
a) Mọi họ không rỗng những module con của M có một phần tử tối
đại (đối với quan hệ bao hàm).
b) Mọi dãy tăng (M
n
)
n≥0

(đối với quan hệ bao hàm) những module
con của M là dừng.
c) Mọi module con của M có kiểu hữu hạn.
Hệ quả 1.1. Trong một vành chính A, mọi họ không rỗng những iđêan
của A có một phần tử tối đại.
Thậy vậy, các module con của A - module A là các iđêan của nó.
Các iđêan này có dạng Ax vì A là vành chính, vậy là những module kiểu
hữu hạn. Áp dụng c) ⇒ a) của định lý.
1.1.4 Hạng của một module
Giả sử A là một miền nguyên và K là trường các thương của nó. Xét
A- module tự do A
(I)
và K - không gian vectơ K
(I)
, với I là một tập hợp
nào đó. Hiển nhiên ta cũng có thể coi K
(I)
như một A - module và lúc
đó A
(I)
là một A - module con của A - module K
(I)
. Bây giờ ta xét một
module con M của A
(I)
, nó cũng là một module con của A - module K
(I)
.
Gọi E là K - không gian sinh bởi A- module con M trong K
(I)

; các phần
tử E có dạng:
E =

1
a
x|0 = a ∈ A; x ∈ M

10
Thậy vậy E là một không gian con của K
(I)
:
1
a
1
x
1
+
1
a
2
x
2
=
1
a
1
a
2
(a

2
x
1
+ a
1
x
2
) =
1
a
x a = a
1
a
2
∈ A
x = a
2
x
1
+ a
1
x
2
∈ M
b
c
(
1
a
x) =

1
ca
bx =
1
d
y d = ca ∈ A y = bx ∈ M
và hiển nhiên E chứa M. Cuối cùng, mọi không gian con của K
(I)
chứa M
đều chứa E.
Giả sử ta có một module con N của A
(I)
đẳng cấu với M bởi đẳng
cấu f : M → N và giả sử F là K - không gian sinh bởi A- module con
N trong K
(I)
. Thế thì f có thể mở rộng thành đẳng cấu (K- không gian
vectơ) ϕ :
1
a
x → ϕ(
1
a
x) =
1
a
f(x) từ E lên F. Trước hết ϕ là một ánh xạ
vì:
1
a

x =
1
a

x

⇒
1
aa

a

x =
1
aa

ax

⇒ a

x = ax

⇒ f(a

x) = f(ax

) ⇒ a

f(x) = af(x


) ⇒
a

aa

f(x) =
a
aa

f(x

)
⇒
1
a
f(x) =
1
a

f(x

) ⇒ ϕ(
1
a
x) = ϕ(
1
a

x


).
Tương tự ta có thể kiểm tra một cách dễ dàng ϕ là một ánh xạ tuyến
tính và là song ánh. Như vậy, nếu M  N thì E  F và dim E = dim F.
Bây giờ giả sử M là module con của một A - module tự do X và giả
sử (x
i
)
i∈I
là một cơ sở của X. Ta có song ánh x
i
→ e
i
với i ∈ I, từ cơ sở
(x
i
)
i∈I
lên cơ sở chính tắc (e
i
)
i∈I
của A - module tự do A
(I)
cho ta đẳng
cấu f giữa A - module tự do X và A - module tự do A
(I)
. Lúc đó f hạn chế
vào M cho ta M  f(M). Nếu ta đổi cơ sở của X, lấy (x

i

)
i∈I
chẳng hạn,
thì song ánh x

i
→ e
i
cho ta một đẳng cấu f

: X  A
(I)
và M  f

(M).
Như vậy, nếu M là một module con của một module tự do, ta có thể nhúng
M vào module tự do A
(I)
và phép nhúng có thể không duy nhất, nhưng
các ảnh nhúng đều đẳng cấu.
Định nghĩa 1.3. Giả sử M là một module con của một module tự do
11
X  A
(I)
trên một miền nguyên A và K là trường các thương của A.
Nhúng M vào A
(I)
và coi M như một module con của A
(I)
và A

(I)
được
nhúng trong K
(I)
. Chiều của không gian con sinh bởi M gọi là hạng của M.
1.1.5 Module trên vành chính
Định lý 1.2. Mọi module con M của một module tự do X trên một vành
chính A là một A - module tự do.
Hệ quả 1.2. Nếu X là một module tự do có hạng n trên một vành chính
A thì mọi module con M của X là một module tự do có hạng nhỏ hơn hoặc
bằng n.
Định lý 1.3. Giả sử X là một module tự do trên một vành chính A và M
là một module con của X có hạng hữu hạn n. Thế thì có một cơ sở B của
X, n phần tử e
i
của B và n phần tử của α
i
khác 0 thuộc A (1 ≤ i ≤ n)sao
cho:
a) Các α
i
e
i
lập thành một cơ sở của M
b) α
i
chia hết α
i+1
với 1 ≤ i ≤ n −1
Hệ quả 1.3. Giả sử X là một module kiểu hữu hạn trên một vành chính

A. Thế thì X đẳng cấu với tích A/Aα
1
× A/Aα
2
× × A/Aα
n
trong đó
các α
i
thuộc A và α
i
chia hết α
i+1
với 1 ≤ i ≤ n −1
Hệ quả 1.4. Mọi module X trên một vành chính A không xoắn và có kiểu
hữu hạn đều là module tự do.
Hệ quả 1.5. Trên một vành chính A, mọi module X kiểu hữu hạn đẳng
cấu với một tích hữu hạn những module X
i
, trong đó mỗi X
i
bằng A hay
bằng thương A/Ap
s
với p là nguyên tố trong A.
1.1.6 Chuẩn và vết
Đối với không gian vectơ n chiều ta có khái niệm vết, định thức và đa
thức đặc trưng của một tự đồng cấu u. Bây giờ ta mở rộng khái niệm đó
bằng cách xét một tự đồng cấu u của một module tự do M trên một miền
12

nguyên A có hạng n. Nếu {m
i
}1 ≤ i ≤ n là một cơ sở của M và (a
ij
) là
ma trận của u đối với cơ sở đó, thì ta định nghĩa vết, định thức và đa thức
đặc trưng của u như đã làm đối với không gian vectơ, đó là các đại lượng
sau:
T r(u) =
n

i=1
a
ij
det(u) = det(a
ij
) det(XI
M
− U) (1.1)
Trong đó I
M
: M → M là tự đồng cấu đồng nhất.
Các đại lượng trên độc lập đối với cơ sở đã chọn.
Công thức (1.1) cho ta: T r(u + u

) = T r(u) + T r(u

)
det(uu


) = det(u)det(u

)
1.2 Phần tử nguyên trên một vành
1.2.1 Phần tử nguyên trên một vành
Định lý 1.4. Giả sử R là một vành và A là một vành con của R và x là
một phần tử của R. Các tính chất sau là tương đương:
a) Tồn tại a
0
, , a
n−1
∈ A sao cho:
(1) x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ + a
1
x + a
0
= 0
nói một cách khác x là nghiệm của một đa thức đơn vị (đúng ra phải nói
đa thức có hệ tử cao nhất bằng đơn vị) trên A.
b) Vành A[x] là một A - module kiểu hữu hạn.
c) Có một vành con B của R chứa A và x, B là một A- module kiểu
hữu hạn.
Chứng minh.
a) ⇒ b). Trước hết R là một A- module. Gọi M là A - module con

của R sinh bởi 1, x, , x
n−1
. Theo (1) x
n
∈ M. Ta hãy chứng minh bằng
quy nạp theo k rằng mọi x
n+k
∈ M, với mọi k ∈ N. Hiển nhiên điều đó
đúng với k = 0. Giả sử x
n+k−1
∈ M, nghĩa là ta có
13
x
n+k−1
= b
n−1
x
n−1
+ + b
1
x + b
0
b
i
∈ A
Nhân hai vế của đẳng thức với x
x
n+k
= b
n−1

x
n
+ + b
1
x
2
+ b
0
x
và chú ý x
n
∈ M, ta được x
n+k
∈ M. Bây giờ lấy một đa thức tùy ý
f(x) ∈ A[x] mà f(x) = c
m
x
m
+ c
m−1
x
m−1
+ + c
1
x + c
0
với các c
i
∈ A;
theo như ta vừa chứng minh các x

m
, x
m−1
, của f(x) đều thuộc M, vậy
f(x) ∈ M và điều đó nghĩa là A[x] là A - module M sinh bởi 1, x, , x
n−1
.
Vậy A[x] có kiểu hữu hạn.
b) ⇒ c) Hiển nhiên.
c) ⇒ a). Giả sử (y
1
, , y
n
) là một hệ sinh hữu hạn của A - module
B, như vậy ta có B = Ay
1
+ + Ay
n
. Vì x ∈ B; y
i
∈ B và B là một
vành con của R nên xy
i
∈ B với i = 1, 2, , n do đó tồn tại những phần
tử a
ij
∈ A; i = 1, 2, , n; j = 1, 2, n sao cho:
xy
1
= a

11
y
1
+ a
12
y
2
+ + a
1n
y
n
xy
2
= a
21
y
1
+ a
12
y
2
+ + a
2n
y
n

xy
n
= a
n1

y
1
+ a
n2
y
2
+ + a
nn
y
n
hay
(x −a
11
)y
1
− a
12
y
2
− − a
1n
y
n
= 0
−a
21
y
1
+ (x −a
22

)y
2
− − a
2n
y
n
= 0

−a
n1
y
1
− a
n2
y
2
− − (x −a
nn
)y
n
= 0
Ta được một hệ n phương trình tuyến tính thuần nhất đối với (y
1
, y
2
, y
n
).
Đặt d = det(δ
ij

x − a
ij
) và thực hiện các phép toán thường làm với công
14
thức Cramer, ta được dy
i
= 0 với mọi i. Vì B = Ay
1
+ + Ay
n
ta
suy ra Bd = Ady
1
+ + Ady
n
= 0. Như vậy bd = 0 với mọi b ∈ B;
lấy b = 1, ta được 1.d = d = 0. Mặt khác, nếu ta khai triển định thức
d = det(δ
ij
x − a
ij
) ta được một phương trình có dạng f(x) = 0, trong đó
f(x) là một đa thức bậc n với hệ tử thuộc A, hệ số của x
n
bằng 1 vì ta
được x
n
từ tích (x −a
11
)(x −a

22
) (x −a
nn
) các phần tử trên đường chéo
chính.
Chú ý. Ở chứng minh trên ta đã xét định thức d với các thành phần
là các phần tử của một vành B giao hoán có đơn vị. Nếu chú ý, ta sẽ thấy
ta có thể định nghĩa định thức với các thành phần của nó lấy từ một vành
giao hoán và ta có các tính chất đa tuyến tính, thay phiên như đối với
trường K, tiếp theo ta cũng có thể khai triển định thức theo các thành
phần của một dòng hay một cột, điều mà ta đã làm để đi tới công thức
Cramer cho nghiệm của một hệ n phương trình với n ẩn.
Định nghĩa 1.4. Giả sử R là một vành và A là một vành con của R. Một
phần tử x của R gọi là nguyên trên A nếu nó thỏa mãn ba điều kiện tương
đương a), b), c) của định lý 1.4. Giả sử f(X) ∈ A[X] là một đa thức đơn
vị sao cho f(x) = 0 (điều kiện a), quan hệ f(x) = 0 gọi là phương trình
phụ thuộc nguyên của x trên A.
Ví dụ:
−x =
√
7 ∈ R là nguyên trên Z, phương trình phụ thuộc nguyên của
√
7 trên Z là x
2
−7 = 0 và x = i ∈ C là nguyên trên Z, phương trình phụ
thuộc nguyên của x = i ∈ Z là x
2
+ 1 = 0.
Định lý 1.5. Giả sử A là một vành con của vành R và x
1

, , x
n
là n phần
tử của R. Nếu với mọi i, x
i
nguyên trên A[x
1
, , x
i−1
] chẳng hạn nếu mọi
x
i
đều nguyên trên A thì điều kiện đó được thỏa mãn, thì A[x
1
, , x
n
] là
một A- module kiểu hữu hạn.
Chứng minh.
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Với n = 1 khẳng định là đúng
theo định lý 1.4, b). Giả sử đúng tới n − 1, lúc đó B = A[x
1
, , x
n−1
] là
15
một A - module kiểu hữu hạn, B =
p

j=1

Ab
j
. Theo định lý 1.4, b), B[x
n
] là
một B - module kiểu hữu hạn, B[x
n
] =
q

k=1
Bc
k
và ta suy ra:
A[x
1
, , x
n
] = B[x
n
] =
q

k=1
(
p

j=1
Ab
j

)c
k
=

j,k
Ab
j
c
k
Vậy (b
j
c
k
) với j = 1, p và k = 1, q là một hệ sinh hữu hạn của
A - module A[x
1
, , x
n
]
Hệ quả 1.6. Giả sử A là một vành con của vành R, x và y là những phần
tử của R nguyên trên A. Thế thì x + y, x - y, xy là nguyên trên A.
Chứng minh.
Theo định lý 1.5, A[x, y] là một A - module hữu hạn sinh. Mặt khác
x+y, x−y, xy thuộc A[x, y]. Theo định lý 1.4, c) x+y, x−y và xy nguyên
trên A.
Như vậy nếu lấy A = Z (theo thứ tự Q) và R = C, hệ quả 1.5 cho ta
biết tổng, hiệu, tích của hai số nguyên đại số (theo thứ tự đại số) là một
số nguyên đại số ( theo thứ tự đại số).
Hệ quả 1.7. Giả sử A là vành con của vành R. Tập hợp B các phần tử
của R nguyên trên A là một vành con của B chứa A.

Chứng minh.
Giả sử x, y ∈ B theo hệ quả 1.5; x −y ∈ B và xy ∈ B vậy B là một
vành con của R. Mặt khác mọi a ∈ A là nghiệm của đa thức đơn vị X −a
vậy là nguyên trên A, từ đó B chứa A.
Định nghĩa 1.5. Giả sử A là một vành con của vành R; vành B gồm các
phần tử của R nguyên trên A gọi là cái đóng nguyên của A trong R. Giả sử
A là một miền nguyên và K là trường các thương của A; cái đóng nguyên
của A trong K gọi là cái đóng nguyên của A. Giả sử A là một vành con của
một vành C; ta bảo C là nguyên trên A nếu mọi phần tử của C là nguyên
trên A, nói một cách khác: nếu cái đóng nguyên của A trong C trùng với C.
16
Định lý 1.6. Giả sử A là một vành con của một vành B và B là một
vành con của một vành C. Nếu B nguyên trên A và C nguyên trên B, thì
C nguyên trên A (tính chất bắc cầu).
Chứng minh.
Giả sử x ∈ C. Vì x nguyên trên B nên x thỏa mãn phương trình phụ
thuộc nguyên:
x
n
+ b
n−1
x
n−1
+ + b
1
x + b
0
= 0 b
i
∈ B

Đặt B

= A[b
0
, b
1
, , b
n−1
]; vì mỗi b
i
nguyên trên A, nên theo định lý 1.5,
B

là một A-module kiểu hữu hạn. Mặt khác, từ phương trình phụ thuộc
nguyên của x, ta có x nguyên trên B

.
Theo định lý 1.5, B

= A[b
0
, b
1
, , b
n−1
, x] là một A - module kiểu hữu
hạn. Áp dụng định lý 1.4, c) ta có x nguyên trên A.
Định lý 1.7. Giả sử A là một vành con của miền nguyên B và B là nguyên
trên A. Thế thì B là một trường khi và chỉ khi A là một trường.
Chứng minh.

Giả sử A là một trường và 0 = x ∈ B. Vì B là nguyên trên A thì A[x]
là một không gian hữu hạn chiều trên trường A (định lý 1.4, b)). Xét ánh xạ
ϕ : A[x] → A[x]
y → xy
ϕ là tuyến tính và đơn ánh vì B là miền nguyên. Do A[x] có chiều hữu
hạn nên một đơn cấu là một đẳng cấu, vì vậy tồn tại z ∈ A[x] để
1 = ϕ(z) = xz. Như vậy mọi x = 0 thuộc B đều có nghịch đảo trong
B, ta suy ra miền nguyên B là một trường.
Đảo lại, giả sử B là một trường và 0 = x ∈ A. Xét nghịch đảo
x
−1
∈ B. Vì B nguyên trên A nên x
−1
thỏa mãn phương trình
(x
−1
)
n
+ a
n−1
(x
−1
)
n−1
+ + a
1
x
−1
+ a
0

= 0 a
i
∈ A
17
Nhân hai vế với x
n
1 + a
n−1
x + + a
1
x
n−1
+ a
0
x
n
= 0
hay
1 = x(−a
n−1
− − a
1
x
n−2
− a
0
x
n−1
)
Vậy x có nghịch đảo trong A, nên A là một trường.

1.2.2 Vành đóng nguyên
Định nghĩa 1.6. Một miền nguyên gọi là đóng nguyên nếu cái đóng
nguyên của nó là chính nó.
Định lý 1.8. Mọi vành chính là đóng nguyên.
Chứng minh.
Giả sử A là một vành chính và K là trường các thương của A. Giả
sử x ∈ K và x là nguyên trên A; ta có một phương trình phụ thuộc nguyên:
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ + a
1
x + a
0
= 0 (1.2)
Vì x ∈ K nên ta có thể viết x = a/b với a, b ∈ A và a, b nguyên tố cùng
nhau. Từ đó thay x bằng a/b trong (1.2) và nhân với b
n
a
n
+ b(a
n−1
a
n−1
+ + a
1
ab

n−2
+ a
0
b
n−1
) = 0
Như vậy b chia hết a
n
, nhưng b nguyên tố với a, vậy b chia hết a
n−1
. Tiếp
tục lý luận, ta được b chia hết a; vậy x = a/b ∈ A và A là đóng nguyên.
1.3 Iđêan phân
Định nghĩa 1.7. Cho A là một miền nguyên, K là trường các thương của
A. Ta gọi iđêan phân của A mọi A - module con I của K (K có thể coi
như một A - module) sao cho tồn tại 0 = d ∈ A, thỏa mãn I ⊂ d
−1
A.
18
Định lý 1.9. Mọi A - module con I có kiểu hữu hạn là một iđêan phân.
Ta cũng có định nghĩa tích của hai iđêan phân như đối với hai
iđêan thông thường.
Định nghĩa 1.8. Tích của hai iđêan phân I, J của A ký hiệu là IJ là một
iđêan phân gồm các tổng hữu hạn

a
i
b
i
IJ =



a
i
b
i
|a
i
∈ I, b
i
∈ J

+ Ta có IJ ⊂ I ∩J nhưng không luôn có đẳng thức.
+ Các iđêan phân khác (0) của A lập thành một vị nhóm giao hoán
đối với phép nhân.
Định nghĩa 1.9. Cho A là miền nguyên, K là trường các thương của A.
Iđêan phân I của A gọi là iđêan phân chính nếu tồn tại x ∈ K sao cho
I = xA.
Các mệnh đề
Mệnh đề 1.1. Cho A là miền nguyên, I là iđêan phân của A khi và chỉ
khi tồn tại d ∈ A
∗
= A \{0} và iđêan J của A sao cho I =
1
d
J.
Chứng minh.
⇒ Giả sử I là iđêan phân của A, suy ra tồn tại d ∈ A
∗
sao cho I ⊂ d

−1
A
Đặt J = dI = ∅ suy ra I =
1
d
J. Ta chỉ cần chứng minh:
∀α, β ∈ J ⇒ α − β và aα ∈ J với a ∈ A
Ta có ∀α, β ∈ J; α = dα
1
; β = dβ
1
với α
1
, β
1
∈ I
Khi đó α −β = d(α
1
− β
1
) ∈ dI do α
1
∈ I và β
1
∈ I
∀a ∈ A, ∀α ∈ J : aα = a(dα
1
) = d(aα
1
) ∈ dI do aα

1
∈ I
Vậy J = dI là iđêan của A.
⇐ Rõ ràng dI = J ⊂ A nên I ⊂ d
−1
A. Hơn nữa I là A - module con của
K, trong đó K là trường các thương của A.
∀α, β ∈ I : α −β =
1
d
(dα −dβ) ∈
1
d
J = I
19
∀α ∈ I, ∀a ∈ A : aα =
1
d
daα =
1
d
a(dα) ∈
1
d
J = I
Vậy I là iđêan phân của A.
Mệnh đề 1.2. Cho A là miền nguyên, K là trường các thương của A. Tập
I = ∅ của K được gọi là iđêan phân chính khi và chỉ khi tồn tại a ∈ A và
d ∈ A
∗

sao cho I =
1
d
aA =
1
d
(a).
Hay có thể phát biểu I là iđêan phân chính khi và chỉ khi tồn tại
d ∈ A
∗
, tồn tại J là iđêan phân chính của A sao cho: I =
1
d
J.
1.4 Một số vành trong số học
Trong bài này chúng ta sẽ đề cập tới một số vành đóng vai trò quan
trọng trong số học, đó là các vành: Euclide, vành chính, vành Gauss, vành
Noether và vành Dedekind. Các vành này đã được trình bày trong giáo
trình Đại số của các trường Đại học sư phạm, ở đây ta sẽ nhắc lại.
1.4.1 Vành Euclide
Định nghĩa 1.10. Giả sử A là một miền nguyên và A
∗
= A −{0}. Miền
nguyên A cùng là một ánh xạ (goi là ánh xạ Euclide)
δ : A
∗
→ N
từ A
∗
đến tập hợp các số tự nhiên thỏa mãn các tính chất:

1) Nếu b|a và a = 0 thì δ(b) ≤ δ(a)
2) Với hai phần tử tùy ý a và b của A, b = 0, có q và r thuộc A sao
cho a = bq + r và δ(r) < δ(b) nếu r = 0
Gọi là một vành Eucilde. Phần tử r (theo thứ tự q) gọi là dư (theo thứ tự
thương) trong phép chia a cho b.
Người ta bảo một vành Euclide là một vành có phép chia với dư.
Tính chất 1.1. 1) Nếu a, b ∈ A
∗
và liên kết, thì δ(a) = δ(b). Điều này
suy ra trực tiếp từ tính chất của ánh xạ Euclide.
20
2) Nếu a|b và δ(a) = δ(b), thì a và b liên kết. Thật vậy lấy a chia cho
b ta được a = bq + r. Nếu r = 0 thì δ(r) < δ(b) = δ(a). Mặt khác, vì a|b
nên a chia hết r = a − bq; vậy δ(a) < δ(r), mâu thuẫn với δ(r) < δ(a).
Từ đó r=0, a=bq, nghĩa là b|a. Kết hợp giả thiết a|b, ta được a và b liên
kết.
3) Nếu u là một đơn vị (phần tử khả nghịch trong A) thì δ(u) = δ(1)
và đảo lại. Thật vậy, nếu u là một đơn vị thì u và 1 liên kết, nên δ(u) = δ(1)
(theo 1). Đảo lại, giả sử δ(u) = δ(1); vì 1|u, nên theo 2) ta có u liên kết,
nghĩa là u là một đơn vị.
Ví dụ
1) Các vành số nguyên Z và vành K[X] các đa thức một ẩn trên một
trường K là những vành Euclide quen thuộc nhất với chúng ta.
2) Vành các số nguyên Gauss A = Z[i] = {a + bi|a, b ∈ Z} là một
vành Euclide. A chính là vành các phần tử nguyên của trường toàn phương
Q[
√
−1]
3) Vành A = {a + bi
√

2|a, b ∈ Z} các phần tử nguyên của trường
toàn phương Q[
√
−2] là một vành Euclide.
1.4.2 Vành chính
Định nghĩa 1.11. Một miền nguyên A gọi là vành chính nếu mọi iđêan
của nó là chính.
Định lý 1.10. Nếu A là một vành Euclide thì A là một vành chính.
Chứng minh
Giả sử A là một vành Euclide với ánh xạ
δ : A
∗
→ N
x → δ(x)
Trước hết vì A là vành Euclide nên nó là một miền nguyên. Giả sử
J là một iđêan của A. Nếu J = 0 thì J = (0). Nếu J = 0 thì tồn tại
a ∈ J; a = 0. Đặt
21
J
∗
= J{0}
và a
0
là phần tử thuộc J
∗
sao cho δ(a
0
) ≤ δ(x) ∀x ∈ J
∗
. Ta sẽ chứng tỏ

rằng J = (a
0
). Thật vậy, vì a
0
∈ J nên (a
0
) ⊂ J. Bây giờ giả sử a ∈ J.
Do a
0
= 0 và do A là vành Euclide nên tồn tại q, r ∈ A sao cho
a = a
0
q + r
trong đó r = 0 hoặc δ(r) < δ(a
0
) nếu r = 0. Do a, a
0
q ∈ J nên
r = a −a
0
q ∈ J. Nếu r = 0 thì theo định nghĩa của δ ta có δ(r) < δ(a
0
)
trái với giả thiết về a
0
. Vậy r = 0, do đó a = a
0
q ∈ (a
0
). Điều này chứng

tỏ J = (a
0
) và bởi vậy A là vành chính.
Ví dụ.
Vành
A =

a + b

1 + i
√
19
2

|a, b ∈ Z

các phần tử nguyên của trường toàn phương Q[
√
−19] là một vành chính
nhưng không phải là vành Euclide.
Định lý 1.11. Giả sử A là một vành chính và a, b ∈ A. Thế thì ƯCLN d
và BCNN m của a và b tồn tại; ta có các đẳng thức iđêan
Aa + Ab = Ad Aa ∩ Ab = Am
Định lý 1.12. Giả sử A là một vành chính, thế thì:
1) Mọi phần tử của A khác 0 và khác đơn vị (phần tử khả nghịch) đều
có thể viết thành tích những phần tử bất khả quy.
2) Sự phân tích là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các phần tử bất
khả quy và các nhân tử đơn vị.
22
1.4.3 Vành Gauss

Định nghĩa 1.12. Một miền nguyên A là một vành Gauss nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau:
G1. Mọi phần tử khác 0 và khác đơn vị của A đều có thể viết thành tích
những phần tử bất khả quy.
G2. Sự phân tích là duy nhất nếu không kể đến các phần tử đơn vị và thứ
tự của các phần tử bất khả quy.
Nói rõ ràng hơn, G2 có nghĩa như sau: nếu a = p
1
p
2
p
m
= q
1
q
2
q
n
với p
i
và q
j
bất khả quy, thì m = n và bằng cách đánh số lại các q
j
, ta
được p
i
= u
i
q

i
(u
i
- đơn vị) nghĩa là chúng liên kết và i = 1, , n.
Ví dụ.
Các vành Euclide và vành chính đều là vành Gauss.
Định lý 1.13. Đối với một miền nguyên A thỏa mãn G1, điều kiện G2
tương đương với điều kiện sau:
G3. Nếu p là một phần tử bất khả quy của A và nếu p chia hết một
tích ab thì p chia hết ít nhất một trong các nhân tử a, b.
Định lý 1.14. Vành đa thức A[X] của ẩn X trên một vành Gauss A là
một vành Gauss.
Định nghĩa 1.13. Một đa thức f(X) ∈ A[X], với A là vành Gauss, gọi
là nguyên bản nếu các hệ tử của nó không có ước chung (khác đơn vị).
Ta nhận xét rằng mọi đa thức khác không f(X) ∈ A[X] có thể viết
dưới dạng f(X) = cf
1
(X), trong đó c ∈ A và f
1
(X) nguyên bản cụ thể,
c là ƯCLN của các hệ tử của f(X), được xác định duy nhất sai khác một
nhân tử đơn vị. Người ta ký hiệu c bằng c(f) như vậy f(x) là nguyên bản
khi và chỉ khi c(f) là một đơn vị.
Hệ quả 1.8. Vành các đa thức n ẩn K[X
1
, , X
n
] trên một trường K là
một vành Gauss; hay tổng quát hơn vành A[X
1

, , X
n
] với A là một vành
Gauss, là một vành Gauss.
23
1.4.4 Vành Noether
Định lý 1.15. Giả sử A là một vành và M là một A-module. Các điều
kiện sau đây là tương đương:
a) Mọi họ không rỗng những module con của M có một phần tử tối
đại.
b) Mọi dãy tăng những module con của M là dừng.
c) Mọi nodule con của M có kiểu hữu hạn.
Định nghĩa 1.14. Một A- module M là Noether nếu nó thỏa mãn các điều
kiện tương đương của định lí 1.15. Một vành A gọi là Noether nếu coi như
một A-module, nó là một module Noether.
Ví dụ. Mọi vành chính là Noether.
Định lý 1.16. Giả sử A là một vành, M là một A - module, và M

là một
module con của M. Thế thì
MNoether ⇔ M

và M/M

Noether
Bây giờ ta hãy đưa ra hai định lý liên quan đến iđêan nguyên tố của
một vành A giao hoán có đơn vị, trước khi đề cập tới A là vành Noether,
vì chúng ta sẽ cần tới về sau.
Định lý 1.17. Giả sử A là một vành, P là một iđêan nguyên tố của A và
B là một vành con của A. Thế thì P ∩ B là một iđêan nguyên tố của B.

Định lý 1.18. Nếu một iđêan nguyên tố P của một vành A chứa một tích
I
1
I
2
I
n
những iđêan, thế thì P chứa ít nhất một I
j
.
Định lý 1.19. Trong một vành Noether, mọi iđêan chứa tích một số hữu
hạn những iđêan nguyên tố. Trong một miền nguyên Noether A, mọi iđêan
khác (0) chứa tích một số hữu hạn những iđêan nguyên tố khác (0).
1.4.5 Vành Dedekind
Định nghĩa 1.15. Một miền nguyên A gọi là vành Dedekind nếu nó là
Noether, đóng nguyên và nếu mọi iđêan nguyên tố khác (0) của A là tối đại.
24
Ví dụ. Vành Z là vành Dedekind và tổng quát hơn mọi vành chính
là vành Dedekind.
Hệ quả 1.9. Vành các phần tử nguyên của một trường những số đại số là
vành Dedekind.
Từ hệ quả trên mọi vành chính là vành Gauss, nghĩa là có sự phân
tích thành tích những phần tử bất khả quy và sự phân tích là duy nhất;
trong vành Dedekind sự phân tích không còn duy nhất nữa.
Định lý 1.20. Giả sử A là một vành Dedekind, nhưng không phải là một
trường và K là trường phân thức của nó. Mọi iđêan tối đại M của A là khả
nghịch trong vị nhóm các iđêan phân của A, nghĩa là có một iđêan phân
M

sao cho M


.M = A lúc đó ta ký hiệu M

= M
−1
và gọi là nghịch đảo
của M.
Định lý 1.21. Giả sử A là một vành Dedekind, ℘ là tập hợp các iđêan
nguyên tố khác (0) của A. Thế thì
a) Mọi iđêan phân I khác (0) của A viết một cách duy nhất dưới dạng
I =

P ∈℘
P
n
P (I)
trong đó các n
P (I)
là những số nguyên bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn;
ta quy ước P
0
= A (đơn vị của vị nhóm).
b)Vị nhóm các iđêan phân khác (0) của A lập thành một nhóm.
Chứng minh.
a) Ta hãy chứng minh sự tồn tại. Giả sử I là một iđêan phân khác (0)
của A. Vì I là một iđêan phân, nên tồn tại 0 = d ∈ A sao cho I ⊂ d
−1
A, vậy
dI ⊂ A, từ đó dI là một iđêan nguyên của A. Mặt khác, ta có dA.d
−1

A = A
vậy d
−1
A = (dA)
−1
bằng nghịch đảo của dA trong vị nhóm các iđêan phân
khác (0) của A. Từ đó ta có thể viết: I = (dI).(Ad)
−1
trong đó Id và Ad
là hai iđêan nguyên của A. Như vậy bài toán đưa về phân tích các iđêan
nguyên của A. Ta hãy chứng minh bằng phản chứng. Giả sử họ F các iđêan
25